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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000244号 三次幂。
(原M2807 N1129)
679
1、3、9、27、81、243、729、2187、6561、19683、59049、177147、531441、1594323、4782969、14348907、43046721、129140163、387420489、116261467、3486784401、10460353203、31381059609、94143178827、28249536481、847288609443、2541865828329、7625597484987 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

同Pisot序列E(1,3),L(1,3),P(1,3),T(1,3)。基本上与Pisot序列E(3,9),L(3,9),P(3,9),T(3,9)基本相同。看到了吗A008776号关于Pisot序列的定义。

(s(0),s(1),…,s(2n+2))的个数,当i=1,2,…,2n+2,s(0)=1,s(2n+2)=3时,0<s(i)<6且| s(i)-s(i-1)|=1。-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日

a(1)=1,a(n+1)是在a(n)和a(n+1)之间有(n)个偶数的最小数。关于k:1,k,k^2,k^3,k^4。。。在a(n)和a(n+1)之间有k-1的(n)倍数。-阿玛纳特·穆尔蒂2004年11月28日

a(n)=三角形中第(n+1)行的和A105728号. -莱因哈德·祖姆凯勒2005年4月18日

其中p(n)是n的整数分区的个数,p(i)是n的第i个分区的个数,d(i)是n的第i个分区的不同部分的个数,m(i,j)是n的第i个分区的第j部分的重数,和{i=1..p(n)}是i上的和,乘积{j=1..d(i)}是j上的积,一个有:a(n)=和{i=1..p(n)}(p(i)!/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!)*2^(p(i)-1)。-托马斯·威德2005年5月18日

对于序列中的任何k>1,k是repunit RĖk的素数分解中出现的第一个素数幂,即A002275号(k) 一。-莱克莱·比达西2006年4月24日

a(n-1)是组成成分的数量。一般而言,(k+1)^(n-1)是k级嵌套复合的数目(例如,4^(n-1)是组成的组成的数目等)。元素之间的每一个n-1空间可以是k层中的一个中断,或者根本就不是中断。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年12月6日

设S是集合a的幂集P(a)上的二元关系,对于P(a)的每个元素x,y,如果x是y的子集,那么a(n)=| S |。-罗斯拉海2006年12月22日

如果X_1,X_2,…,X_n是集{1,2,…,2*n}划分成大小为2的块,那么,对于n>=1,a(n)等于函数f的个数:{1,2,…,2*n}->{1,2}中的固定y_1,y_2,…,yün在{1,2}中有f(X_i)<>{y},(i=1,2,…,n)。-米兰-扬吉奇2007年5月24日

这是对所有正整数k的a(n)=[(2^k)-1]^n形式的所有序列的一般性评论。斯坦利的“枚举组合学”的示例1.1.16提供了一个稍微不同的版本。{-[n]函数的个数。a(n)也是函数f[k]到P([n])的个数,使得[k]中所有i的f(i)的广义交集是空集。其中[n]={1,2,…,n},P([n])是[n]的幂集,{}是空集。-杰弗里·克里特2009年2月28日

a(n)=A064614号(A000079号(n) )和A064614号(m) <a(n)代表m<A000079号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月8日

3^(n+1)=(1,2,2,…)点(1,1,3,9,…,3^n);例如,3^3=27=(1,2,2,2)点(1,1,3,9)=(1+2+6+18)。-加里·W·亚当森2010年5月17日

a(n)是当有3*2^i不同类型的i时n的广义组成数,(i=1,2,…)。-米兰-扬吉奇2010年9月24日

对于n>=1,a(n-1)是当存在2^(i-1)个不同类型的i时n的广义组成数,(i=1,2,…)。-米兰-扬吉奇2010年9月24日

所讨论的序列(“3的幂”)还描述了第k个磁盘的移动次数,该磁盘解决了[RED;BLUE;BLUE]或[RED;RED;BLUE]预着色的Hanoi谜题(参见。邮编:A183111-邮编:A183125).

