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提示 （来自的问候整数序列在线百科全书!) A000032号 Lucas数从2:L（n）=L（n-1）+L（n-2）开始，L（0）=2，L（1）=1。 （原名M0155） 1376 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式) 抵消 0,1 评论 囊性纤维变性。A000204号对于以1开头的Lucas数字。 此外，当n>=2时，循环图C_n的独立顶点集和顶点覆盖数-埃里克·韦斯特因2014年1月4日 此外，当n>=3时，n圈图C_n中的匹配数-埃里克·韦斯特因2017年10月1日 对于n>=3的n-helm图，给出了最大独立顶点集（和最大顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因，2017年5月27日 同时给出了n>=3时n-sunlet图的最大独立顶点集（和最大顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月7日 这也是霍拉达姆层序（2，1，1，一）-罗斯·拉海耶2003年8月18日 对于不同素数p，q，L（p）与1 mod p同余，L（2p）与3 mod p和L（pq）同余1+q（L（q）-1）mod p。此外，L（m）除F（2km）和L（2k+1）m），k，m>=0。 a（n）=和{k=0..上限（n-1）/2）}P（3；n-1-k，k），n>=1，a（0）=2。这些是P（3；n，k），（3，1）Pascal三角形中SW-NE对角线上的和A093560美元.观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。（1，2）Pascal三角形的SW-NE对角和A029635号（T（0，0）替换为2）。 假设psi=log（phi）=A002390号如果n是偶数，则得到L（n）=2*cosh（n*psi）的表示；如果n为奇数，L（n）=2*sinh（n*psi）。斐波那契数也有类似的表示法(A000045号). 许多卢卡斯公式现在很容易从适当的sinh和cosh公式中学习。例如：单位cosh^2（x）-sinh^2（x）=1表示L（n）^2-5*F（n）*2=4*（-1）^n（设置x=n*psi）-Hieronymus Fischer公司2007年4月18日 发件人约翰·布莱斯·多布森，2007年10月2日，2007年11月11日：（开始） L（n）的奇偶性很容易从它的定义中得到，它表明，当n是3的倍数时，L（n）是偶数，否则是奇数。 前六个乘法公式为： L（2n）=L（n）^2-2*（-1）^n； L（3n）=L（n）^3-3*（-1）^n*L（n）； L（4n）=L（n）^4-4*（-1）^n*L（n）^2+2； L（5n）=L（n）^5-5*（-1）^n*L（n； L（6n）=L（n）^6-6*（-1）^n*L（n。 通常，L（n）|L（mn）当且仅当m是奇数。 在L（mn）的展开式中，其中m表示乘数，n表示L（n）已知值的指数，系数的绝对值是三角形第m行中的项A034807号当m=1且n=1，L（n）=1且所有项均为正时A034807号只是卢卡斯数。（结束） 发件人约翰·布莱斯·多布森2007年11月15日：（开始） 米克洛斯·克里斯托夫（Miklos Kristof）于2007年3月19日提交的关于斐波那契数列的评论(A000045号)包含四个重要的恒等式，这些恒等式与卢卡斯数相似： 对于a>=b和奇数b，L（a+b）+L（a-b）=5*F（a）*F（b）。 对于a>=b和偶数b，L（a+b）+L（a-b）=L（a）*L（b）。 对于a>=b和奇数b，L（a+b）-L（a-b）=L（a）*L（b）。 对于a>=b和偶数b，L（a+b）-L（a-b）=5*F（a）*F（b）。 偶数b的差分恒等式的一个特别有趣的例子是L（A+30）-L（A-30）=5*F（A）*832040，因为5*832040-可以被100整除，证明卢卡斯数的最后两位数字在一个长度为60的循环中重复（参见A106291号(100)). （结束） 发件人约翰·布莱斯·多布森2007年11月15日：（开始） 卢卡斯数满足显著的差分方程，在某些情况下，最好使用斐波那契数表示，其中代表性示例如下： L（n）-L（n-3）=2*L（n-2）； L（n）-L（n-4）=5*F（n-2）； L（n）-L（n-6）=4*L（n-3）； L（n）-L（n-12）=40*F（n-6）； L（n）-L（n-60）=4160200*F（n-30）。 这些公式分别确定，卢卡斯数形成一个长度为3（mod 2）、长度为4（mod 5）、长度6（mod 4）、长度12（mod 40）和长度60（mod 4160200）的循环剩余系统。最后一个模可以被100整除，这说明卢卡斯数的最后两位数字在L（60）处开始重复。 卢卡斯数的可除性非常复杂，至今仍未完全理解，但在孙志宏2003年对斐波那契数同余的调查中，确立了几个重要的标准。