搜索： a061554-编号：a061554
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1, 1, 0, 2, 0, 0, 3, 1, 0, 0, 6, 2, 1, 0, 0, 10, 8, 2, 1, 0, 0, 20, 16, 12, 2, 1, 0, 0, 35, 47, 25, 17, 2, 1, 0, 0, 70, 94, 97, 36, 23, 2, 1, 0, 0, 126, 244, 204, 179, 49, 30, 2, 1, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
2, 0, 0;
3，1，0，0；
6, 2, 1, 0, 0;
10, 8, 2, 1, 0, 0;
...
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经核准的
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1, 1, 2, 5, 13, 36, 104, 313, 977, 3152, 10486, 35880, 126039, 453725, 1671322, 6291148, 24170312, 94680426, 377788108, 1534169595, 6335718925, 26589240583, 113323479393, 490203781505, 2150975413846, 9569147610181, 43140286838567
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n-1}a（k）*C（n-1，楼层[n/2-（-1）^（n-k-1）*（k+1）/2]）。
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例子
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a（4）=3*（1）+3*（2）+1*（5）=13。
a（5）=6*（1）+4*（1。
a（6）=10*（1）+10*（2）+5*（5）+1*（13）+1*（36）=104。
1;
1, 1;
2, 1, 1;
3, 3, 1, 1;
6, 4, 4, 1, 1;
10、10、5、5、1、1。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，sum（k=0，n-1，a（k）*二项式（n-1，n\2+（-1）^（n-k）*（（k+1）\2）））}
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非n
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经核准的
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1，-2，1，-1，-2，1，5，-3，-2，1，2，9，-5，-2，1，-13，9，13，-7，-2，1，-5，-33，20，17，-9，-2，1，34，-27，-61，35，21，-11，-2，1，13，111，-73，-97，54，25，-13，-2，1，-89，80248，-151，-141，77，29，-15，-2，1，-34，-355，461，-269、-193、104、33、-17、-2、1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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G.f.作为三角形（推测）：（1-x）*（1-x+x^2）/（1-x*y+3*x^2-x^3*y+x^4）-罗伯特·伊斯雷尔2019年7月7日
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例子
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三角形的前几行是：
1;
-2, 1;
-1, -2, 1;
5, -3, -2, 1;
2, 9, -5, -2, 1;
-13, 9, 13, -7, -2, 1;
...
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MAPLE公司
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T： =矩阵（20，20，（n，k）->二项式（n-1，floor（（n）/2-（-1）^（n-k）*（k）/2）），形状=三角形[下]）：
A： =T^（-2）：
seq（seq（A[i，k]，k=1..i），i=1..20）#罗伯特·伊斯雷尔2019年7月7日
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作者
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经核准的
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2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 5, 8, 5, 7, 11, 11, 10, 10, 11, 11, 21, 16, 21, 12, 21, 16, 21, 36, 36, 28, 28, 28, 28, 36, 36, 71, 57, 64, 36, 56, 36, 64, 57, 71, 127, 127, 93, 93, 72, 72, 93, 93, 127, 127, 253, 211, 220, 130, 165, 90, 165, 130, 220, 211, 253
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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和{k=0..n}T（n，k）=2^（n+1）。
T（n，k）=二项式（n，floor（n+1-（-1）^（n-k）*（k+1））/2）+二项式-G.C.格雷贝尔2020年1月31日
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例子
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三角形开始：
2;
2, 2;
3, 2, 3;
4, 4, 4, 4;
7, 5, 8, 5, 7;
11, 11, 10, 10, 11, 11;
21, 16, 21, 12, 21, 16, 21;
36, 36, 28, 28, 28, 28, 36, 36;
71, 57, 64, 36, 56, 36, 64, 57, 71; ...
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MAPLE公司
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seq（seq（二项式（n，地板（（n+1-（-1）^（n-k）*（k+1））/2））+二项式，地板（k/2）），k=0..n），n=0..12）#G.C.格雷贝尔，2020年1月31日
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数学
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T[n_，k_]=二项式[n，Floor[（n+1-（-1）^（n-k）*（k+1））/2]]+二项式[n，Floor[k/2]]；表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格雷贝尔2020年1月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=二项式（n，（n+1-（-1）^（n-k）*（k+1））\ 2）+二项式\\G.C.格雷贝尔2020年1月31日
（Magma）[二项式（n，Floor（（n+1-（-1）^（n-k）*（k+1））/2））+二项式（n，Floor（k/2））：k in[0.n]，n in[0.12]]//G.C.格雷贝尔2020年1月31日
（Sage）[[二项式（n，floor（（n+1-（-1）^（n-k）*（k+1））/2））+二项式，（n，loor（k/2））for k in（0..n）]for n in（0..12）]#G.C.格雷贝尔2020年1月31日
（GAP）平面（列表（[0.12]，n->列表（[0..n]，k->二项式（n，Int（（n+1-（-1）^（n-k）*（k+1））/2））+二项式#G.C.格雷贝尔2020年1月31日
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经核准的
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(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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1;
1, 1;
-2, 1, 1;
-3，-3，1，1；
6, -4, -4, 1, 1;
10, 10, -5, -5, 1;
...
并将其反转，得到：
1
-1, 1;
3, -1, 1;
-3, 4, -1, 1;
5, -4, 5, -1, 1;
-5, 9, -5, 6, -1, 1;
...
