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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0 32 卢卡斯数从2开始:L(n)=L(n-1)+L(n-2),L(0)=2,L(1)=1。
(前M0155)
一千零七十一
2, 1, 3、4, 7, 11、18, 29, 47、76, 123, 199、322, 521, 843、1364, 2207, 3571、5778, 9349, 15127、24476, 39603, 64079、103682, 167761, 271443、439204, 710647, 1149851、1860498, 3010349, 4870847、7881196, 12752043, 20633239、7881196, 12752043, 20633239 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0,1

评论

囊性纤维变性。A000 0204对于卢卡斯数从1开始。

此外,循环图Cyn的独立顶点集和顶点覆盖数为n>=2。-埃里克·W·韦斯斯坦,04月1日2014

n循环图Cyn的匹配数为n>=3。-埃里克·W·韦斯斯坦,10月01日2017

N-Helm图的最大独立顶点集(和最大顶点覆盖)的个数为n>=3。-埃里克·W·韦斯斯坦5月27日2017

n n-图的最大独立顶点集(和最大顶点覆盖)的个数为n>=3。-埃里克·W·韦斯斯坦,八月07日2017

这也是HalADAM序列(2, 1, 1,1)。-罗斯拉哈伊8月18日2003

对于不同的素数p,q,L(p)与1 mod p一致,L(2p)与3 mod p一致,L(pq)是一致的1 +q(L(q)-1)mod p。此外,L(m)将f(2km)和L((2k+1)m)、k、m>=0分为两个部分。

A(n)=SUMY{{K=0…上限((n 1)/2)} p(3;n- 1 -k,k),n>=1,具有(0)=2。这些是关于p(3;n,k),(3, 1)Pascal triangle中的SW-NE对角线的和。A093560. 观察通过保罗·巴里,4月29日2004。通过递归关系和输入比较证明。(1, 2)Pascal triangle的SW—NE对角和A029 635(T(0, 0)替换为2)。

假设PSI=log(φ)=A000. 如果n为偶数,则得到表示L(n)=2×COSH(n*PSI);如果n为奇数,则L(n)=2×SnH(n*PSI)。Fibonacci数也有类似的表示形式(A000 00 45许多卢卡斯公式现在很容易遵循适当的正弦和COSH公式。例如:同一COSH ^ 2(x)-SnH^ 2(x)=1表示L(n)^ 2 - 5 *f(n)^ 2=4*(-1)^ n(设x=n*psi)。-菲舍尔4月18日2007

约翰布莱斯多布森,OCT 02 2007,10月11日2007:(开始)

L(n)的奇偶性很容易从它的定义出发,这表明L(n)是偶数的,当n是3和奇数的倍数时。

前六个乘法公式为:

L(2n)=L(n)^ 2~2*(- 1)^ n;

L(3n)=L(n)^ 3~3*(- 1)^ n*L(n);

L(4n)=L(n)^ 4~4×(-1)^ n*L(n)^ 2+2;

L(5n)=L(n)^ 5~5*(- 1)^ n*L(n)^ 3+5*L(n);

L(6n)=L(n)^ 6 - 6*(- 1)^ n*L(n)^ 4+9*L(n)^ 2 - 2*(-1)^ n。

一般地,L(n)L(Mn)当且仅当m为奇数时。

在L(Mn)的展开中,m表示乘数,n是L(n)的已知值的索引,系数的绝对值是三角形的第m行中的项。A034 807. 当m=1,n=1,L(n)=1,所有的项都是正的,因此行和A034 807仅仅是卢卡斯数。(结束)

约翰布莱斯多布森,11月15日2007:(开始)

Miklos Kristof于3月19日提交的关于斐波那契数的评论(2007)A000 00 45包含四个重要的恒等式,它们在卢卡斯数中具有相近的相似性:

对于a>=B和奇B,L(a+b)+L(a-b)=5 *f(a)*f(b)。

对于a>=b,甚至b,L(a+b)+L(a- b)=L(a)*L(b)。

对于a>=B和奇B,L(A+B)-L(A -B)=L(A)*L(B)。

对于a>=B,甚至B,L(A+B)-L(A -B)=5 *F(A)*F(B)。

偶数B的差分恒等式的一个特别有趣的实例是L(A+ 30)-L(A—30)=5*f(A)* 832040,因为5×832040可被100除除,证明卢卡斯数的最后两个数字在长度60的周期中重复(参见)。A10691(100)。(结束)

