A、 W.F.爱德华兹写道:“它[三角形]1654年,布莱斯·帕斯卡写下了他的三角形算术特征,但正是这部作品第一次把数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中,帕斯卡把数的性质发展成一个纯数学。。。然后,在一系列附录中,展示了这些性质是如何与数字的研究,组合理论,二项式的展开,以及概率论中一个重要问题的解决有关。”(A.W.F.Edwards,帕斯卡的算术三角形,约翰霍普金斯大学出版社(2002年),第十三页)
爱德华兹报告说,蒙特莫特在1708年首先将帕斯卡命名为“合并表”,然后在1730年由德莫伊夫命名为“帕斯卡拉纽姆三角算术”。(爱德华兹,第十四页)
在中国,杨辉在1261年列出了(a+b)^n到n=6的系数,将其扩展到了约1100年的嘉善《世故算书》。另一个突出的早期用法是在1303年朱时植的《四行镜》。(爱德华兹,第51页)
在波斯,Al-Karaji在“1007年后不久”发现了二项式三角形,并且Al-Samawal在1180年前的某个时间在Al-bahir上发表了它。(爱德华兹,第52页)
在印度,Halayuda对Pingala关于音节组合的论文(大约公元前200年)的评论(大约900年)中,对三角形的加法计算有着清晰的描述。(Amulya Kumar Bag,古印度二项式定理,第72页)
同样在印度,C(n,k)的乘法公式在850年为马哈维拉所知,1150年由巴克拉重申。(爱德华兹,第27页)
在意大利,塔尔塔格里亚在他的《将军塔塔托》(1556)中出版了《三角》,卡达诺在他的《新作品》(1570)中发表了这一三角。(爱德华兹,第39、44页)-罗斯考克斯2022年3月29日
有时也称为奥马尔·卡亚姆三角。
有时也叫杨辉三角。
C(n,k)=n元集的k元子集数。
n行给出(1+x)^n的展开系数。
二项式(n+k-1,n-1)是将k个不可分辨的球放入n个盒子的方法的数目(“棒子和星星”的论点-见费勒)。
二项式(n-1,k-1)是具有k个和的n的组成(有序分区)的数目。
二项式(n+k-1,k-1)是n的弱组合(有序弱分区)的个数,精确到k个和-尤尔根将2016年1月23日
二项式(n,k)是使用步骤(1,0)和(1,1)从(0,0)到(n,k)的晶格路径数-乔尔阿恩特2011年7月1日
如果把它看作一个无限的下三角矩阵,逆矩阵开始于:
+1个
-1+1
+1-2+1
-1+3-3+1
+1-4+6-4+1
所有2^n回文二项式系数从A006516号(n) -这个条目是奇数-莱克莱·比达西2003年5月20日
二项式(n+k-1,n-1)是形状(n,1^k)的标准表格数-德国金刚砂2004年5月13日
可以看作是一个数组,用反斜线来读取,其中第一行和第一列中的条目都是1,对于所有其他条目,A(i,j)=A(i-1,j)+A(i,j-1)。从(0,0)开始的每个nxn子数组的行列式是1-杰拉尔德·麦加维2004年8月17日
也是矩阵指数的下三角读出,其项{j+1,j}等于j+1(所有其他项都为零)约瑟夫比伯斯汀(在印第安纳州)。edu),2006年5月26日
二项式(n-3,k-1)计算Sïn中模式231为零,模式132和k下降为一次的置换。二项式(n-3,k-1)还计算Sïn中模式231为零,模式213和k下降为一次的置换大卫·霍克(大卫·霍克)特利亚。com),2007年2月28日
相反的邮编:A130595(作为无限下三角矩阵)-菲利普·德莱厄姆2007年8月21日
考虑整数列表LL的形式为LL=[m#L]=[m#[k#2]](其中'#'表示'次'),如LL(m=3,k=3)=[[2,2,2],[2,2,2],[2,2,2]]。如果多个分区如[[1,1]、[2]、[2]]和[[2]、[2]、[1,1]]和[[2]、[2]、[1,1]、[2]、[1,1]、[2]]只计算一次,则LL(m,k)的整数列表分区数等于二项式(m+k,k)。例如,我们发现4*5*6/3!=20=二项式(6,3)-托马斯·威德2007年10月3日
帕斯卡三角形及其逆的无穷小生成元是A132440. -汤姆·科普兰2007年11月15日
第n>=2行给出了k位(k>0)基数n的个数,位数严格递减;e、 g.,第10行A009995年同样,n-1>=2行给出了k位(k>1)基数n的个数,位数严格递增;看见A009993号比较一下A118629年. -瑞克·L·谢泼德2007年11月25日
来自李·奈什(Lee(AT)cs。穆。oz.au),2008年3月7日:(开始)
二项式(n+k-1,k)是一个长度为k的序列可以划分为n个子序列的方法数(参见Naish链接)。
二项式(n+k-1,k)也是以至少k为基数的n个(或更少)位数,其位数和为k。例如,在十进制中,有二项式(3+3-1,3)=10个3位数,其位数和为3(参见A052217)二项式(4+2-1,2)=10个四位数,其位数和为2(参见A052216号)。此关系可用于生成序列数A052216号到A052224号(以及使用大于10的基数的进一步序列)。(结束)
从米兰-扬吉奇2008年5月7日:(开始)
用sigma_k(x_1,x_2,…,x_n)表示基本对称多项式。然后:
二项式(2n+1,2k+1)=西格玛{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n+1)),(i=1,2,…,n)。
二项式(2n,2k+1)=2n*σ{n-1-k}(x_1,x_2,…,x{n-1}),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n)),(i=1,2,…,n-1)。
二项式(2n,2k)=西格玛{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n)),(i=1,2,…,n)。
