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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001318型 广义五边形数:m*(3*m-1)/2,m=0,+-1,+-2,+-3。。。。
(原M1336 N0511)
247
1、1、2、2、5、7、12、15、22、26、35、40、51、57、70、77、92、100、117、126、126、145、155155、176、187187210 210、22222222224247、260、287、301、330、3453453453737376、392、392、42542、442、477、495、532、551、590、610、651、590、610、651、651、672、715、737、782、715、737、782、805、852、876、925、950、1001、1027、1080、1107、1162、1190、1247、1276、1313133313331333532、532、876、876、五 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

部分和A026741号. -朱德麦克拉尼;更正人奥马尔·E·波尔2012年7月5日

R、 K.盖伊2005年12月28日:(开始)

“Conway在三角形和五边形数字之间的关系:将三角形数字除以3(如果你能精确地做到):

0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153。。。

0-12.-.5.7.-12 15.-22 26.-35.40.-..51。。。

.....-.-.....+..+.....-..-.....+..+......-...-.......+....

你可以得到成对的五边形数字,一个是正的,另一个是负的。

“根据对具有相同的(+)或相反的(-)奇偶校验来追加符号。

“那么欧拉的五边形数定理很容易记住:

“p(n-0)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-p(n-12)-p(n-15)++--=0^n

其中p(n)是配分函数,左边在参数变为负之前终止;如果n=0,左边终止;如果n=0,左边终止;如果n>0,左边终止于参数变为0。

7(p-7-0)=7(p-0)-7(p-0)=7(p-1)+7(p-0)=1

(结束)

序列可用于计算sigma(n),如Euler文章中所述。-托马斯·巴鲁切尔2003年11月19日

{1,n}的个数为1+2的分区。

A0995年(a(n))=1:补码A090864号;A000009号(a(n))=A051044号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日

a(n)是3x3矩阵的个数(每个对角线对称)M={a,b,c},{b,d,b},{c,b,a},这样a+b+c=b+d+b=n+2,a,b,c,d自然数;例如:a(3)=5,因为(a,b,c,d)=(2,2,1,1),(1,2,2,1),(1,1,3,3),(3,1,1,3),(2,1,2,3),(2,1,3)。-菲利普·德莱厄姆2007年4月11日

同样的数字a(n),使得24*a(n)+1=(6*m-1)^2是奇数平方:1,25,49,121,169,289,361,…,m=0,+-1,+-2。-扎克·塞多夫2008年3月8日

马修·范德马斯特2008年10月28日:(开始)

数字nA000326号(n) 是的成员A000332号. 囊性纤维变性。A145920号.

此序列包含A000332号以及所有非负成员A145919号. 对于n的值,使得n*(3*n-1)/2属于A000332号,参见A145919号. (结束)

偏移量为1行的三角形=和邮编:A168258. -加里·W·亚当森2009年11月21日

从偏移量1开始=三角形A101688号*[1,2,3,…]。-加里·W·亚当森2009年11月27日

从偏移量1开始可以认为是从A026741号. 请参阅中的数组邮编:A175005. -加里·W·亚当森2010年4月3日

边有长度的正方形螺旋线的顶点数A026741号. 形成“X”的螺旋的两个轴是A000326号A005449号. 构成“X”的四个半轴是A049452号,A049453号,A033570型且数>=2A033568号. -奥马尔·E·波尔2011年9月8日

由n*((k-2)*n-k+4)/2,n=0,+-1,+-2,…,k>=5,给出了广义k角数的一个通式。-奥马尔·E·波尔2011年9月15日

a(n)是具有{0,…,n}和2*w=2*x+y中所有项的3元组(w,x,y)的数目-克拉克·金伯利2012年6月4日

广义k-角数是第二个k-角数和k-角数的正项,k>=5。-奥马尔·E·波尔2012年8月4日

a(n)是n+1划分的最大部分的总和,正好是2部分。-韦斯利·伊万受伤了2013年1月26日

康威的关系R、 K.盖伊是三角数和广义五边形数之间的关系,这两个序列来自不同的族,但由于三角形数也是广义六角形数,在这种情况下,我们有一个关系,两个序列来自同一个家族。-奥马尔·E·波尔2013年2月1日

从所有0的序列开始,将n加到a(n)的每个值和下一个n-1项上。其结果是广义五边形数。-韦斯利·伊万受伤了2014年11月3日

(6k+1)| a(4k)。(3k+1)| a(4k+1)。(3k+2)| a(4k+2)。(6k+5)| a(4k+3)。-乔恩·佩里2014年11月4日

恩格、哈特和约翰松证明:“每一个广义五边形数c>=5都是一个较小的数和一个较小的数的两倍之和,也就是说,存在广义五边形数a,b<c,使得c=2a+b。”(见链接定理5)。-彼得·卢什尼2016年8月26日

