%I#164 2024年4月2日11:44:20

%S 1,0,1,0,1,1,0,2,3,1,0,6,11,6,1,02,24,50,35,10,10120274225,85,15,1，

%电话：072017641624735175,21,1,05040130681313267691960322,28,1,0，

%电话：40320109584111812467284224494536546,36,1,03628801026576112700

%N第一类无符号斯特林数三角形（见A048994），按行读取，T（N，k）表示0≤k≤N。

%C另一个名称：第一类无意义斯特林数三角形。

%C三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,1,2,3,3,4,4,5,5，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,0,1，…]给出的行读取，其中DELTA是A084938中定义的运算符。

%C A094645*A007318作为无限下三角矩阵。

%C行总和是阶乘数_罗杰·巴古拉（Roger L.Bagula），2008年4月18日

%C指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x_Ralf Stephan，2014年2月7日

%C也是阶乘数的Bell变换（A000142）。Bell变换的定义见A264428，交叉参考见A265606_Peter Luschny_，2015年12月31日

%C这是相关或Jabotinsky型|S1|=（1，-log（1-x））的下三角谢弗矩阵（有关符号和参考文献，请参见A00632下的W.Lang链接）。这意味着下面给出的示例f.s|S1|是从单项基{x^n}到上升阶乘基{risefac（x，n）}的转移矩阵，n>=0.-_Wolfdieter Lang，2017年2月21日

%对于n>=k>=1，CT（n，k）也是由从集合{1，2，…，n-1}中选择的成对不同长度的n-k个正交向量构建的n-k维单元（多面体）的总体积。参见T（n，k）的基本对称函数公式和下面的示例_Wolfdieter Lang，2017年5月28日

%C From _Wolfdieter Lang，2017年7月20日：（开始）

%C y=y（t；x）=x*（1-t（-log（1-x）/x））=x+t*log（1-x）的组成逆w.r.t.x是x=x（t；y）=ED（y，t）：=Sum_{d>=0}d（d，t）*y^（d+1）！，当前三角形对角序列的o.g.f.s D（D，t）的e.g.f=Sum{m>=0}t（D+m，m）*t^m。参见P.Bala链接以获得证明（其中d=n-1，n>=1是对角线的标签）。

%C这个反演得到D（D，t）=P（D，t）/（1-t）^（2*D+1），分子多项式P（D、t）=Sum_{m=0..D}A288874（D，m）*t^m。参见下面的示例。另见A112007中的P.Bala公式。（完）

%C对于n>0，T（n，k）是从1到n的整数的排列数，当从特定的一端看时，这些整数有k个可见数字，从这个意义上讲，较高的值会在随后的位置隐藏较低的值_Ian Duff，2019年7月12日

%D Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第31、187、441、996页。

%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，第二名。编辑，表259，第259页。

%D Steve Roman，《数学微积分》，多佛出版社，纽约（1984年），第149-150页

%H Reinhard Zumkeller，<a href=“/A132393/b132393.txt”>三角形的n=0..125行，扁平</a>

%H Roland Bacher和P.De La Harpe，<a href=“https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01285685/document（文件）“>一些无限生成群的共轭增长序列</a>，hal-01285685v22016。

%H Eli Bagno和David Garber，<a href=“https://arxiv.org/abs/2401.08365“>B型Stirling数的q，r-类似物的组合数学，arXiv:2401.08365[math.CO]，2024。见第5页。

%H Peter Bala，具有生成函数exp（t*F（x））的三角形对角线。

%H J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，<a href=“http://arxiv.org/abs/107.2010“>一类线性递归的二元生成函数。I.一般结构</a>，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013。

%H Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，<a href=“http://jl.baril.u-bourgonge.fr/Stirling.pdf“>排列的纯下降统计</a>，Preprint，2016。

%H Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，<a href=“https://arxiv.org/abs/2101.01928“>特殊类型下降和例外的Foata变换，arXiv:2101.01928[math.CO]，2021。

%H Ricky X.F.Chen，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Chen/chen11.html“>关于第一类斯特灵数的生成函数的一个注记</A>，整数序列杂志，18（2015），#15.3.8。

