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A000 1498 贝塞尔多项式Yyn(x)系数的三角A(n,k)(n>=0, 0<k<=n)(指数递增)。 四十
1, 1, 1,1, 3, 3,1, 6, 15,15, 1, 10,45, 105, 105,1, 15, 105,420, 945, 945,1, 21, 210,1260, 4725, 10395,10395, 1, 28,378, 3150, 17325,62370, 135135, 135135,62370, 135135, 135135,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0,5

评论

具有递增指数的行多项式(例如,第三行:1 +3x+3x^ 2)是Grosswald的y{{n}(x)多项式,p 18,Eq.(7)。

也称为第一类贝塞尔数。

三角A(n,k)具有因式分解[C(n,k)] [C(k,nk)] Diag((2n-1)!!)三角形A(N-K,K)是A100861,给出了比例Hermite多项式的系数。-保罗·巴里5月21日2005

与A(n,k)=完全图kyn的k匹配有关A100861(n+k,k)。与摩根航海多项式有关的(n,k)=(2k-1)!!*A0854 78(n,k)。-保罗·巴里8月17日2005

与A(n,k)=(- 1)^ k*有关的Hermite多项式A060821(n+k,nk)/2 ^ n-保罗·巴里8月28日2005

行多项式,贝塞尔多项式y(n,x)=SuMu{{m=0…n}(a(n,m)*x^ m)(称为yx {n}(x)在GrSoSurad参考中)满足(x^ 2)*(d^ 2 /dx ^ 2)y(n,x)+2 *(x+1)*(d/dx)y(n,x)-n*(n+1)*y(n,x)=0。

A(n-1,m -1),n>=m>1,枚举由m平面(又名有序)增加(根)树构成的无序N-顶点森林。来自第一列y(z)的E.F.的证明:=1SqRT(1-*Z)(偏移1)和BelGron等。方程(8)y′(z)=φ(y(z)),y(0)=0,具有出度O.G.F.φ(w)=1/(1-w)。请参阅关于平面递归树的第28页的注释。M=1见D. Callan评论A000 1147自2006 10月26日起。-狼人郎9月14日2007

高阶指数积分E(x,m,n)的渐近展开式A16331对于信息,以有趣的方式引出第一类的贝塞尔数。对于m的前四个值,这些渐近展开导致三角形。A130534(m=1),A024421(m=2),A16932(m=3)和A16934(m=4)。这些三角形的右边列的O.G.F.S.轮到三角形。A16936(m=1),A16937(m=2),A16938(m=3)和A16939(m=4)。这四个三角形的行和导致A000 1147A000 1147(减A(0));A00 1879A000 045这是前四个右手列A000 1498. 我们检查了这种现象的几个值的M,发现这种模式仍然存在:M=5导致A000 1880,m=6至A00 188,m=7至A038 121m=8到A130563下面是四个右手列A000 1498. 因此,贝塞尔多项式系数三角形的所有列都一个接一个地出现。-约翰内斯·梅杰,10月07日2009

A(n,k)也可作为微分算子D(n+1)st度的系数:=1/t d/dt,即d^ {n+1 }=SUMY{{K=0…n} A(n,k)(-1)^ {n- k} t^ {(n+k)}(d^ {n+1-k}/dt^ {n+1-k}。-列奥尼德贝德拉图克,八月06日2010

推荐信

J. Riordan,组合恒等式,威利,1968,第77页。

链接

诺伊,行n=0…50的三角形,扁平化

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Florian Stober,阿明卫,关于平均插入问题,ARXIV:1905.09656 [C.DS],2019。

洛杉矶斯齐凯利,P. L. Erd和M. A. Steel,进化树的组合论,Lotharingien de Combinatoire,B28 E(1992),15 pp.

Eric Weisstein的数学世界,第二类球面贝塞尔函数的修正

与贝塞尔函数或多项式相关的序列的索引条目

公式

A(n,k)=(n+k)!/(2 ^ k*(N-K)!* K!)(见Grosswald和Riordan)。-拉尔夫斯蒂芬4月20日2004

a(n,0)=1;a(0,k)=0,k>0;a(n,k)=a(n-1,k)+(n+k+1)a(n,k-1)=a(n-1,k)+(n+k-1)a(n-1,k-1)。-伦斯迈利

A(n,m)=A000 1497(n,n- m)=A000 1147(m)*二项式(n+m,2×m),n>=m>=0,否则为0。

第m列的G.F.:A000 1147(m)*x^ m)/(1-x)^(2×m+ 1),m>=0,其中A000 1147(m)=双阶乘(从显式A(n,m)形式)。

行多项式Yyn(x)由t=0(d=0)上的d^(n+1)(EXP(t))给出,其中D是算子1 /(1-t*x)*d/dt。-彼得巴拉11月25日2011

G.f.:猜想:t(0)/(1-x),其中t(k)=1×x*y*(k+ 1)/(x*y*(k+1)-(1-x)^ 2 /t(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克11月13日2013

