A005408-OEIS公司

抵消

0,2

莱布尼茨级数：Pi/4=Sum_{n>=0}（-1）^n/（2n+1）（参见。A072172号).

Sharkovski定理中使用的自然数排序的开始——参见Cielsielski-Pogoda论文。

Sharkovski排序从奇数>=3开始，然后是这些数字的两倍，然后是它们的4倍，再是它们的8倍，以此类推，最后是2的幂，以降序结束，最后是2^0=1。

除了初始项外，Gamma_0（6）的权空间2n尖点的维数也是形式的。

还有coth（1）的连分数(A073747号是十进制扩展）-里克·L·谢泼德2002年8月7日

a（1）=1；a（n）是最小的数，使得a（n-阿玛纳斯·穆尔西2003年7月14日

大于n的最小数，不是n的倍数，但包含在二进制表示中-莱因哈德·祖姆凯勒2003年10月6日

数字n，使得phi（2n）=phi（n），其中phi是Euler的totilent(A000010号). -Lekraj Beedassy公司2004年8月27日

Pi*sqrt（2）/4=Sum_{n>=0}（-1）^floor（n/2）/（2n+1）=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11。。。[由于周期f（x）=x over-Pi<x<Pi=2（sin（x）/1-sin（2x）/2+sin（3x）/3-…），使用x=Pi/4（Maor）]-杰拉尔德·麦卡维2005年2月4日

对于n>1，数字的反除数是2-亚历山大·瓦恩伯格2005年10月2日

a（n）=所有完整三角形的最短边a，边a<=b<=c，内半径n>=1。

平方的第一差(A000290型). -Lekraj Beedassy公司，2006年7月15日

奇数是假设算法“合并排序”可以在恒定单位时间内合并时产生的最简单递归的解，即T（1）：=1，T（n）：=T（地板（n/2））+T（天花板（n/2Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月14日

2n-5统计S_n中模式312零次出现和模式123一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日

对于n>0：任意无平方半素数（n-1）次幂的除数：a（n）=A000005号(A001248号（k） ^（n-1））；a（n）=A000005号(A000302号（n-1）=A000005号(A001019号（n-1））=A000005号(A009969号（n-1）=A000005号(A087752号（n-1））-莱因哈德·祖姆凯勒2007年3月4日

对于n>2，a（n-1）是最小整数，而不是<n个n次方数字的和（允许为0）-乔纳森·桑多2007年7月1日

A134451号（a（n））=abs(A134452号（a（n））=1；的联合A134453号和A134454号. -莱因哈德·祖姆凯勒2007年10月27日

编号n，使σ（2n）=3*σ（n）-Farideh Firoozbakht公司2008年2月26日

a（n）=A139391号(A016825号（n））=A006370号(A016825号（n））-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月17日

n>0时4^（n-1）的除数-J.洛厄尔2008年8月30日

等于的INVERT变换A078050型（签名-参见注释）；和三角形的行和A144106号. -加里·亚当森2008年9月11日

奇数（n）=2*n+1=平方金字塔数（3*n+1）/三角数（3xn+1）-皮埃尔·卡米2008年9月27日

A000035号（a（n））=1，A059841号（a（n））=0-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月29日

的乘法闭包A065091号. -莱因哈德·祖姆凯勒，2008年10月14日

a（n）也是同一平面上n+2个点可以确定的最大三角形数。3个点确定最大1个三角形；4个点可以得到3个三角形；5分等于5分；6分可以得到7分等等-卡米娜·苏里亚诺，2009年6月8日

的二项式变换A130706号，的二项式逆变换A001787年（不带首字母0）-菲利普·德尔汉姆2009年9月17日

还有3个粗略数：没有素因子小于3的正整数-迈克尔·波特2009年10月8日

或者n没有2作为素因子-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2009年11月19日

给定图G的L（2,1）标号L，设k是由L指定的最大标号。G的所有L（2,L）标号上可能的最小k用λ（G）表示。对于n>0，这个序列给出了lambda（K{n+1}），其中K{n+1}是n+1顶点上的完整图-K.V.Iyer公司2009年12月19日

A176271号=行读取的三角形奇数：a（n）=A176271号(A002024号（n+1），A002260号（n+1））-莱因哈德·祖姆凯勒2010年4月13日