（结束） Sum_｛n>0｝a（n）/（n*2^n）=2*log（2）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年10月11日 A010888型（a（n））=A030133号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月20日 phi的幂，即黄金比率，接近Lucas数的值，从上到下的奇数幂和偶数幂-杰弗里·卡文尼2014年4月18日 二项式逆变换为（-1）^n*a（n）-迈克尔·索莫斯2014年6月3日 对于整数j和n的所有值（包括负值），卢卡斯数对以下变换是不变的，因此：L（n）=（L（j+n）+（-1）^n*L（j-n））/L（j）。对G（n+1）=m*G（n）+G（n-1）形式的所有序列应用相同的变换，得到m=1的卢卡斯数，G（j）=0的情况除外，无论初始值可能是非整数。m的其他值的相应序列为：对于m=2，2*A001333号; 对于m=3，A006497号; 对于m=4，2*A001077号; 对于m=5，A087130号; 对于m=6，2*A005667号; 对于m=7，A086902号.不变序列都有G（0）=2，G（1）=m。在A059100型-理查德·福伯格2014年11月23日 如果x=a（n），y=a（n+1），z=a（n+2），那么-x^2-z*x-3*y*x-y^2+y*z+z^2=5*（-1）^（n+1-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年7月4日 关于Lucas数无限子序列被素数（n）^m，m>=1整除的一个猜想A266587型以及素数“入口点”-理查德·福伯格2015年12月31日 梯形有三条边的长度，顺序为L（n-1）、L（n+1）、L。对于增加n，非常接近最大面积的近似值将具有等于2*L（n）的第四边。对于边为L（n-1）、L（n-3）、L-J.M.贝戈2016年3月17日 满足本福德定律【Brown-Duncan，1970；Berger-Hill，2017】-N.J.A.斯隆2017年2月8日 卢卡斯数L（n）和斐波那契数F（n）是一对典型的“自动序列”（请参阅OEIS Wiki的链接），它们之间的关系由公式F（n-Jean-François Alcover公司2017年6月9日 对于n>=3，Lucas数L（n）是具有独立参数的仿射型a_n的交换Hecke代数的维数。参见定理1.4，推论1.5，以及第524页链接“具有独立参数的Hecke代数”中的表格-贾煌2019年1月20日 发件人克劳斯·普拉斯2019年4月19日：（开始） 虽然所有质数都是斐波那契数列中的因子，但卢卡斯数并非如此。例如，L（n）永远不能被以下小于150的素数整除：5、13、17、37、53、61、73、89、97、109、113、137、149。。。请参见A053028号猜想：可以确定这些素数的三个性质： 第一个观察结果：素因子>3出现在具有奇数指数的斐波那契数列中。 第二个观察结果：这些是素数p与2，3（模5）同余，作为素因子出现在斐波那契（p+1）和斐波那奇（（p+1。 第三个观察：这些素数的Pisano周期长度，以A001175号，总是可以被4整除，但不能被8整除。相比之下，卢卡斯数的素数可以被2整除，但不能被4整除，也不能被8整除。（另请参阅中的注释A053028号作者：N.J.A.Sloane，2004年2月21日）。（结束） L（n）是斐波那契数列的4*k个连续项之和(A000045号)除以斐波那契（2*k）：（和{i=0..4*k-1，k>=1}F（n+i））/F（2*k）=L（n+2*k+1）。序列扩展到负索引，遵循规则a（n-1）=a（n+1）-a（n）-克劳斯·普拉斯，2019年9月15日 如果一个人用初始值a（0）形成斐波那契型序列（a）=A022095型（n） 和A（1）=A000285号（n） ，则A（n+1）=L（n+1”）^2始终适用-克劳斯·普拉斯2019年9月29日 发件人王凯（Kai Wang）2019年12月18日：（开始） L（（2*m+1）k）/L（k）=和{i=0..m-1}（-1）^（i*（k+1））*L（2*m-2*i）*k）+（-1）（m*k）。 例如：k=5，m=2，L（5）=11，L（10）=123，L（20）=15127，L（25）=167761。L（25）/L（5）=15251，L（20）+L（10）+1=15127+123+1=15251。 （结束） 发件人彼得·巴拉，2021年12月23日：（开始） 高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p和正整数n和k。 对于正整数k，取模k的序列（a（n））n>=1成为纯周期序列。例如，取模11，序列变为[1，3，4，7，0，7，7，3，10，2，1，3，4,7，0、7，3、10、2…]，一个周期为10的周期序列。（结束） 参考文献 P.Bachmann，Niedere Zahlentheorie（1902年，1910年），再版切尔西，纽约，1968年，第2卷，第69页。 