从Grosswald,p 18,等式(5),行多项式:Yyn(x)=(2×n-1)*x*y{{n}-} +y{{n}}(x),y{{-}}(x)=1=y{{0 }=1,n>=1。对于n>=0,k=0…n: a(n,k)=0,对于n<k(零在三角形中没有示出),a(n,-1)=0,a(0, 0)=1=a(1, 0),否则A(n,k)=(2×n-1)*a(n-1,k-1)+a(n-2,k)。与上述给定的复发进行比较。-狼人郎5月11日2018

t(n,k)=PoCHLAMP(n+1,k)*二项式(n,k)/2 ^ k=A113025(n,k)/ 2 ^ k。彼得卢斯尼5月11日2018

例子

三角形A(n,k),n>=0,k=0…n,开始:

α1

α1×1

α1×3×3

α1,6,15,α,15

α1,10,45,105,105,105

α1,15,105,420,α,945,945,945

α1,21,210,1260,4725,10395,10395

α1,28,378,3150,17325,62370,135135,135135,135135

α1,36,630,6930,51975,270270,945945,2027025,2027025

α1,45,990,13860,135135,945945,4729725,16216200,34459425 34459425

……

YY0(x)=1

YY1(x)=x+1

YY2(x)=3×x ^ 2+3×x+1

YY3(x)=15×x ^ 3+15×x ^ 2+6×x+1

yy4(x)=105×x ^ 4+105×x ^ 3+45×x ^ 2+10×x+1

yy5(x)=945×x ^ 5+945×x ^ 4+420×x ^ 3+105×x ^ 2+15×x+1

树计数:m=2平面的无序森林A(2,1)=3,增加n=3个顶点的树,即一个具有一个顶点(根)的树和另一个具有两个顶点(根和叶)的树,标记为(1, 23)、(2,13)和(3,12)。-狼人郎9月14日2007

枫树

贝塞尔:= PROC(n,x)加法(二项式(n+k,2×k)*(2×k)!*x^ k/(k)!* 2 ^ k),k=0…n);端;α-显式贝塞尔多项式

贝塞尔:=PROC(n)选项;如果n=1,则(1 +x)^ n(2×n-1)*x*贝塞尔(n-1)+贝塞尔(n-2);Fi;结束;贝塞尔多项式的α递归。

贝塞尔:= PROC(n,x)加法(二项式(n+k,2×k)*(2×k)!*x^ k/(k)!* 2 ^ k),k=0…n;结束;

f:= PROC(n)选项记住;如果n<1,则(1 +x)^ n(2×n-1)*x*f(n-1)+f(n-2);Fi;结束;

替代方案:

t=:(n,k)-> PoCHLAMP(n+1,k)*二项式(n,k)/2 ^ k:

对于n从0到9,做SEQ(t(n,k),k=0…n);彼得卢斯尼5月11日2018

Mathematica

最大= 50;平坦[表[(n+k)]!/(2 ^ k*(N-K)!* K!){n,0,SqRT(2 max)//天花板},{k,0,n}[] [[1;;max ] ](*)让弗兰3月20日2011*)

黄体脂酮素

(PARI){t(n,k)=If(k<0)k>n,0,二项式(n,k)*(n+k)!/2 ^ k/n!}/*米迦勒索摩斯,10月03日2006

(帕里)

A000 1497{SE}(n,t=不)={

(x=x+O(‘x^(n+2)));

Syelv(Exp((1-qRT(1-*t*x))/t),‘x’);

};

Vec(VECeRV)A000 1497(Sr(9)))格奥吉尔科塞里亚12月27日2017

(哈斯克尔)

A00 1498 N K= A00 1498A Tabl!!!n!!!K

A00 1498A行N = A00 1498A表!!!N

AA141498OTabl =地图反向A00 1497

——莱因哈德祖姆勒7月11日2014

(岩浆)/*为三角形:*/[[阶乘(n+k)/(2 ^ k*阶乘(N-K)*阶乘(k)):k在[0…n] ]:n在[0…15)];文森佐·利布兰迪2月15日2016

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 1497(相同的三角形,但行以相反顺序读取)。这个三角形的其他版本在A144331A14429A111924A100861.

左边缘的列包括A000 0217A050534.

右边缘的1-6列A000 1147A00 1879A000 045A000 1880A00 188A038 121.

在某些x上评估的贝塞尔多项式A151515(x=1,行和);A000 0806(x= - 1),A151517(x=2)A212119(x= - 2),A000 1518(x=3)A065 923(x= - 3),A065 919(x=4)。囊性纤维变性。A043301A000 32 15.

囊性纤维变性。A245066(中心术语)。A113025(Yyn(2×x))。

语境中的顺序:A039 798 A193560 A27 8390*A240439 A2432 A19034

相邻序列:γA00 1495 A00 1496 A000 1497*A000 1499 A000 1500 A000 1501

关键词

诺恩塔布容易改变

作者

斯隆

地位

经核准的

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最后修改4月3日18:40 EDT 2020。包含333198个序列。(在OEIS4上运行)