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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A005408号 奇数:a(n)=2*n+1。
(原M2400)
978
1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39、41、43、45、47、49、51、53、55、57、59、61、63、65、67、69、71、73、75、77、79、81、83、85、87、89、91、93、95、97、99、101、103、105、107、109、111、113、115、117、119、121、123、125、127、129、131 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

莱布尼兹级数:Pi/4=Sum{n>=0}(-1)^n/(2n+1)(cf。A072172号).

夏尔科夫斯基定理中自然数排序的开始-参见Cielsielski Pogoda论文。

Sharkovski排序从奇数>=3开始,然后是这些数的两倍,然后是4倍,然后是8倍,以此类推,以2的幂次递减结束,以2^0=1结束。

除了初始项外,Gamma_0(6)的权空间2n尖点的维数形式。

coth的连分数(1)(A073747型是十进制展开)。-瑞克·L·谢泼德2002年8月7日

a(1)=1;a(n)=最小数,使得a(n)+a(i)对所有i=1到n-1的组合。-阿玛纳特·穆尔蒂2003年7月14日

大于n的最小数,不是n的倍数,但以二进制表示。-莱因哈德·祖姆凯勒2003年10月6日

数n使得phi(2n)=phi(n),其中phi是Euler的tolient(A000010号). -莱克莱·比达西2004年8月27日

Pi*sqrt(2)/4=Sum{n>=0}(-1)^楼层(n/2)/(2n+1)=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11。。。[因为周期f(x)=x超过-Pi<x<Pi=2(sin(x)/1-sin(2x)/2+sin(3x)/3-…),使用x=Pi/4(Maor)]。-杰拉德2005年2月4日

a(n)=L(n,-2)*(-1)^n,其中L定义为A108299号. -莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日

对于n>1,以2为反除数的数。-亚历山大瓦恩伯格2005年10月2日

a(n)=边a<=b<=c且半径n>=1的所有整数边三角形的最短边a。

平方的一阶差分(A000290型). -莱克莱·比达西2006年7月15日

奇数是假设“合并排序”算法可以在恒定单位时间内合并时产生的最简单递归的解决方案,即T(1):=1,T(n):=T(floor(n/2))+T(天花板(n/2))+1。-Peter C.Heinig(algorithms(AT)gmx.de),2006年10月14日

2n-5计算S峈n中模式312的零次出现和模式123的一次出现的置换。-大卫·霍克(David.hok(AT)telia.com),2007年2月28日

对于n>0:任何无平方半素数的(n-1)次方的除数:a(n)=A000005号(A001248号(k) ^(n-1));a(n)=A000005号(A000302号(n-1)=A000005号(A001019型(n-1)=A000005号(A009969号(n-1)=00005年(A087752号(n-1))。-莱因哈德·祖姆凯勒2007年3月4日

对于n>2,a(n-1)是最小整数,而不是<n n次方数之和(允许0)。-乔纳森·桑多2007年7月1日

A134451号(a(n))=绝对值(A134452号(a(n))=1;并A134453号A134454号. -莱因哈德·祖姆凯勒2007年10月27日

数字n使得sigma(2n)=3*sigma(n)。-法里德·菲鲁兹巴赫特2008年2月26日

a(n)=邮编:A139391(A016825年(n) )=A006370(A016825年(n) )。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月17日

n>0时4^(n-1)的除数。-J、 洛厄尔2008年8月30日

等于反转变换A078050型(签名-参考注释);以及三角形的行和A144106号. -加里·W·亚当森2008年9月11日

奇数(n)=2*n+1=正方形棱锥数(3*n+1)/三角形数(3*n+1)。-皮埃尔·卡米2008年9月27日

A000035号(a(n))=1,A059841号(a(n))=0。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月29日

乘法闭包A065091号. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月14日

a(n)也是同一平面上n+2个点可以确定的最大三角形数。3个点决定最多1个三角形;4个点可以给出3个三角形;5个点可以给出5个;6个点可以给出7个等等-胭脂红2009年6月8日

二项式变换A130706号,逆二项式变换A001787型(没有首字母0)。-菲利普·德莱厄姆2009年9月17日

还有3-粗数:没有小于3的素因子的正整数。-迈克尔·B·波特2009年10月8日

或者没有2作为质数的n。-朱丽·斯特潘·格拉西莫夫2009年11月19日

给定图G的L(2,1)标号L,设k是由L指定的最大标号,G的所有L(2,1)标号上的最小k用lambda(G)表示。对于n>0,这个序列给出lambda(K{n+1}),其中K{n+1}是n+1顶点上的完整图。-K、 V.伊耶2009年12月19日

