0.2万

以纽曼·香克斯·威廉姆斯的参考文献命名。

同样的数字n这样A125650（3*n^2）是奇数完全平方。这样的数的二等分形式A125651号. -亚历山大·阿达姆丘克2006年11月30日

对于正n，a（n）对应于近等腰原始毕达哥拉斯三角形（具有连续的边）的边之和。-莱克莱·比达西2007年2月6日

同样的数字n，使得n^2是一个中心的16角数；或者是8k（k+1）+1的数，其中k=A053141号（n） ={0，2，14，84，492，2870，…}。-亚历山大·阿达姆丘克2007年4月21日

下主收敛到2^（1/2），从1/1，7/5，41/29，239/169开始，组成一个严格递增的序列；分子=A002315和分母=A001653号. -克拉克·金伯利2008年8月27日

从10/7、58/41、338/2391970/1393开始，中间偏上收敛到2^（1/2），形成一个严格递减的序列；基本上，分子=A075870号，分母=A002315. -克拉克·金伯利2008年8月27日

一般递归为a（n）=（a（1）-1）*a（n-1）-a（n-2），a（1）>=4，lim{n->infinity}a（n）=x*（k*x+1）^n，k=（a（1）-3），x=（1+sqrt（（a（1）+1）/（a（1）-3））/2。OEIS中的示例：a（1）=4给出A002878号. a（1）=5给出A001834号. a（1）=6给出A030221型. a（1）=7给出A002315. a（1）=8给出A0330号. a（1）=9给出A057080号. a（1）=10给出A057081号. -克蒂博尔·齐兹卡2008年9月2日

数字n使得（天花板（sqrt（n*n/2））^2=（1+n*n）/2。-克蒂博尔·齐兹卡2009年11月9日

A001109（n） /a（n）收敛到cos^2（Pi/8）=1/2+2^（1/2）/4。-加里·德特勒夫斯2009年11月25日

值2（a（n）^2+1）都是完全平方，其平方根由A075870号. -Neelesh Bodas（Neelesh.Bodas（AT）gmail.com），2010年8月13日

a（n）表示所有正整数K，其中2（K^2+1）是完全平方。-Neelesh Bodas（Neelesh.Bodas（AT）gmail.com），2010年8月13日

对于正n，a（n）等于（2n）X（2n）三对角矩阵的永久数，sqrt（8）沿着主对角线，i沿着超对角线和次对角（i是虚单位）。-约翰·M·坎贝尔2011年7月8日

整数n使得A000217（n-2）+A000217（n-1）+A000217（n）+A000217（n+1）是正方形（参见。A202391号). -马克斯·阿列克谢耶夫2011年12月19日

楼层的整数平方根（n^2/2-1）或A047838号. -理查德·R·福伯格2013年8月1日

注：x^2-2*y^2=+2*k^2，k为正，x^2-2*y^2=+2，化为现在的Pell方程a^2-2*b^2=-1，其中x=k*x=2*k*b，y=k*y=k*a。（根据亚历山大·萨莫克鲁托夫.) -狼牙2015年8月21日

如果p是奇数素数，a（（p-1）/2）==1（mod p）。-阿尔图阿尔坎2016年3月17日

a（n）^2+1=2*b（n）^2，带b（n）=A001653号（n） ，是a（n）是一个数k的充要条件，其中1×k矩形的对角线是1×1正方形对角线的整数倍。如果正方形沿着一个水平的1×a（n）矩形的一条对角线，从左下角到右上角，那么正方形的数目是b（n），并且总会有一个正方形的上角正好位于矩形的上边缘内。从左到右编号1到b（n）矩形上边缘有角的一个正方形的编号为c（n）=（2*b（n）-a（n）+1）/2，即A055997号（n） 一。矩形边上正方形角的水平分量也是一个整数，即d（n）=a（n）-b（n），即A001542号（n） 一。-大卫·帕西诺2016年6月30日