A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，32，50。 Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第499页。 L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第46页。 哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第148页。 Silvia Heubach和Toufik Mansour，《成分和单词组合学》，CRC出版社，2010年。 V.E.Hoggatt，Jr.，斐波那契数和卢卡斯数。马萨诸塞州波士顿霍顿，1969年。 托马斯·科西（Thomas Koshy），斐波那契（Fibonacci）和卢卡斯（Lucas）数字及其应用，约翰·威利（John Wiley）和儿子（Sons），2001年。 C.N.Menhinick，《斐波那契共振和其他新的黄金比率发现》，《Onperson》（2015），第200-206页。 米歇尔·里戈（Michel 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例如：2*exp（x/2）*cosh（sqrt（5）*x/2）-伦·斯迈利，2001年11月30日 L（n）=F（n）+2*F（n-1）=F-亨利·博托姆利2000年4月12日 a（n）=平方（F（n）^2+4*F（n+1）*F（n-1））-贝诺伊特·克洛伊特，2003年1月6日[修订人加里·德特利夫斯2011年1月21日] a（n）=2^（1-n）*和{k=0..层（n/2）}C（n，2k）*5^k。a（n）=2T（n，i/2）（-i）^n，T（n、x）第一类切比雪夫多项式（参见A053120号)i^2=-1-保罗·巴里2003年11月15日 L（n）=2*F（n+1）-F（n）-保罗·巴里2004年3月22日 a（n）=（φ）^n+（-phi）^（-n）-保罗·巴里2005年3月12日 发件人米克洛斯·克里斯托夫2007年3月19日：（开始） 设F（n）=A000045号=斐波那契数，L（n）=a（n）=卢卡斯数： L（n+m）+（-1）^m*L（n-m）=L（n）*L（m）。 L（n+m）-（-1）^m*L（n-m）=8*F（n）*F（m）。 L（n+m+k）+（-1）^k*L（n+m-k）+。 L（n+m+k）-（-1）^k*L（n+m-k）+（-1）^m*（L（n-m+k）-（-1）^k*L（n-m-k））=5*F（n）*L（m）*F（k）。 L（n+m+k）+（-1）^k*L（n+m-k）-（-1）。 L（n+m+k）-（-1）^k*L（n+m-k）-。（结束） 反向：地板（log_phi（a（n））+1/2）=n，对于n>1。对于n>=0，floor（（1/2）*log_phi（a（n）*a（n+1））=n。对所有整数n:floor（1/2）*符号（a（n）*a-Hieronymus Fischer公司2007年5月2日 设f（n）=phi^n+phi^（-n），然后L（2n）=f（2n(A000108号). -杰拉尔德·麦加维，2007年12月21日，修改人戴维德·科拉辛加里2016年7月1日 起始（1、3、4、7、11…）=三角形的行和A131774号. -加里·亚当森2007年7月14日 a（n）=2X2矩阵[0,1；1,1]^n的迹-加里·亚当森2008年3月2日 发件人Hieronymus Fischer公司，2009年1月2日：（开始） 对于奇数n:a（n）=楼层（1/（分数（φ^n）））；对于偶数n>0：a（n）=上限（1/（1-分数（φ^n）））。这源于黄金比率φ的基本性质，即φ-φ^（-1）=1（参见A001622号). a（n）=圆形（1/min（fract（phi^n），1-fract（φ^n））），对于n>1，其中fract（x）=x-地板（x）。（结束） 例如：exp（phi*x）+exp（-x/phi），其中phi:=（1+sqrt（5））/2（黄金分割）。1/φ=φ-1。请参阅Smiley中给出的另一种形式，例如f.注释-沃尔夫迪特·朗2010年5月15日 L（n）/L（n-1）->A001622. -文森佐·利班迪2010年7月17日 a（n）=2*a（n-2）+a（n-3），n>2-加里·德特利夫斯2010年9月9日 L（n）=地板（1/fract（Fibonacci（n）*phi）），对于奇数n-Hieronymus Fischer公司2010年10月20日 L（n）=上限（1/（1-分形（斐波那契（n）*phi））），对于n偶数-Hieronymus Fischer公司，2010年10月20日 L（n）=2^n*（cos（Pi/5）^n+cos（3*Pi/5，^n））-加里·德特利夫斯2010年11月29日 L（n）=（斐波那契（2*n-1）*斐波那奇（2*n+1）-1）/（斐波纳契（n）*斐波那契（2*n）），n！