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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000142号 阶乘数:n!=1*2*3*4*...*n(对称群S_n的阶数、n个字母的排列数)。
(原名M1675 N0659)
2726

%I M1675 N0659#797 2024年3月5日15:55:24

%S 1,1,2,6,2412072050404032036280039916800479001600,

%电话62270208008717829120013076743680002092278988000355687428096000,

%电话:640237370572800012164510040883200024329020081766400005109421717094400001124000727777680000

%N阶乘数:N!=1*2*3*4*...*n(对称群S_n的阶数、n个字母的排列数)。

%C讨论这一序列的最早出版物似乎是大约公元300年的《Sepher Yezirah(创造之书)》。(参见Knuth,以及Zeilberger链接。)-N.J.A.Sloane,2014年4月7日

%C对于n>=1,a(n)是n X n(0,1)矩阵的数量,每行和每列正好包含一个等于1的条目。

%C该序列是A000354的二项式均值变换。(定义见A075271。)-_John W.Layman,2002年9月12日【通过交换求和并使用公式:Sum_k(-1)^k C(n-i,k)=KroneckerDelta(i,n).-David Callan,2003年8月31日】

%C具有1个元素A、2个元素B…、。。。,n-1元素X(例如,在n=5时,我们考虑ABBCCCDDDD的不同子集,有5!=120)_乔恩·佩里(Jon Perry),2003年6月12日

%不!是具有素数签名的最小数字。例如,720=2^4*3^2*5_Amarnath Murthy,2003年7月1日

%C a(n)是M(i,j)=1的n X n矩阵M的永久值_菲利普·德雷厄姆,2003年12月15日

%C给定n个不同大小的对象(例如,面积、体积),使每个对象都足够大,可以同时包含所有以前的对象,那么n!是使用所有n个对象的基本不同排列的总数。在排列中允许任意级别的对象嵌套。(该序列的应用受到了考虑剩余移动框的启发。)如果存在限制,即每个对象一次最多只能包含一个较小的(但可能是嵌套的)对象,则生成的序列将从1、2、5、15、52开始(贝尔数?)。在这里,人们会想到一组嵌套木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃_Rick L.Shepherd_,2004年1月14日

%C摘自Michael Somos,2004年3月4日;由M.F.Hasler编辑,2015年1月2日:(开始)

%[2,2,6,24120,…]的C斯特林变换为A052856=[2,2,4,14,76,…]。

%[1,2,6,24,120,…]的C斯特林变换是A000670=[1,3,13,75,…]。

%[0,2,6,24,120,…]的C斯特林变换是A052875=[0,2,12,74,…]。

%[1,1,2,6,24120,…]的C斯特林变换是A000629=[1,2,6,26,…]。

%[0,1,2,6,24,120,…]的C斯特林变换是A002050=[0,1,5,25,140,…]。

%C(A165326*A089064)(1…)=[1,0,1,-1,8,-26,194,…]的斯特林变换是[1,1,2,6,24,120,…](此序列)。(结束)

%C第一次欧拉变换为1、1、1,1、1……第一次欧勒变换通过公式t(n)=和{k=0..n}e(n,k)s(k)将序列s转换为序列t,其中e(n、k)是一阶欧拉数[A008292]_Ross La Haye_,2005年2月13日

%C推测,1、6和120是唯一同时是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日

%不!是连续n次幂的第n个有限差分。例如,对于n=3,[0,1,8,27,64,…]->[1,7,19,37,…]->[6,12,18,…]/>[6,6,…].-布莱恩·雅各布斯(bryanjj(AT)gmail.com),2005年3月31日

%C a(n+1)=(n+1)!=1, 2, 6, ... 具有例如f.1/(1-x)^2.-_保罗·巴里(Paul Barry),2005年4月22日

%将数字1到n写在一个圆上。则a(n)=所有n-2个相邻数的乘积之和。例如,a(5)=1*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*1+5*1*2=120.-_Amarnath Murthy,2005年7月10日

