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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001563号 a(n)=n*n!=(n+1)!-n!。
(原M3545 N1436)
143
0,1,4,18,96,600,4320,35280,322560,3265920,36288000,439084800,5748019200,80951270400,1220496076800,19615115520000,334764638208000,6046686277632000,11524272670310400023112569077667808000,4865804016358280000,107290978560589824000 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

一个相似的序列,最初的0被1代替,即A094258号,由递归a(2)=1,a(n)=a(n-1)*(n-1)^2/(n-2)定义。-安德烈·雷谢维奇(Ryshevich(AT)notes.idlab.net),2002年5月21日

E_1(x)+gamma+log(x)幂级数展开中的分母,x>0。-迈克尔·索莫斯2002年12月11日

如果任意长度k的所有置换都是按字典顺序排列的,那么这个序列中的第n项(n<=k)给出了将最后n个元素向右旋转一个位置的置换索引。E、 g.有4个项目的24个排列。按字典顺序,它们是(0,1,2,3),(0,1,3,2),(0,2,1,3)。。。(3,2,0,1),(3,2,1,0)。置换0是(0,1,2,3),它旋转最后1个元素,也就是说,它没有改变。置换1是(0,1,3,2),它旋转最后2个元素。置换4是(0,3,1,2),它旋转最后3个元素。置换18是(3,0,1,2),它旋转最后4个元素。相同的数字适用于任何长度的排列。-亨利H.里奇(glasss(AT)bellsouth.net),2003年9月27日

a(n+1)=[4,18,96600,…]的Stirling变换为A083140型(n+1)=[4,22154,…]。-迈克尔·索莫斯2004年3月4日

迈克尔·索莫斯2012年4月27日:(开始)

a(n)=[1,4,18,96,…]的Stirling变换为A069321(n) =[1,5,31233,…]。

a(n)=[0,1,4,18,…]的部分和为A033312号(n+1)=[0,1,5,23,…]。

二项式变换A000166号(n+1)=[0,1,2,9,…]是a(n)=[0,1,4,18,…]。

二项式变换A000255[1,4]为[1,4]为[1,96]。

a(n)=[0,1,4,18,…]的二项式变换为A093964号(n) =[0,1,6,33,…]。

部分和A001564号(n) =[1,3,4,14,…]是a(n+1)=[1,4,18,96,…]。

(结束)

[n+1]的所有排列中的小下降数。排列(x_1,x_2,…,x_n)中的小下降是一个位置i,使得x_i-x_u(i+1)=1。例如:a(2)=4,因为在{1,2,3}(用\)表示的排列123、13\2、2\13、231、312、3\2\1中有4个小的下降。a(n)=和{k=0..n-1}k*邮编:A123513(n,k)。-德国金刚砂2006年10月2日

等价地,在大卫,肯德尔和巴顿的记数法中,第263页,这是n+1个字母上所有排列中连续升序对的总数(参见。A010027号). -N、 斯隆2014年4月12日

a(n-1)是n不固定的n的置换数;等价地,n是最大的不固定元素的正整数的置换数。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年11月29日

写下所有乘法排列时,行列式中的因子数。-马茨格兰维克2008年9月12日

a(n)也是[n]的所有排列中从左到右最大值的位置之和。例:a(3)=18,因为[3]的排列12313221323312和321中从左到右的最大值的位置分别是123、12、13、12、1和1,以及1+2+3+1+2+1+3+1+2+1=18。-德国金刚砂2008年9月21日

等于三角形的特征序列A002024号(“n出现n次”)。-加里·W·亚当森2008年12月29日

在这个系列前面加上另一个1:(1,1,4,18,…),然后下一个项=后者的点积,加上“n出现n次”。例:96=(1,1,4,8)点(4,4,4,4)=(4+4+16+72)。-加里·W·亚当森2009年4月17日

