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A010054 A(n)=1,如果n是三角形数,则为0。 一千四百七十三
1, 1, 0、1, 0, 0、1, 0, 0、0, 1, 0、0, 0, 0、1, 0, 0、0, 0, 0、1, 0, 0、0, 0, 0、0, 1, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0,1

评论

这实质上是雅可比θ函数θa2(q)的q-展开。(TaTaa2)必须忽略2×q^(1/4)的初始因子,然后用q^(1/2)代替q。也见A000 5369斯隆,八月03日2014

RAMANUJAN-theta函数:f(q)(参见)A121378(φ(q))A000 0122(psi(q))A010054)(χ(q))A000 0700

RAMANUJYA的θ函数f(a,b)=和a^ {n*(n+1)/2 } *b^ {n*(n-1)/2 },n=-f..fn。

这个序列是序列B^ n中的BASE-B数字的级联,对于任何基B>=2。- Davis Herring(鲱鱼(AT)兰尔·GOV),11月16日2004

n划分成不同的部分的数目,以使最大部分等于所有部分的数目,参见A047 93A(n)=A117195(n,0)n>0;a(n)=1A117195(n,1)n>1。-莱因哈德祖姆勒03三月2006

三角形T(n,k),0 <=k<=n,按行读取,由A000 0 07三角洲A000 000 04其中δ是定义在A084938. -菲利普德勒姆,03月1日2009

卷积A000 000 41=A022567的卷积平方A000 00 09. -加里·W·亚当森6月11日2009

A000 844(n)=SuMu{{K=0…n} A(k)*A(N-K)。-莱因哈德祖姆勒03月11日2009

具有交替符号的波尔科夫逆A000 6950(1, 1, 1,2, 3, 4,5, 7,…)。-加里·W·亚当森3月15日2010

这个序列与拉马努金的两个变量θ函数有关,因为这个序列也是广义六边形数的特征函数。-奥玛尔·E·波尔,军08 2012

14个原始ETA产品的3个,是D.ZaGiER在“模块化形式1-2-3”页面30中列出的权重1/2的全纯模块化形式。-米迦勒索摩斯04五月2016

推荐信

J. H. Conway和N.J.A.斯隆,“Sphere Packings,格和群”,Springer Verlag,第103页。

J. Tannery和莫克,《椭圆》第2卷,第1902卷,Gauthier Villars,巴黎,1902;切尔西,NY,27,见第27页。

惠特克和G. N. Watson,《现代分析教程》,剑桥大学出版社,第四版,1963页,第464页。

链接

Reinhard Zumkellern,a(n)n=0…10000的表

S. Cooper和M. D. Hirschhorn三方格的Hurwitz型结果离散数学。274(2004),1-3,9-24。见PSI(Q)。

M. D. Hirschhorn,J. A. Sellers,一个同余模3,用于划分四个不同的非倍数,第14.6页,整数序列杂志,第17卷(2014)。

K. Ono,罗宾斯和P. T. Wahl,整数与三角数之和的表示1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-4页,第1期。

Franck Ramaharo椒盐卷曲结点的生成多项式,阿西夫:1805.10680(数学,Co),2018。

M. SomosRAMANUJAN-THETA函数简介.

M. SomosRAMANUJAN-THETA函数简介.

Eric Weisstein的数学世界,Ramanujan Theta函数

特征函数的索引项

公式

F(x,x ^ 3)在X的幂的扩张,其中F(,)是拉马努金的一般θ函数。

q^(1)*(φ(q)-φ(q^ 4))/2在q^ 8幂中的展开。-米迦勒索摩斯,朱尔01 2014

q-(q 1/8)*η(q^ 2)^ 2/η(q)在q-幂中的展开米迦勒索摩斯4月13日2005

周期2序列的Euler变换〔1,- 1,…〕。-米迦勒索摩斯3月24日2003

给定G.F a(x),则B(q)=q*a(q^ 8)满足0=f(b(q),b(q^ 2),b(q^ 3),b(q^ 6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=u1*u6^ 3 +u2*u3^ 3 -u1*u2^ 2*u6。-米迦勒索摩斯4月13日2005

A(n)=B(8×n+1),其中b()与B(2 ^ e)=0 ^ E,B(p^ e)=(1 +(-1)^ e)/ 2,如果p>2是乘性的。-米迦勒索摩斯,军06 2005

A(n)=A000 5369(2×N)。-米迦勒索摩斯4月29日2003

G.f.:θa2(qRT(q))/(2×q^(1/8))。

G.f.:(1)/(1±x/(1±x ^ 1//(1×x/)(1+x/)(1+x ^ 2/(1—x/)(1+x/(1+x ^ 1 /…-米迦勒索摩斯5月11日2012

G.f.:乘积{k>0 }(1-x^(2×k))/(1-x^(2×k-1))。-瓦拉德塔约霍维奇02五月2002

A(0)=1;对于n>0,A(n)=A000 2024(n+1)-A000 2024(n)。-班诺特回旋曲,05月1日2004

G.f.:SuMu{{j>=0 }乘积{{K=0…J} X^ J.乔恩佩里3月30日2004

A(n)=楼层((1-COS(PI*SqRT(8×N+1))/ 2)。-卡尔·R·怀特3月18日2006

A(n)=圆(qRT(2n+1))-圆(qRT(2n))。-菲舍尔,八月06日2007

A(n)=天花板(2×平方RT(2N+ 1))-地板(2×SqRT(2n))- 1。-菲舍尔,八月06日2007

A(n)=f(n,0),f(x,y)=如果x>0,则f(x y,y+1),否则为0 ^(-x)。-莱因哈德祖姆勒9月27日2008

A(n)=A035214(n)- 1。

米凯尔阿尔托宁,1月22日2015:(开始)

