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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A286718型 按行读取的三角形:T(n,k)是Sheffer三角形((1-3*x)^(-1/3),(-1/3)*log(1-3*x))。广义斯特林三角形。 13
1, 1, 1, 4, 5, 1, 28, 39, 12, 1, 280, 418, 159, 22, 1, 3640, 5714, 2485, 445, 35, 1, 58240, 95064, 45474, 9605, 1005, 51, 1, 1106560, 1864456, 959070, 227969, 28700, 1974, 70, 1, 24344320, 42124592, 22963996, 5974388, 859369, 72128, 3514, 92, 1, 608608000, 1077459120, 616224492, 172323696, 27458613, 2662569, 159978, 5814, 117, 1, 17041024000, 30777463360, 18331744896, 5441287980, 941164860, 102010545, 7141953, 322770, 9090, 145, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,4

评论

这是无符号Stirling1三角形的推广A132393号.

通常,下三角Sheffer矩阵((1-d*x)^(-a/d),(-1/d)*log(1-d**))在这里称为|S1hat[d,a]|。带元素(-1)^(n-k)*|S1hat[d,a]|(n,k)的有符号矩阵S1hat[d,a]是广义Stirling2 Sheffer矩阵S2hat[d]带元素S2[d,a](n,k)/d ^ k的逆矩阵,其中S2[d、a]是Shefffer(exp(a*x),exp(d*x)-1)。

在Bala链接中,符号S1hat[d,a](带有行标度元素S1[d,a](n,k)/d^n,其中S1[d、a]是S2[d、a]的逆矩阵)由s_{(d,0,a)}表示,其中指数Riordan数组的概念用于Sheffer数组。

在Luschny链接中,|S1hat[m,m-1]|的元素被称为Stirling-Robenius循环数SF-C,参数为m。

发件人沃尔夫迪特·朗2017年8月9日:(开始)

Sheffer三角|S1hat[d,a]|的一般行多项式R(d,a;n,x)=和{k=0..n}T(d,b;n,k)*x^k满足Boas-Buck类的特殊多项式(见参考文献),恒等式(我们使用Rainville的符号,定理50,p.141,适用于指数生成函数)

(E_x-n*1)*R(d,a;n,x)=-n*求和{k=0..n-1}d^k*(a*1+d*beta(k)*E_x)*R(d,a;n-1-k,x)/(n-1-k)!,对于n>=0,E_x=x*d/dx(Euler算子)和beta(k)=A002208号(k+1)/A002209号(k+1)。

对于n>k>=0:T(d,a;n,k)=(n!/(n-k))*Sum_{p=k.n.n-1}d^(n-1-p)*(a+d*k*beta(n-1-p))*T(d、a;p,k)/p!,输入T(d,a;k,k)=1。对于当前的[d,a]=[3,1]情况,请参阅下面的公式和示例部分。(结束)

Sheffer三角矩阵S2[3,1]的逆矩阵=A282629型是Sheffer矩阵S1[3,1]=(1/(1+x)^(1/3),log(1+x)/3),有理元素S1[3,1](n,k)=(-1)^-沃尔夫迪特·朗2018年11月15日

参考文献

Ralph P.Boas,jr.和R.Creighton Buck,《分析函数的多项式展开》,Springer,1958年,第17-21页(等式(6.11)中的最后一个符号应该是-)。

Earl D.Rainville,《特殊功能》,麦克米伦公司,纽约,1960年,ch.8,sect。76, 140 - 146.