（a（n）^2）-th个三角形数是正方形；a（n）^2=A008843号（n） 是A001108. -雅罗斯拉夫·克里泽克2016年8月5日

a（n-1）/A001653号（n） 分子不大于a（n-1）的sqrt（2）的最接近有理逼近。这些有理逼近和从序列中得到的有理逼近A001541号和A001542号给出分子或分母受限的sqrt（2）的一组最近有理逼近。a（n-1）/A001653号（n） <sqrt（2）。-A、 H.M.斯梅茨2017年5月28日

考虑一个圆心（0,0）由正x和y轴限定的象限。现在把这两个圆的外缘看作是一个圆的起点。进一步考虑一个连续的圆，每个圆与x轴、外部边界圆和序列中的前一个圆接吻。见霍姆斯链接。这个系列中第n个圆的中心是((A001653号（n） *sqrt（2）-1）/a（n-1）(A001653号（n） *sqrt（2）-1）/a（n-1）^2），y坐标也是其半径。由此可知，a（n-1）是在点（0,0）处由级数中第n个圆的中心对x轴的角的余切。-格雷厄姆·霍姆斯2019年8月31日

在分子和分母处的两个序列之间有联系，分母给出了接吻圆中心的坐标。A001653号是数字k的序列，使得2*k^2-1是一个正方形，这里有2*A001653号（n） ^2-1=a（n-1）^2。-伯纳德·肖特2019年9月2日

Bastida，Julio R.线性递归序列的二次性质。《第十届东南组合学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，博卡拉顿，佛罗里达州，1979年），第163-166页，国会。数字，XXIII-XXIV，Utilitas Math.，温尼伯，Man.，1979年。MR0561042（81e:10009）

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H、 C.威廉姆斯和R.K.盖伊，一类单表四阶线性可除序列，整数，第12A卷（2012年）约翰·塞尔弗里奇纪念卷。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

双向无限序列的索引项

常系数线性递归的索引项，签名（6，-1）。

a（n）=（1/2）*（（1+sqrt（2））^（2*n+1）+（1-sqrt（2））^（2*n+1））。

a（n）=（1+sqrt（2））/2*（3+sqrt（8））^n+（1-sqrt（2））/2*（3-sqrt（8））^n-拉尔夫·斯蒂芬2003年2月23日

a（n）=平方英尺（2*(A001653号（n+1））^2-1），n>=0。^1*2（方程式1*2）。-狼牙2018年7月11日]

G、 f.：（1+x）/（1-6*x+x^2）。-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

a（n）=S（n，6）+S（n-1，6）=S（2*n，sqrt（8）），S（n，x）=U（n，x/2）是第二类切比雪夫多项式。囊性纤维变性。A049310型. S（n，6）=A001109（n+1）。

a（n）~（1/2）*（sqrt（2）+1）^（2*n+1）。-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日

Lim{n->inf.}a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）。-格雷戈里诉理查森案2002年10月6日

设q（n，x）=和{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则（-1）^n*q（n，-8）=a（n）。-贝诺伊特·克罗伊特2002年11月10日

当a=3+2*sqrt（2），b=3-2*sqrt（2）：a（n）=（a^（（2n+1）/2）-b^（（2n+1）/2））/2。a（n）=A077444号（n） /2。-马里奥·加泰罗尼亚（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年3月31日

a（n）=和{k=0..n}2^k*二项式（2*n+1，2*k）。-佐尔坦·扎查尔（Zachar（AT）fellner.sulinet.hu），2003年10月8日

相同于：i使得sigma（i^2+1，2）mod 2=1。-Mohammed Bouayun（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月26日

a（n）=L（n，-6）*（-1）^n，其中L定义为A108299号；另请参见A001653号对于L（n，+6）。-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日

a（n）=A001652型（n）+A046090型（n） ；例如，239=119+120。-查理·马里恩2003年11月20日

A001541号（n） *a（n+k）=A001652型（2n+k）+A001652型（k） +1；例如，3*1393=4069+119+1；对于k>0，A001541号（n+k）*a（n）=A001652型（k+2n）-A001652型（k-1）；例如，99*7=696-3。-查理·马里恩2003年3月17日

