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| A000262号 |
| “列表集”的数量：{1，…，n}到任意数量列表中的分区数，其中列表表示有序子集。
（原名M2950 N1190）
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247
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1、1、3、13、73、501、4051、37633、394353、4596553、58941091、824073141、12470162233、2029764021213、3535017524403、65573803186921、1290434218669921、26846616451246353、588633468315403403843、13564373693588558173、327697927886085654441、8281153039768559726341
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n X n矩阵M的行列式=[M（i，j）]，其中M（i、i）=i，M（i）=1，如果i>j，M（i，j）=i-j，如果j>i-弗拉德塔·约沃维奇2003年1月19日
如果p（n）=n的整数分区数，d（i）=n第i个分区不同部分的数目，m（i，j）=n第一个分区第j部分的重数，和{i=1..p（n/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）-托马斯·维德2005年5月18日
考虑所有n！整数序列的置换[n]=1,2,3，。。。，n.第i个置换，i=1,2，。。。，n！，由Z（i）置换循环组成。该循环的长度为lc（i，j），j=1，。。。，Z（i）。对于给定的置换，我们形成其所有循环长度的乘积product_{j=1..Z（i）}lc（i，j）。此外，我们总结了[n]的所有置换的所有此类积，得到了和{i=1..n！}积{j=1..Z（i）}lc（i，j）=A000262号（n） ●●●●。对于n=4，我们有Sum_{i=1..n！}Product_{j=1..Z（i）}lc（i，j）=1*1*1*1+2*1*1+3*1+2*1+3*1+3*1+4+3*1+4+2*2+2*1+3*1+4+3*1+2*1+4+2*1+2*2+1+4=A000262号(4). -托马斯·维德2006年10月6日
对于大小为n的有限集S，S的链群G是仅由链组成的偏序集（S，<=）。S的链式帮派数为a（n）。例如，当S={a，b}和n=2时，有a（2）=3个S链群，即{（a，a），（b，b）}，{（a，a）、（a，b）、（b，b）}和{（甲，甲）、（乙，甲），（乙，乙）}-丹尼斯·沃尔什2007年2月22日
考虑将n个未标记元素“1”分布到n个级别上，其中允许出现空级别。此外，还标记了空标高。它们的名称是0_1、0_2、0_3等。此序列给出了此类分布的总数。如果空电平未标记（“0”），则答案是A001700号让冒号“：”分隔两个级别。例如，对于n=3，我们有一个（3）=13的排列：111:0_1:0_2、0_1:111:0_2、01:0_2:111、111:0_2:0_1、0_2:111:0_1，0_2:0_1:111、11:1:0、11:0:11、0:11:0、1:11:0、1:0:11、0:1:11、1:1:1-托马斯·维德2008年5月25日
指数Riordan数组的行和[1，x/（1-x）]-保罗·巴里2008年7月24日
a（n）是[n]的分区数(A000110号)到非交叉集列表中。例如，a（3）=3将12、1-2、2-1和a（4）=73将[n]的75个分区计数为集合列表(A000670号)除了13-24、24-13不能是非交叉的-大卫·卡伦2008年7月25日
a（i-j）/（i-j）！给出了下三角矩阵exp（S）/exp（1）的非空元素（i，j）的值，其中S是下三角矩阵-任何维数-其所有（非空）元素都等于1-朱利亚诺·卡布雷2008年8月11日，2008年9月7日
a（n）也是（n元集的）幂零部分一元双射数。等价地，它是对称逆半群（幺半群）中幂零元的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年9月14日
如果n是一个正整数，则无限连分式（1+n）/（1+（2+n）／（2+（3+n）/…））收敛到有理数A052852号（n）/A000262号（n） .-David Angell（安吉尔（AT）数学.unsw.edu.au），2008年12月18日
弗拉德塔·约沃维奇2006年9月20日的公式可以重述如下：a（n）是泊松分布的第n个递增阶乘矩，参数（平均值）为1Shai Covo（green355（AT）netvision.net.il），2010年1月25日
a（n）的本影指数母函数是（1-x）^{-B}。换句话说，将（1-x）^{-B}写成系数为B多项式的x的幂级数，然后用Bell数B_k替换B^k。我们得到a（0）+a（1）x+a（2）x^2/2！+-施瑞德2010年6月7日
a（n）是Dyck n路径的数量(A000108号)其峰标记为1,2，。。。，k以某种顺序，其中k是峰值数。例如，a（2）=3统计U（1）DU（2）D、U。使用生成函数很容易证明这一点-大卫·卡伦2011年8月23日
a（n）=多集{1,1,2,2，…，n，n}的置换数，使得对于1<=i<=n，两个i之间的所有项都超过i，如果存在任何这样的项，它们包括n。有（2n-1）！！满足第一个条件的排列，例如：a（3）=13表示全部5=除331221和122133外，其中15个不符合第二个条件-大卫·卡伦，2014年8月27日_
