登录
这个网站是通过捐款来支持的。OEIS基金会.

 

标志


提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A000 829 欧拉数T(n,k)的三角形(n>=1, 1<k<=n)。 三百一十九
1, 1, 1,1, 4, 1,1, 11, 11,1, 1, 26,66, 26, 1,1, 57, 302,302, 57, 1,1, 120, 1191,2416, 1191, 120,1, 1, 247,4293, 15619, 15619,4293, 247, 1,4293, 247, 1,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,5

评论

这里使用的索引是在Riordan和COMTET的经典著作中给出的。对于其他两个版本A173018A123125. -斯隆11月21日2010

欧拉多项式的系数。具有k-1的n个对象的排列数上升。有N+1节点和K叶的增根树数。

T(n,k)=具有k的[n ]排列的数目。T(n,k)=需要k读数的[n]的排列数(参见KnuthRead)。T(n,k)=在其倒置表中具有k个不同条目的[n ]的排列数。-埃米里埃德奇,军09 2004

T(n,k)=用S{{Eyk }和S{{Eai+Eyj}形式的少量反射来写出CyxTebe元素S{{E1} {E1-E2} S{{E2-E3} S{{E3-E4}…S{{E}{N}}-Eyn},其中i=1, 2,…,n和j不尽可能地与I相等。- Pramook Khungurn(PAROOK(AT)麻省理工学院,教育部,JUL 07 2004)

三角形的k>=1和n>=1的次三角形A123125. -菲利普德勒姆10月22日2006

T(n,k)/n!还表示由(n-1)维超平面XY1+XY2+切割的n维超立方体切割的部分的n维体积。xnn= k,xy1+xy2+…Xyn=K-1;或者,等价地,它表示在0和1之间具有均匀分布的n个独立随机变量之和在K-1和K. Stefano Zunino之间的概率,10月25日2006。

[e(,t)/(1-t)] ^ n=n!*滞后[n,-p(,t)/(1-t)]和[-p(,t)/(1-t)] ^ n=n!*滞后[n,e(t,t)/(1-t)]包含一个组合拉盖尔变换对,其中E(n,t)是欧拉多项式,p(n,t)是多项式。A131758. -汤姆·科普兰9月30日2007

汤姆·科普兰,OCT 07 2008:(开始)

g(x,t)=1(/ 1 +(1-EXP(x*t))/t)=1+1×x+(2+t)*x^ 2/2;+(6 + 6×t+t ^ 2)*x^ 3/3!+…给出行多项式A090582A关于置换子群的逆F多项式(见)A019538

g(x,t-1)=1+1×x+(1+t)*x^ 2/2!+(1 + 4×t+t ^ 2)*x^ 3/3!+…给出行多项式A000 829,置换多项式的H-多项式(Postnikov等人)。

G((t+1)*x,-1(/ t+1))=1+(1+t)*x+(1+3×t+2×t^ 2)*x^ 2/2;+…给出行多项式A024246.

(结束)

[n]上的一个超超越函数F是一个映射f:[n] -> [n],使得1个<< f(i)<i i对于所有i,1 <=i <n.t(n,k)等于[n]的次超越函数f的数目,使得f的图像具有基数k[MangaTi和RakOtOnDouja]。例t(3,2)=4:如果我们用字F(1)f(2)…f(n)来识别次超函数f,那么[3 ]上的次超函数是111, 112, 113,121, 122和123,这些函数的四具有基数2的图像集。-彼得巴拉10月21日2008

进一步评论汤姆·科普兰上面,这个三角形的第N行是单纯复对偶到Ayn(n-1)类型的置换子群的H-向量。对应的F向量是A019538. 例如,1+4×x+x^ 2=y^ 2+6*y+6和1+11×x+11×x^ 2 +x^ 3=y^ 3+y*y^+y*y+y,其中x=y+y,给出[1,6],[1,14],36[24],作为A019538. 这个三角形的希尔伯特变换(参见A145905对于定义是A047 959. A060187对于B型欧拉数的三角形(单纯型复数的H向量与B型的置换子群)。A066094A对于限制型欧拉数表的D型H-向量数组A144696-A144699. -彼得巴拉10月26日2008

为了自然的精炼A000 829连接到组成反转和迭代导数,参见A14527. -汤姆·科普兰06月11日2008

多项式E(z,n)=分子(SuMu{{K>=1 }(- 1)^(n+1)*k^ n*z ^(k-1)),对于n>1,直接通向欧拉数的三角形。-约翰内斯·梅杰5月24日2009

来自Walther Janous(瓦尔特.Jauly(AT)TiROL .com),11月01日2009:(开始)

(欧拉)多项式E(n,x)=SuMu{{=0…n-1 } t(n,k+1)*x^ k也是无穷和的闭式表达式的分子:

