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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A048994号 第一类斯特林数三角,s(n,k),n>=0,0<=k<=n。 210
1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 2, -3, 1, 0, -6, 11, -6, 1, 0, 24, -50, 35, -10, 1, 0, -120, 274, -225, 85, -15, 1, 0, 720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1, 0, -5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1, 0, 40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1, 0, -362880, 1026576, -1172700, 723680, -269325, 63273, -9450, 870, -45, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,8
评论
无符号数也称为斯特林循环数:|s(n,k)|=正好有k个循环的n个对象的排列数。
三角形的镜像A054654号. -菲利普·德莱厄姆,2006年12月30日
此外,三角形给出了C(x,n)=(a(k)*x^k)/n!展开式中x^k的系数T(n,k)-莫赫塔尔·穆罕默德2012年12月4日
发件人沃尔夫迪特·朗2018年11月14日:(开始)
这是Jabotinsky类型的Sheffer三角形(1,log(1+x))。请参见下面三角形的示例f。
这是Stirling2 Sheffer三角形的反向Sheffer-三角形A008275号.
谢弗三角的a序列(参见A006232号)
来自例如f.A(x)=x/(exp(x)-1)A(n)=Bernoulli(n)=A027641号(n)/A027642号(n) ,对于n>=0。z序列消失。
柱重复出现的Boas-Buck序列具有o.g.f.B(x)=Sum_{n>=0}B(n)*x^n=1/((1+x)*log(1+x))-1/x.B(n)=(-1)^(n+1)*A002208号(n+1)/A002209号(n+1),b={-1/2,5/12,-3/8,251/720,-95/288,19087/60480,…}。关于Riordan和Sheffer三角形的Boas-Buck重现性,请参见2017年8月10日的备注A046521号,改编为谢弗案,也供参考。请参阅下面的循环和示例-沃尔夫迪特·朗2018年11月14日
设G(n,m,k)是[n]上具有m条边和k个分量的简单标记图的个数。则T(n,k)=和(-1)^m*G(n,m,k)。请参阅下面的“阅读”链接。等价地,T(n,k)=和mu(0,p),其中和是包含k个块的[n]的所有集分区p上的和,而mu是与[n]上的集分区格相关联的关联代数中的Moebius函数-杰弗里·克雷策2024年5月11日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第833页。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年;第五章,第310页。
J.H.Conway和R.K.Guy,《数字之书》,哥白尼出版社,纽约,1996年,第93页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第226页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,马萨诸塞州雷丁,1990年,第245页。
J.Riordan,《组合分析导论》,第48页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
保罗·巴里,广义斯特林数、指数Riordan阵列和Toda链方程《整数序列杂志》,17(2014),#14.2.3。
R.M.Dickau,第一类斯特林数.[说明无符号斯特林循环数A132393号.]
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,行走、分区和正常排序,《组合学电子期刊》,22(4)(2015),#P4.10。
GergőNemes,第二类Bernoulli数的渐近展开,J.国际顺序。14 (2011), #11.4.8.
A.Hennessy和Paul Barry,广义Stirling数、指数Riordan阵列和正交多项式,J.国际顺序。14(2011),#11.8.2(A数字输入错误A048894号).
NIST数学函数数字图书馆,斯特林数
Ken Ono、Larry Rolen和Florian Sprung,模块形式周期的齐塔多项式第6页,arXiv:1602.00752[math.NT],2016年。
里卡多·波德斯塔,二元Krawtchouk多项式、二项系数和Catalan数的新恒等式,arXiv预印本arXiv:1603.09156[math.CO],2016。
罗纳德·里德,色多项式简介《组合理论杂志》,4(1968)52-71。
配方奶粉
s(n,k)=A008275号(n,k)对于n>=1,k=1..n;列k=0是{1,重复(0)}。
s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)*s(n-l,k),n,k>=1;s(n,0)=s(0,k)=0;s(0,0)=1。
无符号数a(n,k)=|s(n,k)|满足a(n、k)=a(n-1,k-1)+(n-1)*a(n-l,k),n,k>=1;a(n,0)=a(0,k)=0;a(0,0)=1。
三角形(有符号)=[0,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-4,-4,…]DELTA[1,0,1,0,0,1,0,…];三角形(无符号)=[0,1,1,2,2,3,3,4,4,…]Δ[1,0,1,0,1,0,0,…];其中DELTA是Deléham的运算符,定义于A084938号.
