A.W.F.公司。爱德华兹写道:“它(三角形)早在1654年,也就是布莱斯·帕斯卡(Blaise Pascal)写下三角算术的那一年,这本书就被首次记录下来了,但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中,帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后,在一系列附录中,展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”(A.W.F.Edwards,《帕斯卡的算术三角》,约翰·霍普金斯大学出版社(2002),第xiii页)
爱德华兹(Edwards)报告称,1708年,蒙莫特(Montmort)首先以帕斯卡(Pascal)命名三角形,称之为“帕斯卡组合表”(Table de M.Pascal pour les combinations),1730年,德莫伊夫(de Moivre)将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。(爱德华兹,第xiv页)
在中国,杨辉在1261年列出了(a+b)^n到n=6的系数,将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。(爱德华兹,第51页)
在波斯,Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形,而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。(爱德华兹,第52页)
在印度,Halayuda对Pingala关于音节组合的论文(约公元前200年)的评论(约900年)清楚地描述了三角形的加法计算。(Amulya Kumar Bag,古印度二项式定理,第72页)
同样在印度,C(n,k)的乘法公式于850年为Mahavira所知,并于1150年由Bhaskara重申。(爱德华兹,第27页)
在意大利,塔塔格里亚(Tartaglia)在他的《将军特拉塔托》(General trattato,1556年)中发表了三角图,而卡达诺(Cardano)则在他的《新作品》(Opus novum,1570年)中出版了三角图。(爱德华兹,第39、44页)-俄罗斯考克斯2022年3月29日
有时也称为Omar Khayyam三角形。
有时也称为杨辉三角形。
C(n,k)=n元集的k元子集的数目。
第n行给出了(1+x)^n展开式中的系数。
二项式(n+k-1,n-1)是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数(“条形和星形”参数-参见Feller)。
二项式(n-1,k-1)是n与k和的组合数(有序分区)。
二项式(n+k-1,k-1)是n的弱成分(有序弱分区)精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日
二项式(n,k)是使用步骤(1,0)和(1,1)从(0,0)到(n,k)的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日
如果将其视为无限下三角矩阵,则逆矩阵开始:
+1
-1 +1
+1 -2 +1
-1 +3 -3 +1
+1 -4 +6 -4 +1
开始于A006516号(n) 第个条目是奇数-Lekraj Beedassy公司2003年5月20日
二项式(n+k-1,n-1)是形状(n,1^k)的标准表格数-Emeric Deutsch公司2004年5月13日
可以看作是一个数组,由反对偶读取,其中第一行和第一列中的条目都是1,对于所有其他条目,A(i,j)=A(i-1,j)+A(i、j-1)。从(0,0)开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日
此外,矩阵指数的下三角读数,其条目{j+1,j}等于j+1(所有其他条目都为零)Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年5月26日
二项式(n-3,k-1)计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式(n-3,k-1)还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek(David.hok(AT)telia.com),2007年2月28日
的反转A130595型(作为无限下三角矩阵)-菲利普·德尔汉姆2007年8月21日
考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]](其中“#”表示“时间”),如LL(m=3,k=3)=[2,2,2],[2,2,2],[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次,LL(m,k)的整数列表分区数等于二项式(m+k,k)。对于这个例子,我们发现4*5*6/3!=20=二项式(6,3)-托马斯·维德2007年10月3日
帕斯卡三角形及其逆三角形的无穷小生成器为A132440号. -汤姆·科普兰2007年11月15日
第n>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>0)的个数,数字严格递减;例如,第10行A009995号类似地,第n-1>=2行给出了以n为基数的k位数字(k>1)的个数,数字严格递增;看见A009993号并进行比较A118629号. -里克·L·谢泼德2007年11月25日
来自Lee Naish(Lee(AT)cs.mu.oz.au),2008年3月7日:(开始)
二项式(n+k-1,k)是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数(参见Naish链接)。
二项式(n+k-1,k)也是以至少k为基数写的n个(或更少)数字的数目,其数字总和为k。例如,在十进制中,有二项式的(3+3-1,3)=10个3位数,其数字之和为3(参见A052217号)二项式(4+2-1,2)=10个四位数,其数字之和为2(参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号到A052224号(以及使用大于10的基数的进一步序列)。(结束)
发件人米兰Janjic2008年5月7日:(开始)
用sigma_k(x_1,x_2,…,x_n)表示初等对称多项式。然后:
二项式(2n+1,2k+1)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n+1)),(i=1,2,…,n)。
二项式(2n,2k+1)=2n*sigma{n-1-k}(x_1,x_2,…,x_{n-1}),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n)),(i=1,2,…,n-1)。
二项式(2n,2k)=σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n)),(i=1,2,…,n)。
二项式(2n+1,2k)=(2n+1)σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n+2)),(i=1,2,…,n)。(结束)
给定矩阵R和S,其中R(n,k)=二项式(n,k)*R(n-k)和S(n,k-)=二项式(n、k)*S(n-k。并且,R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp(x*T)*exp[R(.)*x]、exp。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日
当矩形R(m,n)=二项式(m+n-2,m-1)时,权重数组W(通常定义为A144112号)R的本质是R本身,在这个意义上,如果W的第1行和第1列=A144225号则剩余数组为R-克拉克·金伯利2008年9月15日
如果A007318号=M作为无限下三角矩阵,M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日
多项式的系数,例如f.exp(x*t)*(cosh(t)+sinh(t))-彼得·卢什尼2009年7月9日
三角形或国际象棋的总和,参见A180662号有关它们的定义,请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来,请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性,所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是,所有骑士和都与斐波那契数相关,即。,A000045号,但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
