A064189-OEIS公司

A064189号

三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，定义为：T（0,0）=1，T（n、k）=0，如果n<k，T（n，k）=T（n-1，k-1）+T。

1, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 3, 1, 9, 12, 9, 4, 1, 21, 30, 25, 14, 5, 1, 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1, 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1, 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1, 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1, 2188, 3610, 3915, 3288, 2235, 1242, 560, 200, 54, 10, 1

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,4

Motzkin三角形按相反顺序读取。

T（n，k）=从（0,0）到（n，k）的晶格路径数，弱位于x轴上方，由步骤U=（1,1），D=（1，-1）和H=（1,0）组成。例如：T（3,1）=5，因为我们有HHU、UDU、HUH、UHH和UUD。第0、1、2和3列给出A001006号（莫茨金数），A002026号（Motzkin数的第一个差值），A005322号和A005323号分别是。 -Emeric Deutsch公司2004年2月29日

Riordan数组（1-x-sqrt（1-2x-3x^2））/（2x^2”，（1-x-sqlt（1-2x-3x^ 2））或（2x））。逆是数组（1/（1+x+x^2），x/（1+x+x^ 2））(A104562号). -保罗·巴里2005年3月15日

逆二项式矩阵应用于A039598号. -菲利普·德尔汉姆2007年2月28日

三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下给定的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=T（n-1,0）+T。 -菲利普·德尔汉姆2007年3月27日

该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。为（x，y）选择不同的值会产生其他三角形：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->126954英镑; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->124574英镑; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日

三角形的等式二项式变换A053121号. -加里·亚当森2008年10月25日

考虑一个带有标记为（n，k）的正方形、秩或行n>=0、文件或列k>=0的半无限棋盘；长度n从（0,0）到（n，k），0<=k<=n的主通道数为T（n，k）。上述循环关系与国王的运动有关。这基本上是哈里·格隆迪亚斯（Harrie Grondijs）对莫茨金三角的评论A026300型. -约翰内斯·梅耶尔2010年10月10日

参考文献

请参见A026300型以获取更多参考和其他信息。

链接

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E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli，莫茨金家族P.U.M.A.系列。A，第2卷，1991年，第3-4期，第249-279页。

保罗·巴里，关于Motzkin-Schröder路径、Riordan阵列和Somos-4序列，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.4.7条。

保罗·巴里，矩序列、变换和蜘蛛网图，arXiv:2307.00098[math.CO]，2023年。

保罗·巴里，关于Riordan阵列和格路径的注记，arXiv:2504.09719[math.CO]，2025年。见第16、29页。

陈晓梅，计算高度为k的Motzkin路径中的驼峰和峰值，arXiv:2412.00668[math.CO]，2024。见第3、7页。

伊戈尔·多林卡（Igor Dolinka）、詹姆斯·伊斯特（James East）、阿萨纳西奥斯·埃文格鲁（Athanasios Evangelou）、德斯蒙德·菲茨杰拉德（Desmond FitzGerald）、尼古拉斯·哈姆（Nicholas Ham）、詹姆斯海德（James-Hyde）、尼古拉斯·洛林（Nicho拉斯Loughlin）和詹姆斯·米切尔（James-Mitchell），Motzkin和Jones单体的幂等统计，arXiv预印本arXiv:1507.04838[math.CO]，2015。

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Toufik Mansour和Mark Shattuck，根据容量枚举加泰罗尼亚语和流畅的单词《整数》（2025）第25卷，第A5条。见第29页。

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杨胜良、董燕妮、何田晓霞，有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式，《离散数学》340.12（2017）：3081-3091。

杨胜良、高元元，Pascal菱形和Riordan阵列，光纤。问，56:4（2018），337-347。见图3。

配方奶粉

和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）=3^n。

求和{k=0..n}T（n，k）*T（n、n-k）=T（2*n，n）-T（2*m，n+2）

G.f.:M/（1-t*z*M），其中M=1+z*M+z^2*M^2是Motzkin数的G.f(A001006号). -Emeric Deutsch公司2004年2月29日

和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A001006号（m+n）。 -菲利普·德尔汉姆2004年3月5日

和{k>=0}T（n-k，k）=A005043号（n+2）。 -菲利普·德尔汉姆2005年5月31日

k列具有例如f.exp（x）*（贝塞尔I（k，2*x）-BesselI（k+2.2*x））。 -保罗·巴里2006年2月16日

T（n，k）=和{j=0..n}C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j、j+k+2））。 -保罗·巴里2006年2月16日

