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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000796号 Pi(或Pi的数字)的十进制展开式。
(原名M2218 N0880)
942
3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 8, 0, 3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7, 0, 6, 7, 9, 8, 2, 1, 4 (列表;常数;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,1

评论

有时称为阿基米德常数。

圆的周长与直径的比值。

也是半径为1的圆的面积。

也是直径为1的球体的表面积。

记住前几个词的一个有用的记忆法:在涉及量子力学的沉重讲座之后,我想喝点什么,当然是酒精饮料。。。

此外,球体的表面积与外切立方体的一个面之比。球体的体积与外切立方体中六个内切金字塔之一的体积之比-奥马尔·波尔2012年8月9日

也是半径为1的球体的四分之一的表面积-奥马尔·波尔2013年10月3日

此外,峰形偶函数f(x)=1/cosh(x)下的面积。证明:对于积分的上半部分,写f(x)=(2*exp(-x))/(1+exp(-2x))=2*Sum_{k>=0}(-1)^k*exp。结果是Pi/4的格雷戈里级数的两倍-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年10月31日

好奇心:白川东彦最近建造了一个由七方组成的144X144魔法广场。魔和=3141592653589793238462643383279502884197169399375105,这是Pi的前52位的串联。有关详细信息,请参阅MultiMagic Squares链接Christian Boyer,2013年12月13日[评论由修订N.J.A.斯隆2014年8月27日]

x*Pi也是直径等于x平方根的球体的表面积-奥马尔·波尔2013年12月25日

也指表面积等于外切立方体体积的球体的直径-奥马尔·波尔2014年1月13日

发件人丹尼尔·福格斯2015年3月20日:(开始)

关于以10为基数表示Pi的有趣轶事,其中3(整数部分)是第一位(索引1):

358 0

359 3

360 6

361 0

362 0

圆通常被细分为360度(尽管圆周率为圆周的一半)。。。

(结束)

有时被称为阿基米德常数,因为希腊数学家通过绘制圆内外的规则多边形来计算圆周率的上下界。在德国,它一直被称为卢多尔菲数,直到20世纪初,荷兰数学家卢多尔夫·范·塞伦(1540-1610)在16世纪末计算出了高达35位的圆周率-马丁·瑞诺2016年9月7日

截至2019年初,已知的Pi小数位数超过22万亿。请参阅维基百科文章“圆周率计算年表”-哈维·P·戴尔2019年1月23日

2019年3月14日,Emma Haruka Iwao宣布使用谷歌云的基础设施计算31.4万亿位Pi-大卫·拉德克利夫2019年4月10日

半径为1的球体的四分之三的体积-奥马尔·波尔2019年8月16日

2021年8月5日,瑞士格里森应用科学大学的研究人员宣布,他们已经计算出62.8万亿位数。吉尼斯世界纪录尚未证实这一点-阿隆索·德尔·阿特2021年8月23日

参考文献

Mohammad K.Azarian,Ghiyath ud-din Jamshid Kashani的数学著作摘要,《休闲数学杂志》,第29卷(1),第32-421998页。

J.Arndt&C.Haenel,《Pi Unleashed》,纽约施普林格出版社,2001年。

P.Beckmann,《皮的历史》,哥伦布,科罗拉多州博尔德,1977年。

J.-P.Delahaye,Le fasciant nombre pi,Pour la Science,巴黎,1997年。

P.Eyard和J.-P.Lafon,数字Pi,Amer。数学。Soc.,2004年。

S.R.Finch,《数学常数》,《数学及其应用百科全书》,第94卷,剑桥大学出版社,第1.4节。

Le Petit Archimede,《Pi特刊》,第64-5号增补,1980年5月ADCS Amiens。

Clifford A.Pickover,《数学的激情》,威利出版社,2005年;见第31页。

N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

哈里·史密斯,n=1..20000时的n,a(n)表

Sanjar M.Abrarov、Rehan Siddiqui、Rajinder K.Jagpal、Brendan M.Quine、,Lehmer测度对π的二项Machin-like公式的无条件适用性,arXiv:2004.11711[math.GM],2020年。

戴夫·安徒生,Pi-Search页面

匿名,圆周率的百万位数

匿名,收听德克尔克斯·米利尔斯(milliers de decimales du nombre de pi)

穆罕默德·阿扎里安,Meftah al-hesab:总结,MJMS,第12卷,第2期,2000年春季,第75-95页。数学评论,MR 1 764 526。Zentralblatt MATH,Zbl 1036.01002。

