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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A010054型 如果n是三角形数,a(n)=1,否则为0。 1498
1、1、1、1、1、0、0、1、0、1、0、0、0、0、1、0、0、0、1、0、0、0、0、0、0、0、0、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,1

评论

这本质上是雅可比θ函数θu2(q)的q展开式。(在θu2中,必须忽略初始因子2*q^(1/4),然后用q^(1/2)代替q。另请参见A005369号.) -N、 斯隆2014年8月3日

Ramanujanθ函数:f(q)(参见邮编:A121373),φ(q)(A000122号),磅/平方英寸(q)(A010054型),池(q)(A000700美元).

Ramanujan的θ函数f(a,b)=和{n=-inf..inf}a^(n*(n+1)/2)*b^(n*(n-1)/2)。

此序列是序列b^n中的base-b数字的串联,对于任何基b>=2。-Davis Herring(Herring(AT)lanl.gov),2004年11月16日

将n划分为不同部分的数目,使最大部分等于所有部分的数目,另请参阅A047993号;a(n)=A117195年(n,0)对于n>0;a(n)=1-A117195年(n,1)对于n>1。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年3月3日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按行读取,由A000007号三角洲A000004号其中DELTA是在中定义的运算符A084938号. -菲利普·德莱厄姆2009年1月3日

卷曲A000041号=A022567号,的卷积平方A000009号. -加里·W·亚当森2009年6月11日

A008441号(n) =和{k=0..n}a(k)*a(n-k)。-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月3日

带交替符号的Polcoeff逆=A006950型:(1,1,1,2,3,4,5,7,…)。-加里·W·亚当森2010年3月15日

这个序列与Ramanujan的两个变量theta函数有关,因为这个序列也是广义六角数的特征函数。-奥马尔·E·波尔2012年6月8日

D.Zagier在第30页的“模块形式的1-2-3”中列出的14个原始eta产品中的第3个,它们是重量为1/2的全纯模形式。-迈克尔·索莫斯2016年5月4日

参考文献

J、 H.Conway和N.J.A.Sloane,“球体填料、晶格和群”,Springer Verlag,第103页。

J、 Tannery and J.Molk,Eléments de la Théorie des Foncations Elliptiques,第2卷,高希耶别墅,巴黎,1902年;切尔西,纽约,1972年,见第27页。

E、 T.惠特克和G.N.沃森,《现代分析教程》,剑桥大学出版社,第4版,1963年,第464页。

链接

莱因哈德·祖姆凯勒,n=0..10000时的n,a(n)表

S、 Cooper和M.D.Hirschhorn,三个正方形的Hurwitz型结果,离散数学。274(2004年),第1-3、9-24号。见psi(q)。

施叔甫,王亚玲,关于两个Schröder三角形的双目标递归性,arXiv:1908.03912[math.CO],2019年。

M、 D.赫施霍恩,J.A.塞勒斯,划分为四个不同的非倍数的同余模3,第14.9.6条,《整数序列杂志》,第17卷(2014年)。

K、 小野、S.罗宾斯和P.T.沃尔,关于整数作为三角数和的表示,Aequationes mathematicae,1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-94页,命题1。

弗朗克·拉马哈罗,椒盐卷饼结的生成多项式,arXiv:1805.10680[math.CO],2018年。

M、 索莫斯,Ramanujan theta函数简介.

M、 索莫斯,q-级数的一个多截

埃里克·韦斯坦的数学世界,Ramanujanθ函数

特征函数的索引项

公式

f(x,x^3)在x的幂次中的展开式,其中f(,)是Ramanujan的一般θ函数。

q^(-1)*(phi(q)-phi(q^4))/2的展开式,单位为q^8的幂次。-迈克尔·索莫斯2014年7月1日

q^(-1/8)*eta(q^2)^2/eta(q)的展开式-迈克尔·索莫斯2005年4月13日

周期2序列的欧拉变换[1,-1,…]。-迈克尔·索莫斯2003年3月24日

给定g.f.A(x),则B(q)=q*A(q^8)满足0=f(B(q),B(q^2),B(q^3),B(q^6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=u1*u6^3+u2*u3^3-u1*u2^2*u6。-迈克尔·索莫斯2005年4月13日

a(n)=b(8*n+1),其中b()与b(2^e)=0^e相乘,如果p>2,b(p^e)=(1+(-1)^e)/2。-迈克尔·索莫斯2005年6月6日

a(n)=A005369号(2*n)。-迈克尔·索莫斯2003年4月29日

G、 f.:θ2(sqrt(q))/(2*q^(1/8))。

G、 f.:1/(1-x/(1+x/(1+x^1/(1-x/(1+x^2/(1-x/(1+x^2/(1-x/(1+x^3/…))))))。-迈克尔·索莫斯2012年5月11日

