0,5

A.W.F.公司。爱德华兹写道：“它（三角形）早在1654年，也就是布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）写下三角算术的那一年，这本书就被首次记录下来了，但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中，帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后，在一系列附录中，展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”（A.W.F.Edwards，《帕斯卡的算术三角》，约翰·霍普金斯大学出版社（2002），第xiii页）

爱德华兹（Edwards）报告称，1708年，蒙莫特（Montmort）首先以帕斯卡（Pascal）命名三角形，称之为“帕斯卡组合表”（Table de M.Pascal pour les combinations），1730年，德莫伊夫（de Moivre）将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。（爱德华兹，第xiv页）

在中国，杨辉在1261年列出了（a+b）^n到n=6的系数，将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。（爱德华兹，第51页）

在波斯，Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形，而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。（爱德华兹，第52页）

在印度，Halayuda对Pingala关于音节组合的论文（约公元前200年）的评论（约900年）清楚地描述了三角形的加法计算。（Amulya Kumar Bag，古印度二项式定理，第72页）

同样在印度，C（n，k）的乘法公式于850年为Mahavira所知，并于1150年由Bhaskara重申。（爱德华兹，第27页）

在意大利，塔塔格里亚（Tartaglia）在他的《将军特拉塔托》（General trattato，1556年）中发表了三角图，而卡达诺（Cardano）则在他的《新作品》（Opus novum，1570年）中出版了三角图。（爱德华兹，第39、44页）-俄罗斯考克斯2022年3月29日

有时也称为Omar Khayyam三角形。

有时也称为杨辉三角形。

C（n，k）=n元集的k元子集的数目。

第n行给出了（1+x）^n展开式中的系数。

二项式（n+k-1，n-1）是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数（“条形和星形”参数-参见Feller）。

二项式（n-1，k-1）是n与k和的组合数（有序分区）。

二项式（n+k-1，k-1）是n的弱成分（有序弱分区）精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日

二项式（n，k）是使用步骤（1,0）和（1,1）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日

如果将其视为无限下三角矩阵，则逆矩阵开始：

+1

-1 +1

+1 -2 +1

-1 +3 -3 +1

+1 -4 +6 -4 +1

开始于A006516号（n） 第个条目是奇数-Lekraj Beedassy公司2003年5月20日

二项式（n+k-1，n-1）是形状（n，1^k）的标准表格数-Emeric Deutsch公司2004年5月13日

可以看作是一个数组，由反对偶读取，其中第一行和第一列中的条目都是1，对于所有其他条目，A（i，j）=A（i-1，j）+A（i、j-1）。从（0,0）开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日

此外，矩阵指数的下三角读数，其条目{j+1，j}等于j+1（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日

二项式（n-3，k-1）计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式（n-3，k-1）还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日

的反转A130595型（作为无限下三角矩阵）-菲利普·德尔汉姆2007年8月21日

考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]]（其中“#”表示“时间”），如LL（m=3，k=3）=[2,2,2]，[2,2,2]，[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次，LL（m，k）的整数列表分区数等于二项式（m+k，k）。对于这个例子，我们发现4*5*6/3！=20=二项式（6,3）-托马斯·维德2007年10月3日

帕斯卡三角形及其逆三角形的无穷小生成器为A132440号. -汤姆·科普兰2007年11月15日

第n>=2行给出了以n为基数的k位数字（k>0）的个数，数字严格递减；例如，第10行A009995号类似地，第n-1>=2行给出了以n为基数的k位数字（k>1）的个数，数字严格递增；看见A009993号并进行比较A118629号. -里克·L·谢泼德2007年11月25日

来自Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日：（开始）

二项式（n+k-1，k）是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数（参见Naish链接）。

二项式（n+k-1，k）也是以至少k为基数写的n个（或更少）数字的数目，其数字总和为k。例如，在十进制中，有二项式的（3+3-1,3）=10个3位数，其数字之和为3（参见A052217号)二项式（4+2-1,2）=10个四位数，其数字之和为2（参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号到A052224号（以及使用大于10的基数的进一步序列）。（结束）