穆罕默德·阿扎里安,阿尔卡什基本定理《国际纯粹与应用数学杂志》,第14卷,第4期,2004年,第499-509页。《数学评论》,MR2005b:01021(01A30),2005年2月,第919页。Zentralblatt MATH,Zbl 1059.01005。

穆罕默德·阿扎里安,Al-Risala Al-Muhitiyya:总结《密苏里数学科学杂志》,第22卷,第2期,2010年,第64-85页。

穆罕默德·阿扎里安,Al-Risala Al-Muhitiyya简介:英文翻译《国际纯粹与应用数学杂志》,第57卷,第6期,2009年,第903-914页。

D.H.Bailey,关于Kanada对1.24万亿位数Pi的计算[存档页面]

D.H.Bailey和J.M.Borwein,实验数学:实例、方法和启示,AMS通知,第52卷,第5期,2005年5月,第502-514页。

哈里·贝克,“Pi达到创纪录的62.8万亿位数”《生活科学》,2021年8月17日。

史蒂夫·贝克和托马斯·摩尔,圆周率的100万亿位数

Frits Beukers公司,圆周率的理性探讨2000年12月,Nieuw Archief voor de Wiskunde,第372-379页。

J.M.Borwein,谈论Pi

J.M.Borwein和M.Macklem,Pi的(数字)生活《澳大利亚数学学会公报》,第33卷,第5期,2006年9月,第243-248页。

彼得·博文,惊人的数字Pi2000年9月,Nieuw Archief voor de Wiskunde,第254-258页。

克里斯蒂安·博伊尔,MultiMagic方块

J.Britton,数字Pi的记忆法[存档页面]

D.卡斯特拉诺斯,无处不在的圆周率,数学。Mag.,61(1988),67-98和148-163。

乔纳斯·卡斯蒂略·托洛萨,找到圆周率的神奇方法

E.S.Croot,Pade逼近与π的超越

L.Euler,关于倒数级数的和,arXiv:math/0506415[math.HO],2005-2008。

L.Euler,倒置丝虫,E41。

尤里卡,Tout pi还是不Toutπ

弗拉乔莱特博士和瓦尔迪,一些经典常数的Zeta函数展开式

杰里米·吉本斯,圆周率数字的无界插口算法

GJ、,1000万位Pi

X.古尔登,Pi到16000位小数[存档页面]

泽维尔·古尔登,以10为基数计算Pi的新算法

X.Gourdon和P.Sebah,阿基米德常数Pi

B.Gourevitch,皮尤大学

L.Grebelius,Pi的近似值:前1000000位

J.Guillera和J.Sondow,通过Lerch超越的解析延拓得到一些经典常数的二重积分和无穷积《拉马努扬期刊》第16卷(2008年)第247-270页。预打印:arXiv:数学/0506319[math.NT](2005-2006)。

卡尔·约翰·哈斯特,来自天空的圆周率——来自大量引力波观测的广义相对论零检验,arXiv:2005.05472[gr-qc],2020年。

哈弗曼,Pi的简单连分式[存档页面]

M.D.Huberty等人。,100000位圆周率

ICON项目,Pi到50000个位置[存档页面]

艾玛·哈鲁卡·伊沃(Emma Haruka Iwao),天空中的圆周率:在谷歌云上计算破纪录的31.4万亿位数阿基米德常数

P.Johns,120000个Pi数字[存档页面]

靖国神社,1.24万亿位Pi

Kanada Yasumasa和Takahashi Daisuke,2060亿位Pi[存档页面]

扫盲项目,Pi与Machin公式(Haskell)[存档页面]

约翰内斯·梅耶尔,Pi无处不在海报,2013年3月14日

J.Moyer,圆周率的前10000位数

NERSC、,搜索Pi[断开的链接]

雷姆科·尼梅耶,圆周率的数字,编程实践

Steve Pagliarulo,斯图的圆周率页面[存档页面]

奇塔兰詹·帕德西,黄金比率基础Phi中Pi的BBP-Like公式

迈克尔·佩恩,一个很好的反切线积分。,YouTube视频,2020年。

迈克尔·佩恩,Pi是无理的(π∉ℚ),YouTube视频,2020年。

I.彼得森,对皮的热爱

G.M.Phillips,《Pi:A源书》目录

西蒙·普劳夫,10000位Pi

西蒙·普劳夫,Pi的第n位小数或二进制数和Pi的幂的公式,arXiv:2201.12601[math.NT],2022。

D.波切,pi小数计算年表[断开的链接]

M.Z.Rafat和D.Dobie,把皮扔到墙上,arXiv:1901.06260【物理学.ph级】,2020年。

S.Ramanujan,模方程和对\pi的近似,夸脱。数学杂志。45 (1914), 350-372.

