A048994-OEIS公司

A048994号

第一类斯特林数三角，s（n，k），n>=0，0<=k<=n。

216

1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 2, -3, 1, 0, -6, 11, -6, 1, 0, 24, -50, 35, -10, 1, 0, -120, 274, -225, 85, -15, 1, 0, 720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1, 0, -5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1, 0, 40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1, 0, -362880, 1026576, -1172700, 723680, -269325, 63273, -9450, 870, -45, 1

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,8

无符号数也称为斯特灵循环数：|s（n，k）|=正好有k个循环的n个对象的排列数。

三角形的镜像A054654号. -菲利普·德莱厄姆2006年12月30日

此外，三角形给出了C（x，n）=（a（k）*x^k）/n展开式中x^k的系数T（n，k）！. -莫赫塔尔·穆罕默德2012年12月4日

发件人沃尔夫迪特·朗2018年11月14日：（开始）

这是Jabotinsky类型的Sheffer三角形（1，log（1+x））。请参见下面三角形的示例f。

这是Stirling2 Sheffer三角形的反向Sheffer-三角形A008275号.

谢弗三角的a序列（参见A006232号)

来自例如f.A（x）=x/（exp（x）-1）A（n）=Bernoulli（n）=A027641号（n）/A027642号（n），对于n>=0。z序列消失。

列递归的Boas-Buck序列具有o.g.f.B（x）=Sum_{n>=0}B（n）*x^n=1/（（1+x）*log（1+x））-1/x.B（n）=（-1）^（n+1）*A002208号（n+1）/A002209号（n+1），b={-1/2，5/12，-3/8，251/720，-95/288，19087/60480，…}。关于Riordan和Sheffer三角形的Boas-Buck重现性，请参见2017年8月10日的备注A046521号，改编为谢弗案，也供参考。请参阅下面的循环和示例。 -沃尔夫迪特·朗2018年11月14日

设G（n，m，k）是[n]上具有m条边和k个分量的简单标记图的个数。则T（n，k）=总和（-1）^m*G（n，m，k）。请参阅下面的“阅读”链接。等价地，T（n，k）=和mu（0，p），其中和是包含k个块的[n]的所有集分区p上的和，而mu是与[n]上的集分区格相关联的关联代数中的Moebius函数。 -杰弗里·克雷策2024年5月11日

参考文献

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链接

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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。

保罗·巴里，广义斯特林数、指数Riordan阵列和Toda链方程《整数序列杂志》，17（2014），#14.2.3。

Fatima Zohra Bensaci、Rachid Boumahdi和Laala Khaldi，包含斐波那契数和卢卡斯数的有限和，J.国际顺序。 (2024).见第9页。

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Askar Dzhumadil-daev和Damir Yeliussizov，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。

比尔·戈斯珀，第一类斯特林数三角形的彩色插图，读为模2、3、4、5、6、7.

GergőNemes，第二类Bernoulli数的渐近展开，J.国际顺序。 14 (2011), #11.4.8.

A.轩尼诗和保罗·巴里，广义Stirling数、指数Riordan数组和正交多项式，J.国际顺序。14（2011），#11.8.2（A数字输入错误A048894号).

NIST数学函数数字图书馆，斯特林数

Ken Ono、Larry Rolen和Florian Sprung，模块形式周期的齐塔多项式第6页，arXiv:1602.00752[math.NT]，2016年。

里卡多·波德斯塔，二元Krawtchouk多项式、二项系数和Catalan数的新恒等式，arXiv预印本arXiv:1603.09156[math.CO]，2016。

罗纳德·里德，色多项式简介《组合理论杂志》，4（1968）52-71。

维基百科，斯特林数和指数生成函数.

配方奶粉

s（n，k）=A008275号（n，k）对于n>=1，k=1..n；列k=0是{1，重复（0）}。

s（n，k）=s（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-l，k），n，k>=1；s（n，0）=s（0，k）=0；s（0，0）=1。

无符号数a（n，k）=|s（n，k）|满足a（n、k）=a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-l，k），n，k>=1；a（n，0）=a（0，k）=0；a（0，0）=1。

三角形（有符号）=[0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，…]DELTA[1，0，1，0，0，1,0，…]；三角形（无符号）=[0，1，1，2，2，3，3，4，4，…]DELTA[1，0，1，0，0，1,0，…]；其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号.

