0,4

这是无符号Stirling1三角形的推广A132393号.

通常，下三角Sheffer矩阵（（1-d*x）^（-a/d），（-1/d）*log（1-d**））在这里称为|S1hat[d，a]|。带元素（-1）^（n-k）*|S1hat[d，a]|（n，k）的有符号矩阵S1hat[d，a]是广义Stirling2 Sheffer矩阵S2hat[d]带元素S2[d，a]（n，k）/d ^ k的逆矩阵，其中S2[d、a]是Shefffer（exp（a*x），exp（d*x）-1）。

在Bala链接中，符号S1hat[d，a]（带有行标度元素S1[d，a]（n，k）/d^n，其中S1[d、a]是S2[d、a]的逆矩阵）由s_{（d，0，a）}表示，其中指数Riordan数组的概念用于Sheffer数组。

在Luschny链接中，|S1hat[m，m-1]|的元素被称为Stirling-Robenius循环数SF-C，参数为m。

发件人沃尔夫迪特·朗2017年8月9日：（开始）

Sheffer三角|S1hat[d，a]|的一般行多项式R（d，a；n，x）=和{k=0..n}T（d，b；n，k）*x^k满足Boas-Buck类的特殊多项式（见参考文献），恒等式（我们使用Rainville的符号，定理50，p.141，适用于指数生成函数）

（E_x-n*1）*R（d，a；n，x）=-n*求和{k=0..n-1}d^k*（a*1+d*beta（k）*E_x）*R（d，a；n-1-k，x）/（n-1-k）！，对于n>=0，E_x=x*d/dx（Euler算子）和beta（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1）。

对于n>k>=0:T（d，a；n，k）=（n！/（n-k））*Sum_{p=k.n.n-1}d^（n-1-p）*（a+d*k*beta（n-1-p））*T（d、a；p，k）/p！，输入T（d，a；k，k）=1。对于当前的[d，a]=[3,1]情况，请参阅下面的公式和示例部分。（结束）

Sheffer三角矩阵S2[3,1]的逆矩阵=A282629型是Sheffer矩阵S1[3,1]=（1/（1+x）^（1/3），log（1+x）/3），有理元素S1[3,1]（n，k）=（-1）^-沃尔夫迪特·朗2018年11月15日

Ralph P.Boas，jr.和R.Creighton Buck，《分析函数的多项式展开》，Springer，1958年，第17-21页（等式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。

Earl D.Rainville，《特殊功能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，ch.8，sect。76, 140 - 146.

n，a（n）的表，n=0..65。

P.Bala，广义Stirling数的三参数族

沃尔夫迪特·朗，算术级数的幂和与广义Stirling、Euler和Bernoulli数，arXiv:math/1707.04451[math.NT]，2017年7月。

沃尔夫迪特·朗，Sheffer和Riordan数三角形对角序列的生成函数，arXiv:1708.01421[math.NT]，2017年8月。

彼得·卢什尼，Stirling-Forbenius数。

递归：T（n，k）=T（n-1，k-1）+（3*n-2）*T。

行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k（例如三角形的f.）是（1-3*z）^{-（x+1）/3}。

k列的示例f.为（1-3*x）^（-1/3）*（（-1/3*log（1-3**））^k/k！。

行多项式的递归是R（n，x）=（x+1）*R（n-1，x+3），其中R（0，x）=1。

行多项式R（n，x）=上升阶乘的risefac（3,1；x，n）

risefac（d，a；x，n）：=产品{j=0..n-1}（x+（a+j*d））。（对于签名的案例，请参见Bala链接，等式（16））。

T（n，k）=sigma^{（n）}{n-k}（a_0，a_1，…，a{n-1}）与不确定a_j=1+3*j的初等对称函数。

T（n，k）=Sum_{j=0..n-k}二项式（n-j，k）*|S1|（n，n-j）*3^j，带无符号Stirling1三角形|S1|=A132393号.

Boas-Buck列重复（见以上注释）：T（n，k）=

（n！/（n-k））*和{p=k.n.n-1}3^（n-1-p）*（1+3*k*β（n-1-p））*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1）。请参阅下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年8月9日

三角形T（n，k）开始于：

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8。。。

O： 1个

1: 1 1

2: 4 5 1

3: 28 39 12 1

4: 280 418 159 22 1

5: 3640 5714 2485 445 35 1

6: 58240 95064 45474 9605 1005 51 1

7: 1106560 1864456 959070 227969 28700 1974 70 1

8: 24344320 42124592 22963996 5974388 859369 72128 3514 92 1

...

发件人沃尔夫迪特·朗2017年8月9日：（开始）

递归：T（3,1）=T（2,0）+（3*3-2）*T（2,1）=4+7*5=39。

k=2和n=5列的Boas-Buck递推：

T（5,2）=（5！/3）*（3^2*（1+6*（3/8））*T（2,2）/2！+3*（1+6*（5/12）*T（3,2）/3！+（1+6*（1/2））*T（4,2）/4！））=(5!/3)*(9*(1 + 9/4)/2 + 3*(1 + 15/6)*12/6 + (1 + 3)*159/24) = 2485.

β序列开始于：{1/2、5/12、3/8、251/720、95/288、19087/60480，…}。

（结束）

T[n_/；n>=1，k_]/；0<=k<=n：=T[n，k]=T[n-1，k-1]+（3*n-2）*T[n-1，k]；T[_，-1]=0；T[0,0]=1；温度[n_，k_]/；n<k=0；

表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司，2018年6月20日*）

对于[d，a]=[1,0]、[2,1]、[3,1]、[3]、[3,2]、[4,1]和[4,3]，S2[d，a]为A048993号,A154537号,A282629型,A225466型,A285061型和A225467型分别是。

S2hat[d，a]对于这些[d，a]值为A048993号,A039755号,A111577号（偏移量0），A225468型,A111578号（偏移量0）和A225469号分别是。

|S对于[d，a]=[1,0]，[2,1]，[3,2]，[4,1]和[4,3]，[d，a]|是A132393号,A028338号,A225470型,A290317型和A225471型分别是。

k=0，1的列序列：A007559号,A024216号.

对角线序列：A000012号,A000326号（n+1），A024212号（n+1），A024213号（n+1）。

行总和：A008544号.交替行总和：A000007号.

β序列：A002208号（n+1）/A002209号（n+1）。

上下文中的序列：A147724号 A110519号 A286796型*A204579型 A113095型 A157784号

相邻序列：A286715型 A286716型 A286717型*A286719型 A286720型 A286721型

非n,容易的,表

沃尔夫迪特·朗2017年5月18日

经核准的