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A131318 广义五边形数:M*(3×M - 1)/ 2,M=0,+- 1,+-2,+-3,…
(前M1336N0511)
二百四十一
0, 1, 2,5, 7, 12,15, 22, 26,35, 40, 51,57, 70, 77,92, 100, 117,126, 145, 155,176, 187, 210,222, 247, 260,287, 301, 330,345, 376, 392,425, 442, 477,425, 442, 477,γ,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

部分和A02671. -詹姆斯麦克兰尼修正奥玛尔·E·波尔,朱尔05 2012

小伙子,12月28日2005:(开始)

考平的关系是三角形和五边形数的关系:把三角形数除以3(当你可以精确地):

0 1 3 3 10 15 15 21 28 36 45 55 66 55α…

0 - 1 - 2 - - 5. 7 - -12 - 15 - -22 26 - - 35. 40 - - 51…

…-…- +…+ +…-…- +…+…-…-…+。

你得到五边形的成对数字,一个是正数,另一个是负数。

根据两对具有相同的(+)或相反的(-)奇偶校验,附加符号。

那么欧拉的五边形数定理很容易记住:

p(n-0)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-p(n-12)-p(n-15)++-=0 ^ n

其中p(n)是配分函数,左边在参数变为负之前终止,0=n=1,如果n=0,如果n>0,则为0。

例如p(0)=1,p(7)=p(7-1)+p(7-2)-p(7-5)-p(7~7)+0 ^ 7=11+7 - 2 - 1+0=15。

(结束)

序列可以用来计算σ(n),如在欧拉文章中所描述的。-托马斯-巴鲁切尔11月19日2003

n + 1的分区中的级别数,其中{1,2}中的部分。

A08099(a(n))=1:补码A090864A000 00 09(a(n))A051044(n)。-莱因哈德祖姆勒4月22日2006

A(n)是3×3矩阵的数目(对称于每个对角线)m={{a,b,c},{b,d,b},{c,b,a}},使得a+b+c= b+d+b= n+2,a,b,c,d自然数;例如:a(3)=5,因为(a,b,c,d)=(2,2,1,1),(1,2,2,1),(1,1,3,3),(3,1,1,3),(2,1,2,3)。-菲利普德勒姆4月11日2007

也数A(n),使得24×A(n)+ 1=(6×n - 1)^ 2是奇数平方:1, 25, 49,121, 169, 289,361,…,n=0,+-1,+-2,…-扎克谢迪夫08三月2008

马修范德马斯特,10月28日2008:(开始)

数字NA000 0326(n)是A000 0332. 囊性纤维变性。A145920.

这个序列包含所有成员A000 0332以及所有非负成员A145919. 对于n的值,使得n*(3×n - 1)/ 2属于A000 0332A145919. (结束)

从偏移1开始=三角形的行和A168258. -加里·W·亚当森11月21日2009

从偏移1=三角形开始A101688*〔1, 2, 3,…〕。-加里·W·亚当森11月27日2009

从偏移1开始,可以认为是从无穷集中产生的第一个。A02671. 参考数组A17500. -加里·W·亚当森,APR 03 2010

边有长度的正方形螺旋的顶点数A02671. 螺旋形成“X”的两个轴是A000 0326A000 544. 形成“X”的四个半轴是A04402A04453A033570数字>2A033568. -奥玛尔·E·波尔,SEP 08 2011

广义k-哥数的通式由n*((k-2)*n+k+ 4)/ 2,n=0,+- 1,+-2,…,k>=5给出。-奥玛尔·E·波尔9月15日2011

A(n)是具有{ 0,…,n}和2×w=2×x+y的所有项的3元组(w,x,y)的数目。克拉克·金伯利,军04 2012

广义K- Galon数是第二K-GAND数,K-GOND数的正项交织,K>=5。-奥玛尔·E·波尔,八月04日2012

A(n)是n+1的最大部分的总和,正好等于2个部分。-卫斯理伊凡受伤1月26日2013

康威的关系小伙子三角数与广义五边形数之间的关系,来自不同族的两个序列,但由于三角数也是广义六边形数,在这种情况下,我们从同一个族中有两个序列之间的关系。-奥玛尔·E·波尔,01月2日2013

从所有0个序列开始。将n加到A(n)的每个值和下一个n到1项。结果是广义五边形数。-卫斯理伊凡受伤03月11日2014

(6K+1)A(4K)。(3K+1)A(4K+1)。(3K+2)A(4K+2)。(6K+5)A(4K+3)。-乔恩佩里04月11日2014

Enge、HART和约翰松证明:“每一个广义五边形数C>=5是一个较小的一个和两个较小的一个的总和,也就是说,广义五边形数A,B<C,使得C=2A+B”(参见链接定理5)。-彼得卢斯尼8月26日2016

恩格斯等人。C>=5的结果也适用于C>=2,如果包含0作为广义五边形数。也就是说,2=2×1+0。-米迦勒索摩斯,军02 2018

标题的建议,其中n实际上匹配列表和B文件:“广义五角数:k(n)*(3×k(n)- 1)/ 2,其中k(n)=A000 1057(n)=〔0, 1,- 1, 2,- 2, 3,- 3,…〕,n>=0”。丹尼尔骗局,09军2018和6月12日2018

