OEIS哀悼西蒙斯感谢西蒙斯基金会支持包括OEIS在内的许多科学分支的研究。
登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A001006号 Motzkin数:画任意数量的非相交和弦的方法的数量,这些和弦连接一个圆上的n个(标记的)点。
(原名M1184 N0456)
575
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, 1697385471211 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
4321、(34122413)、(34123142)和3412的数量避免了S_n中的对合。
由正整数组成的长度为n-1的序列的数目,使得第一个和最后一个元素为1或2,并且任意两个连续元素之间的绝对差为0或1-乔恩·佩里2003年9月4日
发件人大卫·卡伦2004年7月15日:(开始)
此外,Motzkin n路径数:仅使用步骤U=(1,1)、F=(1,0)和D=(1,-1)在n X n网格中从(0,0)到(n,0)的路径。
没有UUU的Dyck n路径数。(给定这样一个Dyck n路径,将每个UUD改为U,然后将每个剩余的UD改成F。这是对Motzkin n路径的双射。例如n=5:U U D U D D D->U F U D D。)
没有UDU的Dyck(n+1)路径数。(给定这样一个Dyck(n+1)-路径,标记每个后跟D的U和每个不后跟U的D。然后将匹配的D标记为F的每个未标记U更改为F。最后,删除所有标记的步骤。这是Motzkin n路的双射。n=6且标记步骤为小型的示例:U U d d U U d d d d d U d->U U d d d F U d d d U d->U U d F F F d
a(n)是以下递归定义集合中长度为2n+2的字符串的数目:L包含空字符串,对于L中的任何字符串a和b,我们也在L中找到(ab)。L的前几个元素是e,(),(),第(n+1)个加泰罗尼亚数字索尔·施莱默(saulsch(AT)math.rutgers.edu),2006年2月23日谢尔盖·柯尔吉佐夫2020年3月5日]
a(n)=所有山谷具有偶数x坐标的Dyck n路径数(路径从原点开始时)。例如,T(4,2)=3统计UDUDUUDD、UDUUDDUD、UUDDUDUD。给定这样一条路径,将其拆分为长度为2的n个子路径,并转换UU->U、DD->D、UD->F(将不存在DU,因为这将需要具有奇数x坐标的山谷)。这是Motzkin n路的双射-大卫·卡伦2006年6月7日
此外,高度<=3的标准Young表的数量-迈克·扎布罗基2007年3月24日
a(n)是大小为2n+2的RNA形状的数量。RNA形状基本上是没有A[[B]]C形式的“直接嵌套”基序的Dyck词,用于A、B和C Dyck单词。第一个RNA形状是[];[][]; [][][], [[][]]; [][][][]、[][][]]、[[][][]]、[[][][]][];…-Yann Ponty(Ponty(AT)lri.fr),2007年5月30日
该序列是从顶行A到左行开始(1,1)和底行=B的自生成序列,相同的序列是从(0,1)到右行。取A和B的点积,将结果加到A的第n项上,得到A的第(n+1)项。例如:A(5)=21如下:取A的点积=(9,4,2,1,1)和(0,1,2,4)=(0,+4+2+4)=12;将其加到9=21上-加里·亚当森2008年10月27日
等于A005773号/A005773号移位(即(1,2,5,13,35,96,…)/(1,1,2,5,13,35,97,…))-加里·亚当森2008年12月21日
从偏移量1开始=M*[1,1,0,0,0,…]的迭代,其中M=主对角线中有[0,1,1,…],超对角线和次对角线中有[1,1,1,…]的三对角矩阵-加里·亚当森,2009年1月7日
a(n)是亏格为0的{1,2,…,n}的对合数。{1,2,…,n}的置换p的亏格g(p)由g(p)=(1/2)[n+1-z(p)-z(cp')]定义,其中p'是p的逆置换,c=234…n1=(1,2,..,n),z(q)是置换q的圈数。示例:a(4)=9;实际上,p=3412=(13)(24)是亏格>0的{1,2,3,4}的唯一对合。这很容易从{1,2,…,n}的置换p有亏格0这一事实得出结论,当且仅当p的循环分解给出{1,2、…,n{的非交叉分区,并且p的每个循环都在增加(参见Dulucq-Simion参考的引理2.1)。[此外,冗余地,对于p=3412=(13)(24),我们有cp’=2341*3412=4123=(1432),因此g(p)=(1/2)(4+1-2-1)=1。]-Emeric Deutsch公司2010年5月29日
设w(i,j,n。那么a(n)=Sum_{i=0..n,j=0..n}w(i,j,n)是长度为n的这种游动的次数-彼得·卢施尼2011年5月21日
a(n)/a(n-1)趋于3.0,因为n->无穷大:(1+2*cos(2*Pi/n))与最长奇数n条正多边形对角线有关,例如,n=7:使用三对角线生成器[参见2009年1月7日的评论],对于多边形n=7,我们提取了一个(n-1)/2=3X3矩阵[0,1,0;1,1,1;0,1,1],其e值为2.24697。。。;最长的Heptagon对角线,边=1。当N趋于无穷大时,对角线长度趋于3.0,序列收敛-加里·亚当森,2011年6月8日
避免模式132和虚线模式23\点{1}的(n+1)长度排列数-珍妮·卢克·巴里尔2012年3月7日
字母{a,b,c}上n长度单词w的数量,因此对于w的每个前缀z,我们都有#(z,a)>=#(z、b)>==#(z和c),其中#(z)计算单词z中的字母x。a(4)=9个单词是:aaaa,aaab,aaba,abaa,abab,aabc,abac,abca-阿洛伊斯·海因茨2012年5月26日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,使得r(1=r(k-1);例如,n=4的9个RGS是1010、1012、1201、1210、1212、1230、1231、1232、1234-乔格·阿恩特2013年4月16日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,其中r(11; 例如,n=4的9 RGS是0000、0002、0003、0004、0022、0024、0033、0222、0224-乔格·阿恩特2013年4月17日
S_n中避免对合的(42315276143)个数-亚历山大·伯斯坦2014年3月5日
a(n)是具有n个具有关联置换避免132的节点的递增一元二叉树的数目。有关具有关联排列的一元二叉树的更多信息,请参阅A245888型. -曼达·里尔2014年8月7日
a(n)是在[n]上避免单个模式p的对合数,其中p是8个(经典)模式1234、1243、1432、2134、2143、3214、3412、4321中的任何一个。此外,编号(34122413)-,(34123142)-,,(341224103142)-避免了[n]上的对合,因为这三组中的每一组实际上都与3412-避免[n]的对合一致。这是一个完整的列表,其中包括8个单字母、2对字母和1个三个四字母的经典图案,这些图案的对合避免因子由Motzkin数计算。(参见Barnabei等人2011年的参考。)-大卫·卡伦2014年8月27日