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MAPLE公司
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A061554号：=proc（n，k）二项式（n+k，floor（k/2））；end:nmax:=13:A:=数组（1..nmax，1..nmax）：对于r从1到nmax do对于c从1到nmax doA[r，c]：=A061554号（c-1，r-c）*（-1）^楼层（（r-c）/2）；od:od:A:=linalg[inverse]（A）：对于r从1到nmax，对于c从1到r进行打印f（“%d，”，A[r，c]）；日期：日期：#R.J.马塔尔2008年1月31日
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数学
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nmax=13；
A=表格[A061554号[c-1，r-c]*（-1）^楼层[（r-c）/2]，{r，nmax}，{c，nmaxneneneep]；
A=反向[A]；
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关键词
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作者
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扩展
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经核准的
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A007318号
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| 按行读取的帕斯卡三角形：C（n，k）=二项式（n，k）=n/（k！*（n-k）！），0<=k<=n。
（原名M0082）
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+10
2065
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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A.W.F.Edwards写道：“它（三角形）早在1654年之前，也就是布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）写下三角算术的那一年，第一次被写下来，但正是这部作品首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中，帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后，在一系列附录中，展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”（A.W.F.Edwards，《帕斯卡的算术三角》，约翰·霍普金斯大学出版社（2002），第xiii页）
爱德华兹（Edwards）报告称，1708年，蒙莫特（Montmort）首先以帕斯卡（Pascal）命名三角形，称之为“帕斯卡组合表”（Table de M.Pascal pour les combinations），1730年，德莫伊夫（de Moivre）将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。（爱德华兹，第xiv页）
在中国，杨辉在1261年列出了（a+b）^n到n=6的系数，将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。（爱德华兹，第51页）
在波斯，Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形，而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。（爱德华兹，第52页）
在印度，Halayuda对Pingala关于音节组合的论文（约公元前200年）的评论（约900年）清楚地描述了三角形的加法计算。（Amulya Kumar Bag，古印度二项式定理，第72页）
同样在印度，C（n，k）的乘法公式于850年为Mahavira所知，并于1150年由Bhaskara重申。（爱德华兹，第27页）
在意大利，塔塔格里亚（Tartaglia）在他的《将军特拉塔托》（General trattato，1556年）中发表了三角图，而卡达诺（Cardano）则在他的《新作品》（Opus novum，1570年）中出版了三角图。（爱德华兹，第39、44页）-俄罗斯考克斯2022年3月29日
有时也称为Omar Khayyam三角形。
有时也称为杨辉三角形。
C（n，k）=n元集的k元子集的数目。
第n行给出了（1+x）^n展开式中的系数。
二项式（n+k-1，n-1）是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数（“条形和星形”参数-参见Feller）。
二项式（n-1，k-1）是n与k和的组合数（有序分区）。
二项式（n+k-1，k-1）是n的弱成分（有序弱分区）精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日
二项式（n，k）是使用步骤（1,0）和（1,1）从（0,0）到（n，k）的晶格路径的数量-乔格·阿恩特，2011年7月1日
如果将其视为无限下三角矩阵，则逆矩阵开始：
+1
-1 +1
+1 -2 +1
-1 +3 -3 +1
+1 -4 +6 -4 +1
可以看作是一个数组，由反对偶读取，其中第一行和第一列中的条目都是1，对于所有其他条目，A（i，j）=A（i-1，j）+A（i、j-1）。从（0,0）开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦加维2004年8月17日
此外，矩阵指数的下三角读数，其条目{j+1，j}等于j+1（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日
二项式（n-3，k-1）计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式（n-3，k-1）还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日
考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]]（其中“#”表示“时间”），如LL（m=3，k=3）=[2,2,2]，[2,2,2]，[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次，LL（m，k）的整数列表分区数等于二项式（m+k，k）。对于这个例子，我们发现4*5*6/3！=20=二项式（6,3）-托马斯·维德2007年10月3日
来自Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日：（开始）
二项式（n+k-1，k）是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数（参见Naish链接）。
二项式（n+k-1，k）也是以至少k为基数写的n个（或更少）数字的数目，其数字总和为k。例如，在十进制中，有二项式的（3+3-1,3）=10个3位数，其数字之和为3（参见A052217号)二项式（4+2-1,2）=10个四位数，其数字之和为2（参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号到A052224号（以及使用大于10的基数的进一步序列）。（结束）
用sigma_k（x_1，x_2，…，x_n）表示初等对称多项式。然后：
二项式（2n+1,2k+1）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n+1）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n，2k+1）=2n*sigma{n-1-k}（x_1，x_2，…，x_{n-1}），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n）），（i=1,2，…，n-1）。
二项式（2n，2k）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n+1,2k）=（2n+1）σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n+2）），（i=1,2，…，n）。（结束）
给定矩阵R和S，其中R（n，k）=二项式（n，k）*R（n-k）和S（n，k-）=二项式（n、k）*S（n-k。并且，R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp（x*T）*exp[R（.）*x]、exp。行多项式本质上是Appell多项式。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日
如果A007318号=M作为无限下三角矩阵，M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日
多项式的系数，例如f.exp（x*t）*（cosh（t）+sinh（t））-彼得·卢什尼2009年7月9日
三角形或国际象棋的总和，请参阅A180662号有关它们的定义，请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来，请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性，所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是，所有骑士和都与斐波那契数相关，即。，A000045号，但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
二项式（n，k）也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数，以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日
二项式（n，k）是从{1，…，k}增加到{1，..，n}的函数数，因为有二项式的（n，k）方法从共域{1，，…，n}.中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
二项式（n，k）是以k+1为中间元素的{1，…，n+1}的子集数。要了解这一点，请注意总和{j=0..min（k，n-k）}二项式（k，j）*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
这是晶格Z^n的坐标三角形，参见Conway-Sloane，1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日
定义一个有n行的有限三角形T（m，k），使T（m、0）=1为左列，T（m）=二项式（n-1，m）为右列，其他条目为T（m；k）=T（m-1，k-1）+T（m-l，k）（如帕斯卡三角形中所示）。T中所有项目的总和（有A000217号（n） 元素）为3^（n-1）-J.M.贝戈，2012年10月1日
集合{1，…，n}的置换p_1…p_n在位置i处下降，如果p_i>p_（i+1）。设S（n）表示{1，…，n}的置换p_1…p_n的子集，使得p_（i+1）-p_i<=1，。。。，n-1。然后二项式（n，k）给出了S（n+1）中k下降的置换数。或者，二项式（n，k）给出了S（n+1）中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日
和{n=>0}二项式（n，k）/n！=e/k！，其中e=exp（1），同时允许n<k，其中二项式（n，k）=0。同时求和{n>=0}二项式（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262号（k） /k！，对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日
下面公式中定义的Pascal矩阵P（X）的平方n X n子矩阵（前n行和n列）在左边乘以Vandermonde矩阵V（X_1，…，X_n）（第一行中有一个）时，将矩阵转换为V（X_1+X，…，X_n+X），同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日
