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A049099 第一类斯特灵三角形,S(n,k),n>=0, 0<k<=n。 一百六十五
1, 0, 1,0,1, 1, 0,2,-3, 1, 0,-6, 11,-6, 1, 0,24,-50, 35,-10, 1, 0,-120, 274,-225, 85,-225, 85,--,--,--,--,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- - - 列表图表参考文献历史文本内部格式
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评论

无符号数也称为斯特灵循环数:(s,n,k)=具有完全k个周期的n个对象的排列数。

三角形的镜像A054. -菲利普德勒姆12月30日2006

三角形在C(x,n)=(a(k)*x^ k)/n的展开中给出了x^ k的系数t(n,k)。-摩卡塔尔·穆罕默德,十二月04日2012

狼人郎,11月14日2018:(开始)

这是JabotnkyType的Seffer-三角形(1,log(1 +x))。参见下面三角形的E.F.F。

这是斯特林2谢弗三角形的逆Seffer-三角形。A000 8255.

这个Sheffer三角形的A序列(参见W. Lang链接)A000 623

来自E.F.A(x)=x/(EXP(x)- 1)a(n)=伯努利(n)=A02664(n)/A027(n),n>=0。Z序列消失。

列递归的Boas-Buck序列具有O.G.F.B(x)=SUMY{{N>=0 } B(n)*x^ n=1 /((1 +x)*log(1 +x))-1/x.b(n)=(-1)^(n+1)*A00 2208(n+1)/A00 2209(n+1),b={- 1/2,5/12,- 3/8,251/720,-95/288,19087/60480,…}。对于Riordan和Sheffer三角形的Boas-Buck递归,参见8月10日2017A04621,适用于Sheffer案例,也适用于两个参考文献。请参见下面的递归和示例。-狼人郎11月14日2018

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第833页。

L. Comtet,高级组合数学,雷德尔,1974;第五章,第310页。

J. H. Conway和R. K. Guy,《数字之书》,哥白尼出版社,NY,1996,第93页。

F. N. David,M. G. Kendall和D. E. Barton,对称函数和联合表,剑桥,1966,第226页。

R. L. Graham,D. E. Knuth和O. Patashnik,具体的数学。Addison Wesley,读,MA,1990,第245页。

J. Riordan,组合分析导论,第48页。

链接

诺伊,行n=0…100的三角形,扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

P. Barry广义斯特灵数、指数Riordon阵列和ToDA链方程《整数序列》杂志,17(2014),第142.3页。

R. M. Dickau斯特灵第一类数[图]未签名的斯特灵循环数A1323]

阿斯卡·达马迪耶尔和Damir Yeliussizov游走、分区和正规排序《组合数学》电子杂志,22(4)(2015),第4页。

Bill Gosper斯特灵第一类三角形的彩色插图2, 3, 4,5, 6, 7

格尔涅涅斯,第二类伯努利数的渐近展开式J. Int. Seq。14(2011)×114.8。

A. Hennessy,P. Barry,广义斯特灵数、指数Riordon阵和正交多项式J. Int. Seq。14(2011)α-1.82.(A数型)A08894

NIST数学函数库斯特灵数字

Ken Ono,Larry Rolen和Florian Sprung,模形周期的ζ多项式,第6页,ARXIV:1602.00752(数学,NT),2016。

李嘉图·A·普达达,二元KravtChouk多项式、二项式系数和Calalon数的新恒等式,ARXIV预告ARXIV:1603.09156 [数学,CO],2016。

维基百科斯特灵数与指数母函数

公式

S(n,k)=A000 8255(n,k),对于n>=1,k=1…n;列k=0是{ 1,重复(0)}。

S(n,k)=S(n-1,k-1)-(n-1)*s(n-1,k),n,k>=1;s(n,0)=s(0,k)=0;s(0, 0)=1。

无符号数A(n,k)=s(n,k)满足a(n,k)=a(n-1,k-1)+(n-1)*a(n-1,k),n,k>=1;a(n,0)=a(0,k)=0;a(0, 0)=1。

三角形(符号)=〔0,- 1,- 1,- 2,- 2,-3,-3,-4,-4,……〕δ[ 1, 0, 1,0, 1, 0,1, 0,…];三角形(无符号)= [Δ,γ,γ,…]δ[,γ,γ,…];其中δ是DeleHAM算子定义的A084938.

