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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A001498号 贝塞尔多项式y_n(x)系数的三角形a(n,k)(n>=0,0<=k<=n)(指数按递增顺序)。 43
1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 6, 15, 15, 1, 10, 45, 105, 105, 1, 15, 105, 420, 945, 945, 1, 21, 210, 1260, 4725, 10395, 10395, 1, 28, 378, 3150, 17325, 62370, 135135, 135135, 1, 36, 630, 6930, 51975, 270270, 945945, 2027025, 2027025, 1, 45, 990, 13860, 135135, 945945, 4729725, 16216200, 34459425, 34459425 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,5
评论
指数递增的行多项式(例如,第三行:1+3x+3x^2)是Grosswald的y_{n}(x)多项式,第18页,公式(7)。
也称为第一类贝塞尔数。
三角形a(n,k)有因式分解[C(n,k)][C(k,n-k)]Diag((2n-1)!!)三角形a(n-k,k)为A100861号,它给出了缩放Hermite多项式的系数-保罗·巴里2005年5月21日
通过a(n,k)与完备图k_n的k-匹配有关=A100861号(n+k,k)。通过a(n,k)=(2k-1)与Morgan Voyce多项式相关*A085478号(n,k)-保罗·巴里2005年8月17日
通过a(n,k)=(-1)^k与埃尔米特多项式相关*A060821型(n+k,n-k)/2^n-保罗·巴里2005年8月28日
行多项式,贝塞尔多项式y(n,x):=Sum_{m=0.n}(a(n,m)*x^m)(在Grosswald参考文献中称为y_{n}(x))满足(x^2)*(d^2/dx^2)y(n,x)+2*(x+1)*(d/dx)y(n,x)-n*(n+1)*y(n,x))=0。
a(n-1,m-1),n>=m>=1,枚举了由m个平面(aka有序)增加(根)树组成的无序n顶点森林。根据第一列Y(z)的示例f:=1-sqrt(1-2*z)(偏移量1)和Bergeron等人的等式(8)Y'(z)=phi(Y(z。参见他们在第28页关于平面递归树的评论。对于m=1,请参阅D.Callan关于A001147号2006年10月26日-沃尔夫迪特·朗2007年9月14日
高阶指数积分E(x,m,n)的渐近展开式,参见A163931号为了获得信息,以一种有趣的方式导出第一类贝塞尔数。对于m的前四个值,这些渐近展开导致三角形A130534型(m=1),A028421号(m=2),A163932号(m=3)和A163934号(m=4)。这些三角形右侧柱的o.g.f.s.依次指向三角形A163936号(m=1),A163937号(m=2),A163938号(m=3)和A163939号(m=4)。这四个三角形的行和得出A001147号,A001147号(减去a(0)),A001879号A000457号这是A001498号。我们检查了这一现象的几个m值,发现这种模式持续存在:m=5导致A001880型,m=6至A001881号,m=7至A038121号且m=8至A130563型下面四列是A001498号因此,贝塞尔多项式系数三角形的所有列逐一出现-约翰内斯·梅耶尔2009年10月7日
a(n,k)也表现为微分算子D:=1/td/dt的(n+1)阶系数,即D^{n+1}=Sum_{k=0..n}a(n、k)(-1)^{n-k}t^{1-(n+k)}(D^{n+1-k}/dt^{n+1-k}-列奥尼德·贝德拉图克2010年8月6日
参考文献
J.Riordan,《组合恒等式》,威利出版社,1968年,第77页。
链接
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弗洛里安·斯托伯,MergeInsertion的平均案例考虑,硕士论文,斯图加特大学计算机科学形式方法研究所,2018年。
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乔纳斯·沃尔,图代数的迹Ⅱ:易群的中心化代数和Young图的新变种,arXiv:2009.08181[math.RT],2020年。
埃里克·魏斯坦的数学世界,第二类修正球面贝塞尔函数
配方奶粉
a(n,k)=(n+k)/(2^k*(n-k)*k!)(见格罗斯瓦尔德和里奥丹)-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月20日
a(n,0)=1;a(0,k)=0,k>0;a(n,k)=a(n-1,k)+(n-k+1)a-伦·斯迈利
a(n,m)=A001497号(n,n-m)=A001147号(m) *二项式(n+m,2*m)表示n>=m>=0,否则为0。
第m列的G.f.:(A001147号(m) *x^m)/(1-x)^(2*m+1),m>=0,其中A001147号(m) =双阶乘(来自显式a(n,m)形式)。
行多项式y_n(x)由在t=0时计算的D^(n+1)(exp(t))给出,其中D是运算符1/(1-t*x)*D/dt-彼得·巴拉2011年11月25日
G.f.:猜想:T(0)/(1-x),其中T(k)=1-x*y*(k+1)/(x*y*(k+1)-(1-x)^2/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月13日
Grosswald的递归,第18页,等式(5),关于行多项式:y_n(x)=(2*n-1)*x*y_{n-1}+y_{n-2}(x,y_{-1}(x)=1=y_{0}=1,n>=1。对于n>=0,k=0..n:a(n,k)=0,对于n<k(三角形中未显示零),a(n,-1)=0,a(0,0)=1=a(1,0),否则a(n,k)=(2*n-1)*a(n-1,k-1)+a(n-2,k)。与上述复发情况进行比较-沃尔夫迪特·朗2018年5月11日
T(n,k)=Pochhammer(n+1,k)*二项式(n,k)/2^k=A113025号(n,k)/2^k-彼得·卢什尼2018年5月11日
例子
三角形a(n,k),n>=0,k=0..n开始于:
1
1 1
1 3 3
1 6 15 15
1 10 45 105 105
1 15 105 420 945 945
1 21 210 1260 4725 10395 10395
1 28 378 3150 17325 62370 135135 135135
1 36 630 6930 51975 270270 945945 2027025 2027025
1 45 990 13860 135135 945945 4729725 16216200 34459425 34459425
...