恩格等人。如果0包含为广义五边形数,则c>=5的结果也适用于c>=2。也就是说,2=2*1+0。-迈克尔·索莫斯2018年6月2日

对标题的建议,其中n实际上与列表和b文件匹配:“广义五边形数:k(n)*(3*k(n)-1)/2,其中k(n)=A001057型(n) =[0,1,-1,2,-2,3,-3,…],n>=0“-丹尼尔放弃了,2018年6月9日和2018年6月12日

广义k-角数是(k-4)与奇数的倍数构成的序列的部分和(A005408号)交错,k>=5。-奥马尔·E·波尔2018年7月25日

最后的数字形成长度为40的对称循环[0,1,2,5,…,5,2,1,0],即a(n)==a(n+40)(mod 10)和a(n)==a(40*k-n-1)(mod 10),40*k>n-亚历杭德罗·J·贝塞拉。2018年8月14日

参考文献

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链接

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埃里克·韦斯坦的数学世界,五边形数,配分函数P.

埃里克·韦斯坦的数学世界,五边形数定理

维基百科,五边形数定理

常系数线性递归的索引项,签名(1,2,-2,-1,1)。

公式

欧拉:乘积{n>=1}(1-x^n)=和{n=-inf..inf}(-1)^n*x^(n*(3*n-1)/2)。

长度-3序列的Euler变换[2,2,-1]。-迈克尔·索莫斯2011年3月24日

a(-1-n)=a(n)Z.a(2*n)中的所有n=A005449号(n) 一。a(2*n-1)=A000326号(n) 一。-迈克尔·索莫斯2011年3月24日

a(n)=3+2*a(n-2)-a(n-4)。-蚂蚁王2011年8月23日

积{k>0}(1-x^k)=和{k>=0}(-1)^k*x^a(k)。-迈克尔·索莫斯2011年3月24日

G、 (^1*x+2)(x+2)。

a(n)=n*(n+1)/6,当n穿过数字==0或2 mod 3时。-巴里·E·威廉姆斯

a(n)=A008805型(n-1)+A008805型(n-2)+A008805型(n-3),n>2。-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月26日

序列由五边形数字组成(A000326号),然后是A000326号(n) +n然后是下一个五边形数。-乔恩·佩里2003年9月11日

a(n)=(6*n^2+6*n+1)/16-(2*n+1)*(-1)^n/16;a(n)=A034828号(n+1)-A034828号(n) 一。-保罗·巴里2005年5月13日

a(n)=和{k=1..floor((n+1)/2)}(n-k+1)。-保罗·巴里2005年9月7日

a(n)=A000217(n)-A000217(楼层(n/2))。-皮埃尔·卡米2007年12月9日

如果n偶数a(n)=a(n-1)+n/2,如果n奇数a(n)=a(n-1)+n,n>=2。-皮埃尔·卡米2007年12月9日

a(n)-a(n-1)=A026741号(n) 如果n是奇数,则连续项之间的差等于n,如果n是偶数,则等于n/2。因此,这是一个自生成序列,可以简单地从第一项的知识中构造出来。-蚂蚁王2011年9月26日

a(n)=1/2*天花板(n/2)*天花板((3*n+1)/2)。-米尔恰梅尔卡2012年7月13日

a(n)=(A008794号(n+1)+A000217(n) )/2个=A037028号(n)-A085787号(n) 一。-奥马尔·E·波尔2013年1月12日

a(n)=楼层((n+1)/2)*((n+1)-(1/2)*楼层((n+1)/2)-1/2)。-韦斯利·伊万受伤了2013年1月26日

奥斯卡威兰德2013年4月10日:(开始)

a(n)=a(n+1)-A026741号(n) 你说,

a(n)=a(n+2)-A001651号(n) 你说,

a(n)=a(n+3)-邮编:A184418(n) 你说,

a(n)=a(n+4)-A007310型(n) 你说,

a(n)=a(n+6)-A001651号(n) *3=a(n+6)-A016051型(n) 你说,

a(n)=a(n+8)-A007310号(n) *2=a(n+8)-A091999(n) 你说,

a(n)=a(n+10)-A001651号(n) *5=a(n+10)-A072703号(n) 你说,

a(n)=a(n+12)-A007310型(n) *3个,

a(n)=a(n+14)-A001651号(n) *7。(结束)

a(n)=(A007310型(n+1)^2-1)/24。-理查德·R·福伯格,2013年5月27日;更正人扎克·塞多夫,2015年3月14日;进一步更正宋佳宁2018年10月24日

a(n)=和{i=上限((n+1)/2)…n}i-韦斯利·伊万受伤了2013年6月8日

G、 f.:x*G(0),其中G(k)=1+x*(3*k+4)/(3*k+2-x*(3*k+2)*(3*k^2+11*k+10)/(x*(3*k^2+11*k+10)+(k+1)*(3*k+4)/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月16日