%C按子集关系排序的{1,2,…,n}幂集中最大长度链的个数_Rick L.Shepherd_,2006年2月5日

%C n≥0的n个字母的循环排列数为1,1,1、2、6、24、120、720、5040、40320,…-Xavier Noria(fxn(AT)hashref.com),2006年6月4日

%C a(n)是高度为n的装饰多面体的数量(n>=1;参见Barcucci等人参考文献中的定义)_Emeric Deutsch,2006年8月7日

%C a(n)是n大小的分区表编号。有关定义,请参阅Steingrimson/Williams链接_David Callan,2006年10月6日

%C考虑n!整数序列的置换[n]=1,2。。。,n.第i个置换由ncycle(i)置换循环组成。那么,如果Sum_{i=1..n!}2^ncycle(i)从1到n!运行!,我们有求和{i=1..n!}2^ncycle(i)=(n+1)!。例如,对于n=3,我们有ncycle(1)=3,nccycle(2)=2,ncycle_托马斯·维德,2006年10月11日

%C a(n)是{1,2,…,2n-1,2n}分成大小为2(完美匹配)的块的集合分区数,其中每个块由一个偶数和一个奇数整数组成。例如,a(3)=6表示12-34-56、12-36-45、14-23-56、14-25-36、16-23-45、16-25-34_David Callan_,2007年3月30日

%C考虑多集M=[1,2,2,3,3,4,4,4,4,4,…]=[1,2,2,…,nx'n'],形成M的所有子集n(其中n可能再次是多集)的集合U(其中U是严格意义上的集合)。然后U的元素|U|的数量等于(n+1)!。例如,对于M=[1,2,2],我们得到U=[[],[2],[2],[1],[1,2],[1,2]和|U|=3!=6.这一观察结果是里克·L·谢泼德于2004年1月14日发表的评论的更正式版本_托马斯·维德,2007年11月27日

%C对于n>=1,a(n)=1,2,6,24。。。是Liouville常数(A012245)十进制展开式中与1对应的位置_保罗·穆尔贾迪(Paul Muljadi),2008年4月15日

%三角A144107有n个!对于右边框为n的行和(给定n>0)!和左边框A003319,(1,2,6,24,…)的INVERTi变换_Gary W.Adamson_,2008年9月11日

%C等于A052186的INVERT变换和三角形A144108的行和_Gary W.Adamson_,2008年9月11日

%C来自_Abdullahi Umar_,2008年10月12日:(开始)

%C a(n)也是(n链的)降阶完全变换的数目。

%C a(n-1)也是(n链的)幂零序递减全变换的个数。(结束)

%不!也是完整图K_{n}中最优广播方案的数量,相当于嵌入在K_{n}中的二项式树的数量(参见Calin D.Morosan,Information Processing Letters,100(2006),188-193)Calin D.Morosan(cd_moros(AT)校友.concordia.ca),2008年11月28日

%设S_{n}表示n星图。S_{n}结构由n个S_{n-1}结构组成。这个序列给出了S_{n+2}(n>=1)中任意两个指定S_{n+1}结构顶点之间的边数_K.V.Iyer,2009年3月18日

%太阳图S_{n-2}的色不变量。

%C似乎a(n+1)是A000255的二项式逆变换Timothy Hopper(timothyhopper(AT)hotmail.co.uk),2009年8月20日

%C a(n)也是平方矩阵An的行列式,其系数是β函数的倒数:a{i,j}=1/β(i,j),det(An)=n!.-_恩里克·佩雷斯·埃雷罗,2009年9月21日

%C指数积分E(x,m=1,n=1)~exp(-x)/x*(1-1/x+2/x^2-6/x^3+24/x^4+…)和E(x、m=1、n=2)~xp(-x)/xx*(1-2/x+6/x^2-24/x^3+…)的渐近展开式导致阶乘数。详见A163931和A130534_Johannes W.Meijer,2009年10月20日

