0，5

C（n，k）＝n个元素集的k个元素子集的个数。

行n给出了（1 +x）^ n的展开中的系数。

二项式（n+k-1，n-1）是将K不可区分的球放入n个盒子（“酒吧和星星”的参数-见Feller）的方法的数量。

二项（n-1，k-1）是n个带K个集合的成分（有序分区）的数目。

二项式（n+k-1，k-1）是n的精确成分（有序弱分割）的数目。-尤根遗嘱1月23日2016

二项（n，k）是使用步骤（1，0）和（1，1）从（0，0）到（n，k）的格子路径的数目。-乔尔格阿尔恩特，朱尔01 2011

如果认为是无限的下三角矩阵，则逆开始：

+ 1

- 1＋1

+1 - 2＋1

- 1 + 3 - 3 + 1

+ 1 - 4 + 6 - 4 + 1

所有2个n回文二项式系数开始后A000 616（n）项是奇数。-莱克拉吉贝达西5月20日2003

二项式（n+k-1，n-1）是形状（n，1 ^ k）的标准表数。-埃米里埃德奇5月13日2004

可以被看作是一个数组，通过反对角线读取，其中第一行和列中的条目都是1的，A（i，j）= A（I-1，j）+A（I，J-1），用于所有其他条目。从（0，0）开始的每个N×N子阵列的行列式为1。-杰拉尔德麦加维8月17日2004

也就是矩阵的指数的下三角读数，其入口{j＋1，j}等于j＋1（和所有其它条目为零）。- Joseph Biberstine（JBBibe（AT）印第安娜，EDU），5月26日2006

二项式（n-3，k-1）计数在模式231中出现零且模式132和k下降的一个出现在Syn中的排列。二项式（n-3，k-1）还计算在模式231中出现零且模式213和k下降的一个出现在Syn中的排列。- David Hoek（戴维·HK（AT）Telia.com），2月28日2007

逆A130595（作为一个无限的下三角矩阵）。-菲利普德勒姆8月21日2007

考虑形式LL＝[My[L] L]＝[My[Y]（2）]的整数列表LL（其中，“y′”表示“时间”），如LL（m＝3，k＝3）＝[[2，2 2]，[2，2 2]，[2，2，2] ]。LL（m，k）的整数列表分区的数目等于二项式（m+k，k），如果[[1,1]，[2 ]，[2 ] ]和[[2 ]，[2 ]，[1,1] ]和[[2 ]，[1,1]，[2 ] ]的多个分区只计算一次。例如，我们发现4×5×6/3！＝20＝二项式（6，3）。-托马斯维德，10月03日2007

Pascal三角形及其逆的无穷小生成器A132440. -汤姆·科普兰11月15日2007

行n>＝2给出k-位数（k＞0）基数n，具有严格递减的数字；例如，行10。A000 99 95. 同样，行n-1＞2给出了k个数（k＞1）的基n个数，具有严格增加的位数；A90099并进行比较A118629. -里克·谢泼德11月25日2007

来自李纳什（Lee（AT）C.MU.OZ.AU），MAR 07 2008：（开始）

二项式（n+k-1，k）是长度k的序列可以被分割成N个子序列的方式的数量（参见NaISH链接）。

二项式（n+k-1，k）也是n（或更少）的数字数，以至少k的基数写成，其数字和k相称。例如，在十进制中，有二项式（3 +3-1,3）＝10个3位数字，其数字和为3（参见）。A052217以及二项式（4 +2-1,2）＝10个4位数字，其数字总和为2（参见A052216）这种关系可以用来生成序列号。A052216到A052224（和使用大于10的基数的序列）。（结束）

从米兰扬吉克，五月07日2008：（开始）

由SigMAIK（XY1，XY2，…，XYN）表示初等对称多项式。然后：

二项式（2n+1,2k+ 1）＝SigMa{{N-K}（XY1，XY2，…，XYN），其中Xi i＝Ta^ ^ 2（i *皮/（2n+1）），（i＝1,2，…，n）。

二项式（2n，2k+ 1）＝2n*SigaM{{N-1-k}（x1，x2，…，x{{n-1）}，其中xi i＝Ta^ ^ 2（i *皮/（2n）），（i＝1,2，…，n-1）。