发件人托尼·福斯特三世2016年7月28日:(开始)
使用2*A(n)+A(n+1)创建的序列具有F(2n)的Hankel变换,偏移量3,F是斐波那契等分,A001906号(经验观察)。
使用2*A(n)+3*A(n+1)+A(n+2)创建的序列给出了求和{k=0..n}k*Fibonacci(2*k),偏移量3,A197649号(实证观察)。(结束)
猜想:(2/n)*Sum_{k=1..n}(2k+1)*a(k)^2是每个正整数n的整数-孙志伟2017年11月16日
Rubey和Stump参考证明了RenéMarczinzik的一个猜想的改进,他们说:“2-Gorenstein代数的数量是具有n个简单模的Nakayama代数,并且有一条定向线作为相关的箭矢,等于长度n的Motzkin路径的数量。”-埃里克·施密特2017年12月16日
U的数量_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
如果tau_1和tau_2是从集合{132231312}中选择的两个不同的置换模式,则a(n)是[n+1]的置换的有效钩配置数,这些置换避免了模式tau_1和tau_2-科林·德芬特2019年4月28日
长度为n的排列数,按连续321避免堆栈和经典21避免堆栈排序为标识-科林·德芬特2020年8月29日
发件人赫尔穆特·普罗丁格2020年12月13日:(开始)
a(n)是第一象限中从(0,0)开始,由无限集{(1,1),(1,-1),(1,-2),(1,-3),…}的n步组成的路径数。
例如,如果j>=2,表示U=(1,1)、D=(1,-1)、D_j=(1、-j),则a(4)计算UUUU、UUUD、UUUT_2、UUUUD_3、UUDU、UUDD、UUD_2U、UDUU、UDU、UDUD。
这个步骤集的灵感来自于2000年左右Emeric Deutsch提出的{(1,1),(1,-1),(1,3),(1,-5),…}。
请参见包含Motzkin路径双射的Prodinger链接。(结束)
Donaghey(1977)以以色列-美国数学家西奥多·莫茨金(1908-1970)的名字命名。在斯隆的《整数序列手册》(1973)中,它们被称为“广义选票数”-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年4月15日
将Motzkin n条路径a(n)拆分为A107587号(n) 、偶数Motzkin n路径数,以及A343386(n) ,奇数Motzkin n路径数。价值观A107587号(n)-A343386型(n) 可以称为a(n)的“阴影”(参见A343773型). -Gennady Eremin公司2021年5月17日
猜想:如果p是6m+1形式的素数(A002476号)则a(p-2)可被p整除。目前,p<10^7不存在反例。来自的个人通信罗伯特·格比茨:mod这样的p这相当于A066796号评论:“每个A066796号(n) 来自A066796号(第(p-1)/2页)至A066796号(p-1)可被6m+1“形式的素数p整除-谢尔盖·巴塔洛夫2022年2月8日
发件人彼得·巴拉2022年2月10日:(开始)
推测:
(1) 对于素数p==1(mod 6)和n,r>=1,a(n*p^r-2)==-A005717号(n-1)(mod p),取A005717号(0)=0,以匹配上述巴塔洛夫猜想。
(2) 对于素数p==5(mod 6)和n>=1,a(n*p-2)==-A005773号(n) (修改p)。
(3) 对于素数p>=3和k>=1,a(n+p^k)==a(n)(mod p)表示0<=n<=(p^k-3)。
(4) 对于素数p>=5和k>=2,a(n+p^k)==a(n)(mod p^2)表示0<=n<=(p^(k-1)-3)。(结束)
省略(0)的这个序列的Hankel变换给出了周期-6序列[1,0,-1,-1,0,1,…],它是A010892号省略了第一项,而当前序列的Hankel变换是全一序列A000012号也是具有这种性质的唯一序列,类似于加泰罗尼亚数的唯一汉克尔变换性质-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
参考文献
E.Barcucci、R.Pinzani和R.Sprugnoli,Motzkin家族,P.U.M.A.系列。A、 第2卷,1991年,第3-4期,第249-279页。
F.Bergeron、L.Favreau和D.Krob,关于有界高度表枚举的猜想,《离散数学》,第139卷,第1-3期(1995年),463-468。
F.R.Bernhart、Catalan、Motzkin和Riordan数字,Disc。数学。,204 (1999) 73-112.
R.Bojicic和M.D.Petkovic,基于Motzkin数的序列Hankel变换的正交多项式方法,马来西亚数学科学公报,2015,doi:10.1007/s40840-015-0249-3。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第24、298、618、912页。
Alin Bostan,Calcul Formel pour la Combinatoire des Marches,HabilitationáDiriger des Recherches,巴黎大学北区信息实验室,2017年12月13日;https://specfun.inria.fr/bostan/HDR.pdf
A.J.Bu,受限Motzkin路径的自动计数,枚举组合与应用,ECA 1:2(2021)第S2R12条。
奈奥米·卡梅隆(Naiomi Cameron),JE McLeod,《广义Dyck路径上的回归和丘陵》(Returns and Hills on Generalized Dyck Paths),《整数序列杂志》(Journal of Integer Sequences),2016年第19卷,第16.6.1号。
L.Carlitz,某些复发的解决方案,SIAM J.Appl。数学。,17 (1969), 251-259.
Michael Dairyko、Samantha Tyner、Lara Pudwell和Casey Wynn,二叉树中的非相似模式避免。电子。J.Combin.19(2012),第3期,论文22,21 pp.MR2967227。
D.E.Davenport、L.W.Shapiro和L.C.Woodson,《Double Riordan Group》,《组合数学电子期刊》,第18卷第2期(2012年),第33页。
E.Deutsch和L.Shapiro,《细数调查》,离散数学。,241 (2001), 241-265.
T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan,二级结构的枚举方面,Disc。数学。,285 (2004), 67-82.