对于n>=1，a（n-1）=数字k，使得前k个正整数的算术平均数为整数。A040001型（a（n-1））=1。请参见A145051型和A040001型. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年5月28日

联盟179084年和A179085号. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年6月28日

对于n>0，连分式[1,1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[1,1,7]=8/15-加里·亚当森2010年7月15日

两个连续整数的和-多米尼克·坎西拉2010年8月9日

参见描述的属性加里·德特利夫斯在里面A113801号：更一般地，这些数字的形式为（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4（h和n inA000027号)因此（（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4）^2-1==0（mod h）；在这种情况下，a（n）^2-1==0（mod 4）。另外，a（n）^2-1==0（mod 8）-布鲁诺·贝塞利2010年11月17日

A004767号=a（a（n））-莱因哈德·祖姆凯勒2011年6月27日

A001227号（a（n））=A000005号（a（n））；A048272号（a（n））<0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月21日

a（n）是一枚公平硬币所需的最小投掷次数，因此超过n个硬币的概率至少为1/2。事实上，Sum_{k=n+1..2n+1}Pr（k头|2n+1抛掷）=1/2-丹尼斯·沃尔什2012年4月4日

A007814号（a（n））=0；A037227号（a（n））=1-莱因哈德·祖姆凯勒2012年6月30日

1/N（即，1/1，1/2，1/3，…）=和{j=1,3,5，…，无穷}k^j，其中k是常数1/exp.ArcSinh（N/2）=收敛于barover（N）。收敛到barover（1）或[1,1,1，…]=1/phi=0.6180339…，而cf-barover（2）收敛到0.414213…，依此类推。因此，当k=1/phi时，我们得到1=k^1+k^3+k^5+。。。，通过k=0.414213…=（sqrt（2）-1），我们得到1/2=k^1+k^3+k^5+。。。。同样，当收敛到barover（3）=0.302775…=k时，我们得到1/3=k^1+k^3+k^5+。。。，等-加里·亚当森2012年7月1日

单教练素数猜想(A216371型)关于奇整数：如果整数在A216371型（有一个辅导员的素数形式为4q-1或4q+1，（q>0））；其coach的顶行由前q个奇数整数的置换组成。例如：素数19（q=5）在其coach的每行中有5个术语：19:[1，9，5，7，3]。。。[1, 1, 1, 2, 4]. 这被解释为：（19-1）=（2^1*9），（19-9）=（2^1*5），（19-5）=（2^1-7），（19-7）=（2^2*3），（19-3）=（2^4*1）-加里·亚当森，2012年9月9日

A005408号是Rydberg公式中项（1/m^2-1/n^2）=（2n-1）/（mn）^2，n=m+1，m>0的分子2n-1，而A035287号是分母（mn）^2。所以商a(A005408号)/一个(A035287号)模拟所有类氢元素的氢光谱序列-弗雷姆特·马尔施纳2013年8月10日

这个序列具有唯一的因子分解。基本元素是奇数素数(A065091号). （序列的每个项都可以表示为序列项的乘积。原始元素只有平凡的因式分解。如果序列项的积总是在序列中，并且每个元素都有唯一的因式化为原始元素，我们就说序列有唯一的因子化。因此，例如复合数没有唯一的因子分解，因为例如36=4*9=6*6有两个不同的因子分解。）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2013年9月28日

这些也是数字k，因此（k^k+1）/（k+1）是一个整数-德里克·奥尔2014年5月22日

a（n-1）给出了直接和{1,2,3，…，n}+{1,2,3,..，n}中不同和的数目。例如，{1}+{1}只有一个可能的和，因此a（0）=1。{1,2}+{1,2,}有三个不同的可能和{2,3,4}，因此a（1）=3。{1,2,3}+{1,2,3+有5个不同的可能和{2,3,4,5,6}，因此a（2）=5-德里克·奥尔2014年11月22日