H.里卡多,评P.Eymard和J.-P.Lafon的《数字Pi》

M.Ripa和G.Morelli,高范围的回顾性推理智商测试, 2013.

格兰特·桑德森,为什么碰撞块要计算圆周率?,3Blue1Brown视频(2019年)。

丹尼尔·塞多里,Pi页面

D.Shanks和J.W.W.Wrench,Jr。,π到100000位小数的计算,数学。公司。16 1962 76-99.

Jean-Louis Sigrist,Les 128000 premieres du nombre PI

尺寸,圆周率

N.J.A.斯隆,五十年后的《整数序列手册》,arXiv:2301.03149[math.NT],2023年,第5页。

A.沙发,Pi和一些其他常数《纯粹数学与应用数学不等式杂志》,第6卷第5期,第138条,2005年。

乔纳森·桑多,Pi的更快乘积和ln Pi/2的新积分,arXiv:math/0401406[math.NT],2004;阿默尔。数学。月刊112(2005)729-734。

D.苏伦德兰,我可以要一小盒咖啡吗?[存档页面]

Wislawa Szymborska,Pi(令人钦佩的数字Pi)《奇迹博览会》,2002年。

G.瓦卡,数字pi的一个新的解析表达式和一些历史考虑,公牛。阿默尔。数学。《社会学》第16卷(1910年),368-369页。

斯坦·瓦贡,Pi正常吗?

埃里克·魏斯坦的数学世界,圆周率Pi数字

维基百科,Bailey-Borwein-Plouffe公式,正常数字、和圆周率

Alexander J.Yee和Shigeru Kondo,5万亿位数圆周率-新世界纪录

Alexander J.Yee和Shigeru Kondo,圆圈2…10万亿位圆周率

与数字Pi相关的序列的索引项

“核心”序列的索引项

超越数的索引项

配方奶粉

Pi=4*Sum_{k>=0}(-1)^k/(2k+1)[Madhava-Gregory-Leibniz,1450-1671]-N.J.A.斯隆2013年2月27日

发件人约翰内斯·梅耶尔2013年3月10日:(开始)

2/Pi=(平方(2)/2)*(平方(2+sqrt(2))/2)x(平方(2+平方(2+2))/2)*。。。[维也纳,1593]

2/Pi=Product_{k>=1}(4*k^2-1)/(4*k^2)。【沃利斯,1655年】

Pi=3*sqrt(3)/4+24*(1/12-Sum_{n>=2}(2*n-2)/(n-1)^(2*n-3)*(2*n+1)*2^(4*n-2)))。[牛顿,1666年]

Pi/4=4*弧(1/5)-弧(1/239)。[Machin,1706]

Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/(n^2*二项式(2*n,n))。[欧拉,1748年]

1/Pi=(2*sqrt(2)/9801)*Sum_{n>=0}(4*n)*(1103+26390*n)/((n!)^4*396^(4*n))。[拉马努扬,1914]

1/Pi=12*Sum_{n>=0}(-1)^n*(6*n)*(13591409+545140134*n)/((3*n)*(n!)^3*(64032^3)^(n+1/2))。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基,1989年】

Pi=Sum_{n>=0}(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(8*n+6))。【Bailey-Borwein-Plouffe,1989年】(结束)

Pi=4*Sum_{k>=0}1/(4*k+1)-1/(4*k+3)-亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日

Pi=4*sqrt(-1*(和{n>=0}(i^(2*n+1))/(2*n+1))^2)-亚历山大·波沃洛茨基2009年1月25日

Pi=Integral_{x=-无穷大..无穷大}dx/(1+x^2)-Mats Granvik公司加里·亚当森2012年9月23日

Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。。。[Jonas Castillo Toloza,2007年],即Pi-2=Sum_{n>=1}(1/((-1)^floor((n-1)/2)*(n^2+n)/2))-何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年1月20日

Pi=3*Product_{t=img(r),r=(1/2+i*t)zeta函数}的根}(9+4*t^2)/(1+4*t*2)<=>RH为真-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年5月5日

发件人伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日:(开始)

Pi=Sum_{k>=1}(3^k-1)*zeta(k+1)/4^k。

Pi=2*Product_{k>=2}秒(Pi/2^k)。

Pi=2*Integral_{x>=0}sin(x)/xdx。(结束)