第n行由M^n*V生成，其中M=无限三对角矩阵，所有1都在上、主、次对角中；V=无限向量[1,0,0,0，…]。例如，第3行=（4，5，3，1），因为M^3*V=[4，5,3，1，0，0，…]。 -加里·亚当森，2006年11月4日

T（n，k）=A122896号（n+1，k+1）。 -菲利普·德尔汉姆2007年4月21日

T（n，k）=（k/n）*Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*Binominal（j，2*j-n-k）。 -弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月12日

和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k*（k+1）=（-1）-维尔纳·舒尔特2015年7月8日

求和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^3=（2*n+1）*3^n-维尔纳·舒尔特2015年7月8日

总面积：2/（1-x+平方（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）=Sum_{n>=k>=0}T（n，k）*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2016年6月6日

T（n，k）=二项式（n，k）*超几何（[（k-n）/2，（k-n+1）/2]，[k+2]，4）。 -彼得·卢什尼2021年5月19日

关于点x=0展开的函数（1-x^2）*（1+x+x2）^n的n次泰勒多项式的系数以相反的顺序给出了第n行中的项。 -彼得·巴拉2022年9月6日

例子

三角形开始：

[0] 1;

[1] 1, 1;

[2] 2, 2, 1;

[3] 4, 5, 3, 1;

[4] 9, 12, 9, 4, 1;

[5] 21, 30, 25, 14, 5, 1;

[6] 51, 76, 69, 44, 20, 6, 1;

[7] 127, 196, 189, 133, 70, 27, 7, 1;

[8] 323, 512, 518, 392, 230, 104, 35, 8, 1;

[9] 835, 1353, 1422, 1140, 726, 369, 147, 44, 9, 1;

...

发件人菲利普·德尔汉姆2011年11月4日：（开始）

生产矩阵开始：

1, 1

1, 1, 1

0, 1, 1, 1

0, 0, 1, 1, 1

0, 0, 0, 1, 1, 1

0,0,0,1,1（结束）

MAPLE公司

别名（C=二项式）：A064189号：=（n，k）->加（C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j、j+k+2）），j=0..n）：seq（seq(A064189号（n，k），k=0..n），n=0..10）； #彼得·卢什尼2019年12月31日

#使用来自的函数PMatrixA357368飞机。在上面添加一行，在左边添加一列。

PMatrix（10，n->简化（hypergeom（[1-n/2，-n/2+1/2]，[2]，4））； #彼得·卢什尼2022年10月8日

数学

T[0,0，x_，y_]：=1；T[n，0，x_，y]：=x*T[n-1，0，x，y]+T[n-1，1，x，y]；T[n_，k_，x_，y]：=T[n，k，x，y]=如果[k<0||k>n，0，T[n-1，k-1，x，y]+y*T[n-1，k，x，y]+T[n-l，k+1，x，y]]；表[T[n，k，1，1]，{n，0，10}，{k，0，n}]//扁平(*G.C.格鲁贝尔2017年4月21日*）

T[n_，k_]：=二项式[n，k]超几何2F1[（k-n）/2，（k-n+1）/2，k+2，4]；

表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*彼得·卢什尼2021年5月19日*）

黄体脂酮素

（鼠尾草）

定义A064189号_三角（暗）：

M=矩阵（ZZ，dim，dim）

对于范围（dim）内的n：M[n，n]=1

对于n in（1..dim-1）：

对于k in（0..n-1）：

M[n，k]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k]+M[n-1，k+1]

返回M

A064189号_三角天使（9）#彼得·卢什尼2012年9月20日

（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，polceoff（polceof（2/（1-x+sqrt（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）+x*O（x^n），n），k））}； /*迈克尔·索莫斯2016年6月6日*/

交叉参考

A026300元（此序列的主条目），行颠倒。

囊性纤维变性。A001006号,A002026号,A005322号,A005323号,A053121号.

行总和给出：A005773号（n+1）或A307789型（n+2）。

上下文中的序列：A273713型 A339067型 A322329型*A273897型 A330792型 A063415号

相邻序列：A064186号 A064187号 A064188号*A064190美元 A064191号 A064192号

关键词

非n,容易的,表

作者

N.J.A.斯隆2001年9月21日

扩展

更多术语来自弗拉德塔·乔沃维奇2001年9月23日

状态

经核准的