y_0(x)=1
y_1(x)=x+1
y_2(x)=3*x^2+3*x+1
y_3(x)=15*x^3+15*x^2+6*x+1
y_4(x)=105*x^4+105*x^3+45*x^2+10*x+1
y_5(x)=945*x^5+945*x^4+420*x^3+105*x^2+15*x+1
树计数:对于无序森林,m=2个平面增加树,n=3个顶点,即一棵树具有一个顶点(根),另一棵树有两个顶点(一个根和一个叶),增加标记为(1,23),(2,13)和(3,12)-沃尔夫迪特·朗2007年9月14日
MAPLE公司
贝塞尔:=过程(n,x)加(二项式(n+k,2*k)*(2*k*x^k/(k!*2^k),k=0..n);结束;#显式贝塞尔多项式
贝塞尔:=过程(n)选项记忆;如果n<=1,则(1+x)^n else(2*n-1)*x*Bessel(n-1)+Bessel;fi;结束;#贝塞尔多项式的递推
贝塞尔:=过程(n,x)加法(二项式(n+k,2*k)*(2*k)*x^k/(k!*2^k),k=0..n);结束;
f:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则(1+x)^n其他(2*n-1)*x*f(n-1)+f(n-2);fi;结束;
#备选方案:
T:=(n,k)->pochhammer(n+1,k)*二项式(n,k)/2^k:
对于从0到9的n,执行seq(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2018年5月11日
T:=proc(n,k)选项记忆;如果k=0则1,否则如果k=n则T(n,k-1)
else(n-k+1)*T(n,k-1)+T(n-1,k)fi-fi结束:
对于从0到9的n,做seq(T(n,k),k=0..n)od#彼得·卢什尼2023年10月2日
数学
最大值=50;压扁[Table[(n+k)!/(2^k*(n-k)!*k!),{n,0,Sqrt[2 max]//天花板},{k,0,n}]][[1;;max]](*Jean-François Alcover公司2011年3月20日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=如果(k<0|k>n,0,二项式(n,k)*(n+k)!/2^k/n!)}/*迈克尔·索莫斯2006年10月3日*/
(PARI)
A001497号_ser(N,t=t)={
我的(x='x+O('x^(N+2));
塞拉普拉斯(导数(exp((1-sqrt(1-2*t*x))/t),'x));
};
concat(适用(Vecrev,Vec(A001497号_ser(9)))\\Gheorghe Coserea公司2017年12月27日
(哈斯克尔)
a001498 n k=a001498_tabl!!不!!k个
a001498_row n=a001498 _ tabl!!n个
a001498_tabl=地图背面a001497_tabl
--莱因哈德·祖姆凯勒2014年7月11日
(岩浆)/*作为三角形:*/[[因子(n+k)/(2^k*因子(n-k)*因子(k)):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪2016年2月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A001497号(相同的三角形,但行的读取顺序相反)。相同三角形的其他版本见A144331号,A144299号,A111924号A100861号.
左边缘的列包括A000217号,A050534号.
在特定x处计算的贝塞尔多项式为2015年5月(x=1,行总和),A000806号(x=-1),A001517号(x=2),A002119号(x=-2),A001518号(x=3),A065923号(x=-3),A065919号(x=4)。囊性纤维变性。A043301号,A003215号.
囊性纤维变性。A245066型(中心术语)。A113025号(y_n(2*x))。
关键词
非n,,美好的,容易的
作者
状态
经核准的

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