Tomislav Doslic和Darko Veljan,一些组合序列的对数行为。离散数学。308(2008),第11期,2182-2212。MR2404544(2009j:05019)。
S.Dulucq和R.Simion,交替排列的组合统计,J.代数组合学,81998169-191。
M.Dziemianczuk,“具有多条边和Raney晶格路径的平面树的枚举”,《离散数学》337(2014):9-24。
方文杰,Motzkin路上的一个偏序,离散数学。,343 (2020), #111802.
I.P.Goulden和D.M.Jackson,《组合计数》,纽约威利出版社,1983年,(5.2.10)。
N.S.S.Gu、N.Y.Li和T.Mansour,《二叉树:双投影和相关问题》,Disc。数学。,308 (2008), 1209-1221.
克里斯·哈奇(Kris Hatch),莫茨金单子体的演示,加州大学圣巴巴拉分校高级论文,2012年;http://ccs.math.ucsb.edu/senior-thesis/Kris-Hatch.pdf。
V.Jelinek、Toufik Mansour和M.Shattuck,《关于多模式避免集合划分》,《应用数学进展》第50卷第2期,2013年2月,第292-326页。
Hana Kim和R.P.Stanley,《十六进制树和相关多项式的精细枚举》,网址:http://www-math.mit.edu/~rstan/papers/hextrees.pdf,2015年预印本。
S.Kitaev,排列和单词中的模式,Springer-Verlag,2011年。见第399页表A.7。
A.Kuznetsov等人,《与Motzkin数相关的树》,《组合理论》,A 76(1996),145-147。
T.Lengyel,《关于Motzkin数某些差异的可除性》,《Annales Mathematicae et Informaticae》,41(2013),第121-136页。
W.A.Lorenz、Y.Ponty和P.Clote,《RNA形状的渐进性》,《计算生物学杂志》。2008年,15(1):31-63。doi:10.1089/cmb.2006.0153。
Piera Manara和Claudio Perelli Cippo,4321避免退化和321避免退化的精细结构,PU。M.A.第22卷(2011年),227-238;http://www.mat.unisi.it/newsito/puma/public_html/22_2manara_perelli-cippo.pdf。
Toufik Mansour,《限制1-3-2排列和广义模式》,《组合年鉴》,第6期(2002年),65-76页。
图菲克·曼苏尔(Toufik Mansour)、马蒂亚斯·肖克(Matthias Schork)和马克·沙塔克(Mark Shattuck),加泰罗尼亚数字和模式限制集分区。离散数学。312(2012),第20期,2979-2991。MR2956089。
T.S.Motzkin,超曲面交比与多边形分割、永久优势和非结合积的组合公式之间的关系,布尔。阿默尔。数学。《社会学杂志》,54(1948),352-360。
Jocelyn Quaintance和Harris Kwong,《加泰罗尼亚和贝尔数字差异表的组合解释》,《整数》,13(2013),#A29。
J.Riordan,《通过分支和端点对平面树进行计数》,J.Combin.Theory,A 23(1975),214-222。
A.Sapounakis等人,有序树和横向中阶,Disc。数学。,306 (2006), 1732-1741.
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,《Dyck路径中的字符串计数》,离散数学。,307 (2007), 2909-2924.
E.Schroeder,Vier组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376.
L.W.Shapiro等人,Riordan小组,离散应用数学。,34 (1991), 229-239.
Mark Shattuck,《关于组合系数多项式的零点》,《数学与信息年鉴》,42(2013),第93-101页,http://ami.ektf.hu。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil,《k二项式变换和Hankel变换》,《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.1条。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,剑桥,第2卷,1999年;参见问题6.37。还有问题7.16(b),y_3(n)。
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广加泰罗尼亚数和莫茨金数的一些新序列,离散数学。,26 (1979), 261-272.
孙振伟,涉及数列的猜想,《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu,H.Z.Li和J.Y.Liu),Proc。第六届中日学期数理论(上海,2011年8月15日至17日),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页;网址:http://math.nju.edu.cn/~zwsun/142p.pdf。
王晨英、彼得·米斯卡和伊斯特万·梅兹,“r-错位数”,《离散数学》340.7(2017):1681-1692。
王颖,辛国策,莫茨金数模8的分类,电子。J.Combina.,25(1)(2018),#P1.54。
Woan Wen-Jin,Motzkin序列递归关系的格路组合证明。斐波纳契夸脱。40(2002),第1期,第3-8页。
Wen jin Woan,加权Motzkin序列的递归关系,整数序列杂志,第8卷(2005),第05.1.6条。
F.Yano和H.Yoshida,Some在非交叉分区和生成函数中设置分区统计,Disc。数学。,307 (2007), 3147-3160.
链接
Seiichi Manyama,n=0..2106时的n,a(n)表(前501个术语来自N.J.A.Sloane)
M.Abrate、S.Barbero、U.Cerruti和N.Murru,二项插值算子和其他算子的推广的固定序列,J.国际顺序。14 (2011) # 11.8.1.
M.Aigner,莫兹金数,欧洲。J.库姆。19 (1998), 663-675.
M.Aigner,通过选票编号枚举,离散数学。,308 (2008), 2544-2563.
J.L.Arregui,切线和伯努利数通过数字三角形与Motzkin和Catalan数字相关,arXiv:math/0109108[math.NT],2001年。
马塞洛·阿蒂奥利(Marcello Artioli)、朱塞佩·达托利(Giuseppe Dattoli)、西尔维娅·利奇亚迪(Silvia Licciardi)和西蒙内塔·帕格努蒂(Simonetta Pagnutti),Motzkin数:一种操作观点,arXiv:1703.07262[math.CO],2017年。
安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路的分析组合学:枚举方面《语言与自动机理论与应用国际会议》,S.Klein,C.Martín-Vide,D.Shapira(编辑),Springer,Cham,第195-206页,2018年。
安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路径的分析组合、向量核方法和下推自动机的生成函数巴黎北部信息实验室(LIPN 2019)。
安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
A.Asinowski和G.Rote,具有许多非交叉匹配的点集,arXiv预印本arXiv:1502.04925[cs.CG],2015。
阿克塞尔·巴赫,改进Florentine算法:Motzkin和Schröder路径的恢复算法,arXiv:1802.06030[cs.DS],2018年。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps,生成树的生成函数《离散数学》246(1-3),2002年3月,第29-55页。
C.Banderier、C.Kreattehaler、A.Krinik、D.Kruchinin、V.Kruchini、D.Nguyen和M.Wallner,格路径枚举的显式公式:basketball和核方法,arXiv预印本arXiv:1609.06473[math.CO],2016。
Elena Barcucci、Alberto Del Lungo、Elisa Pergola和Renzo Pinzani,一种平面树枚举方法《形式幂级数与代数组合数学第七届会议论文集》(Noisy-le-Grand,1995)。离散数学。180(1998),第1-3、45--64号。MR1603693(98m:05090)。
E.Barcucci等人。,从莫茨金到加泰罗尼亚突变,光盘。数学。,217 (2000), 33-49.