二项式(n,k)也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数,以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日
二项式(n,k)是从{1,…,k}增加到{1,..,n}的函数数,因为有二项式的(n,k)方法可以从余域{1,,…,n}s中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
中心二项系数:T(2*n,n)=A000984号(n) ,T(n,楼层(n/2))=A001405号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日
二项式(n,k)是以k+1为中间元素的{1,…,n+1}的子集数。要了解这一点,请注意总和{j=0..min(k,n-k)}二项式(k,j)*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
这是晶格Z^n的坐标三角形,参见Conway-Sloane,1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日
高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一(参见Bober定理1.2)。其他两个是A046521号和A068555号.对于实际r>=0,C_r(n,k):=楼层(r*n)/(地板(r*k)*地板(r*(n-k))!)是整数。请参见A211226型对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日
定义一个有n行的有限三角形T(m,k),使T(m、0)=1为左列,T(m)=二项式(n-1,m)为右列,其他条目为T(m;k)=T(m-1,k-1)+T(m-l,k)(如帕斯卡三角形中所示)。T中所有项目的总和(有A000217号(n) 元素)为3^(n-1)-J.M.贝戈2012年10月1日
下三角Pascal矩阵是算子exp(RLR)在由多项式序列p_n(x)组成的基中的表示,该多项式序列由R p_n。请参见A132440号,A218272型,A218234号,A097805号、和A038207号转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊线性组SL2相关联-汤姆·科普兰2012年10月25日
请参见A193242号. -亚历山大·波沃洛茨基2013年2月5日
集合{1,…,n}的置换p_1…p_n在位置i处下降,如果p_i>p_(i+1)。设S(n)表示{1,…,n}的置换p_1…p_n的子集,使得p_(i+1)-p_i<=1,。。。,n-1.然后二项式(n,k)给出了S(n+1)中k下降的置换数。或者,二项式(n,k)给出了S(n+1)中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日
和{n=>0}二项式(n,k)/n!)=e/k!,其中e=exp(1),同时允许n<k,其中二项式(n,k)=0。同时求和{n>=0}二项式(n+k-1,k)/n!=e(电子)*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日
下面公式中定义的Pascal矩阵P(X)的平方n X n子矩阵(前n行和n列)在左边乘以Vandermonde矩阵V(X_1,…,X_n)(第一行中有一个)时,将矩阵转换为V(X_1+X,…,X_n+X),同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日
对于k>=2,n>=k,k/((k/(k-1)-和{n=k.m.m}1/二项式(n,k))=m/(m-k+1)*(k-2)!)。注:k/(k-1)是无限和。请参见A000217号,A000292号,A000332号例如-理查德·福伯格2014年8月12日
设G_(2n)是对称群S_(2n。二项式(n,k)给出了G_(2n)中具有n+k个循环的置换数。囊性纤维变性。A130534型和A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日
C(n,k)=半长n+1的Dyck路径数,其中k+1“u”位于奇数位置,k+1返回x轴。示例:{U=U在奇数位置,_=返回x轴}二项式(3,0)=1(Uududd_);二项式(3,1)=3[(Uududd_Ud_),(Ud_Uudd_);二项式(3,2)=3[(Ud_Ud_U udd_),(Uudd_U d_U d),(U d_Uudd_ d)];二项式(3,3)=1(Ud_Ud_uUd_)-罗杰·福特2014年11月5日
发件人丹尼尔·福格斯2015年3月12日:(开始)
二项式系数二项式(n,k)给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群,每个个体的克隆都会使其世代指数增加1,从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|(O…|)O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
这是一个分形过程:要获得从0到2^n-1的图案,请在图案右侧附加一个从0到2 ^(n-1)-1的图案下移(一行)副本。(灵感来自“二项式堆”数据结构。)
生成指数序列:1’s计数序列:n的二进制展开中的1’s数(或n的二进制权重)(参见A000120号):
{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}
0到15的二进制扩展:
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111
(结束)
A258993型(n,k)=T(n+k,n-k),n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月22日
T(n,k)是[n+1]的集合分区w的数量,该集合分区w避免了1/2/3,rb(w)=k。ls(w)=k也是如此,其中回避是指Klazar和ls,rb由Wachs和White定义。
满足本福德定律[Diaconis,1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日
设{A(n)}是一个有n个完全相同元素的集,{A(0)}为空集E。{A(n,1)}=A{(n)}的所有子集的集合,包括{A(n-)}和E。设A(n,k)是{A(n、k)}中的元素数。然后A(n,k)=C(n+k,k),每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙,2018年8月6日
二项式(n-1,k)也是避免213和312的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式(n-1,k)也是避免132和213的排列数,其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式(n,k)是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
C(n,k-1)是使用k种颜色的n维单纯形的面(或顶点)的无方向着色数。在列举无定向排列时,每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
Dilcher和Stolarsky:“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数(以及Pascal三角形)这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的:考虑帕斯卡三角形第k行中的项,不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日
皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特(1708)以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡(1623-1662)的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日
将三角形的第n条对角线视为序列b(n),n从0开始。通过保持第0项不变,然后考虑n的所有组成,从中形成一个新序列,取b(i)对每个组成中相应数字i的乘积,加上与偶数部分组成对应的项,减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行,每第二项乘以-1,后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列,此操作是自反转操作的特例,因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日
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