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A000 7318 按行读取的Pascal三角形:C(n,k)=二项式(n,k)=n!(K)!*(N-K)!,0 <= k<=n。
(原M2000)
一千七百六十九
1, 1, 1、1, 2, 1、1, 3, 3、1, 1, 4、6, 4, 1、1, 5, 10、10, 5, 1、1, 6, 15、20, 15, 6、1, 1, 7、21, 35, 35、21, 7, 1、21, 7, 1、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ 列表桌子图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0,5

评论

C(n,k)=n个元素集的k个元素子集的个数。

行n给出了(1 +x)^ n的展开中的系数。

二项式(n+k-1,n-1)是将K不可区分的球放入n个盒子(“酒吧和星星”的参数-见Feller)的方法的数量。

二项(n-1,k-1)是n个带K个集合的成分(有序分区)的数目。

二项式(n+k-1,k-1)是n的精确成分(有序弱分割)的数目。-尤根遗嘱1月23日2016

二项(n,k)是使用步骤(1,0)和(1,1)从(0,0)到(n,k)的格子路径的数目。-乔尔格阿尔恩特,朱尔01 2011

如果认为是无限的下三角矩阵,则逆开始:

+ 1

- 1+1

+1 - 2+1

- 1 + 3 - 3 + 1

+ 1 - 4 + 6 - 4 + 1

所有2个n回文二项式系数开始后A000 616(n)项是奇数。-莱克拉吉贝达西5月20日2003

二项式(n+k-1,n-1)是形状(n,1 ^ k)的标准表数。-埃米里埃德奇5月13日2004

可以被看作是一个数组,通过反对角线读取,其中第一行和列中的条目都是1的,A(i,j)= A(I-1,j)+A(I,J-1),用于所有其他条目。从(0,0)开始的每个N×N子阵列的行列式为1。-杰拉尔德麦加维8月17日2004

也就是矩阵的指数的下三角读数,其入口{j+1,j}等于j+1(和所有其它条目为零)。- Joseph Biberstine(JBBibe(AT)印第安娜,EDU),5月26日2006

二项式(n-3,k-1)计数在模式231中出现零且模式132和k下降的一个出现在Syn中的排列。二项式(n-3,k-1)还计算在模式231中出现零且模式213和k下降的一个出现在Syn中的排列。- David Hoek(戴维·HK(AT)Telia.com),2月28日2007

A130595(作为一个无限的下三角矩阵)。-菲利普德勒姆8月21日2007

考虑形式LL=[My[L] L]=[My[Y](2)]的整数列表LL(其中,“y′”表示“时间”),如LL(m=3,k=3)=[[2,2 2],[2,2 2],[2,2,2] ]。LL(m,k)的整数列表分区的数目等于二项式(m+k,k),如果[[1,1],[2 ],[2 ] ]和[[2 ],[2 ],[1,1] ]和[[2 ],[1,1],[2 ] ]的多个分区只计算一次。例如,我们发现4×5×6/3!=20=二项式(6,3)。-托马斯维德,10月03日2007

Pascal三角形及其逆的无穷小生成器A132440-汤姆·科普兰11月15日2007

行n>=2给出k-位数(k>0)基数n,具有严格递减的数字;例如,行10。A000 99 95同样,行n-1>2给出了k个数(k>1)的基n个数,具有严格增加的位数;A90099并进行比较A118629-里克·谢泼德11月25日2007

来自李纳什(Lee(AT)C.MU.OZ.AU),MAR 07 2008:(开始)

二项式(n+k-1,k)是长度k的序列可以被分割成N个子序列的方式的数量(参见NaISH链接)。

二项式(n+k-1,k)也是n(或更少)的数字数,以至少k的基数写成,其数字和k相称。例如,在十进制中,有二项式(3 +3-1,3)=10个3位数字,其数字和为3(参见)。A052217以及二项式(4 +2-1,2)=10个4位数字,其数字总和为2(参见A052216这种关系可以用来生成序列号。A052216A052224(和使用大于10的基数的序列)。(结束)

米兰扬吉克,五月07日2008:(开始)

由SigMAIK(XY1,XY2,…,XYN)表示初等对称多项式。然后:

二项式(2n+1,2k+ 1)=SigMa{{N-K}(XY1,XY2,…,XYN),其中Xi i=Ta^ ^ 2(i *皮/(2n+1)),(i=1,2,…,n)。