Jean-Luc Baril,用避免虚线图案的排列重访经典序列《组合数学电子杂志》,18(2011),#P178。
Jean-Luc Baril,避免不可约排列中的模式《离散数学与理论计算机科学》,第17卷,第3期(2016年)。
Jean-Luc Baril、David Bevan和Sergey Kirgizov,定向动物、多集合和Grand-Dyck路径之间的分支,arXiv:1906.11870[math.CO],2019年。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov,置换的纯下降统计量, 2016.
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov,置换的纯下降统计量《离散数学》,340(10)(2017),2550-2558。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian,具有高度约束的首次返回分解的Dyck路径, 2017.
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian,具有高度约束的首次返回分解的Dyck路径《离散数学》,341(6)(2018),1620-1628。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian,模某些模式的Łukasiewicz路径的枚举,arXiv:1804.01293[math.CO],2018年。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian,具有受限第一返回分解的Motzkin路径《整数》(2019)第19卷,A46。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、JoséL.Ramírez和Diego Villamizar,Motzkin Polyminoes的组合学,arXiv:2401.06228[math.CO],2024。参见第1页和第7页。
Jean-Luc Baril、Toufik Mansour和A.Petrossian,置换模例外的等价类, 2014.
让-吕克·巴里尔和J.-M.Pallo,Tamari格中的Motzkin子网和Motzkin测地线, 2013.
Jean-Luc Baril和Jean-Marcel Pallo,Tamari格中的Motzkin滤波器,《离散数学》338(8)(2015),1370-1378。
Jean-Luc Baril和A.Petrossian,Dyck路径模某些统计量的等价类, 2004.
Marilena Barnabei、Flavio Bonetti和NiccolòCastronuovo,莫茨金和加泰罗尼亚隧道多项式,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.8.8条。
玛丽莲娜·巴纳贝(Marilena Barnabei)、弗拉维奥·博内蒂(Flavio Bonetti)和马特奥·西林巴尼(Matteo Silinbani),限制对合与Motzkin路,《应用数学进展》47(2011),102-115。
保罗·巴里,整数序列上的加泰罗尼亚变换及相关变换《整数序列杂志》,8(2005),#05.4.5。
保罗·巴里,整数序列的连分式和变换,JIS 12(2009),#09.7.6
保罗·巴里,广义加泰罗尼亚数、Hankel变换和Somos-4序列,J.国际顺序。13 (2010), #10.7.2.
保罗·巴里,关于带有{-1,0,1}Hankel变换的序列,arXiv:1205.2565[math.CO],2012年。
保罗·巴里,Riordan-Bernstein多项式、Hankel变换和Somos序列,《整数序列杂志》,第15期(2012年),第12.8.2期。
保罗·巴里,关于序列的Hurwitz变换《整数序列杂志》,15(2012),#12.8.7。
保罗·巴里,Riordan数组、广义Narayana三角形和级数反转《线性代数及其应用》,491(2016)343-385。
保罗·巴里,Pascal三角、三叉树和交替符号矩阵的Jacobsthal分解《整数序列杂志》,2016年第19期,第16.3.5条。
保罗·巴里,关于Riordan矩序列的一个变换,arXiv:1802.03443【math.CO】,2018年。
保罗·巴里,与类帕斯卡三角形族相关的广义加泰罗尼亚数,J.国际顺序。,22 (2019), #19.5.8.
保罗·巴里,Borel三角形和Borel多项式的特征,arXiv:2001.08799[math.CO],2020年。
A.M.Baxter和L.K.Pudwell,避免成对图案的递增序列,预印本,2014年。
A.M.Baxter和L.K.Pudwell,避免成对图案的递增序列,《组合数学电子杂志》,22(1)(2015),#P1.58。
克里斯蒂安·比恩,求置换集的结构雷克雅未克大学计算机科学学院博士论文,2018年。
Christian Bean、A.Claesson和H.Ulfarsson,同时避免长度为3的脉络膜和脉络膜模式,arXiv:1512.03226[math.CO],2015年。
Jan Bok,特殊图类上的图索引随机游动,arXiv:1801.05498[math.CO],2018年。
米克洛斯·博纳(Miklós Bóna)、切恩·霍姆伯格(Cheyne Homberger)、杰·潘通(Jay Pantone)和文斯·瓦特(Vince Vatter),模式避免对合:精确和渐进枚举,arxiv:1310.7003[math.CO],2013年。
阿林·博斯坦,格路组合的计算机代数,Seminaire de Combinatoire Ph.Flajolet,2013年3月28日。
阿林·博斯坦,Calcul Formel pour la Combinatoire des Marches[文本为英语]2017年12月13日,巴黎大学巴黎北部信息实验室,研究主任。
阿林·博斯坦和曼努埃尔·考尔斯,限制格点行走的自动分类,arXiv:0811.2899[math.CO],2009年。
Alin Bostan、Andrew Elvey Price、Anthony John Guttmann和Jean-Marie Maillard,避免图案置换的Stieltjes矩序列,arXiv:2001.00393[数学.CO],2020年。
亨利·博托姆利,初始术语说明.