S(p,x)=Suthi{{j>=0 }(j+1)^ p*x^ j,即

S(p,x)=E(p,x)/(1-x)^(p+1),当x x<1,p为正整数时。

(注意在公式部分列出的部分中t(n,k)的不一致用法。我默默无闻地坚持着第一个。

如果n是奇数素数,则所有(n-2)-和(n-1)行的所有数都在级数k*n+ 1中。-弗拉迪米尔谢维列夫,朱尔01 2011

欧拉三角形是Suthi{{=1…n} k^ j的r次连续求和的公式的一个元素,它是SuMu{{=1…n} t(j,k-1)*二项式(j-k+n+r,j+r)。-加里德莱夫斯11月11日2011

李和Wong表明,T(n,k)计数具有n+1顶点和角度(2×k n-1)*皮的组合不等价星形多边形。一个等价的公式是:定义对称群Syn中置换p的总符号变化S(p)等于SuMu{{ 1…n}符号(p(i)-p(i+1)),在这里我们取p(n+1)=p(1)。T(n,k)给出了q(1)=1和S(q)=2×K-n-1的Syn(n+1)中排列q的个数。例如,T(3,2)=4,因为在SY4中排列(1243)、(1324)、(1342)和(1423)具有总符号变化0。-彼得巴拉12月27日2011

熊、霍尔和Tsao提到Riordan,并提到传统的欧拉数A(n,k)是具有弱弱超越的(1,2,n)的排列数。-苏珊维恩8月25日2014

在Buchstaber和Bunkova、CopLand、Hirzebruch、LeART和ZayulLin、洛赛夫和Manin以及Sheppeard链接中讨论了代数几何/拓扑和特征类的连接;到Grasman年,在Copfield,法伯和Postnikov,Pipe,和Y-链接;以及组成反转和微分算子,在Copand和PARK链接中。-汤姆·科普兰10月20日2015

在公式中指出的双变量E.F.与在Aluffi Marcolli链中讨论的某些图中的乘法边有关。见第42页。-汤姆·科普兰12月18日2016

通过Euler数的移位给出了TeelSelves中左子的分布。TeeSelves是有序的二进制(0-2)增加树,其中每个孩子通过左或右链接连接到它的父节点。A7867A27 867A27 867更多的定义和例子。-谢尔盖·吉尔吉佐夫12月24日2016

行多项式p(n,x)=1=n.t(n,k)*x^ k出现在O.G.F.G(n,x)= SUMY{{m>0 } s(n,m)*x^ m的分子中,s(n,m)=SuMu{{=0…m } j ^ n为n>=1,作为G(n,x)=1,n=1,n} p(n,x)/(1 -x)^(n+2),对于n>=0(0π0=1)。这个也见三角形A131689A用3月31日2017对改写形式的评论。对于f f参见A0242463月13日发表2017评论。- Wolfdieter Lang,3月31日2017。

对于与ErHART多项式的关系,多面体、多对数、托德算子和其他特殊函数、多项式和序列的体积,参见A131758以及其中的参考文献。-汤姆·科普兰6月20日2017

对于积分参数中黎曼zeta函数的值的关系,请参见A131758以及杜邦的参考。-汤姆·科普兰3月19日2018

归一化体积的超单纯形,归因于Laplace。(参见De Loera等人)。参考文献,第327页)汤姆·科普兰6月25日2018

推荐信

Mohammad K. Azarian,几何级数,问题329,数学与计算机教育,第30卷,第1期,第1996期,第101页。解决方案发表在第31卷,第2期,第1997版,196-197页。

Miklos Bona,编辑,枚举组合数学手册,CRC出版社,2015,第106页。

L. Comtet,高级组合数学,雷德尔,1974,第243页。

F. N. David,M. G. Kendall和D. E. Barton,对称函数和联合表,剑桥,1966,第260页。

R. L. Graham,D. E. Knuth和O. Patashnik,具体的数学。Addison Wesley,读,MA,1990,第254页;第二。E.,第268页[沃尔茨基的恒等式(6.37)]

D. E. Knuth,计算机程序设计的艺术。Addison Wesley,阅读,MA,1998,第3卷,第47页(练习5.1.4 nR 20)和第605页(解决方案)。

Anthony Mendes和Jeffrey Remmel,从对称函数生成函数,初步版本的书,可从Jeffrey Remmel的主页http://Maun.UCSD.EDU/~ReMeel/

T. K. Petersen,欧拉数,BikHauler,2015。

J. Riordan,组合分析导论,威利,1958,第215页。

R. Sedgewick和P. Flajolet,算法分析导论,Addison Wesley,Read,MA,1996。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,整数序列百科全书,图M316,学术出版社,1995。

