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A132440 Infinitesimal Pascal矩阵:PASCAL矩阵的生成(下三角矩阵表示)、经典算子XDX、迭代拉盖尔变换、相关联的列表分区变换矩阵和一般的Euler变换序列。 四十
0, 1, 0、0, 2, 0、0, 0, 3、0, 0, 0、0, 4, 0、0, 0, 0、0, 5, 0、0, 0, 0、0, 0, 6、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 7, 0、0, 7, 0、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
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设M(t)=EXP(t*t)=Limi{{N->无穷大}(1 +t*t/n)^ n。

Pascal矩阵= [二项式(n,k)]=m(1)=EXP(t),截断级数给出n×n子矩阵。

逆Pascal矩阵=m(- 1)=EXP(-T)=逆二项变换矩阵。

A(j)=t^ j/j!等于矩阵[bin(n,k)*delta(N-K-j)],其中δ(n)=1,如果n=0,否则消失(Kroneckerδ);即,A(j)是具有所有的项0的矩阵,除了j=较低的(或j=0的主)对角线,其等于Pascal三角形的对角线。因此,A(j)的形式对于所有形式的矩阵[二项式(n,k)d(n- k)]形成线性无关基,其包括作为子集的列表分区变换(LPT)的可逆相关矩阵的子集。A13314.

对于B(0)=1的序列,模糊地,

M[B(?)]=EXP(B(*)*T)= [二项式(n,k)*b(nk)]=由LPT关联到B的矩阵。

[M [B(])] ^(- 1)=EXP(C(*)*T)= [二项式(n,k)*c(n- k)]=与C相关的矩阵,其中c=LPT(b)。或者,

[M [b(])] ^(- 1)=EXP[LPT(b())*t]=LPt[m(b())]=m [LPT(b(?))]=m [C(?)]。

这与XDX、迭代拉盖尔变换和序列的一般欧拉变换有关。A132013A132014和关系[SUMU{{K=0…n}二项式(n,k)*b(nk)*d(k)]=m(b)*d,(n个项)。也见A1323.

如果B(n,x)是二项式型SHIVER序列,则当S(Y)=(S(0,Y),S(1,Y),S(2,Y),…)是M(B)(x,y),s(x)y(x +y)时,对于具有B(n,x)和[M [b(x,])] ^(-1)的相同δ算子的Sheffer序列的阵列由上面的公式给出,B(n)替换为B(n,x)为二项式型Sheffer序列的b(0,x)=1。

t=iA132013反过来A132013=I- T,这是迭代混合拉盖尔变换的矩阵表示。A132013(和)A132014

(i-t)^ m生成该组[A132013m为m=0,1,2,…讨论A132014.

逆是1/(i-t)=i+t+t^ 2+t^ 3+…=A132013^(- 1)=A09485与相关序列(0)!,1!,2!,3!,……)根据LPT。

1/(i-t)^ 2=i+2×t+3×t^ 2+4×t^ 3+…=A132013^(- 2)=A132159与相关序列(1)!,2!,3!,4!,……)根据LPT。

矩阵运算B= T*A可以用系数a(n)和b(n)、它们的O.G.F.的A(x)和B(x)或E.F.的EA(x)和EB(x)的多个方式来表征。

1)b(0)=0,b(n)=n*a(n-1),

2)b(x)=xdx a(x)

3)b(x)=x*滞后(1,-:xd:)a(x)

4)EB(x)=x*Ea(x),其中d是导数W.R.T.X,(:xD:)^j=x^j*d^j和滞后(n,x)是拉盖尔多项式。

因此,指数算子可以被刻画为

5)Exp(t*t)a(x)=EXP(t*xdx)a(x)= [和(n=0,1,…)(t*x)^n*滞后(n,,-xd:)] a(x)=[Exp{[t*u/(1-t*u)] *:xd:}/(1-t*u)] a(x)(EVA)。在u= x)= a[x/(1-t*x)] /(1-t*x),O.G.F.的广义欧拉变换,

6)Exp(t*t)Ea(x)=EXP(t*x)*Ea(x)=EXP[(t+a(?))*x],GE.Euler-Trf。对于一个E.F.