二项（2n，2k）＝SigMa{{N-K}（XY1，XY2，…，XYN），其中Xi i＝TaN ^ 2（（2I-1）π/（4N）），（i＝1,2，…，n）。

二项（2n+1，2k）=（2n+1）SigMa{{N-k}（XY1，XY2，…，XYN），其中Xi i＝Ta^ ^ 2（（2I-1）π/（4n+1）），（i= 1,2，…，n）。（结束）

给定矩阵R和S具有R（n，k）＝二项式（n，k）*r（n- k）和s（n，k）＝二项式（n，k）*s（n- k），则r*s= t，其中t（n，k）＝二项式（n，k）*[r（+）+s（？）] ^（n- k）。并且，对于R、S和T的行多项式的F.S分别是EXP（X*T）*EXP[R（*）*X ]、EXP（x*T）*EXP[S（.*）x ]和EXP（x*T）*EXP[R（*）*x] *EXP[S（.]）x]＝Exp{[t+r（+）+s（？）] *x}。行多项式本质上是Apple多项式。见A1323举个例子。-汤姆·科普兰8月21日2008

作为矩形R（m，n）＝二项式（m+n-2，m-1），权重数组w（一般定义为A144112R的本质上是R本身，在这个意义上，如果W＝行1和列1A144225被删除，剩下的数组是R.克拉克·金伯利9月15日2008

如果A000 7318＝m为无限下三角矩阵，M^ n给出A130595，A023 531，A000 7318，A038 207，A07465，A038，A038 243，A038 255，A07466，A038，A038，A038 303，A038 315，A038 327，A1333，A14716，A07467分别为n=-1,0，1,1,3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15。-菲利普德勒姆11月11日2008

具有E.F.EXP（x*T）*（COSH（t）+SnH（t））的多项式的系数。-彼得卢斯尼，朱尔09 2009

三角形或象棋和，参见A180662对于它们的定义，链接Pascal三角形与二十个不同的序列，见交叉参考。由于这个三角形的对称性质，所有的总和成对出现。骑士总数KN14-KN110已被添加。值得注意的是，所有骑士总和都与斐波那契数有关，也就是说，A000 00 45但是其他的都没有。-约翰内斯·梅杰9月22日2010

二项式（n，k）也是将n＋1个球分配到k+ 1个瓮中的方法的数量，以便每个瓮至少得到一个球。请参见下面的示例部分中的示例。-丹尼斯·P·沃尔什1月29日2011

二项式（n，k）是从{1，…，k}到{ 1，…，n}的增加函数的个数，因为有二项式（n，k）的方式来选择来自协域{ 1，…，n}的k个不同的有序元素。请参见下面的示例部分中的示例。-丹尼斯·P·沃尔什，APR 07 2011

中心二项式系数：t（2×n，n）=A000 0984A（n），t（n，地板（n／2））＝（n）A000 1405（n）。-莱因哈德祖姆勒09月11日2011

二项（n，k）是以k＋1为中值元素的{1，…，n+1 }的子集的数目。为了看到这一点，请注意SuMu{{j＝0…min（K，N-K）}二项式（k，j）*二项式（nk，j）＝二项式（n，k）。请参见下面的示例部分。-丹尼斯·P·沃尔什12月15日2011

这是格子Z^ n的协调器三角形，参见康威斯隆，1997。-斯隆1月17日2012

高度1的积分阶乘比率序列的三个无穷族之一（参见博伯定理1.2）。另外两个是A04621和A068 55. 对于实际r>＝0，Cyr（n，k）：＝楼层（R*n）！（楼层（R*K）！*楼层（R*（N-K））！是整数。见A211226对于r＝1/2的情况。-彼得巴拉4月10日2012

对于n＞0：t（n，k）＝A09600（n，k）-A029 635（n，k），0 <= k<＝n-莱因哈德祖姆勒4月16日2012

定义具有n行的有限三角形T（m，k），使得t（m，0）＝1是左列，t（m，m）＝二项式（n-1，m）为右列，而其他条目是T（m，k）＝t（m-1，k-1）+t（m-1，k），如Pascal三角形。T中所有条目的总和（有）A000 0217（n）元素为3 ^（n-1）。-贝尔戈，10月01日2012

下三角PASCAL矩阵是由由Pr n（x）＝P*（n＋1）（x）和L pIn（x）＝n p1（n-1）（x）定义的梯形算子所表征的多项式pnn（x）组成的基础上的算子Exp（RLR）的表示。见A132440，A218227，A21823，A097 805和A038 207. 转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊的线性群SL2相关联。-汤姆·科普兰10月25日2012