二项式(2n,2k+ 1)=2n*SigaM{{N-1-k}(x1,x2,…,x{{n-1)},其中xi i=Ta^ ^ 2(i *皮/(2n)),(i=1,2,…,n-1)。

二项(2n,2k)=SigMa{{N-K}(XY1,XY2,…,XYN),其中Xi i=TaN ^ 2((2I-1)π/(4N)),(i=1,2,…,n)。

二项(2n+1,2k)=(2n+1)SigMa{{N-k}(XY1,XY2,…,XYN),其中Xi i=Ta^ ^ 2((2I-1)π/(4n+1)),(i= 1,2,…,n)。(结束)

给定矩阵R和S具有R(n,k)=二项式(n,k)*r(n- k)和s(n,k)=二项式(n,k)*s(n- k),则r*s= t,其中t(n,k)=二项式(n,k)*[r(+)+s(?)] ^(n- k)。并且,对于R、S和T的行多项式的F.S分别是EXP(X*T)*EXP[R(*)*X ]、EXP(x*T)*EXP[S(.*)x ]和EXP(x*T)*EXP[R(*)*x] *EXP[S(.])x]=Exp{[t+r(+)+s(?)] *x}。行多项式本质上是Apple多项式。A1323举个例子。-汤姆·科普兰8月21日2008

作为矩形R(m,n)=二项式(m+n-2,m-1),权重数组w(一般定义为A144112R的本质上是R本身,在这个意义上,如果W=行1和列1A144225被删除,剩下的数组是R.克拉克·金伯利9月15日2008

如果A000 7318=m为无限下三角矩阵,M^ n给出A130595A023 531A000 7318A038 207A07465A038A038 243A038 255A07466A038A038A038 303A038 315A038 327A1333A14716A07467分别为n=-1,0,1,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15。-菲利普德勒姆11月11日2008

具有E.F.EXP(x*T)*(COSH(t)+SnH(t))的多项式的系数。-彼得卢斯尼,朱尔09 2009

三角形或象棋和,参见A180662对于它们的定义,链接Pascal三角形与二十个不同的序列,见交叉参考。由于这个三角形的对称性质,所有的总和成对出现。骑士总数KN14-KN110已被添加。值得注意的是,所有骑士总和都与斐波那契数有关,也就是说,A000 00 45但是其他的都没有。-约翰内斯·梅杰9月22日2010

二项式(n,k)也是将n+1个球分配到k+ 1个瓮中的方法的数量,以便每个瓮至少得到一个球。请参见下面的示例部分中的示例。-丹尼斯·P·沃尔什1月29日2011

二项式(n,k)是从{1,…,k}到{ 1,…,n}的增加函数的个数,因为有二项式(n,k)的方式来选择来自协域{ 1,…,n}的k个不同的有序元素。请参见下面的示例部分中的示例。-丹尼斯·P·沃尔什,APR 07 2011

中心二项式系数:t(2×n,n)=A000 0984A(n),t(n,地板(n/2))=(n)A000 1405(n)。-莱因哈德祖姆勒09月11日2011

二项(n,k)是以k+1为中值元素的{1,…,n+1 }的子集的数目。为了看到这一点,请注意SuMu{{j=0…min(K,N-K)}二项式(k,j)*二项式(nk,j)=二项式(n,k)。请参见下面的示例部分。-丹尼斯·P·沃尔什12月15日2011

这是格子Z^ n的协调器三角形,参见康威斯隆,1997。-斯隆1月17日2012

高度1的积分阶乘比率序列的三个无穷族之一(参见博伯定理1.2)。另外两个是A04621A068 55对于实际r>=0,Cyr(n,k):=楼层(R*n)!(楼层(R*K)!*楼层(R*(N-K))!是整数。A211226对于r=1/2的情况。-彼得巴拉4月10日2012

对于n>0:t(n,k)=A09600(n,k)-A029 635(n,k),0 <= k<=n-莱因哈德祖姆勒4月16日2012

定义具有n行的有限三角形T(m,k),使得t(m,0)=1是左列,t(m,m)=二项式(n-1,m)为右列,而其他条目是T(m,k)=t(m-1,k-1)+t(m-1,k),如Pascal三角形。T中所有条目的总和(有)A000 0217(n)元素为3 ^(n-1)。-贝尔戈,10月01日2012