H.S.墙,连续分数的解析理论,切尔西,1973,见第208页。

链接

诺伊,三角形的行1至100,扁平化。

V. E. Adler设置分区和可积层次,ARXIV:1510.02900 [NLI.si],2015。

P. Aluffi和M. Marcolli费曼动机与删除收缩,阿西夫:907.3225(数学PH),2009。

E. Banaian、S. Butler、C. Cox、J. Davis、J. Landgraf和S. Ponce欧拉数通过ROUK布局的一个推广,阿西夫:1508.03673(数学,Co),2015。

费尔南多·巴贝罗G,Jes的萨拉斯,爱德华多J.S.Viasas-Nor,一类线性递归的二元生成函数一、总体结构,阿西夫:1307.2010(数学,Co),2013。

巴贝罗G,J. Salas和E.J S.Viasas-Nor,一类线性递归的二元生成函数二。应用,阿西夫:1307.5624(数学,Co),2013。

Jean Luc Baril,Sergey Kirgizov,Vincent Vajnovszki,树型纹样,ARXIV:1611.07793 [C.DM],2016。

Paul Barry以指数Riordan列为矩的欧拉多项式,ARXIV预告ARXIV:1105.3043 [数学,CO],2011,J. Int. Seq。14(2011).

Paul Barry矩、Hankel变换和指数Riordan阵的组合多项式,阿西夫:1105.3044(数学,Co),2011。

Paul Barry关于Riordan矩序列的一个变换,阿西夫:1802.03443(数学,Co),2018。

Paul Barry序列变换流水线上的三个参数,阿西夫:1803.06408(数学,Co),2018。

Paul Barry广义欧拉三角形与一些特殊生成矩阵,阿西夫:1803.10297(数学,Co),2018。

Paul BarryRiordan Arrays定义的Pascal三角形的Gamma向量,阿西夫:1804.05027(数学,Co),2018。

D. BarskyP-阿迪克等人的分类分析Sem。洛思。梳子。B05B(1981)1-21。

H. Belbachir,M. Rahmani,B. Sury,二项式系数倒数矩的和J. Int. Seq。14(2011)

Hacene Belbachir,Mourad Rahmani和B. Sury,二项式系数倒数的和《整数序列》,第15卷(2012),第122.8页。

F. Bergeron,Ph. Flajolet和B. Salvy,增树品种《计算机科学讲义》第581卷,J.C.C.Rault,SpRIGER 1992,pp.2448。

V. Buchstaber和E. Bunkova椭圆型正规群定律,积分Hirzebruch genera和KrRiver属,阿西夫:1010.0944 [数学PH ],2010,第35页。

Michael Bukata,Ryan Kulwicki,Nicholas Lewandowski,Lara Pudwell,Jacob Roth,Teresa Wheeland,模式避免排列的统计分布,阿西夫:1812.07112(数学,Co),2018。

F. Cachazo,S,E. Y. Yuan,基于有理映射的三维散射,亚希夫:1306.2962 [赫],2013。

F. Cachazo,S. Mizera,G. Zhang,散射方程:实解与直线上的粒子,亚希夫:1609.00008 [赫],2016。

David Callan,石美玛,Toufik Mansour,与Lotka-Volterra系统相关的若干组合阵列《组合数学》电子杂志,第22卷,第2期(2015),第2页第22页。

Naiomi Cameron,J. E. McLeod,广义Dyk路径上的Hills和Read《整数序列》,第19, 2016卷,第16.6页。

L. Carlitz等人,具有增加数的重复排列和序列J. Combin。理论,1(1966),350-74,第351页。

L. Carlitz欧拉数与算子,CaleCtatica Mathematica 24:2(1973),pp.175-200。

Joseba Dalmau,准种分布,ARXIV:1609.05738 [Q-Biop.pe ],2016。

Mircea I. Cirnu广义算术几何级数和的行列式公式第1版(2011),第13页。

Tom Copeland椭圆Lie三元组:Riccati和KdV方程、无穷大和椭圆属

德洛埃拉、J. Rambau和F. Santos三角剖分:算法和应用的结构数学中的算法与计算,第25卷,Springer Verlag,2010。

J. Desarmenien和D. Foata符号欧拉数

J. Desarmenien和D. Foata符号Eulerian数离散数学。99(1992),1-3,49-58。

E. Deutsch和B. E. SaganCalaland和Motzkin数的同余及其相关序列,ARXIV:数学/ 0407326 [数学,C],2004;J.NUM.理论117(2006),191-215。

D. Dominici嵌套导数:计算逆函数级数展开的一种简单方法。ARXIV:数学/0501052V2[数学.C],2005。

B. Drake标记树的逆变换定理及格点区域的某些极限毕业论文,布兰迪斯大学,八月2008

C. Dupont奇Zeta值与奇Zeta值的线性形式,阿西夫:1601.00950 [数学,AG ],2016。

D. Yeliussizov,DuMurdul'DaEV,二项式系数的幂和《整数序列》杂志,16(2013),第131.6条

R. Ehrenborg,雷迪先生,E·斯坦格森立方体的混合体积和混合切片,J·梳子。理论,系列A 81,第1期,1月1998,121-126。

M. Farber和A. Postnikov积极草原中平等未成年人的安排,ARXIV预告ARXIV:1502.01434 [数学,CO],2015。

Joseph A. Farrow4D散射方程的Monte Carlo方法,亚希夫:1806.02732 [赫],2018。

FUNSTAT-组合统计查找器排列的下降数置换的超越数(也例外)置换的弱超越数(也叫弱余数)