邮编:A176271=按行读取的三角形奇数:a(n)=邮编:A176271(A002024号(n+1),A002260(n+1))。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年4月13日

对于n>=1,a(n-1)=数字k,使得前k个正整数的算术平均数为整数。A040001型(a(n-1))=1。看到了吗A145051型A040001型. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年5月28日

联合邮编:A179084邮编:A179085. -莱因哈德·祖姆凯勒2010年6月28日

对于n>0,连分式[1,1,n]=(n+1)/a(n);例如,[1,1,7]=8/15。-加里·W·亚当森2010年7月15日

两个连续整数之和的数。-多米尼克坎西拉2010年8月9日

参见财产描述加里·德特勒夫斯在里面A113801号:一般来说,这些数字的形式是(2*h*n+(h-4)*(-1)^n-h)/4(h和n inA000027号),因此((2*h*n+(h-4)*(-1)^n-h)/4)^2-1==0(mod h);在本例中,a(n)^2-1==0(mod 4)。也是a(n)^2-1=0(mod 8)。-布鲁诺·贝尔塞利2010年11月17日

A004767号=a(a(n))。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年6月27日

对于n>=3,它们是它们的真除数的乘积除以其反除数的乘积的数。-保罗P.熔岩2011年7月7日

A001227号(a(n))=A000005号(a(n));A048272号(a(n))<0。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月21日

a(n)是一个公平的硬币所需的最少投掷次数,因此超过n个硬币的概率至少为1/2。事实上,和{k=n+1..2n+1}Pr(k头| 2n+1掷)=1/2。-丹尼斯·P·沃尔什2012年4月4日

A007814号(a(n))=0;A037227号(a(n))=1。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年6月30日

1/N(即,1/1,1/2,1/3,…)=和{j=1,3,5,…,inf}k^j,其中k是常数的无穷集1/(exp.ArcSinh(N/2)=收敛到barover(N)。收敛到barover(1)或[1,1,1,…]=1/phi=0.6180339…,而c.f.barover(2)收敛到0.414213…,依此类推。因此,当k=1/phi时,我们得到1=k^1+k^3+k^5+…,当k=0.414213。。。=(sqrt(2)-1)我们得到1/2=k^1+k^3+k^5+。。。。同样地,当收敛到barover(3)=0.302775时。。。=k,我们得到1/3=k^1+k^3+k^5+…,等等-加里·W·亚当森2012年7月1日

有一个教练的素数猜想(甲16371)关于奇数整数的:如果一个整数在甲16371(一个coach形式为4q-1或4q+1的素数,(q>0));其coach的顶行由第一个q奇整数的排列组成。示例:prime 19(q=5),其coach的每一行有5个术语:19:[1,9,5,7,3]。。。[1,1,1,2,4]。这被解释为:(19-1)=(2^1*9),(19-9)=(2^1*5),(19-5)=(2^1-7),(19-7)=(2^2*3),(19-3)=(2^4*1)。-加里·W·亚当森2012年9月9日

A005408号是里德伯公式中项(1/m^2-1/n^2)=(2n-1)/(mn)^2,n=m+1,m>0的分子2n-1,而A035287型是分母(mn)^2。所以商a(A005408号)/a(A035287型)模拟所有类氢元素的氢光谱系列。-弗雷穆特·马尔施纳2013年8月10日

这个序列有唯一的因子分解。原始元素是奇数素数(A065091号). (序列的每个项都可以表示为序列项的乘积。原始元素只有琐碎的因式分解。如果序列项的乘积总是在序列中,并且每个元素都有一个唯一的分解成原始元素,我们称序列具有唯一的因子分解。因此,例如,复合数没有唯一的因式分解,因为例如36=4*9=6*6有两个不同的因式分解。)-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2013年9月28日

这些也是数字n,因此(n^n+1)/(n+1)是整数。-德里克·奥尔2014年5月22日

a(n-1)给出直和{1,2,3,…,n}+{1,2,3,…,n}中不同和的个数。例如,{1}+{1}只有一个可能的和,所以a(0)=1。{1,2}+{1,2}有三个不同的可能和{2,3,4},因此a(1)=3。{1,2,3}+{1,2,3}有5个不同的可能和{2,3,4,5,6},因此a(2)=5。-德里克·奥尔2014年11月22日

