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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A048994号 第一类斯特林数三角形,s(n,k),n>=0,0<=k<=n。 180
1,0,1,0,-1,1,0,2,-3,1,0,-6,11,-6,1,0,0,24,-50,35,-10,1,0,-120,274,-225,85,-15,1,0,720,-1764,1624,-735,175,-21,1,0,-5040,13068,-13132,6769,-1960,322,-28,1,0,40320,-109584,118124,-67284,22449,-4536,546,-36,1,0,-362880,1026576 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,8个

评论

无符号数也被称为斯特林圈数:| s(n,k)|=n个对象的排列数,正好有k个圈。

三角形的镜像A054654号. -菲利普·德莱厄姆2006年12月30日

在C(x,n)=(a(k)*x^k)/n!展开式中,三角形给出了x^k的系数T(n,k)!。-  莫赫塔尔穆罕默德2012年12月4日

狼牙2018年11月14日:(开始)

这是Jabotinsky型的Sheffer三角形(1,log(1+x))。见下面三角形的e.g.f。

这是斯特林2谢弗三角形的逆谢弗三角形A008275号.

这个谢弗三角的a序列(见A006232)

来自e.g.f.A(x)=x/(exp(x)-1)A(n)=伯努利(n)=A027641号(n)/A027642号(n) ,对于n>=0。z序列消失了。

列循环的Boas-Buck序列有o.g.f.B(x)=和{n>=0}B(n)*x^n=1/((1+x)*log(1+x))-1/x.B(n)=(-1)^(n+1)*A002208(n+1)/A002209号(n+1),b={-1/2,5/12,-3/8,251/720,-95/288,19087/60480,…}。关于里奥丹和谢弗三角的博阿斯巴克重现,请参阅2017年8月10日的评论A046521号,改编自谢弗案,也可供参考。请参阅下面的循环和示例。-狼牙2018年11月14日

参考文献

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。系列551964年(和各种重印),第833页。

五十、 康泰特,《高级组合学》,里德尔出版社,1974年;第五章,也是第310页。

J、 康威和盖伊,《数字之书》,哥白尼出版社,纽约,1996年,第93页。

F、 N.David,M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数与关联表》,剑桥,1966年,第226页。

R、 数学和克什尼克·卡瑟姆。Addison Wesley,雷丁,马萨诸塞州,1990年,第245页。

J、 Riordan,《组合分析导论》,第48页。

链接

T、 D.不,n=0..100行三角形,展平

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。

P、 巴里,广义斯特林数,指数Riordan阵列和Toda链方程《整数序列杂志》,17(2014),#14.2.3。

R、 迪卡先生,第一类斯特林数. [说明了无符号斯特林循环数A132393.]

阿斯卡尔·祖马迪尔达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,走道、分区和正常排序《组合学电子杂志》,22(4)(2015),#P4.10。

比尔·戈斯帕,第一类斯特林数三角形的彩色插图读mod 2,3,4,5,6,7.

格格内梅斯,第二类Bernoulli数的渐近展开式,国际期刊。14(2011年),#11.4.8。

A、 轩尼诗和P·巴里,广义斯特林数,指数Riordan阵列和正交多项式,国际期刊。14(2011年),#11.8.2(A号打字错误A048894号).

NIST数学函数数字图书馆,斯特林数

肯·奥诺、拉里·罗兰和弗洛里安·斯普林,模形式周期的Zeta多项式,第6页,arXiv:1602.00752[math.NT],2016年。

里卡多·A·波德斯塔,二元Krawtchouk多项式、二项式系数和Catalan数的新恒等式,arXiv预印本arXiv:1603.09156[math.CO],2016年。

维基百科,斯特林数与指数母函数.

公式

s(n,k)=A008275号(n,k)表示n>=1,k=1..n;列k=0是{1,重复(0)}。

s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)*s(n-1,k),n,k>=1;s(n,0)=s(0,k)=0;s(0,0)=1。

无符号数a(n,k)=| s(n,k)|满足a(n,k)=a(n-1,k-1)+(n-1)*a(n-1,k),n,k>=1;a(n,0)=a(0,k)=0;a(0,0)=1。

三角形(有符号)=[0,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-4,-4,…]DELTA[1,0,1,1,0,…];三角形(无符号)=[0,1,1,2,2,3,3,4,4,…]DELTA[1,0,1,0,1,0,…];其中DELTA是Deléham在A084938号.