D. Foata排列置换群的EueleReNes和MaHuiNeNes分布,M. Aigner,编辑,高等组合数学,Reidel,多德雷赫特,荷兰,1977。

D. Foata,M. Schutzenberger,多伦多大学数学讲义,138,Sprimer-Velac 1970;ARXIV:数学/ 0508232 [数学,CO],2005。

Dominique Foata和郭牛汉Douclion与新Q-切线数夸脱。J. Math。62(2)(2011)417-432

E. T. Frankel数论与有限差分的微积分,美国数学月刊,57(1950),14-25。[注释扫描的副本]

Ghislain R. Franssens关于二项式、DeleHAM、Euler、MaMaMon和斯特灵数三角形的数金字塔《整数序列》,第9卷(2006),第04.4.1条。

S. Garoufalidis和R. Kashaev从状态积分到Q系列,阿西夫:1304.2705 [数学,GT ],2013。

伊拉格塞尔史密斯大学文凭问题.

Alexander Gnedin,Grigori Olshanski,欧拉数三角形的边界,阿西夫:数学/ 0602610 [数学,PR ],2006。

Mats Granvik欧拉数的这些比率是否收敛到x的对数?数学堆栈交换,12月30日2014。

Jim Haglund和Mirko Visontai稳定的多元欧拉多项式与广义斯特灵置换.

Thomas Hameister,Sujit Rao,Connor Simpson,拟阵与原子格的Couf环,研究论文,明尼苏达大学,2017,也阿西夫:1802.04241(数学,Co),2018。

Herwig Hauser,Christoph Koutschan,多元线性递归与幂级数划分离散数学。312(2012)、24, 3553、3560。MR29 7948

F. HirzebruchEulerian多项式数学的M·J·J1(2008),pp.9-12。

P. Hitczenko和S. Janson加权随机楼梯表,阿西夫:1212.5498(数学,Co),2012。

Matthew Hubbard和Tom Roby帕斯卡自上而下的三角形

Hsien Kuei Hwang,Hua Huai Chern,Guan Huei Duh,欧拉递归的渐近分布理论及其应用,阿西夫:1807.01412(数学,Co),2018。

