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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A053122号 切比雪夫s(n,x-2)=U(n,x/2-1)多项式系数的三角形(x的指数按递增顺序)。 37
1, -2, 1, 3, -4, 1, -4, 10, -6, 1, 5, -20, 21, -8, 1, -6, 35, -56, 36, -10, 1, 7, -56, 126, -120, 55, -12, 1, -8, 84, -252, 330, -220, 78, -14, 1, 9, -120, 462, -792, 715, -364, 105, -16, 1, -10, 165, -792, 1716, -2002, 1365, -560, 136, -18, 1, 11, -220, 1287, -3432, 5005, -4368, 2380, -816, 171, -20 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0.2个
评论
除符号外,与A078812号.
另一个具有行标题0和不同符号的版本由A285072型.
行多项式S(n,x-2)(有符号三角形)的G.f.:1/(1+(2-x)*z+z^2)。无符号三角形|a(n,m)|具有行多项式的g.f.1/(1-(2+x)*z+z^2)。
行总和(带符号三角形)A049347号(n) (周期性(1,-1,0))。行总和(无符号三角形)A001906号(n+1)=F(2*(n+1。
用夏皮罗等人的语言(见A053121号作为参考)这样一个下三角(普通)卷积数组,被认为是一个矩阵,属于Riordan群的Bell子群。
(无符号)列序列为A000027号,A000292号,A000389号,A000580美元,A000582号,A001288号对于m=0..5,分别。对于m=6..23,它们是A010966号..(+2)。。A011000型对于m=24..49,它们是A017713号..(+2)..A017763号.
Riordan数组(1/(1+x)^2,x/(1+x)^2)。反向数组为A039598号对角线和具有g.f.1/(1+x^2)-保罗·巴里2005年3月17日。由_Wolfdeater_Lang更正,2012年11月13日。
未签名版本位于A078812号. -菲利普·德尔汉姆2006年11月5日
此外,第n行给出了根系A_n的Cartan矩阵特征多项式的系数(除总符号外)-罗杰·巴古拉2007年5月23日
发件人沃尔夫迪特·朗2012年11月13日:(开始)
这个Riordan三角形的A序列是A115141号,Z序列为A115141号(n+1),n>=0。关于Riordan矩阵的A-和Z-序列,请参见下的W.Lang链接A006232号包含详细信息和参考。
S(n,x^2-2)=切比雪夫S多项式的和(r(j,x^2),j=0..nA127672号通过比较r(j,x^2)多项式部分和的o.g.f.得到的证明(参见对有符号Riordan三角形的注释A111125号)对于具有x->x^2的行多项式,使用当前的Riordan类型o.g.f。(结束)
S(n,x^2-2)=S(2*n+1,x)/x,n>=0,从o.g.f平分的奇数部分算起-沃尔夫迪特·朗2012年12月17日
对于Narayana数与生成器的关系A001263号,请参阅A119900个,其列是此数组的无符号移位行(或反对偶行),请参阅示例部分中的表-汤姆·科普兰2014年10月29日
此数组的无符号行是镜像A011973号和交替移位的行A030528型斐波那契多项式-汤姆·科普兰2014年11月4日
k列>=0的Boas-Buck型重现性(见2017年8月10日的评论A046521号带参考):a(n,m)=(2*(m+1)/(n-m))*Sum_{k=m..n-1}(-1)^(n-k)*a(k,m),输入a(n、n)=1,a(n和k)=0表示n<k-沃尔夫迪特·朗2020年6月3日
第n行给出了(n X n)-矩阵M的特征多项式,其中M[i,j]=2如果i=j,-1如果|i-j|=1,否则为0。矩阵M是正定的,有2个条件数(cot(Pi/(2*n+2))^2-宋佳宁2022年6月21日
(-1)^(n+1)*n的卷积三角形-彼得·卢什尼2022年10月7日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第795页。
西奥多·里夫林,切比雪夫多项式:从近似理论到代数和数论,2。编辑,威利,纽约,1990年。
R.N.Cahn,《半单李代数及其表示》,多佛,纽约,2006年,ISBN 0-486-44999-8,第62页。
Sigurdur Helgasson,微分几何,李群和对称空间,数学研究生课程,第34卷。A.M.S.:ISBN 0-8218-2848-71978,第463页。
链接
沃尔夫迪特·朗,三角形的第一行。
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
