0,8个

无符号数也被称为斯特林圈数：| s（n，k）|=n个对象的排列数，正好有k个圈。

三角形的镜像A054654号. -菲利普·德莱厄姆2006年12月30日

在C（x，n）=（a（k）*x^k）/n！展开式中，三角形给出了x^k的系数T（n，k）！。-  莫赫塔尔穆罕默德2012年12月4日

从狼牙2018年11月14日：（开始）

这是Jabotinsky型的Sheffer三角形（1，log（1+x））。见下面三角形的e.g.f。

这是斯特林2谢弗三角形的逆谢弗三角形A008275号.

这个谢弗三角的a序列（见A006232)

来自e.g.f.A（x）=x/（exp（x）-1）A（n）=伯努利（n）=A027641号（n）/A027642号（n） ，对于n>=0。z序列消失了。

列循环的Boas-Buck序列有o.g.f.B（x）=和{n>=0}B（n）*x^n=1/（（1+x）*log（1+x））-1/x.B（n）=（-1）^（n+1）*A002208（n+1）/A002209号（n+1），b={-1/2，5/12，-3/8，251/720，-95/288，19087/60480，…}。关于里奥丹和谢弗三角的博阿斯巴克重现，请参阅2017年8月10日的评论A046521号，改编自谢弗案，也可供参考。请参阅下面的循环和示例。-狼牙2018年11月14日

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。系列551964年（和各种重印），第833页。

五十、 康泰特，《高级组合学》，里德尔出版社，1974年；第五章，也是第310页。

J、 康威和盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第93页。

F、 N.David，M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数与关联表》，剑桥，1966年，第226页。

R、 数学和克什尼克·卡瑟姆。Addison Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第245页。

J、 Riordan，《组合分析导论》，第48页。

T、 D.不，n=0..100行三角形，展平

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。

P、 巴里，广义斯特林数，指数Riordan阵列和Toda链方程《整数序列杂志》，17（2014），#14.2.3。

R、 迪卡先生，第一类斯特林数. [说明了无符号斯特林循环数A132393.]

阿斯卡尔·祖马迪尔达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，走道、分区和正常排序《组合学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。

比尔·戈斯帕，第一类斯特林数三角形的彩色插图读mod 2，3，4，5，6，7.

格格内梅斯，第二类Bernoulli数的渐近展开式，国际期刊。14（2011年），#11.4.8。

A、 轩尼诗和P·巴里，广义斯特林数，指数Riordan阵列和正交多项式，国际期刊。14（2011年），#11.8.2（A号打字错误A048894号).

NIST数学函数数字图书馆，斯特林数

肯·奥诺、拉里·罗兰和弗洛里安·斯普林，模形式周期的Zeta多项式，第6页，arXiv:1602.00752[math.NT]，2016年。

里卡多·A·波德斯塔，二元Krawtchouk多项式、二项式系数和Catalan数的新恒等式，arXiv预印本arXiv:1603.09156[math.CO]，2016年。

维基百科，斯特林数与指数母函数.

s（n，k）=A008275号（n，k）表示n>=1，k=1..n；列k=0是{1，重复（0）}。

s（n，k）=s（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-1，k），n，k>=1；s（n，0）=s（0，k）=0；s（0，0）=1。

无符号数a（n，k）=| s（n，k）|满足a（n，k）=a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-1，k），n，k>=1；a（n，0）=a（0，k）=0；a（0，0）=1。

三角形（有符号）=[0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，…]DELTA[1，0，1，1，0，…]；三角形（无符号）=[0，1，1，2，2，3，3，4，4，…]DELTA[1，0，1，0，1，0，…]；其中DELTA是Deléham在A084938号.