约翰布莱斯多布森,11月15日2007:(开始)

卢卡斯数满足显著差分方程,在某些情况下最好用斐波那契数表示,其中有代表性的例子如下:

L(n)-L(n-3)=2×L(n-2);

L(n)-L(n-4)=5×f(n-2);

L(n)-L(n-6)=4×L(n-3);

L(n)-L(n-12)=40×f(n-6);

L(n)-L(n-60)=4160200×f(n-30)。

这些公式分别建立了卢卡斯数形成长度为3(mod 2)、长度为4(mod 5)、长度为6(mod 4)、长度为12(mod 40)和长度60(mod 4160200)的循环剩余系统。最后模100的可除性解释了卢卡斯数的最后两个数字在L(60)开始重复的事实。

卢卡斯数的可除性是非常复杂的,至今仍未完全理解,但在志鸿孙对斐波那契数同余的2003次考察中,确立了几个重要的判据。(结束)

SuMu{n>0 } A(n)/(n* 2 ^ n)=2×log(2)。-奥利弗·拉芬特10月11日2009

A01088(a(n))A030133(n)。-莱因哈德祖姆勒8月20日2011

φ,黄金比率,接近卢卡斯数的值,来自上面的奇数幂和从下面的偶数幂。-杰弗里卡维尼4月18日2014

逆二项变换是(- 1)^ n*a(n)。-米迦勒索摩斯,军03 2014

卢卡斯数对于整数j和n的所有值都是不变的,包括负值,因此:L(n)=(L(j+n)+(- 1)^ n*L(j-n))/L(j)。对于G(n+1)=m*g(n)+g(n-1)的所有序列,应用相同的变换得到m=1的卢卡斯数,除G(j)=0外,不管初始值可能是非整数。m的其他值的对应序列为:m=2, 2 *A131333对于M=3,A000 64 97M=4, 2A000 1077对于M=5,A08130M=6, 2A565667对于M=7,A086902. 不变的都有G(0)=2,G(1)=m。A059100. -李察·R·福尔伯格11月23日2014

如果x=a(n),y=a(n+1),z=a(n+2),则-x ^ 2 -z×x×3*y*x yy=2 +y*Z+z ^ 2=5*(-1)^(n+1)。-亚力山大-萨莫克鲁托夫,朱尔04 2015

给出了素数(n)^ m,m>1的卢卡斯数无穷子序列可除性的一个猜想。A2665和“入口点”一起。-李察·R·福尔伯格12月31日2015

梯形具有三个长度的边,以L(n-1)、L(n+1)、L(n-1)为顺序。为了增加n,非常接近于最大面积将第四侧等于2*L(n)。对于具有L(n-1)、L(n-3)、L(n-1)的梯形,第四侧为L(n)。-贝尔戈3月17日2016

满足本福德定律〔Brown Duncan,1970;Berger Hill,2017〕。-斯隆,08月2日2017

卢卡斯数L(n)和斐波那契数F(n)是由公式f(n)=(f(n-1)+l(n-1))/ 2和L(n)=2 f(n+1)-f(n)所关联的,是一对典型的“自同构”(见链接到OEIS Wiki)。-让弗兰,军09 2017

对于n>=3,卢卡斯数L(n)是具有独立参数的仿射型Ayn交换HeCKE代数的维数。参见定理1.4,推论1.5,以及链接“独立参数Hecke algebras”中的第524页表。-贾煌1月20日2019

克劳斯普拉斯,4月19日2019:(开始)

虽然所有素数出现在Fibonacci数中的因素,但这不是卢卡斯数的情况。例如,L(n)永远不能被以下素数除以150∶5, 13, 17、37, 53, 61、73, 89, 97、109, 113, 137、149…A053028. 猜想:可以为这些质数确定三个性质:

