Pi=4*Sum_{k>=0}(-1)^k/(2k+1)[Madhava-Gregory-Leibniz,1450-1671]。 -N.J.A.斯隆2013年2月27日
2/Pi=(平方(2)/2)*(平方(2+sqrt(2))/2)x(平方(2+平方(2+2))/2)*。[维也纳,1593]
2/Pi=Product_{k>=1}(4*k^2-1)/(4*k^2)。【沃利斯,1655年】
Pi=3*sqrt(3)/4+24*(1/12-Sum_{n>=2}(2*n-2)!/(n-1)!^(2*n-3)*(2*n+1)*2^(4*n-2)))。[牛顿,1666年]
Pi/4=4*弧(1/5)-弧(1/239)。[Machin,1706]
Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/(n^2*二项式(2*n,n))。[欧拉,1748年]
1/Pi=(2*sqrt(2)/9801)*Sum_{n>=0}(4*n)!*(1103+26390*n)/((n!)^4*396^(4*n))。[拉马努扬,1914]
1/Pi=12*Sum_{n>=0}(-1)^n*(6*n)!*(13591409+545140134*n)/((3*n)!*(n!)^3*(640320^3)^(n+1/2))。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基,1989年】
Pi=Sum_{n>=0}(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(8*n+6))。【Bailey-Borwein-Plouffe,1989年】(结束)
Pi=4*Sum_{k>=0}1/(4*k+1)-1/(4*k+3)。 -亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日
Pi=4*sqrt(-1*(和{n>=0}(i^(2*n+1))/(2*n+1))^2)。 -亚历山大·波沃洛茨基2009年1月25日
Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。..【Jonas Castillo Toloza,2007年】,即Pi-2=Sum_{n>=1}(1/(-1)^floor((n-1)/2)*(n^2+n)/2))。 -何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年1月20日
Pi=3*Product_{t=img(r),r=(1/2+i*t)zeta函数}的根}(9+4*t^2)/(1+4*t*2)<=>RH为真。 -迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年5月5日
Pi=Sum_{k>=1}(3^k-1)*ζ(k+1)/4^k。
Pi=2*Product_{k>=2}秒(Pi/2^k)。
Pi=2*Integral_{x>=0}sin(x)/xdx。(结束)
当k>=2时,Pi=2^{k+1}*arctan(sqrt(2-a_{k-1})/a_k),其中a_k=sqrt。 -桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日
Pi=lim_{n->oo}2/n*求和{m=1,n}(sqrt((n+1)^2-m^2)-sqrt(n^2-m*2))。 -迪米特里·帕帕佐普洛斯,2019年5月31日
Pi=Sum_{n>=0}2^(n+1)/(二项式(2*n,n)*(2*n+1))-欧拉。
一般来说,Pi=(4^x)*x!/(2*x)!*Sum_{n>=0}2^(n+1)*(n+x)!*(n+2*x)!/(2*n+2*x+1)!=2*4^x*x!^2/(2*x+1)!*超几何([2*x+1,1],[x+3/2],1/2),对不在{-1,-3/2,-2,-5/2,…}中的复数x有效。给,x!是函数Gamma(x+1)的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。
Pi=Im(log(-i^i))=log(i^i)*(-2)。 -彼得·卢什尼2019年10月29日
等于2+Integral_{x=0..1}arccos(x)^2 dx。
等于积分_{x=0..oo}log(1+1/x^2)dx。
等于Integral_{x=0..oo}log(1+x^2)/x^2 dx。
等于Integral_{x=-oo..oo}exp(x/2)/(exp(x)+1)dx。(结束)
等于4*(1/2)!^2=4*伽马(3/2)^2。 -加里·亚当森2021年8月23日
Pi=32*Sum_{n>=1}(-1)^n*n^2/((4*n^2-1)*。