当k>=2时,Pi=2^{k+1}*arctan(sqrt(2-a_{k-1})/a_k),其中a_k=sqrt-桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日

当n>0时,a(n)=-10*地板(Pi*10^(-2+n))+地板-马吕斯·伊瓦纽克2017年4月28日

Pi=Integral_{x=0..2}平方(x/(2-x))dx-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2017年11月20日

Pi=lim_{n->infinidy}2/n*和{m=1,n}(sqrt((n+1)^2-m^2)-sqrt(n^2-m*2))-迪米特里·帕帕佐普洛斯2019年5月31日

发件人彼得·巴拉2019年10月29日:(开始)

Pi=Sum_{n>=0}2^(n+1)/(二项式(2*n,n)*(2*n+1))-欧拉。

一般来说,Pi=4^x*x/(2*x)!*求和{n>=0}2^(n+1)*(n+x)*(n+2*x)/(2*n+2*x+1)!=2*4^x*x^2/(2*x+1)!*超几何([2*x+1,1],[x+3/2],1/2),对不在{-1/2,-1,-3/2,-2,…}中的复数x有效。这里,x!是函数Gamma(x+1)的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。

在上述恒等式中设置x=3/4和x=-1/4(分别为x=1/4和x=-3/4)将导致常数的级数表示A085565号(分别为。A076390号). (结束)

Pi=Im(log(-i^i))=log(i^i)*(-2)-彼得·卢什尼2019年10月29日

发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2020年8月15日:(开始)

等于2+Integral_{x=0..1}arccos(x)^2 dx。

等于Integral_{x=0..oo}log(1+1/x^2)dx。

等于Integral_{x=0..oo}log(1+x^2)/x^2 dx。

等于Integral_{x=-oo..oo}exp(x/2)/(exp(x)+1)dx。(结束)

等于4*(1/2)^2=4*伽马(3/2)^2-加里·亚当森2021年8月23日

发件人彼得·巴拉,2021年12月8日:(开始)

Pi=32*Sum_{n>=1}(-1)^n*n^2/((4*n^2-1)*。

更一般地说,对于k=1,2,3,。。。,Pi=16*(2*k)*和{n>=1}(-1)^(n+k+1)*n^2/((4*n^2-1)**(4*n^2-(2*k+1)^2))。

Pi=32*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^2=768*Sum_{n>=1}(-1)^。

更一般地说,对于k=0,1,2,。。。,Pi=16*加泰罗尼亚语(k)*(2*k)*(2*k+2)*和{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^2**(4*n^2-(2*k+1)^2)^2。

Pi=(2^8)*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^4=n ^2*(n ^2-1)*(n*2-4)/((4*n ^2-1)^4*(4*n^2-9)^4*(4*n^2-25)^4)。(结束)

更一般地,对于奇数n,Pi=(2^(n-1)/A001818号(n-1)/2)*γ(n/2)^2-阿兰·迈克尔·戈梅斯·卡尔德龙2022年3月11日

Pi=4/φ+Sum_(n>=0)(1/φ^(12*n))*(8/((12*n+3)*φ^3)+4/(12*n+5)*phi^5)-4/(12*n+7)*phi ^7)-8/(12xn+9)*phi9)-4/-奇塔兰詹·帕德西2022年5月16日

Pi=sqrt(3)*(27*S-36)/24,其中S=A248682型. -彼得·卢什尼2022年7月22日

例子

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062\

862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081\

284811174502841027019385211055596446229489549303819...

MAPLE公司

数字:=110:Pi*10^104:

ListTools:-反转(转换(底数(%),基数,10))#彼得·卢什尼2019年10月29日

数学

真数字[N[Pi,105]][[1]

(*程序启动*)

清除[a,k]

k=随机整数[{2,10^3}];

打印[“随机整数k=”,k]

a[k_]:=N[嵌套[Sqrt[2+#1]&,0,k],1000]

实数字[N[2^(k+1)*ArcTan[Sqrt[2-a[k-1]]/a[k]],100]][[1]

(*桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日*)

表[ResourceFunction[“NthDigit”][Pi,n],{n,1,102}](*琼·卢德维德2022年6月22日;用这个函数很容易计算a(10000000)=7;需要Mathematica 12.0+*)

黄体脂酮素

(Macsyma)py(x):=如果等于(6,6+x^2),则2*x其他(py(x:x/3),3*%%-4*(%%-x)^3);py(3.);py(dfloat(%));块([bfprecision:35],py(bfloat(%))/*高斯珀2002年9月9日*/

