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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A002315 n-2(a-n-2)=n-2(a-n-2);n-2=A001653号(n+1)。
(原M4423 N1869)
108
1、7、41、239、1393、8119、47321、275807、1607521、9369319、54608393、318281039、1855077841、10812186007、63018038201、367296043199、2140758220993、12477253282759、72722761475561、423859315570607、247043131948081、143988739476117879、83922003724759193 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0.2万

评论

以纽曼·香克斯·威廉姆斯的参考文献命名。

同样的数字n这样A125650(3*n^2)是奇数完全平方。这样的数的二等分形式A125651号. -亚历山大·阿达姆丘克2006年11月30日

对于正n,a(n)对应于近等腰原始毕达哥拉斯三角形(具有连续的边)的边之和。-莱克莱·比达西2007年2月6日

同样的数字n,使得n^2是一个中心的16角数;或者是8k(k+1)+1的数,其中k=A053141号(n) ={0,2,14,84,492,2870,…}。-亚历山大·阿达姆丘克2007年4月21日

下主收敛到2^(1/2),从1/1,7/5,41/29,239/169开始,组成一个严格递增的序列;分子=A002315和分母=A001653号. -克拉克·金伯利2008年8月27日

从10/7、58/41、338/2391970/1393开始,中间偏上收敛到2^(1/2),形成一个严格递减的序列;基本上,分子=A075870号,分母=A002315. -克拉克·金伯利2008年8月27日

一般递归为a(n)=(a(1)-1)*a(n-1)-a(n-2),a(1)>=4,lim{n->infinity}a(n)=x*(k*x+1)^n,k=(a(1)-3),x=(1+sqrt((a(1)+1)/(a(1)-3))/2。OEIS中的示例:a(1)=4给出A002878号. a(1)=5给出A001834号. a(1)=6给出A030221型. a(1)=7给出A002315. a(1)=8给出A0330号. a(1)=9给出A057080号. a(1)=10给出A057081号. -克蒂博尔·齐兹卡2008年9月2日

数字n使得(天花板(sqrt(n*n/2))^2=(1+n*n)/2。-克蒂博尔·齐兹卡2009年11月9日

A001109(n) /a(n)收敛到cos^2(Pi/8)=1/2+2^(1/2)/4。-加里·德特勒夫斯2009年11月25日

值2(a(n)^2+1)都是完全平方,其平方根由A075870号. -Neelesh Bodas(Neelesh.Bodas(AT)gmail.com),2010年8月13日

a(n)表示所有正整数K,其中2(K^2+1)是完全平方。-Neelesh Bodas(Neelesh.Bodas(AT)gmail.com),2010年8月13日

对于正n,a(n)等于(2n)X(2n)三对角矩阵的永久数,sqrt(8)沿着主对角线,i沿着超对角线和次对角(i是虚单位)。-约翰·M·坎贝尔2011年7月8日

整数n使得A000217(n-2)+A000217(n-1)+A000217(n)+A000217(n+1)是正方形(参见。A202391号). -马克斯·阿列克谢耶夫2011年12月19日

楼层的整数平方根(n^2/2-1)或A047838号. -理查德·R·福伯格2013年8月1日

注:x^2-2*y^2=+2*k^2,k为正,x^2-2*y^2=+2,化为现在的Pell方程a^2-2*b^2=-1,其中x=k*x=2*k*b,y=k*y=k*a。(根据亚历山大·萨莫克鲁托夫.) -狼牙2015年8月21日

如果p是奇数素数,a((p-1)/2)==1(mod p)。-阿尔图阿尔坎2016年3月17日

a(n)^2+1=2*b(n)^2,带b(n)=A001653号(n) ,是a(n)是一个数k的充要条件,其中1×k矩形的对角线是1×1正方形对角线的整数倍。如果正方形沿着一个水平的1×a(n)矩形的一条对角线,从左下角到右上角,那么正方形的数目是b(n),并且总会有一个正方形的上角正好位于矩形的上边缘内。从左到右编号1到b(n)矩形上边缘有角的一个正方形的编号为c(n)=(2*b(n)-a(n)+1)/2,即A055997号(n) 一。矩形边上正方形角的水平分量也是一个整数,即d(n)=a(n)-b(n),即A001542号(n) 一。-大卫·帕西诺2016年6月30日