下三角PASCAL矩阵是由由Pr n(x)=P*(n+1)(x)和L pIn(x)=n p1(n-1)(x)定义的梯形算子所表征的多项式pnn(x)组成的基础上的算子Exp(RLR)的表示。A132440A218227A21823A097 805A038 207转置和填充的Pascal矩阵可以与特殊的线性群SL2相关联。-汤姆·科普兰10月25日2012

A193242-亚力山大·R·波洛夫茨基,05月2日2013

集合{1,…,n}的置换p1…pnn在i位置有下降,如果pi i> pI(i+1)。设S(n)表示{ 1,…,n}置换p1…pnn的子集,使得pI(i+1)-pi i=1=i=1,…,n-1。然后,二项式(n,k)给出了具有k个下降的S(n+1)置换的个数。或者,二项式(n,k)给出了S(n+1)置换的数目,其中k+1增加了运行。-彼得巴拉3月24日2013

SuMu{n=>0 }二项式(n,k)/n!= E/K!,其中E=EXP(1),而允许n< k,其中二项式(n,k)=0。SuMu{{N>=0 }二项式(n+k-1,k)/n!= E*A000 0262(K)/ K!而k>1等于E *A06764(k)/A06653(k)。-李察·R·福尔伯格,01月1日2014

在下面的公式中定义的PASCAL矩阵P(x)的平方N xN子矩阵(第一n行和n列)当在左边乘以范德蒙矩阵V(x1,…,xyn)(与第一行中的那些)将矩阵转换为v(xy1+x,…,xnn+x),同时留下行列式不变量。-汤姆·科普兰5月19日2014

对于k>=2,n>=k,k/((k/(k-1)- SuMu{{n=k.M} 1 /二项式(n,k)))=m!/((M K+ 1)!*(K-2)!注:k/(k-1)是无穷大和。A000 0217A000 029A000 0332举个例子。-李察·R·福尔伯格8月12日2014

设Gy(2n)是Gi(2n)={p在Si(2n)p(i)=i(mod n)中定义的对称群s~(2n)的子群,对于i=1,2,…,2n}。Gy(2n)具有阶2 ^ n。二项(n,k)给出了具有n+k个循环的Gy(2n)的排列数。囊性纤维变性。A130534A246117-彼得巴拉8月15日2014

t(n,k)=A245334(n,k)/A137948(n,k),0 <= k<=n-莱因哈德祖姆勒8月31日2014

C(n,k)=半长度n+1的Dyk路径数,奇数位置的k+ 1“u”,k+1返回到x轴。例子:{U= U在奇数位置,和=返回到X轴}二项式(3,0)=1(UDUDUDDZ);二项式(3,1)=3 [(UUDDUDUDUZ),(UDUDUDUDZ),(UUDUDUDUDZ)];二项式(3,2)=3 [(UdUdUdUddz),(UDUDUDUGUDUZ),(UDUDUDUDUDUZ)];二项式(3,3)=1(UDU-UdUdUdUdz)。-罗杰·福特05月11日2014

丹尼尔骗局,3月12日2015:(开始)

二项式系数二项(n,k)给出了n次种群倍增后第k代的个体数。对于每一个种群的倍增,每个个体的克隆的生成指数递增1,从而进入下一行。只需将每行从0到2 ^ n - 1进行排序以得到二项式系数。

0 1 3 3 7 15

0:O。. |

1:ωO。o。o。γ

2、γo O。o o。O。γ

3:γo O o O。γ

4、γo

这是一个分形过程:为了使模式从0到2 ^ n - 1,从0到2 ^(n-1)-1,从0到2(n-1)-1的模式的右边附加一个向下移动(一行)的模式拷贝。(由二项式堆结构)启发。

生成指数序列:1’s计数序列:N的二元展开(或n的二进制权重)中的1个数(参见)A000 0120):

{ 0, 1, 1、2, 1, 2、2, 3, 1、2, 2, 3、2, 3, 3、4、…}

0到15的二进制展开:

0 1 10 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1010

(结束)

A258963(n,k)=t(n+k,n-k),n>0。-莱因哈德祖姆勒6月22日2015

T(n,k)是[n+1]的集合分区W的数目,避免了用Rb(w)=k的1/2/3,同样适用于LS(W)=k,其中避免是在KLAZAR和LS的意义上,由WACH和White定义的RB。

