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帕斯卡三角


帕斯卡三角形是数字三角形带有数字交错排列,以便

 a_(nr)=(n!)/(r!(n-r)!)=(n;r),
(1)

哪里(n;r)是一个二项式系数.三角形是由B.Pascal研究,其遗作于1665年出现(Pascal 1665)。然而,我的许多其他数学家,包括意大利代数学家尼科洛·塔塔格里亚,出版了1556年的三角形。数百年前,中国数学家也曾对其进行过描述杨辉和波斯天文学家奥马尔·卡亚姆。因此,它是中国称为杨辉三角,波斯称为卡亚姆三角,塔塔利亚称为意大利的三角形。

从开始n=0,这个三角形

 11  11  2  11  3  3  11  4  6  4  11  5  10  10  5  11  6  15  20  15  6  1
(2)

(组织环境信息系统A007318号).帕斯卡公式显示了通过添加两个条目来获得后续的每一行斜上方,

 (n;r)=(n!)/(n-r)!r!)=(n-1;r)+(n-1,r-1)。
(3)
Pascal三角形的二元图

上图显示了扁平Pascal三角形的前255项(上图)和511项(下图)的二进制表示。

每行中1后面的第一个数字除以该行中的所有其他数字若(iff)它是一个首要的.

总额P_n(_n)第一个中奇数项的数量n个帕斯卡三角形的行n=0, 1, ... 是0、1、3、5、9、11、15、19、27、29、33、37、45、,49, ... (组织环境信息系统A006046号). 那么这是真的

 0.812…<P_nn^(-θ)<=1
(4)

(Harborth 1976,Le Lionnais 1983),男女平等n个2的幂和n个由常数给出

 θ=(ln3)/(ln2)=log_23=1.58496250072115。。。
(5)

(组织环境信息系统A020857号). 奇数项的累积计数序列具有一些惊人的特性,并且可能的最小值β=0.812。。。(组织环境信息系统A077464号)被称为斯托拉斯基-哈伯斯常数.

帕斯卡三角形包含形数沿着对角线,从同一性中可以看出

总和(i=1)^(n)(i;j)=(n+1)/(j+1)(n;j)
(6)
=(n+1;j+1)。
(7)

此外我第行是

 sum_(j=0)^i(i;j)=2^i,
(8)

那么第一个的总和k个行(即从0到k-1型)是梅森数

 sum_(i=0)^(k-1)2^i=2^k-1。
(9)
斐波那契浅对角

浅对角线帕斯卡的“三角形和到斐波那契数即。,

1=1
(10)
1=1
(11)
2=1+1
(12)
三=2+1
(13)
5=1+3+1
(14)
8=3+4+1
(15)

一般来说,

 sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n-k;k)=F_(n+1)。
(16)

数字2、3、4……的次数。。。发生在帕斯卡三角形中的是由1,2,2,2,3,2,2,2,4。。。(组织环境信息系统A003016号;奥美1972年,第96页;Comtet 1974,第93页;歌手1971)。类似地行数,其中数字2、3、4。。。发生的次数为1、1、1和2、1和1,1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, ... (组织环境信息系统A059233号).

在第210行,数字

120=(10; 3)=(10; 7)=(16; 2)=(16; 14)=(120; 1)=(120; 119)
(17)
210=(10; 4)=(10; 6)=(21; 2)=(21; 19)=(210; 1)=(210; 209)
(18)
3003=(14; 6)=(14; 8)=(15; 5)=(15; 10)=(78; 2)=(78; 76)
(19)

出现六次,超过任何其他数字(不包括1次)。第1540行,

 1540=(22; 3)=(22; 19)=(56; 2)=(56; 54)=(1540; 1) =(1540; 1539)
(20)

现在发生了六次,在第3003排,

 3003=(14;6)=(14;8)=(15;5)=(15;10)=(78;2)=(78; 76)=(3003; 1)=(3003; 3002)
(21)

现在已经出现了8次,而在第7140行,7140也出现了6次。事实上,帕斯卡三角形中出现五次或五次以上的数字是1120,210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, ... (OEIS)A003015号),没有其他人达到33×10^(16).

众所周知,在帕斯卡三角形中有无穷多个数字至少出现6次,即:

 r=(n;m-1)=(n-1;m)
(22)

由提供

米=F_(2k-1)F_(2 k)
(23)
n个=F_(2k)F_(2 k+1),
(24)

哪里F_i(_ i)我第个斐波那契数(Singmaster 1975)。第一个很少有这样的值第页对于k=1,2, ... 是13003、61218182743304701891431482520。。。(组织环境信息系统A090162号).

