帕斯卡三角形

帕斯卡三角形是数字三角形带有数字交错排列，以便

哪里是一个二项式系数.三角形是由B.Pascal研究，其遗作于1665年出现（Pascal 1665）。然而，我的许多其他数学家，包括意大利代数学家尼科洛·塔塔格里亚，出版了1556年的三角形。数百年前，中国数学家也曾对其进行过描述杨辉和波斯天文学家、诗人奥马尔·哈亚姆。因此，它是中国称为杨辉三角，波斯称为卡亚姆三角，塔塔利亚称为意大利的三角形。

从开始,这个三角形是

（组织环境信息系统A007318号).帕斯卡公式显示了通过将两个条目相加获得每个后续行斜上方，

上图显示了扁平Pascal三角形的前255项（上图）和511项（下图）的二进制表示。

每行中1后面的第一个数字除以该行中的所有其他数字若（iff）它是一个首要的.

总额第一个中奇数项的数量帕斯卡三角形的行，1。。。为0、1、3、5、9、11、15、19、27、29、33、37、45，49, ... （组织环境信息系统A006046号). 那么这是真的

（Harborth 1976，Le Lionnais 1983），男女平等2的幂和由常数给出

（组织环境信息系统A020857号). 奇数项的累积计数序列具有一些惊人的特性，并且可能的最小值（组织环境信息系统A077464号)被称为斯托拉斯基-哈伯斯常数.

帕斯卡三角形包含形数沿着对角线，从同一性中可以看出

此外第行是

那么第一个的总和行（即从0到)是梅森数

“浅对角线帕斯卡的“三角形和到斐波那契数即。，

一般来说，

数字2、3、4……的次数。。。发生在帕斯卡三角形中的是由1，2，2，2,3，2，2,2,4。。。（组织环境信息系统A003016号;奥美1972年，第96页；Comtet 1974，第93页；歌手1971）。类似地其中数字2、3、4、…的行数。。。发生的次数为1、1、1和2、1和1，1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, ... （组织环境信息系统A059233号).

在第210行，数字

出现六次，超过任何其他数字（不包括1次）。第1540行，

现在发生了六次，在第3003排，

现在已经出现了8次，而在第7140行，7140也出现了6次。事实上，帕斯卡三角形中出现五次或五次以上的数字是1120，210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, ... （组织环境信息系统A003015号),没有其他人达到.

众所周知，在帕斯卡三角形中有无穷多个数字至少出现6次，即：

由提供

哪里是第个斐波那契数（Singmaster 1975）。第一个很少有这样的值对于,2, ... 是13003、61218182743304701891431482520。。。（组织环境信息系统A090162号).

帕斯卡三角形和Delannoy数通过Cholesky分解（G.Helms，pers.comm.，2005年8月29日）。更重要的是，尽管这两个在数学上无关，帕斯卡三角形之间也有一个主题联系以及所谓的流氓三角; 这种关系还提供了与切蛋糕问题，因此蛋糕编号.

帕斯卡三角形（mod 2）与Sierpiński筛（Wolfram 1984；Crandall and Pomerance 2001；Borwein and Bailey 2003，第46-47页）。盖伊（1990）给出了帕斯卡三角形的其他一些意想不到的性质。