4*n的分区数最多分为2个部分-科林·巴克2015年3月31日

a（n）可表示为两个但不少于两个连续非负整数的和，例如，1=0+1、3=1+2、5=2+3等（参见A138591号). -马丁·瑞诺2016年3月14日

互补方程a（n）=a（n-1）^2-a（n-2）*b（n-1-克拉克·金伯利2017年11月21日

还有n蜈蚣图中最大和最大集团的数量-埃里克·韦斯特因2017年12月1日

词汇学上不同正整数的最早序列，使得任何数量的连续项的平均值总是一个整数。（有关相对属性，请参见A042963号.) -伊凡·内雷廷2017年12月21日

凸（n+2）-边顶点之间不相交线段的最大数目-克里斯托夫·卡斯尔2022年10月21日

a（n）是大小为n+1的停车功能的数量，避免了模式123、132和231-劳拉·普德威尔2023年4月10日

a（n）是具有n+3个节点的三角形的平面连通图中的最大三角形数-亚平路，2024年6月25日

参考文献

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链接

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威廉·斯坦因，模块化表格数据库

利奥·塔瓦雷斯，插图：三角形边

埃里克·魏斯坦的数学世界，蜈蚣图

埃里克·魏斯坦的数学世界，Davenport-Schinzel序列

埃里克·魏斯坦的数学世界，Gnomonic数

埃里克·魏斯坦的数学世界，反余切,

埃里克·魏斯坦的数学世界，反双曲余切

埃里克·魏斯坦的数学世界，反双曲正切

埃里克·魏斯坦的数学世界，逆切线

埃里克·魏斯坦的数学世界，最大集团

埃里克·魏斯坦的数学世界，最大团数

埃里克·魏斯坦的数学世界，Nexus编号

埃里克·魏斯坦的数学世界，奇数

埃里克·魏斯坦的数学世界，毕达哥拉斯三元组

柴华湖，机器学习能识别有趣的数学吗？使用经验观察定律的探索，arXiv:1805.07431[cs.LG]，2018年。

“核心”序列的索引项

常系数线性递归的索引项，签名（2，-1）。

配方奶粉

a（n）=2*n+1。a（-1-n）=-a（n）。a（n+1）=a（n）+2。

通用名称：（1+x）/（1-x）^2。

例如：（1+2*x）*exp（x）。

带插值零点的G.f:（x^3+x）/（（1-x）^2*（1+x）^2）；例如，带插值零的f.：x*（exp（x）+exp（-x））/2-杰弗里·克雷策2012年8月25日

a（n）=L（n，-2）*（-1）^n，其中L的定义如下A108299号. -莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日

长度2序列的欧拉变换[3，-1]-迈克尔·索莫斯2007年3月30日

G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2）），其中f（u，v）=v*（1+2*u）*（1-2*u+16*v）-（u-4*v）^2*（1+2*u+2*u^2）-迈克尔·索莫斯2007年3月30日

a（n）＝b（2*n+1），其中b（n）＝n，如果n是奇数，则是乘法。[这似乎说明了这一点A000027号是乘法的吗-R.J.马塔尔2011年9月23日]

发件人Hieronymus Fischer公司2007年5月25日：（开始）

a（n）=（n+1）^2-n^2。

G.f.G（x）=总和{k>=0}x ^楼层（sqrt（k））=总和_{k>=0.}x^A000196号（k） ●●●●。（完）

a（0）=1，a（1）=3，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年5月7日

a（n）=A000330号(A016777号（n））/A000217号(A016777号（n））-皮埃尔·卡米2008年9月27日

a（n）=A034856号（n+1）-A000217号（n）=A005843号（n）+A000124号（n）-A000217号（n）=A005843号（n） +1-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月5日

a（n）=（n-1）+n（两个连续整数的和）-多米尼克·坎西拉2010年8月9日

a（n）=4*A000217号（n）当n>1时，+1-2*Sum_{i=1..n-1}a（i）-布鲁诺·贝塞利2010年11月17日

n*a（2n+1）^2+1=（n+1）*a（2 n）^2；例如，3*15^2+1=4*13^2-查理·马里恩2010年12月31日

arctanh（x）=Sum_{n>=0}x^（2n+1）/a（n）-R.J.马塔尔2011年9月23日

a（n）=det（f（i-j+1））_{1<=i，j<=n}，其中f（n）=A113311号（n）；对于n<0，我们得到f（n）=0-米尔恰·梅卡2012年6月23日