三角形的行长度A030298号. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月29日

a(n)也是n+1节点上星图S{n+1}的最小(n-)可分辨标号的个数。-埃里克·W·维斯坦2014年10月14日

当数字表示有限排列时(如A055089号)这些是向右循环移位,即a(n)是循环符号(0 1。。。n-1个n)。比较数组A051683号从更广泛的意义上讲,循环右移。比较序列A007489号向左循环移位。-蒂尔曼·皮耶斯克2017年4月29日

a(n-1)是n个元素上没有长度为n的圈的置换数-丹尼斯·P·沃尔什2017年10月2日

以n+1为基数的全数字数的数目,使每个数字只出现一次。例如,有一个(9)=9*9!=3265920以10为基数的全数字(A050278号). -阿米拉姆埃尔达2020年4月13日

参考文献

A、 T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证明:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,id.218。

J、 M.Borwein和P.B.Borwein,Pi和年度股东大会,Wiley,1987年,第336页。

F、 N.David,M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数与关联表》,剑桥,1966年,第263页。

五十、 B.W.乔利,《级数的总和》,多佛(1961年)。

N、 《学术序列手册》,1973年,斯隆出版社。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

T、 D.不,n=0..100的n,a(n)表

J、 迪克森,某些形式行列式中由项数引起的两个二重级数的讨论,过程。伦敦数学。第10卷(1879年),第120-122页。[带注释的扫描副本]

INRIA算法项目,组合百科全书30

米兰-扬吉奇,有限集上某些函数的计数公式

一、 科切姆斯基,置换记录的渐近行为,arXiv:0804.0446v2[math.CO],2008年5月18日。

C、 兰佐斯,应用分析(选定页面的带注释扫描)

雷兹舍尔·洛瓦斯,伊斯特万·梅泽,关于整数的奇异拓扑,arXiv:1008.0713[math.GN],2010年。见第4页。

丹尼尔·蒙德弗洛姆,排列中的一个问题:“捕鼠器”的游戏,欧洲J.Combin。15(1994年),第6号,555-560。

路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014年。

J、 先生,析因公式的计算公式(某些选定页面的带注释扫描)

A、 范海默特,序列循环置换及其相关问题,J.Reine Angew。数学,198(1957),56-72。

丹尼斯·沃尔什,无k-圈的置换数

埃里克·韦斯坦的数学世界,识别号

埃里克的数学世界,指数积分

公式

迈克尔·索莫斯2002年12月11日:(开始)

E、 g.f.:x/(1-x)^2。

a(n)=-2100A09型(n,1),n>=0。(结束)

(y+n!)^n、 n>=1,给出序列1,4,18,96,600,4320,35280。。。-雅辛斯基2007年10月22日

函数在正半轴上的n阶矩的积分表示法:a(n)=积分{x=0..oo}(x^n*(x*(x-1)*exp(-x))dx,对于n>=0。这种表示可能不是唯一的。-卡罗尔·彭森2001年9月27日

a(0)=0,a(n)=n*a(n-1)+n!。-贝诺伊特·克罗伊特2003年2月16日

a(0)=0,a(n)=(n-1)*(1+和{i=1..n-1}a(i)),i>0。-杰拉尔德·麦加维2004年6月11日

在下列身份的分母中产生了以下身份的分母:Sum{n{n>=1}1}1/(n*(n+1)*(n+2))=1/4,Sum{n>=1}1/(n*(n+1)*(n+2)*(n+3))(n+3))=1/18,和{n>=1}1//(n*(n+1)(n+1)(n+2)*(n+3)*(n+4)))=1/96等。等等。一般的表达式是Sum{n>=k}k}1/C(n,k)=k//(k/(k/k/(k/k)k/(k(k+18))(k+18),-1)。-Dick Boland,2005年6月6日

a(n)=和{m=2..n+1}|斯特林1(n+1,m)|,n>=1和a(0):=0,其中Stirling1(n,m)=A048994号(n,m),n>=m=0。