和{k=0..n}(-m)^(n-k)*s(n,k)=A000142号(n) 你说,A001147号(n) 你说,A007559号(n) 你说,A007696号(n) 。。。对于m=1,2,3,4。-菲利普·德莱厄姆2005年10月29日

A008275号*A007318型作为无限下三角矩阵。-杰拉尔德·麦加维2009年8月20日

T(n,k)=n!*[x^k]([t^n]扩展(x*log(1+t)))。-彼得·卢什尼,2010年12月30日,更新日期:2020年6月7日

沃尔夫朗迪特尔2018年11月14日:(开始)

Sheffer a序列的递归(见上面的注释):s(n,k)=(n/k)*和{j=0..n-k}二项式(k-1+j,j)*Bernoulli(j)*s(n-1,k-1+j),对于n>=1和k>=1,s(n,0)=0,如果n>=1,s(0,0)=1。

k列的Boas Buck型递归:s(n,k)=(n!*k/(n-k))*和{j=k..n-1}b(n-1-j)*s(j,k)/j!,对于n>=1和k=0..n-1,输入s(n,n)=1。关于序列b,请参见上面的Boas Buck注释。(结束)

例子

三角形开始:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。

0 1

0 1号

20-11

0-3号

4 0-6 11-6 1

5 0 24-50 35-10 1

6 0-120 274-225 85-15 1

7 0 720-1764 1624-735 175-21 1

8 0-5040 13068-13132 6769-1960 322-28 1

9 0 40320-109584 118124-67284 22449-4536 546-36 1

... -狼牙2012年8月22日

------------------------------------------------------------------

狼牙2018年11月14日:(开始)

递推:s(5,2)=s(4,1)-4*s(4,2)=-6-4*11=-50。

a序列和z序列的递归:s(6,3)=2*(1*1*(-50)+3*(-1/2)*35+6*(1/6)*(-10)+10*0*1)=-225。

列k=3的Boas-Buck递归,b={-1/2,5/12,-3/8,…}:

s(6,3)=6!*(-3/8)*1/3!+(5/12)*(-6)/4!+(-35/1页)*=-225。(结束)

枫木

A048994号:=过程(n,k)组合[stirling1](n,k)结束:#R、 J.马萨2009年2月23日

打印(seq(coeff)(展开(k!*二项式(x,k)),x,i),i=0..k),k=0..9)#彼得·卢什尼2009年7月13日

A048994号_行:=proc(n)local k;seq(coeff(expand(pochhammer(x-n+1,n)),x,k),k=0..n)结束:#彼得·卢什尼2010年12月30日

数学

表[StirlingS1[n,m],{n,0,9},{m,0,n}](*彼得·卢什尼2010年12月30日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n,k)=如果(k<0 | | k>n,0,如果(n==0,1,(n-1)*a(n-1,k)+a(n-1,k-1)))

(Maxima)创建列表(stirling1(n,k),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

(哈斯克尔)

a048994 n k=a048994表格!!n!!k

a048994行n=a048994表!!n

a048994_tabl=map fst$迭代(\(行,i)->

(zipWith(-)([0]++行)$map(*i)(行++[0]),i+1)([1],0)

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日

(PARI)trg(nn)=对于(n=0,nn-1,对于(k=0,n,print1(斯特林(n,k,1),“,”);print();)\\米歇尔·马库斯2015年1月19日

交叉引用

尤其是A008275号这是这个三角形的主要入口。A132393是一个未签名的版本A008276号是另一个版本。

囊性纤维变性。A008277号,A039814号-A039817号,A048993号,A084938号.

A000142号(n) =Sum{k=0..n}s(n,k)|对于n>=0。

行总和给出A019590年(n+1)。

囊性纤维变性。A002209号,A027641号/A027642号.

上下文顺序:A005210型 A264430 A264433号*A132393 A121434号 A296455号

相邻序列:A048991号 A048992号 A048993号*A048995号 A048996号 A048997号

关键字

签名,,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

偏移量校正者R、 J.马萨2009年2月23日

公式修正者菲利普·德莱厄姆2009年9月10日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月14日20:36。包含335729个序列。(运行在oeis4上。)