Alexander Burstein和J.Pantone,非平衡Wilf等价的两个例子,arXiv:1402.3842[math.CO],2014年。
亚历山大·伯斯坦(Alexander Burstein)和路易斯·夏皮罗(Louis W.Shapiro),Riordan群中的伪进化,arXiv:2112.11595[math.CO],2021。
N.T.Cameron,随机游动、树和Riordan群技术的扩展霍华德大学论文,2002年。
Naiomi T.Cameron和Asamoah Nkwanta,关于Riordan群中的一些(伪)对合《整数序列杂志》,8(2005),#05.3.7。
朱利奥·塞尔拜(Giulio Cerbai)、安德斯·克莱森(Anders Claesson)、卢卡·费拉里(Luca Ferrari)和埃纳尔·斯坦格里姆松(Einar Steingriímsson),使用避免图案的堆栈进行排序:132-机器,arXiv:2006.05692[math.CO],2020年。
Gi-Sang Cheon、S.-T.Jin和L.W.Shapiro,形式幂级数的组合等价关系《线性代数及其应用》,第491卷,2016年2月15日,第123-137页。
J.Cigler,一些不错的Hankel行列式.arXiv:1109.1449[math.CO],2011年。
约翰·西格勒和克里斯蒂安·克拉蒂海尔,正交多项式矩线性组合的Hankel行列式,arXiv:2003.01676[math.CO],2020年。
J.B.Cosgrave,Gauss-Factorial-Motzkin连接(Maple工作表,将后缀更改为.mw)。
R.德卡斯特罗、A.L.拉米雷斯和J.L.拉米雷斯,无穷加权自动机和图在枚举组合数学中的应用,arXiv:1310.2449[cs.DM],2013年。
J.Cigler,一些多项式序列的Hankel行列式,预印本,2012年。
科林·德芬特,Motzkin间隔和有效吊钩配置,arXiv:1904.10451[math.CO],2019年。
科林·德芬特,剧团、累积量和堆叠分类,arXiv:2004.11367[math.CO],2020年。
C.Defant和K.Zheng,具有连续模式避免堆栈的堆栈排序,arXiv:2008.12297[数学.CO],2020年。
E.Deutsch和B.E.Sagan,Catalan数和Motzkin数及相关序列的同余J.Num.Theory 117(2006),191-215。
R.M.Dickau,Delannoy和Motzkin数.
Yun Ding和Rosena R.X.Du,计算Motzkin小路上的驼峰,arXiv预印本arXiv:1109.2661[math.CO],2011。
Filippo Disanto和Thomas Wiehe,关于模式避免排列的子排列问题的一些实例,arXiv:1210.6908[math.CO],2012年。
I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham,Motzkin和Jones单体的幂等统计,arXiv:1507.04838[math.CO],2015年。
I.Dolinka、J.East和R.D.Gray,Motzkin幺半群和部分Brauer幺半群,arXiv:1512.02279[math.GR],2015年。
罗伯特·多纳吉,加泰罗尼亚树和括号上的自同构《组合理论杂志》,B辑,第29卷,第1期(1980年8月),第75-90页。
罗伯特·多纳吉和路易斯·夏皮罗,莫茨金数《组合理论》,A辑,第23卷,第3期(1977年),第291-301页。
小罗伯特·W·唐利,二项式数组和广义Vandermonde恒等式,arXiv:1905.01525[math.CO],2019年。
伊万娜·乌尔德耶夫、伊戈尔·多林卡和詹姆斯·伊斯特,图范畴中的三明治半群,arXiv:1910.10286[math.GR],2019年。
E.S.鸡蛋,限制3412—避免对合:连分式、切比雪夫多项式和枚举,arXiv:math/0307050[math.CO],2003年,第8节。
Gennady Eremin,自然化序列的生成函数:有序Motzkin词的情况,arXiv:2002.08067[math.CO],2020年。
Gennady Eremin,自然括号行和Motzkin三角形,arXiv:2004.09866[math.CO],2020年。
Gennady Eremin,在OEIS中行走:从Motzkin数到Fibonacci数。莫茨金数的“阴影”,arXiv:2108.10676[math.CO],2021。
Jackson Evoniuk、Steven Klee和Van Magnan,枚举最小长度格路径,J.国际顺序。,21 (2018), #18.3.6.
卢卡·费拉里和伊曼纽尔·穆纳里尼,一些路径格中边的计数,arXiv:1203.6792[math.CO],2012和J.国际顺序。17 (2014) #14.1.5.
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学, 2009; 参见第68页和第81页。
里戈伯托·弗洛雷斯、莱安德罗·朱内斯和何塞·拉米雷斯,n维立方格中路径的进一步结果《整数序列杂志》,21(2018),#18.1.2。
Juan B.Gil和Jordan O.Tirrell,经典和增强k-非交叉分区的简单双射,arXiv:1806.09065[math.CO],2018年。《离散数学》(2019),第111705条。doi:10.1016/j.disc.2019.111705
萨缪尔·吉拉乌多,树序列和语法树中的模式避免,arXiv:1903.00677[math.CO],2019年。
Samuele Giraudo,组合子M与Mockingbird格,arXiv:2204.03586[math.CO],2022年。
Nils Haug、T.Prellberg和G.Siudem,面积加权广义Motzkin路径的缩放,arXiv:1605.09643[第二阶段统计数据],2016年。
Nickolas Hein和Jia Huang,模块化加泰罗尼亚数字,arXiv:1508.01688[math.CO],2015-2016年。
Nickolas Hein和Jia Huang,加泰罗尼亚数在非关联二进制运算中的变化,arXiv:1807.04623[math.CO],2018年。
Aoife轩尼诗,Riordan阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格路中的应用2011年10月,沃特福德理工学院博士论文。
Cheyne Homberger,排列和对合中的模式:结构和枚举方法,arXiv预印本1410.2657[math.CO],2014年。
安德斯·海伦格伦,四个整数序列1985年10月4日。从本质上观察到A000984号A002426号是彼此的二项式逆变换,如下所示A000108号A001006号.
INRIA算法项目,组合结构百科全书50
曼纽尔·考尔斯(Manuel Kauers)和多伦·齐尔伯格(Doron Zeilberger),限制运行的标准杨表计数,arXiv:2006.10205[math.CO],2020年。
德米特里·克鲁奇宁和弗拉基米尔·克鲁奇宁,三角形中对角线T_{2n,n}的一个生成函数《整数序列杂志》,18(2015),#15.4.6。
玛丽·路易斯·莱克纳和M.沃勒,解析组合学和格路径计数邀请函,预印本,2015年。
J.W.Layman,Hankel变换及其一些性质《整数序列》,4(2001),#01.1.5。
W.A.Lorenz、Y.Ponty和P.Clote,RNA形状的渐近性《计算生物学杂志》15(1)(2008),31-63。
K.Manes、A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,长度为2和3的投票路径模字符串的等价类,arXiv:1510.01952[math.CO],2015年。
图菲克·曼苏尔,Dyck路径统计《整数序列杂志》,9(2006),#06.1.5。
图菲克·曼苏尔,限制1-3-2置换和广义模式,arXiv:math/0110039[math.CO],2001年。
V.Mazorchuk和B.Steinberg,双加泰罗尼亚幺半群,arXiv:1105.5313[数学.GR],2011年。
彼得·麦卡拉和阿萨莫阿·恩昆塔,加泰罗尼亚和莫茨金积分表示,arXiv:1901.07092[math.NT],2019年。
Cam McLeman和Erin McNicholas,图形可逆性,arXiv:1108.3588[math.CO],2011年。
梅周生和王随杰,广义置换的模式避免,arXiv:1804.06265[math.CO],2018年。
D.Merlini、D.G.Rogers、R.Sprugnoli和M.C.Verri,关于Riordan阵列的一些替代特征、加拿大。数学杂志。,49 (1997), 301-320.
