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(问候来自整数序列在线百科全书!)
114A118号 帕斯卡三角形奇数行的右侧。 31
1、3、1、10、5、1、35、21、7、1、126、84、36、9、1、462、330、165、55、11、1、1716、1287、715、286、78、13、1、6435、5005、3003、1365、455、105、15、1、24310、19448、12376、6188、2380、680、136、17、1、92378、75582、50388 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

Riordan数组(c(x)/sqrt(1-4*x),x*c(x)^2),其中c(x)是A000108号. 的未签名版本A113187号. 对角线和是A014301(n+1)。

三角形T(n,k),0<=k<=n,按定义的行读取:T(0,0)=1,如果k<0或k>n,T(n,0)=3*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

逆转A122366号. -菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

k列有e.g.f.exp(2x)(贝塞尔_I(k,2x)+Bessel_I(k+1,2x))。-保罗·巴里2007年6月6日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。对于其他三角形,选择0,0)-(0>A053121号;(0,1)->A089942号;(0,2)->A126093号;(0,3)->A126970号;(1,0)->A061554号;(1,1)->A064189;(1,2)->A039599号;(1,3)->A110877号;((1,4)->A124576号;(2,0)->A126075号;(2,1)->A038622号;(2,2)->A039598号;(2,3)->邮编:A124733;(2,4)->A124575号;(3,0)->邮编:A126953;(3,1)->邮编:A126954;(3,2)->A111418号;(3,3)->A091965号;(3,4)->A124574号;(4,3)->A126791号4,4)->A052179号;(4,5)->A126331号5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

对角线和是A014301(n+1)。-保罗·巴里2011年3月8日

这个三角形T(n,k)出现在Fibonacci数F的奇数次幂展开中=A000045型以奇数的倍数作为指数的F数。见Ozeki参考文献,第108页,引理2。公式为:F_l^(2*n+1)=和(T(n,k)*(-1)^((n-k)*(l+1))*F{(2*k+1)*l},k=0..n)/5^n,n>=0,l>=0。-狼牙2012年8月24日

中心条款给出A052203型. -莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月14日

这个三角形出现在(4*x)^n的展开式中,用多项式Todd(n,x):=T(2*n+1,sqrt(x))/sqrt(x)=和(A084930型(n,m)*x^m),n>=0。这源于下三角Riordan矩阵的反演A084930型比较行多项式的g.f。-狼牙2014年8月5日

狼牙2014年8月15日:(开始)

这个三角形是有符号Riordan三角形(-1)^(n-m)的逆三角形*A111125号(n,m)。

这个三角形T(n,k)出现在x^n的展开式中,用多项式todd(k,x):=T(2*k+1,sqrt(x)/2)/(sqrt(x)/2)=S(k,x-2)-S(k-1,x-2),三角形的行多项式T和SA053120型A049310型,分别为:x^n=和(T(n,k)*托德(k,x),k=0..n)。与前面的注释进行比较。

这个Riordan三角形的A序列和Z序列是[1,2,1,重复0]和[3,1,重复0]。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参见下面的W.Lang链接A006232. 这与上述Philippe Deléham 2007年3月22日的评论中所述的重复发生相对应。(结束)

链接

莱因哈德·祖姆凯勒,n=0..125行三角形,展平

保罗·巴里,关于序列的Hurwitz变换《整数序列杂志》,第15卷(2012年),#12.8.7。

E、 Deutsch,L.Ferrari和S.Rinaldi,生产矩阵《应用数学进展》,34(2005)第101-122页。

巴纳什伯爵,两个Catalan型Riordan阵列及其与第一类Chebyshev多项式的联系《整数序列杂志》,第12.3.3条,2012年。

A、 恩克万塔,A.特费拉,涉及加泰罗尼亚生成函数和数字的奇怪关系和恒等式《整数序列杂志》,16(2013年),#13.9.5。

K、 奥泽基,关于梅勒姆的总和斐波那契夸脱。46/47(2008/2009),第2号,107-110。

孙,伊东,马,路平一类与加权偏Motzkin路径相关的Riordan数组的子类欧元。J、 梳子。39,157-169(2014),表2.2。

公式

T(n,k)=C(2*n+1,n-k)。

和{k=0..n}T(n,k)=4^n。

和{k,0<=k<=n}(-1)^k*T(n,k)=二项式(2*n,n)=A000984号(n) 一。-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

T(n,k)=和{j=k..n,C(n,j)*2^(n-j)*C(j,floor((j-k)/2))}。-保罗·巴里2007年6月6日

和{k,k>=0}T(m,k)*T(n,k)=T(m+n,0)=A001700型(m+n)。-菲利普·德莱厄姆2009年11月22日

G、 f.行多项式:((1+x)-(1-x)/sqrt(1-4*z))/(2*(x-(1+x)^2*z))

(参见上述评论中提到的Riordan属性)。-狼牙2014年8月5日

例子

狼牙2014年8月5日开始

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0:1个

1: 3 1个

2: 10 5 1

3: 35 21 7 1

4: 126 84 36 9 1

5: 462 330 165 55 11 1

6: 1717 716 1286 78

7: 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

8: 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1

9: 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1

10: 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1

...

展开示例(关于Todd多项式,请参见A084930型及以上评论):

(4*x)^2=10*Todd(n,0)+5*Todd(n,1)+1*Todd(n,2)=10*1+5*(-3+4*x)+1*(5-20*x+16*x^2)。

(4*x)^3=35*1+21*(-3+4*x)+7*(5-20*x+16*x^2)+(-7+56*x-112*x^2+64*x^3)*1。(结束)

---------------------------------------------------------------------

生产矩阵

3,1,

1,2,1,

0,1,2,1,

0,0,1,2,1,

0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,0,0,1,2,1,

0,0,0,0,0,0,0,1,2,1

-保罗·巴里2011年3月8日

Fibonacci数F,n=2行奇数幂的应用:

F*l^5=(10*(-1)^(2*(l+1))*F*l+5*(-1)^(1*(l+1))*F{3*l}+1*F{5*l})/5^2,l>=0。-狼牙2012年8月24日

数学

表[二项式[2*n+1,n-k],{n,0,10},{k,0,n}](*G、 C.格雷贝尔2017年5月22日*)

T[0,0,x|,y|]:=1;T[n|,0,x|,y]:=x*T[n-1,0,x,y];T[n,k|,x,y]:T[n,k|,x|,y]=如果[k<0 | | k>n,0,

T[n-1,k-1,x,y]+y*T[n-1,k,x,y]+T[n-1,k+1,x,y]];

Table[T[n,k,3,2],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*G、 C.格雷贝尔2017年5月22日*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

a111418 n k=a111418表格!!n!!k

a111418_行n=a111418_tabl!!n

a111418_tabl=地图背面a122366_tabl

--莱因祖勒2014年3月14日

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A113187号.

列为:A001700型,A002054,A003516号,A030053型,A030054型,A030055型,A030056号.

上下文顺序:A078817号 A316193型 A091042型*A113187号 A057967号 邮编:A132964

相邻序列:A111415型 A111416号 A111417号*A111419号 A111420号 A111421号

关键字

容易的,,

作者

菲利普·德莱厄姆2005年11月13日

状态

经核准的

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