发件人米兰Janjic2008年5月7日：（开始）

用sigma_k（x_1，x_2，…，x_n）表示初等对称多项式。然后：

二项式（2n+1,2k+1）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n+1）），（i=1,2，…，n）。

二项式（2n，2k+1）=2n*sigma{n-1-k}（x_1，x_2，…，x_{n-1}），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n）），（i=1,2，…，n-1）。

二项式（2n，2k）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n）），（i=1,2，…，n）。

二项式（2n+1,2k）=（2n+1）σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n+2）），（i=1,2，…，n）。（结束）

给定矩阵R和S，其中R（n，k）=二项式（n，k）*R（n-k）和S（n，k-）=二项式（n、k）*S（n-k。并且，R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp（x*T）*exp[R（.）*x]、exp。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日

当矩形R（m，n）=二项式（m+n-2，m-1）时，权重数组W（通常定义为A144112号)R的本质是R本身，在这个意义上，如果W的第1行和第1列=A144225号则剩余数组为R-克拉克·金伯利2008年9月15日

如果A007318号=M作为无限下三角矩阵，M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日

多项式的系数，例如f.exp（x*t）*（cosh（t）+sinh（t））-彼得·卢什尼2009年7月9日

三角形或国际象棋的总和，参见A180662号有关它们的定义，请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来，请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性，所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是，所有骑士和都与斐波那契数相关，即。，A000045号，但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

二项式（n，k）也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数，以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日

二项式（n，k）是从{1，…，k}增加到{1，..，n}的函数数，因为有二项式的（n，k）方法可以从余域{1，，…，n}s中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

中心二项系数：T（2*n，n）=A000984号（n） ，T（n，楼层（n/2））=A001405号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日

二项式（n，k）是以k+1为中间元素的{1，…，n+1}的子集数。要了解这一点，请注意总和{j=0..min（k，n-k）}二项式（k，j）*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

这是晶格Z^n的坐标三角形，参见Conway-Sloane，1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日

高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一（参见Bober定理1.2）。其他两个是A046521号和A068555号.对于实际r>=0，C_r（n，k）：=楼层（r*n）/（地板（r*k）*地板（r*（n-k））！）是整数。请参见A211226型对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日

定义一个有n行的有限三角形T（m，k），使T（m、0）=1为左列，T（m）=二项式（n-1，m）为右列，其他条目为T（m；k）=T（m-1，k-1）+T（m-l，k）（如帕斯卡三角形中所示）。T中所有项目的总和（有A000217号（n） 元素）为3^（n-1）-J.M.贝戈2012年10月1日

下三角Pascal矩阵是算子exp（RLR）在由多项式序列p_n（x）组成的基中的表示，该多项式序列由R p_n。请参见A132440号,A218272型,A218234号,A097805号、和A038207号转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊线性组SL2相关联-汤姆·科普兰2012年10月25日

请参见A193242号. -亚历山大·波沃洛茨基2013年2月5日

集合{1，…，n}的置换p_1…p_n在位置i处下降，如果p_i>p_（i+1）。设S（n）表示{1，…，n}的置换p_1…p_n的子集，使得p_（i+1）-p_i<=1，。。。，n-1.然后二项式（n，k）给出了S（n+1）中k下降的置换数。或者，二项式（n，k）给出了S（n+1）中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日

和{n=>0}二项式（n，k）/n！）=e/k！，其中e=exp（1），同时允许n<k，其中二项式（n，k）=0。同时求和{n>=0}二项式（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262号（k） /k！，对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

下面公式中定义的Pascal矩阵P（X）的平方n X n子矩阵（前n行和n列）在左边乘以Vandermonde矩阵V（X_1，…，X_n）（第一行中有一个）时，将矩阵转换为V（X_1+X，…，X_n+X），同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日

对于k>=2，n>=k，k/（（k/（k-1）-和{n=k.m.m}1/二项式（n，k））=m/（m-k+1）*（k-2）！）。注：k/（k-1）是无限和。请参见A000217号,A000292号,A000332号例如-理查德·福伯格2014年8月12日

设G_（2n）是对称群S_（2n。二项式（n，k）给出了G_（2n）中具有n+k个循环的置换数。囊性纤维变性。A130534型和A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日