Pascal三角形和Delannoy数通过Cholesky分解(G.Helms,pers.comm.,2005年8月29日)。更重要的是,尽管这两个数学上无关,帕斯卡三角形之间也有一个主题联系以及所谓的流氓三角这种关系还提供了与切蛋糕问题,因此蛋糕编号.

帕斯卡三角形(mod 2)与希尔皮滑雪筛(Wolfram 1984;Crandall and Pomerance 2001;Borwein and Bailey 2003,第46-47页)。盖伊(1990)给出了帕斯卡三角形的其他一些意想不到的性质。


另请参见

贝尔三角,伯努利三角形,二项式系数,二项式定理,布里安肯定理,蛋糕切割,加泰罗尼亚三角,圣诞节斯托金定理,克拉克三角,圆柱切割,欧拉数三角形,斐波那契数,形象化数字三角形,莱布尼茨调和三角形,Losanitsch三角,编号三角形,帕斯卡公式,帕斯卡矩阵,多边形,Rascal公司三角形,塞德尔-安特林格-阿诺德三角形,Sierpinski筛,空间按平面划分,平方除法线,大卫之星定理,斯托拉斯基-哈伯斯常量,三项三角形 在数学世界课堂上探索这个主题

本条目的部分内容由克里斯托弗斯托弗

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Borwein,J.和Bailey,D.《帕斯卡三角》第2.1节数学实验:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,第45-48页,2003年。康泰特,L。高级组合数学:有限和无限扩展的艺术,英文版。预计起飞时间。多德雷赫特,荷兰:Reidel,第93页,1974年。康威,J.H。和盖伊·R·K。《帕斯卡三角》这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第68-70页,1996年。库兰特,R.和Robbins,H。什么数学吗思想和方法的基本方法,第2版。牛津,英国:牛津大学出版社,第17页,1996年。Crandall,R.和Pomerance,C.研究问题8.22 inPrime(主要)数字:计算视角。纽约:Springer-Verlag,2001年。判定元件B.M.韦格。M。“等二项式系数:一些基本考虑。”鹿特丹伊拉斯谟大学计量经济研究所报告,第118号。http://ecopapers.hhs.se/paper/dgreureir/1997118.htm.加德纳,M.“帕斯卡三角”Ch.15英寸数学嘉年华:《科学美国人》杂志新推出的黑色素和迷题。纽约:复古书籍,第194-207页,1977年。盖伊,R.K。第二强小数定律。"数学。磁。 63, 3-20, 1990.家伙,R.K.公司。和Klee,V.,《1969-1971年月度研究问题》阿默尔。数学。每月 78, 1113-1122, 1971.Harborth,H.“数字奇数二项式系数。"不是。阿默尔。数学。Soc公司。 23, 4, 1976.Lionnais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,第31页,1983年。奥美,C.S.公司。明天的数学:业余爱好者未解决的问题,第二版。纽约:牛津大学出版社,1972年。Pappas,T.“帕斯卡三角,斐波那契数列&二项式公式、“中国三角形”和“概率和帕斯卡三角形。"这个数学的乐趣。加利福尼亚州圣卡洛斯:Wide World Publ/利乐,第40-41页88和184-1861989年。帕斯卡,B。三角形算术特征,阿尔瓦克·奎尔克斯·奥特雷斯在加利卡的马蒂亚雷河畔小特拉特斯(avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière)。巴黎:G.Desprez,1665年。皮科弗,C.A。“美丽、对称和帕斯卡三角。“Ch.54英寸奇迹数字:数学、思维和意义的冒险。英国牛津:牛津大学出版社,第130-1332001页。歌手D.“How”整数通常作为二项式系数出现吗?"阿默尔。数学。每月 78,385-386, 1971.Singmaster,D.“重复二项式系数和斐波那契数列。"小谎。夸脱。 131975年,第295-298页。斯隆,新泽西州。答:。序列A003015号/M5374,A003016号/M0227,A059233号,A006046号/M2445,A007318号/M0082,A020857号,A077464号,A090162号在线百科全书整数序列的。"D.E.史密斯。一个数学参考书。纽约:多佛,第86页,1984年。斯坦豪斯,H。数学快照,第三版。纽约:多佛,第284-2851999页。威尔斯,D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦:企鹅,第174-175页,1991年。Wolfram,S.“细胞的计算理论自动化。"公共数学。物理学。 96, 15-57, 1984.沃尔夫拉姆,美国。一个新型科学。伊利诺伊州香槟市:Wolfram Media,pp870931-932,2002

参考Wolfram | Alpha

帕斯卡三角

引用如下:

克里斯托弗·斯托弗埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。《帕斯卡三角》摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html

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