见A193242. -亚力山大·R·波洛夫茨基，05月2日2013

集合{1，…，n}的置换p1…pnn在i位置有下降，如果pi i> pI（i＋1）。设S（n）表示{ 1，…，n}置换p1…pnn的子集，使得pI（i＋1）-pi i＝1＝i＝1，…，n-1。然后，二项式（n，k）给出了具有k个下降的S（n＋1）置换的个数。或者，二项式（n，k）给出了S（n＋1）置换的数目，其中k＋1增加了运行。-彼得巴拉3月24日2013

SuMu{n＝＞0 }二项式（n，k）/n！= E/K！，其中E＝EXP（1），而允许n< k，其中二项式（n，k）＝0。SuMu{{N>＝0 }二项式（n+k-1，k）/n！= E*A000 0262（K）/ K！而k＞1等于E *A06764（k）/A06653（k）。-李察·R·福尔伯格，01月1日2014

在下面的公式中定义的PASCAL矩阵P（x）的平方N xN子矩阵（第一n行和n列）当在左边乘以范德蒙矩阵V（x1，…，xyn）（与第一行中的那些）将矩阵转换为v（xy1+x，…，xnn+x），同时留下行列式不变量。-汤姆·科普兰5月19日2014

对于k>＝2，n>＝k，k/（（k/（k-1）- SuMu{{n=k.M} 1 /二项式（n，k）））=m！/（（M K+ 1）！*（K-2）！注：k/（k-1）是无穷大和。见A000 0217，A000 029，A000 0332举个例子。-李察·R·福尔伯格8月12日2014

设Gy（2n）是Gi（2n）＝{p在Si（2n）p（i）＝i（mod n）中定义的对称群s~（2n）的子群，对于i＝1,2，…，2n}。Gy（2n）具有阶2 ^ n。二项（n，k）给出了具有n+k个循环的Gy（2n）的排列数。囊性纤维变性。A130534和A246117. -彼得巴拉8月15日2014

t（n，k）＝A245334（n，k）/A137948（n，k），0 <= k<＝n-莱因哈德祖姆勒8月31日2014

C（n，k）＝半长度n＋1的Dyk路径数，奇数位置的k+ 1“u”，k＋1返回到x轴。例子：{U= U在奇数位置，和=返回到X轴}二项式（3，0）＝1（UDUDUDDZ）；二项式（3，1）＝3 [（UUDDUDUDUZ），（UDUDUDUDZ），（UUDUDUDUDZ）]；二项式（3，2）＝3 [（UdUdUdUddz），（UDUDUDUGUDUZ），（UDUDUDUDUDUZ）]；二项式（3，3）＝1（UDU-UdUdUdUdz）。-罗杰·福特05月11日2014

从丹尼尔骗局，3月12日2015：（开始）

二项式系数二项（n，k）给出了n次种群倍增后第k代的个体数。对于每一个种群的倍增，每个个体的克隆的生成指数递增1，从而进入下一行。只需将每行从0到2 ^ n - 1进行排序以得到二项式系数。

0 1 3 3 7 15

0：O。②。…。………. |

1：ωO。o。…o。………γ

2、γo O。o o。O。…γ

3：γo O o O。γ

4、γo

这是一个分形过程：为了使模式从0到2 ^ n - 1，从0到2 ^（n-1）-1，从0到2（n-1）-1的模式的右边附加一个向下移动（一行）的模式拷贝。（由二项式堆结构）启发。

生成指数序列：1’s计数序列：N的二元展开（或n的二进制权重）中的1个数（参见）A000 0120）：

{ 0, 1, 1、2, 1, 2、2, 3, 1、2, 2, 3、2, 3, 3、4、…}

0到15的二进制展开：

0 1 10 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1010

（结束）

A258963（n，k）＝t（n+k，n－k），n＞0。-莱因哈德祖姆勒6月22日2015

T（n，k）是[n+1]的集合分区W的数目，避免了用Rb（w）＝k的1/2／3，同样适用于LS（W）＝k，其中避免是在KLAZAR和LS的意义上，由WACH和White定义的RB。

满足本福德定律〔diaCONIS，1977〕斯隆，09月2日2017

设{a（n）}是具有完全n个相同元素的集合，{a（0）}是空集合E。{{a（n，k）}是{a（n）}的第k次迭代，{a（n，0）}{{a（n）}。{a（n，1）}＝{n（n）}的所有子集的集合，包括{a（n）}和e{a（n，k）}＝{a（n，k-1）}的所有子集的集合，包括{a（n，k-1）}的所有元素。设A（n，k）为{a（n，k）}中元素的数目。然后A（n，k）＝C（n+k，k），每个迭代迭代复制Pascal三角形的k次对角线的成员。参见示例。-格雷戈瑞·L·西梅，八月06日2018