%H FindStat-组合统计查找器，<a href=“http://www.findstat.org/StatisticsDatabase/St000007“>置换的显著数</a>，<a href=”http://www.findstat.org/StatisticsDatabase/St000031“>置换的循环分解中的循环数</a>。

%H Bill Gosper，<a href=“/A008275/A008275.png”>第一类斯特林数三角形的彩色插图，阅读mod 2，3，4，5，6，7</a>

%H W.S.Gray和M.Thitsa，<a href=“http://dx.doi.org/10.109/SSST.2013.6524939“>系统互连和组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日，数字对象标识符：10.1109/SSST.2013.6524939。

%H John M.Holte，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2974981“>《Carries，Combinatics and an Amazing Matrix》，《美国数学月刊》，第104卷，第2期（1997年2月），第138-149页。

%H Tanya Khovanova和J.B.Lewis，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Khovanova/khova6.html“>摩天大楼数量，J.Int.Seq.16（2013）#13.7.2。

%H Sergey Kitaev和Philip B.Zhang，<a href=“https://arxiv.org/abs/1811.07679“>短长网格图案的分布</a>，arXiv:1811.07679[math.CO]，2018。

%H Wolfdieter Lang，<a href=“https://arxiv.org/abs/1707.04451“>关于算术级数的幂和，以及广义斯特灵、欧拉和伯努利数</a>，arXiv:11707.04451[math.NT]，2017。

%H Shi-Mei Ma，<a href=“http://arxiv.org/abs/1208.3104“>与上下文无关文法相关的一些组合序列，arXiv:1208.3104v2[math.CO]，2012.-发件人：N.J.A.Sloane，2012年8月21日

%H Emanuele Munarini，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL20/Munarini/muna4.html“>Riordan、Sheffer和连接常数矩阵的移位性质</a>，整数序列杂志，第20卷（2017年），第17.8.2条。

%H Emanuele Munarini，<a href=“https://doi.org/10.2298/AADM180226017M“>涉及Sheffer矩阵中心系数的组合恒等式</a>，《应用分析与离散数学》（2019）第13卷，495-517。

%H X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang，<a href=“http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/56/ajc_v56_p133.pdf“>关于广义阶乘的注释，《澳大利亚组合数学杂志》，第56卷（2013年），第133-137页。

%F T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T（n-1，k），n，k>=1；T（n，0）=T（0，k）；T（0,0）=1。

%F Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*x^（n-k）=A00012（n）、A000142（n）、A001147（n）、A007559（n）、A007696（n）、A008548（n）、A008542（n）、A045754（n）、A045755（n），x分别为0、1、2、3、4、5、6、7、8_菲利普·德雷厄姆，2007年11月13日

%F展开1/（1-t）^x=Sum_{n>=0}p（x，n）*t^n/n！；然后p（x，n）的系数产生三角形_Roger L.Bagula_，2008年4月18日

%F和{k=0..n}T（n，k）*2^k*x^（n-k）=A000142（n+1），A000165（n），A008544（n）_Philippe Deléham，2008年9月18日

%F a（n）=和{k=0..n}T（n，k）*3^k*x^（n-k）=A001710（n+2），A001147（n+1），A032031_Philippe Deléham，2008年9月20日

%F和{k=0..n}T（n，k）*4^k*x^（n-k）=A001715（n+3），A002866（n+1），A007559（n+1_Philippe Deléham，2008年9月21日

%F和{k=0..n}x^k*T（n，k）=x*（1+x）*（2+x）*（n-1+x），n>=1.-_Philippe Deléham，2008年10月17日

%F From_Wolfdieter Lang，2017年2月21日：（开始）

%例如，第k列：（-log（1-x））^k，k>=0。

%F例如，F.三角形（见2008年4月18日Baluga评论）：exp（-x*log（1-z））。

%例如，a-序列：x/（1-exp（-x））。见A164555/A027642。z序列的例如f.为0。（完）

%F From_Wolfdieter Lang_，2017年5月28日：（开始）

%对于n>=0，行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k为R（n，x）=risefac（x，n-1）：=Product_{j=0..n-1}x+j，其中n=0的空乘积为1。见上文2017年2月21日的评论。这意味着：