满足本福德定律〔diaCONIS,1977〕斯隆,09月2日2017

设{a(n)}是具有完全n个相同元素的集合,{a(0)}是空集合E。{{a(n,k)}是{a(n)}的第k次迭代,{a(n,0)}{{a(n)}。{a(n,1)}={n(n)}的所有子集的集合,包括{a(n)}和e{a(n,k)}={a(n,k-1)}的所有子集的集合,包括{a(n,k-1)}的所有元素。设A(n,k)为{a(n,k)}中元素的数目。然后A(n,k)=C(n+k,k),每个迭代迭代复制Pascal三角形的k次对角线的成员。参见示例。-格雷戈瑞·L·西梅,八月06日2018

二项式(n-1,k)也是用k上行避免213和312的排列的数目。-劳拉普德威尔12月19日2018

二项式(n-1,k)也是用k上行避免132和213的排列的数目。-劳拉普德威尔12月19日2018

二项式(n,k)是维数n的向量空间的k次外幂的维数。斯蒂法诺斯皮齐亚12月22日2018

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奥巴马,S. K. Nauman,W. M. Fakieh,C. M. Ringel,Dykin代数支撑倾斜模的个数,2014。

奥伊斯维基,二项式系数

Richard L. Ollerton和Anthony G. Shannon广义Pascal方格和三角形的若干性质FIB。Q.,36(1998),98-109。

Ed Pegg,Jr.,序列图片数学游戏专栏,十二月08日2003。

Ed Pegg,Jr.,序列图片数学游戏专栏,DEC 08 2003 [缓存副本,具有许可(仅PDF)]

科洛索夫佩特罗Pascal三角形与超立方体的关系,2018。

Franck Ramaharo几类结点阴影的统计,阿西夫:1802.07701(数学,Co),2018。

Franck Ramaharo椒盐卷曲结点的生成多项式,阿西夫:1805.10680(数学,Co),2018。

Franck Ramaharo用考平记号C(n,r)生成两桥结的多项式,阿西夫:1902.08989(数学,Co),2019。

理查德森互PASCAL矩阵,ARXIV预告ARXIV:1405.6315 [数学,CO],2014。

夏皮罗,S. Getu,W·J·WON和L. C. Woodson,Riordan集团,离散应用数学,34(1991),229—23 9。

斯隆,我最喜欢的整数序列在序列及其应用中(SETA’98的程序)。

斯隆,三角形显示Pascal三角形的前30行轮廓(Cobeli和Zaharescu之后)

Hermann Stamm Wilbrandt基于C(n,…)和C(m,…)值动画计算C(n+m,…)

Ch. Stover和E. W. Weisstein作文来自MathWorks--一个WordFrand网络资源。

G. Villemin的数字历书,三角帕斯卡

Eric Weisstein的数学世界,帕斯卡三角

维基百科Pascal三角

H. S. Wilf生成函数学,第二EDN,学术出版社,NY,1994,pp.12FF。

K. Williams,Mathforum,交互式帕斯卡三角形

D. Zeilberger拉比Abraham Ibn Ezra的组合占星学,阿西夫:数学/ 9809136 [数学,C],1998。

Chris Zheng,Jeffrey Zheng,三角数及其固有性质从理论基础到应用的变型结构,斯普林格,新加坡,51-65。

与Pascal三角形有关的三角形和数组的索引项

“核心”序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

公式

A(n,k)=C(n,k)=二项式(n,k)。

C(n,k)=C(n-1,k)+c(n-1,k-1)。

三角形是对称的:C(n,k)=C(n,n- k)。

A(n+1,m)=a(n,m)+a(n,m -1),a(n,1):=0,a(n,m):=0,n<m;a(0, 0)=1。

C(n,k)=n!(K)!(N-K)!如果0 <= k<=n,则为0。

G.f.:1/(1-yx*y)=和(C(n,k)*x^ k*y^ n,n,k>=0)

G.f.:1/(1-X-Y)=和(C(n+k,k)*x^ k*y^ n,n,k>=0)。

行列式的G.F:(1+x)^ n=SuMu{{K=0…n} C(n,k)x^ k。

G.F.用于列n:x^ n/(1-x)^ n。

E.g.f.:A(x,y)=EXP(x+x*y)。

列为n:x^ n*EXP(x)/n!.