和{k=0..n}（-m）^（n-k）*s（n，k）=A000142号（n），A001147号（n），A007559号（n），A007696号（n）、。..对于m=1，2，3，4。.. .-菲利普·德莱厄姆2005年10月29日

A008275号*A007318号作为无穷下三角矩阵。 -杰拉尔德·麦卡维2009年8月20日

T（n，k）=n！*[x^k]（[t^n]exp（x*log（1+t））。 -彼得·卢什尼，2010年12月30日，更新日期：2020年6月7日

发件人沃尔夫迪特·朗2018年11月14日：（开始）

Sheffer a序列的递归性（参见上面的注释）：s（n，k）=（n/k）*和{j=0..n-k}二项式（k-1+j，j）*伯努利（j）*s（n-1，k-1+j），对于n>=1和k>=1，s（n、0）=0，如果n>=1，并且s（0,0）=1。

列k的Boas-Buck型递归：s（n，k）=（n！*k/（n-k））*Sum_{j=k..n-1}b（n-1-j）*s（j，k）/j！，对于n>=1和k=0..n-1，输入s（n，n）=1。关于序列b，请参阅上面的Boas-Buck注释。（结束）

T（n，k）=和{j=k.n}（-1）^（n-j）*A271705型（n，j）*A216294号（j，k）。 -梅利卡·特布尼2023年2月23日

例子

三角形开始：

n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。..

0 1

1 0 1

2 0 -1 1

3 0 2 -3 1

4 0 -6 11 -6 1

5 0 24 -50 35 -10 1

6 0 -120 274 -225 85 -15 1

7 0 720 -1764 1624 -735 175 -21 1

8 0 -5040 13068 -13132 6769 -1960 322 -28 1

9 0 40320 -109584 118124 -67284 22449 -4536 546 -36 1

... -沃尔夫迪特·朗2012年8月22日

------------------------------------------------------------------

发件人沃尔夫迪特·朗2018年11月14日：（开始）

复发：s（5,2）=s（4,1）-4*s（4,2）=-6-4*11=-50。

a序列和z序列的递归：s（6，3）=2*（1*1*（-50）+3*（-1/2）*35+6*（1/6）*（-10）+10*0*1）=-225。

列k=3，其中b={-1/2，5/12，-3/8，…}的Boas-Buck递推：

s（6,3）=6！*((-3/8)*1/3! + (5/12)*(-6)/4! + (-1/2)*35/5!) = -225.（结束）

枫木

A048994号：=进程（n，k）组合[stirling1]（n，k）结束：#R.J.马塔尔2009年2月23日

seq（打印（seq（系数（展开（k！*二项式（x，k）），x，i），i=0..k），k=0..9）； #彼得·卢什尼2009年7月13日

A048994号_行：=进程（n）局部k；seq（系数（展开（pochhammer（x-n+1，n）），x，k），k=0..n）结束：#彼得·卢什尼2010年12月30日

数学

表[StillingS1[n，m]，｛n，0，9｝，｛m，0，n｝](*彼得·卢什尼2010年12月30日*）

黄体脂酮素

（PARI）a（n，k）=如果（k<0|k>n，0，如果（n==0，1，（n-1）*a（n-1，k）+a（n-l，k-1））

（PARI）trg（nn）=对于（n=0，nn-1，对于（k=0，n，print1（stirling（n，k，1），“，”）；）；打印（）； ); \\米歇尔·马库斯2015年1月19日

（最大值）create_list（stirling1（n，k），n，0，12，k，0，n）； /*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

（哈斯克尔）

a048994 n k=a048994_tabl！！不！！k个

a048994_row n=a048994 _ tabl！！n个

a048994_tabl=映射fst$迭代（\（行，i）->

（zipWith（-）（[0]++行）$map（*i）（行++[0]），i+1））（[1]，0）

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日

交叉参考

请特别注意A008275号这是这个三角形的主要入口。A132393号是未签名版本，并且A008276号是另一个版本。

囊性纤维变性。A008277号,A039814号-A039817号,A048993号,A084938号.

A000142号（n） =n>=0的和{k=0..n}|s（n，k）|。

行总和给出A019590型（n+1）。

囊性纤维变性。A002209号,A027641号/A027642号,A216294号,A271705型.

上下文中的序列：A352363型 A264430型 A264433型*12393英镑 A344172型 A121434号

相邻序列：A048991号 A048992号 A048993号*A048995号 A048996号 A048997美元

关键词

签名,表,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

偏移校正人R.J.马塔尔2009年2月23日

公式修正人菲利普·德莱厄姆2009年9月10日

状态

经核准的