Pi=4*Sum_{k>=0}(-1)^k/(2k+1)[Madhava-Gregory-Leibniz,1450-1671]-N.J.A.斯隆2013年2月27日
发件人约翰内斯·梅耶尔2013年3月10日:(开始)
2/Pi=(平方(2)/2)*(平方(2+sqrt(2))/2)x(平方(2+平方(2+2))/2)*。。。[维也纳,1593]
2/Pi=Product_{k>=1}(4*k^2-1)/(4*k^2)。【沃利斯,1655年】
Pi=3*sqrt(3)/4+24*(1/12-Sum_{n>=2}(2*n-2)/(n-1)^(2*n-3)*(2*n+1)*2^(4*n-2)))。[牛顿,1666年]
Pi/4=4*弧(1/5)-弧(1/239)。[Machin,1706]
Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/(n^2*二项式(2*n,n))。[欧拉,1748年]
1/Pi=(2*sqrt(2)/9801)*Sum_{n>=0}(4*n)*(1103+26390*n)/((n!)^4*396^(4*n))。[拉马努扬,1914]
1/Pi=12*Sum_{n>=0}(-1)^n*(6*n)*(13591409+545140134*n)/((3*n)*(n!)^3*(64032^3)^(n+1/2))。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基,1989年】
Pi=Sum_{n>=0}(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(8*n+6))。【Bailey-Borwein-Plouffe,1989年】(结束)
Pi=4*Sum_{k>=0}1/(4*k+1)-1/(4*k+3)-亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日
Pi=4*sqrt(-1*(和{n>=0}(i^(2*n+1))/(2*n+1))^2)-亚历山大·波沃洛茨基2009年1月25日
Pi=Integral_{x=-无穷大..无穷大}dx/(1+x^2)-Mats Granvik公司和加里·亚当森2012年9月23日
Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。。。[Jonas Castillo Toloza,2007年],即Pi-2=Sum_{n>=1}(1/((-1)^floor((n-1)/2)*(n^2+n)/2))-何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年1月20日
Pi=3*Product_{t=img(r),r=(1/2+i*t)zeta函数}的根}(9+4*t^2)/(1+4*t*2)<=>RH为真-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年5月5日
发件人伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日:(开始)
Pi=Sum_{k>=1}(3^k-1)*zeta(k+1)/4^k。
Pi=2*Product_{k>=2}秒(Pi/2^k)。
Pi=2*Integral_{x>=0}sin(x)/xdx。(结束)
当k>=2时,Pi=2^{k+1}*arctan(sqrt(2-a_{k-1})/a_k),其中a_k=sqrt-桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日
当n>0时,a(n)=-10*地板(Pi*10^(-2+n))+地板-马吕斯·伊瓦纽克2017年4月28日
Pi=Integral_{x=0..2}平方(x/(2-x))dx-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2017年11月20日
Pi=lim_{n->infinidy}2/n*和{m=1,n}(sqrt((n+1)^2-m^2)-sqrt(n^2-m*2))-迪米特里·帕帕佐普洛斯2019年5月31日
发件人彼得·巴拉2019年10月29日:(开始)
Pi=Sum_{n>=0}2^(n+1)/(二项式(2*n,n)*(2*n+1))-欧拉。
一般来说,Pi=4^x*x/(2*x)!*求和{n>=0}2^(n+1)*(n+x)*(n+2*x)/(2*n+2*x+1)!=2*4^x*x^2/(2*x+1)!*超几何([2*x+1,1],[x+3/2],1/2),对不在{-1/2,-1,-3/2,-2,…}中的复数x有效。这里,x!是函数Gamma(x+1)的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。
在上述恒等式中设置x=3/4和x=-1/4(分别为x=1/4和x=-3/4)将导致常数的级数表示A085565号(分别为。A076390号). (结束)
Pi=Im(log(-i^i))=log(i^i)*(-2)-彼得·卢什尼2019年10月29日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2020年8月15日:(开始)
等于2+Integral_{x=0..1}arccos(x)^2 dx。
等于Integral_{x=0..oo}log(1+1/x^2)dx。
等于Integral_{x=0..oo}log(1+x^2)/x^2 dx。
等于Integral_{x=-oo..oo}exp(x/2)/(exp(x)+1)dx。(结束)
等于4*(1/2)^2=4*伽马(3/2)^2-加里·亚当森2021年8月23日
发件人彼得·巴拉,2021年12月8日:(开始)
Pi=32*Sum_{n>=1}(-1)^n*n^2/((4*n^2-1)*。
更一般地说,对于k=1,2,3,。。。,Pi=16*(2*k)*和{n>=1}(-1)^(n+k+1)*n^2/((4*n^2-1)**(4*n^2-(2*k+1)^2))。
Pi=32*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^2=768*Sum_{n>=1}(-1)^。
更一般地说,对于k=0,1,2,。。。,Pi=16*加泰罗尼亚语(k)*(2*k)*(2*k+2)*和{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^2**(4*n^2-(2*k+1)^2)^2。
Pi=(2^8)*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^4=n ^2*(n ^2-1)*(n*2-4)/((4*n ^2-1)^4*(4*n^2-9)^4*(4*n^2-25)^4)。(结束)
更一般地,对于奇数n,Pi=(2^(n-1)/A001818号(n-1)/2)*γ(n/2)^2-阿兰·迈克尔·戈梅斯·卡尔德龙2022年3月11日
Pi=4/φ+Sum_(n>=0)(1/φ^(12*n))*(8/((12*n+3)*φ^3)+4/(12*n+5)*phi^5)-4/(12*n+7)*phi ^7)-8/(12xn+9)*phi9)-4/-奇塔兰詹·帕德西2022年5月16日
Pi=sqrt(3)*(27*S-36)/24,其中S=A248682型. -彼得·卢什尼2022年7月22日
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