将4*n划分为最多2个部分的数目。-科林·巴克2015年3月31日

a(n)可表示为两个但不少于连续非负整数的和,例如1=0+1,3=1+2,5=2+3等(参见邮编:A138591). -马丁·瑞诺2016年3月14日

互补方程a(n)=a(n-1)^2-a(n-2)*b(n-1)的唯一解,其中a(0)=1,a(1)=3,a()和b()是递增互补序列。-克拉克·金伯利2017年11月21日

同时给出了n-蜈蚣图中最大团和最大团的个数。-埃里克·W·维斯坦2017年12月1日

字典上最早的一组不同的正整数序列,使得任何数量的连续项的平均值总是一个整数。(相对属性见A042963号.) -伊万·内雷丁2017年12月21日

加里·W·亚当森2019年9月27日:(开始)

有(j,k)的值,使得Cos(j)Pi/N=Sin(k)Pi/2N,N为奇数;N=(2N+1)如下:在顶行向前写出N项(1..N),在下排写出N项(1,3,…)向后。

假设上一行的(j)值对应于下一行的(k)值,因此Cos(j)Pi/N=Sin(k)Pi/2N。对于N=5,N=11;因此我们得到:

1、2、3、4、5(j值),匹配:

9、7、5、3、1(k值)。

检查:2对应7,所以Cos(2)Pi/11=Sin(7)Pi/22=.8412535…(正确)。猜想的前提(存在一些值j和k)在“多边形与混沌”第10页中给出。(结束)

a(n)是长度为n+1的三元字数,其中一个字母等于2,0只作为最后一个字母出现。例如,在n=2的情况下,5个长度3个字是112、121、211、120、210。-米兰-扬吉奇2020年1月28日

参考文献

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链接

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塔尼娅·霍瓦诺娃,递归序列

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M、 索莫斯,有理函数乘法系数

威廉A.斯坦,空间S_k(Gamma_0(N))的维数

威廉A.斯坦,模块化表单数据库

埃里克·韦斯坦的数学世界,蜈蚣图

埃里克·韦斯坦的数学世界,达文波特-辛泽尔序列

埃里克·韦斯坦的数学世界,灵知数

埃里克·韦斯坦的数学世界,反余切,

埃里克·韦斯坦的数学世界,反双曲余切

埃里克·韦斯坦的数学世界,反双曲正切

埃里克·韦斯坦的数学世界,反切线

埃里克·韦斯坦的数学世界,最大集团

埃里克·韦斯坦的数学世界,最大集团

埃里克·韦斯坦的数学世界,数字连接

埃里克·韦斯坦的数学世界,奇数

埃里克·韦斯坦的数学世界,毕达哥拉斯三重奏

柴华武,机器学习能识别有趣的数学吗?运用经验法则的探索,arXiv:1805.07431[cs.LG],2018年。

“核心”序列的索引项

常系数线性递归的索引项,签名(2,-1)。

公式

a(n)=2*n+1。a(-1-n)=-a(n)。a(n+1)=a(n)+2。

G、 f.:(1+x)/(1-x)^2。

E、 g.f.:(1+2*x)*经验(x)。

G、 (^x.x)(插值x+2.x)(e.x.2+exp.2)。-杰弗里·克里特2012年8月25日

长度2序列的欧拉变换[3,-1]。-迈克尔·索莫斯2007年3月30日

G、 f.A(x)满足0=f(A(x),A(x^2)),其中f(u,v)=v*(1+2*u)*(1-2*u+16*v)-(u-4*v)^2*(1+2*u+2*u^2)。-迈克尔·索莫斯2007年3月30日

a(n)=b(2*n+1),其中b(n)=n,如果n是奇数,则是乘法。[这似乎是这么说的A000027号是乘法吗?-R、 马萨2011年9月23日]

希罗尼穆斯·菲舍尔2007年5月25日:(开始)

^2(不适用)。

G、 f.G(x)=Sum{k>=0}x^楼层(sqrt(k))=Sum{k>=0}x^A000196号(k) 是的。(结束)

a(0)=1,a(1)=3,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)。-奥立弗·乔拉梅2008年5月7日