一般地,m次幂A000 7318由t(0, 0)=1,t(n,k)=t(n-1,k-1)+m *t(n-1,k),其中n是行索引,k是列;t(n,k)=m ^(n-k)c(n,k)。

由行读取的三角形t(n,k);由A000 0 07三角洲A000 0 07其中Delta是DeleHAM算子定义的A084938.

设P(n+1)=(n+1)的整数划分数;设p(i)=(n+1)的第i个分区的部分数;设D(i)=(n+1)的第i个分区的不同部分的数目;让m(i,j)=(n+1)的第i个分区的第j部分的多重性。定义操作符SuMu{{i=1…p(n+1),p(i)=k+1 }作为从i=1到i=p(n+1)的总和,但只考虑具有p(i)=(k+1)部分的分区。定义运算符乘积{{j=1…d(i)}=从j=1到j= d(i)的乘积。然后C(n,k)=SUMU{{p(i)=(k+1),i=1…p(n+1)} p(i)![乘积{{j=1…d(i)}m(i,j)〕!]例如,C(5, 3)=10,因为n=6具有M=3个部分的以下分区:(114)、(123)、(222)。因为它们的多重性:(114):3!(2)* 1!= 3;(123):3!(1)* 1!* 1!= 6;(222):3!3!= 1。和是3+6+1=10=c(5, 3)。-托马斯维德,军03 2005

C(n,k)=Suthi{{j=0…k}=(- 1)^ j*c(n+2+j,kj)*A000 0108(J)。-菲利普德勒姆10月10日2005

G.f.:1 +x(1 +x)+x^ 3(1 +x)^ 2 +x^ 6(1 +x)^ 3 +…-米迦勒索摩斯9月16日2006

Suthi{{=0…地板(n/2)} x^(n- k)*t(nk,k)=A000 0 07(n)A000 00 45(n+1),A000 2605(n)A030195(n+1),A057077(n)A057088(n)A057089A(n)A057090(n)A057091(n)A057092(n)A057096(n)分别为x=0, 1, 2、3, 4, 5、6, 7, 8、9, 10。Suthi{{=0 ..楼层(n/2)}(-1)^ k*x^(nk)*t(nk,k)=A000 0 07(n)A010892(n)A000 9545(n+1),A057083A(n)A000 178(n+1),A030191(n)A030192(n)A030240(n)A057084A(n)A057085(n+1),A057086A(n)A084329(n+1)分别为x=0, 1, 2、3, 4, 5、6, 7, 8、9, 10, 20。-菲利普德勒姆9月16日2006

C(n,k)<A062558(n)n>1。-莱因哈德祖姆勒04三月2008

C(t+p-1,t)=SuMu{{i=0…t} C(i+p-2,i)=SuMu{{i=1…p} C(i+t2,t-1)。二项式数是其左父及其右祖先的总和,等于其右父及其左祖先的总和。-李纳什(李(AT)Cs MU.OZ.AU),MAR 07 2008

保罗·D·汉娜,3月24日2011:(开始)

设A(x)=SuMu{{N>=0 } x^(n(n+1)/2)*(1 +x)^ n是平坦三角形的G.F.

a(x)=1+(x+x^ 2)+(x^ 3+2×x^ 4+x^ 5)+(x^ 6+3×x^ 7+3×x^ 8+x^ 9)+…

然后A(x)等于SuMu{{N>=0 }(1 +x)^ n*x^ n*乘积{{k=1…n}(1 -(1 +x)*x^(2k-1))/(1 -(1 +x)*x^(2k));

(x)等于连续分数1 /(1××(1 +x)/(1 +x*(1-x))/(1×3)*(1 +x)/(1 +x^ 2 *(1-x^ 2)*(1 +x)/(1 -x^×*(α+x)/ /(α+x^×*(1-x^))*(α+x)/(α-x^×*(α+x))/(α+x^×*(1-x^))*(α+x)/(α-…另外,A

这些公式是由于(1)q-序列恒等式和(2)部分椭圆θ函数表达式。(结束)

三角形的行N是将对流变换应用于自然数(1, 2, 3,…,n)的第一n项的结果。A000 1263A21481对于这个变换的定义。-加里·W·亚当森7月12日2012

埃德森杰弗里,八月02日(2012):(开始)