a(n)=1/(和{k>=0}k!/(n+k+1)!),n>0。-弗拉德塔·乔沃维奇2006年9月13日

a(n)=和{k=1..n(n+1)/2}k*A143946号(n,k)。-德国金刚砂2008年9月21日

a(n)的倒数是多项式的乘因子形式的主系数,通过将固定的下限项到n作为上项的二项式系数相加,除以项索引,得到n>=1:Sum{k=i..n}C(k,i)/k=(1/a(n))*n*(n-1)*…*(n-i+1)。首批少数这样的多项式是由和{{k=1..n}C(k,1)/k=(1/1)*n,n,Sum{k=2.n}C(k,2)/k=(1/4)*n*(n-1),和{k=3.n}C(k,3)/k=(1/18)*(1/18)*(1/18)*(1/18)n(k,3)/k=(1/18)*n{(n-1)*(n-2),和{k=4.n}k(k,4)/k=(1/96)*n(n-1)1)*(n(n-1(n-1)3)*(n(n-2)*(n-3)等-彼得·布雷兹奈(Breznay(AT)UWB.edu),2008年9月28日

如果我们定义f(n,i,x)=和{k=i..n}和{j=i..k}二项式(k,j)*Stirling1(n,k)*Stirling2(j,i)*x^(k-j),那么a(n)=(-1)^(n-1)*f(n,1,-2),(n>=1)。-米兰-扬吉奇2009年3月1日

和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=0.796599599。。。[乔利公式289]

G、 f.:2*x*Q(0),其中Q(k)=1-1/(k+2-x*(k+2)^2*(k+3)/(x*(k+2)*(k+3)-1/Q(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月19日

G、 f.:W(0)*(1-sqrt(x))-1,其中W(k)=1+sqrt(x)/(1-sqrt(x)*(k+2)/(sqrt(x)*(k+2)+1/W(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月18日

G、 f.:T(0)/x-1/x,其中T(k)=1-x^2*(k+1)^2/(x^2*(k+1)^2-(1-x-2*x*k)*(1-3*x-2*x*k)/T(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月17日

G、 f.:Q(0)*(1-x)/x-1/x,其中Q(k)=1-x*(k+1)/(x*(k+1)-1/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)-1/Q(k+1)));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月22日

有递推的D-有限:a(n)+(-n-2)*a(n-1)+(n-1)*a(n-2)=0。-R、 J.马萨2020年1月14日

a(n)=(-1)^(n+1)*(n+1)*和{k=1..n}A094485型(n,k)*伯努利(k)。伯努利数的Worpitzky表示的逆。-彼得·卢什尼2020年5月28日

阿米拉姆埃尔达2020年8月4日开始

和{n>=1}1/a(n)=Ei(1)-伽马=A229837号.

和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=γ-Ei(-1)=A239069号. (结束)

例子

E_1(x)+伽马+对数(x)=x/1-x ^2/4+x^3/18-x ^4/96+…,x>0。-迈克尔·索莫斯2002年12月11日

G、 f.=x+4*x^2+18*x^3+96*x^4+600*x^5+4320*x^6+35280*x^7+322560*x^8+。。。

枫木

A001563号:=n->n*n!;

数学

桌子[n!n、 {n,0,25}](*哈维·戴尔2011年10月3日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n*n!)} /*迈克尔·索莫斯2002年12月11日*/

(哈斯克尔)

a001563 n=a001563\U列表!!n

a001563 U列表=zipWith(-)(尾部a000142 U列表)a000142 U列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年8月5日

(岩浆)[阶乘(n+1)-阶乘(n):n in[0..20]]//文琴佐·利班迪2014年8月8日

(Sage)[n*因式(n)表示n in(0..20)]#G、 格瑞贝尔2019年12月30日

(GAP)列表([0..20],n->n*阶乘(n))//G、 C.格雷贝尔2019年12月30日

交叉引用

囊性纤维变性。A000142号,A0024年,A047920型,A047922号,A053495号,A055089号,邮编:A123513,A143946号,A229837号,A239069号.

囊性纤维变性。邮编:A163931(E(x,m,n)),A002775号(n^2*n!),A091363号(n^3*n!),A091364号(n^4*n!)。

参考公式(n+k)*n!列入A282466号.

行和邮编:A185105,A322383型,A322384型,A094485型.

上下文顺序:A005777号 邮编:A180567 A1392电话*A094304型 A094258号 A234854号

相邻序列:A001560号 A001561号 A001562号*A001564号 A001565号 A001566号

关键字

,容易的,美好的,改变

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月12日13:47。包含336439个序列。(运行在oeis4上。)