C（n，k）=半长n+1的Dyck路径数，其中k+1“u”位于奇数位置，k+1返回x轴。示例：{U=U在奇数位置，_=返回x轴}二项式（3,0）=1（Uududd_）；二项式（3,1）=3[（Uududd_Ud_），（Ud_Uudd_）；二项式（3,2）=3[（Ud_Ud_U udd_），（Uudd_U d_U d），（U d_Uudd_ d）]；二项式（3,3）=1（Ud_Ud_uUd_）-罗杰·福特2014年11月5日
二项式系数二项式（n，k）给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群，每个个体的克隆都会使其世代指数增加1，从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
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这是一个分形过程：要获得从0到2^n-1的图案，请将从0到2^（n-1）-1的图案的下移（一行）副本附加到从0到2^（n-1）-1的图案右侧。（灵感来自“二项式堆”数据结构。）
生成指数序列：1’s计数序列：n的二进制展开中的1’s数（或n的二进制权重）（参见A000120号):
{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}
0到15的二进制扩展：
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111
（结束）
T（n，k）是[n+1]的集合分区w的数量，它们以rb（w）=k避免了1/2/3。对于ls（w）=k也适用，其中避免是在Klazar和ls的意义上，rb由Wachs和White定义。
满足本福德定律[Diaconis，1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日
设{A（n）}是一个具有恰好n个相同元素的集合，其中{A（0）}是空集E。设{A（n，k）}是{A（n）}的第k次迭代，其中{A（n，0）}＝{A（n）}。{A（n，1）}=A{（n）}的所有子集的集合，包括{A（n-）}和E。设A（n，k）是{A（n、k）}中的元素数。然后A（n，k）=C（n+k，k），每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
二项式（n-1，k）也是避免213和312的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n-1，k）也是避免132和213的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n，k）是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
C（n，k-1）是使用k种颜色的n维单纯形的面（或顶点）的无方向着色数。在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
Dilcher和Stolarsky：“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数（以及Pascal三角形）这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的：考虑帕斯卡三角形第k行中的项，不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日
皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特（1708）以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日
将三角形的第n条对角线视为序列b（n），n从0开始。通过保持第0项不变，然后考虑n的所有组成，从中形成一个新序列，取b（i）对每个组成中相应数字i的乘积，加上与偶数部分组成对应的项，减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行，每第二项乘以-1，后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列，此操作是自反转操作的特例，因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日
C（n，k）是n维单位超立方体中距给定顶点L1距离k（或：具有k 1d条最短路径）处的顶点数-艾坦·莱文2023年5月1日
C（n+k-1，k-1）是无限维框中距给定顶点L1距离处的顶点数，对于每m>=0，该框具有长度为2^m的k条边。等价地，给定一组包含k个可区分令牌的令牌，每个m>=0的值为2^m，C（n+k-1，k-1）是总值为n的令牌子集的数量-艾坦·莱文，2023年6月11日
第k列中的数字，即n>=k的C（n，k）形式的数字，称为k单纯形数-蓬图斯·冯·布罗姆森2023年6月26日
设r（k）是第k行，c（k）为第k列。用*表示卷积，用^表示重复卷积。然后r（k）*r（m）=r（k+m）和c（k）*c（m）=c（k+m+1）。这是因为r（k）=r（1）^k和c（k）=c（0）^k+1-艾坦·莱文2023年7月23日
长度n的排列数同时避免了图案231和312（分别为213和231；213和312）和k个下降（相当于k个上升）。排列a（1）a（2）…中的上升（即下降）。。。a（n）是位置i，使得a（i）<a（i+1）（相应地，a（i-田汉2023年11月25日
C（n，k）是m=0阶的广义二项式系数。通过公式C（n，k）=和{i=0..n-k}二项式（n+1，n-k-i）*斯特林2（i+m+1，i+1）*（-1）^i计算，其中m=0表示n>=0，0<=k<=n-伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科2023年2月26日
Akiyama-Tanigawa算法应用于对角线二项式（n+k，k），得出n的幂-谢尔·卡潘2024年5月3日
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参考文献
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配方奶粉
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a（n，k）=C（n，k）=二项式（n，克）。
C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1）。
三角形是对称的：C（n，k）=C（n、n-k）。
a（n+1，m）=a（n，m）+a（n、m-1），a（n；-1）：=0，a（m，n）:=0，n<m；a（0，0）=1。
C（n，k）=n/（k！（n-k）！）如果0<=k<=n，则为0。
G.f.：1/（1-y-x*y）=和_（C（n，k）*x^k*y^n，n，k>=0）
G.f.：1/（1-x-y）=和_（C（n+k，k）*x^k*y^n，n，k>=0）。
第n行的G.f:（1+x）^n=Sum_{k=0..n}C（n，k）*x^k。
柱k的G.f:x^k/（1-x）^（k+1）；[由更正沃纳·舒尔特，2022年6月15日]。
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）。
例如，对于n列：x^n*exp（x）/n！。
一般来说A007318号表示为：T（0，0）=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+m*T（n-1，k），其中n是行index，k是列；T（n，k）=m^（n-k）*C（n，k）。
设P（n+1）=（n+1）的整数分区数；设p（i）=（n+1）的第i个分区的部分数；设d（i）=（n+1）的第i个分区的不同部分的数目；设m（i，j）=（n+1）的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P（n+1），P（i）=k+1}定义为从i=1到i=P（n/1）的和，但只考虑具有P（i）=（k+1）部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d（i）}=Product从j=1运行到j=d（i）。那么C（n，k）=和{p（i）=（k+1），i=1.p（n+1）}p（i[产品{j=1..d（i）}m（i，j）！]。例如，C（5，3）=10，因为n=6有以下m=3部分的分区：（114），（123），（222）。对于它们的多重性，我们有：（114）：3/(2!*1!) = 3; （123）：3/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C（5,3）-托马斯·维德2005年6月3日
通用格式：1+x*（1+x）+x^3*（1++x）^2+x^6*（1+x）^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日
C（t+p-1，t）=和{i=0..t}C（i+p-2，i）=和}i=1..p}C（i+t-2，t-1）。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和，等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日
设A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（n+1）/2）*（1+x）^n是平面三角形的g.f:
A（x）=1+（x+x^2）+（x^3+2*x^4+x^5）+（x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9）+。。。
则A（x）等于级数Sum_{n>=0}（1+x）^n*x^n*Product_{k=1..n}（1-（1+x）*x^（2*k-1））/（1-（1+x）*x ^（2*k））；
此外，A（x）等于连分数1/（1-x*（1+x）/（1+x*（1-x）*（1+x）/）。
这些公式是由于（1）q级数恒等式和（2）部分椭圆θ函数表达式。（结束）
三角形的第n行（n>=0）由无穷矩阵P^n的第n对角化给出，其中P=（P_{i，j}），i，j>=0是生产矩阵
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
…（结束）
三角形的第n行也由由递归P_0（x）=1，P_1（x）=x+1，P_n（x-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日
（1+x）^n=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*Sum_{i=0..k}k^（n-i）*二项式（k，i）*x^（n-i）/（n-i）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）=1+（x+y*x）/（E（0）-（x+y*x）），其中E（k）=1+；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日
例如：E（0）-1，其中E（k）=2+x*（1+y）/（2*k+1-x*（1+y）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
通用系数：1+x*（1+x）*（1+x^2*（1++x）/（W（0）-x^2-x^3）），其中W（k）=1+（1+x）*x^（k+2）-（1+x）*xqu（k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
和{n>=k}1/C（n，k）=k/（k-1）对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日
将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318号（x） =P（x）。然后利用：xD:^n=x^n*（d/dx）^n和B（n，x），Bell多项式(A008277号),
A） P（x）=经验（x*dP）=经验[x*（e^M-I）]=经验[M*B（.，x）]=（I+dP）^B（.、x）
C） P（x）^y=P（y*x）。P（2倍）=A038207号（x） =exp[M*B（.，2x）]，n维超立方体的面向量。
D） P（x）=[St2]*exp（x*M）*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St1）
E） =[St1]^（-1）*（I+dP）^x*[St1]=[St2]*
递归方程：T（n，k）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）-T。注意，将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.