%C满足A(x)/A(x^2),A(x)=A173280。-_Gary W.Adamson_,2010年2月14日

%C a(n)=G^n,其中G是前n个正整数的几何平均值_雅罗斯拉夫·克里泽克,2010年5月28日

%C增加1-2棵有颜色的树,为无叶最右边的树枝选择两种颜色_Wenjin Woan_,2011年5月23日

%C带有n个标记的1种颜色珠子的项链数量。-_Robert G.Wilson v_,2011年9月22日

%C序列1!,(2!)!,((3!)!)!, (((4!)!)!)!, ..., (……(n!)!)!(n次)增长太快而无法进入。见霍夫施塔特。

%C 1/a(n)=1/n的示例f!是贝塞尔(0,2*sqrt(x))。见Abramowitz-Stegun,第375、9.3.10页_Wolfdieter Lang,2012年1月9日

%C a(n)是三角形A170942中第n行的长度,即第n行之和_Reinhard Zumkeller,2012年3月29日

%C元素1、2、…、的排列数。。。,具有属于长度r的循环的固定元素的n+1不依赖于r且等于a(n)_Vladimir Shevelev,2012年5月12日

%C a(n)是1,…,的所有置换中的不动点数。。。,n: 总共n个!排列,1正好是第一个(n-1)!乘以,2正好是秒(n-1)!次数等,给予(n-1)*n=n!.-_乔恩·佩里(Jon Perry),2012年12月20日

%C对于n>=1,a(n-1)是A000757的二项式变换。请参阅Moreno-Rivera_路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯,2013年12月9日

%C每个术语都可以被其数字根(A010888)整除_Ivan N.Ianakiev,2014年4月14日

%C对于m>=3,a(m-2)是具有m个顶点的简单图中非循环哈密顿路径的数目hp(m),除了一条缺失的边外,它是完全的。对于m<3,hp(m)=0.-_Stanislav Sykora,2014年6月17日

%C a(n)是具有n个节点的增加林的数量_Brad R.Jones_,2014年12月1日

%C阶乘数可以通过递归n!=来计算(地板(n/2)!)^2*sf(n),其中sf(n)是摆动因子A056040。如果sf(n)是通过素因式分解计算的,那么这将导致一个有效的算法。有关此算法的说明,请参阅下面的链接_Peter Luschny_,2016年11月5日

%C树状树是有序(平面)二叉(0-1-2)递增树,其中大于1的节点有2种颜色。有n个!n大小的树架,以及经典的Françon的双射将树架双射映射为排列。-_谢尔盖·柯尔吉佐夫,2016年12月26日

%C满足本福德定律[Diaconis,1977;Berger-Hill,2017]-N.J.A.Sloane_2017年2月7日

%C a(n)=总和((d_p)^2),其中d_p是整数分区p的费雷斯板中标准表的数量,总和是n的所有整数分区p。例如:a(3)=6。实际上,3的分区是[3]、[2,1]和[1,1,1],分别有1、2和1个标准表;我们有1^2+2^2+1^2=6_Emeric Deutsch,2017年8月7日

%C a(n)是2017年11月19日x^n.-_Iain Fox的n阶导数

%C a(n)是n维布尔立方体{0,1}^n中关于关系“preceds”的最大链数。定义如下:对于{0,1}^n的任意向量u,v,例如u=(u_1,u_2,…,u_n)和v=(v_1,v_2,……,v_n),如果u_i<=v_i,则“u在v之前”,对于i=1,2。。。,n.-瓦伦丁·巴科耶夫,2017年11月20日

%C a(n)是图H_n中节点(0,0,…,0)(即全零向量)和(1,1,…,1)(即全ones向量)之间的最短路径数(例如,通过宽度优先搜索获得),对应于n维布尔立方体{0,1}^n。图定义为H_n=(V_n,e_n),其中V_n是{0,1}^n的所有向量的集合,E_n包含每对相邻向量形成的边_Valentin Bakoev,2017年11月20日

%C a(n)也是对称n X n矩阵M的行列式,由M(i,j)=σ

%C a(n)也是长度n的反转序列数。长度n反转序列e1,e2。。。,e_n是n个整数的序列,其中0<=e_i<i.-_Juan S.Auli_,2019年10月14日

%C“阶乘”(factorial)一词是法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托万·阿博加斯特(Louis François Antoine Arbogast,1759-1803)于1800年发明的。1808年,法国数学家克里斯蒂安·克拉姆(1760-1826)首次使用符号“!”_Amiram Eldar,2021年4月16日