A005408号(n)=A000330型(A016777号(n) )/A000217(A016777号(n) )。-皮埃尔·卡米2008年9月27日

a(n)=A034856号(n+1)-A000217(n)=A005843号(牛)+A000124号(n)-A000217(n)=A005843号(n) +1。-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月5日

a(n)=(n-1)+n(两个连续整数之和)。-多米尼克坎西拉2010年8月9日

a(n)=4*A000217(n) +1-2*Sum{i=1..n-1}a(i),n>1。-布鲁诺·贝尔塞利2010年11月17日

n*a(2n+1)^2+1=(n+1)*a(2n)^2;例如,3*15^2+1=4*13^2。-查理·马里恩2010年12月31日

弧长(x)=和{n>=0}x^(2n+1)/a(n)。-R、 马萨2011年9月23日

a(n)=det(f(i-j+1)){1<=i,j<=n},其中f(n)=A113311(n) 当n<0时,f(n)=0。-米尔恰梅尔卡2012年6月23日

G、 f.:Q(0),式中Q(k)=1+2*(k+1)*x/(1-1/(1+2*(k+1)/Q(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科维2013年5月11日

a(n)=楼层(sqrt(2*A000384号(n+1)))。-伊万·N·伊纳基耶夫2013年6月17日

a(n)=3*A000330型(n)/A000217(n) ,n>0。-伊万·N·伊纳基耶夫2013年7月12日

a(n)=积{k=1..2*n}2*sin(Pi*k/(2*n+1))=积{k=1..n}(2*sin(Pi*k/(2*n+1))^2,n>=0(未定义的乘积=1)。参见2013年10月9日的公式贡献A000027号参考文献。-狼牙2013年10月10日

注意到n->infinity,sqrt(n^2+n)->n+1/2,设f(n)=n+1/2-sqrt(n^2+n)。对于n>0,a(n)=圆形(1/f(n))/4。-理查德·R·福伯格2014年2月16日

a(n)=和{k=0..n+1}二项式(2*n+1,2*k)*4^(k)*bernoulli(2*k)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2015年2月24日

a(n)=和{k=0..n}二项式(6*n+3,6*k)*伯努利(6*k)。-米歇尔·马库斯2016年1月11日

a(n)=A000225(n+1)-A005803号(n+1)。-米克尔·塞尔达2016年11月25日

O、 g.f.:和{n>=1}φ(2*n-1)*x^(n-1)/(1-x^(2*n-1)),其中phi(n)是欧拉函数A000010号. -彼得·巴拉2019年3月22日

例子

G、 f.=q+3*q^3+5*q^5+7*q^7+9*q^9+11*q^11+13*q^13+15*q^15+。。。

枫木

A005408号:=n->2*n+1;

A005408号:=(1+z)/(z-1)^2#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

数学

表[2n-1,{n,1,50}](*斯特凡·斯坦伯格,2006年4月1日*)

范围[1,131,2](*哈维·戴尔2011年4月26日*)

2范围[0,20]+1(*埃里克·W·维斯坦2017年12月1日*)

线性发生[{2,-1},{1,3},20](*埃里克·W·维斯坦2017年12月1日*)

{1/[0]系数列表(1+x)(*埃里克·W·维斯坦2017年12月1日*)

黄体脂酮素

(岩浆)[2*n+1:n in[0..100]];

{1+2)=

(PARI)第一个(n)=Vec((1+x)/(1-x)^2+O(x^n))\\伊恩·福克斯2017年12月29日

(哈斯克尔)

a005408 n=(+1)。(*2)

a005408_列表=[1,3….]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月11日,2011年6月28日

(Maxima)makelist(2*n+1,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年12月11日*/

(Python)a=lambda n:2*n+1#印度教2017年1月4日

(间隙)列表([0..100],n->2*n+1)#阿西鲁2018年10月16日

[范围为n*100]#G、 C.格雷贝尔2018年11月28日

交叉引用

囊性纤维变性。A000027号,A005843号,A065091号.

看到了吗A120062年对于与半径为n的整数边三角形相关的序列。

囊性纤维变性。邮编:128200,A000290型,A078050型,A144106号,A109613号,A167875号.

囊性纤维变性。A001651号(n=1或2 mod 3),A047209号(n=1或4 mod 5)。

囊性纤维变性。A003558号,甲16371,邮编:A179480(与Coach定理有关)。

囊性纤维变性。A000754号(布氏变换)。

上下文顺序:A317107飞机 A317439型 A004273号*邮编:A176271 邮编:A144396 A060747型

相邻序列:A005405号 A005406号 A005407型*A005409号 A005410号 A005411号

关键字

,核心,美好的,容易的

作者

N、 斯隆

扩展

删除了不正确的注释和示例乔尔阿恩特2010年3月11日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月14日21:27。包含336483个序列。(运行在oeis4上。)