=0. -加里·德特利夫斯2010年12月13日 L（n）=平方米(A001254号（n） ）=平方（5*Fibonacci（n）^2-4*（-1）^（n+1））-加里·德特利夫斯2010年12月26日 L（n）=地板（φ^n）+（（-1）^n+1）/2=A014217号（n） +（（-1）^n+1）/2，其中φ=A001622号. -加里·德特利夫斯2011年1月20日 L（n）=斐波那契（n+6）mod斐波那奇（n+2），n>2-加里·德特利夫斯2011年5月19日 对于n>=2，a（n）=圆形（phi^n），其中phi是黄金比率-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年7月20日 素数p的a（p*k）==a（k）（mod p）。a（p^2*k）==a（k）（mod p），对于素数p和s=0,1,2,3……[Hoggatt和Bicknell]-R.J.马塔尔，2012年7月24日 发件人加里·德特利夫斯2012年12月21日：（开始） L（k*n）=（F（k）*φ+F（k-1））^n+（F（k+1）-F（k）*phi）^n。 L（k*n）=（F（n）*phi+F（n-1））^k+（F（n+1）-F（n）*phi）^k。 其中φ=（1+sqrt（5））/2，F（n）=A000045号（n） ●●●●。 （结束） L（n）=n*和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）/（n-k），n>0[H.W.古尔德]-加里·德特利夫斯2013年1月20日 G.f.：G（0），其中G（k）=1+1/（1-（x*（5*k-1））/（（x*（5*k+4））-2/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年6月15日 L（n）=F（n）+F（n-1）+F-鲍勃·塞尔科2013年6月17日 L（n）=圆形（sqrt（L（2n-1）+L（2n-2）））-理查德·福伯格2014年6月24日 L（n）=（F（n+1）^2-F（n-1）^2）/F（n）对于n>0-理查德·福伯格2014年11月17日 L（n+2）=1+A001610号（n+1）=1+和{k=0..n}L（k）-汤姆·埃德加2015年4月15日 L（i+j+1）=L（i）*F（j）+L（i+1）*F=A000045号（n） ●●●●-J.M.贝戈2016年2月12日 a（n）=（L（n+1）^2+5*（-1）^n）/L（n+2）-J.M.贝戈2016年4月6日 Dirichlet g.f.：PolyLog（s，-1/phi）+Poly对数（s，phi），其中phi是黄金比率-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月1日 L（n）=F（n+2）-F（n-2）-《玉春记》2016年2月14日 L（n+1）=A087131号（n+1）/2^（n+1）=2^（-n）*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*5^floor（（k+1）/2）-托尼·福斯特三世2017年10月14日 L（2*n）=（F（k+2*n）+F（k-2*n））/F（k）；n>=1，k>=2*n-大卫·詹姆斯·桑莫尔，2018年5月4日 发件人格雷格·德累斯顿和绍兴园2019年7月16日：（开始） L（3n+4）/L（3n+1）具有连分式：n 4's后跟单个7。 L（3n+3）/L（3n）具有连分数：n 4's后跟单个2。 L（3n+2）/L（3n-1）具有连分式：n 4's后跟单个-3。（结束） 发件人克劳斯·普拉斯2019年9月15日：（开始） 根据规则a（n-1）=a（n+1）-a（n），所有涉及的序列都扩展为负指数。 L（n）=（2*L（n+2）-L（n-3））/5。 L（n）=（2*L（n-2）+L（n+3））/5。 L（n）=F（n-3）+2*F（n）。 L（n）=2*F（n+2）-3*F（n）。 L（n）=（3*F（n-1）+F（n+2））/2。 L（n）=3*F（n-3）+4*F（n-2）。 L（n）=4*F（n+1）-F（n+3）。 L（n）=（F（n-k）+F（n+k））/F（k），奇数k>0。 L（n）=（F（n+k）-F（n-k））/F（k），偶数k>0。 L（n）=A001060型（n-1）-F（n+1）。 L（n）=(A022121号（n-1）-F（n+1））/2。 L（n）=(A022131号（n-1）-F（n+1））/3。 L（n）=(A022139号（n-1）-F（n+1））/4。 L（n）=(A166025型（n-1）-F（n+1））/5。 以下两个公式适用于斐波那契类型的所有序列。 （a（n-2*k）+a（n+2*k））/a（n）=L（2*k。 （a（n+2*k+1）-a（n-2*k-1））/a（n）=L（2*k+1。