行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系，即exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（1+3*x+3*x^2/2！+x^3/3！）=1+4*x+10*x^2！+20*x^3/3！+35*x^4/4！+。。。。此属性更普遍地适用于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，其中f（x）是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如，请参见，A055248号和A106516号.
让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2，。。。定义P（k）为下单位三角形块数组
/I_k 0（_k 0）\
\0p/具有k×k单位矩阵I_ k作为左上块；特别地，P（0）=P。无穷乘积P（0，P（1）*P（2）*。。。，这是明确定义的，等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积，即*P（2）*P（1）*PA130534型.（结束）
C（a+b，C）=和{k=0..a}C（a，k）*C（b，b-C+k）。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广，其中a=b=c=n:c（2*n，n）=Sum_{k=0..n}c（n，k）^2。有关新公式的动画，请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日
Pascal矩阵P（n，x）=（1+x）^n的行多项式与Bernoulli多项式Br（n，x）及其本影合成逆Bv（n，x=（-Br（.，-Bv（.，x））^n=（-1）^n Br，M是对角矩阵图（1，-1,1，-1，…），Br是伯努利多项式系数的矩阵，Bv是由Br（n，Bv（.，x））=x^n=Bv（n，Br（.，x））定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^（-1）-汤姆·科普兰2015年9月5日
1/（1-x）^k=（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=（1+x）^k-加里·亚当森2016年10月17日
Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归（参见2017年8月10日的备注A046521号，也供参考），Boas-Buck序列b（n）={repeat（1）}。T（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{j=k..n-1}T（j，k），对于n>=1，T（n、n）=1。通过T（n，k）=二项式（n，k），这可以简化为已知的二项式恒等式（例如，Graham等人，第161页）-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
C（（p-1）/a，b）==（-1）^b*fact_a（a*b-a+1）/fact_a（a*b）（mod p），其中fact_n表示第n个多因子，a除以p-1，方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日
和{k=0..n}C（n+k，2*k+1）=F（2*n）。
和{k=0..n}C（n+k，2*k）=F（2*n+1）。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
...
有C（4,2）=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB，<>（）[]，以便每个瓮获得至少一个球，即<BBB>（B）[B]、<B>（BBB。
从{1,2}到{1,2,3,4}，共有C（4,2）=6个递增函数，即{（1,1），（2,2）}，{（1.1），（2，3）}、{（1，1）、（2，4）}和{（1.3），（2.4）}-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C（4,2）=6个子集，即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
{A（0）}=E的连续k次迭代是E；E；E、 ；。。。；相应的元素数为1,1,1，。。。{A（1）}={A}的连续k次迭代是（省略括号）A；a、 E；a、 E，E；。。。；相应的元素数为1,2,3，。。。{A（2）}={A，A}的连续k次迭代是aa；aa、a、E；aa、a、E和a、E与E；。。。；相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
k列的Boas-Buck型递推=4:T（8，4）=（5/4）*（1+5+15+35）=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
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MAPLE公司
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数学
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压扁[表[二项式[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*）
压扁[系数列表[系数列表[Series[1/（1-x-x*y），{x，0，12}]，x]，y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（公理）--（开始）
)设置expose添加构造函数OutputForm
帕斯卡（0，n）==1
帕斯卡（n，n）==1
帕斯卡（i，j|0<i和i<j）==帕斯卡
pascalRow（n）==[pascal（i，n）for i in 0..n]
displayRow（n）==输出中心空白分隔pascalRow（n）
对于0..20中的i，重复显示第i行--（结束）
（Python）#请参阅Hobson链接。其他计划：
从数学导入prod，阶乘
定义C（n，k）：返回prod（范围（n，n-k，-1））//阶乘（k）#M.F.哈斯勒，2019年12月13日，2022年4月29日更新，2023年2月17日更新
（哈斯克尔）
a007318 n k=a007318_tabl！！不！！k个
a007318_row n=a007318-tabl！！n个
a007318_list=连接a007318-tabl
a007318_tabl=迭代（\row->zipWith（+）（[0]++行）（row++[0]））[1]
--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences
（极大值）create_list（二项式（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（Sage）def C（n，k）：返回子集（range（n），k）.cardinality（）#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n，k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日
（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
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交叉参考
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等于A102363号——David G.Williams（大卫·威廉姆斯（AT）Paxway.com），2006年1月23日
囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220美元,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,A202750型,2011年12月26日,A047999号,A026729号,A052553号,A051920美元,A193242号.
斐波那契-泛三角形：A027926号,A036355号,A037027号,A074829美元,A105809号,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.
m=2..12时广义二项式系数（n，k）_m的三角形（或广义Pascal三角形）：A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.