(a(n)^2)-th个三角形数是正方形;a(n)^2=A008843号(n) 是A001108. -雅罗斯拉夫·克里泽克2016年8月5日

a(n-1)/A001653号(n) 分子不大于a(n-1)的sqrt(2)的最接近有理逼近。这些有理逼近和从序列中得到的有理逼近A001541号A001542号给出分子或分母受限的sqrt(2)的一组最近有理逼近。a(n-1)/A001653号(n) <sqrt(2)。-A、 H.M.斯梅茨2017年5月28日

考虑一个圆心(0,0)由正x和y轴限定的象限。现在把这两个圆的外缘看作是一个圆的起点。进一步考虑一个连续的圆,每个圆与x轴、外部边界圆和序列中的前一个圆接吻。见霍姆斯链接。这个系列中第n个圆的中心是((A001653号(n) *sqrt(2)-1)/a(n-1)(A001653号(n) *sqrt(2)-1)/a(n-1)^2),y坐标也是其半径。由此可知,a(n-1)是在点(0,0)处由级数中第n个圆的中心对x轴的角的余切。-格雷厄姆·霍姆斯2019年8月31日

在分子和分母处的两个序列之间有联系,分母给出了接吻圆中心的坐标。A001653号是数字k的序列,使得2*k^2-1是一个正方形,这里有2*A001653号(n) ^2-1=a(n-1)^2。-伯纳德·肖特2019年9月2日

参考文献

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链接

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与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

双向无限序列的索引项

常系数线性递归的索引项,签名(6,-1)。

公式

a(n)=(1/2)*((1+sqrt(2))^(2*n+1)+(1-sqrt(2))^(2*n+1))。

a(n)=(1+sqrt(2))/2*(3+sqrt(8))^n+(1-sqrt(2))/2*(3-sqrt(8))^n-拉尔夫·斯蒂芬2003年2月23日

a(n)=平方英尺(2*(A001653号(n+1))^2-1),n>=0。^1*2(方程式1*2)。-狼牙2018年7月11日]

G、 f.:(1+x)/(1-6*x+x^2)。-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

a(n)=S(n,6)+S(n-1,6)=S(2*n,sqrt(8)),S(n,x)=U(n,x/2)是第二类切比雪夫多项式。囊性纤维变性。A049310型. S(n,6)=A001109(n+1)。

a(n)~(1/2)*(sqrt(2)+1)^(2*n+1)。-乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年5月15日

Lim{n->inf.}a(n)/a(n-1)=3+2*sqrt(2)。-格雷戈里诉理查森案2002年10月6日

设q(n,x)=和{i=0..n}x^(n-i)*二项式(2*n-i,i);则(-1)^n*q(n,-8)=a(n)。-贝诺伊特·克罗伊特2002年11月10日

当a=3+2*sqrt(2),b=3-2*sqrt(2):a(n)=(a^((2n+1)/2)-b^((2n+1)/2))/2。a(n)=A077444号(n) /2。-马里奥·加泰罗尼亚(Mario.Catalani(AT)unito.it),2003年3月31日

a(n)=和{k=0..n}2^k*二项式(2*n+1,2*k)。-佐尔坦·扎查尔(Zachar(AT)fellner.sulinet.hu),2003年10月8日

相同于:i使得sigma(i^2+1,2)mod 2=1。-Mohammed Bouayun(bouyao(AT)wanadoo.fr),2004年3月26日

a(n)=L(n,-6)*(-1)^n,其中L定义为A108299号;另请参见A001653号对于L(n,+6)。-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日

a(n)=A001652型(n)+A046090型(n) ;例如,239=119+120。-查理·马里恩2003年11月20日

A001541号(n) *a(n+k)=A001652型(2n+k)+A001652型(k) +1;例如,3*1393=4069+119+1;对于k>0,A001541号(n+k)*a(n)=A001652型(k+2n)-A001652型(k-1);例如,99*7=696-3。-查理·马里恩2003年3月17日