（结束） L（n）=F（n-k）*L（k+1）+F（n-k-1）*L=A000045号（n） ●●●●-迈克尔·塔尔斯基赫2019年12月6日 F（n+2*m）=L（m）*F（n+m）+（-1）^（m-1）*F（n）对于所有n>=0和m>=0-亚历山大·伯斯坦2022年3月31日 a（n）=i^（n-1）*cos（n*c）/cos（c）=i^-彼得·卢什尼2022年5月23日 发件人李一科和格雷格·德累斯顿，2002年8月25日：（开始） 对于n>0，L（2*n）=5*二项式（2*n-1，n）-2^（2*n-1）+5*Sum_{j=1..n/5}二项式。 L（2*n+1）=2^（2n）-5*Sum_{j=0..n/5}二项式（2*n+1，n+5*j+3）。（结束） 发件人安德烈亚·皮诺斯，2023年7月4日：（开始） L（n）~伽马（1/phi^n）+伽马。 L（n）=Re（φ^n+e^（i*Pi*n）/φ^n）。（结束） 示例 G.f.=2+x+3*x^2+4*x^3+7*x^4+11*x^5+18*x^6+29*x^7+。。。 MAPLE公司 使用（combint）：A000032号：=n->斐波那契（n+1）+斐波那奇（n-1）； seq（简化（2^n*（cos（Pi/5）^n+cos（3*Pi/5，^n）），n=0..36） 数学 a[0]：=2；a[n]：=嵌套[{Last[#]，First[#]+Last[#]}&，{2，1}，n]//最后 数组[2斐波那契[#+1]-斐波那奇[#]&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*） 表[LucasL[n]，{n，0，36}](*零入侵拉霍斯，2009年7月9日*） 线性递归[{1，1}，{2，1}，40](*哈维·P·戴尔2013年9月7日*） 卢卡斯L[范围[0，20]](*埃里克·韦斯特因2017年8月7日*） 系数列表[级数[（-2+x）/（-1+x+x^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*） 黄体脂酮素 （岩浆）[卢卡斯（n）：n in[0..120]]； （PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n*a（-n），如果（n<2，2-n，a（n-1）+a（n-2）））}； （PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n*a（-n），polsym（x^2-x-1，n）[n+1]）}； （PARI）{a（n）=实（（2+类（5））*quadgen（5）^n）}； （PARI）a（n）=斐波那契（n+1）+斐波那奇（n-1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月11日 （PARI）polsym（1+x-x^2，50）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月11日 （鼠尾草）[lucas_number2（n，1，-1）代表范围（37）中的n]#零入侵拉霍斯2008年6月25日 （哈斯克尔） a000032 n=a000032_列表！！n个 a000032\ulist=2:1:zip带（+）a000032\ulist（尾部a000032\ulist） --莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月20日 （Python） 定义A000032号_gen（）：#术语生成器 a、 b=2，1 为True时： 产量a a、 b=b，a+b 它=A000032号_发电机（） A000032元_列表=[范围（50）中_的下一个（it）]#科尔·戴克斯特拉2022年8月2日 （Python） 从sympy导入lucas 定义A000032号（n） ：返回卢卡斯（n）#柴华湖2023年9月23日 交叉参考 囊性纤维变性。A000204号.A000045号（n） =（2*L（n+1）-L（n））/5。 数组的第一行A103324号. a（n）=A101220标准（2，0，n），对于n>0。 a（k）=A090888号（1，k）=A109754号（2，k）=A118654号（2，k-1），对于k>0。 囊性纤维变性。A131774号,A001622号,A002878号（L（2n+1）），A005248美元（L（2n）），A006497号,A080039号,A049684号（斐波那契（4n+2）之和），A106291号（皮萨诺时期），A057854号（补语），A354265型（广义卢卡斯数）。 使用Fibonacci（n+k）+Fibonaci（n-k）公式列出的Cf.序列A280154型. 的后续A047201号. 上下文中的序列：1986年2月13日 A268615型 A061084号*A329723型 A267551型 A055391号 相邻序列：A000029号 A000030型 A000031号*A000033号 A000034号 A000035号 关键词 非n,美好的,容易的,核心,改变 作者 N.J.A.斯隆1994年5月24日 状态 经核准的

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