第一次观察:素数因子>3出现在具有奇数指数的斐波那契数。

第二个观察:这是素数p等于2, 3(模5),它发生在斐波那契(P+ 1)和斐波那契((P+1)/2)作为素因子,或素数p与1, 4(模5)一致,这发生在斐波那契((P-1)/2)和Fibonacci((P-1)/(2 ^ K))中,具有k>=2。

第三观测:这些质数的皮萨诺周期长度A000 1175总是可以被4整除,但不能被8整除。与此相反,卢卡斯数的素因子的可分为2,而不是4,或8。(参见A0530282月21日,2004日)。(结束)

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Eric Weisstein的数学世界,循环图

Eric Weisstein的数学世界,舵图

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与切比雪夫多项式相关的序列的索引条目。

递归的索引条目A(n)=k*a(n-1)+/-a(n-2)

常系数线性递归的索引项签名(1,1)。

双向无穷序列索引条目

“核心”序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

公式

G.f.:(2 -x)/(1 -X-X ^ 2)。

L(n)=((1 +SqRT(5))/2)^ n+((1 -qRT(5))/2)^ n=φ^ n+(1-φ)^ n。

L(n)=L(n-1)+L(n-2)=(- 1)^ n*L(-n)。

L(n)=Fibonacci(2×n)/Fibonacci(n)为n>0。-杰夫伯奇12月11日1999

E.g.f.:2×EXP(x/2)*COSH(SqRT(5)*x/2)。-伦斯迈利11月30日2001

L(n)=f(n)+2×f(n-1)=f(n+1)+f(n- 1)。-亨利贝托姆利4月12日2000

a(n)=qRT(f(n)^ 2+4×f(n+1)*f(n- 1))。-班诺特回旋曲,简06 2003加里德莱夫斯1月21日2011

A(n)=2 ^(1 -n)*SUMY{{K=0…楼(n/2)} C(n,2k)* 5 ^ k。a(n)=2t(n,i/2)(-i)^ n与第一类t(n,x)切比雪夫多项式(参见)A053120)和i ^ 2=- 1。-保罗·巴里11月15日2003

L(n)=2×f(n+1)-f(n)。-保罗·巴里3月22日2004

a(n)=(φ)^ n+(-φ)^(-n)。-保罗·巴里3月12日2005

米克洛斯克里斯托夫,3月19日2007:(开始)

设F(n)=A000 00 45=斐波那契数,L(n)=A(n)=卢卡斯数:

L(n+m)+(- 1)^ m*L(n- m)=L(n)*L(m)。

L(n+m)-(- 1)^ m*l(n- m)=8*f(n)*f(m)。

L(n+m+k)+(-1)^ k*L(n+m- k)+(- 1)^ m*(L(n+m+k)+(-1)^ k*L(n-m- k))=L(n)*L(m)*L(k)。

L(n+m+k)-(- 1)^ k*L(n+m- k)+(- 1)^ m*(L(n+m+k)-(-1)^ k*L(n-m- k))=5*f(n)*l(m)*f(k)。

L(n+m+k)+(- 1)^ k*L(n+m- k)-(- 1)^ m*(L(n+m+k)+(-1)^ k*L(n- m- k))=5×f(n)*f(m)*L(k)。

L(n+m+k)-(- 1)^ k*L(n+m- k)-(- 1)^ m*(L(n+m+k)-(-1)^ k*L(n-m- k))=5*L(n)*f(m)*f(k)。(结束)

逆:地板(Logiphi(a(n))+ 0.5)=n,n>1。对于n>=0,楼层(1/2×Logiphi(a(n)*a(n+1))=n,对于所有整数都有效:n(1/2*符号(a(n)*a(n+1))* Logyphi(a)(n)*a(n+1))=n{}符号(x)=x}符号。-菲舍尔02五月2007

设F(n)=φ^ n+φ^(-n),然后L(2n)=f(2n)和L(2n+1)=f(2n+1)=f(2n+1)=2=0=0…无穷大} c(k)/f(2n+1)^(2k+1),其中c(n)是加泰罗尼亚数(1)。A000 0108-杰拉尔德麦加维12月21日2007修改达维德科拉辛加里,朱尔01 2016