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关键词
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作者
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扩展
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检查了所有链接，删除了8个似乎永远丢失的链接，这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日
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状态
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经核准的
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A039599号
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| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
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+10
133
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,4
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。示例：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud（d）u（d），u（d）u（d）du，u（d）duu（d）和duu（d）u（d）（向下返回x轴显示在括号之间）-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,0,0,0，…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1都在超对角和次对角中，[1，2，2，2，2，2，2，…]在主对角线中-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuuudd，uuuddu，uuudud，ududuu，uuduud，uduudu，uudduu，uduuud，uududu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230元,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边（非边）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边＝1的9边形（非边形）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）中内切的正规n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，ρ（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型):
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034号)，出现。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
乔纳森·比格利（Jonathan E.Beagley）和保罗·德鲁布（Paul Drube），Tableau反演的组合数学，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.44。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个打字错误]
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配方奶粉
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T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。总和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108号（n+m））；A000108号：加泰罗尼亚语的数字。
T（n，0）=A000108号（n） ；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1，0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*a（k）=（m+2）^n如果Sum_｛k>=0｝a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1）。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（结束）
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108号（n+j）-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2: 2 3 1
3: 5 9 5 1
4: 14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6:132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n,3）+1*R（n/5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho（N）），在N>=1时相同。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司，2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
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数学
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表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=非b
（Magma）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：在[0.n]]中的k：在[0.15]]中的n//文森佐·利班迪2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 5, 0, 4, 0, 1, 5, 0, 9, 0, 5, 0, 1, 0, 14, 0, 14, 0, 6, 0, 1, 14, 0, 28, 0, 20, 0, 7, 0, 1, 0, 42, 0, 48, 0, 27, 0, 8, 0, 1, 42, 0, 90, 0, 75, 0, 35, 0, 9, 0, 1, 0, 132, 0, 165, 0, 110, 0, 44, 0, 10, 0, 1, 132, 0, 297, 0, 275, 0, 154, 0, 54, 0, 11, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0.8
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评论
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有墙行走：从（0,0）到（n，m）的n步行走次数的三角形，其中每一步都从（a，b）到（a+1，b+1）或（a+1、b-1），并且路径保持在非负象限内。
T（n，m）是长度n结束于高度m的Dyck路径的左因子数。例如：T（4,2）=3，因为我们有UDUU、UUDU和UUUD，其中U=（1,1）和D=（1，-1）。（这基本上是与前面的wall属性walk不同的公式。）-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡三角形相同，只是垂直条左侧可能没有数字。”[康韦和史密斯]
对于行多项式p（n，x）：=和{m=0..n}（a（n，m）*x^m）：c（z^2）/（1-x*z*c（z*2））。行总和（x=1）：A001405号（中心二项式）。
在夏皮罗等人的语言中，这种下三角（普通）卷积阵列被视为矩阵，属于Riordan群的Bell子群。给定Bell-matrix逆矩阵的m=0列的g.f.Ginv（x）（此处A049310型)由Ginv（x）=（f^{（-1）}（x））/x从其m=0列的g.f.（此处g（x）=1/（1+x^2））获得，其中f（x）：=x*g（x），f^{（-1）{是f的成分反函数（此处我们发现Ginv，0）=1，c（x^2”）。参见Shapiro等人的参考。
{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式132并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有2134、4231和3214。{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式321并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1324和2134。{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式213并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1432和4231-Emeric Deutsch公司2006年10月12日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; （0.3）->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; （3，4）->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
按不带零的列，第n行=A000108号与自身卷曲了n次；等于A=（1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…），则第n行=A^（n+1）的系数-加里·亚当森2009年5月13日
作为右上角三角形，行表示5-sqrt（24）的幂：
5-平方英尺（24）^1=0.101020514。。。
5平方码（24）^2=0.010205144。。。
5平方（24）^3=0.001030928。。。
（除以sqrt（96），这些幂表示A007318号，中间列为1/sqrt（96）。）（结束）
T（n，k）是长度n的离散Dyck路径数（即长度n的Motzkin路径，在正高度没有（1,0）步），具有k（1,0-步）。例如：T（5,3）=4，因为表示U=（1,1），D=（1，-1），H=1,0），我们有HHUD、HHUDH、HUDHH和UDHHH-Emeric Deutsch公司2011年6月1日
设S（N，x）表示x中的第N个切比雪夫S多项式（参见A049310型，参见[W.Lang]）。那么x^n=sum_{k=0..n}T（n，k）*S（k，x）-L.埃德森·杰弗里2012年9月6日
这个三角形a（n，m）也出现在有理数ρ（n）=2*cos（Pi/n）=R（n，2）上代数数的幂ρ
rho（N）^N=总和（a（N，m）*R（N，m+1），m=0..N），N>=0，在N>=1中相同。R（N，j）=S（j-1，x=rho（N））（切比雪夫S(A049310型)). 请参阅以下对此的评论A039599号（甚至权力）和A039598号（奇数幂）。证据：见L.Edson Jeffery于2012年9月6日发表的评论，该评论源于T（n，k）（此处称为a（n，k））是Riordan三角形的倒数A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年9月21日
贝尔型Riordan三角形（c（x^2），x*c（x*2））的所谓A序列是A（x）=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分中给出的关于a（n，m）=a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），n>=1和m>=1的输入的递归性。这个Riordan三角形的Z序列是Z（x）=x，它证明了递归a（n，0）=a（n-1,1），n>=1，a（0,0）=1。有关Riordan三角形的A序列和Z序列，请参阅下面的W.Lang链接A006232号. -沃尔夫迪特·朗2013年9月22日
三角形行描述了李代数sl（2）的标准（二维）表示的张量幂分解为不可约。因此，a（n，m）是标准表示的第n张量幂的第m（m+1）维）不可约表示的重数-Mamuka Jibladze公司2015年5月26日
Riordan行多项式p（n，x）属于Boas-Buck类（参见中的注释和参考A046521号)因此，它们满足Boas-Buck恒等式：（E_x-n*1）*p（n，x）=（E_x+1）*Sum_{j=0..n-1}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*p（n-1-j，x），对于n>=0，其中E_x=x*d/dx（Euler算子）。对于三角形a（n，m），这需要对公式部分中给出的列m序列进行递归-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
对于第n行，非零值表示由n+1个不相交的拱在x轴上下形成的奇数分量（环），具有以下约束：顶部在位置1和下一个连续的奇数位置有底部（（n+3）/2）起始拱。所有其他起始顶部拱门的位置都是均匀的。底部拱门是一道彩虹拱门。如果分量=1，则拱结构为半弯曲解。
示例：对于第3{0，2，0，1}行，有3个拱配置：2个拱配置的组件=1；1有一个组件=3。c=组件，U=顶部拱从奇数位置开始，U=顶部拱在偶数位置开始；d=顶部拱结束：
.
top UuUdUddd c=3 top UdUuUddd c=1 top Ud UdUudd c=1
/\ /\
//\\ / \
// \\ / /\ \ /\
// \\ / / \ \ / \
///\ /\\\ /\ / / /\ \ \ /\ /\ / /\ \
\\\ \/ /// \ \ \ \/ / / / \ \ \ \/ / / /
\\\ /// \ \ \ / / / \ \ \ / / /
\\\/// \ \ \/ / / \ \ \/ / /
\\// \ \ / / \ \ / /
\/ \ \/ / \ \/ /
\ / \ /
\/ \/
对于第4{2，0，3，0，1}行，有6个拱形配置：2有一个组件=1；3具有组件=3:1具有组件=1。（结束）
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参考文献
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J.H.Conway和D.A.Smith，《四元数和八元数》，A K Peters，Ltd.，马萨诸塞州纳提克，2003年。见第60页。MR1957212（2004a:17002）
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链接
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W.-J.Woan，加泰罗尼亚小径面积，离散数学。，226 (2001), 439-444.