C（n，k）=半长n+1的Dyck路径数，其中k+1“u”位于奇数位置，k+1返回x轴。示例：{U=U在奇数位置，_=返回x轴}二项式（3,0）=1（Uududd_）；二项式（3,1）=3[（Uududd_Ud_），（Ud_Uudd_）；二项式（3,2）=3[（Ud_Ud_U udd_），（Uudd_U d_U d），（U d_Uudd_ d）]；二项式（3,3）=1（Ud_Ud_uUd_）-罗杰·福特2014年11月5日

发件人丹尼尔·福格斯2015年3月12日：（开始）

二项式系数二项式（n，k）给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群，每个个体的克隆都会使其世代指数增加1，从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。

0 1 3 7 15

0:O|.|..|….||

1:|O|O.|O…|（O…|）O|

2:||O|O操作。|O O O。哦|

3:|||O|O O O O|

4:||||O|

这是一个分形过程：要获得从0到2^n-1的图案，请在图案右侧附加一个从0到2 ^（n-1）-1的图案下移（一行）副本。（灵感来自“二项式堆”数据结构。）

生成指数序列：1’s计数序列：n的二进制展开中的1’s数（或n的二进制权重）（参见A000120号):

{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}

0到15的二进制扩展：

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111

（结束）

A258993型（n，k）=T（n+k，n-k），n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月22日

T（n，k）是[n+1]的集合分区w的数量，该集合分区w避免了1/2/3，rb（w）=k。ls（w）=k也是如此，其中回避是指Klazar和ls，rb由Wachs和White定义。

满足本福德定律[Diaconis，1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日

设{A（n）}是一个有n个完全相同元素的集，{A（0）}为空集E。{A（n，1）}=A{（n）}的所有子集的集合，包括{A（n-）}和E。设A（n，k）是{A（n、k）}中的元素数。然后A（n，k）=C（n+k，k），每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日

二项式（n-1，k）也是避免213和312的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式（n-1，k）也是避免132和213的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式（n，k）是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日

C（n，k-1）是使用k种颜色的n维单纯形的面（或顶点）的无方向着色数。在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

Dilcher和Stolarsky：“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数（以及Pascal三角形）这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的：考虑帕斯卡三角形第k行中的项，不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日

皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特（1708）以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日

将三角形的第n条对角线视为序列b（n），n从0开始。通过保持第0项不变，然后考虑n的所有组成，从中形成一个新序列，取b（i）对每个组成中相应数字i的乘积，加上与偶数部分组成对应的项，减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行，每第二项乘以-1，后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列，此操作是自反转操作的特例，因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日

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与Pascal三角形相关的三角形和数组的索引项

“核心”序列的索引项

与Benford定律相关的序列索引项

a（n，k）=C（n，k）=二项式（n，克）。

C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1）。

三角形是对称的：C（n，k）=C（n、n-k）。

a（n+1，m）=a（n，m）+a（n、m-1），a（n；-1）：=0，a（m，n）:=0，n<m；a（0，0）=1。

C（n，k）=n/（k！（n-k）！）如果0<=k<=n，则为0。

G.f.：1/（1-y-x*y）=和_（C（n，k）*x^k*y^n，n，k>=0）

G.f.：1/（1-x-y）=和_（C（n+k，k）*x^k*y^n，n，k>=0）。

第n行的G.f:（1+x）^n=Sum_{k=0..n}C（n，k）*x^k。

柱k的G.f:x^k/（1-x）^（k+1）；[由更正沃纳·舒尔特，2022年6月15日]。

例如：A（x，y）=exp（x+x*y）。

例如，对于n列：x^n*exp（x）/n！。

一般来说A007318号表示为：T（0，0）=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+m*T（n-1，k），其中n是行index，k是列；T（n，k）=m^（n-k）*C（n，k）。

按行读取三角形T（n，k）；由提供A000007号三角洲A000007号，其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号.