二项式（n-1，k）也是用k上行避免213和312的排列的数目。-劳拉普德威尔12月19日2018

二项式（n-1，k）也是用k上行避免132和213的排列的数目。-劳拉普德威尔12月19日2018

二项式（n，k）是维数n的向量空间的k次外幂的维数。斯蒂法诺斯皮齐亚12月22日2018

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Richard L. Ollerton和Anthony G. Shannon广义Pascal方格和三角形的若干性质FIB。Q.，36（1998），98－109。

Ed Pegg，Jr.，序列图片数学游戏专栏，十二月08日2003。

Ed Pegg，Jr.，序列图片数学游戏专栏，DEC 08 2003 [缓存副本，具有许可（仅PDF）]

科洛索夫佩特罗Pascal三角形与超立方体的关系，2018。

Franck Ramaharo几类结点阴影的统计，阿西夫：1802.07701（数学，Co），2018。

Franck Ramaharo椒盐卷曲结点的生成多项式，阿西夫：1805.10680（数学，Co），2018。

Franck Ramaharo用考平记号C（n，r）生成两桥结的多项式，阿西夫：1902.08989（数学，Co），2019。

理查德森互PASCAL矩阵，ARXIV预告ARXIV：1405.6315 [数学，CO]，2014。

夏皮罗，S. Getu，W·J·WON和L. C. Woodson，Riordan集团，离散应用数学，34（1991），229—23 9。

斯隆，我最喜欢的整数序列在序列及其应用中（SETA’98的程序）。

斯隆，三角形显示Pascal三角形的前30行轮廓（Cobeli和Zaharescu之后）

Hermann Stamm Wilbrandt基于C（n，…）和C（m，…）值动画计算C（n+m，…）

Ch. Stover和E. W. Weisstein作文. 来自MathWorks--一个WordFrand网络资源。

G. Villemin的数字历书，三角帕斯卡

Eric Weisstein的数学世界，帕斯卡三角

维基百科Pascal三角

H. S. Wilf生成函数学，第二EDN，学术出版社，NY，1994，pp.12FF。

K. Williams，Mathforum，交互式帕斯卡三角形

D. Zeilberger拉比Abraham Ibn Ezra的组合占星学，阿西夫：数学/ 9809136 [数学，C]，1998。

Chris Zheng，Jeffrey Zheng，三角数及其固有性质从理论基础到应用的变型结构，斯普林格，新加坡，51-65。

与Pascal三角形有关的三角形和数组的索引项

“核心”序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

A（n，k）＝C（n，k）＝二项式（n，k）。

C（n，k）＝C（n-1，k）+c（n-1，k-1）。

三角形是对称的：C（n，k）＝C（n，n- k）。

A（n＋1，m）＝a（n，m）+a（n，m -1），a（n，1）：＝0，a（n，m）：＝0，n＜m；a（0, 0）＝1。

C（n，k）＝n！（K）！（N-K）！如果0 <= k<＝n，则为0。

G.f.：1／（1-yx*y）＝和（C（n，k）*x^ k*y^ n，n，k>＝0）

G.f.：1／（1-X-Y）＝和（C（n+k，k）*x^ k*y^ n，n，k>＝0）。

行列式的G.F:（1＋x）^ n＝SuMu{{K＝0…n} C（n，k）x^ k。

G.F.用于列n:x^ n/（1-x）^ n。

E.g.f.：A（x，y）＝EXP（x+x*y）。

列为n：x^ n*EXP（x）/n！.

一般地，m次幂A000 7318由t（0, 0）＝1，t（n，k）＝t（n-1，k-1）+m *t（n-1，k），其中n是行索引，k是列；t（n，k）＝m ^（n－k）c（n，k）。

由行读取的三角形t（n，k）；由A000 0 07三角洲A000 0 07其中Delta是DeleHAM算子定义的A084938.