链接

n,a(n)的表,n=0..65。

P.Bala,广义Stirling数的三参数族

沃尔夫迪特·朗,算术级数的幂和与广义Stirling、Euler和Bernoulli数,arXiv:math/1707.04451[math.NT],2017年7月。

沃尔夫迪特·朗,Sheffer和Riordan数三角形对角序列的生成函数,arXiv:1708.01421[math.NT],2017年8月。

彼得·卢什尼,Stirling-Forbenius数。

配方奶粉

递归:T(n,k)=T(n-1,k-1)+(3*n-2)*T。

行多项式R(n,x)=Sum_{k=0..n}T(n,k)*x^k(例如三角形的f.)是(1-3*z)^{-(x+1)/3}。

k列的示例f.为(1-3*x)^(-1/3)*((-1/3*log(1-3**))^k/k!。

行多项式的递归是R(n,x)=(x+1)*R(n-1,x+3),其中R(0,x)=1。

行多项式R(n,x)=上升阶乘的risefac(3,1;x,n)

risefac(d,a;x,n):=产品{j=0..n-1}(x+(a+j*d))。(对于签名的案例,请参见Bala链接,等式(16))。

T(n,k)=sigma^{(n)}{n-k}(a_0,a_1,…,a{n-1})与不确定a_j=1+3*j的初等对称函数。

T(n,k)=Sum_{j=0..n-k}二项式(n-j,k)*|S1|(n,n-j)*3^j,带无符号Stirling1三角形|S1|=A132393号.

Boas-Buck列重复(见以上注释):T(n,k)=

(n!/(n-k))*和{p=k.n.n-1}3^(n-1-p)*(1+3*k*β(n-1-p))*T(p,k)/p!,对于n>k>=0,输入T(k,k)=1,β(k)=A002208号(k+1)/A002209号(k+1)。请参阅下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年8月9日

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8。。。

O: 1个

1: 1 1

2: 4 5 1

3: 28 39 12 1

4: 280 418 159 22 1

5: 3640 5714 2485 445 35 1

6: 58240 95064 45474 9605 1005 51 1

7: 1106560 1864456 959070 227969 28700 1974 70 1

8: 24344320 42124592 22963996 5974388 859369 72128 3514 92 1

...

发件人沃尔夫迪特·朗2017年8月9日:(开始)

递归:T(3,1)=T(2,0)+(3*3-2)*T(2,1)=4+7*5=39。

k=2和n=5列的Boas-Buck递推:

T(5,2)=(5!/3)*(3^2*(1+6*(3/8))*T(2,2)/2!+3*(1+6*(5/12)*T(3,2)/3!+(1+6*(1/2))*T(4,2)/4!))=(5!/3)*(9*(1 + 9/4)/2 + 3*(1 + 15/6)*12/6 + (1 + 3)*159/24) = 2485.

β序列开始于:{1/2、5/12、3/8、251/720、95/288、19087/60480,…}。

(结束)

数学

T[n_/;n>=1,k_]/;0<=k<=n:=T[n,k]=T[n-1,k-1]+(3*n-2)*T[n-1,k];T[_,-1]=0;T[0,0]=1;温度[n_,k_]/;n<k=0;

表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司,2018年6月20日*)

交叉参考

对于[d,a]=[1,0]、[2,1]、[3,1]、[3]、[3,2]、[4,1]和[4,3],S2[d,a]为A048993号,A154537号,A282629型,A225466型,A285061型A225467型分别是。

S2hat[d,a]对于这些[d,a]值为A048993号,A039755号,A111577号(偏移量0),A225468型,A111578号(偏移量0)和A225469号分别是。

|S对于[d,a]=[1,0],[2,1],[3,2],[4,1]和[4,3],[d,a]|是A132393号,A028338号,A225470型,A290317型A225471型分别是。

k=0,1的列序列:A007559号,A024216号.

对角线序列:A000012号,A000326号(n+1),A024212号(n+1),A024213号(n+1)。

行总和:A008544号.交替行总和:A000007号.

β序列:A002208号(n+1)/A002209号(n+1)。

上下文中的序列:A147724号 A110519号 A286796型*A204579型 A113095型 A157784号

相邻序列:A286715型 A286716型 A286717型*A286719型 A286720型 A286721型

关键词

非n,容易的,

作者

沃尔夫迪特·朗2017年5月18日

状态

经核准的

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