%C另外,秩2的符号数,即映射X:{{1..n}选择2}->{+,-},这样对于任何三个指数a<b<C,序列X(a,b),X(a、C),X_Manfred Scheucher,2022年2月9日

%C a(n)也是具有n个元素的标记交换半单环的数目。例如,只有F_4和F_2XF_2是具有4个元素的交换半单环。它们都正好有2个自同构,因此a(4)=24/2+24/2=24_保罗·劳比(Paul Laubie),2024年3月5日

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引</a>

%H<a href=“/index/Fa#factorial”>与阶乘数相关的序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Be#Benford”>与Benford定律相关的序列索引条目</a>

%F Exp(x)=和{m>=0}x^m/m!.-_Mohammad K.Azarian_,2010年12月28日

%F和{i=0..n}(-1)^i*i^n*二项式(n,i)=(-1)*n*n!.-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月26日

%F和{i=0..n}(-1)^i*(n-i)^n*二项式(n,i)=n!.-Peter C.Heinig(算法(AT)gmx.de),2007年4月10日

%序列平凡地满足递归a(n+1)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)*a(n-k)_Robert FERREOL,2009年12月5日

%具有递归的F D-有限:a(n)=n*a(n-1),n>=1。不!~sqrt(2*Pi)*n^(n+1/2)/e^n(斯特林近似)。

%F a(0)=1,a(n)=子(x=1,(d^n/dx^n)(1/(2-x))),n=1,2,…-_卡罗尔·彭森,2001年11月12日

%F例如:1/(1-x).-_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2004年3月4日

%F a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*A000522(k)*二项式_菲利普·德雷厄姆(Philippe Deléham),2004年7月8日

%A000166.-的F二项式变换_Ross La Haye_,2004年9月21日

%F a(n)=总和{i=1..n}((-1)^(i-1)*每次取n-i的1..n之和)-例如,4!=(1*2*3 + 1*2*4 + 1*3*4 + 2*3*4) - (1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*3 + 2*4 + 3*4) + (1 + 2 + 3 + 4) - 1 = (6 + 8 + 12 + 24) - (2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12) + 10 - 1 = 50 - 35 + 10 - 1 = 24. - _乔恩·佩里(Jon Perry),2005年11月14日

%F a(n)=(n-1)*(a(n-1Matthew J.White,2006年2月21日

%F 1/a(n)=(i,j)项为(i+j)的矩阵的行列式/(i!(j+1)!)对于n>0。这是一个对角线上有加泰罗尼亚数字的矩阵_Alexander Adamchuk,2006年7月4日

%A074664的F Hankel变换_菲利普·德雷厄姆(Philippe Deléham),2007年6月21日

%F对于n>=2,a(n-2)=(-1)^n*Sum_{j=0..n-1}(j+1)*Stirling1(n,j+1).-_米兰Janjic_,2008年12月14日

%F From _Paul Barry,2009年1月15日:(开始)

%F G.F.:1/(1-x-x^2/(1-3x-4x^2/-(1-5x-9x^2/(1-7x-16x^2//(1-9x-25x^2……(连分数)),因此Hankel变换为A055209。

%(n+1)的F G.F!是1/(1-2x-2x^2/(1-4x-6x^2/-(1-6x-12x^2/(1-8x-20x^2……(连分数)),因此Hankel变换是A059332。(结束)

%F a(n)=素数除以n的最高幂的勒让德公式的乘积_{p素数}p^(Sum_{k>0}floor(n/p^k))!.-_Jonathan Sondow,2009年7月24日

%F a(n)=A053657(n)/A163176(n),对于n>0.-_Jonathan Sondow_,2009年7月26日

%F看起来a(n)=(1/0!)+(1/1!)*n+(3/2!)*n*(n-1)+(11/3!)*n*(n-1)*(n-2)+…+(b(n)/n!)*n*(n-1)**2*1,其中a(n)=(n+1)!且b(n)=A000255.-_蒂莫西·霍珀(Timothy Hopper),2009年8月12日

