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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A007318型 按行读取的帕斯卡三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n/(k!*(n-k)!),0<=k<=n。
(原名M0082)
1996
1、1、1、1、1、1、2、1、1、3、3、1、1、1、4、4、6、4、1、1、5、10、10、10、5、1、1、1、6、15、20、15、15、15、15、15、15、15、15、1、1、7、21、35、35、35、21、21、7、1、1、1、28、56、28、8、1、1、1、9、9、26、36、126、126、84、36、26、1、1、9、1、1、1、1、1、1、5、10、10、1、1、1、11、55、165、165、330、462、462、330、56、56、28、28、28、8、8、28、28第165、55、11、1页 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,5个

评论

A、 W.F.爱德华兹写道:“它[三角形]1654年,布莱斯·帕斯卡写下了他的三角形算术特征,但正是这部作品第一次把数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中,帕斯卡把数的性质发展成一个纯数学。。。然后,在一系列附录中,展示了这些性质是如何与数字的研究,组合理论,二项式的展开,以及概率论中一个重要问题的解决有关。”(A.W.F.Edwards,帕斯卡的算术三角形,约翰霍普金斯大学出版社(2002年),第十三页)

爱德华兹报告说,蒙特莫特在1708年首先将帕斯卡命名为“合并表”,然后在1730年由德莫伊夫命名为“帕斯卡拉纽姆三角算术”。(爱德华兹,第十四页)

在中国,杨辉在1261年列出了(a+b)^n到n=6的系数,将其扩展到了约1100年的嘉善《世故算书》。另一个突出的早期用法是在1303年朱时植的《四行镜》。(爱德华兹,第51页)

在波斯,Al-Karaji在“1007年后不久”发现了二项式三角形,并且Al-Samawal在1180年前的某个时间在Al-bahir上发表了它。(爱德华兹,第52页)

在印度,Halayuda对Pingala关于音节组合的论文(大约公元前200年)的评论(大约900年)中,对三角形的加法计算有着清晰的描述。(Amulya Kumar Bag,古印度二项式定理,第72页)

同样在印度,C(n,k)的乘法公式在850年为马哈维拉所知,1150年由巴克拉重申。(爱德华兹,第27页)

在意大利,塔尔塔格里亚在他的《将军塔塔托》(1556)中出版了《三角》,卡达诺在他的《新作品》(1570)中发表了这一三角。(爱德华兹,第39、44页)-罗斯考克斯2022年3月29日

有时也称为奥马尔·卡亚姆三角。

有时也叫杨辉三角。

C(n,k)=n元集的k元子集数。

n行给出(1+x)^n的展开系数。

二项式(n+k-1,n-1)是将k个不可分辨的球放入n个盒子的方法的数目(“棒子和星星”的论点-见费勒)。

二项式(n-1,k-1)是具有k个和的n的组成(有序分区)的数目。

二项式(n+k-1,k-1)是n的弱组合(有序弱分区)的个数,精确到k个和-尤尔根将2016年1月23日

二项式(n,k)是使用步骤(1,0)和(1,1)从(0,0)到(n,k)的晶格路径数-乔尔阿恩特2011年7月1日

如果把它看作一个无限的下三角矩阵,逆矩阵开始于:

+1个

-1+1

+1-2+1

-1+3-3+1

+1-4+6-4+1

所有2^n回文二项式系数从A006516号(n) -这个条目是奇数-莱克莱·比达西2003年5月20日

二项式(n+k-1,n-1)是形状(n,1^k)的标准表格数-德国金刚砂2004年5月13日

可以看作是一个数组,用反斜线来读取,其中第一行和第一列中的条目都是1,对于所有其他条目,A(i,j)=A(i-1,j)+A(i,j-1)。从(0,0)开始的每个nxn子数组的行列式是1-杰拉尔德·麦加维2004年8月17日

也是矩阵指数的下三角读出,其项{j+1,j}等于j+1(所有其他项都为零)约瑟夫比伯斯汀(在印第安纳州)。edu),2006年5月26日

二项式(n-3,k-1)计算Sïn中模式231为零,模式132和k下降为一次的置换。二项式(n-3,k-1)还计算Sïn中模式231为零,模式213和k下降为一次的置换大卫·霍克(大卫·霍克)特利亚。com),2007年2月28日