T.Motzkin,超曲面交比,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,51(1945),976-984。
海因里希·尼德豪森,Motzkin路和Schroeder路的逆,arXiv:1105.3713[math.CO],2011年。
J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,非交换对称函数与拉格朗日反演,arXiv:math/0512570[math.CO],2005-2006。
罗伊·奥斯特(Roy Oste)和乔里斯·范德朱特(Joris Van der Jeugt),莫茨金路、莫茨金多项式和递推关系《组合数学电子杂志》,22(2)(2015),#P2.8。
冉潘、邓秋和杰弗里·雷梅尔,S_n(132)和S_n(123)中连续模式匹配的计数,arXiv:1809.01384[math.CO],2018年。
维尔·佩特森,哈密顿循环的计数《组合数学电子杂志》,21(4)(2014),#P4.7。
西蒙·普劳夫,前4431项.
赫尔穆特·普罗丁格,Deutsch路径及其枚举,arXiv:2003.01918[math.CO],2020年。
L.Pudwell,树中的模式回避(演讲中的幻灯片,提到了许多序列),2012年。
L.Pudwell、A.Baxter、,避免成对图案的递增序列, 2014
L.Pudwell,避免图案的上升序列,演讲幻灯片,2015年
何塞·拉米雷斯,Pascal Rhombus和广义Grand-Motzkin路径,arXiv:1511.04577[math.CO],2015年。
J.L.Ramírez和V.F.Sirvent,Riordan阵列中k-Bonacci序列的推广《组合数学电子杂志》,22(1)(2015),第1.38页。
Alon Regev、Amitai Regev和Doron Zeilberger,S_n的字符表中的标识,arXiv:1507.03499[math.CO],2015年。
约翰·里奥丹,致N.J.A.Sloane的信, 1974.
丹·罗米克,中心三项式和Motzkin数的几个公式,J.整数序列。,6 (2003).
E.Rowland和R.Yassawi,有理函数对角线的自动同余,arXiv:1310.8635[math.NT],2013年。
E.Rowland和D.Zeilberger,元自动化的一个案例研究:组合序列同余自动机的自动生成,arXiv:1311.4776[math.CO],2013年。
E.Royer,解释结合了功能价值观的时刻和功能,以及L au bord de la bande批判,《科学年鉴》。Ecole标准。补充(4)36(2003),第4期,601-620。
马丁·鲁比和克里斯蒂安·斯塔姆,基于Billey-Jockusch-Stanley双射的Dyck路的双重缺陷,arXiv:1708.05092[math.CO],2017年。
J.Salas和A.D.Sokal,反铁磁Potts模型的转移矩阵和分区函数零点。V.方形晶格色多项式的进一步结果,J.Stat.Phys。135 (2009) 279-373,arXiv预印本,arXiv:0711.1738[第二阶段统计数据],2007-2009年。提到这个序列。
A.Sapounakis和P.Tsikouras,关于k色Motzkin词《整数序列杂志》,7(2004),#04.2.5。
E.Schröder,维耶组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376. [带注释的扫描副本]
保罗·塞拉菲尼,计算随机图和分支过程中大小概率的迭代方案《科学规划》(2018),文章编号3791075。
N.J.A.斯隆,初始术语说明.
N.J.A.斯隆,经典序列.
N.J.A.斯隆,OEIS的应用(Vugraph摘自关于OEIS的演讲)。
N.J.A.斯隆,五十年后的《整数序列手册》,arXiv:2301.03149[数学NT],2023年,第1、3页。
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列.[更正带注释的扫描副本]
R.A.Sulanke,广义Motzkin路的矩《整数序列》,3(2000),#00.1。
华孙和王毅,类加泰罗尼亚数对数凸性的组合证明,J.国际顺序。17 (2014), #14.5.2
孙一东、马飞,一类与加权部分Motzkin路相关的Riordan阵的子阵,arXiv:1305.2015[math.CO],2013年。
孙志伟,涉及算术序列的猜想,in:《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu),Proc。第六届中日研讨会(2011年8月15日至17日,上海),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页。
L.Takacs,有根树木和森林的计数,数学。《科学家》18(1993),1-10,特别是公式(6)。
默里·坦诺克,具有支配模式的网格模式的等价类2016年5月,雷克雅未克大学硕士论文。
保罗·塔劳,穿越数量级的徒步旅行:导出闭简单型Lambda项和正规形式的有效生成元,arXiv预印本arXiv:1608.03912[cs.PL],2016。
乔纳斯·沃尔,图代数I上的迹:自由划分量子群、随机格路径和树上的随机游动,arXiv:2006.07312[math.PR],2020年。
陈旺、孙志伟,涉及中心三项式系数的同余,arXiv:1910.06850[math.NT],2019年。
Y.Wang和Z.-H.Zhang,广义Motzkin数的组合数学,J.国际顺序。18(2015),第15.2.4条。
王毅和朱宝轩,数论序列和组合序列单调性猜想的证明,arXiv预印本arXiv:1303.5595[math.CO],2013。
埃里克·魏斯坦的数学世界,莫茨金数.
维基百科,莫茨金数.