a(n)=雅可比P(n,1/2,-1/2,3)/Jacobi_P(n,-1/2,1/2,1)。-保罗·巴里2006年2月3日

P{2n}+P{2n+1},其中P_i是Pell数(A000129号). 还有Pell数部分和的平方根:P{2n}+P{2n+1}=sqrt(Sum{i=0..4n+1}P_i)(桑塔纳和迪亚兹·巴雷罗,2006)。-大卫·艾普斯坦2007年1月28日

a(n)=2*A001652型(n) +1=2*A046729号(n) +(-1)^n-莱克莱·比达西2007年2月6日

a(n)=平方英尺(A001108(2*n+1))。-Anton Vrba(antonvrba(AT)yahoo.com),2007年2月14日

a(n)=平方英尺(8*A053141号(n)*(A053141号(n) +1)+1)。-亚历山大·阿达姆丘克2007年4月21日

a(n+1)=3*a(n)+sqrt(8*a(n)^2+8),a(1)=1。-理查德·丘利特2007年9月18日

a(n)=A001333号(2*n+1)。-克蒂博尔·齐兹卡2008年8月13日

a(n)=1,4,8,32,64,256,512。-Al Hakanson(hawkuu(AT)gmail.com),2009年8月15日

a(n)=(-1)^(n-1)*(1/sqrt(-1))*cos((2*n-1)*反正弦(sqrt(2))。-雅辛斯基2010年2月17日

a(n+k)=A001541号(k) *a(n)+4*A001109(k)*A001653号(n) 例如,8119=17*239+4*6*169。-查理·马里恩2011年2月4日

一般来说,a(n+k)=A001541号(k) *a(n))+平方英尺(A001108(2k)*(a(n)^2+1))。见上述条目2007年9月18日。-查理·马里恩2011年12月7日

a(n)=楼层((1+sqrt(2))^(2n+1))/2。-托马斯奥多夫斯基2012年6月12日

(a(2n-1)+a(2n)+8)/(8*a(n))=A001653号(n) 一。-伊格纳西奥·拉罗萨·卡尼斯特罗2015年1月2日

(a(2n)+a(2n-1))/a(n)=2*sqrt(2)*((1+sqrt(2))^(4*n)-(1-sqrt(2))^(4*n))/((1+sqrt(2))^(2*n+1)+(1-sqrt(2))^(2*n+1)。【这是我对5325题《学校科学与数学114》(2014年12月第8期)的解答。】-亨利·里卡多2015年2月5日

彼得·巴拉2015年3月22日:(开始)

充气序列(b(n))n>=1=[1,0,7,0,41,0,239,0,…]是一个四阶线性可除序列,即如果n | m那么b(n)| b(m)。这是Williams和Guy发现的3参数整除序列族中P1=0,P2=-4,Q=-1的情况。看到了吗A100047号.

b(n)=1/2*(-1)^n-1)*Pell(n)+1/2*(1+(-1)^(n+1))*佩尔(n+1)。o.g.f.为x*(1+x^2)/(1-6*x^2+x^4)。

Exp(Sum{n>=1}2*b(n)*x^n/n)=1+Sum{n>=1}2*A026003型(n-1)*x^n。

Exp(Sum{n>=1}(-2)*b(n)*x^n/n)=1+Sum{n>=1}2*A026003型(n-1)*(-x)^n。

Exp(Sum{n>=1}4*b(n)*x^n/n)=1+Sum{n>=1}4*Pell(n)*x^n。

Exp(Sum{n>=1}(-4)*b(n)*x^n/n)=1+Sum{n>=1}4*Pell(n)*(-x)^n。

Exp(Sum{n>=1}8*b(n)*x^n/n)=1+Sum{n>=1}8*A119915年(n) *x^n。

Exp(Sum{n>=1}(-8)*b(n)*x^n/n)=1+Sum{n>=1}8*A119915年(n) *(-x)^n.Cf。A002878号,A004146号,A113224号,和邮编:A192425. (结束)