G、 f.:积{k>0}(1-x^(2*k))/(1-x^(2*k-1))。-弗拉德塔·乔沃维奇2002年5月2日

对于0(a)=0(a)=n=A002024号(n+1)-A002024号(n) 一。-贝诺伊特·克罗伊特2004年1月5日

G、 f.:和{j>=0}积{k=0..j}x^j-乔恩·佩里2004年3月30日

a(n)=楼层((1-cos(Pi*sqrt(8*n+1)))/2)。-卡尔·R·怀特2006年3月18日

a(n)=圆形(sqrt(2n+1))-圆形(sqrt(2n))。-希罗尼穆斯·菲舍尔2007年8月6日

a(n)=天花板(2*sqrt(2n+1))-地板(2*sqrt(2n))-1。-希罗尼穆斯·菲舍尔2007年8月6日

a(n)=f(n,0)和f(x,y)=如果x>0,则f(x-y,y+1),否则为0^(-x)。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月27日

a(n)=A035214(n) -1。

米凯尔·阿尔托宁2015年1月22日:(开始)

由于s角数的特征函数是由楼层(sqrt(2n(2n/(s-2))+((s-4)/(2s-4))^2)+(s-4)/(2s-4))-楼层(sqrt(2(n-1)/(s-2)(s-4)(s-4)/(2s-4))^2)+(s-4)/(2s-4)),由于s=3设置s=3,由于n>0,a(n)=地板(sqrt(2*n+1/4)-1/2)-地板(sqrt(2*n+1/4)-1/2)-地板(sqrt(2*(n-1)(s-4))(sqrt(2*(n-1)(s-4)(2s 4)),2)(s-4)(s-4)-1/2)。

(结束)

a(n)=(-1)^n*A106459号(n) 一。-迈克尔·索莫斯2016年5月4日

G、 f.是满足f(-1/(16 t))=2^(-1/2)(t/i)^(1/2)G(t)的周期1傅立叶级数,其中q=exp(2 Pi i t),G()是A002448号. -迈克尔·索莫斯2016年5月5日

G、 f.:Sum{n>=0}x^(n*(n+1)/2)=积{n>=1}(1-x^n)*(1+x^n)^2=积{n>=1}(1-x^(2*n))*(1+x^n)=积{n>=1}(1-x^(2*n))/(1-x^(2*n))/(1-x^(2*n-1))。从θ2(0,sqrt(q))/(2*q^(1/8)))函数的和与积表示。最后一个产品,由弗拉德塔·乔沃维奇上面的,是从第二个到最后一个由一个欧拉恒等式得到的,通过f(x):=乘积{n>=1}(1-x^(2*n-1))*乘积{n>=1}(1+x^n)=f(x^2),方法是将第二个乘积的奇数指数因子移到第一个乘积上。这导致f(x)=f(0)=1。-狼牙2016年7月5日

a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A002129号(k) *a(n-k)表示n>0。-真山真一2017年4月8日

例子

G、 ^36 x 21 x+15^x+15^x+6^x 1+6^x 5+5+5^x。。。

G、 f.对于B(q)=q*A(q^8):q+q^9+q^25+q^49+q^81+q^121+q^169+q^225+q^289+q^361+。。。

菲利普·德莱厄姆,2008年1月4日:(开始)

从三角形开始:

1个;

1,0;

1,0,0;

1,0,0,0;

1,0,0,0,0;

1,0,0,0,0,0;

…(结束)

数学

a[n_u]:=平方sr[1,8 n+1]/2(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*)

a[n_]:=如果[n<0,0,SeriesCoefficient[(Series[ellipitcheta[3,Log[y]/(2i),x^2],{x,0,n+Floor@Sqrt[n]}]//Normal//TrigToExp)/。{y->x},{x,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*)

表[If[IntegerQ[(Sqrt[8n+1]-1)/2],1,0],{n,0,110}](*哈维·P·戴尔2012年10月29日*)

a[n_x]:=系列系数[EllipticTheta[2,0,q^(1/2)]/(2 q^(1/8)),{q,0,n}](*迈克尔·索莫斯2014年7月1日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polcoeff(eta(x^2+a)^2/eta(x+a),n))}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/

(PARI){a(n)=平方(8*n+1)}/*迈克尔·索莫斯2000年4月27日*/

(PARI)a(n)=多角(n,3)\\米歇尔·马库斯2015年1月22日

(哈斯克尔)

a010054=a010052。(+1)。(*8)

a010054_list=concatMap(\x->1:复制x 0)[0..]

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月12日、2011年10月22日、2011年4月2日

(岩浆)基(模数形式(伽玛0(16),1/2),362)[2]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/

交叉引用

囊性纤维变性。A000217,A002448号,A005369号,A023531号,A035214,A022567号,A052343号,A006950型,A106459号,邮编:A127648.

将n写成k个三角形数之和的方法数,对于k=1,…:A010054型,A008441号,A008443号,A008438号,A008439,A008440号,A226252号,A007331号,A226253号,A226254号,A226255型,A014787号,A014809年.

囊性纤维变性。A106507号(倒数序列)。

上下文顺序:A295895年 邮编:A179416 A155972号*A106459号 A143433号 A143434号

相邻序列:A010051型 A010052型 A010053型*A010055型 A010056型 A010057型

关键字

,,容易的

作者

N、 斯隆

扩展

其他评论来自迈克尔·索莫斯2000年4月27日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月28日22:26。包含337420个序列。(运行在oeis4上。)