a（n）是[n]到[n]的子集中的非循环内射函数的数目。设[n]的子集D的大小为k。D到[n]之间的非循环内射函数的数目是（n-1）/（n-k-1）！因此a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n，k）*（n-1）/（n-k-1）-丹尼斯·沃尔什2015年11月5日
a（n）是n个顶点上的无圈、内射、标记有向图的数目，每个顶点最多有一个超度数-丹尼斯·沃尔什2015年11月5日
对于n>0，a（n）是n个节点上带标签的根皮肤树森林的数量。瘦树是一棵树，其中每个顶点最多有一个子节点。让k表示树的数量。有二项式（n，k）方法来选择根，二项式（n-1，k-1）方法来选择每个根的后代数量，以及（n-k）！这些后代的排列方式。对k求和，得到a（n）=Sum_{k=1..n}C（n，k）*C（n-1，k-1）*（n-k）-丹尼斯·沃尔什，2015年11月10日
我们推测，对于k=2,3,4，。。。，差a（n+k）-a（n）可被k整除：如果为真，那么对于每个k，取模k的序列a（n）是周期的，周期除以k-彼得·巴拉2017年11月14日
上述推测是正确的——请参阅Bala链接-彼得·巴拉2018年1月20日
a（n）是n个节点上避免模式213、312和123的根标记森林的数量。它还包括避免312、213和132个根标记森林的数量，以及避免132、213、321个根标记的森林的数量-凯西·阿彻，2018年8月30日
对于n>0，a（n）是将n个人分成非空余组，让每组围坐在一张圆桌旁，并从每张桌子中选择一个人的方法数量（如果每个人的左邻居相同，则两个座位安排被视为相同）-恩里克·纳瓦雷特2023年10月1日
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参考文献
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J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第194页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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弗朗西丝卡·艾卡迪（Francesca Aicardi）、迭戈·阿西斯（Diego Arcis）和杰苏斯·朱尤马亚（Jesús Juyumaya），分枝逆与平面幺半群，arXiv:2210.17461[math.RT]，2022年。
David Angell，连分数族《数论杂志》，第130卷，第4期，2010年4月，第904-911页。第2节。
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克林汀·戴维斯·斯托伯（Clintin P.Davis-Stober）、杰恩·鲍尔·多伊农（Jean-Paul Doignon）、塞缪尔·菲奥里尼（Samuel Fiorini）、弗朗索瓦·格利尼（François Glineur）和米歇尔·雷根维特，基于网络流的有序多面体的扩展公式，arXiv:1710.02679[math.OC]，2017年。
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Jean-Christophe Novelli和Jean-Yves Thibon，关于合成多项式，arXiv:15100.03033[math.CO]，2015年10月11日。
Satya R.T.Peddada、Daniel R.Herber、Herschel C.Pangborn、Andrew G.Alleyne和James T.Allison，基于流体热管理的最优流量控制和单分离结构探索，J.机械。设计。（2019）141（8），论文编号MD-1843083401。
沙塔克先生，广义r-Lah数，arXiv预印本arXiv:1412.8721[math.CO]，2014。
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量，arXiv:math/0307064[math.CO]，2003；第21号命令（2004年），83-89。
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配方奶粉
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递归D-有限：a（n）=（2*n-1）*a（n-1）-（n-1。
例如：exp（x/（1-x））。
a（n）=（n-1）*当n>=1时，拉盖尔L（n-1,1，-1）-弗拉德塔·约沃维奇2003年5月10日
表示为正函数在正半轴上的第n个矩，用Maple符号表示：a（n）=积分（x^n*exp（-x-1）*BesselI（1,2*x^（1/2））/x^-卡罗尔·彭森2003年12月4日
a（n）=n！求和{j=0..n-1}二项式（n-1，j）/（j+1）！，对于n>0.-Herbert S.Wilf，2005年6月14日
大n的渐近展开：a（n）->（0.4289*n^（-1/4）+0.3574*n^-（-3/4）-0.2531*n^/（-5/4）+O（n^）（-7/4）））*（n^n）*exp（-n+2*sqrt（n））-卡罗尔·彭森2002年8月28日