a(n)是n次斯特恩多项式的个数A057526号. -T、 D.不2011年3月1日

记录在奇数素数中的位置,A087436号. -朱丽·斯特潘·格拉西莫夫2011年3月17日

(1+x+x^2)^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日

a(n)是{0,1,2}中n个元素的组成数;例如,a(2)=9,因为有9个组成部分0+0,0+1,1+0,0+2,1+2,2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日;编辑修改。]

除了前两项外,这些都是奇数n,因此2<=x<=n-2的x满足x^(n-1)==1(mod n)。-阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月3日

其中每个自然数由p种不同颜色中的一种着色的n的组分称为n的p色组分。当n>=1时,a(n)等于n的3色组分的数目,这样相邻的部分没有相同的颜色。-米兰-扬吉奇2011年11月17日

解释来自大卫·阿普盖特2017年2月20日。(开始)由于前面的注释出现在大量的序列中,因此可能需要添加一个证明。

将n精确地分成k个部分的组分数是二项式的(n-1,k-1)。

对于n的p色构图,使得没有相邻部分具有相同的颜色,对于第一部分的颜色有确切的p选择,对于每个附加部分的颜色(除了前一部分的颜色之外的任何颜色)有p-1选择。因此,对于一个划分为k部分的部分,有p(p-1)^(k-1)的有效着色。

因此,将n的p-色组分精确地分成k个部分,使相邻部分没有相同颜色的数目是二项式(n-1,k-1)p(p-1)^(k-1)。

则n的p色组分的总数,使得相邻部分没有相同的颜色

和{k=1..n}二项式(n-1,k-1)*p*(p-1)^(k-1)=p^n。

{1..n-1)(k-1)的二项式展开(k-1)=。

(结束)

同样,矩阵的第一个和最小元素[1,sqrt(2);sqrt(2),2]^(n+1)。-M、 哈斯勒2011年11月25日

三角形形式的行和的一半A035002号. -J、 伯格特先生2013年6月10日

形成一个m(0,n)=m(n,0)=2^n的数组;m(i,j)等于m(i,j)左边的项和和m(i,j)上面的项之和,即m(i,j)=和{k=0..j-1}m(i,k)+和{k=0..i-1}m(k,j)。反对角项之和(n+1)=4*a(n)。-J、 伯格特先生2013年7月10日

a(n)=A007051号(n+1)-A007051号(n) ,和A007051号是由m(0,k)=1和m(n,k)=Sum{c=0..k-1}m(n,c)+Sum{r=0..n-1}m(r,k)定义的数组的反对角和,它是m(n,k)左边的项加上m(n,k)上面的项的和。米(1,k)=A000079号(k) ;米(2,k)=A045623号(k+1);m(k+1,k)=A084771号(k) 一。-J、 格特贝姆2013年7月16日

定义一个数组,使m(0,k)=2^k和m(n,k)=Sum{c=0..k-1}m(n,c)+Sum{r=0..n-1}m(r,k),它是m(n,k)左边的项加上m(n,k)上面的项的和。数组的n=0行包含A000079号,k=0列包括A011782号,n=1行包括A001792号. 数组的反对角和是a(n):1=3^0,1+2=3^1,2+3+4=3^2,4+7+8+8=3^3。-J、 伯格特先生2013年8月2日

具有零序和o.g.f.x/(1-3*x^2),A(2*k)=0,A(2*k+1)=3^k=A(k),k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho(6)=2*cos(Pi/6)=sqrt(3),最小多项式C(6,x)=x^2-3(参见A187360型,n=6),是较小对角线与六边形边的长度比。因此,在二次数域Q(rho(6))的幂基下,rho(6)^n=A(n-1)*1+A(n)*rho(6)。还需要一个(-1)=1。另请参阅2010年12月2日的评论和中给出的P.Steinbach参考A049310型. -狼牙2013年10月2日

数字n使得sigma(3n)=3n+sigma(n)。-贾汉杰·霍尔迪2013年11月23日

3的所有幂都是完美的整数(A082897型){n*3,因此^ n=3,和=n=3-阿隆索·德尔阿尔特2014年4月20日

使3^k以n个连续递减数字结尾的最小数k>0是由{1,13,93}给出的3项序列。{23是连续的,23是递增的。3^k有100个不同的3位数结尾。没有k值,3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以'123'结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x,“123”运行前的数字分别是{9,5,1,7,3,9,5,1,3,7,…},对于x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…}。因此,我们看到“123”之前的数字永远不会是0。所以没有进一步的条款。-德里克·奥尔2014年7月3日

