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A000244号 |
| 3的幂:a(n)=3^n。 (原名M2807 N1129)
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818
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1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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与活塞序列E(1,3)、L(1,3。基本上与活塞序列E(3,9),L(3,九),P(3,九),T(3,九月)相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量(0),s(1)。。。,s(2n+2)),使得0<s(i)<6和|s(i。。。,2n+2,s(0)=1,s(2 n+2)=3-赫伯特·科辛巴2004年6月10日
a(1)=1,a(n+1)是使a(n)和a(n+1)之间有一个(n)偶数的最小数。k:1,k,k^2,k^3,k^4,…幂序列的推广。。。在a(n)和a(n+1)之间有一个k-1的(n)倍数-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月28日
其中p(n)是n的整数分区数,p(i)是n第i个分区的部分数,d(i)为n第i分区的不同部分数,m(i,j)是n第一个分区的第j部分的重数,和{i=1..p(n,一个有:a(n)=和{i=1..p(n)}(p(i)/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!)*2^(p(i)-1)-托马斯·维德,2005年5月18日
a(n-1)是组成成分的数量。通常,(k+1)^(n-1)是k级嵌套成分的数量(例如,4^(n-1)是成分组成的成分数量,等等)。元素之间的每个n-1空格可以是k个级别中的一个中断,也可以根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是具有n=|a|个元素的集合a的幂集P(a)上的二元关系,使得对于P(a)的每个元素x,y,xSy,如果x是y的子集,则a(n)=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论:
参考a(n+1)英寸A028243号如果考虑非空子集,并且x是y的适当子集(End)
如果X_1、X_2。。。,X_n是集合{1,2,…,2*n}划分成大小为2的块,然后,对于n>=1,a(n)等于函数f:{1,2,…,2*n}->{1,2}的数目,这样对于固定的y_1,y_2。。。,在{1,2}中,我们有f(X_i)<>{y_i},(i=1,2,…,n)-米兰Janjic2007年5月24日
这是对所有正整数k的a(n)=[(2^k)-1]^n形式的所有序列的一般性评论。Stanley的“枚举组合学”的例子1.1.16提供了一个稍微不同的版本。a(n)在函数f:[n]的个数中变成P([k])-{}。a(n)也是函数f:[k]到P([n])的个数,使得f(i)对[k]中所有i的广义交集是空集。其中[n]={1,2,…,n},P([n])是[n]的幂集,{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^(n+1)=(1,2,2,…)点(1,1,3,9,…,3^n);例如,3^3=27=(1,2,2)点(1,1,3,9)=(1+2+6+18)-加里·亚当森2010年5月17日
a(n)是当存在3*2^i不同类型的i(i=1,2,…)时,n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
对于n>=1,a(n-1)是当存在2^(i-1)不同类型的i,(i=1,2,…)时n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
有问题的序列(“3的幂”)还描述了第k个圆盘解决[RED;BLUE;BLUE]或[RED;RED;BLUE]预着色河内磁塔谜题的移动次数(参见。A183111号-A183125号).
(1+x+x^2)^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a(n)是{0,1,2}中n个元素的组成数;例如,a(2)=9,因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日;由编辑修改。]
除了前两项外,这些都是奇数n,因此没有带2的x满足x^(n-1)==1(mod n)-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月3日
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1,a(n)等于n的3色组成数,因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中,因此可能需要添加一个证明。
n精确到k个部分的组成数是二项式(n-1,k-1)。
对于n的p色组合,如果相邻部分没有相同的颜色,则第一部分的颜色正好有p个选择,每个附加部分的颜色有p-1个选择(除前一部分颜色以外的任何颜色)。所以,对于k部分的划分,有p(p-1)^(k-1)个有效的着色。
因此,n的p色组分精确到k个部分,使得相邻部分没有相同颜色,这是二项式(n-1,k-1)p(p-1)^(k-1)。
n的p色成分的总数,使得相邻部分没有相同的颜色
和{k=1..n}二项式(n-1,k-1)*p*(p-1)^(k-1)=p^n。
要了解这一点,请注意((p-1)+1)^(n-1)=Sum_{k=0..n-1}二项式(n-1,k)(p-1)^k1^。
(结束)
此外,矩阵的第一个和最小元素[1,sqrt(2);sqrt,2]^(n+1)-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m(0,n)=m(n,0)=2^n的数组;m(i,j)等于m(i、j)左边的项与m(i和j)上面的项之和,即m。反对角线(n+1)中的项之和=4*a(n)-J.M.贝戈2013年7月10日
定义一个数组,使m(0,k)=2^k和m(n,k)=Sum_{c=0..k-1}m(n、c)+Sum_}r=0..n-1}m(r,k),这是m(n和k)左边的项加上m(n与k)上面的项之和。数组的行n=0包括A000079号,列k=0包括A011782号,行n=1包括A001792号数组的反对角线和为a(n):1=3^0,1+2=3^1,2+3+4=3^2,4+7+8+8=3^3-J.M.贝戈2013年8月2日
带有零值和o.g.f.x/(1-3*x^2),A(2*k)=0,A(2*k+1)=3^k=A(k),k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho(6)=2*cos(Pi/6)=sqrt(3)的次数为2,最小多项式C(6,x)=x^2-3(参见A187360型,n=6),是较小对角线与六角形中边的长度比。因此,ρ(6)^n=A(n-1)*1+A(n)*rho(6),在二次数域Q(rho(5))的幂基中。还需要A(-1)=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗,2013年10月2日
数字k,使得西格玛(3k)=3k+西格玛(k)-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897号),因为当n>0时,φ(3^n)=2*3^(n-1),因此求和{i=0..n}φ(3|i)=3^n-阿隆索·德尔·阿特2014年4月20日
3^k以n个连续递减数字结尾的最小数字k>0是由{1,13,93}给出的一个3项序列。连续递增的数字是{3,23,123}。3^k有100个不同的3位数字结尾。没有k值可以使3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x,对于x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…},“123”运行之前的数字分别是{9,5,1,7,3,9,9,5。因此,我们看到“123”之前的数字永远不会是0。因此没有进一步的条款-德里克·奥尔2014年7月3日
A^n的所有元素,其中A=(1,1,1;1,1,1,1;1,1,1)-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月23日
计算长度为n(开放或闭合)的三角形顶点上的所有行走次数,该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月3日
a(n)计算图G上的行走次数(闭合)(1-顶点;1-循环,1-循环,1-loop)-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