%F T（n，k）=sigma^{（n-1）}_（n-k），对于n>=k>=1，在n-1符号1，2，…，n-1中使用阶数为m的基本对称函数sigma_{（n-1））_m，使用二项式（n-1，m）项。见下面的示例。（结束）

%列序列k的F Boas-Buck型递归：T（n，k）=（n！*k/（n-k））*Sum_{p=k.n.n-1}β（n-1-p）*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208（k+1）/A002209（k+1。参见A286718中的注释和参考_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%F T（n，k）=和{j=k.n}j^（j-k）*二项式（j-1，k-1）*A354795（n，j），对于n>0.-_梅利卡·特布尼，2023年3月2日

%第n行多项式：n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（-x，k）*二项法（-x、2*n-k）=n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（1-x，k）*二项式（-x，2*n-k）.-_Peter Bala，2024年3月31日

%e三角形T（n，k）开始：

%e 1；

%e 0，1；

%e 0，1，1；

%e 0、2、3、1；

%e 0、6、11、6、1；

%e 0、24、50、35、10、1；

%e 0、120、274、225、85、15、1；

%e 0、720、1764、1624、735、175、21、1；

%e 0、5040、13068、13132、6769、1960、322、28、1；

%e（电子）---------------------------------------------------

%e生产矩阵为

%e 0，1

%e 0、1、1

%e 0、1、2、1

%e 0、1、3、3、1

%e 0、1、4、6、4、1

%e 0、1、5、10、10、5、1

%e 0、1、6、15、20、15、6、1

%e 0、1、7、21、35、35、21、7、1

%e。。。

%e摘自Wolfdieter Lang，2017年5月9日：（开始）

%e三期复发：50=T（5,2）=1*6+（5-1）*11=50。

%e Sheffer a序列的递归[1，1/2，1/6，0，…]：50=T（5，2）=（5/2）*（二项式（1，1）*1*6+二项式。消失的z序列从T（0，0）=1生成k=0列。（完）

%e初等对称函数T（4，2）=sigma^{（3）}_2=1*2+1*3+2*3=11。这里的单元格（多面体）是3个矩形，总面积为11_Wolfdieter Lang，2017年5月28日

%对角线的e O.g.f.s：d=2（第三对角线）[0,6,50，…]有d（2，t）=P（2，t）/（1-t）^5，其中P（2、t）=2+t，n=2行A288874_Wolfdieter Lang，2017年7月20日

%e列k=2和n=5的Boas-Buck递推：T（5，2）=（5！*2/3）*（（3/8）*T（2,2）/2！+（5/12）*T（3,2）/3！+（1/2）*T（4,2）/4！）=(5!*2/3)*((3/16 + (5/12)*3/3! + (1/2)*11/4!) = 贝塔序列开始：{1/2，5/12，3/8，…}_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%p a132393_row：=进程（n）局部k；seq（系数（展开（pochhammer（x，n）），x，k），k=0..n）结束：#_Peter Luschny_，2010年11月28日

%tp[t]=1/（1-t）^x；表[ExpandAll[（n！）SeriesCoefficient[Series[p[t]，{t，0，30}]，n]]，{n，0，10}]；a=表[（n！）*系数列表[系列系数[系列[p[t]，{t，0，30}]，n]，x]，{n，0，10}]；压扁[a]（*_Roger L.Bagula，2008年4月18日*）

%t压扁[表[Abs[StillingS1[n，i]]，{n，0,10}，{i，0，n}]]（*_Harvey P.Dale_，2014年2月4日*）

%o（Maxima）create_list（abs（stirling1（n，k）），n，0,12，k，0，n）；/*_伊曼纽尔·穆纳里尼（Emanuele Munarini），2011年3月11日*/

%o（哈斯克尔）

%o a132393 n k=a132393_tabl！！不！！k个

%o a132393_当前n=a132393_可用！！n个

%o a132393_tabl=地图（地图abs）a048994_tabl

%o--_Reinhard Zumkeller，2013年11月6日

%Y本质上是A048994的副本。参见A008275、A008277、A112007、A130534、A288874、A354795。

%K non，tabl，简单

%0、8

%2007年11月10日、2008年10月15日和10月17日，菲律宾