更一般地说,对于k=1,2,3,。..,Pi=16*(2*k)!*Sum_{n>=1}(-1)^(n+k+1)*n^2/((4*n^2-1)*。..*(4*n^2-(2*k+1)^2))。
Pi=32*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^2=768*Sum_{n>=1}(-1)^。
更一般地说,对于k=0,1,2,。..,Pi=16*加泰罗尼亚语(k)*(2*k)!*(2*k+2)!*和{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/((4*n^2-1)^2*。..*(4*n^2-(2*k+1)^2)^2。
Pi=(2^8)*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*n^2/(4*n^2-1)^4=n ^2*(n ^2-1)*(n*2-4)/((4*n ^2-1)^4*(4*n^2-9)^4*(4*n^2-25)^4)。(结束)
Pi=4/φ+Sum_{n>=0}(1/φ^(12*n))*。 -奇塔兰詹·帕德西2022年5月16日
等于Integral_{x=0..1}1/sqrt(x-x^2)dx。 -米哈尔·保洛维奇2023年9月24日
发件人彼得·巴拉,2023年10月28日:(开始)
Pi=48*Sum_{n>=0}(-1)^n/((6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5))。
更一般地说,对于k>=0,我们有Pi=A(k)+B(k)*Sum_{n>=0}(-1)^n/((6*n+1)*(6*n+3)*。..*(6*n+6*k+5)),其中A(k)是Pi的有理近似,B(k)=(3*2^(3*k+3)*(3*k+2)!)/(2^(3*k+1)-(-1)^k)。对于k>=0,A(k)的前几个值为[0,256/85,65536/20955,821559296/261636375,6308233216/2008080987,9082094864/2890938208075,…]。
Pi=16/5-(288/5)*和{n>=0}(-1)^n*(6*n+1)/(6*n+1)*(6*n+3)*。..*(6*n+9))。
更一般地说,对于k>=0,我们似乎有Pi=C(k)+D(k)*Sum_{n>=0}(-1)^n*(6*n+1)/((6*n+1)*(6*n+3)*。..*(6*n+6*k+3)),其中C(k)和D(k)是有理数。k=0的情况是Pi的Madhava-Gregory-Leibniz级数。
Pi=168/53+(288/53)*和{n>=0}(-1)^n*(42*n^2+25*n)/(6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5)*。
更一般地说,对于k>=1,我们有Pi=E(k)+F(k)*Sum_{n>=0}(-1)^n*(6*(6*k+1)*n^2+(24*k+1。..*(6*n+6*k+1)),其中E(k)和F(k)是有理数。(结束)
上面给出的级数表示Pi=4*Sum_{k>=0}1/(4*k+1)-1/(4*k+3)由亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日,是更一般的结果(通过WZ方法获得)的n=0的情况:对于n>=0,存在
Pi=Sum_{j=0..n-1}2^(j+1)/((2*j+1)*二项式(2*j,j))+8*(n+1)!*和{k>=0}1/((4*k+1)*(4*k+3)*。..*(4*k+2*n+3))。
让n->oo得到由于Euler而快速收敛的级数Pi=Sum_{j>=0}2^(j+1)/(2*j+1)*二项式(2*j,j)。
更一般地说,对于n>=1,Pi=1/(2*n-1)!!^2*Sum_{j>=0}(乘积_{i=0..2*n-1}j-i)*2^(j+1)/((2*j+1)*二项式(2*j,j))。
对于任何整数n,Pi=(-1)^n*4*Sum_{k>=0}1/(4*k+1+2*n)-1/(4*k+3-2*n)。(结束)
等于Integral_{x=0..2}sqrt(8-x^2)dx-2(参见Ambrisi和Rizzi)。 -斯特凡诺·斯佩齐亚2024年7月21日
等于3+4*Sum_{k>0}(-1)^(k+1)/(4*k*(1+k)*(1+2*k))(见Wells第53页)。 -斯特凡诺·斯佩齐亚,2024年8月31日
等于4*Integral_{x=0..1}sqrt(1-x^2)dx=lim_{n->oo}(4/n^2)*Sum_{k=0..n}sqort(n^2-k^2)(见Finch)。 -斯特凡诺·斯佩齐亚2024年10月19日
等于Beta(1/2,1/2)(见Shamos)。 -斯特凡诺·斯佩齐亚2025年6月3日