和{n>=1}1/a(n)=6-2*Pi/sqrt(3)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年10月5日

a(n)=和{i=1..n}分子(i/2)=和{i=1..n}分母(2/i)。-韦斯利·伊万受伤了2017年2月26日

a(n)=A000292号(A001651号(n) )/A001651号(n) ,对于n>0。-伊万伊纳金2018年5月8日

a(n)=((-5+(-1)^n-6n)*(-1+(-1)^n-6n))/96。-何塞·德杰斯·卡马乔·梅迪纳2018年6月12日

a(n)=和{k=1..n}k/gcd(k,2)。-佩德罗·卡塞雷斯2019年4月23日

例子

G、 f.=x+2*x^2+5*x^3+7*x^4+12*x^5+15*x^6+22*x^7+26*x^8+35*x^9+。。。

枫木

A001318型:=—(1+z+z**2)/(z+1)**2/(z-1)**3#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中;给出了没有初始零的序列

A001318型:=过程(n)(6*n^2+6*n+1)/16-(2*n+1)*(-1)^n/16;结束过程:#R、 J.马萨2011年3月27日

数学

{[1,n]选择[1,n]/n!=1&]}]

选择[累计[范围[0,200]]/3,整数Q](*哈维·P·戴尔2014年10月12日*)

系数列表[系列[x(1+x+x^2)/((1+x)^2(1-x)^3),{x,0,70}],x](*文琴佐·利班迪2014年11月4日*)

LinearRecurrence[{1,2,-2,-1,1},{0,1,2,5,7},70](*哈维·P·戴尔2017年6月5日*)

a[n_j]:=与[{m=商[n+1,2]},m(3 m+(-1)^n)/2](*迈克尔·索莫斯2018年6月2日*)

黄体脂酮素

(配对){a(n)=(3*n^2+2*n+(n%2)*(2*n+1))/8}/*迈克尔·索莫斯2011年3月24日*/

(PARI){a(n)=如果(n<0,n=-1-n);polcoeff(x*(1-x^3)/((1-x)*(1-x^2))^2+x*O(x^n),n)}/*迈克尔·索莫斯2011年3月24日*/

(PARI){a(n)=my(m=(n+1)\2);m*(3*m+(-1)^n)/2}/*迈克尔·索莫斯2018年6月2日*/

(圣人)

@缓存函数

定义A001318型(n) 公司名称:

如果n==0:返回0

inc=n//2如果是偶数(n)否则n

收益公司+A001318型(n-1)

[A001318型(n) 对于n in(0..59)]#彼得·卢什尼2012年10月13日

(岩浆)[(6*n^2+6*n+1-(2*n+1)*(-1)^n)/16:n in[0..50]]//韦斯利·伊万受伤了2014年11月3日

(岩浆)[(3*n^2+2*n+(n mod 2)*(2*n+1))第8部分:n in[0..70]]//文琴佐·利班迪2014年11月4日

(哈斯克尔)

a013u=a013u!!n

a001318 U列表=扫描1(+)a026741 U列表--莱因哈德·祖姆凯勒2015年11月15日

(间隙)a:=[0,1,2,5];对于[5..60]中的n,做a[n]:=2*a[n-2]-a[n-4]+3;od;a#阿西鲁2018年8月16日

交叉引用

A0995年是特征函数;另请参见A010815型.

囊性纤维变性。A000326号(五边形数字),A000217(三角形数字),A034828号,A005449号.

非零项指数A010815型,即无限二进制字的1位的(从零开始)索引,其中A068052号会聚。

联合A036498号A036499号.

囊性纤维变性。邮编:A153384,邮编:A168258,A101688号,A174739号,邮编:A175005.

囊性纤维变性。A074378号,A057569号,A057570型,A007310型.

广义k-边数序列:这个序列(k=5),A000217(k=6),A085787号(k=7),A001082型(k=8),A118277号(k=9),A074377号(k=10),A195160型(k=11),A195162(k=12),A195313号(k=13),A195818号(k=14),A277082号k=15(克),A274978号(k=16),A303305型(k=17),A274979号(k=18),A303813飞机(k=19),A218864年(k=20),A303298飞机(k=21),A303299型(k=22),A303303(k=23),A303814飞机(k=24),A303304型(k=25),A316724型(k=26),A316725型(k=27),A303812飞机(k=28),A303815飞机(k=29),A316729型(k=30)。

第1列,共A195152型.

APs中的方块:A221671号,A221672.

囊性纤维变性。A026741号,A054440号,A260664号,A260672号.

上下文顺序:A129232 A088822号 A080182号*A024702型 A226084号 邮编:A294861

相邻序列:A001315 A001316型 A001317型*A001319号 A001320 A001321

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月3日19:32。包含336201个序列。正在运行OE4(运行)