起始(1, 3, 4,7, 11,…)=三角形的行和A131774. -加里·W·亚当森7月14日2007

A(n)=2×2矩阵[0,1;1,1] ^ n的迹。加里·W·亚当森02三月2008

菲舍尔,02月2009日:(开始)

对于奇数n:A(n)=楼层(1 /(FrAct(φ^ n)));对于偶数n>0:A(n)=上限(1/(1 - FrAcTy(φ^ n)))。这是从黄金比率φ的基本性质,即φφ^(- 1)=1(参见A000 1622

A(n)=圆(1(/(min(FrAc'(φ^ n),1 - FrAc'(φ^ n))),对于n>1,其中FrACT(x)=x -Lead(x)。(结束)

E.g.f.:EXP(φx)+EXP(-X/PHI),φ=(1±SqRT(5))/2(黄金分割)。1/φ=φ1。请参见Simel.E.F评论中给出的另一种形式。-狼人郎5月15日2010

L(n)/L(n-1)->A000 1622. -文森佐·利布兰迪7月17日2010

a(n)=2*a(n-2)+a(n-3),n>2。-加里德莱夫斯,SEP 09 2010

L(n)=楼层(1/FRACT(Fibonacci(n)*φ)),对于n奇数。-菲舍尔10月20日2010

L(n)=天花板(1 /(1 - FrAcacci(n)*φ)),n为偶数。-菲舍尔10月20日2010

L(n)=2 ^ n*(COS(π/5)^ n+COS(3×π/5)^ n)。-加里德莱夫斯11月29日2010

L(n)=(Fibonacci(2×N 1)*斐波那契(2×N+1)-1)/(斐波那契(n)*斐波那契(2*n)),n!= 0。-加里德莱夫斯12月13日2010

L(n)=SqRTA000 1254(n)=SqRT(5×斐波那契(n)^ 2 - 4*(- 1)^(n+1))。-加里德莱夫斯12月26日2010

L(n)=楼层(φ^ n)+((- 1)^ n+1)/ 2=A014217(n)+((- 1)^ n+1)/ 2,其中φ=A000 1622. -加里德莱夫斯1月20日2011

L(n)=斐波那契(n+6)mod斐波那契(n+2),n>2。-加里德莱夫斯5月19日2011

对于n>=2,A(n)=圆(φ^ n),其中φ是黄金比率。-阿卡迪乌斯韦斯洛夫斯基7月20日2012

A(p*k)=a(k)(mod p)为素数p a(2 ^ s*n)=a(n)^(2 ^ s)(mod 2)为s= 0,1,2…A(2 ^ k)==1(mod 2 ^ k)。A(p^ 2*k)=a(k)(mod p)为素数p和s= 0,1,2,3…[霍格加特和Bicknell ]。-马塔尔7月24日2012

加里德莱夫斯,12月21日2012:(开始)

L(k*n)=(f(k)*φ+f(k-1))^ n+(f(k+ 1)-f(k)*φ)^ n。

L(k*n)=(f(n)*φ+f(n-1))^ k+(f(n+1)-f(n)*φ)^ k。

其中φ=(1 +qRT(5))/ 2,f(n)=A000 00 45(n)。

(结束)

L(n)=N*SuMu{{K=0…地板(n/2)}二项式(N-K,K)/(N-K),N>0〔H.W. Gould〕。-加里德莱夫斯1月20日2013

G.f.:G(0),其中G(k)=1+1/(1)(x*(5×k-1))/((x*(5*k+4))-2/g(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克6月15日2013

L(n)=f(n)+f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)。-鲍勃塞尔科6月17日2013

L(n)=圆(qRT(L(2n-1)+L(2n-2)))。-李察·R·福尔伯格6月24日2014

L(n)=(f(n+1)^ 2 -f(n-1)^ 2)/f(n)为n>0。-李察·R·福尔伯格11月17日2014

L(n+2)=1+A000 1610(n+ 1)=1+SuMu{{K=0…n} L(k)。-汤姆埃德加4月15日2015

L(i+j+1)=L(i)*f(j)+L(i+1)*f(j+1)与f(n)=A000 00 45(n)。-贝尔戈2月12日2016

A(n)=(L(n+1)^ 2+5 *(-1)^ n)/L(n+2)。-贝尔戈,APR 06 2016

多对数(S,-1/φ)+多对数(S,φ),其中φ是黄金比率。-伊利亚古图科夫基,朱尔01 2016

L(n)=f(n+2)-f(n-2)。-于春姬2月14日2016

L(n+1)=A08131(n+ 1)/2 ^(n+1)=2 ^(-n)*SuMu{{k=0…n}二项式(n,k)*5 ^((k+1)/2)。-托尼福斯特三世10月14日2017