G.f.：Q（0），其中Q（k）=1+2*（k+1）*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日

a（n）=楼层（平方米（2*A000384号（n+1））-伊万·伊纳基耶夫2013年6月17日

a（n）=3*A000330号（n）/A000217号（n），n>0-伊万·伊纳基耶夫2013年7月12日

a（n）=Product_{k=1..2*n}2*sin（Pi*k/（2*n+1））=Product_{k=1。请参阅2013年10月9日的配方奶粉A000027号带有参考-沃尔夫迪特·朗，2013年10月10日

注意，作为n->infinity，sqrt（n^2+n）->n+1/2，设f（n）=n+1/2-sqrt（n ^2+n）。然后，对于n>0，a（n）=圆（1/f（n））/4-理查德·福伯格2014年2月16日

a（n）=Sum_{k=0..n+1}二项式（2*n+1,2*k）*4^（k）*bernoulli（2*k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月24日

a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（6*n+3,6*k）*Bernoulli（6*k）-米歇尔·马库斯2016年1月11日

a（n）=A000225号（n+1）-A005803号（n+1）-米奎尔·塞尔达2016年11月25日

O.g.f.：Sum_｛n>=1｝phi（2*n-1）*x^（n-1）/（1-x^（2*n-1）），其中phi（n）是欧拉总函数A000010号. -彼得·巴拉2019年3月22日

和{n>=0}1/a（n）^2=Pi^2/8=A111003号. -伯纳德·肖特2020年12月10日

和{n>=1}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=Pi/4-1/2=1/（3+（1*3）/（4+（3*5）/（4+…+（4*n^2-1）/（4]…））））。囊性纤维变性。A016754号. -彼得·巴拉2024年3月28日

a（n）=A055112号（n） /长方形（n）=A193218号（n+1）/十六进制数（n）。与2008年9月27日Pierre CAMI的评论相比-克劳斯·普拉斯2024年4月23日

a（k*m）=k*a（m）-（k-1）-亚平路，2024年6月25日

例子

G.f.=q+3*q^3+5*q^5+7*q^7+9*q^9+11*q^11+13*q^13+15*qq^15+。。。

MAPLE公司

A005408号：=n->2*n+1；

A005408号：=（1+z）/（z-1）^2#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

数学

表[2 n-1，{n，1，50}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月1日*）

范围[1131,2](*哈维·P·戴尔2011年4月26日*）

2范围[0，20]+1(*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）

线性递归[{2，-1}，{1，3}，20](*埃里克·韦斯特因，2017年12月1日*）

系数列表[级数[（1+x）/（-1+x）^2，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）

黄体脂酮素

（岩浆）[0..100]]中[2*n+1:n；

（PARI）{a（n）=2*n+1}

（PARI）第一（n）=Vec（（1+x）/（1-x）^2+O（x^n））\\伊恩·福克斯2017年12月29日

（哈斯克尔）

a005408 n=（+1）。(* 2)

a005408_list=[1，3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月11日，2011年6月28日

（Maxima）标记列表（2*n+1，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年12月11日*/

（Python）a=lambda n:2*n+1#因德拉尼尔·戈什2017年1月4日

（GAP）列表（[0..100]，n->2*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月16日

（弧垂）[2*n+1代表范围（100）内的n]#G.C.格鲁贝尔2018年11月28日

交叉参考

囊性纤维变性。A000027号,A005843号,A065091型.

请参见A120062年对于与具有整数内径n的整数边三角形相关的序列。

囊性纤维变性。A128200个,A000290型,A078050型,A144106号,A109613号,A167875号.

囊性纤维变性。A001651号（n=1或2 mod 3），A047209号（n=1或4 mod 5）。

囊性纤维变性。A003558号,A216371型,A179480号（关于Coach定理）。

囊性纤维变性。A000754号（boutrophedon变换）。

上下文中的序列：A317107型 A317439型 A004273号*A176271号 A144396号 A060747号

相邻序列：A005405号 A005406号 A005407号*A005409号 A005410号 A005411号

关键词

非n,核心,美好的,容易的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

删除了错误的注释和示例乔格·阿恩特2010年3月11日

删除的外围评论N.J.A.斯隆2022年5月9日

状态

经核准的