Svante JansonEuler Frobenius数与舍入,阿西夫:1305.3512(数学,PR),2013。

Lucas Kang规则73的研究——4类长距离元胞自动机的实例研究,ARXIV:1310.3311 [NLI.CG],2013。

A. Kerber和K·J·休厄林,Syn的欧拉数、Foulkes特征和LexSwitz性质Lotharingien,第8卷(1984),31-36页。

A. R. Kr……,Lotharingien de Combinatoire,B11B(1984),11页。

D. H. Lehmer广义欧拉数J. Combin。理论A,32(1982),第2, 195 - 215。MR0656621(83K:10026)。

C. Lenart和K. Zainoulline基于形式根多项式的广义上同调舒伯特演算,阿西夫:1408.5952 [数学,AG ],2014。

Nan Li超单形的ErHART H*-向量Discr。COMP吉姆。48(2012)844-88-定理1.1

M.H.Li和N.C.W.星多边形的角和和欧拉数《东南亚数学公报》2004。

A. Losev和Y. Manin尖曲线和扁平连接的铅笔的新模空间,ARXIV:0001003 [数学AG],2000(第8页)

石美玛与上下文无关文法相关的若干组合序列,ARXIV:1283104V2[数学.CO],2012。

石美玛关于γ向量及其切线和割线函数的导数,阿西夫:1304.6654(数学,Co),2013。

石美玛切线和割线的两个变量导数多项式族,呃J。20(1)(2013)P11

石美玛,Jun Ma,Yeong Nan Yeh,关于下降多项式的某些组合展开与文法的变化,阿西夫:1802.02861(数学,Co),2018。

马英九,T. Mansour,M. Schork,正规序问题与斯特灵文法的推广,阿西夫:1308.0169(数学,Co),2013。

石美玛,T. Mansour,D. Callan,与Lotka-Volterra系统相关的若干组合阵列,阿西夫:1404.0731(数学,Co),2014。

石美玛,海娜望,一类对偶斯特灵置换的计数,阿西夫:1506.08716(数学,Co),2015。

P. A. MacMahon数的除数,PROC。伦敦数学。SOC,(2)19(1920),305-340;论文II,pp.267-302。

R. Mantaci和F. Rakotondrajao一个知道“Eulerian”意味着什么的排列表示法,离散数学和理论计算机科学,4 101-108,(2001)另一版本]

O. J. MunchOM潜力挪威语,英文摘要,Nordisk Matematisk Tidskrift,7(1959),5-19。[注释扫描的副本]

O. J. MunchOM潜力挪威语,英文摘要,Nordisk Matematisk Tidskrift,7(1959),5-19。

Nagatomo Nakamura基于欧拉数的伪正态随机数生成,Josai数学专著,第8卷,第85至95页,第2015页。

S. Parker泛函合成与反演的组合论学位论文,布兰迪斯大学(1993)

Vincent Pilaud,V Pons,佩曼特里斯,ARXIV预告ARXIV:1606.09643,2016

鲁伊斯.皮塔.维拉斯科卷积与Sulanke数,JIS 13(2010)10 1.8

P. A. PizaKummer数《数学杂志》(21)(1947/1948),257—260页。

P. A. PizaKummer数《数学杂志》(21)(1947/1948),257—260页。[注释扫描的副本]

A. Postnikov,V. Reiner,L. Williams,广义置换曲面,阿西夫:0609184(数学,Co),2007。

A. Randrianarivony和J. Zeng这是一个非常好的例子。,Adv.Appl。数学17(1996),1-26。

J. Riordan弗兰克尔(1950)述评[注释扫描的副本]

J. Riordan三角置换数,PROC。埃默。数学SOC。2(1951)429~432,R(x,t)。

D. P. Roselle按升数和排列数排列,PROC。埃默。数学SOC,19(1968),8—16。[注释扫描的副本]

G. Rzadkowski连续导数的两个公式及其应用,JIS 12(2009)09.

G. Rzadkowski特殊数与多项式的一种解析方法J. Int. Seq。18(2015);

Grzegorz Rzadkowski,M Urlinska,欧拉数的一个推广,ARXIV预告ARXIV:1612.06635,2016

萨克和H. Ulfarsson,排列的精细逆统计,阿西夫:1106.1995(数学,Co),2011。

M. Sheppeard建构动机与散射2013(第41页)。

D. Singh数L(m,n)及其与伯努利和Eulerian数的关系数学。学生,20(1952),66-70。[注释扫描的副本]

M. Z. Spivey关于一般组合递归的解J. Int. Seq。14(2011)×11 .9。

R. Sprugnoli二项式系数逆的交变加权和J.整数序列,15(2012),γ-12·3.3。

易东隼,李婷翟,一类精化Eulerian多项式的若干性质,阿西夫:1810.07956(数学,Co),2018。

S. Tanimoto基于置换算子的欧拉数的研究,欧洲。J.COMBIN,24(2003),33-43。

Eric Weisstein的数学世界,欧拉数欧拉数三角形

Susanne Wienand〔4〕排列置换的超图

L. K. Williams全阳性格拉斯曼细胞的计数,阿西夫:数学/ 0307271 [数学.CO],2003-2004。

婷耀雄,Jonathan I. Hall和Hung Ping Tsao,广义Eulerian数的组合解释《离散数学杂志》,(2014),文章ID 870596, 6页。

D. Yeliussizov多集上的置换统计量博士论文,计算机科学,哈萨克斯坦英国技术大学,2012。

易帆张,George Grossman,二阶递推数列幂的生成函数的组合证明J. Int. Seq。21(2018),γ18.3.3。

与有根树相关的序列的索引条目

“核心”序列的索引条目

公式

t(n,k)=k*t(n-1,k)+(n+k+ 1)*t(n-1,k-1),t(1, 1)=1。

T(n,k)=Suthi{{j=0…k}(-1)^ j*(kj)^ n*二项式(n+ 1,j)。

行和= n!=A000 0142(n),除非n=0。-米迦勒索摩斯3月17日2011

E.g.f. A(x,q)=SuMu{{n> 0 }(SuMu{{=1…n} t(n,k)*q^ k)*x^ n/n!= q*(e^(q*x)-e^ x)/(q*e^ x -e^(q*x))满足dA/dx=(a+1)*(a+q)。-米迦勒索摩斯3月17日2011

对于列列表,第n项:t(c,n)=c^(n+c-1)+ SuMu{{i=1…C-1 }(-1)^ I/I!*(C-I)^(n+c-1)*乘积{{j=1…i}(n+c+1-j)。- Randall L. Rathbun(RANDALR(AT)ABAC.com),1月23日2002

从J·罗伯逊(JPR27 18(AT)AOL .com),SEP 02 2002:(开始)

欧拉数t(i,n)的四个刻画

1。t(0,n)=1,对于n>=1,t(i,1)=0,对于i>1,t(i,n)=(n-1)t(i-1,n-1)+(i+1)t(i,n-1)。

2。t(i,n)=Suthi{{j=0…i}(-1)^ j*二项式(n+1,j)*(i-j+1)^ n为n>=1,i>=0。

三。设Cyn为具有顶点(E1,E2,…,Eyn)的R^ n中的单位立方体,其中每个EAI为0或1,所有2个^ n组合使用。然后T(i,n)/n!Cyn的体积在超平面XY1+XY2+之间…+xnn= i和x1+xy2+…+xnn=i+1。因此T(i,n)/n!是i < xx1+xy2+的概率…+xyn<i+1,其中xyJ是独立的一致[ 0, 1 ]分布。见ErnBurg和Read Dead。