SuMu{{K=0…n}(-m)^(n- k)*s(n,k)=A000 0142(n)A000 1147(n)A000 75 59(n)A000 7696(n)…对于M=1, 2, 3,4,…-菲利普德勒姆10月29日2005

A000 8255*A000 7318作为无限的下三角矩阵。-杰拉尔德麦加维8月20日2009

双变量例如:FE:EXP(x*log(1 +t))。-彼得卢斯尼12月30日2010

狼人郎,11月14日2018:(开始)

从Sheffer A序列的递归(见上面的评论):S(n,k)=(n/k)*Suthi{{j=0…n-k}二项式(k-1,j,j)*伯努利(j)*s(n-1,k-1 +j),对于n>=和k>=1,s(n,0)=0,如果n>=1,s(0,0)=1。

列k:s(n,k)=(n)的Boas Buck型递推*k/(n- k)* Suthi{{j=k.n-1 } b(n1-j)*s(j,k)/j!,对于n>1和k=0…n-1,输入S(n,n)=1。对于序列B,请参见上面的博斯-巴克评论。(结束)

例子

三角形开始:

NK 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9…

0 1

1 0 0

2 0—1 1

3 0 2 2 3 1

4 0 - 6 6 11 - 6 1

5、0、24、50、35、10、1

6 0 - 120 120 274 - 225 85 - 15 1

7 0 720 720 1764 1624 1624 735 175 21 1

8 0 - 5040 5040 - 13068 - 13132 6769 - 1960 322 - 28 1

9 0 40320 40320 - 109584 118124 - 67284 22449 - 4536 546 36 36 1

-狼人郎8月22日2012

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

狼人郎,11月14日2018:(开始)

递归:S(5,2)=S(4, 1)-4*S(4, 2)=-6×4*11=-50。

从A和Z序列的递归:S(6, 3)=2*(1×1*(- 50)+3*(-1/2)* 35 + 6 *(1/6)*(-10)+ 10*10 *)= -^。

Boas Buck递归列k=3,B={ 1/2,5/12,-3/8,…}:

S(6, 3)=6!*((3/8)* 1/3!+(5/12)*(- 6)/ 4!+(- 1/2)* 35/5!=225。(结束)

枫树

A049099= PROC(n,k)组合[斯特林1](n,k)结束马塔尔2月23日2009

打印(SEQ(COEFF(展开)(K)!*二项式(x,k),x,i),i=0…k),k=0…9);彼得卢斯尼7月13日2009

A049099γ行:= PROC(n)局部K;SEQ(COFEF(展开(PoCHMACHER(X-N+1,N)),X,K),K=0…N)结束:彼得卢斯尼12月30日2010

Mathematica

表[斯特林s1(n,m),{n,0, 9 },{m,0,n}〕(*)彼得卢斯尼12月30日2010*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n,k)=(k<0)k>n,0,IF(n=0, 1,(n-1)*a(n-1,k)+a(n-1,k-1))

(最大值)CREATEY列表(STRILG1(n,k),n,0, 12,k,0,n);/*伊曼纽勒穆纳里尼3月11日2011*

(哈斯克尔)

A0494NK=A044044Tabl!!!K!

A048 99 4l行n=A048 99 4a Tabl!n!

A048 99 4Ia Tabl = MAP FST $迭代(\(行,I)->

(ZIPOP(-)([0)++行)$ MAP(*i)(行++(0)),i + 1)((1),0)

——莱因哈德祖姆勒3月18日2013

(PARI)Trg(NN)=(n=0,nn-1),(k=0,n,Prrt1(斯特灵(n,k,1),());;米歇尔马库斯1月19日2015

交叉裁判

特别看到A000 8255这是这个三角形的主要入口。A1323是一个未签名的版本,A000 827是另一个版本。

囊性纤维变性。A000 827A039 814-A039 817A04903A084938.

A000 0142(n)=和((S,(n,k)))k=0,n,n>0。

行和给出A019590(n+1)。

囊性纤维变性。A00 2209A02664/A027.

语境中的顺序:A000 5210 A26430 A26433*A1323 A121434 A9645

相邻序列:A04901 A04902 A04903*A04905 A04966 A08997

关键词

标志塔布

作者

斯隆

扩展

偏移校正马塔尔2月23日2009

公式修正菲利普德勒姆9月10日2009

地位

经核准的

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最后修改9月16日16:00 EDT 2019。包含327114个序列。(在OEIS4上运行)