a（n）=雅可比P（n，1/2，-1/2,3）/Jacobi_P（n，-1/2,1/2,1）。-保罗·巴里2006年2月3日

P{2n}+P{2n+1}，其中P_i是Pell数(A000129号). 还有Pell数部分和的平方根：P{2n}+P{2n+1}=sqrt（Sum{i=0..4n+1}P_i）（桑塔纳和迪亚兹·巴雷罗，2006）。-大卫·艾普斯坦2007年1月28日

a（n）=2*A001652型（n） +1=2*A046729号（n） +（-1）^n-莱克莱·比达西2007年2月6日

a（n）=平方英尺(A001108（2*n+1））。-Anton Vrba（antonvrba（AT）yahoo.com），2007年2月14日

a（n）=平方英尺（8*A053141号（n）*(A053141号（n） +1）+1）。-亚历山大·阿达姆丘克2007年4月21日

a（n+1）=3*a（n）+sqrt（8*a（n）^2+8），a（1）=1。-理查德·丘利特2007年9月18日

a（n）=A001333号（2*n+1）。-克蒂博尔·齐兹卡2008年8月13日

a（n）=1，4，8，32，64，256，512。-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年8月15日

a（n）=（-1）^（n-1）*（1/sqrt（-1））*cos（（2*n-1）*反正弦（sqrt（2））。-雅辛斯基2010年2月17日

a（n+k）=A001541号（k） *a（n）+4*A001109（k）*A001653号（n） 例如，8119=17*239+4*6*169。-查理·马里恩2011年2月4日

一般来说，a（n+k）=A001541号（k） *a（n））+平方英尺(A001108（2k）*（a（n）^2+1））。见上述条目2007年9月18日。-查理·马里恩2011年12月7日

a（n）=楼层（（1+sqrt（2））^（2n+1））/2。-托马斯奥多夫斯基2012年6月12日

（a（2n-1）+a（2n）+8）/（8*a（n））=A001653号（n） 一。-伊格纳西奥·拉罗萨·卡尼斯特罗2015年1月2日

（a（2n）+a（2n-1））/a（n）=2*sqrt（2）*（（1+sqrt（2））^（4*n）-（1-sqrt（2））^（4*n））/（（1+sqrt（2））^（2*n+1）+（1-sqrt（2））^（2*n+1）。【这是我对5325题《学校科学与数学114》（2014年12月第8期）的解答。】-亨利·里卡多2015年2月5日

从彼得·巴拉2015年3月22日：（开始）

充气序列（b（n））n>=1=[1，0，7，0，41，0，239，0，…]是一个四阶线性可除序列，即如果n | m那么b（n）| b（m）。这是Williams和Guy发现的3参数整除序列族中P1=0，P2=-4，Q=-1的情况。看到了吗A100047号.

b（n）=1/2*（-1）^n-1）*Pell（n）+1/2*（1+（-1）^（n+1））*佩尔（n+1）。o.g.f.为x*（1+x^2）/（1-6*x^2+x^4）。

Exp（Sum{n>=1}2*b（n）*x^n/n）=1+Sum{n>=1}2*A026003型（n-1）*x^n。

Exp（Sum{n>=1}（-2）*b（n）*x^n/n）=1+Sum{n>=1}2*A026003型（n-1）*（-x）^n。

Exp（Sum{n>=1}4*b（n）*x^n/n）=1+Sum{n>=1}4*Pell（n）*x^n。

Exp（Sum{n>=1}（-4）*b（n）*x^n/n）=1+Sum{n>=1}4*Pell（n）*（-x）^n。

Exp（Sum{n>=1}8*b（n）*x^n/n）=1+Sum{n>=1}8*A119915年（n） *x^n。

Exp（Sum{n>=1}（-8）*b（n）*x^n/n）=1+Sum{n>=1}8*A119915年（n） *（-x）^n.Cf。A002878号,A004146号,A113224号，和邮编：A192425. （结束）