设P（n＋1）＝（n＋1）的整数划分数；设p（i）＝（n+1）的第i个分区的部分数；设D（i）＝（n+1）的第i个分区的不同部分的数目；让m（i，j）＝（n+1）的第i个分区的第j部分的多重性。定义操作符SuMu{{i＝1…p（n＋1），p（i）＝k+1 }作为从i＝1到i＝p（n+1）的总和，但只考虑具有p（i）＝（k+1）部分的分区。定义运算符乘积{{j＝1…d（i）}＝从j＝1到j= d（i）的乘积。然后C（n，k）＝SUMU{{p（i）＝（k＋1），i＝1…p（n＋1）} p（i）！[乘积{{j＝1…d（i）}m（i，j）〕！]例如，C（5, 3）＝10，因为n＝6具有M＝3个部分的以下分区：（114）、（123）、（222）。因为它们的多重性：（114）：3！（2）* 1！= 3；（123）：3！（1）* 1！* 1！= 6；（222）：3！3！= 1。和是3＋6＋1＝10＝c（5, 3）。-托马斯维德，军03 2005

C（n，k）＝Suthi{{j＝0…k}=（- 1）^ j*c（n+2+j，kj）*A000 0108（J）。-菲利普德勒姆10月10日2005

G.f.：1 +x（1 +x）+x^ 3（1 +x）^ 2 +x^ 6（1 +x）^ 3 +…-米迦勒索摩斯9月16日2006

Suthi{{＝0…地板（n／2）} x^（n- k）*t（nk，k）＝A000 0 07（n）A000 00 45（n+1），A000 2605（n）A030195（n+1），A057077（n）A057088（n）A057089A（n）A057090（n）A057091（n）A057092（n）A057096（n）分别为x＝0, 1, 2、3, 4, 5、6, 7, 8、9, 10。Suthi{{＝0 ..楼层（n／2）}（-1）^ k*x^（nk）*t（nk，k）＝A000 0 07（n）A010892（n）A000 9545（n+1），A057083A（n）A000 178（n+1），A030191（n）A030192（n）A030240（n）A057084A（n）A057085（n+1），A057086A（n）A084329（n＋1）分别为x＝0, 1, 2、3, 4, 5、6, 7, 8、9, 10, 20。-菲利普德勒姆9月16日2006

C（n，k）<A062558（n）n＞1。-莱因哈德祖姆勒04三月2008

C（t+p-1，t）＝SuMu{{i＝0…t} C（i+p-2，i）＝SuMu{{i＝1…p} C（i+t2，t-1）。二项式数是其左父及其右祖先的总和，等于其右父及其左祖先的总和。-李纳什（李（AT）Cs MU.OZ.AU），MAR 07 2008

从保罗·D·汉娜，3月24日2011：（开始）

设A（x）＝SuMu{{N>＝0 } x^（n（n＋1）/2）*（1 +x）^ n是平坦三角形的G.F.

a（x）＝1＋（x+x^ 2）＋（x^ 3＋2×x^ 4＋x^ 5）+（x^ 6＋3×x^ 7＋3×x^ 8＋x^ 9）＋…

然后A（x）等于SuMu{{N>＝0 }（1 +x）^ n*x^ n*乘积{{k＝1…n}（1 -（1 +x）*x^（2k-1））/（1 -（1 +x）*x^（2k））；

（x）等于连续分数1 /（1××（1 +x）/（1 +x*（1-x））/（1×3）*（1 +x）/（1 +x^ 2 *（1-x^ 2）*（1 +x）/（1 -x^×*（α+x）/ /（α+x^×*（1-x^））*（α+x）/（α-x^×*（α+x））/（α+x^×*（1-x^））*（α+x）/（α-…另外，A

这些公式是由于（1）q-序列恒等式和（2）部分椭圆θ函数表达式。（结束）

三角形的行N是将对流变换应用于自然数（1, 2, 3，…，n）的第一n项的结果。见A000 1263或A21481对于这个变换的定义。-加里·W·亚当森7月12日2012

从埃德森杰弗里，八月02日（2012）：（开始）

三角形的行n（n>＝0）由无穷矩阵p^ n的n次对角线给出，其中p=（p{{i，j}），i，j>＝0，是生成矩阵。

0, 1，

1, 0, 1，

0, 1, 0，1，

0, 0, 1，0, 1，

0, 0, 0，1, 0, 1，

0, 0, 0，0, 1, 0，1，

0, 0, 0，0, 0, 1，0, 1，

0, 0, 0，0, 0, 0，1, 0, 1，

…（结束）

三角形的行n也由由递归p00（x）＝1、p1（x）＝x＋1、pnn（x）＝x*p{{n-1－}（x）＋p{{n-2 }（x）、n＞1定义的多项式pnn（x）给出的n＋1系数给出。-埃德森杰弗里8月12日2013