广义k- Gang-数是由(k-4)和奇数的倍数所形成的序列的部分和。A000 5408交错,k>=5。-奥玛尔·E·波尔7月25日2018

最后的数字形成长度为40(0, 1, 2,5,…,5, 2, 1,0)的对称循环,即a(n)=a(n+40)(mod 10)和a(n)=a(40×k -n- 1)(mod 10),40*k>n。亚历杭德罗杰克贝塞拉8月14日2018

推荐信

E. Haga,一个奇怪的序列和一个辉煌的发现,第5章探索在你的PC和互联网上的质数,首先修订的ED,2007(和早期的ED),pp.53至70。

R. Honsberger,数学天才,随机屋,1970,第117页。

D. E. Knuth,计算机编程艺术,卷4A,组合算法,(出现),第7.2.1.4节,等式(18)。

I. Niven和H. S. Zuckerman,数论导论。第二版,威利,NY,1966,第231页。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

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Andreas Enge,William Hart和无,θ函数的短加法序列,阿西夫:1608.06810(数学,NT),2016。

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M. WohlgemuthKartenhaus und Summenzerlegung五角大厦

Eric Weisstein的数学世界,五角数分配函数P.

Eric Weisstein的数学世界,五角数定理

维基百科五角数定理

常系数线性递归的索引项签名(1,2,2,-1,1)。

公式

Euler:乘积{{n>=1 }(1 -x^ n)=SuMu{{N=-INF.INF}(-1)^ n*x^(n*(3×n- 1)/2)。

长度为3的序列的Euler变换〔2, 2,- 1〕。-米迦勒索摩斯3月24日2011

A(- 1—n)=A(n)Z. A(2×n)中的所有n=(n)A000 544(n)。A(2×N - 1)=A000 0326(n)。-米迦勒索摩斯3月24日2011

a(n)=3+2*a(n-2)-a(n-4)。-蚁王8月23日2011

乘积{k>0 }(1 -x^ k)=SuMu{{K>=0 }(-1)^ k*x^ a(k)。-米迦勒索摩斯3月24日2011

G.f.:x*(1 +x+x^ 2)/((1 +x)^ 2 *(1 -x)^ 3)。

A(n)=n*(n+1)/ 6,当n通过数=0或2 mod 3时。-巴里·E·威廉姆斯

A(n)=A000 8805(n-1)+A000 8805(N-2)+A000 8805(n-3),n>2。-拉尔夫斯蒂芬4月26日2003

序列由五角数组成。A000 0326A000 0326(n)+n,然后是下五角数。-乔恩佩里9月11日2003

a(n)=(6×n ^ 2+6×n+1)/16 -(2×n+1)*(-1)^ n/16;a(n)=(n)=(n)=1A0348(n+1)-A0348(n)。-保罗·巴里5月13日2005

A(n)=SUMY{{K=1…层((n+1)/2)}(n+k+1)。-保罗·巴里,SEP 07 2005

A(n)=A000 0217(n)A000 0217(楼层(N/2))。-彼埃尔卡米,十二月09日2007

如果n甚至a(n)=a(n-1)+n/ 2,并且如果n奇数a(n)=a(n-1)+n,n>=2。-彼埃尔卡米,十二月09日2007

a(n)-a(n-1)=A02671(n),如果n是偶数,则连续项之间的差值等于n,如果n为奇数,则n等于2。因此,这是一个自生成序列,可以简单地从第一个术语的知识单独构建。-蚁王9月26日2011

A(n)=1/2×上限(n/2)×上限((3×n+1)/2)。-米尔卡梅尔卡7月13日2012

A(n)=A000 897(n+1)+A000 0217(n)/ 2=A000(n)A0857(n)。-奥玛尔·E·波尔1月12日2013

A(n)=楼层((n+1)/2)*((n+1)-(1/2)*楼层((n+1)/2)-1/2)。-卫斯理伊凡受伤1月26日2013

奥斯卡维兰,4月10日2013:(开始)

A(n)=A(n+1)A02671(n)

A(n)=A(n+2)A000 1651(n)

A(n)=A(n+3)A18418(n)

A(n)=A(n+4)A000 7310(n)

A(n)=A(n+6)A000 1651(n)* 3=A(n+6)A016051(n)

A(n)=A(n+8)A000 7310(n)* 2=A(n+8)A091999(n)

A(n)=A(n+10)A000 1651(n)* 5=A(n+10)A072603(n)

A(n)=A(n+12)A000 7310(n)* 3,

A(n)=A(n+14)A000 1651(n)* 7。(结束)

A(n)=A000 7310(n+1)^ 2~1)/24。-李察·R·福尔伯格5月27日2013;更正扎克谢迪夫3月14日2015;进一步更正宋建宁10月24日2018

A(n)=SUMY{{I=天花板((n+1)/ 2)…n} I.卫斯理伊凡受伤,军08 2013

G.f.:x*g(0),其中G(k)=1 +x*(3×k+4)/(3×k+2×x(3×k+2)*(3*k^ 2+11*k+10)/(x*(ωk^α+y*k+a)+(k+y)*(α*k+a)/g(k+x)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克6月16日2013