其中1,A=所有元素中的1,A;其中1,A=所有元素中的1,A。-大卫·尼尔·麦克格拉斯2014年7月23日

计算三角形顶点上长度为n(开或闭)的所有行走,该三角形的顶点包含从任何给定顶点开始的循环。-大卫·尼尔·麦克格拉斯2014年10月3日

a(n)计算图G(1-顶点;1-圈,1-圈,1-圈)上的行走(闭合)。-大卫·尼尔·麦克格拉斯2014年12月11日

2*a(n-2)从三角形顶点开始计算长度为(n)的孤立闭游动的所有置换,该三角形的顶点在其余每个顶点上都包含2个环。另外,C(m,k)=2*(2^m)*B(m+k-2,m)计算包含(m)圈和(k)弧的行走排列。-大卫·尼尔·麦克格拉斯2014年12月11日

a(n)是n维立方体或n维正射体(或交叉多面体)中所有元素(m维面)的数目(m>=0,m<=n)。-谢尔盖·帕夫洛夫2015年8月15日

a(n)是帕斯卡金字塔第n层的系数之和A046816号). -鲍勃塞尔科2016年4月2日

使三项式x^(2*n)+x^n+1在GF(2)上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是本原的。-乔尔阿恩特2016年5月16日

设n=44a+b,其中a=楼层(n/44),b=n mod 44,b为偶数,b<44。然后,对于任何偶数n,使得0<n<306,a(n)有u位数,其中u=n/2-a,或u=n/2-楼层(n/44)。当b=0或n==0(44模),似乎至少对于n<39645(n是偶数),u=21a-地板(a/k),或者u=21n/44-地板(n/(44k)),其中k=150+120/a-谢尔盖·帕夫洛夫2017年2月2日

满足本福德定律[Berger-Hill,2011]。-N、 斯隆2017年2月8日

a(n-1)也是n的组成数,如果这些部分可以是从1到n的任何长度的运行,并且可以包含从1到n的任何整数-格雷戈里·L·西梅2017年5月26日

同时给出了n阶阶梯图np嘤2中独立顶点集和顶点覆盖的个数。-埃里克·W·维斯坦2017年9月21日

还有n-鸡尾酒会图中的集团数量(不一定是最大的)。-埃里克·W·维斯坦2017年11月29日

a(n-1)是n的2-组成数;见Hopkins&Ouvry参考文献。-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日

参考文献

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

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INRIA算法项目,组合结构百科全书7

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米兰Janjic,有限集上某些函数的计数公式

塔尼娅·霍瓦诺娃,递归序列

罗斯拉海,n元集幂集上的二元关系《整数序列杂志》,第12卷(2009年),第09.2.6条。

冰毒,三项式变换三角形,J.Int.Seqs.,第21卷(2018年),第18.7.3条。阿尔索arXiv:1807.07109[math.NT],2018年。

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埃里克·韦斯坦的数学世界,集团

埃里克的数学世界,鸡尾酒会图表

埃里克·韦斯坦的数学世界,河内图

埃里克·韦斯坦的数学世界,独立顶点集

埃里克·韦斯坦的数学世界,阶梯横档图

埃里克·韦斯坦的数学世界,席尔宾斯基筛图

埃里克·韦斯坦的数学世界,顶点覆盖

“核心”序列的索引项

相关分区计数序列的索引项

常系数线性递归的索引项,签名(3)。

与Benford定律有关的序列的索引项

公式

a(n)=3^n。

a(0)=1;a(n)=3*a(n-1)。

G、 f.:1/(1-3*x)。

E、 g.f.:实验(3*x)。

a(n)=n!*和{i+j+k=n,i,j,k>=0}1/(i!*j!*k!)。-贝诺伊特·克罗伊特2002年11月1日

a(n)=和{k=0..n}2^k*二项式(n,k),的二项式变换A000079号.