设P（n+1）=（n+1）的整数分区数；设p（i）=（n+1）的第i个分区的部分数；设d（i）=（n+1）的第i个分区的不同部分的数目；设m（i，j）=（n+1）的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P（n+1），P（i）=k+1}定义为从i=1到i=P（n/1）的和，但只考虑具有P（i）=（k+1）部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d（i）}=Product从j=1运行到j=d（i）。那么C（n，k）=和{p（i）=（k+1），i=1.p（n+1）}p（i[产品{j=1..d（i）}m（i，j）！]。例如，C（5，3）=10，因为n=6有以下m=3部分的分区：（114），（123），（222）。对于它们的多重性，我们有：（114）：3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C（5,3）-托马斯·维德2005年6月3日

C（n，k）=和{j=0..k}=（-1）^j*C（n+1+j，k-j）*A000108号（j） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2005年10月10日

通用格式：1+x*（1+x）+x^3*（1++x）^2+x^6*（1+x）^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日

求和{k=0..楼层（n/2）}x^（n-k）*T（n-k，k）=A000007号（n） ，A000045号（n+1），A002605号（n） ，A030195号（n+1），A057087号（n） ，A057088号（n） ，A057089号（n） ，A057090型（n） ，A057091号（n） ，A057092号（n） ，A057093号（n） 对于x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。求和{k=0..楼层（n/2）}（-1）^k*x^（n-k）*T（n-k，k）=A000007号（n） ，A010892号（n） ，A009545号（n+1），A057083号（n） ，A001787号（n+1），A030191号（n） ，A030192号（n） ，A030240型（n） ，A057084号（n） ，A057085号（n+1），A057086号（n） ，A084329号（n+1），x=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，20-菲利普·德尔汉姆2006年9月16日

C（n，k）<=A062758号（n） 对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日

C（t+p-1，t）=和{i=0..t}C（i+p-2，i）=和}i=1..p}C（i+t-2，t-1）。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和，等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日

发件人保罗·D·汉纳2011年3月24日：（开始）

设A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（n+1）/2）*（1+x）^n是平面三角形的g.f:

A（x）=1+（x+x^2）+（x^3+2*x^4+x^5）+（x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9）+。。。

则A（x）等于级数Sum_{n>=0}（1+x）^n*x^n*Product_{k=1..n}（1-（1+x）*x^（2*k-1））/（1-（1+x）*x ^（2*k））；

此外，A（x）等于连分数1/（1-x*（1+x）/（1+x*（1-x）*（1+x）/）。

这些公式是由于（1）q级数恒等式和（2）部分椭圆θ函数表达式。（结束）

对于n>0:T（n，k）=A029600型（n，k）-A029635号（n，k），0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月16日

三角形的第n行是对自然数（1，2，3，…，n）的前n项应用ConvOffs变换的结果。请参见A001263号或A214281型以获取此转换的定义-加里·亚当森2012年7月12日

发件人L.埃德森·杰弗里，2012年8月2日：（开始）

三角形的第n行（n>=0）由无穷矩阵P^n的第n对角化给出，其中P=（P_{i，j}），i，j>=0是生产矩阵

0, 1,

1, 0, 1,

0, 1, 0, 1,

0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,

…（结束）

三角形的第n行也由由递归P_0（x）=1，P_1（x）=x+1，P_n（x-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日

有关Pascal-like三角形任意左右边界的闭合公式，请参见A228196型. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年8月18日

关于广义帕斯卡三角形的闭合公式，请参见A228576号. -鲍里斯·普蒂夫斯基2013年9月4日

（1+x）^n=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*和{i=0..k}k^（i-i）*二项式（k，i）*x^（n-i）/（n-i）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日

例如：A（x，y）=exp（x+x*y）=1+（x+y*x）/（E（0）-（x+y*x）），其中E（k）=1+；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日

例如：E（0）-1，其中E（k）=2+x*（1+y）/（2*k+1-x*（1+y）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

通用系数：1+x*（1+x）*（1+x^2*（1++x）/（W（0）-x^2-x^3）），其中W（k）=1+（1+x）*x^（k+2）-（1+x）*xqu（k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

和{n>=0}C（n，k）/n！=e/k！，其中e=exp（1），而允许n<k，其中C（n，k）=0。同时求和{n>=0}C（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262号（k） /k！，对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日

和{n>=k}1/C（n，k）=k/（k-1）对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日

发件人汤姆·科普兰2014年4月17日和26日：（开始）

将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318号（x） =P（x）。然后利用：xD:^n=x^n*（d/dx）^n和B（n，x），Bell多项式(A008277号),

A） P（x）=经验（x*dP）=经验[x*（e^M-I）]=经验[M*B（.，x）]=（I+dP）^B（.、x）

带dP=A132440号，男=A238385型-一、 I=单位矩阵，以及

B） P（：xD:）=exp（dP:xD:A238363型).