E、 g.f.：（平方英尺（2）*sinh（2*sqrt（2）*x）+cosh（2*sqrt（2*x））*exp（3*x）。-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月30日

a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^（n-k）*2^k*2^上限（k/2）。-大卫·帕西诺2016年7月9日

a（n）=A001541号（n） +2个*A001542号（n） 一。-A、 H.M.斯梅茨2017年5月28日

n*b）+n*1（b）=n*3（b）+n*3=A001653号（n） 一。-扎克·塞多夫2017年7月13日

a（n）=| Im（T（2n-1，i））|，i=sqrt（-1），T（n，x）是第一类切比雪夫多项式，Im是复数的虚部，| |是绝对值。-莱昂拉特尤基德2017年12月17日

n*sinh（单位：n*sinh）=弧长（n+2）。-布鲁诺·贝尔塞利2018年4月3日

a（n）=5*a（n-1）+A003499号（n-1），a（0）=1。-伊万伊纳金2019年8月9日

A002315：=过程（n）

选项记忆；

如果n=0，则

1个；

elif n=1则

七；

其他

6*程序名（n-1）-程序名（n-2）；

结束if；

结束过程：#泽伦瓦拉乔斯，2006年7月26日，修改R、 J.马萨2017年4月30日

a： =n->abs（Im（简化（ChebyshevT（2*n+1，I）））：序列（a（n），n=0..20）#贝德拉图克2017年12月17日

a[0]=1；a[1]=7；a[n_]：=a[n]=6a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，{n，0，20}](*罗伯特·G·威尔逊五世2004年6月9日*）

q=16；s=0；lst={}；Do[s+=n；如果[Sqrt[q*s+1]==Floor[Sqrt[q*s+1]]]，则追加到[lst，Sqrt[q*s+1]]]，{n，0，8！}]；第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年4月2日*）

圆桌[桌[（-1）^（n-1）（1/Sqrt[1-2]）Cos[（2n-1）ArcSin[Sqrt[2]]]，{n，1，10}]](*雅辛斯基2010年2月17日）

转置[NestList[flant[{Rest[#]，ListCorrelate[{-1，6}，#]}]&，{1，7}，20]][[1]](*哈维·P·戴尔2011年3月23日）

表[如果[n>0，a=b；b=c；c=6b-a，b=-1；c=1]，{n，0，20}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2012年10月19日*）

线性出现[{6，-1}，{1，7}，20](*布鲁诺·贝尔塞利2018年4月3日*）

（PARI）a（n）=次（poltchebi（abs（n+1））-poltchebi（abs（n）），x，3）/2

（PARI）a（n）=如果（n<0，-a（-1-n），polsym（x^2-2*x-1，2*n+1）[2*n+2]/2）

（PARI）a（n）=局部（w=3+quadgen（32））；imag（（1+w）*w^n）

（PARI）对于（i=11000，if（Mod（sigma（i^2+1，2），2）==1，print1（i，“，”））

（Sage）[（lucas_number2（n，6，1）-lucas_number2（n-1，6，1））/4表示范围（1，22）]#泽伦瓦拉乔斯2009年11月10日

（哈斯克尔）

a002315 n=a002315_列表！！n

a002315 U列表=1:7:zipWith（-）（map（*6）（尾部a002315 U列表））a002315 U列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月10日

（岩浆）I:=[1，7]；[n le 2选择I[n]否则6*自身（n-1）-自身（n-2）：n in[1..30]]//文琴佐·利班迪2015年3月22日

平分A001333号. 囊性纤维变性。A001109,A001653号.A065513型（n） =a（n）-1。

第一个区别A001108和A055997号. 平分A084068号和A088014号. 两两和A001109. 囊性纤维变性。A077444号.

囊性纤维变性。A125650,A125651号,A125652号.

无符号三角形的行和A127675号.

囊性纤维变性。A053141号,A075870号. 囊性纤维变性。A000045型,A002878号,A004146号,A026003型,A100047号,A119915年,A192425号,A088165（素子序列），A057084号（二项式变换），A108051型（逆二项式变换）。

请参阅中的注释A301383.

参见中列出的（1/k）*sinh（（2*n+1）*arcinh（k））类型的类似序列A097775号.

囊性纤维变性。A003499号.

上下文顺序：A057009号 邮编：A140480 A327055型*A141813号 A088165 A287810

相邻序列：A002312号 A002313号 A002314号*A002316 A002317号 A002318号

不,容易的,美好的

N、 斯隆

经核准的