关于Pascal三角形的任意左右边界的闭式公式A228 196. -鲍里斯-普蒂耶夫斯克8月18日2013

关于广义Pascal三角形的闭式公式A228. -鲍里斯-普蒂耶夫斯克，SEP 04 2013

（1±x）^ n＝SUM{{＝0…n}（-1）^（N-K）*二项式（n，k）*SuMi{{i＝0…k}（n- i）*二项式（k，i）*x^（n- i）/（n- i）！-弗拉迪米尔克鲁钦宁10月21日2013

E.g.f.：A（x，y）＝EXP（x+x*y）＝1＋（x+y*x）/（e（0）-（x+y*x）），其中E（k）＝1＋（x+y*x）/（1＋（k+1）/e（k+1））；（连续分数）。-谢尔盖·格拉德科夫斯克08月11日2013

E.g.f.：E（0）-1，其中E（k）＝2 +x*（1 +y）/（2×k+1×x（1 +y）/e（k+1））；（连续分数）。-谢尔盖·格拉德科夫斯克12月24日2013

G.f.：1 +x*（1 +x）*（1 +x^ 2 *（1 +x）/（w（0）-x^ 2-x^ 3）），其中w（k）＝1＋（1＋x）*x^（k+2）-（1＋x）*x^（k+3）/w（k+1）；（连分数）。-谢尔盖·格拉德科夫斯克12月24日2013

SUMU{{N>＝0 } C（n，k）/n！= E/K！，其中E＝EXP（1），同时允许n＜k，其中C（n，k）＝0。此外，SUM{{N>＝0 } C（n+k-1，k）/n！= E*A000 0262（K）/ K！而k＞1等于E *A06764（k）/A06653（k）。-李察·R·福尔伯格，01月1日2014

对于K＞1，SUMU{{N>＝K} 1／C（n，k）＝k/（k-1）。-李察·R·福尔伯格2月10日2014

从汤姆·科普兰，4月17日和26 2014：（开始）

用X^ n乘积Pascal下三角矩阵的n次对角线，并用A000 7318（x）＝p（x）。然后用：xd:^n=x^n*（d/dx）^n和b（n，x），贝尔多项式（A000 827）

a）p（x）＝EXP（x*DP）＝EXP[x*（E^ m -i）]＝EXP[M*B（，x）]＝（i+DP）^ b（？，x）

用DP＝A132440，M=A23 838- I和I=单位矩阵，以及

b）p（：xd：）＝EXP（DP：xD:）= EXP [（E^-M i）：XD:]＝EXP[M*B（…，XD:）] = Exp [M*xD]＝（I+DP）^（xd），p（（xd）：g）（x）＝EXP（DP：xd:）g（x）＝g[（i+DP）*x]（参见A268363）

c）p（x）^ y＝p（y*x）。P（2x）=A038 207（x）＝Exp[m＊b（，2x）]，n-超立方体的面向量。

d）p（x）＝[ST2] *EXP（x*m）*[ST1]＝[ST2] *（i+DP）^ x*[ST1]

e）＝[ST1] ^（- 1）*（i+DP）^ x*[ST1]＝[ST2] *（i+DP）^ x*[ST2] ^（- 1）

[ST1] =填充的A000 8255正如[ST2] =A04903=衬垫A000 827和EXP（x*m）＝（i+DP）^ x＝和（k＝0，..，无穷大，C（x，k）dp^ k）。（结束）

从彼得巴拉，12月21日2014：（开始）

递推方程：T（n，k）＝t（n-1，k）*（n+k）/（n- k）-t（n-1，k-1），对于n>＝2和1 <注意，将递归中的负号改为加号给出二项式系数的平方的递推。A000 845.

行的E.F.和三角形的对角线之间有一个关系，即EXP（x）* E.G.F.用于行n＝E.F.对角线n。例如，对于n＝3，我们有EXP（x）*（1 + 3×x + 3×x ^ 2/2）！+x^ 3/3！＝1＋4×x＋10×x ^ 2/2！+ 20×x ^ 3/3！+ 35×x ^ 4/4！+…这个性质对于形式（f（x），x/（1 -x））的Riordan阵列更普遍，其中f（x）是形式1 +fy1*x+fy2*x^ 2 +的O.G.F.例如，A055 248和A10616.