%F总和{n>=0}1/a(n)=e.-Jaume Oliver Lafont_,2009年3月3日

%F a(n)=a(n-1)^2/a(n-2)+a(n-1),n>=2_Jaume Oliver Lafont_,2009年9月21日

%F a(n)=伽马射线(n+1)_恩里克·佩雷斯·埃雷罗,2009年9月21日

%F a(n)=A173333(n,1)_Reinhard Zumkeller,2010年2月19日

%F a(n)=a_{n}(1),其中a_{n}(x)是欧拉多项式_Peter Luschny_,2010年8月3日

%F a(n)=n*(2*a(n-1)-(n-1_Gary Detlefs,2010年9月16日

%F 1/a(n)=-和{k=1..n+1}(-2)^k*(n+k+2)*a(k)/(a(2*k+1)*a_Groux Roland,2010年12月8日

%F From _Vladimir Shevelev,2011年2月21日:(开始)

%F a(n)=乘积{p素数,p<=n}p^(和{i>=1}层(n/p^i))。

%F这个公式的无限模拟是:a(n)=A050376的乘积{q项<=n}q^((n)_q),其中(n)_ q表示q是无限除数的那些数的个数<=n(定义见A037445中的注释)。(结束)

%这些项是sinh(x)+cosh(x)展开式的分母_Arkadiusz Wesolowski,2012年2月3日

%F.G.F.:1/(1-x/(1-x/(1-2*x/(1-2*x/(1-3*x/…))))_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2012年5月12日

%F G.F.1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1-(k+1)*x/(1-x*(k+2)/G(k+1;(连分数,2步)_Sergei N.Gladkovskii_,2012年8月14日

%F G.F.:W(1,1;-x)/(W(1,1,1-x)-x*W(1,2,-x)),其中W(a,b,x)=1-a*b*x/1!+a*(a+1)*b*(b+1)*x^2/2!-…+a*(a+1)**(a+n-1)*b*(b+1)**(b+n-1)*x^n/n!+。。。;见[A.N.霍万斯基,第141页(10.19)]_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2012年8月15日

%F From _Sergei N.Gladkovskii,2012年12月26日:(开始)

%F G.F.:A(x)=1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1+(k+1)*x-x*(k+2)/G(k+1);(续分数)。

%F设B(x)为A051296的g.F.,则A(x)=2-1/B(x)。(结束)

%F G.F.:1+x*(G(0)-1)/(x-1),其中G(k)=1-(2*k+1)/(1-x/(x-1/(1-2*k+2)/(1-x/(x-1/G(k+1))));(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年1月15日

%F G.F.:1+x*(1-G(0))/(sqrt(x)-x),其中G(k)=1-(k+1)*sqrt;(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年1月25日

%F G.F.:1+x/G(0),其中G(k)=1-x*(k+2)/(1-x*(k+1)/G(k+1));(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年3月23日

%F a(n)=det(S(i+1,j),1<=i,j<=n),其中S(n,k)是第二类斯特林数_Mircea Merca,2013年4月4日

%F G.F.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)+1/G(k+1;(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年5月24日

%F G.F.:2/G(0),其中G(k)=1+1/(1-1/(2*x*(k+1))+1/G(k+1));(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年5月29日

%F G.F.:G(0),其中G(k)=1+x*(2*k+1)/(1-x*(2%k+2)/(x*(2.k+2,+1/G(k+1));(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年6月7日

%F a(n)=P(n-1,楼层(n/2))*楼层(n/3)!*(n-(n-2)*((n+1)mod 2)),其中P(n,k)是n个对象的k-置换,n>0.-_Wesley Ivan Hurt_,2013年6月7日

%F a(n)=a(n-2)*(n-1)^2+a(n-1_Ivan N.Ianakiev,2013年6月18日

%F a(n)=a(n-2)*(n^2-1)-a(n-1),n>1_Ivan N.Ianakiev,2013年6月30日

%F G.F:1+x/Q(0),m=+2,其中Q(k)=1-2*x*(2*k+1)-m*x^2*(k+1)*(2xk+1)/(1-2*x*;(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年9月24日