4。设f(i,n)=t(i,n)/n!F(i,n)是唯一的系数,使得(1/(R-1)^(n+1))SuMu{{i=0…n-1 } f(i,n)r^ {i+1 }=SUMU{{j>0 }(j^ n)/(r^ j)每当n>1和ABS(r)>1时。(结束)

O.G.F.用于第n行:(1-x)^(n+1)*多对数(-n,x)/x.瓦拉德塔约霍维奇,SEP 02 2002

三角形T(n,k),n>0和k>0,按行读取;由[0, 1, 0,2, 0, 3,0, 4, 0,5, 0, 6,…]δ[1, 0, 2,0, 3, 0,4, 0, 5,0, 6,…]给出(正整数与0的散布),其中δ是定义在DeleHAM中的操作符。A084938.

SuMu{{=1…n} t(n,k)* 2 ^ k=A000 0629(n)。-菲利普德勒姆,军05 2004

汤姆·科普兰,10月10日2007:(开始)

Bell(n,x)=Suthi{{=0…n)S2(n,j)*x^ j=SuMu{{j=0…n}e(n,j)*滞后(n,-x,j-n)=SUMU{{j=0…n}(E(n,j)/n!)*(n)!*滞后(n,-x,j-n)= SUMY{{=0…n} e(n,j)*二项式(贝尔(x,)+ j,n),其中Bell(n,x)是Bell/ToucARD/指数多项式;S2(n,j),第二类的斯特灵数;E(n,j),欧拉数;以及滞后(n,x,m),m阶的相关Laguerre多项式。

对于x=0,方程给出了Suth{{=0…n} e(n,j)*二项式(j,n)=1,对于n=0,0为所有其它n。*二项式(y,n),对于方程中的x,得到了WordpZigy恒等式;y^ n=SuMu{{j=0…n}e(n,j)*二项式(y+j,n)。

注意E(n,j)/n!= E(n,j)/(SuMu{{K=0…n}e(n,k))。(n)!*滞后(n,1,J-N)是A086895用一个简单的组合解释来解释座位安排,对x=1的等式给出组合解释;n!*贝儿(n,1)=n!* Suthi{{j=0…n}s2(n,j)=SuMu{{j=0…n}e(n,j)*(n)!*滞后(n,1,J-N)。

澄清(4月19日2014):这里E(0,0)=S2(0,0)=1,而对于K>0,E(0,K)=E(k,0)=S2(0,k)=S2(k,0)=0。(结束)

从置换多项式的H-和F多项式与E.F. S的倒数之间的关系A049019(t-1)((t-1)d/dx)^ n 1(t- EXP(x))在x=0时给出了t(n)中的第n欧拉行多项式和(t-1)中的第n行多项式。A019538A090582A. 从COMTET和CopLand参考文献A139605((t+EXP(x)- 1)d/dx)^(n+x)x给出了在t中泰勒对的Euler多项式的x展开为x ^ 0和x^ 1的系数。汤姆·科普兰,10月05日2008

G.f:1 /(1-x/(1-x*y/1-2x/)(1-2x*y/(1-3x//(1-3x*y/)(1)…(连分数)。-保罗·巴里3月24日2010

如果n是奇素数,则下面连续的2×N+ 1项是1模n:((n-1)*(n-2)/2 +i),i=0,…,2 *n。

彼得巴拉,9月29日2011:(开始)

对于k= 0,1,2,…设G(k,x,t)=x-(1+2 ^ k*t)*x^ 2/2 +(1+2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2)*x^ 3/3 -(1+2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2+τ^ k*t^)**^ ^ +…然后,G(k,x,t)相对于x的级数回归给出了当k=0时的当前表的E.G.F.A000 85 17当k=1时。

e.g.f. B(x,t)=x,g(0,x,t)=(EXP(x)-EXP(x*t))/(EXP(x*t)-t*EXP(x))=x+(1+t)*x^ 2/2的成分逆;+(1 + 4×t+t ^ 2)*x^ 3/3!+…满足自治微分方程dB/dx=(1+b)*(1+t*b)=1+(1+t)*b+t*b^ 2。

应用[BelGron等人,定理1 ]给出了欧拉多项式的组合解释:A(n,t)计数平面在n个顶点上增加树,其中每个顶点具有出度<=2,出度1的顶点以1 +T颜色出现,并且出度2的顶点以T颜色出现。下面给出一个例子。囊性纤维变性。A000 85 17. 应用[多米尼克,定理4.1 ]给出了计算欧拉多项式的方法:设F(x,t)=(1+x)*(1+t*x),并设D为算子f(x,t)*d/dx。然后在x=0时计算(n+1,t)=d^ n(f(x,t))。