W.-J.Woan,Hankel矩阵与格路《整数序列》,4(2001),#01.1.2。
杨俊彦、钟敏熙、周瑞德、,关于(s,s+1,s+2)-核心分区的枚举,arXiv:1406.2583[math.CO],2014年。
桓雄,同时的核心分区数,arXiv:1409.7038[math.CO],2014年。
张燕X,分次偏序集的四种变分,arXiv:1508.00318[math.CO],2015年。
闫庄,广义Goulden-Jackson聚类方法与格点路径枚举,arXiv:1508.02793[math.CO],2015-2018;《离散数学》341.2(2018):358-379。
配方奶粉
通用公式:A(x)=(1-x-(1-2*x-3*x^2)^(1/2))/(2*x^ 2)。
G.f.A(x)满足A(x。
G.f.:f(x)/x,其中f(x)是x/(1+x+x^2)的反转-乔格·阿恩特2012年10月23日
a(n)=(-1/2)和{i+j=n+2,i>=0,j>=0}(-3)^i*C(1/2,i)*C(1/2,j)。
a(n)=(3/2)^(n+2)*和{k>=1}3^(-k)*加泰罗尼亚语(k-1)*二项式(k,n+2-k)。【Doslic等人】
a(n)~3^(n+1)*sqrt(3)*(1+1/(16*n))/(2*n+3)*squart((n+2)*Pi))。[巴库奇、平扎尼和斯普鲁格诺利]
极限{n->infinity}a(n)/a(n-1)=3。[艾格纳]
a(n+2)-a(n+1)=a(0)*a(n)+a(1)*aa(n)*a(0)。[伯恩哈特]
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{i}(n+1)/(i!*(i+1)*(n-2*i)!)。[伯恩哈特]
发件人伦·斯迈利:(开始)
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*A000108号(k+1),反演二项式变换A000108号.
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{k=0..上限(n+1;
递归D-有限:(n+2)*a(n)=(2*n+1)*a。(结束)
a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,2k)*A000108号(k) -保罗·巴里,2003年7月18日
例如:exp(x)*BesselI(1,2*x)/x-弗拉德塔·乔沃维奇2003年8月20日
a(n)=A005043号(n)+A005043号(n+1)。
这个序列的Hankel变换给出了A000012号= [1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]. 例如,Det([1,1,2,4;1,2,4,9;2,4,9,21;4,9,151])=1-菲利普·德尔汉姆2004年2月23日
a(m+n)=和{k>=0}A064189号(米,克)*A064189号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2004年3月5日
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{j=0..floor(n/3)}(-1)^j*二项式(n+1,j)*二项法(2*n-3*j,n)-Emeric Deutsch公司2004年3月13日
a(n)=A086615号(n)-A086615号(n-1)(n>=1)-Emeric Deutsch公司2004年7月12日
通用公式:A(x)=(1-y+y^2)/(1-y)^2,其中(1+x)*(y^2-y)+x=0;A(x)=4*(1+x)/(1+x+平方(1-2*x-3*x^2))^2;a(n)=(3/4)*(1/2)^n*总和_(k=0..2*n,3^(n-k)*C(k)*C(k+1,n+1-k))+0^n/4[根据Doslic等人]-保罗·巴里,2005年2月22日
G.f.:c(x^2/(1-x)^2)/(1-xA000108号. -保罗·巴里2006年5月31日
渐近公式:a(n)~sqrt(3/4/Pi)*3^(n+1)/n^(3/2)-贝诺伊特·克洛伊特2007年1月25日
a(n)=A007971号(n+2)/2-零入侵拉霍斯,2007年2月28日
a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=-1..3}x^n*sqrt((3-x)*(1+x))是力矩表示-保罗·巴里2007年9月10日
给定一个整数t>=1,初始值u=[a_0,a_1,…,a{t-1}],我们可以通过设置a_n=a_{n-1}+a_0*a_{n-1}+a_1*a{n-2}+…+来定义无限序列Phi(u)a_{n-2}*a_1表示n>=t。例如,Phi([1])是加泰罗尼亚数字A000108号目前的序列是Phi([0,11]),见第六个公式-加里·亚当森2008年10月27日
G.f.:1/(1-x-x^2/(1-x-x^2/-(1-x-x2/(1-x-x^2/……(连分数))-保罗·巴里2008年12月6日
通用公式:1/(1-(x+x^2)/(1-x^2/(1--保罗·巴里2009年2月8日
a(n)=(-3)^(1/2)/(6*(n+2))*(-1)^n*(3*超几何([1/2,n+1],[1],4/3)-超几何([1],n+2],[1],4/3))-马克·范·霍伊2009年11月12日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1-x^2/-保罗·巴里2010年3月2日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1+x-x/(1+/(1+x-x/(1+x-x/-保罗·巴里2011年1月26日[前面显然添加了第三个'1'-R.J.马塔尔2011年1月29日]
设A(x)为g.f.,则B(x)=1+x*A(x)=1+1*x+1*x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+…=1/(1-z/(1-z:(1-z[(…)))),其中z=x/(1+x)(连分数);一般来说,B(x)=C(x/(1+x)),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
a(n)=(2/Pi)*积分{x=-1..1}(1+2*x)^n*sqrt(1-x^2)-彼得·卢施尼2011年9月11日
总面积:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x*2))=1/2/(x^ 2)-1/2/x-1/2/(x^2)*G(0);G(k)=1+(4*k-1)*x*(2+3*x)/(4*k+2-x*(2+3*x)*(4*k+1)*(4*k+2)/(x*(2+3*x;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月1日
总面积:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x*2))=(-1+1/G(0))/;G(k)=1-2*x/(1+x/(1+x/(1-2*x/(1-x/(2-x/G(k+1))));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月11日
0=a(n)*(9*a(n+1)+15*a-迈克尔·索莫斯2012年3月23日
a(n)=(-1)^n*超几何([-n,3/2],[3],4)-彼得·卢施尼2012年8月15日
雅可比多项式P(n,alpha,beta,x)的特殊值表示,Maple表示法:a(n)=2*(-1)^n*n*雅可比P(n,2,-3/2-n,-7)/(n+2)!,n> =0-卡罗尔·彭森2013年6月24日
G.f.:Q(0)/x-1/x,其中Q(k)=1+(4*k+1)*x/((1+x)*(k+1)-x*(1+x)*(2*k+2)*(4*k+3)/(x*(8*k+6)+(2*k+3)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日
加泰罗尼亚语(n+1)=和{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)。例如:42=1*1+4*1+6*2+4*4+1*9-多伦·齐尔伯格2015年3月12日
偏移量为1的G.f.A(x)满足:A(x)^2=A(x^2/(1-2*x))-保罗·D·汉纳2015年11月8日
a(n)=GegenbauerPoly(n,-n-1,-1/2)/(n+1)-伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日
a(n)=a(n-1)+A002026号(n-1)。以F步长开始的Motzkin路径数,加上以U步长开头的Motz路径数-R.J.马塔尔2017年7月25日
G(x)满足A(x)*A(-x)=f(x^2),其中f(x)是A168592号. -亚历山大·伯斯坦2017年10月4日
G.f.:A(x)=exp(int((E(x)-1)/x dx)),其中E(xA002426号等价地,E(x)=1+x*A'(x)/A(x)-亚历山大·伯斯坦2017年10月5日
G.f.A(x)满足:A(x-伊利亚·古特科夫斯基2019年4月11日
发件人Gennady Eremin公司,2021年5月8日:(开始)
总面积:2/(1-x+平方(1-2*x-3*x^2))。
a(n)=A107587年(n)+A343386型(n) =2*A107587号(n)-A343773型(n) =2*A343386型(n)+A343773型(n) ●●●●。(结束)
还原的转换A049347号(迈克尔·索莫斯之后)-Gennady Eremin公司2021年6月11日
Sum_{n>=0}1/a(n)=2.941237337631025604300320152921013604885956025483079699366681494505960039781389... -瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月17日
对于Z中的所有n,设a(-1)=(1-sqrt(-3))/2和a(n)=a(-3-n)*(-3)^(n+3/2)。然后,a(n-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
设b(n)=1,n<=1,否则b(n)=Sum_{k=2..n}b(k-1)*b(n-k),则a(n)=b(n+1)(猜想)-乔格·阿恩特2023年1月16日
发件人彼得·巴拉,2024年2月3日:(开始)
G.f.:A(x)=1/(1+x)*c(x/(1+xA000108号.