%F a(n)=A245334(n,n)_Reinhard Zumkeller,2014年8月31日

%F a(n)=产品{i=1..n}A014963^楼层(n/i)=产品_{i=1..n}P003418(楼层(n/i)).-_Matthew Vandermast,2014年12月22日

%F a(n)=round(Sum_{k>=1}log(k)^n/k^2),对于n>=1,这与黎曼ζ函数在x=2时的n阶导数有关,如下所示:round((-1)^n*zeta^(n)(2))。另请参见A073002_理查德·福伯格,2014年12月30日

%F a(n)~Sum_{j>=0}j^n/e^j,其中e=A001113。当用一般变量代替“e”时,这个无穷和与欧拉多项式有关。参见A008292。这个n的近似值!n=2时在0.4%范围内。见A255169。精度,以百分比表示,对于较大的n.-Richard R.Forberg_,2015年3月7日,迅速提高

%F a(n)=产品{k=1..n}(C(n+1,2)-C(k,2))/(2*k-1);请参阅Masanori Ando链接_米歇尔·马库斯(Michel Marcus),2015年4月17日

%F求和{n>=0}a(n)/(a(n+1)*a(n+2))=Sum_{n>=0.}1/((n+2.)*(n+1_伊利亚·古特科夫斯基,2016年11月1日

%F a(2^n)=2^(2^n-1)*1!!*3!! * 7!! * ... * (2^n-1)!!。例如,16!=2^15*(1*3)*(1*3*5*7)*(1*3*5*7*9*11*13*15) = 20922789888000. - _Peter Bala,2016年11月1日

%F a(n)=sum(prod(B)),其中sum覆盖{1,2,…,n-1}的所有子集B,其中prod(B)表示集合B的所有元素的乘积。例如,a(4)=(1*2*3)+(1*2)+_Dennis P.Walsh,2017年10月23日

%F和{n>=0}1/(a(n)*(n+2))=1.-将上面Jaume Oliver Lafont条目中的分母乘以(n+2)可以得到一个可伸缩的和_Fred Daniel Kline,2020年11月8日

%F.O.g.F.:求和{k>=0}k*x^k=Sum_{k>=0}(k+y)^k*x^k/(1+(k+y)*x)^(k+1),任意y.-Peter Bala_,2022年3月21日

%F例如:1/(1+LambertW(-x*exp(-x)))=1/(1-x),见A258773-(1/x)*替换(z=x*exp(-x),z*(d/dz)LambertW(-z))=1/(1-x)。参见A075513。证明:使用成分反转(x*exp(-x))^[-1]=-LambertW(-z)。参见A000169或A152917,以及Richard P.Stanley:枚举组合数学,第2卷,第37页,等式(5.52)_Wolfdieter Lang,2022年10月17日

%F总和{k>=1}1/10^a(k)=A012245(刘维尔常数)_伯纳德·肖特,2022年12月18日

%F来自_David Ulgenes_,2023年9月19日:(开始)

%F 1/a(n)=(e/(2*Pi*n)*Integral_{x=-oo..oo}cos(x-n*arctan(x))/(1+x^2)^(n/2)dx)。证明:取1/Gamma(x)的拉普拉斯积分的实分量。

%F a(n)=积分{x=0..1}e^(-t)*LerchPhi(1/e,-n,t)dt。证明:使用Gamma(x+1)=Sum_{n>=0}积分{t=n.n.n+1}e^。

%F猜想:a(n)=1/(2*Pi)*Integral_{x=-oo..oo}(n+i*x+1)/(i*x+1)-(n+i*x-1)/(i*x-1)dx。(结束)

%F a(n)=楼面(b(n)^n/(楼面((2^b(n。与_Mihai Prunescu_的联合工作_洛伦佐·索拉斯(Lorenzo Sauras Altuzarra),2023年10月18日