这个渐近展开的小部分是错误的！右边是（封闭形式）：a（n）~n^（n-1/4）*exp（-1/2+2*sqrt（n）-n）/sqrt（2）*n+2*sqrt（n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月2日
a（n）=经验（-1）*和{m>=0}[m]^n/m！，其中[m]^n=m*（m+1）**（m+n-1）是上升阶乘-弗拉德塔·约沃维奇2006年9月20日
递归：D（n，k）=D（n-1，k-1）+（n-1+k）*D（n-1，k）n>=k>=0；D（n，0）=0。由此，D（n，1）=n！且D（n，n）=1；a（n）=和{i=0..n}D（n，i）.-斯蒂芬·道尔顿（StephenMDalton（AT）gmail.com），2007年1月5日
证明：注意[n]的列表的两个不同子集：1）n在它自己的列表中，然后是D（n-1，k-1）；2） n与其他数字在一个列表中。用|表示列表的分隔，不难看出n有（n-1+k）个可能的位置，所以（n-1+6）*D（n-1，k）斯蒂芬·道尔顿（StephenMDalton（AT）gmail.com），2007年1月5日
定义f_1（x）、f_2（x）。。。使得f_1（x）＝exp（x），f_{n+1}（x）＝（d/dx）（x^2＊f_n（x）），对于n>=2。则a（n-1）=exp（-1）*f_n（1）-米兰Janjic2008年5月30日
a（n）=（n-1）！*求和{k=1..n}（a（n-k）*k！）/（n-k）*（k-1）！），其中a（0）=1-托马斯·维德2008年9月10日
a（n）=经验（-1）*n*M（n+1,2,1），n>=1，其中M（=1F1）是第一类汇合超几何函数Shai Covo（green355（AT）netvision.net.il），2010年1月20日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基、2011年11月17日、2012年8月2日、12月11日、2013年1月27日、7月31日和12月25日：（开始）
连续分数：
例如：Q（0），其中Q（k）=1+x/（（1-x）*（2k+1）-x*（1-x。
例如：1+x/（g（0）-x），其中g（k）=（1-x）*k+1-x*（1-x；（欧拉第一种，一步）。
例如：exp（x/（1-x））=4/（2-（x/。
例如：1+x*（E（0）-1）/（x+1），其中E（k）=1+1/（k+1）/（1-x）/（1-x/（x+1/E（k+1）））。
例如：E（0）/2，其中E（k）=1+1/（1-x/（x+（k+1）*（1-x）/E（k+1。
例如：E（0）-1，其中E（k）=2+x/（（2*k+1）*（1-x）-x/E（k+1））。
（结束）
a（n）=n*n>=1时的超几何（[1-n]，[2]，-1）-彼得·卢什尼2014年6月5日
a（n）=（-1）^（n-1）*KummerU（1-n，2，-1）-彼得·卢什尼2014年9月17日
a（n）=上层（[-n+1，-n]，[]，1），对于n>=0-彼得·卢什尼2015年4月8日
0=a（n）*（18*a（n+2）-93*a（n+3）+77*a（n+4）-17*a（n+5）+a（n+6））+a（n+1）*（9*a（n+2）-80*a（n+3）+51*a（n+4）-6*a（n+5））+a（n+2）*（3*a（n+2）-34*a（n+3）+15*a（n+4））+a（n+3）*（-10*a（n+3）），如果n>=0-迈克尔·索莫斯2017年2月27日
G.f.G（x）=y满足一个微分方程：（1-x）*y-2*（1-x）*x^2*y'+x^4*y'=1-布拉德利·克莱2018年8月13日
a（n）=n！*拉盖尔L（n，-1，-1）=c_{n}（n-1；-1），其中c_{n}（x；a）是泊松-查理多项式-G.C.格鲁贝尔2021年2月23日
3除以a（3*n-1）；9除以a（9*n-1）；11除以a（11×n-1）-彼得·巴拉2022年3月26日
对于n>0，a（n）=Sum_{k=0..n-1}*k*C（n-1，k）*C（n，k）-弗朗西丝卡·艾卡迪2022年11月3日
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例子
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第一项作为前n个整数的有序列表集的说明：
a（1）=1：（1）
a（2）=3:（12），（21），（1）（2）。
a（3）=13:（123）（6路），（12）（3）（2*3路）（1）（2）（3
a（4）=73:（1234）（24路），（123）（4）（6*4路）。
以下为：
G.f.=1+x+3*x^2+13*x^3+73*x^4+501*x^4+4051*x^5+37633*x^6+394353*x ^7+。。。
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MAPLE公司
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A000262号：=proc（n）选项记住：如果n=0，则返回（1）fi：如果n=1，则返回
对于从0到20的n，执行printf（`%d，`，a（n））od：
规范：=[S，{S=集合（生产（Z，序列（Z）））}，标记]；[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..40）]；
与（组合）：seq（总和（abs（stirling1（n，k））*bell（k），k=0..n），n=0..18）#零入侵拉霍斯，2006年11月26日