相反的邮编:A130595(作为无限下三角矩阵)-菲利普·德莱厄姆2007年8月21日

考虑整数列表LL的形式为LL=[m#L]=[m#[k#2]](其中'#'表示'次'),如LL(m=3,k=3)=[[2,2,2],[2,2,2],[2,2,2]]。如果多个分区如[[1,1]、[2]、[2]]和[[2]、[2]、[1,1]]和[[2]、[2]、[1,1]、[2]、[1,1]、[2]]只计算一次,则LL(m,k)的整数列表分区数等于二项式(m+k,k)。例如,我们发现4*5*6/3!=20=二项式(6,3)-托马斯·威德2007年10月3日

帕斯卡三角形及其逆的无穷小生成元是A132440. -汤姆·科普兰2007年11月15日

第n>=2行给出了k位(k>0)基数n的个数,位数严格递减;e、 g.,第10行A009995年同样,n-1>=2行给出了k位(k>1)基数n的个数,位数严格递增;看见A009993号比较一下A118629年. -瑞克·L·谢泼德2007年11月25日

来自李·奈什(Lee(AT)cs。穆。oz.au),2008年3月7日:(开始)

二项式(n+k-1,k)是一个长度为k的序列可以划分为n个子序列的方法数(参见Naish链接)。

二项式(n+k-1,k)也是以至少k为基数的n个(或更少)位数,其位数和为k。例如,在十进制中,有二项式(3+3-1,3)=10个3位数,其位数和为3(参见A052217)二项式(4+2-1,2)=10个四位数,其位数和为2(参见A052216号)。此关系可用于生成序列数A052216号A052224号(以及使用大于10的基数的进一步序列)。(结束)

米兰-扬吉奇2008年5月7日:(开始)

用sigma_k(x_1,x_2,…,x_n)表示基本对称多项式。然后:

二项式(2n+1,2k+1)=西格玛{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n+1)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n,2k+1)=2n*σ{n-1-k}(x_1,x_2,…,x{n-1}),其中x_i=tan^2(i*Pi/(2n)),(i=1,2,…,n-1)。

二项式(2n,2k)=西格玛{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n+1,2k)=(2n+1)σ{n-k}(x_1,x_2,…,x_n),其中x_i=tan^2((2i-1)Pi/(4n+2)),(i=1,2,…,n)。(结束)

给定矩阵R和S,其中R(n,k)=二项式(n,k)*R(n-k)和S(n,k)=二项式(n,k)*S(n-k),则R*S=T,其中T(n,k)=二项式(n,k)*[R(.)+s(.)]^(n-k),本影。并且,R、s和T的行多项式的e.g.f.s分别是exp(x*T)*exp[R(.)*x] ,经验(x*t)*经验[s(.)*x] 和exp(x*t)*exp[r(.)*x] *经验*x] =exp{[t+r(.)+s(.)]*x} 一。行多项式本质上是Appell多项式。看到了吗邮编:A132382举个例子-汤姆·科普兰2008年8月21日

当矩形R(m,n)=二项式(m+n-2,m-1)时,权重数组W(通常定义为A144112号)R的本质上是R本身,在这个意义上,如果W的第1行和第1列=A144225被删除,剩下的数组是R-克拉克·金伯利2008年9月15日

如果A007318型=M作为无限下三角矩阵,M^n给出邮编:A130595,A023531号,A007318型,A038207,A027465号,A038231,A038243,A038255,A027466号,A038279号,A038291号,A038303,A038315,A038327型,A133371号,A147716号,A027467号分别为n=-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德莱厄姆2008年11月11日

例如f.exp(x*t)*(cosh(t)+sinh(t))多项式的系数-彼得·卢什尼2009年7月9日

三角形或国际象棋和,参见邮编:A180662关于它们的定义,把帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来,见交叉引用。由于这个三角形的对称性,所有的和都是成对的。骑士总数Kn14-Kn110已被添加。值得注意的是,所有骑士和都与斐波纳契数有关,即。,A000045型但其他人都没有-约翰内斯W.梅杰2010年9月22日

二项式(n,k)也是将n+1个球分配到k+1个urn中的方法的数目,以便每个urn至少得到一个球。参见下面示例部分中的示例-丹尼斯·P·沃尔什2011年1月29日