a(n)=A090888号(n,2)。-罗斯拉海2004年9月21日

a(n)=2^(2n)-A005061号(n) 一。-罗斯拉海2005年9月10日

a(n)=A112626号(n,0)。-罗斯拉海2006年1月11日

汉克尔变换A007854号. -菲利普·德莱厄姆2006年11月26日

a(n)=2*斯特林2(n+1,3)+斯特林2(n+2,2)=2*(斯特林2(n+1,3)+斯特林2(n+1,2))+1。-罗斯拉海2008年6月26日

a(n)=2*斯特林2(n+1,3)+斯特林2(n+2,2)=2*(斯特林2(n+1,3)+斯特林2(n+1,2))+1。-罗斯拉海2008年6月9日

和{n>=0}1/a(n)=3/2。-加里·W·亚当森2008年8月29日

如果p[i]=斐波纳契(2i-2),如果A是n阶Hessenberg矩阵,定义如下:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i,j]=-1,(i=j+1),否则A[i,j]=0。那么,对于n>=1,a(n-1)=det a-米兰-扬吉奇2010年5月8日

G、 f.A(x)=M(x)/(1-M(x))^2,M(x)-o.G.f,适用于Motzkin数(A001006号). -弗拉基米尔·克鲁基宁2010年8月18日

a(n)=邮编:A133494(n+1)。-阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月27日

2/3+3/3^2+2/3^3+3/3^4+2/3^5+。。。=9/8。【1961年,乔利系列之和】

a(n)=和{k=0..n}A207543号(n,k)*4^(n-k)。-菲利普·德莱厄姆2012年2月25日

{0..uk=0}A125185(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2012年2月26日

和{n>0}mobius(n)/a(n)=0.181995386702633887827。。。(参见A238271). -阿隆索·德尔阿尔特2012年8月9日。另见《化学杂志》表五钠3s轨道能。物理。53(1970)348。

例子

G、 f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。

枫木

A000244号:=n->3^n;[顺序(3^n,n=0..50)];

A000244号:=-1/(-1+3*z)#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。

数学

表[3^n,{n,0,30}](*斯特凡·斯坦伯格,2006年4月1日*)

3^范围[0,30](*韦斯利·伊万受伤了2014年7月4日*)

线性发生[{3},{1},20](*埃里克·W·维斯坦2017年9月21日*)

系数列表[系列[1/(1-3x),{x,0,20}],x](*埃里克·W·维斯坦2017年9月21日*)

嵌套列表[3&1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*)

黄体脂酮素

(平价)A000244号(n) =3^n\\迈克尔·B·波特2009年11月3日

(哈斯克尔)

a000244=(3^)--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月14日

a000244_list=迭代(*3)1--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月4日

(Maxima)列表(3^n,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/

(岩浆)[3^n:n in[0..30]]//韦斯利·伊万受伤了2014年7月4日

(Scala)val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate(1:BigInt)(*3)

(0到26).map(幂函数3()//阿隆索·德尔阿尔特2020年5月3日

交叉引用

a(n)=A092477号(n,2)对于n>0。

a(n)=A159991年(n)/A009964号(n) 一。

囊性纤维变性。A100772号,A035002号. 行和A125076号A153279号.

a(n)=A217764号(0,n)。

囊性纤维变性。A046816号,A006521号,A014945号,甲275414(多集)。

以下是平行族:A000079号(2^n),A004094号(2^n反转),A028909号(2^n排序),A028910(2^n排序),A036447号(双重和反向),A057615型(加倍整理),甲263451(双重分类);A000244号(3^n),A004167(3^n反转),A321540n^n排序(3),A321539(3^n排序),邮编:A163632(三重和反向),A321542(三倍分类),A321541(三倍并分类)。

上下文顺序:甲243845 A140429号 邮编:A141413*邮编:A133494 A050733号 A238939号

相邻序列:A000241 A000242 A000243*A000245型 A000246号 A000247号

关键字

,美好的,容易的,核心

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年10月25日16:00。包含338012个序列。(运行在oeis4上。)