Naiomi T.Cameron和Asamoah Nkwanta,关于Riordan群中的一些(伪)对合《整数序列》,8(2005),1-16。
P.Damianou,关于Cartan矩阵的特征多项式和Chebyshev多项式,arXiv预印本arXiv:1110.6620[math.RT],2014年(第10页)-汤姆·科普兰2014年10月11日
Pentti Haukkanen、Jorma Merikoski、Seppo Mustonen、,与正多边形相关的一些多项式《Sapientiae大学学报》,Mathematica,6,2(2014)178-193。
埃里克·魏斯坦的数学世界,Cartan矩阵
埃里克·魏斯坦的数学世界,Dynkin图
配方奶粉
a(n,m):=0,如果n<m else((-1)^(n-m))*二项式(n+m+1,2*m+1);
a(n,m)=-2*a(n-1,m)+a;
第m列的O.g.f.(带符号三角形):((x/(1+x)^2)^m)/(1+x)^2。
发件人宋佳宁,2022年6月21日:(开始)
T(n,k)=[x^k]f_n(x),其中f_{-1}(x。
f_n(x)=(((x-2+平方码(x^2-4*x))/2)^(n+1)-((x-2-sqrt(x^4-4*x。
f_n(x)的根是2+2*cos(k*Pi/(n+1))=4*
例子
三角形a(n,m)开始于:
n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: -2 1
2: 3 -4 1
3: -4 10 -6 1
4: 5 -20 21 -8 1
5: -6 35 -56 36 -10 1
6: 7 -56 126 -120 55 -12 1
7: -8 84 -252 330 -220 78 -14 1
8: 9 -120 462 -792 715 -364 105 -16 1
9: -10 165 -792 1716 -2002 1365 -560 136 -18 1
…由重新格式化和扩展沃尔夫迪特·朗2012年11月13日
例如,第四行(n=3){-4,10,-6,1}对应于多项式S(3,x-2)=-4+10*x-6*x^2+x^3。
发件人沃尔夫迪特·朗2012年11月13日:(开始)
重现性:a(5,1)=35=1*5+(-2)*(-20)-1*(10)。
Z序列的递归[-2,-1,-2,-5,…]:a(5,0)=-6=(-2)*5+(-1)*(-20)+(-2)*21+(-5)*(-8)+(-14)*1。
A序列的递归[1,-2,-1,-2,-5,…]:A(5,1)=35=1*5+(-2)*(-20)+(-1)*21+(-2”)*(-8)+(-5)*1。
(结束)
例如,第四行(n=3){-4,10,-6,1}也对应于多项式S(7,x)/x=-4+10*x^2-6*x^4+x^6-沃尔夫迪特·朗2012年12月17日
Boas-Buck型复发:-56=a(5,2)=2*(-1*1+1*(-6)-1*21)=-2*28=-56-沃尔夫迪特·朗2020年6月3日
MAPLE公司
seq(seq((-1)^(n+m)*二项式(n+m+1,2*m+1),m=0..n),n=0..10)#罗伯特·伊斯雷尔2014年10月15日
#使用来自的函数PMatrixA357368飞机。在上面添加一行,在左边添加一列。
P矩阵(10,n->-(-1)^n*n)#彼得·卢什尼2022年10月7日
数学
T[n_,m_,d_]:=如果[n==m,2,If[n==m-1||n==m+1,-1,0]];M[d_]:=表[T[n,M,d],{n,1,d},{M,1,d}];a=连接[M[1],表[系数列表[Det[M[d]-x*恒等矩阵[d]],x],{d,1,10}]];压扁[a](*罗杰·巴古拉2007年5月23日*)
(*MathWorld中矩阵的替代代码:*)
sln[n_]:=2IdentityMatrix[n]-PadLeft[PadRight[IdentityMatrix[n-1],{n,n-1}],{n,n}]-PadLeft[PadRight[IDentityMattrix[n-1],{n-1,n}],{n}](*罗杰·巴古拉2007年5月23日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)
@缓存函数
定义A053122号(n,k):
如果n<0:返回0
如果n==0:如果k==0,则返回1,否则为0
返回A053122号(n-1,k-1)-A053122号(n-2,k)-2*A053122号(n-1,k)
对于(0..9)中的n:[A053122号(n,k)对于k in(0..n)]#彼得·卢什尼2012年11月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A285072型(带有行标题0和不同符号的版本)-埃里克·韦斯特因2017年4月9日
关键词
容易的,美好的,签名,
作者
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月28日10:31。包含371240个序列。(在oeis4上运行。)