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| A000537号 |
| 前n个立方体的总和；或第n个三角形数的平方。
（原名M4619 N1972）
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181
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0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n X n菱形中平行四边形的数量。-马蒂·德克雷恩（Matti DeCraene（AT）rug.ac.be），2000年5月14日
第n个三角数T（n）=Sum_{r=1..n}r=n（n+1）/2满足以下关系：（i）T（n”）+T（n-1）=n^2和（ii）T（n-）-T（n-1*（n+1）/2）^2-Lekraj Beedassy公司2004年5月14日
{0,1，…，n}中的四元组整数的数量，不重复，其最后一个分量严格大于其他分量。{1，…，n}中的四元组整数的数目，重复，其最后一个分量大于或等于其他分量。
{0,1，…，n}不重复的二元子集的有序对数。
具有重复的｛1，…，n｝的2元素多子集的有序对的数目。
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=（1+2+3+…+n）^2。
a（n）是通过已知n维黎曼流形（M，g）的所有二阶导数来了解其黎曼度量g所需的参数数量；尽管要知道曲率张量R需要（由于对称性）（n^2）*（n^2-1）/12个参数，但需要一个较小的数（和一个4维金字塔数）-乔纳森·沃斯邮报2006年5月5日
n个不同字母（ABCD…）的排列数，每个字母出现两次，分别带有4个和n-4个固定点-泽因瓦利·拉霍斯2006年11月9日
偏移量1=[1，8，19，18，6，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年12月3日
该序列与A000330号通过a（n）=n*A000330号（n） -和{i=0..n-1}A000330号（i） ：这是在恒等式n*（n*（d*n-d+2）/2）-Sum_{i=0..n-1}i*（d*i-d+2）/2=n*（n+1）*（2*d*n-2*d+3）/6中d=1的情况-布鲁诺·贝塞利2010年4月26日，2012年3月1日
对于正整数S（k，n）的幂和：=Sum_{j=1..n}j^k，一个有递推项S（k、n）=（n+1）*S（k-1，n）-Sum_{l=1..n{S（k-1,l），n>=1，k>=1。
Ibn al-Haytham将其用于k=4，以计算抛物面内部的体积。请参阅Strick参考，其中显示了他使用的技巧，以及W.Lang链接。
这个技巧立即推广到任意幂k。对于k=3:a（n）=（n+1）*A000330号（n） -和{l=1..n}A000330号（l） 这与Berselli之前评论中给出的公式一致。（结束）
关于之前的贡献，另请参见Matem@ticamente公司在Links字段中，此注释以类似的顺序重复出现（n次方的部分和）-布鲁诺·贝塞利2013年6月24日
对于k=1到n，k^3的第r次连续求和的公式是（6*n^2+r*（6*n+r-1）*（n+r）！）/（（r+3）*（n-1）！），（H.W.古尔德）-加里·德特利夫斯2014年1月2日
请注意，这个序列及其公式是尼科马库斯已知的（也可能是尼科马库斯发现的），比伊本·海瑟姆早800年-查尔斯·格里特豪斯四世2014年4月23日
同时也给出了完全二部图K_{n+1，n+1}中无弦圈的个数-埃里克·韦斯特因2018年1月2日
a（n）是乘法表[0..n]X[0..n]中元素的总和-米歇尔·马库斯2021年5月6日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第813页。
Avner Ash和Robert Gross，《总结》，普林斯顿大学出版社，2016年，第62页，等式（6.3），k=3。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第110页及其后。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第155页。
约翰·H·康威和R·K·盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，第36、58页。
Clifford Pickover，“数字的奇迹，数学、思维和意义的冒险”，牛津大学出版社，2001年，第325页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.K.Strick，Geschichten aus der Mathematik II，Spektrum Spezial 3/11，第13页。
D.Wells，《你是数学家》，“计算矩形中的矩形数”，第8H题，第240页；254，企鹅图书1995。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Marcel Berger，与几何仪相遇，第二部分《美国数学学会通告》，第47卷，第3期，（2000年3月），第326-340页。[关于米哈埃尔·格罗莫夫的工作。]
比卡什·查克拉博蒂，无词证明：自然数幂和，arXiv:2012.11539[math.HO]，2020年。
萨米恩·艾哈迈德·汗，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷第2期，第265-282页。
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配方奶粉
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a（n）=（n*（n+1）/2）^2=A000217号（n） ^2=和{k=1..n}A000578号（k） ，即1^3+2^3+3^3+…+n^3=（1+2+3+…+n）^2。
总尺寸：（x+4*x^2+x^3）/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=总和（总和（1+总和（6*n））），重新表述中的公式A000578号-泽维尔·阿克洛普，2003年1月21日