二项式(n,k)是从{1,…,k}到{1,…,n}的递增函数的数目,因为有二项式(n,k)方法来选择范围中k个不同的有序元素,这些元素来自于codomain{1,…,n}。参见下面示例部分中的示例-丹尼斯·P·沃尔什2011年4月7日

中心二项式系数:T(2*n,n)=A000984号(n) ,T(n,楼层(n/2))=A001405(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日

二项式(n,k)是{1,…,n+1}的子集数,k+1是中值元素。要看到这一点,请注意Sum{j=0..min(k,n-k)}二项式(k,j)*二项式(n-k,j)=二项式(n,k)。请参阅下面的示例部分中的示例-丹尼斯·P·沃尔什2011年12月15日

这是格子Z^n的协调三角形,见Conway Sloane,1997-N、 斯隆2012年1月17日

高度为1的三个无穷族的整数阶乘比序列之一(见Bober定理1.2)。另外两个是A046521号A068555号。对于实r>=0,C\r(n,k):=楼层(r*n)/(楼层(r*k)*楼层(r*(n-k))!)是完整的。看到了吗A211226号对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日

定义一个有限三角形T(m,k),其中T(m,0)=1为左列,T(m,m)=二项式(n-1,m)为右列,其他项为T(m,k)=T(m-1,k-1)+T(m-1,k),如Pascal三角形中所示。T中所有项目的总和(有A000217(n) 元素)为3^(n-1)-J、 伯格特先生2012年10月1日

下三角Pascal矩阵作为算子exp(RLR)的一种表示,其基由多项式p_n(x)=p_(n+1)(x)和L p_n(x)=np_(n-1)(x)定义的阶梯算子构成。看到了吗A132440,A218272年,A218234年,A097805号,和A038207转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊的线性群SL2相关联-汤姆·科普兰2012年10月25日

看到了吗A193242. -亚历山大波伏洛茨基2013年2月5日

一个置换pˉ1。。。如果集合{1,…,n}的p_n在位置i有下降,如果p_i>p_(i+1)。设S(n)表示置换的子集p_1。。。{1,…,n}的p_n,使得p_(i+1)-p_i<=1,i=1,。。。,n-1。然后二项式(n,k)给出了S(n+1)中k次下降的置换数。或者,二项式(n,k)给出了S(n+1)中k+1递增的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日

和{n=>0}二项式(n,k)/n!)=e/k!,其中e=exp(1),同时允许n<k,其中二项式(n,k)=0。还有和{n>=0}二项式(n+k-1,k)/n!=e*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) 一-理查德·R·福伯格2014年1月1日

下面公式中定义的帕斯卡矩阵P(X)的平方nxn子矩阵(前n行和n列)在左侧乘以Vandermonde矩阵V(X_1,…,X_n)(第一行中有一个)将矩阵转换为V(X_1+X,…,X_n+X),同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日

对于k>=2,n>=k,k/((k/(k-1)-和{n=k..m}1/二项式(n,k)))=m/((m-k+1)*(k-2)!)。注:k/(k-1)为无穷和。看到了吗A000217,A000292号,A000332号例如-理查德·R·福伯格2014年8月12日

设G_2n是对称群S_2n的子群,由G_2n={p in S_2n)| p(i)=i(mod n)定义,i=1,2,…,2n}的子群。G(2n)具有2^n阶,二项式(n,k)给出了G_2n中具有n+k个圈的置换数。囊性纤维变性。邮编:A130534A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日

C(n,k)=半长n+1的Dyck路径数,其中k+1“u”位于奇数编号位置,k+1返回x轴。示例:{U=U在奇数位置,而{U=return to x轴}二项式(3,0)=1(uudududud_U);二项式(3,1)=3[(uudud_Ud_u),(Ud_uud_u),(uud_uud_u),(uud_uud_uud_uud_),(uud_uud_u),(uud_uud_uuud_u),(uud_uud_uuuud_u),(uud_Ud;二项式(3,2)=3[(Ud_Ud_Ud_Ud_Ud_Ud_uud_uud_uud_u Ud_Ud_u Ud_u Ud_u Ud_u Ud峎(uud_uud_u;二项式(3,3)=1-罗杰·福特2014年11月5日

丹尼尔放弃了2015年3月12日:(开始)

二项式系数二项式(n,k)给出n个种群倍增后第k代的个体数。每增加一倍的种群,每个个体的克隆的世代指数都会增加1,从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加就可以得到二项式系数。

