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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
A005043号 Riordan数：a（n）=（n-1）*（2*a（n-1。
（原名M2587） 		171
1, 0, 1, 1, 3, 6, 15, 36, 91, 232, 603, 1585, 4213, 11298, 30537, 83097, 227475, 625992, 1730787, 4805595, 13393689, 37458330, 105089229, 295673994, 834086421, 2358641376, 6684761125, 18985057351, 54022715451, 154000562758, 439742222071, 1257643249140 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
也称为Motzkin求和或环数。
旧名称是“Motzkin sums”，在某些出版物中使用。序列具有Motzkin（n）的属性=A001006号（n） =a（n）+a（n+1），例如。，A001006号（4） =9=3+6=a（4）+a（5）。
“加泰罗尼亚分区”的数量，即一组1、2、3、……的分区，。。。，n分为非单子的部分，当点排列在一个圆上时，这些部分的凸包是不相交的（因此，当这些部分都是成对的时，我们会得到加泰罗尼亚数字）阿尔特·布卢奎斯（aartb（AT）win.tue.nl），2000年7月4日
具有n条边且没有超出度1的顶点的有序树的数量。对于n>1，通过总边数为n+1的不相交对角线对凸多边形进行剖分的次数-Emeric Deutsch公司2002年3月6日
长度为n的Motzkin路径数，在级别0处没有水平台阶-Emeric Deutsch公司2003年11月9日
奇数级无峰值的半长n的Dyck路径数。例如：a（4）=3，因为我们有UUUDDD、UUDDUUDD和UUDUDUDD，其中U=（1,1），D=（1，-1）。半长度为n且没有长度为1的上升的Dyck路径数（Dyck路中的上升是最大的上行步长串）。例如：a（4）=3，因为我们有UUUDDD、UUDDUUDD和UUDUUDDD-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
舒伯特微积分产生如下。设P=维数n+1的复射影空间。在一般位置取P中余维为3的n个射影子空间。那么a（n）是P与所有这些子空间相交的行数F.Hirzebruch，2004年2月9日
中心三项式系数与其前身的差异。示例：a（6）=15=141-126和（1+x+x^2）^6=…+126*x^5+141*x^6+。。。（加泰罗尼亚数字A000108号（n） 是中心二项式系数与其前身之间的差异。）-大卫·卡伦2004年2月7日
a（n）=[n]上321个无效置换的数目，其中每个从左到右的最大值是下降的（即后面跟着一个较小的数）。例如，a（4）表示4123、3142、2143-大卫·卡伦2005年7月20日
该序列的Hankel变换给出A000012号= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]; 示例：Det（[1,0,1,1；0,1,1,3；1,1,3,6；1,3,6,15]）=1-菲利普·德尔汉姆2005年5月28日
射影线上n个标记点的2次射影不变量的数目本杰明·霍华德（bhoward（AT）ima.umn.edu），2006年11月24日
定义一个随机变量X=trA^2，其中a是使用Haar测度从USp（2）中选择的2X2酉辛矩阵。X的第n个中心力矩为E[（X+1）^n]=a（n）-安德鲁·萨瑟兰2007年12月2日
设V是复李代数sl（2）的伴随表示。V的第n张量幂的不变子空间的维数是a（n）萨姆森·布莱克（sblack1（AT）uoregon.edu），2008年8月27日
从偏移量3开始=M*[1,1,1，…]的迭代次数，其中M=主对角线为[0,1,1,1…]，上对角线和次对角线均为[1,1,1,]的三对角线矩阵-加里·亚当森2009年1月8日
a（n）具有以下标准——Young-tableaux（SYT）解释：二项式（n+1，k）*二项式（n-k-1，k-1）/（n+1）=f^（k，k，1^{n-2k}），其中f^lambda等于形状lambda的SYT数Amitai Regev（amotai.Regev（AT）weizmann.ac.il），2010年3月2日
a（n）也是所有1<=k<=floor（n/2）的标准Young表形状（k，k，1^{n-2k}）的数量之和阿米泰·雷格夫（amotai.Regev（AT）weizmann.ac.il），2010年3月10日