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配方奶粉
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a（n，m）：如果n<m或n-m奇数，则=0，否则a（n、m）=（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）；
a（n，m）=（4*（n-1）*a（n-2，m）+2*（m+1）*a。
第m列的G.f.：c（x^2）*（x*c（x*2））^m，其中c（x）=加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.
如果n>0且m>=0，a（n，m）=a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），a（0，0）=1，a（0,m）=0，如果m>0，a-亨利·博托姆利2001年1月25日
如果m+n是奇数，则求和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=0；和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A000108号（（m+n）/2）如果m+n是偶数-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
T（n，k）=和{i=0..n，（-1）^（n-i）*C（n，i）*和{j=0..i，C（i，j）*（C（i-j，j+k）-C（i-j、j+k+2））}}；k列具有例如，f.BesselI（k，2x）-BesselI（k+2,2x）-保罗·巴里2006年2月16日
和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
行多项式C（n，x）的递归性：=和{m=0..n}a（n，m）*x^m=x*Sum_{k=0..n}Chat（k）*C（n-1-k，x），n>=0，其中C（-1，1/x）=1/x和Chat（k）=A000108号（k/2）如果n是偶数，否则为0。从行多项式的o.g.f:g（z；x）：=Sum_{n>=0}C（n，x）*z^n=C（z^2）*（1+x*z*g（z，x））开始A000108号. -艾哈迈特·扎希德·库乔和沃尔夫迪特·朗2015年8月23日
m列序列的Boas-Buck递推（见上文注释）为：a（n，m）=（（m+1）/（n-m））*Sum_{j=0..n-1-m}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*a（n-1-j，k），对于n>m>=0，输入a（m，m）=1-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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例子
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三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2:1 0 1
3: 0 2 0 1
4: 2 0 3 0 1
5: 0 5 0 4 0 1
6: 5 0 9 0 5 0 1
7: 0 14 0 14 0 6 0 1
8: 14 0 28 0 20 0 7 0 1
9:0 42 0 48 0 27 0 8 0 1
10:42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1
例如，第四行对应于多项式p（3，x）=2*x+x^3。
生产矩阵为
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,0，0,1,0，1（结束）
列k=2，n=6的Boas-Buck递推：a（6，2）=（3/4）*（0+2*a（4，2）+0+6*a（2，2））=（3/4）*（2*3+6）=9-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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MAPLE公司
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T： =proc（n，k）：如果n+k mod 2=0，则（k+1）*二项式（n+1，（n-k）/2）/（n+1）else 0 fi end：对于从0到13的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#生成三角形序列；Emeric Deutsch公司2006年10月12日
F： =proc（l，p）如果（（l-p）mod 2）=1，则为0，否则为（p+1）*l/（（（l-p）/2）！*（（l+p）/2+1）！）；fi；结束；
r： =n->[序列（F（n，p），p=0..n）]；[序列（r（n），n=0..15）]#N.J.A.斯隆2011年1月29日
A053121号：=proc（n，k）选项记忆`如果`（k>n或k<0，0，`如果`（n=k，1，
进程名（n-1，k-1）+进程名（n-1，k+1））结束进程：
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数学
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a[n，m]/；n<m||奇数Q[n-m]=0；a[n_，m_]=（m+1）二项式[n+1，（n-m）/2]/（n+1）；扁平[表[a[n，m]，{n，0，12}，{m，0，n}][[1；；90]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a053121 n k=a053121_tabl！！不！！k个
a053121_row n=a053121.tabl！！n个
a053121_tabl=迭代
（\row->zipWith（+）（[0]++行）（尾行++[0，0]））[1]
（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于k in（0..n-1）：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k+1]
返回M
（PARI）T（n，m）=如果（n<m||（n-m）%2，返回（0））；（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）
对于（n=0，9，对于（m=0，n，打印1（T（n，m）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年3月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A039598号
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| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 |
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+10
68
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1, 2, 1, 5, 4, 1, 14, 14, 6, 1, 42, 48, 27, 8, 1, 132, 165, 110, 44, 10, 1, 429, 572, 429, 208, 65, 12, 1, 1430, 2002, 1638, 910, 350, 90, 14, 1, 4862, 7072, 6188, 3808, 1700, 544, 119, 16, 1, 16796, 25194, 23256, 15504, 7752, 2907, 798, 152, 18, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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Riordan阵列（（1-2x-sqrt（1-4x））/（2x^2），（1-2x sqrt）/（2 x））。反向数组为A053122号. -保罗·巴里2005年3月17日
T（n，k）是从原点开始、保持在上半平面内并在高度k处结束的n步的步数，每个步都在n、S、W或E方向上（参见R.K.盖伊参考文献，第5页）。例如：T（3,2）=6，因为我们有ENN、WNN、NEN、NWN、NNE和NNW-Emeric Deutsch公司2005年4月15日
三角形T（n，k），0<=k<=n，由T（0,0）=1给出的行读取，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=2*T（n-1,0）+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
从（0,0）到（2n+1,2k+1）的（2n+1）步数，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成，其中路径保持在非负象限。示例：T（2,0）=5，因为我们有uuudd、uudud、uuddu、uduud、ududu；T（2,1）=4，因为我们有uuud，uuudu，uuduu，uduuu；T（2,2）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日和4月18日
按行读取的三角形：T（n，k）=从（0,0）到（n，k）的晶格路径数，这些路径不低于y=0线，由步骤U=（1,1），D=（1，-1）和两种类型的步骤H=（1,0）组成；示例：T（3,1）=14，因为我们有UDU、UUD、4个HHU路径、4个HUH路径和4个UHH路径-菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
如果k<0或如果k>n，T（n，0）=x*T（n-1,0）+T（n-1.1），T（n，k）=T（n-1，k-1）+y*T（n-1，k）+T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; （0.3）->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; （3，4）->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
带偏移量[1,1]，这是（普通）卷积三角形a（n，m），m列的o.g.f.由（c（x）-1）^m给出，其中c（xA000108号参见Riordan评论保罗·巴里.