C） P（x）^y=P（y*x）。P（2倍）=A038207号（x） =exp[M*B（.，2x）]，n维超立方体的面向量。

D） P（x）=[St2]*exp（x*M）*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St1）

E） =[St1]^（-1）*（I+dP）^x*[St1]=[St2]*

其中[St1]=填充A008275号与[St2]相同=A048993号=填充A008277号exp（x*M）=（I+dP）^x=总和（k=0，..，无穷大，C（x，k）dP^k）。（结束）

T（n，k）=A245334型（n，k）/A137948号（n，k），0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日

发件人彼得·巴拉2014年12月21日：（开始）

递归方程：T（n，k）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）-T。注意，将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.

行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系，即exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（1+3*x+3*x^2/2！+x^3/3！）=1+4*x+10*x^2！+20*x^3/3！+35*x^4/4！+。。。。此属性更普遍地适用于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，其中f（x）是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如，请参见，A055248号和A106516号.

让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2，。。。定义P（k）为下单位三角形块数组

/确定0（_k）\

\0 P/将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，P（0）=P。无穷乘积P（0，P（1）*P（2）*。。。，这是明确定义的，等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积，即*P（2）*P（1）*PA130534型.（结束）

C（a+b，C）=和{k=0..a}C（a，k）*C（b，b-C+k）。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广，其中a=b=c=n:c（2*n，n）=Sum_{k=0..n}c（n，k）^2。有关新公式的动画，请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日

Pascal矩阵P（n，x）=（1+x）^n的行多项式与Bernoulli多项式Br（n，x）及其本影合成逆Bv（n，x=（-Br（.，-Bv（.，x））^n=（-1）^n Br，M是对角矩阵图（1，-1,1，-1，…），Br是伯努利多项式系数的矩阵，Bv是由Br（n，Bv（.，x））=x^n=Bv（n，Br（.，x））定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^（-1）-汤姆·科普兰2015年9月5日

1/（1-x）^k=（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=（1+x）^k-加里·亚当森2016年10月17日

Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归（参见2017年8月10日的备注A046521号，也供参考），Boas-Buck序列b（n）={repeat（1）}。T（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{j=k..n-1}T（j，k），对于n>=1，T（n、n）=1。通过T（n，k）=二项式（n，k），这可以简化为已知的二项式恒等式（例如，Graham等人，第161页）-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

C（（p-1）/a，b）==（-1）^b*fact_a（a*b-a+1）/fact_a（a*b）（mod p），其中fact_n表示第n个多因子，a除以p-1，方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日

C（n，k-1）=A325002型（n，k）-[k==n+1]=(A325002型（n，k）+A325003型（n，k））/2=[k==n+1]+A325003型（n，k）-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日

发件人赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月13日：（开始）

二项式和是斐波那契数A000045号:

和{k=0..n}C（n+k，2*k+1）=F（2*n）。

和{k=0..n}C（n+k，2*k）=F（2*n+1）。（结束）

三角形T（n，k）开始于：

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

...