7)Exp(t*t)*a= m(t)*a= [SuMu{{K= 0…n}二项式(n,k)*t^(nk)*a(k)]。

公式5, 6和7的阴影扩展给出了形式。

8)Exp[C(*)*t] a(x)=EXP(c(*)*xdx)a(x)=[SuMu{{n>=0 }(c(x)*x)^n*滞后(n,,-xd:)] a(x)=[Exp{[c(*)*u/(1-c(?)* u)] *:xd:}/(1-c(?)* u)] a(x)(EVA)。在u= x)= a[x/(1-c(x)*x)] /(1-c(?)*x),其中仅在C中幂级数之后才应用UBRARL评价;

9)EXP[C(*)*t] Ea(x)=EXP(C(*)*x)*Ea(x)=EXP[(C(+)+A())*X]

10)EXP[C(*)*t] *a= m [C(.])*A= [ SuMu{{K=0…n}二项式(n,k)*c(n- k)*a(k)]。

t的n×n主子矩阵是幂零的,特别是[tSuxn] ^(n+1)=0,n=0,1,2,3,…

注(xdx)^ n=x^ n d^ n x^ n =x^ n n!(dx):^ n/n!= x^ n n!滞后(n,-:xd:)。

操作员XDX是一个重要的,经典的操作员,其中包括DATOTLI,Al Salam,卡利茨和斯托克斯,甚至更早的研究者。

对于XDX的最近的治疗,DxD和更多的一般运营商看到的论文“拉盖尔型衍生工具:Dobinski关系和组合身份”。-卡罗尔·彭森9月15日2009

参见Copeland的广义拉盖尔函数的链接,并通过(dx:^)^ a/a连接到分数不等积分。=(d^ ax^ a)/a!-汤姆·科普兰11月17日2011

汤姆·科普兰,4月25日2014:(开始)

[dp]=共轭或“相似”变换A132440有操作员口译(见习)。A07909A268363):

一般地,选择两个运算符A和B,使得^ n=f1(n,b)和b^ n=f2(n,a);然后,一个^ n=f1(n,f2(,a))和b^ n=f2(n,f1(,b)),对其进行模糊评价,即f1(n,f2(,x))=f2(n,f1(,x))=x^ n,这意味着多项式f1和f2是一个虚线成分逆对。

一个这样的对是贝尔多项式Bell(n,x)和下降阶乘(x),n与贝尔(n,:xd:)=(xd)^ n和(xd)n=:xd:^n(参见)。A07909另一个是拉盖尔多项式Ln(n,x)=n!*滞后(n,x)A021009),这是虚线自逆的,LN(n,-:xD:)=:dx:^n和Ln(n,,dx:)==(-:xd::^n):dx:^n=d^n*x^n。

对于n>=0,在基b^ n中,求取算子导数d(b^ n)/d=d(f2(n,a))/dA,即用f1(n,b)或^ n=f1(,b)^ n=f1(n,b)代替的^ n等价于矩阵共轭。

a)[f2] *[dp] *[f1]

b)=[f2] *[dp] *[f2] ^(- 1)

c)=[f1] ^(- 1)*[dp] *[f1],

其中[f1]是具有第n行的下三角矩阵的f1(n,x)的系数,类似于[f2]。

因此,给定行向量Rv=(C0 C1 C2 C3…)和列向量CV(x)=(1×x ^ 2×^ 3……)转置,形成幂级数V(x)=Rv*Cv(x)。

d)dv(b)/da= rv*[f2] *[dp] *[f1] *cv(b)。

e)a=d和b=d,f1(n,x)=f2(n,x)=x^ n和[f1]=[f2]=i,然后d(b^ n)/d= d(d^ n)/dd=n*d^(n-1);因此,一致[f2] *[dp] *[f1]=[dp]和dv(d)/dd=rv*[dp] *cv(d)。(结束)