三角形的行n(n>=0)由无穷矩阵p^ n的n次对角线给出,其中p=(p{{i,j}),i,j>=0,是生成矩阵。

0, 1,

1, 0, 1,

0, 1, 0,1,

0, 0, 1,0, 1,

0, 0, 0,1, 0, 1,

0, 0, 0,0, 1, 0,1,

0, 0, 0,0, 0, 1,0, 1,

0, 0, 0,0, 0, 0,1, 0, 1,

(结束)

三角形的行n也由由递归p00(x)=1、p1(x)=x+1、pnn(x)=x*p{{n-1-}(x)+p{{n-2 }(x)、n>1定义的多项式pnn(x)给出的n+1系数给出。-埃德森杰弗里8月12日2013

关于Pascal三角形的任意左右边界的闭式公式A228 196-鲍里斯-普蒂耶夫斯克8月18日2013

关于广义Pascal三角形的闭式公式A228-鲍里斯-普蒂耶夫斯克,SEP 04 2013

(1±x)^ n=SUM{{=0…n}(-1)^(N-K)*二项式(n,k)*SuMi{{i=0…k}(n- i)*二项式(k,i)*x^(n- i)/(n- i)!-弗拉迪米尔克鲁钦宁10月21日2013

E.g.f.:A(x,y)=EXP(x+x*y)=1+(x+y*x)/(e(0)-(x+y*x)),其中E(k)=1+(x+y*x)/(1+(k+1)/e(k+1));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克08月11日2013

E.g.f.:E(0)-1,其中E(k)=2 +x*(1 +y)/(2×k+1×x(1 +y)/e(k+1));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克12月24日2013

G.f.:1 +x*(1 +x)*(1 +x^ 2 *(1 +x)/(w(0)-x^ 2-x^ 3)),其中w(k)=1+(1+x)*x^(k+2)-(1+x)*x^(k+3)/w(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克12月24日2013

SUMU{{N>=0 } C(n,k)/n!= E/K!,其中E=EXP(1),同时允许n<k,其中C(n,k)=0。此外,SUM{{N>=0 } C(n+k-1,k)/n!= E*A000 0262(K)/ K!而k>1等于E *A06764(k)/A06653(k)。-李察·R·福尔伯格,01月1日2014

对于K>1,SUMU{{N>=K} 1/C(n,k)=k/(k-1)。-李察·R·福尔伯格2月10日2014

汤姆·科普兰,4月17日和26 2014:(开始)

用X^ n乘积Pascal下三角矩阵的n次对角线,并用A000 7318(x)=p(x)。然后用:xd:^n=x^n*(d/dx)^n和b(n,x),贝尔多项式(A000 827

a)p(x)=EXP(x*DP)=EXP[x*(E^ m -i)]=EXP[M*B(,x)]=(i+DP)^ b(?,x)

用DP=A132440,M=A23 838- I和I=单位矩阵,以及

b)p(:xd:)=EXP(DP:xD:)= EXP [(E^-M i):XD:]=EXP[M*B(…,XD:)] = Exp [M*xD]=(I+DP)^(xd),p((xd):g)(x)=EXP(DP:xd:)g(x)=g[(i+DP)*x](参见A268363

c)p(x)^ y=p(y*x)。P(2x)=A038 207(x)=Exp[m*b(,2x)],n-超立方体的面向量。

d)p(x)=[ST2] *EXP(x*m)*[ST1]=[ST2] *(i+DP)^ x*[ST1]

e)=[ST1] ^(- 1)*(i+DP)^ x*[ST1]=[ST2] *(i+DP)^ x*[ST2] ^(- 1)

[ST1] =填充的A000 8255正如[ST2] =A04903=衬垫A000 827和EXP(x*m)=(i+DP)^ x=和(k=0,..,无穷大,C(x,k)dp^ k)。(结束)

彼得巴拉,12月21日2014:(开始)

递推方程:T(n,k)=t(n-1,k)*(n+k)/(n- k)-t(n-1,k-1),对于n>=2和1 <<k<n,边界条件t(n,0)=t(n,n)=1。注意,将递归中的负号改为加号给出二项式系数的平方的递推。A000 845.

行的E.F.和三角形的对角线之间有一个关系,即EXP(x)* E.G.F.用于行n=E.F.对角线n。例如,对于n=3,我们有EXP(x)*(1 + 3×x + 3×x ^ 2/2)!+x^ 3/3!=1+4×x+10×x ^ 2/2!+ 20×x ^ 3/3!+ 35×x ^ 4/4!+…这个性质对于形式(f(x),x/(1 -x))的Riordan阵列更普遍,其中f(x)是形式1 +fy1*x+fy2*x^ 2 +的O.G.F.比如说,A055 248A10616.