有C（4,2）=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB，<>（）[]，以便每个瓮获得至少一个球，即<BBB>（B）[B]、<B>（BBB。

从{1,2}到{1,2,3,4}有C（4,2）=6个递增函数，即{（1,1），（2,2）}，{（1.11）-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日

含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C（4,2）=6个子集，即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日

{A（0）}=E的连续k次迭代是E；E；E、 ；。。。；相应的元素数为1,1,1，。。。{A（1）}={A}的连续k次迭代是（省略括号）A；a、 E；a、 E，E；。。。；相应的元素数为1,2,3，。。。{A（2）}={A，A}的连续k次迭代是aa；aa、a、E；aa、a、E和a、E与E；。。。；相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日

k列的Boas-Buck型递推=4:T（8，4）=（5/4）*（1+5+15+35）=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日

A007318号：=（n，k）->二项式（n，k）；

扁平[表[二项式[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*）

压扁[系数列表[系数列表[Series[1/（1-x-x*y），{x，0，12}]，x]，y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*）

（AXIOM）--（启动）

)设置expose添加构造函数OutputForm

帕斯卡（0，n）==1

帕斯卡（n，n）==1

帕斯卡（i，j|0<i和i<j）==帕斯卡

pascalRow（n）==[pascal（i，n）for i in 0..n]

displayRow（n）==输出中心空白分隔行（n）

对于0..20中的i，重复显示第i行--（结束）

（PARI）C（n，k）=二项式（n，k）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月8日

（Python）#请参阅Hobson链接。其他计划：

定义C（n，k）：

如果k<0或k>n：

返回0

res=1

对于范围（k）内的i：

res*=（n-i）//（i+1）

返回res

#罗伯特·费雷奥2018年3月31日

def C（n，k）：来自数学导入prod，阶乘；返回prod（范围（k）中j的n-j）//阶乘（k）#M.F.哈斯勒，2019年12月13日，2022年4月29日更新

（哈斯克尔）

a007318 n k=a007318_tabl！！不！！k个

a007318_row n=a007318-tabl！！n个

a007318_list=连接a007318-tabl

a007318_tabl=迭代（\row->zipWith（+）（[0]++行）（row++[0]））[1]

--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日，2010年10月22日

（极大值）create_list（二项式（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

（Sage）def C（n，k）：返回子集（range（n），k）.cardinality（）#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日

（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n，k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日

（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日

等于A102363号——David G.Williams（大卫·威廉姆斯（AT）Paxway.com），2006年1月23日

行总和给出A000079号（2的权力）。

囊性纤维变性。A083093号（三角形读取模块3），A214292型（行的第一个差异）。

行的部分和构成三角形A008949号.

反对偶三角形是A011973号.

无限矩阵平方：A038207号，立方：A027465号.

囊性纤维变性。A101164号。如果对行进行排序，则会得到A061554号或A107430号.

另一个版本：A108044号.

囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,A202750型,A211226型,A047999号,A026729号,A052553号,A051920号,A193242号.

三角总和（见注释）：A000079号（第1行）；A000007号（第2行）；A000045号（Kn11和Kn21）；A000071号（Kn12和Kn22）；A001924号（Kn13和Kn23）；A014162号（Kn14和Kn24）；A014166号（Kn15和Kn25）；A053739号（Kn16和Kn26）；A053295号（Kn17和Kn27）；A053296号（Kn18和Kn28）；A053308号（Kn19和Kn29）；A053309号（Kn110和Kn210）；A001519号（Kn3和Kn4）；A011782号（图1和图2）；A000930号（Ca1和Ca2）；A052544号（Ca3和Ca4）；A003269号（Gi1和Gi2）；A055988号（Gi3和Gi4）；A034943号（Ze1和Ze2）；A005251号（Ze3和Ze4）-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日

斐波那契-泛三角形：A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,A105809号,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.

囊性纤维变性。A137948号,A245334型.

囊性纤维变性。A085478号,A258993型.

囊性纤维变性。A115940型（k>1的泛指二项式系数C（m，k））。

对比（单色）A325002型（定向），[k==n+1]（手性），A325003型（无意识），A325000型（k或更少颜色），A325009型（矫形面、矫形顶点），A325017型（矫形面、矫形顶点）。

m=2..12时广义二项式系数（n，k）_m的三角形（或广义Pascal三角形）：A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.

上下文中的序列：A154926号 A117440号 A118433号*A108086号 A130595型 A108363号

相邻序列：A007315号 A007316型 A007317号*A007319号 A007320型 A007321号

非n,表,美好的,容易的,核心,看,听到

N.J.A.斯隆和米拉·伯恩斯坦1994年4月28日

检查了所有链接，删除了8个似乎永远丢失的链接，这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日

经核准的