链接

Robert Israeln,a(n)n=0…10000的表

萨拉姆,Laguerre和其它多项式的运算表示Duke Math。J.O.,第31卷(1964),第127至142页

T. Copeland分数阶微积分、Gamma Classes、黎曼ζ函数和Apple序列对

T. Copeland伴随流动:导数算子的对数

T. Copeland英菲尼根、帕斯卡金字塔、维特和Virasoro Algebras

T. Copeland逆梅林变换、Bell多项式、广义Dobnsik关系和合流超几何函数(PDF)

T. Copeland数学森林

T. Copeland微分OPS的梅林插值及相关的无限元和Apple多项式:有序、Laguerre和Seelk WITT Lie差异

G. Hetyei第二类Mexnor多项式与SU(1,1)的量子代数,ARXIV预印记ARXIV:909.4352 [数学,QA],2009(参见ViNONE的Laguerre histoires)

K. A. Penson,P. Blasiak,A. Horzela,G.H.E. Duchamp和A. I. Solomon,Laguerre型导数:Dobinski关系与组合恒等式,阿西夫:904.0369(数学PH),2009。

K. A. Penson,P. Blasiak,A. Horzela,G.H.E. Duchamp和A. I. Solomon,Laguerre型导数:Dobinski关系与组合恒等式《数学物理学报》第50卷,(2009)083512。

公式

t=log(p)与Pascal矩阵p:=A000 7318. 这应该被读取为tnn= log(pn n),pn n为n×n矩阵p,n>=2。因为pnn是所有对角元素1的下三角,所以在1-1个条件下,序列日志(1n n-(1n np1n))停止,因为(1n np1n)^ n是0n- n矩阵。-狼人郎10月14日2010

给定一个具有P00(x)=1的多项式序列pnn(x),由L pnn(x)=n*p*(n-1)(x)和r ppn(x)=p~(n+1)(x)定义的降升算子L和R,矩阵T表示在pN n(x)基中的R*L*R的作用。对于pnn(x)=x^ n,L=d=d/dx,r=x。对于pn n(x)=x^ n/n!,L=DXD和R=D^(- 1)。-汤姆·科普兰10月25日2012

汤姆·科普兰,4月26日2014:(开始)

a)t=EXP(A23 838-我)

b)= [ST1] *P*[ST2] -I

c)= [ST1] *P*[ST1] ^(- 1)-I

d)=[ST2] ^(- 1)*P*[ST2] -I

e)=[ST2] ^(- 1)*P*[ST1] ^(- 1)-I

其中p=A000 7318[ST1]=填充A000 8255正如[ST2] =A04903=衬垫A000 827和i=同一矩阵。(结束)

罗伯特以色列,OCT 02 2015:(开始)

G.F. Suthi{{K>=1 } K x^((k+1)3/2 ^ 2/2~17/8)与雅可比θ函数有关。

如果8 *N+ 17=y^ 2为正方形,则A(n)=(Y-3)/ 2,否则A(n)=0。(结束)

例子

矩阵T开始

0;

1,0;

0,2,0;

0、0、3、0;

0、0、0、4、0;

枫树

SEQ(OP([0,$i,i]),i=1…20);罗伯特以色列,10月02日2015

Mathematica

表[ pADLeave[{n,0 },n+3],{n,0, 11 }] / /平坦(*)让弗兰4月30日2014*)

交叉裁判

语境中的顺序:A1547 A23 747 A130460*A218227 A134402 A1747

相邻序列:A132437 A132438 A132439*A132441 A132442 A132443

关键词

容易诺恩塔布

作者

汤姆·科普兰,11月13日2007,11月15日2007,11月22日2007,十二月02日2007

扩展

表中添加的缺失零点汤姆·科普兰2月25日2014

地位

经核准的

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最后修改8月23日17:50 EDT 2019。包含326251个序列。(在OEIS4上运行)