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A265609型 由升序反对偶读取的数组:A(n,k)升序阶乘,也称为Pochhammer符号,表示n>=0和k>=0。 16
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 6, 6, 0, 1, 4, 12, 24, 24, 0, 1, 5, 20, 60, 120, 120, 0, 1, 6, 30, 120, 360, 720, 720, 0, 1, 7, 42, 210, 840, 2520, 5040, 5040, 0, 1, 8, 56, 336, 1680, 6720, 20160, 40320, 40320, 0 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,8
评论
Pochhammer函数定义为P(x,n)=x*(x+1)**(x+n-1)。按照惯例P(0,0)=1。
发件人安蒂·卡图恩2015年12月19日:(开始)
除了初始的零行之外,如果我们丢弃最左边的列,并将其余的项A(n,k)除以(n+k)[其中k现在是新的移位位置的一次减少的列索引],我们将得到相同的数组。请参阅给定的递归公式。
在阶乘基数中查看数组中的数字时(A007623号),至少在最上面的几行中可以识别出某些重复模式。请参阅中的注释2017年10月和阵列A265890型,A265892型.(结束)
A(n,k)是具有形状参数n和速率参数1的伽玛(Erlang)分布的第k个矩(约为0)-杰弗里·克雷策2018年12月24日
参考文献
罗纳德·格雷厄姆(Ronald L.Graham)、唐纳德·科努特(Donald E.Knuth)和奥伦·帕塔什尼克(Oren Patashnik),《混凝土数学》(Concrete Mathematics),艾迪森·韦斯利出版社,1994年。
H.S.Wall,连分式分析理论,切尔西1973年,第355页。
链接
NIST数字数学函数库,Pochhammer的符号
公式
对于n>0,A(n,k)=伽马(n+k)/伽马(n),对于n=0,n ^k。
A(n,k)=总和{j=0..k}n^j*S1(k,j),S1(n,k)斯特林循环数A132393号(n,k)。
A(n,k)=(k-1)/(和{j=0..k-1}(-1)^j*二项式(k-1,j)/(j+n))对于n>=1,k>=1。
当k>=1时,A(n,k)=(n+k-1)*A(n、k-1),A(n,0)=1-安蒂·卡图恩2015年12月19日
例如,对于第k行:1/(1-x)^k-杰弗里·克雷策2018年12月24日
A(n,k)=衰减因子(n+k-1,k)-彼得·卢什尼2022年3月22日
对于作为Stieltjes类型连分数的第n行,G.f.:1/(1-n*x/(1-x/(1-(n+1)*x/。见Wall,第十八章,方程92.5。参见。A226513型. -彼得·巴拉2023年8月27日
例子
方阵A(n,k)[其中n=行,k=列]通过升序反对偶读取为:
A(0,0),A(1,0),A(0,1),A。。。
阵列启动:
[0 1 2 3 4 5 6 7 8]
--------------------------------------------------------------
[0] [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1] [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320]
[2] [1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880]
[3] [1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400]
[4] [1, 4, 20, 120, 840, 6720, 60480, 604800, 6652800]
[5] [1, 5, 30, 210, 1680, 15120, 151200, 1663200, 19958400]
[6] [1, 6, 42, 336, 3024, 30240, 332640, 3991680, 51891840]
[7] [1, 7, 56, 504, 5040, 55440, 665280, 8648640, 121080960]
[8] [1, 8, 72, 720, 7920, 95040, 1235520, 17297280, 259459200]
.
作为三角形,T(n,k)=Pochhammer(n-k,k),前几行是:
[0] 1;
[1] 1, 0;
[2] 1, 1, 0;
[3] 1, 2, 2, 0;
[4] 1, 3, 6, 6, 0;
[5] 1, 4, 12, 24, 24, 0;
[6] 1, 5, 20, 60, 120, 120, 0;
[7] 1, 6, 30, 120, 360, 720, 720, 0;
[8] 1, 7, 42, 210, 840, 2520, 5040, 5040, 0;
[9] 1, 8, 56, 336, 1680, 6720, 20160, 40320, 40320, 0.
MAPLE公司
对于从0到8的n,do-seq(pochhammer(n,k),k=0..8)od;
数学
表[Pochhammer[n,k],{n,0,8},{k,0,8}]
黄体脂酮素
(鼠尾草)
对于(0..8)中的n:打印([rising_factorial(n,k)对于(0..8]中的k)])
(方案)
(定义(A265609型n) (A265609双(A025581号n)(A002262号n) ))
(定义(A265609bi行col)(如果(零?col)1(*(+行col-1)(A265609bi行(-col 1)))))
;;安蒂·卡图恩2015年12月19日
交叉参考
仅给出k列=n之前术语的三角形:A124320号.
第0行:A000007号,第1行:A000142号,第3行:2017年10月(从k=1开始,向左移动了两个项)。
第0列:A000012号,第1列:A001477号,第2列:A002378美元,第3-7列:A007531号,A052762号,A052787号,A053625号,A159083号(分别左移2..6项,即没有额外的初始零),第8列:A239035型.
三角形的行和:A000522号.
A(n,n)=A000407号(n-1)对于n>0。
2^n*A(1/2,n)=A001147号(n) ●●●●。
关键字
非n,
作者
彼得·卢什尼2015年12月19日
状态
经核准的

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