(PARI){default(realprecision,20080);x=Pi;for(n=120000,d=floor(x);x=(x-d)*10;write(“b000796.txt”,n,“”,d);}\\哈里·史密斯2009年4月15日

(PARI)A796=[];A000796号(n) ={if(n>#A796,localprec(n*6\5+29);A796=数字(Pi\.1^(精度(Pi)-3));A696[n]}\\注意:与其他程序一样,这将返回序列的第n项,其中n=1、2、3。。。而不是n=1,0,-1,-2-M.F.哈斯勒2022年6月21日

(PARI)first(n)=默认值(realprecision,n+10);数字(楼层(Pi*10^(n-1))\\大卫·A·科内斯2022年6月21日

(Haskell)参见链接:识字计划

导入Data.Char(digitToInt)

a000796 n=a000796_列表(n+1)!!(n+1)

a000796_list len=map digitToInt$show$machin'`div`(10^10)其中

machin'=4*(4*arccot 5单位-arccot 239单位)

单位=10^(len+10)

arccot x unity=arccot'x unity 0(unity`div`x)1 1其中

arccot’x单位和xpow n符号

|项==0=总和

|否则=arccot’

x单位(总和+符号*项)(xpow`div`x^2)(n+2)(-符号)

其中term=xpow`div`n

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年11月24日

(Haskell)参见Niemeijer链接和Gibbons链接。

a000796 n=a000796_列表!!(n-1)::整数

a000796_list=从整数$piStream映射(1,0,1)

[(n,a*d,d)|(n,d,a)<-map(\k->(k,2*k+1,2))[1..]]其中

piStream z xs'@(x:xs)

|lb/=约z 4=piStream(mult z x)xs

|否则=lb:piStream(mult(10,-10*lb,1)z)xs'

其中lb=约z 3

近似(a,b,c)n=div(a*n+b)c

多重(a,b,c)(d,e,f)=(a*d,a*e+b*f,c*f)

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月14日、2013年6月12日

(岩浆)pi:=pi(RealField(110));反向(Intseq(底线(10^105*pi))//布鲁诺·贝塞利2013年3月12日

(Python)从sympy导入pi,N;打印(N(pi,1000))#大卫·拉德克利夫2019年4月10日

(Python)

从mpmath导入mp

定义A000796号(n) :

如果n>=长度(A000796号.str):mp.dps=n*6//50+50;A000796号.str=字符串(mp.pi-5/mp.mpf(10)**mp.dps)

返回int(A000796号.str[n if n>1 else 0])

A000796号.str=“”#M.F.哈斯勒2022年6月21日

交叉参考

囊性纤维变性。A001203号(续分数)。

基数b中的Pi:A004601号(b=2),A004602号(b=3),A004603号(b=4),A004604号(b=5),A004605型(b=6),A004606号(b=7),A006941号(b=8),A004608型(b=9),该序列(b=10),A068436号(b=11),A068437号(b=12),A068438号(b=13),A068439号(b=14),A068440号(b=15),A062964号(b=16),A224750型(b=26),A224751号(b=27),A060707号(b=60)-杰森·金伯利2012年12月6日

涉及Pi的表达式的十进制展开式:A002388号(Pi^2),A003881号(Pi/4),A013661号(图2/6),A019692号(2*Pi=τ),A019727号(平方米(2*Pi)),A059956号(6/Pi^2),A060294号(2/Pi),A091925号(Pi^3),A092425号(图4),A092731号(图5),A092732号(图6),A092735号(图7),A092736号(图8),A163973号(Pi/log(2))。

囊性纤维变性。A001901号(Pi/2;Wallis),A002736号(Pi^2/18;欧拉),A007514号(Pi),A048581号(Pi;BBP),A054387号(Pi;牛顿),A092798号(Pi/2),A096954号(Pi/4;机器),A097486号(Pi),A122214号(Pi/2),A133766号(图1/4-1/2),A133767号(5/6-Pi/4),A166107号(Pi;MGL)。

囊性纤维变性。A248682型.

上下文中的序列:A247385型 A253214号 A112602号*A212131型 A114609型 A271452型

相邻序列:A000793号 A000794号 A000795号*A000797号 A000798号 A000799号

关键词

欺骗,非n,美好的,核心,容易的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

来自的其他评论威廉·雷克斯·马歇尔2001年4月20日

状态

经核准的

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