2*a(n-2)计算距离三角形顶点长度(n)的孤立闭合游动的所有置换,该三角形在每个剩余顶点上包含2个循环。此外,C(m,k)=2*(2^m)*B(m+k-2,m)计算包含(m)个循环和(k)个弧的行走的置换-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
使三项式x^(2*n)+x^n+1在GF(2)上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill,2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a(n-1)也是n的组成数,如果这些部分可以是从1到n的任意长度,并且可以包含从1到n的任意整数-格雷戈里·西蒙2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因,2017年9月21日
还有n-鸡尾酒会图中的派系数量(不一定是最大的)-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a(n-1)是n的2-组分数;参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日
a(n)是n维超立方体任意维(顶点、边、正方形面等)的面数。例如,0维超立方体是一个点,它的唯一面是它自己。一维超立方体是一条直线,它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个方形,它有四个顶点、四条边和一个正方形面-凯文·朗2023年3月14日
a(n)是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是l_1或…形式的命题公式。。。或l_m,其中l_1。。。,l_m是{x_1,…,x_n,NOT x_1,..,NOT x_n}中n个变量x_1的不同元素。。。x_n,同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n,析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i,只有x_i或NOT x_ i,所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{,析取从句对应于一个函数f,使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n,其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择({0}、{1}或{0,1}),我们还发现n个变量的析取子句的数目是3^n。
等价地,a(n)是n个变量的连接子句的数量。(结束)
有限子序列a(2)、a(3)、a⑴、a(5)=9、27、81、243是可以用简单多边形的所有内角(均为整数,以度为单位)形成的仅有的两个几何序列之一。另一个序列是A007283号(请参阅此处的注释)-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
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参考文献
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Doron Zeilberger,《神奇3^n定理及其更神奇的证明》(由Xavier G.Viennot及其爱科尔·博德莱塞帮派发现),arXiv:1208.22582012。
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链接
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T.Banchoff,计算高维立方体的面《超越第三维度:几何、计算机图形和更高维度》,科学美国图书馆,1996年。
A.Bostan,格路组合的计算机代数S.éminaire de Combinatoire Ph.Flajolet,2013年3月28日。
Peter J.Cameron,由低聚置换群实现的序列,J.集成。序号。第3卷(2000年),第00.1.5号。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳,Weyl偏序集的弱序,arXiv:1804.06572[math.CO],2018年。
布莱恩·霍普金斯(Brian Hopkins)和斯特凡·欧夫里(Stéphane Ouvry),多成分组合学,arXiv:2008.04937[math.CO],2020年。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德,周期轨道的算法和增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),第01.2.1号。
Eric Weistein的《数学世界》,独立顶点集
Eric Weistein的《数学世界》,阶梯横档图
Eric Weistein的《数学世界》,顶点覆盖
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配方奶粉
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a(n)=3^n。
a(0)=1;a(n)=3*a(n-1)。
G.f.:1/(1-3*x)。
例如:exp(3*x)。
a(n)=n*和{i+j+k=n,i,j,k>=0}1/(i!*j!*k!)-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月1日
a(n)=和{k=0..n}2^k*二项式(n,k),的二项式变换A000079.
a(n)=2*搅拌S2(n+1,3)+搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a(n)=2*箍筋S2(n+1,3)+箍筋S2(n+2,2)=2x(箍筋S2.(n+1,3)+搅拌S2(n+1,2))+1-罗斯·拉海耶2008年6月9日
Sum_{n>=0}1/a(n)=3/2-加里·亚当森2008年8月29日
如果p(i)=Fibonacci(2i-2),并且如果A是由A(i,j)=p(j-i+1),(i<=j),A(i、j)=-1,(i=j+1)和A(i和j)=0定义的n阶Hessenberg矩阵,否则,对于n>=1,A(n-1)=det A-米兰Janjic2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley,系列总结,多佛,1961]
Sum_{n>0}Mobius(n)/a(n)=0.181995386702633887827…(参见A238271型). -阿隆索·德尔·阿特2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理学。53 (1970) 348.
a(n)=(tan(Pi/3))^(2*n)-伯纳德·肖特2022年5月6日
a(n-1)=二项式(2*n-1,n)+和{k>=1}二项式[2*n,n+3*k)*(-1)^k-格雷格·德累斯顿2022年10月14日
通用公式:和{k>=0}x^k/(1-2*x)^(k+1)-凯文·朗2023年3月14日
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示例
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G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[1/(1-3 x),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
嵌套列表[3#&,1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
(Maxima)标记列表(3^n,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
(Scala)val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate(1:BigInt)(_*3)
(Python)
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心,改变
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作者
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状态
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经核准的
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