SUMU{{N>=1 } 1/A(n)=6~2 *PI/SRT(3)。-瓦茨拉夫科特索维茨,10月05日2016

A(n)=SuMu{{i=1…n}分子(i/2)=SuMu{{i=1…n}分母(2/I)。-卫斯理伊凡受伤2月26日2017

A(n)=A000 029A000 1651(n))A000 1651(n),n>0。-伊凡·尼亚基耶夫08五月2018

a(n)=((5±(1)^ n -6n)*(- 1 +(-1)^ n -6n))/96。-Jeséde Jes的Camacho Medina6月12日2018

A(n)=SuMu{{K=1…n} k/gCD(k,2)。-佩德罗卡塞雷斯4月23日2019

例子

G.F.=x+2×x ^ 2+5×x ^ 3+7×x ^ 4+12×x ^ 5+15×x ^ 6+22*x ^ ^ 7+占卜×x ^+××^ ^+…

枫树

A131318=(1 +Z+Z** 2)/(Z+ 1)** 2 /(Z-1)** 3;西蒙·普劳夫在他的1992篇论文中,给出了没有初始零点的序列。

A131318= PROC(n)(6×n ^ 2+6×n+1)/16 -(2×n+1)*(-1)^ n/16;结束过程:马塔尔3月27日2011

Mathematica

表[n*(n+1)/ 6,{n,选择[范围[0, 100 ] ],mod [y,3 ]!= 1和[}]

选择[累加[范围[0, 200 ] ] / 3,整数]哈维·P·戴尔10月12日2014*)

系数列表[x(1 +x+x^ 2)/((1 +x)^ 2(1 -x)^ 3),{x,0, 70 },x](*)(*)文森佐·利布兰迪,11月04日2014日)

线性递归[ { 1, 2,- 2,- 1, 1 },{ 0, 1, 2,5, 7 },70〕(*)哈维·P·戴尔,军05 2017 *)

a [n]:=用[{m=商[n+1] },m(3 m +(-1)^ n)/ 2 ];(*);米迦勒索摩斯,军02 2018 *)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=(3×n ^ 2+2 *n+(n% 2)*(2×n+1))/8 };/*米迦勒索摩斯3月24日2011*

(PARI){A(n)= IF(n<0,n=-1-n);PoCOFEF(x*(1 -x^ 3)/((1×)*(1-x^ 2))^ 2 +x*o(x^ n),n)};/*;米迦勒索摩斯3月24日2011*

(PARI){a(n)=i(m=(n+1)\ 2);m*(3×m+(- 1)^ n)/2 };/*米迦勒索摩斯,军02 2018 *

(圣人)

@ CaseDead函数

DEFA131318(n):

如果n=0:返回0

In=N// 2,如果ISS-偶(n)n

返回公司+A131318(n-1)

[A131318(n)n(0…59)]彼得卢斯尼10月13日2012

(岩浆)[(6×n ^ 2+6×n+1 -(2×n+1)*(-1)^ n)/16:n在[0…50 ] ]中;卫斯理伊凡受伤03月11日2014

(岩浆)[(3×n ^ 2+2×n+(n mod 2)*(2×n+1))div 8:n在[0…70 ]中;文森佐·利布兰迪04月11日2014

(哈斯克尔)

A00 1318 N=A00 13188名单!n!

AA131318SList= SCALL1(+)A02671Y列表莱因哈德祖姆勒11月15日2015

(GAP)A:=〔0, 1, 2,5〕;对于n(5…60)做[n]:=2*a[n-2 ] -a[n4]+3;OD;a;阿尼鲁8月16日2018

交叉裁判

A08099是特征函数;A010815.

囊性纤维变性。A000 0326(五边形数)A000 0217(三角形数)A0348A000 544.

非零项指数A010815,即无限二进制字的1位的(零基)索引,其中A068052收敛。

联盟A036498A036499.

囊性纤维变性。A15338A168258A101688A1747A17500.

囊性纤维变性。A07788A0575A057070A000 7310.

广义K-GOND数序列:这个序列(k=5),A000 0217(k=6)A0857(k=7)A000 102(k=8)A11827(k=9)A07737(k=10)A16160(k=11)A16162(k=12)A195313(k=13)A195818(k=14)A77052(k=15)A7497(k=16)A303305(k=17)A7497(k=18)A3038(k=19)A218864(k=20)A30329(k=21)A30329(k=22)A303303(k=23)A3038(k=24)A303304(k=25)A316724(k=26)A316725(k=27)A3038(k=28)A3038(k=29)A316729(k=30)。

第1栏A15152.

APS中的正方形:A221661A221672.

囊性纤维变性。A02671A054040A260664A260672.

语境中的顺序:A129223 A08822 A8080182*A024702 A226085 A24861

相邻序列:A131315 A131316 A131317*A131319 A000 1320 A131321

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

地位

经核准的

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最后修改了12月16日05:03 EST 2019。包含330014个序列。(在OEIS4上运行)