设P表示当前三角形。对于k= 0，1，2，…将p（k）定义为下单元三角形块阵列

/IIK 0

0 p/具有k xk恒等式IIK作为左上块；特别是p（0）＝p。无限积P（0）*p（1）*p（2）*…，这是明确定义的，等于第二类斯特灵数的三角形。A000 827. 可逆序的无穷乘积，即…*p（2）*p（1）*p（0），等于斯特灵循环数的三角形。A130534. （结束）

C（A+B，C）＝SUMY{{K＝0…A} C（A，K）*C（B，B-C+K）。这是从Prudnikov等人的4.2.5节导出的方程1的推广。引用，对于a＝b= c= n:c（2n，n）＝SuMux{k＝0…n} C（n，k）^ 2。见链接节动画的新公式。-赫尔曼·斯坦姆·威尔布兰特8月26日2015

The row polynomials of the Pascal matrix P(n,x) = (1+x)^n are related to the Bernoulli polynomials Br(n,x) and their umbral compositional inverses Bv(n,x) by the umbral relation P(n,x) = (-Br(.,-Bv(.,x)))^n = (-1)^n Br(n,-Bv(.,x)), which translates into the matrix relation P = M * Br * M * Bv, where P is the Pascal matrix, M is the diagonal matrix diag(1,-1,1,-1,...), Br is the matrix for the coefficients of the Bernoulli polynomials, and Bv that for the umbral inverse polynomials defined umbrally by Br(n,Bv(.,x)) = x^n = Bv(n,Br(.,x)). 注意m＝m ^（- 1）。-汤姆·科普兰，SEP 05 2015

1（/（1-x）^ ^ k＝（r（x）*r（x^ 2）*r（x^ 4）*…），其中r（x）＝（1 +x）^ k。加里·W·亚当森10月17日2016

Riordan阵列列k的Boas Buck型递推（见8月10日2017）A04621也为参考文献，用Bas Buck序列B（n）＝{Read（1）}。t（n，k）＝（（k+ 1）/（n- k））*SuMi{{j＝k.n-1 } t（j，k），对于n＞1，用t（n，n）＝1。这使得T（n，k）＝二项式（n，k）减少到已知的二项式恒等式（例如格雷厄姆等）。第161页）。-狼人郎11月12日2018

C（（p-1）/a，b）＝（- 1）^ b* FasthA（A*B-A+ 1）/FasiA（A*B）（mod p），其中Fasthn表示n次多因子，A分P-1，方程右边的分数分母表示模逆。-艾萨克·萨福德，07月1日2019

三角T（n，k）开始：

NK 0 1 1 2 4 5 5 6 7 8 9 10 11…

0 1

1 1 1

2 1 2 2

3 1 3 3 3 1

4 1 4 4 6 4 1

5 1 5 5 10 10 5 1

6 1 6 6 15 20 15 6 1

7 1 7 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 10 120 210 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 11 165 330 330 462 462 330 165 55 11

…

在3个不同的URN，<>（）[]中，有C（4，2）＝6种分配5个球BBBB的方法，使得每个瓮至少得到一个球，即（B）[B]，（BBB）[B]，（B）[BBB]，（BB）[B]，（B）[BB]，（BB）[BB]。

从{1，2}到{1,2,3,4}，即{1（1,1），{（1,2）}，{（1,1），{（1,1），（2,4）}，{（1,2），（2,3）}，{（1,2），（2,4）}，和{（1,3），（2,4）}，有C（4，2）＝6增长函数。-丹尼斯·P·沃尔什，APR 07 2011

C（4，2）＝{1，2，3，4，5} 6个子集，中值元素3，即{ 3 }，{1,3,4}，{1,3,5}，{2，3,4}，{2，3，5}，{1，2，3，4，5}。-丹尼斯·P·沃尔什12月15日2011

{A（0）} E的连续k次迭代是E；E；E；…；对应的元素数是1，1，1，…{a（1）} {a}的连续k次迭代是（省略括号）a；a，e；a，e，e；…；对应的元素数是1,2,3，…{A（2）} {A，A }的连续k次迭代是AA；AA，A，E；AA，A，E和A，E和E；…；对应的元素数是1，3，6，…-格雷戈瑞·L·西梅，八月06日2018