设P表示当前三角形。对于k= 0,1,2,…将p(k)定义为下单元三角形块阵列

/IIK 0

0 p/具有k xk恒等式IIK作为左上块;特别是p(0)=p。无限积P(0)*p(1)*p(2)*…,这是明确定义的,等于第二类斯特灵数的三角形。A000 827可逆序的无穷乘积,即…*p(2)*p(1)*p(0),等于斯特灵循环数的三角形。A130534(结束)

C(A+B,C)=SUMY{{K=0…A} C(A,K)*C(B,B-C+K)。这是从Prudnikov等人的4.2.5节导出的方程1的推广。引用,对于a=b= c= n:c(2n,n)=SuMux{k=0…n} C(n,k)^ 2。见链接节动画的新公式。-赫尔曼·斯坦姆·威尔布兰特8月26日2015

The row polynomials of the Pascal matrix P(n,x) = (1+x)^n are related to the Bernoulli polynomials Br(n,x) and their umbral compositional inverses Bv(n,x) by the umbral relation P(n,x) = (-Br(.,-Bv(.,x)))^n = (-1)^n Br(n,-Bv(.,x)), which translates into the matrix relation P = M * Br * M * Bv, where P is the Pascal matrix, M is the diagonal matrix diag(1,-1,1,-1,...), Br is the matrix for the coefficients of the Bernoulli polynomials, and Bv that for the umbral inverse polynomials defined umbrally by Br(n,Bv(.,x)) = x^n = Bv(n,Br(.,x)). 注意m=m ^(- 1)。-汤姆·科普兰,SEP 05 2015

1(/(1-x)^ ^ k=(r(x)*r(x^ 2)*r(x^ 4)*…),其中r(x)=(1 +x)^ k。加里·W·亚当森10月17日2016

Riordan阵列列k的Boas Buck型递推(见8月10日2017)A04621也为参考文献,用Bas Buck序列B(n)={Read(1)}。t(n,k)=((k+ 1)/(n- k))*SuMi{{j=k.n-1 } t(j,k),对于n>1,用t(n,n)=1。这使得T(n,k)=二项式(n,k)减少到已知的二项式恒等式(例如格雷厄姆等)。第161页)。-狼人郎11月12日2018

C((p-1)/a,b)=(- 1)^ b* FasthA(A*B-A+ 1)/FasiA(A*B)(mod p),其中Fasthn表示n次多因子,A分P-1,方程右边的分数分母表示模逆。-艾萨克·萨福德,07月1日2019

例子

三角T(n,k)开始:

NK 0 1 1 2 4 5 5 6 7 8 9 10 11…

0 1

1 1 1

2 1 2 2

3 1 3 3 3 1

4 1 4 4 6 4 1

5 1 5 5 10 10 5 1

6 1 6 6 15 20 15 6 1

7 1 7 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 10 120 210 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 11 165 330 330 462 462 330 165 55 11

在3个不同的URN,<>()[]中,有C(4,2)=6种分配5个球BBBB的方法,使得每个瓮至少得到一个球,即<BBB>(B)[B],<B>(BBB)[B],<B>(B)[BBB],<BB>(BB)[B],<BB>(B)[BB],<B>(BB)[BB]。

从{1,2}到{1,2,3,4},即{1(1,1),{(1,2)},{(1,1),{(1,1),(2,4)},{(1,2),(2,3)},{(1,2),(2,4)},和{(1,3),(2,4)},有C(4,2)=6增长函数。-丹尼斯·P·沃尔什,APR 07 2011

C(4,2)={1,2,3,4,5} 6个子集,中值元素3,即{ 3 },{1,3,4},{1,3,5},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,4,5}。-丹尼斯·P·沃尔什12月15日2011

{A(0)} E的连续k次迭代是E;E;E;…;对应的元素数是1,1,1,…{a(1)} {a}的连续k次迭代是(省略括号)a;a,e;a,e,e;…;对应的元素数是1,2,3,…{A(2)} {A,A }的连续k次迭代是AA;AA,A,E;AA,A,E和A,E和E;…;对应的元素数是1,3,6,…-格雷戈瑞·L·西梅,八月06日2018