0 1 3 7 15

0:O |。|。   . | .   .   .   . | .   .   .   .   .   .   .   . |

1:| O | O.|哦。   .   . | 哦。   .   .   .   .   .   . |

2:| | O | O|哦哦。哦。   .   . |

3:| | | | O | O O|

4:| | | | O|

这是一个分形过程:要获得从0到2^n-1的图案,请在从0到2^(n-1)-1的图案右侧附加一个下移(一行)的图案副本。(受“二项式堆”数据结构的启发。)

生成索引的序列:1的计数序列:n的二进制展开(或n的二进制权重)中的1个数(参见A000120型):

{0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,…}

0到15的二进制扩展:

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111

(结束)

A258993年(n,k)=T(n+k,n-k),n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月22日

T(n,k)是[n+1]的集合分区w的个数,它们避免了rb(w)=k的1/2/3。ls(w)=k也是如此,其中回避是由Wachs和White定义的Klazar和ls,rb的意思。

满足本福德定律[Diaconis,1977]-N、 斯隆2017年2月9日

设{A(n)}为具有n个完全相同元素的集合,其中{A(0)}为空集E。设{A(n,k)}为{A(n)}的第k次迭代,其中{A(n,0)}={A(n)}。{A(n,1)}=A{(n)}的所有子集的集合,包括{A(n)}和E{A(n,k)}=A(n,k-1)}的所有子集的集合,包括{A(n,k-1)}的所有元素。设A(n,k)是{A(n,k)}中元素的数目。然后A(n,k)=C(n+k,k),每次连续迭代都复制Pascal三角形第k条对角线的成员。参见示例-格雷戈里·L·西梅2018年8月6日

二项式(n-1,k)也是避免213和312的排列数,k上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n-1,k)也是避免132和213的排列数,k上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n,k)是维数为n的向量空间的第k次外幂的维数-斯佩齐亚2018年12月22日

C(n,k-1)是一个n维单纯形的面(或顶点)的无方向着色数,使用的颜色正好是k。当列举无方向排列时,每个手性对都算作一对-罗伯特A.罗素2020年10月20日

Dilcher和Stolarsky说:“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数(以及帕斯卡三角形)这两者之间的联系是由素数的一个众所周知的特征给出的:考虑帕斯卡三角形第k行中的条目,而不考虑初始条目和最终条目。当且仅当k是素数时,它们都能被k整除。" -汤姆·科普兰2021年5月17日

以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡(1623-1662)的名字命名,由皮埃尔·雷蒙·德·蒙特莫特(Pierre Remond de Montmort,1708)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月11日

把三角形的第n条对角线看作序列b(n),n从0开始。从它形成一个新的序列,保留第0项不变,然后考虑n的所有组成,取b(i)在每个组成中的相应数i的乘积,加上与偶数个部件的组成相对应的项减去与奇数个部件的组成相对应的项。然后得到三角形的第n行,每第二项乘以-1,后跟无穷多个零。对于以1开头的序列,此运算是自逆运算的特例,因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日

参考文献

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与Pascal三角形相关的三角形和数组的索引项

“核心”序列的索引项

与Benford定律有关的序列的索引项

公式

a(n,k)=C(n,k)=二项式(n,k)。

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)。

三角形是对称的:C(n,k)=C(n,n-k)。

a(n+1,m)=a(n,m)+a(n,m-1),a(n,-1):=0,a(n,m):=0,n<m;a(0,0)=1。

C(n,k)=n/(k!(n-k)!)如果0<=k<=n,则为0。

G、 f.:1/(1-y-x*y)=和(C(n,k)*x^k*y^n,n,k>=0)

G、 f.:1/(1-x-y)=和(C(n+k,k)*x^k*y^n,n,k>=0)。

G、 f.对于第n行:(1+x)^n=Sum{k=0..n}C(n,k)*x^k。

G、 f.对于第n列:x^n/(1-x)^n。

E、 g.f.:A(x,y)=经验(x+x*y)。

E、 列n:x^n*exp(x)/n!的g.f!。

一般的m次方A007318型式中:T(0,0)=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+m*T(n-1,k),其中n是行索引,k是列;同时T(n,k)=m^(n-k)*C(n,k)。

三角形T(n,k)按行读取;给予者A000007号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham在A084938号.