B： =[S，{S=集合（序列（Z，1<=卡），卡<=13）}，标记]：seq（组合结构[计数]（B，大小=n），n=0..19）#零入侵拉霍斯2009年3月21日
a:=n->`如果`（n=0，1，n！*超几何（[1-n]，[2]，-1））：seq（简化（a（n）），n=0..19）#彼得·卢什尼2014年6月5日
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数学
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范围[0,19]！系数列表[系列[E^（x/（1-x）），{x，0，19}]，x](*罗伯特·威尔逊v2005年4月4日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[Exp[x/（1-x）]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2005年7月19日*）
a[n_]：=如果[n==0，1，n！和[二项式[n-1，j]/（j+1）！，{j，0，n-1}]]；表[a[n]，{n，0，30}]（*Wilf*）
表[Sum[BellY[n，k，Range[n]！]，{k，0，n}]，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月9日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[Product[QPochhammer[x^k]^（-MoebiusMu[k]/k），{k，n}]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2019年6月2日*）
表[n！*LaguerreL[n，-1，-1]，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔2021年2月23日*）
递归表[{a[n]==（2*n-1）*a[n-1]-（n-1）*（n-2）*a[0]==1，a[1]==1}，a，{n，0，30}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年7月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（exp（x/（1-x）+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯，2005年2月10日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（prod（k=1，n，eta（x^k+x*O（x^n））^（-moebius（k）/k）），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年2月10日*/
（PARI）{a（n）=s=1；对于（k=1，n-1，s=1+k*s/（k+s））；返回（分子）}/*迪米特里斯·瓦利亚纳托斯，2018年8月3日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（prod（k=1，n，（1-x^k+x*O（x^n））^（-eulerphi（k）/k）），n））}/*迈克尔·索莫斯2019年6月2日*/
（PARI）a（n）=（n-1）*pollaguerre（n-1，1，-1）\\米歇尔·马库斯2021年2月23日
（最大值）makelist（sum（abs（stirling1（n，k））*bell（k），k，0，n），n，0，24）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年7月4日*/
（Maxima）生成列表（超几何（[-n+1，-n]，[]，1），n，0，12）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年9月27日*/
（哈斯克尔）
a000262 n=a000262_列表！！n个
a000262_list=1:1:zipWith（-）
（尾部$zipWith（*）a005408_list a000262_list）
（zipWith（*）a002378_list a000262_list）
（鼠尾草）
（间隙）
a： =[1，1]；；对于[3..10^2]中的n，做a[n]：=（2*n-3）*a[n-1]-（n-2）*（n-3）*a[n-2]；od；A000262号：=a#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年10月1日
（岩浆）I:=[1,3]；[1] cat[n le 2 select I[n]else（2*n-1）*Self（n-1）-（n-1//文森佐·利班迪2019年6月14日
（岩浆）[因子（n）*求值（拉盖尔多项式（n，-1），-1）：[0.30]]中的n//G.C.格鲁贝尔2021年2月23日
（Python）
从sympy导入超，超扩展
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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经核准的
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