T（n，k）也是具有k个不动点的（n链的）保序完全变换的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
T（n，k）/2^（2n+1）=n=2n+3.-阶最大平坦低通数字微分器的系数Pavel Holoborodko（Pavel（AT）Holoborodko.com），2008年12月19日
符号三角形S（n，k）：=（-1）^（n-k）*T（n，k）提供了f（n，l）：=l（2*l）*5^n*f（2*1）^A000045号，L=卢卡斯数A000032号)和F（4*l*（k+1）），k=0。。。，n、 对于每个l>=0：f（n，l）=Sum_{k=0..n}S（n，k）*f（4*l*（k+1）），n>=0，l>=0。证明：l.h.s.的o.g.f.，g（l；x）：=Sum_{n>=0}f（n，l）*x^n=f（4*l）/（1-5*f（2*l）^2*x）与r.h.s的o.f.相匹配：在交换n-和k-求和之后，s=（C（x）/x，C（x保罗·巴里)，C（x）：=1-C（-x），o.g.f.C（x）为A000108号（加泰罗尼亚数字），用于在索引移位后获得第一个和{k>=0}F（4*l*（k））*GS（k；x），三角形S的k列的o.g.F是GS（k；x）：=和{n>=k}S（n，k）*x^n=C（x）^（k+1）/x。结果是GF（l；C（x*F（4*l）/（1-l（4*1）*x+x^2）（参见A049670号、和A028412号). 如果使用，则恒等式L（4*n）-5*F（2*n）^2=2（在科西的书中[参考A065563号]这是第15号，第88页，归于卢卡斯，1876年），证明从上面恢复了l.h.s.的o.g.f.，归结为加泰罗尼亚o.g.f上的一个微不足道的恒等式，即1/c^2（-x）=1+2*x-（x*c（-x））^2-沃尔夫迪特·朗2012年8月27日
行多项式R（x）的O.g.f:=和{k=0..n}a（n，k）*x^k：
这个Riordan三角形的A序列是[1,2,1]，Z序列是[2,1]。请参阅下面的W.Lang链接A006232号详细信息和参考资料-沃尔夫迪特·朗2012年11月13日
T（n，k）=A053121号（2*n+1，2*k+1）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n+1）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），表示单位圆（长度单位为1）中正规n-gon中均匀诱导的对角线/边长比R（n、2*（k+1））=S（2*k+1，ρ（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型)：rho（N）^（2*N+1）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*（k+1）），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034号)，出现。关于ρ（n）的偶幂，请参见A039599号.（结束）
示例部分中的三对角Toeplitz生产矩阵P对应于简单李代数A_n的无符号Cartan矩阵，因为n趋于无穷大（参见Damianou ref.inA053122号). -汤姆·科普兰，2015年12月11日（2015年12月月28日修订）
T（n，k）是从原点开始，在n或E方向上，由n个台阶组成的非交叉步行对的数量，这两条路径的端点之间的水平距离为k。参见Shapiro 1976-彼得·巴拉2017年4月12日
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参考文献
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Xi Chen、H.Liang和Y.Wang，递归矩阵的全正性《线性代数及其应用》，第471卷，2015年4月15日，第383-393页。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，J.化学。Inf.计算。科学。，35 (1995) 743-751. [带注释的扫描副本]
彼得·希金斯，序保映射半群的组合结果，数学。程序。外倾角。《联邦诉讼法》第113卷（1993年），第281-296页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚语三角形数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.4）。
L.W.Shapiro、W.-J.Woan和S.Getu，跑步、滑梯和精彩瞬间，SIAM J.Alg。离散方法，4（1983），459-466。
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。，14, 83-90, 1976.
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。14（1976年），第1期，第83-90页。[带注释的扫描副本]
Charles Zhao-Chen Wang和Yi Wang，加泰罗尼亚三角的总正性，离散数学。338（2015），第4期，566--568。MR3300743。
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配方奶粉
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第n行：C（2n，n-k）-C（2n、n-k-2）。
a（n，k）=C（2n+1，n-k）*2*（k+1）/（n+k+2）=A050166级（n，n-k）=a（n-1，k-1）+2*a（n-1，k）+a（n-l，k+1）[如果n<0或n<k，a（0，0）=1，a（n，k）=0]-亨利·博托姆利2001年9月24日
T（n，0）=A000108号（n+1），如果n<k，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+2），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A000108号（m+n+1）。（结束）
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，…]生成，其中M=一个无限三对角矩阵，在上对角线和次对角线中有1，在主对角线上有[2,2,2，…]-加里·亚当森2006年12月17日
G.f.：G（t，x）=C^2/（1-txC^2），其中C=（1-sqrt（1-4x））/（2x）是加泰罗尼亚函数。从这里G（-1，x）=C，即交替行和是加泰罗尼亚数字(A000108号). -Emeric Deutsch公司2007年1月20日
Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*（k+1）=4^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月30日
G.f.：1/（1-xy-2x-x^2/（1-2x-x^2）/（1-2x-x^2。
让U表示主对角线上或下有1的下单位三角形数组，其他地方有0。对于k=0,1,2，。。。将U（k）定义为下单元三角形块数组
/I_k 0（_k 0）\
\0 U/将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别是，U（0）=U。那么这个数组等于双无限乘积（…*U（2）*U（1）*U。（结束）
O.g.f.g（x，t）=（1/x）*（x/f（x，t））的级数反转，其中f（x，t=（1+（1+t）*x）^2/（1+t*x）。
1+x*d/dx（G（x，t））/G（x，t）=1+（2+t）*x+（6+4*t+t^2）*x^2+。。。是o.g.fA094527美元.（结束）
猜想：和{k=0..n}T（n，k）/（k+1）^2=H（n+1）*A000108号（n） *（2*n+1）/（n+1），其中H（n+1”）=Sum_{k=0..n}1/（k+1）-沃纳·舒尔特2015年7月23日
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^2=（2*n+1）*二项式（2*n，n）。(A002457号)
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^3=4^n*（3*n+2）/2。
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^4=（2*n+1）^2*二项式（2*n，n）。
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^5=4^n*（15*n^2+15*n+4）/4。（结束）
用L表示这个下三角数组；则L*转置（L）是Hankel矩阵（1/（i+j）*二项式（2*i+2*j-2，i+j-1））_i的Cholesky因子分解，j>=1=A172417号读取为方形数组。见张伯兰，第1669页-彼得·巴拉2023年10月15日
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例子
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三角形T（n，k）开始：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0: 1
1: 2 1
2: 5 4 1
3: 14 14 6 1
4: 42 48 27 8 1
5: 132 165 110 44 10 1
6: 429 572 429 208 65 12 1
7: 1430 2002 1638 910 350 90 14 1
8: 4862 7072 6188 3808 1700 544 119 16 1
9: 16796 25194 23256 15504 7752 2907 798 152 18 1
10:58786 90440 87210 62016 33915 14364 4655 1120 189 20 1
生产矩阵开始：
2, 1
1、2、1
0, 1, 2, 1
0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1