设P(n+1)=(n+1)的整数分区数;设p(i)=(n+1)的第i个分划的部分数;设d(i)=(n+1)的第i个分区的不同部分的个数;设m(i,j)=(n+1)的第i个分划的第j部分的重数。将运算符Sum{i=1..P(n+1),P(i)=k+1}定义为从i=1到i=P(n+1)的和,但只考虑具有P(i)=(k+1)部分的分区。定义从j=1到j=d(i)的运算符Product{j=1..d(i)}=Product。则C(n,k)=和{p(i)=(k+1),i=1..p(n+1)}p(i)!/[产品{j=1..d(i)}m(i,j)!]。E、 g.,C(5,3)=10,因为n=6有以下m=3部分的分区:(114),(123),(222)。对于它们的多重性,我们有:(114):3/(2!*1!)=三;(123):3/(1!*1!*1!)=六;(222):3/3!=1.和为3+6+1=10=C(5,3)-托马斯·威德2005年6月3日

C(n,k)=和{j=0..k}=(-1)^j*C(n+1+j,k-j)*A000108号(j) 一-菲利普·德莱厄姆2005年10月10日

G、 f.:1+x*(1+x)+x^3*(1+x)^2+x^6*(1+x)^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日

和{k=0..楼层(n/2)}x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) 你说,A000045型(n+1),A002605型(n) 你说,A030195型(n+1),A057087号(n) 你说,A057088号(n) 你说,A057089号(n) 你说,A057090号(n) 你说,A057091号(n) 你说,A057092型(n) 你说,A057093号(n) 分别为x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。和{k=0..楼层(n/2)}(-1)^k*x^(n-k)*T(n-k,k)=A000007号(n) 你说,A010892型(n) 你说,A009545号(n+1),A057083号(n) 你说,A001787型(n+1),A030191号(n) 你说,A030192(n) 你说,A030240型(n) 你说,A057084号(n) 你说,A057085型(n+1),A057086号(n) 你说,A084329号(n+1)分别为x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20-菲利普·德莱厄姆2006年9月16日

C(n,k)<=A062758号(n) n>1时-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日

C(t+p-1,t)=和{i=0..t}C(i+p-2,i)=和{i=1..p}C(i+t-2,t-1)。一个二项式数字是它的左父代和它所有右祖先的和,它等于它的右父代和所有左祖先的和李·奈什(Lee(AT)cs。穆。oz.au),2008年3月7日

保罗·D·汉娜2011年3月24日:(开始)

设A(x)=和{n>=0}x^(n*(n+1)/2)*(1+x)^n是展平三角形的g.f.:

A(x)=1+(x+x^2)+(x^3+2*x^4+x^5)+(x^6+3*x^7+3*x^8+x^9)+。。。

则A(x)等于级数和{n>=0}(1+x)^n*x^n*乘积{k=1..n}(1-(1+x)*x^(2*k-1))/(1-(1+x)*x^(2*k));

同时,A(x)也等于继续分数1/(1-x*(1+x)/(1+x*(1-x*(1-x)*(1+x)/(1-x ^3*(1+x)/(1+x ^2*(1-x x ^2)*(1+x x)/(1-x x ^5*(1+x)的/(1-x x ^3*(1-x ^3)*(1+x x)/(1-x x ^7*(1+x)的/(1-x x ^7*(1+x x)/(1+x ^4*(1-x ^4)*(1+x x)/(1-x)/(1-…(1)))的(1-x(1-x)/(1-x)5(1-在。

这些公式是由(1)q-级数恒等式和(2)偏椭圆θ函数表达式得到的。(结束)

对于n>0:T(n,k)=A029600个(n,k)-A029635号(n,k),0<=k<=n-莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月16日

三角形的n行是对自然数(1,2,3,…,n)的前n项应用卷积变换的结果。看到了吗A001263A214281号对于这个转变的定义-加里·W·亚当森2012年7月12日

五十、 埃德森·杰弗瑞2012年8月2日:(开始)

三角形的第n行(n>=0)由无限矩阵P^n的第n个反对角线给出,其中P=(P{i,j}),i,j>=0,是乘积矩阵

0,1,

1,0,1,

0,1,0,1,

0,0,1,0,1,

0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,0,1,0,1,

  ... (结束)