和{k=0..n}（-m）^（n-k）*s（n，k）=A000142号（n） 你说，A001147号（n） 你说，A007559号（n） 你说，A007696号（n） 。。。对于m=1，2，3，4。-菲利普·德莱厄姆2005年10月29日

A008275号*A007318型作为无限下三角矩阵。-杰拉尔德·麦加维2009年8月20日

T（n，k）=n！*[x^k]（[t^n]扩展（x*log（1+t）））。-彼得·卢什尼，2010年12月30日，更新日期：2020年6月7日

从沃尔夫朗迪特尔2018年11月14日：（开始）

Sheffer a序列的递归（见上面的注释）：s（n，k）=（n/k）*和{j=0..n-k}二项式（k-1+j，j）*Bernoulli（j）*s（n-1，k-1+j），对于n>=1和k>=1，s（n，0）=0，如果n>=1，s（0，0）=1。

k列的Boas Buck型递归：s（n，k）=（n！*k/（n-k））*和{j=k..n-1}b（n-1-j）*s（j，k）/j！，对于n>=1和k=0..n-1，输入s（n，n）=1。关于序列b，请参见上面的Boas Buck注释。（结束）

三角形开始：

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。

0 1

0 1号

20-11

0-3号

4 0-6 11-6 1

5 0 24-50 35-10 1

6 0-120 274-225 85-15 1

7 0 720-1764 1624-735 175-21 1

8 0-5040 13068-13132 6769-1960 322-28 1

9 0 40320-109584 118124-67284 22449-4536 546-36 1

... -狼牙2012年8月22日

------------------------------------------------------------------

从狼牙2018年11月14日：（开始）

递推：s（5,2）=s（4，1）-4*s（4，2）=-6-4*11=-50。

a序列和z序列的递归：s（6，3）=2*（1*1*（-50）+3*（-1/2）*35+6*（1/6）*（-10）+10*0*1）=-225。

列k=3的Boas-Buck递归，b={-1/2，5/12，-3/8，…}：

s（6，3）=6！*（-3/8）*1/3！+（5/12）*（-6）/4！+（-35/1页）*=-225。（结束）

A048994号：=过程（n，k）组合[stirling1]（n，k）结束：#R、 J.马萨2009年2月23日

打印（seq（coeff）（展开（k！*二项式（x，k）），x，i），i=0..k），k=0..9）#彼得·卢什尼2009年7月13日

A048994号_行：=proc（n）local k；seq（coeff（expand（pochhammer（x-n+1，n）），x，k），k=0..n）结束：#彼得·卢什尼2010年12月30日

表[StirlingS1[n，m]，{n，0，9}，{m，0，n}](*彼得·卢什尼2010年12月30日*）

（PARI）a（n，k）=如果（k<0 | | k>n，0，如果（n==0，1，（n-1）*a（n-1，k）+a（n-1，k-1）））

（Maxima）创建列表（stirling1（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

（哈斯克尔）

a048994 n k=a048994表格！！n！！k

a048994行n=a048994表！！n

a048994_tabl=map fst$迭代（\（行，i）->

（zipWith（-）（[0]++行）$map（*i）（行++[0]），i+1）（[1]，0）

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日

（PARI）trg（nn）=对于（n=0，nn-1，对于（k=0，n，print1（斯特林（n，k，1），“，”）；print（）；）\\米歇尔·马库斯2015年1月19日

尤其是A008275号这是这个三角形的主要入口。A132393是一个未签名的版本A008276号是另一个版本。

囊性纤维变性。A008277号,A039814号-A039817号,A048993号,A084938号.

A000142号（n） =Sum{k=0..n}s（n，k）|对于n>=0。

行总和给出A019590年（n+1）。

囊性纤维变性。A002209号,A027641号/A027642号.

上下文顺序：A005210型 A264430 A264433号*A132393 A121434号 A296455号

相邻序列：A048991号 A048992号 A048993号*A048995号 A048996号 A048997号

签名,表,美好的

N、 斯隆

偏移量校正者R、 J.马萨2009年2月23日

公式修正者菲利普·德莱厄姆2009年9月10日

经核准的