二项式(2n+1,2k)=(2n+1)σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n+2)),(i=1,2,…,n)。(结束)
给定矩阵R和S,其中R(n,k)=二项式(n,k)*R(n-k)和S(n,k)=二项式(n,k)*S(n-k),则R*S=T,其中T(n,k)=二项式(n,k)*[R(.)+s(.)]^(n-k),本影。并且,R、s和T的行多项式的e.g.f.s分别是exp(x*T)*exp[R(.)*x] ,经验(x*t)*经验[s(.)*x] 和exp(x*t)*exp[r(.)*x] *经验*x] =exp{[t+r(.)+s(.)]*x} 一。行多项式本质上是Appell多项式。看到了吗邮编:A132382举个例子-汤姆·科普兰2008年8月21日
当矩形R(m,n)=二项式(m+n-2,m-1)时,权重数组W(通常定义为A144112号)R的本质上是R本身,在这个意义上,如果W的第1行和第1列=A144225被删除,剩下的数组是R-克拉克·金伯利2008年9月15日
如果A007318型=M作为无限下三角矩阵,M^n给出邮编:A130595,A023531号,A007318型,A038207,A027465号,A038231,A038243,A038255,A027466号,A038279号,A038291号,A038303,A038315,A038327型,A133371号,A147716号,A027467号分别为n=-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德莱厄姆2008年11月11日
例如f.exp(x*t)*(cosh(t)+sinh(t))多项式的系数-彼得·卢什尼2009年7月9日
三角形或国际象棋和,参见邮编:A180662关于它们的定义,把帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来,见交叉引用。由于这个三角形的对称性,所有的和都是成对的。骑士总数Kn14-Kn110已被添加。值得注意的是,所有骑士和都与斐波纳契数有关,即。,A000045型但其他人都没有-约翰内斯W.梅杰2010年9月22日
二项式(n,k)也是将n+1个球分配到k+1个urn中的方法的数目,以便每个urn至少得到一个球。参见下面示例部分中的示例-丹尼斯·P·沃尔什2011年1月29日
二项式(n,k)是从{1,…,k}到{1,…,n}的递增函数的数目,因为有二项式(n,k)方法来选择范围中k个不同的有序元素,这些元素来自于codomain{1,…,n}。参见下面示例部分中的示例-丹尼斯·P·沃尔什2011年4月7日
中心二项式系数:T(2*n,n)=A000984号(n) ,T(n,楼层(n/2))=A001405(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日
二项式(n,k)是{1,…,n+1}的子集数,k+1是中值元素。要看到这一点,请注意Sum{j=0..min(k,n-k)}二项式(k,j)*二项式(n-k,j)=二项式(n,k)。请参阅下面的示例部分中的示例-丹尼斯·P·沃尔什2011年12月15日
这是格子Z^n的协调三角形,见Conway Sloane,1997-N、 斯隆2012年1月17日
高度为1的三个无穷族的整数阶乘比序列之一(见Bober定理1.2)。另外两个是A046521号和A068555号。对于实r>=0,C\r(n,k):=楼层(r*n)/(楼层(r*k)*楼层(r*(n-k))!)是完整的。看到了吗A211226号对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日
定义一个有限三角形T(m,k),其中T(m,0)=1为左列,T(m,m)=二项式(n-1,m)为右列,其他项为T(m,k)=T(m-1,k-1)+T(m-1,k),如Pascal三角形中所示。T中所有项目的总和(有A000217(n) 元素)为3^(n-1)-J、 伯格特先生2012年10月1日
下三角Pascal矩阵作为算子exp(RLR)的一种表示,其基由多项式p_n(x)=p_(n+1)(x)和L p_n(x)=np_(n-1)(x)定义的阶梯算子构成。看到了吗A132440,A218272年,A218234年,A097805号,和A038207转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊的线性群SL2相关联-汤姆·科普兰2012年10月25日
看到了吗A193242. -亚历山大波伏洛茨基2013年2月5日
一个置换pˉ1。。。如果集合{1,…,n}的p_n在位置i有下降,如果p_i>p_(i+1)。设S(n)表示置换的子集p_1。。。{1,…,n}的p_n,使得p_(i+1)-p_i<=1,i=1,。。。,n-1。然后二项式(n,k)给出了S(n+1)中k次下降的置换数。或者,二项式(n,k)给出了S(n+1)中k+1递增的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日
和{n=>0}二项式(n,k)/n!)=e/k!,其中e=exp(1),同时允许n<k,其中二项式(n,k)=0。还有和{n>=0}二项式(n+k-1,k)/n!=e*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) 一-理查德·R·福伯格2014年1月1日
下面公式中定义的帕斯卡矩阵P(X)的平方nxn子矩阵(前n行和n列)在左侧乘以Vandermonde矩阵V(X_1,…,X_n)(第一行中有一个)将矩阵转换为V(X_1+X,…,X_n+X),同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日