Boas Buck型递归列k=4:t(8, 4)=(5/4)*(1+5+15+35)=70。请看上面的博斯巴克评论。-狼人郎11月12日2018

枫树

A000 7318=(n,k)->二项式(n,k);

Mathematica

平面[二项[ n,k],{n,0, 11 },{k,0,n}] ](*)Robert G. Wilson五世1月19日2004*)

FrimtList[系数列表] [系列〔1/(1 -X-x*y),{x,0, 12 }〕,x],y](*)马格兰维克,JUL 08 2014*)

黄体脂酮素

(公理)——(开始)

设置打开添加构造函数输出窗体

Pascal(0,n)=1

帕斯卡(n,n)=1

Pascal(I,J 0)I和I < J== PASCAL(I-1,J-1)+ PASCAL(I,J-1)

Pascal(n)==[Pascal(i,n)i为0…n]

DISPLAYLUN(n)=输出中心blankSeparate pascalRow(n)

对于我在0…20重复显示行i(结束)

(PARI)C(n,k)=二项式(n,k)查尔斯,军08 2011

(Python)见霍布森链接。

DEF C(n,k):

…如果k<0或k> n:

……返回0

…Res=1

…在i(k)范围内:

…RES=RES(N-I)//(I+ 1)

……退货

γ罗伯特铁3月31日2018

(哈斯克尔)

A00 7318 N K= A00 731818Tabl!!!K!

A00 73181行n=A00 731818Tabl!n!

AA77318YLIST = CONTAT A00 731818Tabl

AA77318YOTABL=迭代(\行-ZIPOFF(+)([ 0 ] ++行)(行++(0)))〔1〕

--参见http://www. askel.org/HaskelWiki/BooWuyYouthyNo.y]数学序列

——莱因哈德祖姆勒,11月09日2011,10月22日2010

(最大值)CureTyLead(二项式(n,k),n,0, 12,k,0,n);/*伊曼纽勒穆纳里尼3月11日2011*

(SAGE)DEF C(n,k):返回子集(范围(n),k)。拉尔夫斯蒂芬1月21日2014

(岩浆)/*为三角形:*/[[二项式(n,k):k在[0…n] ]:n(0)。10)];文森佐·利布兰迪7月29日2015

(GAP)平坦(列表(0…12),N->列表([0…n],k->二项式(n,k)));斯蒂法诺斯皮齐亚12月22日2018

交叉裁判

等于连续项之间的差值A1023 63- David G. Williams(davidwilliams(AT)PaxWay.com),1月23日2006

行和给出A000 0 79(2的幂)。

囊性纤维变性。A083096(三角形读取MOD 3),A21492(行的第一个差异)。

行的部分和给出三角形A000 8949.

无穷矩阵平方:A038 207立方体:A07465.

囊性纤维变性。A101164如果行被排序,我们得到A061554A10730.

另一种版本:A108044.

囊性纤维变性。A000 827A1323A1323A052216A052217A052218A052219A052220A052221A052222A052223A144225A20750A211226A047 99A026729A052553A051920A193242.

三角形和(见注释):A000 0 79(ROW1);A000 0 07(ROW2);A000 00 45(KN11&KN21);A000 000(KN12和KN22);A00 1924(KN13和KN23);A014162(KN14&KN24);A014166(KN15和KN25);A053639(KN16&KN26);A053255(KN17&KN27);A05329(KN18和KN28);A053308(KN19&KN29);A053309(KN110和KN210);A151519(KN3和KN4);A011782A(FI1和FI2);A000 0930(CA1和CA2);A052544(CA3和CA4);A000 3269(GI1和GI2);A055 988(GI3和GI4);A034 943(ZE1和ZE2);A000 5251(Ze3和Ze4)。-约翰内斯·梅杰9月22日2010

Fibonacci Pascal三角形:A027 926A036355A037027A07829A105809A109906A111006A114197A16741A228074A228 196A228.

囊性纤维变性。A137948A245334.

囊性纤维变性。A0854 78A258963.

语境中的顺序:A1549 A117440 A118433*A10806 A130595 A108363

相邻序列:A000 7315 A000 7316 A000 7317*A000 7319 A000 7320 A000 7321

关键词

诺恩塔布美好的容易的核心听到

作者

斯隆米拉伯恩斯坦4月28日1994

扩展

检查所有链接,删除8,似乎永远失去了,可能不是很重要。-斯隆08五月2018

状态

经核准的

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