L(2×n)=(f(k+ 2×n)+f(k-2*n))/f(k);n>=1,k>=2*n-戴维杰姆斯梧桐04五月2018

格雷戈德累斯顿袁少雄,7月16日2019:(开始)

L(3N+ 4)/L(3N+ 1)具有连续分数:N 4,其次是单7。

L(3N+ 3)/L(3N)具有连续分数:N 4,其次是单2。

L(3N+ 2)/L(3N- 1)具有连续分数:N 4,其次是单-3。(结束)

例子

G.F.=2+x+3×x ^ 2+4×x ^ 3+7×x ^ 4+11×x65+18×x ^ 6+29×x ^ 7+…

枫树

用(组合):A000 0 32= n->斐波那契(n+1)+斐波那契(n-1);

Seq(简化(2 ^ n*(COS(π/5)^ n+COS(3×π/5)^ n)),n=0…36)

Mathematica

A〔0〕:=2;a[n]:=巢[{最后[α] ],第一[α] +最后[α] },{ 2, 1 },n/ /最后

数组〔2斐波那契[α+1〕-斐波那契[α],50, 0 ](* Joseph Biberstine(JRBiBER(AT)印第安娜,EDU),12月26日2006*)

表[Luxas[n],{n,0, 36 }](*)零度拉霍斯,JUL 09 2009*)

线性递归[ { 1, 1 },{ 2, 1 },40〕(*)哈维·P·戴尔,SEP 07 2013*)

卢卡斯[范围[0, 20 ] ]埃里克·W·韦斯斯坦,八月07日2017日)

系数列表[[(-2 +x)/(-1 +x+x^ 2),{x,0, 20 }],x](*)埃里克·W·韦斯斯坦9月21日2017*)

黄体脂酮素

(岩浆)〔卢卡斯(n)〕:n〔0〕120〕;

(PARI){A(n)=IF(n<0,(- 1)^ n*a(-n)),如果(n<2,2-n,a(n-1)+a(n-2))};

(PARI){A(n)=IF(n<0,(- 1)^ n*a(-n),PoSym(x^ 2 -x - 1,n)[n+4])};

(PARI){A(n)=真((2+四元(5))×四元(5)^ n)};

(PARI)a(n)=斐波那契(n+1)+斐波那契(n-1)查尔斯6月11日2011

(PARI)PoSym(1 +X-X ^ 2, 50)查尔斯6月11日2011

(SAGE)[LuasasyNoMule2(n,1,-1),n(37)]零度拉霍斯6月25日2008

(哈斯克尔)

A000 000 32 n=A000 000 32列表!n!

A000 0 32 32列表=2:1:ZIPOP(+)A000 0 32 32列表(尾部A000)

——莱因哈德祖姆勒8月20日2011

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0204.A000 00 45(n)=(2×L(n+1)-l(n))/5。

第一行数组A1033.

A(n)=A101220(2, 0,n),n>0。

A(k)=A090888(1,k)=A10975(2,k)=A11865(2,K-1),K>0。

囊性纤维变性。A131774A000 1622A000 64 97A0800 39A044064Fibonacci(4n+1)的求和,A10691(皮萨诺时期)A057 854(补语)。

参见公式Fibonacci(n+k)+斐波那契(N-K)A280154.

子序列A047 201.

语境中的顺序:A268613 A268615 A061084A*A2675 A055 A177940

相邻序列:A000 00 29 A000 0 30 A000 0 31*A000 00 33 A000 00 34 A000 0 35

关键词

诺恩美好的容易核心

作者

斯隆5月24日1994

状态

经核准的

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最后修改9月20日0:20EDT 2019。包含327207个序列。(在OEIS4上运行)