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| A064189号 |
| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，定义为：T（0,0）=1，如果n<k，T（n，k）=0，T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）+T（n-1，k+1）。 |
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56
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, 1, 9, 12, 9, 4, 1, 21, 30, 25, 14, 5, 1, 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1, 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1, 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1, 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1, 2188, 3610, 3915, 3288, 2235, 1242, 560, 200, 54, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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按相反顺序读取莫茨金三角形。
Riordan数组（1-x-sqrt（1-2x-3x^2））/（2x^2”，（1-x-sqlt（1-2x-3x^ 2））或（2x））。逆是数组（1/（1+x+x^2），x/（1+x+x^ 2））(A104562号). -保罗·巴里2005年3月15日
三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下给定的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=T（n-1,0）+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k＜0或如果k＞n，T（n，0）=x*T（n-1,0）+T（n-1,1），T（n，k）=T（n-1，k-1）+y*T（n-1，k）+T（n-1，k+1），如果k＞=1。为（x，y）选择不同的值会产生其他三角形：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; （1,4）->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; （4,3）->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
考虑一个带有标记为（n，k）的正方形、秩或行n>=0、文件或列k>=0的半无限棋盘；长度n从（0,0）到（n，k），0<=k<=n的主通道数为T（n，k）。上面给出的递归关系与国王的运动有关。这基本上是哈里·格隆迪亚斯（Harrie Grondijs）对莫茨金三角的评论A026300型. -约翰内斯·梅耶尔，2010年10月10日
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参考文献
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E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli，莫茨金家族，P.U.M.A.Ser。A、 第2卷，1991年，第3-4期，第249-279页。
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链接
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I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham，Motzkin和Jones单体的幂等统计，arXiv预印本arXiv:1507.04838[math.CO]，2015。
R.Donaghey和L.W.Shapiro，莫茨金数《组合理论》，A辑，23（1977），291-301。
伊万娜·乌尔德耶夫、伊戈尔·多林卡和詹姆斯·伊斯特，图范畴中的三明治半群，arXiv:1910.10286[math.GR]，2019年。
汤姆·哈尔弗森和西奥多·雅各布森，集部分表与图代数的表示，arXiv:1808.08118[math.RT]，2018年。
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配方奶粉
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Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*（k+1）=3^n。
求和{k=0..n}T（n，k）*T（n、n-k）=T（2*n，n）-T（2*m，n+2）
k列具有例如f.exp（x）*（贝塞尔I（k，2*x）-BesselI（k+2.2*x））-保罗·巴里2006年2月16日
T（n，k）=和{j=0..n}C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j、j+k+2））-保罗·巴里2006年2月16日
第n行由M^n*V生成，其中M=无限三对角矩阵，所有1都在上、主、次对角中；V=无限向量[1,0,0,0，…]。例如，第3行=（4，5，3，1），因为M^3*V=[4，5,3，1，0，0，…]-加里·亚当森2006年11月4日
T（n，k）=（k/n）*Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*Binominal（j，2*j-n-k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月12日
Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*（-1）^k*（k+1）=（-1）^n-沃纳·舒尔特2015年7月8日
求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^3=（2*n+1）*3^n-沃纳·舒尔特2015年7月8日
总面积：2/（1-x+平方（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）=Sum_{n>=k>=0}T（n，k）*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2016年6月6日
T（n，k）=二项式（n，k）*超几何（[（k-n）/2，（k-n+1）/2]，[k+2]，4）-彼得·卢什尼2021年5月19日
关于点x=0展开的函数（1-x^2）*（1+x+x2）^n的n次泰勒多项式的系数以相反的顺序给出了第n行中的项-彼得·巴拉2022年9月6日
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例子
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三角形开始：
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 2, 2, 1;
[3] 4、5、3、1；
[4] 9, 12, 9, 4, 1;
[5] 21, 30, 25, 14, 5, 1;
[6] 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1;
[7] 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1;
[8] 323、512、518、392、230、104、35、8、1；
[9] 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1.
.
生产矩阵开始：
1, 1
1, 1, 1
0, 1, 1, 1
0, 0, 1, 1, 1
0，0，0，1，1，1
0,0,0,1,1（结束）
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MAPLE公司
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别名（C=二项式）：A064189号：=（n，k）->添加（C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j，j+k+2）），j=0。.n）：seq（seq(A064189号（n，k），k=0..n），n=0..10）#彼得·卢什尼2019年12月31日
PMatrix（10，n->简化（hypergeom（[1-n/2，-n/2+1/2]，[2]，4））#彼得·卢什尼2022年10月8日
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数学
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T[0,0，x_，y_]：=1；T[n，0，x_，y]：=x*T[n-1，0，x，y]+T[n-1，1，x，y]；T[n_，k_，x_，y]：=T[n，k，x，y]=如果[k<0||k>n，0，T[n-1，k-1，x，y]+y*T[n-1，k，x，y]+T[n-l，k+1，x，y]]；表[T[n，k，1，1]，｛n，0，10｝，｛k，0，n｝]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2017年4月21日*）
T[n_，k_]：=二项式[n，k]超几何2F1[（k-n）/2，（k-n+1）/2，k+2，4]；
表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*彼得·卢什尼2021年5月19日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于范围（dim）内的n：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于k in（0..n-1）：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k]+M[n-1，k+1]
返回M
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，polceoff（polceof（2/（1-x+sqrt（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）+x*O（x^n），n），k））}/*迈克尔·索莫斯2016年6月6日*/
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交叉参考
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作者
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扩展
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经核准的
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