由于S- Grand数的特征函数是由Sqt(2n/(S-2)+((S 4)/(2S 4))^ 2)+(S 4)/(2S 4)-层(SqRT(2(N-1)/(S 2)+((S 4)/(2S 4))^ 2)+(S 4)/(2S 4)),通过设置S=3,得到如下:对于n>0,A(n)=楼层(Sqt(2×n+1/4)-1/2)-层(Sqt(2*(n-1)+1/4)-1/2)。

(结束)

a(n)=(1)^ n *A10645(n)。-米迦勒索摩斯04五月2016

G.F.是满足F(- 1/(16 T))=2 ^(-1/2)(t/i)^(1/2)G(t)的周期1傅立叶级数,其中q=EXP(2πi)和G()是G。A000 2448. -米迦勒索摩斯05五月2016

G.f.:SuMu{{N>=0 } x^(n*(n+1)/2)=乘积{{n>=1 }(1 -x^ n)*(1 +x^ n)^ 2=乘积{{n>=1 }(1×x(2×n))*(1+x ^ n)=乘积{{n>=1 }(1 -x ^(y*n))/(α-x^(α*n-1))。从THEATA2(0,SqRT(q))/(2×q^(1/8))函数的和和乘积表示。最后的产品,由瓦拉德塔约霍维奇上面,通过Euler恒等式从第二个到最后一个,通过F(x)=乘积{{n>=1 }(1 -x^(2×n-1))*乘积{{n>=1 }(1 +x^ n)=f(x^ 2),通过将第二乘积的奇数索引因子移动到第一乘积。这导致f(x)=f(0)=1。-狼人郎,朱尔05 2016

A(0)=1,A(n)=(1/n)* SuMu{{K=1…n}。A000 2129(k)*(N-K)为n>0。-马山由一,APR 08 2017

例子

G.F.=1+x+x^ 3+x ^ 6 +x^ 10 +x^ 15 +x^ 21 +x^ 28 +x^ 36 +x^ 45 +x^ 55 +x^ 66+…

G.f. for B(q)=q*a(q^ 8):q+q^ 9+q^ 25+q^ 49+q^ 81+qq 121+q^ 169+q^ 225+q^ 289+q^ 361+…

菲利普德勒姆,04月2008日:(开始)

作为三角形,开始:

1;

1, 0;

1, 0, 0;

1, 0, 0、0;

1, 0, 0、0, 0;

1, 0, 0、0, 0, 0;

(结束)

Mathematica

a [n]:=平方a[1, 8 n+1 ] / 2;(*)米迦勒索摩斯11月15日2011*)

[n[i]:=如果[n≤0, 0,级数系数] [(椭圆[ 3,log [y] /(2 i),x^ 2 ],{x,0,n+Loe[sqrt[n] }] / /正规/ / TrigToExp)。{y->x},{x,0,n}〕;(*)米迦勒索摩斯11月15日2011*)

表[I[整数] [(Sqr[8n+1] - 1)/ 2 ],1, 0 ],{n,0, 110 }](*)哈维·P·戴尔10月29日2012*)

a[n]:=级数系数[Opjiththeta〔2, 0,q^(1/2)〕/(2 q^(1/8)),{q,0,n};(*);米迦勒索摩斯,JUL 01 2014*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=i(a);If(n<0, 0,a= x*o(x^ n);PoCo(η(x ^ 2+a)^ 2 /η(x+a),n))};/*;米迦勒索摩斯3月14日2011*

(PARI){a(n)=IS-平方(8×n+1)};/*米迦勒索摩斯4月27日2000*

(PARI)A(n)=等多边形(n,3);米歇尔马库斯1月22日2015

(哈斯克尔)

A010054=A010052。(+ 1)。(* 8)

A010054列表= CaltMaP(\x> 1:复制x 0)[0…]

——莱因哈德祖姆勒2月12日2012 10月22日2011 APR 02 2011

(岩浆)基(模形式(GAMMA0(16),1/2),362)〔2〕;米迦勒索摩斯6月10日2014*

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0217A000 2448A000 5369A023 531A035214A022567A052443A000 6950A10645A12764.

将n写成k个三角形数之和的数目,k=1,…A010054A000 844A000 844A000 8438A000 8439A000 8440A226252A000 7331A226253A226254A226255A014797A014809.

囊性纤维变性。A106507(互惠系列)。

语境中的顺序:A29 5895 A179416 A155972*A10645 A14333 A14334

相邻序列:A010051 A010052 A010053*A010055 A010056 A010057

关键词

诺恩塔布容易

作者

斯隆

扩展

附加评论米迦勒索摩斯4月27日2000

地位

经核准的

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最后修改9月23日14:48 EDT 2019。包含327376个序列。(在OEIS4上运行)