%F a(n)=e^(积分_{x=1..n+1}Psi(x)dx),其中Psi(x)是digamma函数_安德烈亚·皮诺斯,2024年1月10日

%e有3个!=1*2*3=6种排列3个字母{a,b,c}的方式,即abc,acb,bac,bca,cab,cba。

%e设n=2。考虑{1,2,3}的排列。固定元件3。在下列每种情况下都有一个(2)=2置换:(a)3属于长度为1的循环(置换(1,2,3)和(2,1,3));(b) 3属于长度为2的循环(排列(3,2,1)和(1,3,2));(c) 3属于长度为3的循环(排列(2,3,1)和(3,1,2))_Vladimir Shevelev,2012年5月13日

%总长度=1+x+2*x^2+6*x^3+24*x^4+120*x^5+720*x^6+5040*x^7+。。。

%p A000142:=n->n!;序列(n!,n=0..20);

%p规范:=[S,{S=序列(Z)},标记];seq(combstruct[count](规范,大小=n),n=0..20);

%p#计算对称群循环指数的Maple程序

%p M:=6:f:=数组(0..M):f[0]:=1:打印(`n=`,0);打印(f[0]);f[1]:=x[1]:打印(`n=`,1);打印(f[1]);对于从2到M的n,做f[n]:=展开((1/n)*加(x[l]*f[n-l],l=1..n));打印(`n=`,n);打印(f[n]);日期:

%p with(combstruct):ZL0:=[S,{S=集(循环(Z,卡>0))},标记]:seq(计数(ZL0,大小=n),n=0..20);#_Zerinvary Lajos,2007年9月26日

%t表[阶乘[n],{n,0,20}](*_Stefan Steinerberger_,2006年3月30日*)

%t折叠列表[#1#2&,1,范围@20](*RobertG.Wilson v_1011年5月7日*)

%t范围[20]!(*哈维·P·戴尔,2011年11月19日*)

%t循环表[{a[n]==n*a[n-1],a[0]==1},a,{n,0,22}](*雷·钱德勒,2015年7月30日*)

%o(公理)[在0..10中n的阶乘(n)]

%o(岩浆)a:=func<n|阶乘(n)>;[0..10]]中的[a(n):n;

%o(哈斯克尔)

%o a000142::(枚举a,数字a,积分t)=>t->a

%o a000142 n=积[1..来自积分n]

%o a000142_list=1:zip带(*)[1..]a000142_list

%o---Reinhard Zumkeller_,2014年3月2日,2011年11月2日和2011年4月21日

%o(Python)

%o对于范围(11000)内的i:

%o y=i

%o对于范围(1,i)中的j:

%o y*=i-j

%o打印(y,“\n”)

%o(Python)

%o导入数学

%o对于范围(11000)内的i:

%o数学阶乘(i)

%o打印(“”)

%o#_Ruskin Harding_,2013年2月22日

%o(PARI)a(n)=prod(i=1,n,i)\\费利克斯,2014年8月17日

%o(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!)};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2004年3月4日*/

%o(Sage)[(1..22)中n的阶乘(n)]#_Giuseppe Coppoletta_,2014年12月5日

%o(GAP)列表([0..22],阶乘);#_Muniru A Asiru_,2018年12月5日

%o(Scala)(1:BigInt).到(24:BigInt.).scanLeft(1:Big Int)(_*_)//_Alonso del Arte_,2019年3月2日

%Y参见A000165、A001044、A001563、A003422、A009445、A010050、A012245、A033312、A034886、A038507、A047920、A048631。

%Y阶乘基表示:A007623。

%Y参考A003319、A052186、A144107、A144108.-_Gary W.Adamson_,2008年9月11日

%A063992.-的Y补码_Reinhard Zumkeller_,2008年10月11日

%Y参考A053657,A163176.-_Jonathan Sondow,2009年7月26日

%Y参考A173280.-_Gary W.Adamson_,2010年2月14日

%Y Boustrophedon变换:A230960、A230961。

%Y参考A233589。

%Y参考A245334。

%Y A249026中数组的一行。

%Y参见A001013(乘法闭包)。

%Y对于初始数字为d(1<=d<=9)的阶乘,请参见A045509、A045510、A045511、A0455126、A04551、A04517、A04558、A282021和A045519;A045520、A045521、A045522、A045523、A045524、A045525、A045526、A045527、A045528、A045529。

%Y参见A000169、A075513、A152917、A258773。

%K核,容易,不,好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

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