三角形的n行也由递归P_0(x)=1,P_1(x)=x+1,P_n(x)=x*P{n-1}(x)+P{n-2}(x),n>1定义的多项式P_n(x)的n+1系数给出-五十、 埃德森·杰弗瑞2013年8月12日

关于类Pascal三角形的任意左右边界的闭合形式公式,请参见A228196. -鲍里斯·普提耶夫斯基2013年8月18日

关于广义Pascal三角形的闭式公式,请参见A228576号. -鲍里斯·普提耶夫斯基2013年9月4日

(1+x)^n=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*和{i=0..k}k^(n-i)*二项式(k,i)*x^(n-i)/(n-i)-弗拉基米尔·克鲁基宁2013年10月21日

E、 g.f.:A(x,y)=经验(x+x*y)=1+(x+y*x)/(E(0)-(x+y*x)),其中E(k)=1+(x+y*x)/(1+(k+1)/E(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日

E、 g.f.:E(0)-1,其中E(k)=2+x*(1+y)/(2*k+1-x*(1+y)/E(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

G、 f.:1+x*(1+x)*(1+x^2*(1+x)/(W(0)-x^2-x^3)),其中W(k)=1+(1+x)*x^(k+2)-(1+x)*x^(k+3)/W(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日

和{n>=0}C(n,k)/n!=e/k!,其中e=exp(1),而允许n<k,其中C(n,k)=0。同时求和{n>=0}C(n+k-1,k)/n!=e*A000262号(k) /k!,对于k>=1等于e*A067764号(k)/A067653号(k) 一-理查德·R·福伯格2014年1月1日

和{n>=k}1/C(n,k)=k/(k-1),k>=1-理查德·R·福伯格2014年2月10日

汤姆·科普兰2014年4月17日和26日:(开始)

用x^n乘以Pascal下三角矩阵的第n条对角线,并将结果指定为A007318型(x) =P(x)。然后用:xD:^n=x^n*(d/dx)^n和B(n,x),贝尔多项式(A008277号),

A) P(x)=经验值(x*dP)=经验值[x*(e^M-I)]=经验值[M*B(.,x)]=(I+dP)^B(.,x)

带dP=A132440,米=A238385号-一、 I=单位矩阵,以及

B) P(:xD:)=exp(dP:xD:)=exp[(e^M-I):xD:]=exp[M*B(.,:xD:)]=exp[M*xD]=(I+dP)^(xD),动作P(:xD:)g(x)=exp(dP:xD:)g(x)=g[(I+dP)*x](另请参阅A238363号).

C) P(x)^y=P(y*x)。P(2倍)=A038207(x) =exp[M*B(.,2x)],n维超立方体的面向量。

D) P(x)=[St2]*经验(x*M)*[St1]=[St2]*(I+dP)^x*[St1]

E) =[St1]^(-1)*(I+dP)^x*[St1]=[St2]*(I+dP)^x*[St2]^(-1)

其中[St1]=填充A008275号就像[St2]=A048993号=填充A008277号exp(x*M)=(I+dP)^x=和(k=0,…,无穷大,C(x,k)dP^k)。(结束)

T(n,k)=A245334号(n,k)/邮编:A137948(n,k),0<=k<=n-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日

彼得·巴拉2014年12月21日:(开始)

递推方程:T(n,k)=T(n-1,k)*(n+k)/(n-k)-T(n-1,k-1),当n>=2且1<=k<n时,边界条件为T(n,0)=T(n,n)=1。注意,将递归中的负号改为加号,可以得到二项式系数平方的递推-参见A008459号.

行的e.g.f.与三角形的对角线之间有一个关系,即exp(x)*e.g.f.for row n=e.g.f.对于对角线n。例如,对于n=3,我们有exp(x)*(1+3*x+3*x^2/2!+x^3/3!)=1+4*x+10*x^2/2!+20*x^3/3!+35*x^4/4!+。。。。对于形式为(f(x),x/(1-x))的Riordan数组,该属性更为普遍,其中f(x)是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+。。。。比如说,A055248A106516号.

