Pi=4*Sum_{k>=0}（-1）^k/（2k+1）[Madhava-Gregory-Leibniz，1450-1671]。 -N.J.A.斯隆2013年2月27日
2/Pi=（平方（2）/2）*（平方（2+sqrt（2））/2）x（平方（2+平方（2+2））/2）*。[维也纳，1593]
2/Pi=Product_{k>=1}（4*k^2-1）/（4*k^2）。【沃利斯，1655年】
Pi=3*sqrt（3）/4+24*（1/12-Sum_{n>=2}（2*n-2）！/（n-1）！^（2*n-3）*（2*n+1）*2^（4*n-2）））。[牛顿，1666年]
Pi/4=4*弧（1/5）-弧（1/239）。[Machin，1706]
Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/（n^2*二项式（2*n，n））。[欧拉，1748年]
1/Pi=（2*sqrt（2）/9801）*Sum_｛n>=0｝（4*n）！*（1103+26390*n）/（（n！）^4*396^（4*n））。[拉马努扬，1914]
1/Pi=12*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n）！*（13591409+545140134*n）/（（3*n）！*（n！）^3*（640320^3）^（n+1/2））。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基，1989年】
Pi=Sum_{n>=0}（1/16^n）*（4/（8*n+1）-2/（8*n+4）-1/（8*n+5）-1-（8*n+6））。【Bailey-Borwein-Plouffe，1989年】（结束）
Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）。 -亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日
Pi=4*sqrt（-1*（和{n>=0}（i^（2*n+1））/（2*n+1））^2）。 -亚历山大·波沃洛茨基2009年1月25日
Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。..【Jonas Castillo Toloza，2007年】，即Pi-2=Sum_{n>=1}（1/（-1）^floor（（n-1）/2）*（n^2+n）/2））。 -何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年1月20日
Pi=3*Product_{t=img（r），r=（1/2+i*t）zeta函数}的根}（9+4*t^2）/（1+4*t*2）<=>RH为真。 -迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年5月5日
Pi=Sum_｛k>=1｝（3^k-1）*ζ（k+1）/4^k。
Pi=2*Product_{k>=2}秒（Pi/2^k）。
Pi=2*Integral_{x>=0}sin（x）/xdx。（结束）
当k>=2时，Pi=2^{k+1}*arctan（sqrt（2-a_{k-1}）/a_k），其中a_k=sqrt。 -桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日
Pi=lim_{n->oo}2/n*求和{m=1，n}（sqrt（（n+1）^2-m^2）-sqrt（n^2-m*2））。 -迪米特里·帕帕佐普洛斯，2019年5月31日
Pi=Sum_{n>=0}2^（n+1）/（二项式（2*n，n）*（2*n+1））-欧拉。
一般来说，Pi=（4^x）*x！/（2*x）！*Sum_{n>=0}2^（n+1）*（n+x）！*（n+2*x）！/（2*n+2*x+1）！=2*4^x*x！^2/（2*x+1）！*超几何（[2*x+1,1]，[x+3/2]，1/2），对不在{-1，-3/2，-2，-5/2，…}中的复数x有效。给，x！是函数Gamma（x+1）的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。
Pi=Im（log（-i^i））=log（i^i）*（-2）。 -彼得·卢什尼2019年10月29日
等于2+Integral_{x=0..1}arccos（x）^2 dx。
等于积分_｛x=0..oo｝log（1+1/x^2）dx。
等于Integral_{x=0..oo}log（1+x^2）/x^2 dx。
等于Integral_{x=-oo..oo}exp（x/2）/（exp（x）+1）dx。（结束）
等于4*（1/2）！^2=4*伽马（3/2）^2。 -加里·亚当森2021年8月23日
Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^n*n^2/（（4*n^2-1）*。
更一般地说，对于k=1,2,3，。..，Pi=16*（2*k）！*Sum_{n>=1}（-1）^（n+k+1）*n^2/（（4*n^2-1）*。..*（4*n^2-（2*k+1）^2））。
Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2=768*Sum_{n>=1}（-1）^。
更一般地说，对于k=0,1,2，。..，Pi=16*加泰罗尼亚语（k）*（2*k）！*（2*k+2）！*和{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（（4*n^2-1）^2*。..*（4*n^2-（2*k+1）^2）^2。
Pi=（2^8）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^4=n ^2*（n ^2-1）*（n*2-4）/（（4*n ^2-1）^4*（4*n^2-9）^4*（4*n^2-25）^4）。（结束）
Pi=4/φ+Sum_{n>=0}（1/φ^（12*n））*。 -奇塔兰詹·帕德西2022年5月16日
等于Integral_{x=0..1}1/sqrt（x-x^2）dx。 -米哈尔·保洛维奇2023年9月24日
发件人彼得·巴拉，2023年10月28日：（开始）
Pi=48*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5））。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=A（k）+B（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）*。..*（6*n+6*k+5）），其中A（k）是Pi的有理近似，B（k）=（3*2^（3*k+3）*（3*k+2）！)/（2^（3*k+1）-（-1）^k）。对于k>=0，A（k）的前几个值为[0，256/85，65536/20955，821559296/261636375，6308233216/2008080987，9082094864/2890938208075，…]。
Pi=16/5-（288/5）*和{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）*。..*（6*n+9））。
更一般地说，对于k>=0，我们似乎有Pi=C（k）+D（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（（6*n+1）*（6*n+3）*。..*（6*n+6*k+3）），其中C（k）和D（k）是有理数。k=0的情况是Pi的Madhava-Gregory-Leibniz级数。
Pi=168/53+（288/53）*和{n>=0}（-1）^n*（42*n^2+25*n）/（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5）*。
更一般地说，对于k>=1，我们有Pi=E（k）+F（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*（6*k+1）*n^2+（24*k+1。..*（6*n+6*k+1）），其中E（k）和F（k）是有理数。（结束）
上面给出的级数表示Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）由亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日，是更一般的结果（通过WZ方法获得）的n=0的情况：对于n>=0，存在
Pi=Sum_{j=0..n-1}2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））+8*（n+1）！*和{k>=0}1/（（4*k+1）*（4*k+3）*。..*（4*k+2*n+3））。
让n->oo得到由于Euler而快速收敛的级数Pi=Sum_{j>=0}2^（j+1）/（2*j+1）*二项式（2*j，j）。
更一般地说，对于n>=1，Pi=1/（2*n-1）！！^2*Sum_{j>=0}（乘积_{i=0..2*n-1}j-i）*2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））。
对于任何整数n，Pi=（-1）^n*4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1+2*n）-1/（4*k+3-2*n）。（结束）
等于Integral_{x=0..2}sqrt（8-x^2）dx-2（参见Ambrisi和Rizzi）。 -斯特凡诺·斯佩齐亚2024年7月21日
等于3+4*Sum_{k>0}（-1）^（k+1）/（4*k*（1+k）*（1+2*k））（见Wells第53页）。 -斯特凡诺·斯佩齐亚，2024年8月31日
等于4*Integral_{x=0..1}sqrt（1-x^2）dx=lim_{n->oo}（4/n^2）*Sum_{k=0..n}sqort（n^2-k^2）（见Finch）。 -斯特凡诺·斯佩齐亚2024年10月19日
等于Beta（1/2，1/2）（见Shamos）。 -斯特凡诺·斯佩齐亚2025年6月3日