这个序列可以从通式n*（n+1）*（n+2）*（n+3）**（n+k）*（n*（n+k）+（k-1）*k/6）/（（k+3）/6） k=1时-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月17日
G.f.:x*f（3,3；1；x）-保罗·巴里2008年9月18日
和{k>0}1/a（k）=（4/3）*（Pi^2-9）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月20日
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..nneneneep求和{k=1.n}最大值（i，j，k）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2013年2月26日
a（n）=-Sum_{j=1..3}j*s（n+1，n+1-j）*s（n+3-j，n），其中s（n，k）和s（n，k）分别是第一类和第二类的斯特灵数-米尔恰·梅卡2014年1月25日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*（3-4*log（2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月13日
例如：x*（4+14*x+8*x^2+x^3）*exp（x）/4。
Dirichlet g.f.：（zeta（s-4）+2*zeta（s3）+zeta（s2））/4。（结束）
a（n）=（伯努利（4，n+1）-Bernoulli（4，1））/4，n>=0，其中第n=4行的伯努利多项式B（4，x）A053382号/A053383号例如，参见Ash-交叉参考，第62页，等式（6.3）中的k=3-沃尔夫迪特·朗2017年3月12日
a（n）=n*二项（n+2,3）+二项（n+2,4）+二项式（n+1，4）-托尼·福斯特三世2017年11月14日
另一个身份：。。。，a（3）=（1/2）*（1*（2+4+6）+3*（4+6）+5*6）=36，a）=225-J.M.贝戈2022年8月27日
前面的注释将a（n）表示为所有n X n乘法表数组项的总和。
例如，对于n=4：
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
此数组和可以拆分如下：
+---+---------------+
| 0 | 1 2 3 4 | (0+1)*(1+2+3+4)
| +---+-----------+
| 0 | 2 | 4 6 8 | (1+2)*(2+3+4)
| | +---+-------+
| 0 | 3 | 6 | 9 12 | (2+3)*(3+4)
| | | +---+---+
|0|4|8|12|16|（3+4）*（4）
+---+---+---+---+---+
这种行+列总和被Ramanujan和其他人用来对Lambert级数求和。（结束）
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例子
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G.f.=x+9*x^2+36*x^3+100*x^4+225*x^5+441*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年8月29日
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MAPLE公司
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a： =n->（n*（n+1）/2）^2：
seq（a（n），n=0..40）；
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数学
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f[n]：=n^2（n+1）^2/4；数组[f，39，0](*罗伯特·威尔逊v2012年11月16日*）
表[CycleIndex[{1，2，3，4}，{3，2，1，4}，{1，4，3，2}，}，3,4，1，2}}，s]/。表[s[i]->n，{i，1，2}]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2014年6月18日*）
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{0，1，9，36，100}，20](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*）
系数列表[级数[-（（x（1+4x+x^2））/（-1+x）^5），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2018年1月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n*（n+1）/2）^2
（岩浆）[（n*（n+1）/2）^2:n in[0..50]]//韦斯利·伊万·赫特2014年6月6日
（哈斯克尔）a000537=a000290。a000217号--莱因哈德·祖姆凯勒2015年3月26日
（GAP）列表（[0..40]，n->（n*（n+1）/2）^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年12月5日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000332号,A000566号,A035287号,A039623号,A053382号,A053383号,A059376号,A059827号,A059860美元,A085582号,A127777号,A176271号.
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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