Boas Buck型递归列k＝4：t（8, 4）＝（5/4）*（1＋5＋15＋35）＝70。请看上面的博斯巴克评论。-狼人郎11月12日2018

A000 7318=（n，k）->二项式（n，k）；

平面[二项[ n，k]，{n，0, 11 }，{k，0，n}] ]（*）Robert G. Wilson五世1月19日2004＊）

FrimtList[系数列表] [系列〔1／（1 -X-x*y），{x，0, 12 }〕，x]，y]（*）马格兰维克，JUL 08 2014＊）

（公理）——（开始）

设置打开添加构造函数输出窗体

Pascal（0，n）＝1

帕斯卡（n，n）＝1

Pascal（I，J 0）I和I < J＝= PASCAL（I-1，J-1）+ PASCAL（I，J-1）

Pascal（n）＝＝[Pascal（i，n）i为0…n]

DISPLAYLUN（n）＝输出中心blankSeparate pascalRow（n）

对于我在0…20重复显示行i（结束）

（PARI）C（n，k）＝二项式（n，k）查尔斯，军08 2011

（Python）见霍布森链接。

DEF C（n，k）：

…如果k＜0或k> n：

……返回0

…Res＝1

…在i（k）范围内：

…RES＝RES（N-I）//（I+ 1）

……退货

γ罗伯特铁3月31日2018

（哈斯克尔）

A00 7318 N K= A00 731818Tabl！！！K！

A00 73181行n＝A00 731818Tabl！n！

AA77318YLIST = CONTAT A00 731818Tabl

AA77318YOTABL=迭代（\行-ZIPOFF（+）（[ 0 ] ++行）（行++（0）））〔1〕

--参见http://www. askel.org/HaskelWiki/BooWuyYouthyNo.y]数学序列

——莱因哈德祖姆勒，11月09日2011，10月22日2010

（最大值）CureTyLead（二项式（n，k），n，0, 12，k，0，n）；/*伊曼纽勒穆纳里尼3月11日2011＊

（SAGE）DEF C（n，k）：返回子集（范围（n），k）。拉尔夫斯蒂芬1月21日2014

（岩浆）/*为三角形：*/[[二项式（n，k）：k在[0…n] ]：n（0）。10）]；文森佐·利布兰迪7月29日2015

（GAP）平坦（列表（0…12），N->列表（[0…n]，k-＞二项式（n，k）））；斯蒂法诺斯皮齐亚12月22日2018

等于连续项之间的差值A1023 63. - David G. Williams（davidwilliams（AT）PaxWay.com），1月23日2006

行和给出A000 0 79（2的幂）。

囊性纤维变性。A083096（三角形读取MOD 3），A21492（行的第一个差异）。

行的部分和给出三角形A000 8949.

无穷矩阵平方：A038 207立方体：A07465.

囊性纤维变性。A101164. 如果行被排序，我们得到A061554或A10730.

另一种版本：A108044.

囊性纤维变性。A000 827，A1323，A1323，A052216，A052217，A052218，A052219，A052220，A052221，A052222，A052223，A144225，A20750，A211226，A047 99，A026729，A052553，A051920，A193242.

三角形和（见注释）：A000 0 79（ROW1）；A000 0 07（ROW2）；A000 00 45（KN11＆KN21）；A000 000（KN12和KN22）；A00 1924（KN13和KN23）；A014162（KN14＆KN24）；A014166（KN15和KN25）；A053639（KN16＆KN26）；A053255（KN17＆KN27）；A05329（KN18和KN28）；A053308（KN19＆KN29）；A053309（KN110和KN210）；A151519（KN3和KN4）；A011782A（FI1和FI2）；A000 0930（CA1和CA2）；A052544（CA3和CA4）；A000 3269（GI1和GI2）；A055 988（GI3和GI4）；A034 943（ZE1和ZE2）；A000 5251（Ze3和Ze4）。-约翰内斯·梅杰9月22日2010

Fibonacci Pascal三角形：A027 926，A036355，A037027，A07829，A105809，A109906，A111006，A114197，A16741，A228074，A228 196，A228.

囊性纤维变性。A137948，A245334.

囊性纤维变性。A0854 78，A258963.

语境中的顺序：A1549 A117440 A118433*A10806 A130595 A108363

相邻序列：A000 7315 A000 7316 A000 7317*A000 7319 A000 7320 A000 7321

诺恩，塔布，好，容易，核心，看，听到

斯隆和米拉伯恩斯坦4月28日1994

检查所有链接，删除8，似乎永远失去了，可能不是很重要。-斯隆08五月2018

经核准的