设P表示现在的三角形。对于k=0,1,2,。。。定义P(k)为下单位三角形块阵列

/我知道0\

\0 P/将k×k单位矩阵I逯k作为左上块;特别是P(0)=P。无穷积P(0)*P(1)*P(2)*。。。,它的定义很明确,等于第二类斯特林数的三角形A008277号.倒序无穷积,即*P(2)*P(1)*P(0)等于斯特林环数的三角形邮编:A130534(结束)

C(a+b,C)=和{k=0..a}C(a,k)*C(b,b-C+k)。这是Prudnikov等人参考文献4.2.5节中公式1的推广,对于a=b=c=n:c(2*n,n)=Sum{k=0..n}c(n,k)^2。有关新公式的动画,请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日

Pascal矩阵P(n,x)=(1+x)^n的行多项式与Bernoulli多项式Br(n,x)及其本影合成逆Bv(n,x)有关,由本影关系P(n,x)=(-Br(,-Bv(.,x))^n=(-1)^n Br(n,-Bv(.,x)),转化为矩阵关系P=M*Br*M*Bv,其中P是Pascal矩阵,M是对角矩阵的对角线(1,-1,1,-1,…),Br是伯努利多项式系数的矩阵,Bv是由Br(n,Bv(.,x))=x^n=Bv(n,Br(.,x))定义的本影逆多项式的系数矩阵。注M=M^(-1)-汤姆·科普兰2015年9月5日

1/(1-x)^k=(r(x)*r(x^2)*r(x^4)*…)式中r(x)=(1+x)^k-加里·W·亚当森2016年10月17日

Riordan数组k列的Boas Buck型递归(参见2017年8月10日的备注A046521号,也供参考)用Boas-Buck序列b(n)={repeat(1)}。T(n,k)=((k+1)/(n-k))*和{j=k..n-1}T(j,k),对于n>=1,且T(n,n)=1。这使得T(n,k)=二项式(n,k)简化为已知的二项式恒等式(例如,Graham等人,第161页)-狼牙2018年11月12日

C((p-1)/a,b)==(-1)^b*事实a(a*b-a+1)/事实a(a*b)(mod p),其中事实_n表示第n个多因子,a除以p-1,方程右侧分数的分母表示模逆-艾萨克藏红2019年1月7日

C(n,k-1)=A325002型(n,k)-[k==n+1]=(A325002型(n,k)+A325003型(n,k))/2=[k==n+1]+A325003型(n,k)-罗伯特A.罗素2020年10月20日

赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月13日:(开始)

二项式和是斐波纳契数A000045型:

和{k=0..n}C(n+k,2*k+1)=F(2*n)。

和{k=0..n}C(n+k,2*k)=F(2*n+1)。(结束)

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

  ...

有C(4,2)=6种方式将5个球分配到3个不同的骨灰盒中,即每个骨灰盒至少有一个球,即,<BBB>(B)[B],<B>(BBB)[B],<B>(B)[BB],<BB>(B)[BB],和<B>(BB)[BB]。

有C(4,2)=6个从{1,2}到{1,2,3,4}的递增函数,即{(1,1)、(2,2)}、{(1,1)、(2,3)}、{(1,1)、(2,4)}、{(1,2)、(2,3)}、{(1,2)、(2,4)}、{(1,3)、(2,4)}-丹尼斯·P·沃尔什2011年4月7日

中间元素为3的{1,2,3,4,5}的C(4,2)=6个子集,即{3},{1,3,4},{1,3,5},{2,3,4},{2,3,5},和{1,2,3,4,5}-丹尼斯·P·沃尔什2011年12月15日

{A(0)}=E的连续k-迭代为E;E;E、 ;。。。;相应的元素数为1,1,1,。。。{A(1)}={A}的连续k次迭代是(省略括号)A;a、 E;a、 E,E;。。。;相应的元素数为1,2,3,。。。{A(2)}={A,A}的连续k-迭代为aa;aa,a,E;aa,a,E和a,E和E;。。。;相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·L·西梅2018年8月6日

k=4列的Boas Buck型递归:T(8,4)=(5/4)*(1+5+15+35)=70。请参阅上面的博阿斯巴克评论-狼牙2018年11月12日

枫木

A007318型:=(n,k)->二项式(n,k);

数学

展平[表[二项式[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]](*罗伯特·G·威尔逊五世,2004年1月19日*)

展平[CoefficientList[CoefficientList[Series[1/(1-x-x*y),{x,0,12}],x],y]](*马茨格兰维克2014年7月8日*)

黄体脂酮素

(公理)--(开始)