对于k>=2,n>=k,k/((k/(k-1)-和{n=k..m}1/二项式(n,k)))=m/((m-k+1)*(k-2)!)。注:k/(k-1)为无穷和。看到了吗A000217,A000292号,A000332号例如-理查德·R·福伯格2014年8月12日
设G_2n是对称群S_2n的子群,由G_2n={p in S_2n)| p(i)=i(mod n)定义,i=1,2,…,2n}的子群。G(2n)具有2^n阶,二项式(n,k)给出了G_2n中具有n+k个圈的置换数。囊性纤维变性。邮编:A130534和A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日
C(n,k)=半长n+1的Dyck路径数,其中k+1“u”位于奇数编号位置,k+1返回x轴。示例:{U=U在奇数位置,而{U=return to x轴}二项式(3,0)=1(uudududud_U);二项式(3,1)=3[(uudud_Ud_u),(Ud_uud_u),(uud_uud_u),(uud_uud_uud_uud_),(uud_uud_u),(uud_uud_uuud_u),(uud_uud_uuuud_u),(uud_Ud;二项式(3,2)=3[(Ud_Ud_Ud_Ud_Ud_Ud_uud_uud_uud_u Ud_Ud_u Ud_u Ud_u Ud_u Ud峎(uud_uud_u;二项式(3,3)=1-罗杰·福特2014年11月5日
从丹尼尔放弃了2015年3月12日:(开始)
二项式系数二项式(n,k)给出n个种群倍增后第k代的个体数。每增加一倍的种群,每个个体的克隆的世代指数都会增加1,从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加就可以得到二项式系数。
0 1 3 7 15
0:O |。|。 . | . . . . | . . . . . . . . |
1:| O | O.|哦。 . . | 哦。 . . . . . . |
2:| | O | O|哦哦。哦。 . . |
3:| | | | O | O O|
4:| | | | O|
这是一个分形过程:要获得从0到2^n-1的图案,请在从0到2^(n-1)-1的图案右侧附加一个下移(一行)的图案副本。(受“二项式堆”数据结构的启发。)
生成索引的序列:1的计数序列:n的二进制展开(或n的二进制权重)中的1个数(参见A000120型):
{0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,…}
0到15的二进制扩展:
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111
(结束)
A258993年(n,k)=T(n+k,n-k),n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月22日
T(n,k)是[n+1]的集合分区w的个数,它们避免了rb(w)=k的1/2/3。ls(w)=k也是如此,其中回避是由Wachs和White定义的Klazar和ls,rb的意思。
满足本福德定律[Diaconis,1977]-N、 斯隆2017年2月9日
设{A(n)}为具有n个完全相同元素的集合,其中{A(0)}为空集E。设{A(n,k)}为{A(n)}的第k次迭代,其中{A(n,0)}={A(n)}。{A(n,1)}=A{(n)}的所有子集的集合,包括{A(n)}和E{A(n,k)}=A(n,k-1)}的所有子集的集合,包括{A(n,k-1)}的所有元素。设A(n,k)是{A(n,k)}中元素的数目。然后A(n,k)=C(n+k,k),每次连续迭代都复制Pascal三角形第k条对角线的成员。参见示例-格雷戈里·L·西梅2018年8月6日
二项式(n-1,k)也是避免213和312的排列数,k上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式(n-1,k)也是避免132和213的排列数,k上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式(n,k)是维数为n的向量空间的第k次外幂的维数-斯佩齐亚2018年12月22日
C(n,k-1)是一个n维单纯形的面(或顶点)的无方向着色数,使用的颜色正好是k。当列举无方向排列时,每个手性对都算作一对-罗伯特A.罗素2020年10月20日
Dilcher和Stolarsky说:“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数(以及帕斯卡三角形)这两者之间的联系是由素数的一个众所周知的特征给出的:考虑帕斯卡三角形第k行中的条目,而不考虑初始条目和最终条目。当且仅当k是素数时,它们都能被k整除。" -汤姆·科普兰2021年5月17日
以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡(1623-1662)的名字命名,由皮埃尔·雷蒙·德·蒙特莫特(Pierre Remond de Montmort,1708)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月11日
把三角形的第n条对角线看作序列b(n),n从0开始。从它形成一个新的序列,保留第0项不变,然后考虑n的所有组成,取b(i)在每个组成中的相应数i的乘积,加上与偶数个部件的组成相对应的项减去与奇数个部件的组成相对应的项。然后得到三角形的第n行,每第二项乘以-1,后跟无穷多个零。对于以1开头的序列,此运算是自逆运算的特例,因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日
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