A(x)=1/(1-3*x)*c(-x/(1-3**))^2。
a(n+1)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*A000245型(k+1)。
a(n)=3^n*和{k=0..n}(-3)^(-k)*二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。
a(n)=3^n*超深层([3/2,-n],[3],4/3)。(结束)
G.f.A(x)满足A(x-保罗·D·汉纳2024年3月4日
例子
总尺寸:1+x+2*x^2+4*x^3+9*x^4+21*x^5+51*x*6+127*x^7+323*x^8+。。。
MAPLE公司
#此序列有三种不同的Maple脚本:
[seq(加上(二项式(n+1,k)*二项式[n+1-k,k-1),k=0..ceil((n+1)/2))/(n+1),n=0..50)];
A001006号:=proc(n)选项记忆;局部k;如果n<=1,则1其他进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-k-2),k=0..n-2);fi;结束;
顺序:=20:求解(级数(x/(1+x+x^2),x)=y,x);
zl:=4*(1-z+sqrt(1-2*z-3*z^2))/(1-z+sqrt#零入侵拉霍斯2007年2月28日
#n->[a(0),a(1),..,a(n)]
A001006号_列表:=proc(n)局部w,m,j,i;w:=proc(i,j,n)选项记忆;
如果最小(i,j,n)<0或最大(i,j)>n,则0
elif n=0,则如果i=0且j=0,那么1为0,否则为0
w(i,j+1,n-1)+w(i-1,j,n-1
[seq(相加(w(i,j,m),i=0..m),j=0...m),m=0..n)]结束:
A001006号_列表(29)#彼得·卢施尼2011年5月21日
数学
a[0]=1;a[n-Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,0,n-2}];数组[a,30]
(*第二个节目:*)
系数列表[级数[(1-x-(1-2x-3x^2)^(1/2))/(2x^2”,{x,0,29}],x](*Jean-François Alcover公司2011年11月29日*)
表[超几何2F1[(1-n)/2,-n/2,2,4],{n,0,29}](*彼得·卢施尼2016年5月15日*)
表[GegenbauerC[n,-n-1,-1/2]/(n+1),{n,0,100}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*)
MotzkinNumber=DifferenceRoot[函数[{y,n},{(-3n-3)*y[n]+(-2n-5)*y[n+1]+(n+4)*y[n+2]==0,y[0]==1,y[1]==1}]];
表[MotzkinNumber[n],{n,0,29}](*Jean-François Alcover公司2021年10月27日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=波尔科夫((1-x-sqrt((1-x)^2-4*x^2+x^3*O(x^n))/(2*x^2),n)}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n++;极系数(serreverse(x/(1+x+x^2)+x*O(x^n)),n)}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff(exp(x+x*O(x^n))*besseli(1,2*x+x*O(x*n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(最大值)a[0]:1$
a[1]:1$
a[n]:=((2*n+1)*a[n-1]+(3*n-3)*a[2])/(n+2)$
makelist(a[n],n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月2日*/
(最大值)
M(n):=系数(展开((1+x+x^2)^(n+1)),x^n)/(n+1;
名单(M(n),n,0,60)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年4月4日*/
(Maxima)标记列表(超球面(n,-n-1,-1/2)/(n+1),n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*/
(哈斯克尔)
a001006 n=a001006_列表!!n个
a001006_list=zipWith(+)a005043_list$tail a005043-list
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月31日
(Python)
从gmpy2导入divexact
A001006号= [1, 1]
对于范围(2,10**3)中的n:
A001006号.append(divexact(A001006号[-1]*(2*n+1)+(3*n-3)*A001006号[-2],n+2))
#柴华武2014年9月1日
(Python)
定义mot():
a、 b,n=0,1,1
为True时:
产量b//n
n+=1
a、 b=b,(3*(n-1)*n*a+(2*n-1)*n*b)//((n+1)*(n-1))
A001006号=电机()
打印([下一页(A001006号)对于范围(30)内的n)#彼得·卢施尼2016年5月16日
交叉参考
与圆圈中和弦相关的序列:A001006号,A054726号,A006533号,A006561号,A006600型,A007569号,A007678号。另请参阅索引文件中的弦图条目。
a(n)=A005043号(n)+A005043号(n+1)。
A086246号是另一个版本,尽管这是主条目。第k列=第3列,共列A182172号.
囊性纤维变性。A004148号,A004149号,A023421号,A023422号,A023423号,A290277型(发票:Euler Transf.)。
关键词
非n,核心,容易的,美好的
作者
状态
经核准的

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新的seq。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间:美国东部夏令时2024年5月24日11:42。包含372773个序列。(在oeis4上运行。)