(结束)

在Copfield 2008评论中,用E.F.A(x,t)=g[x,(t-1)] - 1,成分逆是Ainv(x,t)=log(t-(t-1)/(1 +x))/(t-1)。-汤姆·科普兰10月11日2011

t(2×n+1,n+ 1)=(2×n+2)*t(2×n,n)。(例如,66=6×11, 2416=8×302,…)加里德莱夫斯11月11日2011

E.g.f.:(1-y)/(1 -y*EXP((1-y)*x))。-杰弗里·克里茨11月10日2012

彼得巴拉,3月12日2013:(开始)

设{a(n,x)} n=1表示从[1, 1+x,1+4×x+x^ 2,…]开始的欧拉多项式序列。给定两个复数A和B,由R(n,x)=(x+b)^ n*a(n+1,(x+a)/(x+b)),n>=0定义的多项式序列满足递推方程r(n+1,x)=d/dx((x+a)*(x+b)*r(n,x))。这些多项式给出了数据库中几个三角形的行生成多项式。A019538(a=0,b=1);A15692(a=1,b=1);A1854(a=(1+i)/ 2,b=(1-i)/ 2);A18523(A=EXP(I*PI/3),B=EXP(-I*PI/3))A185896(a= i,b= -i)。

(结束)

E.g.f.:1±x/(t(0)-x*y),其中t(k)=1 +x*(y-1)/(1 +(k+1)/t(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克07月11日2013

汤姆·科普兰,9月18日2014:(开始)

a)双变量例如f a(x,a,b)=(e^(ax)-e^(bx))/(a*e^(bx)-b*e^(ax))=x+(a+b)*x^ 2/2!+(a^ 2 +4ab+b^ 2)*x^ 3/3!+(a^ 3 +11a^ 2b+11ab^ 2 +b^ 3)x^ 4/4!+…

b)b(x,a,b)=log((1+ax)/(1+bx))/(a b)=x-(a+b)x^ 2/2 +(a^ 2 +ab+b^ 2)x^ 3/3 -(a^ 3 +a^ 2b+ab^ 2 +b^ 3)x^ 4/4+…=log(1+u×x),具有(u)^ n=uyn=Hi1(n-1)(a,b)的完全齐次多项式,是X(a,x,a,b)中x(a,b)的成分倒数(见德雷克,p 56)。

c)a(x)满足dA/dx=(1 +a*a)(1 +b*a),并且可以用维尔斯特拉斯椭圆函数来描述(见BuChester-BunkoVa)。

d)二元欧拉行多项式由迭代导数((1 +ax)(1 +bx)d/dx)^ n x生成,在x=0时被计算(参见)A14527

e)a(x,a,b)=-(e^(-ax)-e^(-bx))/(a*e^(-ax)-b*e^(-bx)),a(x,- 1,- 1)=x/(1+x),和b(x,-1,-1)=x/(1-x)。

f)FGL(x,y)=a(b(x,a,b)+b(y,a,b),a,b)=(x+y+(a+b)xy)/(1-ab**y)称为双曲形式群律,并与LeARTARE和Zeululin的广义上同调理论有关。(结束)

对于x>1,第n欧拉多项式A(n,x)=(x - 1)^ n* log(x)*整合式{u>=0 }(天花板(u))^ n*x^(-u)DU。-彼得巴拉,06月2日2015

SuMu{{j>=0 } j^ n/e^ j,对于n>=0,等于Suv{{=1…n} t(n,k)e^ k/(e-1)^(n+1),在变量“e”中的有理函数,其近似地计算为n!当e=A111113= 2.71828…-李察·R·福尔伯格2月15日2015

对于一个固定的K,T(n,k)~k^ n,通过归纳证明。-潘然10月12日2015

A14527用Gyn=(d/dx)^ n(1+a*x)*(1+b*x)在x=0,即G0=1,Gy1=(a+b),Gy2=2Ab,Gyn=0的情况下,将下三角Pascal矩阵的n次对角(n=0主对角)乘以0,得到具有Vp(n,k)=二项式(n,k)Gy(n-k)的三对角矩阵vp。然后,该项的m个二元行多项式是p(m,a,b)=(1, 0, 0,0,…)[vp*s] ^(m-1)(1,a+b,2ab,0,…)^,其中s是移位矩阵。A129185,在分立的幂基础上表示微分x^ n/n!此外,p(m,a,b)=(1, 0, 0,0,…)[VP*S] ^ m(0, 1, 0,…)^ T.汤姆·科普兰,八月02日2016

例子

三角形T(n,k)开始:

NK 1 2 3 3 4 5 6 7 7 9 10…

1:1

2:1、1

3:1、4、1

4:1、11、11、1

5:1、26、66、26、1

6:1、57、302、302、57、1

7:1、120、1191、2416、1191、120、1

8:1、247、4293、15619、15619、4293、247 1

9:1、502、14608、88234、156190、88234、14608 502 1

10:1、1013、47840、455192、1310354、1310354、455192、47840 1013 1

重新格式化。-狼人郎2月14日2015

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例如f=(y)*x^ 1/1!+(y+y^ 2)*x^ 2/2!+(y+4*y ^ 2+y ^ 3)*x ^ 3/3!+…-米迦勒索摩斯3月17日2011

设n=7。然后,下面的2×7+1=15连续项是1(mod 7):a(15+i),i=0…14。-弗拉迪米尔谢维列夫,朱尔01 2011

第3行:在3个顶点上增加0到1个树的平面(用顶点的右边显示的着色顶点的数目)

.