E、 g.f.:(平方英尺(2)*sinh(2*sqrt(2)*x)+cosh(2*sqrt(2*x))*exp(3*x)。-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月30日

a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*3^(n-k)*2^k*2^上限(k/2)。-大卫·帕西诺2016年7月9日

a(n)=A001541号(n) +2个*A001542号(n) 一。-A、 H.M.斯梅茨2017年5月28日

n*b)+n*1(b)=n*3(b)+n*3=A001653号(n) 一。-扎克·塞多夫2017年7月13日

a(n)=| Im(T(2n-1,i))|,i=sqrt(-1),T(n,x)是第一类切比雪夫多项式,Im是复数的虚部,| |是绝对值。-莱昂拉特尤基德2017年12月17日

n*sinh(单位:n*sinh)=弧长(n+2)。-布鲁诺·贝尔塞利2018年4月3日

a(n)=5*a(n-1)+A003499号(n-1),a(0)=1。-伊万伊纳金2019年8月9日

枫木

A002315:=过程(n)

选项记忆;

如果n=0,则

1个;

elif n=1则

七;

其他

6*程序名(n-1)-程序名(n-2);

结束if;

结束过程:#泽伦瓦拉乔斯,2006年7月26日,修改R、 J.马萨2017年4月30日

a: =n->abs(Im(简化(ChebyshevT(2*n+1,I))):序列(a(n),n=0..20)#贝德拉图克2017年12月17日

数学

a[0]=1;a[1]=7;a[n_]:=a[n]=6a[n-1]-a[n-2];表[a[n],{n,0,20}](*罗伯特·G·威尔逊五世2004年6月9日*)

q=16;s=0;lst={};Do[s+=n;如果[Sqrt[q*s+1]==Floor[Sqrt[q*s+1]]],则追加到[lst,Sqrt[q*s+1]]],{n,0,8!}];第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年4月2日*)

圆桌[桌[(-1)^(n-1)(1/Sqrt[1-2])Cos[(2n-1)ArcSin[Sqrt[2]]],{n,1,10}]](*雅辛斯基2010年2月17日)

转置[NestList[flant[{Rest[#],ListCorrelate[{-1,6},#]}]&,{1,7},20]][[1]](*哈维·P·戴尔2011年3月23日)

表[如果[n>0,a=b;b=c;c=6b-a,b=-1;c=1],{n,0,20}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2012年10月19日*)

线性出现[{6,-1},{1,7},20](*布鲁诺·贝尔塞利2018年4月3日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=次(poltchebi(abs(n+1))-poltchebi(abs(n)),x,3)/2

(PARI)a(n)=如果(n<0,-a(-1-n),polsym(x^2-2*x-1,2*n+1)[2*n+2]/2)

(PARI)a(n)=局部(w=3+quadgen(32));imag((1+w)*w^n)

(PARI)对于(i=11000,if(Mod(sigma(i^2+1,2),2)==1,print1(i,“,”))

(Sage)[(lucas_number2(n,6,1)-lucas_number2(n-1,6,1))/4表示范围(1,22)]#泽伦瓦拉乔斯2009年11月10日

(哈斯克尔)

a002315 n=a002315_列表!!n

a002315 U列表=1:7:zipWith(-)(map(*6)(尾部a002315 U列表))a002315 U列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月10日

(岩浆)I:=[1,7];[n le 2选择I[n]否则6*自身(n-1)-自身(n-2):n in[1..30]]//文琴佐·利班迪2015年3月22日

交叉引用

平分A001333号. 囊性纤维变性。A001109,A001653号.A065513型(n) =a(n)-1。

第一个区别A001108A055997号. 平分A084068号A088014号. 两两和A001109. 囊性纤维变性。A077444号.

囊性纤维变性。A125650,A125651号,A125652号.

无符号三角形的行和A127675号.

囊性纤维变性。A053141号,A075870号. 囊性纤维变性。A000045型,A002878号,A004146号,A026003型,A100047号,A119915年,A192425号,A088165(素子序列),A057084号(二项式变换),A108051型(逆二项式变换)。

请参阅中的注释A301383.

参见中列出的(1/k)*sinh((2*n+1)*arcinh(k))类型的类似序列A097775号.

囊性纤维变性。A003499号.

上下文顺序:A057009号 邮编:A140480 A327055型*A141813号 A088165 A287810

相邻序列:A002312号 A002313号 A002314号*A002316 A002317号 A002318号

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月3日08:07。包含336197个序列。正在运行OE4(运行)