)set expose添加构造函数OutputForm

帕斯卡(0,n)==1

帕斯卡(n,n)==1

帕斯卡(i,j | 0<i和i<j)=帕斯卡(i-1,j-1)+帕斯卡(i,j-1)

pascalRow(n)==[0中i的pascal(i,n)..n]

displayRow(n)==输出中心空白独立pascalRow(n)

对于我在0。。20重复显示第一行--(结束)

(PARI)C(n,k)=二项式(n,k)\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年6月8日

(Python)#参见Hobson link。进一步计划:

定义C(n,k):

如果k<0或k>n:

返回0

res=1

对于范围(k)内的i:

res*=(n-i)/(i+1)

返回res

#罗伯特·费雷奥2018年3月31日

defc(n,k):来自math import prod,factorial;return prod(n-j表示范围(k)中的j)//阶乘(k)#M、 哈斯勒2019年12月13日,更新日期:2022年4月29日

(哈斯克尔)

a007318 n k=a007318表格!!n!!k

a007318行n=a007318表!!n

a007318_list=concat a007318表

a007318表格=迭代(\row->zipWith(+)([0]++行)(row++[0]))[1]

--比较。http://www.haskell.org/haskell wiki/Blow“你的大脑”数学序列

--莱因哈德·祖姆凯勒,2011年11月9日,2010年10月22日

(Maxima)创建_列表(二项式(n,k),n,0,12,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/

(Sage)def C(n,k):返回子集(range(n),k)。基数()#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日

(岩浆)/*三角形:*/[[二项式(n,k):k in[0..n]]:n in[0..10]]//文琴佐·利班迪2015年7月29日

(间隙)平坦(列表([0..12],n->列表([0..n],k->二项式(n,k)))#斯佩齐亚2018年12月22日

交叉引用

等于A102363号——大卫·G·威廉姆斯(David G.Williams,位于帕克斯韦)。com),2006年1月23日

行总和给出A000079号(2的幂)。

囊性纤维变性。A083093号(三角形读取模式3),A214292号(行的第一个差异)。

行的部分和表示三角形A008949号.

对角线的三角形是A011973型.

无限矩阵平方:A038207,立方:A027465号.

囊性纤维变性。A101164号。如果行被排序,我们得到A061554号A107430.

另一个版本:A108044号.

囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217,A052218,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225,A202750,A211226号,A047999,A026729号,A052553号,A051920型,A193242.

三角形和(见注释):A000079号(第1排);A000007号(第2排);A000045型(Kn11和Kn21);A000071型(Kn12和Kn22);A001924号(Kn13和Kn23);A014162号(Kn14和Kn24);A014166号(Kn15和Kn25);A053739号(Kn16和Kn26);A053295号(Kn17和Kn27);A053296号(Kn18和Kn28);A053308型(Kn19和Kn29);A053309号(Kn110和Kn210);A001519号(Kn3和Kn4);A011782号(图1和图2);A000930型(Ca1和Ca2);A052544号(Ca3和Ca4);A003269号(Gi1和Gi2);A055988号(Gi3和Gi4);A034943号(Ze1和Ze2);A005251号(Ze3和Ze4)-约翰内斯W.梅杰2010年9月22日

斐波那契-帕斯卡三角形:A027926号,A036355型,A037027,A074829号,A105809号,A109006号,A111006年,A114197号,邮编:A162741,A228074号,A228196,A228576号.

囊性纤维变性。邮编:A137948,A245334号.

囊性纤维变性。A085478号,A258993年.

囊性纤维变性。A115940号(k>1时的泛数字二项式系数C(m,k)。

Cf.(单色)A325002型(定向),[k==n+1](手性),A325003型(非致命的),A325000(k或更少颜色),A325009型(矫形小面,矫形关节顶点),A325017型(矫形关节面、矫正器顶点)。

广义二项式系数(n,k)_m(或广义Pascal三角形)的三角形(m=2。。十二:A001263,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889,A342890型,A342891飞机.

上下文顺序:邮编:A154926 A117440型 A118433年*A108086电话 邮编:A130595 A108363

相邻序列:A007315 A007316型 A007317型*A007319号 A007320型 A007321

关键字

,,美好的,容易的,核心,,听到,改变

作者

N、 斯隆米拉·伯恩斯坦1994年4月28日

扩展

检查了所有的链接,删除了8个似乎永远失去了,可能不是很重要-N、 斯隆2018年5月8日

状态

经核准的

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