置换循环

置换循环是子集的置换它们的元素彼此交换位置。排列循环称为“轨道”Comtet（1974年，第256页）。例如，在置换组 ,（143）是3个循环，（2）是1个循环。这里，符号（143）表示从从最初的订单，第一个元素替换为第四个元素第四个接第三个，第三个接第一个，即。，。

选择循环分解的表示形式有很大的自由度，因为（1）循环是不相交的，因此可以以任何顺序指定，并且（2） 给定循环的任何旋转都指定了相同的循环（Skiena 1990，p.20）。因此，（431）（2）、（314）（2相同的排列。下表给出了每种类型的表示集的元素对称群三大要素，，按最低规范顺序排序（首先按周期长度，然后按元素的最低初始顺序）。

排列	符号
	(1)(2)(3)
	(1)(23)
	(3)(12)
	(123)
	(132)
	(2)(13)

循环分解置换可以在Wolfram语言具有函数置换周期[第页]和置换对应于循环分解可以使用计算排列列表[c（c）].这里，使用函数表示各个循环循环。在以前的版本中，循环分解的计算效率可能较低使用ToCycles（ToCycle）[第页]在中Wolfram语言包裹排列`和置换对应于循环分解可以使用计算From循环[c1级, ...,中国]在中Wolfram公司语言包裹排列`根据瓦尔迪（1991）Wolfram公司语言的代码ToCycles（ToCycle）是有史以来最晦涩的作品之一。

每置换群在符号可以唯一地表示为不相交的乘积周期（Skiena 1990年，第20页）。循环分解置换可以被视为班的置换组。

数字属于-循环在置换群订单的由提供

(1)

哪里是第一个的斯特林数友善的.更一般地说，让是的排列数确实有周期均为长度。有时被称为关联斯特林第一类数字（Comtet 1974，第256页）。工程量以系数的闭合形式表达式出现中的斯特林级数（Comtet 1974，第257页和267）。下表给出了以下三角形。

	斯隆
1	A008275号	1; 1, 1; 2, 3, 1;6, 11, 6, 1; 24, 50, 35, 10, 1; ...
2	A008306号	1;2; 6, 3; 24, 20; 120, 130, 15; 720, 924, 210; ...
三	A050211号	2;6; 24; 120, 40; 720, 420; 5040, 3948; 40320, ...
4	A050212号	6;24; 120; 720; 5040, 1260; 40320, 18144; ...
5	A050213型	24;120; 720; 5040; 40320; 36288072576。。。

功能由递推关系

(2)

哪里是下降阶乘，与初始条件

			(3)
			(4)

（Riordan 1958年，第85页；Comtet 1974年，第257页）。