. 1O(1+T)1O T 1O

. “/ \ \”

. “/ \ \”

. 2O(1+T)2O 3O 3O 2O

. γ

. γ

. 3O

.

树木总数为(1±t)^ 2+t+t=1+4*t+t ^ 2。

枫树

A000 829= Pro(n,k)选项记住;如果k<1或k> n为0;ELIF k=1或k= n则为1;否则k*PROCENT(n-1,k)+(n+k+1)*PROCENT(n-1,k-1);结束IF;结束进程:

Mathematica

T[N],Ky]=和〔(1)^ j*(K-J)^ n*二项式[ n+1,j〕,{j,0,k}];

[表[t[n,k],{n,1, 10 },{k,1,n}] ](*)让弗兰5月31日2011后米迦勒索摩斯*)

[表] [系数]列表[(1-x)^(k+1)*PopLog[[-k,x]/x,x],{k,1, 10 }] ](*)瓦茨拉夫科特索维茨8月27日2015*)

黄体脂酮素

(t){t(n,k)=If(k<1)k>n,0,If(n=1, 1,k*t(n-1,k)+(n+k+1)*t(n-1,k-1))};/*;米迦勒索摩斯7月19日1999*

(PARI){t(n,k)=和(j=0,k,(- 1)^ j *(kj)^ n*二项式(n+1,j))};/*米迦勒索摩斯7月19日1999*

{A000 829(c,n)=c^(n+c-1)+和(i=1,c-1,(-1)^ i/i)!*(C-I)^(n+c-1)*PRD(j=1,i,n+c+1-j))}

(哈斯克尔)

导入数据。列表(通用长度)

A00 829 2 N K= A000 829 2Tabl!!(N-1)!(K-1)

A00 829 2n行n=A00 829 22Tabl!(N-1)

AA8829 2Tabl=迭代F(1)

f xs= ZIPOFF(+)

(ZIPOF(*)((0)++XS)(反向KS))(ZIPOF(*)(XS++[ 0)KS)

其中KS=1。1 +广义长度xs]

——莱因哈德祖姆勒07五月2013

(蟒蛇)

从症状输入二项式

DEF(n,k):返回和([-1)**j*(k-j)**n*二项式(n+ 1,j)j(范围k(1)))

对于n的范围(1, 11):打印([t,n,k)k(在范围(1,n+1)])英德拉尼尔-豪什08月11日2017

(r)

t<函数(n,k){

S<数值()

对于(j在0:k)s <-c(s,(- 1)^ j *(kj)^ n*选择(n+1,j))

返回(和(s))

}

(n在1:10){

对于(k在1:n)打印(t(n,k))

}英德拉尼尔-豪什08月11日2017

(GAP)平坦(列表(1…10),n->列表([ 1…n]),k->和([0…k],j->(-1)^ j *(kj)^ n*二项式(n+1,j*ij);阿尼鲁6月29日2018

(SAGE)[〔(1)^ j*二项(n+1,j)*(k j)^ n,j(0…k)〕中的k为(1…n),n为(1…12)格鲁贝尔2月23日2019

(岩浆)欧拉:= Func<n,k((+(1)^ j*二项式(n+1,j)*(k j+1)^ n:j在[0…k+1 ] ]);[[欧拉(n,k):k在[0…n-1 ] ]中:n在[1…10 ] ];格鲁贝尔4月15日2019

交叉裁判

语境中的顺序:A221987 A255357 A1745*A174036 A157221 A146967

相邻序列:A000 828 A000 8290 A000 829*A000 829 A000 829 A000 829

关键词

诺恩塔布本征核心改变

作者

斯隆3月15日1996

扩展

多亏了米迦勒索摩斯征求意见。

进一步评论克里斯蒂安·鲍尔5月12日2000

地位

经核准的

查找γ欢迎γ维基γ注册γ音乐γ情节2γ演示γ指数γ浏览γ更多γ网络摄像机
贡献新的SEQ。或评论γ格式γ样式表γ变换γ超级导引头γ最近
OEIS社区通过保持OEIS基金会

许可协议、使用条款、隐私政策。.

最后修改9月18日22:45 EDT 2019。包含327183个序列。(在OEIS4上运行)