和{k=0..n}(-m)^(n-k)*s(n,k)=A000142号(n) ,A001147号(n) ,A007559号(n) ,A007696号(n) 。。。对于m=1、2、3、4-菲利普·德尔汉姆2005年10月29日
A008275号*A007318号作为无穷下三角矩阵-杰拉尔德·麦卡维2009年8月20日
T(n,k)=n*[x^k]([t^n]exp(x*log(1+t))-彼得·卢施尼,2010年12月30日,更新日期:2020年6月7日
发件人Wolfdieter Lang公司2018年11月14日:(开始)
Sheffer a序列的递归性(参见上面的注释):s(n,k)=(n/k)*和{j=0..n-k}二项式(k-1+j,j)*伯努利(j)*s(n-1,k-1+j),对于n>=1和k>=1,s(n、0)=0,如果n>=1,并且s(0,0)=1。
列k的Boas-Buck型递归:s(n,k)=(n!*k/(n-k))*Sum_{j=k.n.n-1}b(n-1-j)*s(j,k)/j!,对于n>=1和k=0..n-1,输入s(n,n)=1。关于序列b,请参阅上面的Boas-Buck注释。(结束)
T(n,k)=Sum_{j=k.n}(-1)^(n-j)*A271705型(n,j)*A216294号(j,k)-梅利卡·特布尼2023年2月23日
例子
三角形开始:
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
0 1
1 0 1
2 0 -1 1
3 0 2 -3 1
4 0 -6 11 -6 1
5 0 24 -50 35 -10 1
6 0 -120 274 -225 85 -15 1
7 0 720 -1764 1624 -735 175 -21 1
8 0 -5040 13068 -13132 6769 -1960 322 -28 1
9 0 40320 -109584 118124 -67284 22449 -4536 546 -36 1
... -沃尔夫迪特·朗2012年8月22日
------------------------------------------------------------------
发件人沃尔夫迪特·朗2018年11月14日:(开始)
递归:s(5,2)=s(4,1)-4*s(4,2)=-6-4*11=-50。
a序列和z序列的递归:s(6,3)=2*(1*1*(-50)+3*(-1/2)*35+6*(1/6)*(-10)+10*0*1)=-225。
列k=3,其中b={-1/2,5/12,-3/8,…}的Boas-Buck递推:
s(6,3)=6*((-3/8)*1/3! + (5/12)*(-6)/4! + (-1/2)*35/5!) = -225.(结束)
MAPLE公司
A048994号:=进程(n,k)组合[stirling1](n,k)结束:#R.J.马塔尔,2009年2月23日
seq(print(seq(coeff(expand(k!*二项式(x,k)),x,i),i=0..k),k=0..9)#彼得·卢施尼2009年7月13日
A048994号_行:=进程(n)局部k;seq(系数(展开(pochhammer(x-n+1,n)),x,k),k=0..n)结束:#彼得·卢施尼2010年12月30日
数学
表[StirlingS1[n,m],{n,0,9},{m,0,n}](*彼得·卢施尼2010年12月30日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n,k)=如果(k<0|k>n,0,如果(n==0,1,(n-1)*a(n-1,k)+a(n-l,k-1))
(PARI)trg(nn)=对于(n=0,nn-1,对于(k=0,n,print1(stirling(n,k,1),“,”););打印();)\\米歇尔·马库斯2015年1月19日
(最大值)create_list(stirling1(n,k),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
(哈斯克尔)
a048994 n k=a048994_tabl!!不!!k个
a048994_row n=a048994 _ tabl!!n个
a048994_tabl=映射fst$迭代(\(行,i)->
(zipWith(-)([0]++行)$map(*i)(行++[0]),i+1))([1],0)
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日
交叉参考
请特别注意A008275号这是这个三角形的主要入口。12393英镑是未签名版本,并且A008276号是另一个版本。
A000142号(n) =n>=0的和{k=0..n}|s(n,k)|。
行总和给出A019590型(n+1)。
关键词
签名,,美好的
作者
扩展
偏移校正人R.J.马塔尔2009年2月23日
公式修正人菲利普·德尔汉姆2009年9月10日
状态
经核准的

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