重现性：T（5,1）=165=1*42+2*48+1*27。Riordan A序列为[1,2,1]。
Riordan Z序列[2,1]的递归：T（5,0）=132=2*42+1*48。（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^5=5*R（n，2）+4*R。对于N=5（只有一条明显对角线的五边形），度数δ（5）=2，因此R（5，4）和R（5、6）可以减少，即分别为R（5,1）=1和R（5,6）=-R（5,1）=-1。因此，rho（5）^5=5*R（N，2）+4*1+1*（-1）=3+5*R。（结束）
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->二项式（2*n，n-k）-二项式（2*n，n-k-2）#N.J.A.斯隆2013年8月26日
PMatrix（10，n->二项式（2*n，n）/（n+1））#彼得·卢什尼2022年10月7日
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数学
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黄体脂酮素
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（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行。
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n）内的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
b=非b
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
（Magma）/*作为三角形：*/[[二项式（2*n，n-k）-二项式（2*n，n-k-2）：k在[0.n]]中：n在[0.15]]中//文森佐·利班迪2015年7月22日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A126869号
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| a（n）=和{k=0..n}二项式（n，floor（k/2））*（-1）^（n-k）。 |
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+10
60
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1, 0, 2, 0, 6, 0, 20, 0, 70, 0, 252, 0, 924, 0, 3432, 0, 12870, 0, 48620, 0, 184756, 0, 705432, 0, 2704156, 0, 10400600, 0, 40116600, 0, 155117520, 0, 601080390, 0, 2333606220, 0, 9075135300, 0, 35345263800, 0, 137846528820, 0, 538257874440, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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计算步长集为{-1，+1}的一维整数格上返回长度为n的游动。
G=SO（2）中随机矩阵的迹的矩序列。如果X=tr（A）是一个随机变量（A在G上用Haar测度分布），则A（n）=E[X^n]。
此外，对于所有k>2，USp（2）=SU（2）中随机矩阵的k次幂迹的矩序列。
（结束）
0,1,0,2,0,6的Hankel变换，。。。为0，-1,0,4,0，-16,0，。。。对于一般术语I*（-4）^（n/2）（1-（-1）^n）/4，I=sqrt（-1）。
1，1，0，2，0，6，…的Hankel变换，。。。（其总面积为1+x/sqrt（1-4*x^2））1964年11月.（结束）
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参考文献
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杨林林，杨雪莲，参数帕斯卡菱形。小谎。问，57:4（2019），337-346。
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链接
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弗朗西斯科·菲特（Francesc Fite）、基兰·凯德拉亚（Kiran S.Kedlaya）、维克托·罗特（Victor Rotger）和安德鲁·萨瑟兰（Andrew V.Sutherland），属2中的Sato-Tate分布和Galois自同态模，arXiv预印本arXiv:1110.6638[math.NT]，2011。
Kiran S.Kedlaya和Andrew V.Sutherland，超椭圆曲线、L-多项式和随机矩阵，arXiv:0803.4462[math.NT]，2008-2010。
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配方奶粉
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a（2*n）=二项式（2*n，n）=A000984号（n） ；a（2*n+1）=0。
a（n）=Sum_｛k=0..n｝A107430号（n，k）*（-1）^（n-k）。
a（n）=（1/Pi）*积分{t=0..Pi}cos^n（t）dt。（结束）
例如：I_0（2x），其中I_n（x）是作为x的函数的修正贝塞尔函数-本杰明·菲尔拉鲍姆，2011年3月10日
a（n）=（1/Pi）*积分{x=-2..2}x^n/sqrt（（2-x）*（2+x））-彼得·卢什尼2011年9月12日
a（n）=（-1）^楼层（n/2）超几何（[-n，-n]，[1]，-1）-彼得·卢什尼2011年11月1日
例如：E（0）/（1-x），其中E（k）=1-x/（1-x/（x-（k+1）^2/E（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月5日
例如：1+x^2/（Q（0）-x^2），其中Q（k）=x^2+（k+1）^2-x^2*（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月28日
G.f.：1/（1-2*x^2*Q（0）），其中Q（k）=1+（4*k+1）*x^2/（k+1-x^2*（2*k+2）*（4*k+3）/（2*x*2*（4xk+3）+（2*k+3）/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-2*x/（2*x+（k+1）/（x*（2*k+1））/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日
G.f.:G（0）/（1+x），其中G（k）=1+x*（2+5*x）*（4*k+1）/（（4*k+2）*（1+x）^2-2*（2*k+1）*（4*k+3）*x*（2+5*x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年1月19日
a（n）=2^n*雅可比指数（n，0，-1/2-n，-3））-彼得·卢什尼2014年8月2日
a（n）=（2^（n-1）*（（-1）^ n+1）*伽马（（n+1）/2））/（sqrt（Pi）*伽玛（（n+2）/2）-彼得·卢什尼2014年9月10日
a（n）=n*[x^n]超深层（[]，[1]，x^2）-彼得·卢什尼2015年1月31日
a（n）=2^n*超深层（[1/2，-n]，[1]，2）-彼得·卢什尼，2015年2月3日
a（n）=（-1）^floor（n/2）*Sum_{k=0..n}（-1）*k*二项式（n，k）^2。
递归D-有限：a（n）=4*（n-1）/n*a（n-2），a（0）=1，a（1）=0。（结束）
a（n）~2^n*（（-1）^n+1）/sqrt（2*Pi*n）。（结束）
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例子
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a（4）=6{UUDD，UDUD，UDDU，DUUD，DUDU，DDUU}。
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MAPLE公司
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序列（（-1）^（n/2）*pochhammer（-n，n/2）/（n/2）！，n=0..43）#彼得·卢什尼2013年5月17日
seq（n！*系数（级数（超几何（[]，[1]，x^2），x，n+1），x（n），n=0..42）#彼得·卢什尼2015年1月31日
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数学
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表[（-1）^楼层[n/2]超几何PFQ[{-n，-n}，{1}，-1]，{n，0，30}](*彼得·卢什尼2011年11月1日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a126869 n=a204293_当前（2*n）！！n个--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月14日
（鼠尾草）
A126869号=λn：（2^（n-1）*（（-1）^ n+1）*γ（（n+1）/2））/（sqrt（pi）*gamma（（n+2）/2）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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