a（n）是具有亏格0的{1,2，…，n}的错位数。{1,2，…，n}的置换p的亏格g（p）由g（p）=（1/2）[n+1-z（p）-z（cp'）]定义，其中p'是p的逆置换，c=234…n1=（1,2，..，n），z（q）是置换q的圈数。示例：a（3）=1，因为p=231=（123）是{1,2,3}与亏格0的唯一错位。实际上，cp'=231*312=123=（1）（2）（3），因此g（p）=（1/2）（3+1-1-3）=0-Emeric Deutsch公司2010年5月29日
显然：所有上升长度为2，没有下降长度为2的Dyck 2n路径数-大卫·斯卡布勒2012年4月17日
这是真的。证明：映射“在每次上升（U）后插入峰值（UD）”是从所有Dyck n路径到那些Dyck（2n）路径的双射，其中每个上升长度为2。它将n路径中长度为1的下降发送到（2n）路径中长度2的下降。但没有长度下降1的Dyck n路径与Riordan n路径（地面上没有平坦台阶的Motzkin n路径）相等，如下所示。给定一个没有长度1下降的Dyck n路径，将其拆分为连续的步长对，然后将UU替换为U，将DD替换为D，将UD替换为蓝色平坦步长（F），将DU替换为红色平坦步长，并连接新的步长以获得彩色Motzkin路径。每个红色F将（立即）以蓝色F或D开头。在后一种情况下，转移红色F，使其位于D的匹配U之前。最后，擦除颜色以获得所需的Riordan路径。例如，用小写字母f表示红色的扁平台阶，U^5 D^2 U D^4 U^4 D^3 U D^2->（U^2，U^2、UD、DU、D^2、D^ 2、U^2和U^2 D^2，DU，D^2）->UUFfDDUUDfD->UUFFDDUFUDD-大卫·卡伦2012年4月25日
发件人诺兰·瓦拉赫2014年8月20日：（开始）
设ch[part1，part2]是n个字母上对称群的特征值，对应于part2给出的共轭类上n的分区part1。设A[n]是2n的（n+1）个部分1或2的划分集。然后删除序列的第一项，即a（n）=Sum_{k=1..n+1}二项式（n，k-1）*ch[[n，n]，a[n][k]]）/2^n。这可以通过Frobenius字符公式解释为张量^n（楔体^2C^n）中SL（n，C）不变量的维数。
说明：让p_j表示sum（x_i）^j，即k个变量的总和。然后弗罗贝尼乌斯公式表示（p_1）^j_1（p_2）^j_2。。。（p_r）^j_r等于总和（λ，ch[lambda，1^j_12^j_2…r^j_r]S_lambda），S_lambda-对应于λ的Shur函数。这个公式意味着，S（[n，n]）in（（（p_1）^1+p_2）/2）^n的系数在其Shur函数的展开式中是我们公式的右边。如果我们将变量数专门化为2，那么S[n，n]（x，y）=（xy）^n。当限制为y=x^（-1）时为1。即SL（2）上的值为1。
另一方面，（（p_1）^2+p_2）/2是2次完全齐次对称函数，即tr（S^2（X））。因此，我们对于a（n）的公式与上面的Samson Black的公式相同，因为他的V与S^2（C^2）作为SL（2）的表示形式相同。另一方面，如果我们将ch（lambda）乘以sgn，则得到ch（Transpose（lambda））。所以ch（[n，n]）变为ch（[2，…，2]）（这里有n2）。a（n）的公式现在是（1/2^n）*Sum_{j=0..n}ch（[2，..，2]，1^（2n-2j）2^j]）*（-1）^j）*二项式（n，j），它计算（（（p_1）^2-p_2）/2）^n中S_（2，…，2）的系数。但n个变量中的（p_1）^2-p_2）/2是第二个初等对称函数，它是楔形^2C^n的特征，而S_（2，…，2）是SL（n）上的1。
（结束）
a（n）=非交叉分区数(A000108号)不包含单例的[n]，以及非嵌套分区的数量(A000108号)不包含单体的[n]-大卫·卡伦2014年8月27日
发件人汤姆·科普兰2014年11月2日：（开始）
设P（x）=x/（1+x）与comp。逆Pinv（x）=x/（1-x）=-P[-x]，C（x）=[1-sqrt（1-4x）]/2，是移位加泰罗尼亚数的o.g.fA000108号，逆Cinv（x）=x*（1-x）。
Fin（x）=P[C（x，A000957号反向鳍^（-1）（x）=Cinv[Pinv（x）]=Cinv[-P（-x）]。
Mot（x）=C[P（x）]=C[-Pinv（-x）]给出了移位的o.g.fA005043号、带有comp的Motzkin或Riordan数字。逆Mot^（-1）（x）=Pinv[Cinv（x）]=（x-x^2）/（1-x+x^2。A057078号).
BTC（x）=C[Pinv（x）]给出A007317号，加泰罗尼亚数的二项式变换，BTC^（-1）（x）=P[Cinv（x）]。
Fib（x）=-翅片[Cinv（Cinv（-x））]=-P[Cinv[-x）]=x+2 x ^2+3 x ^3+5 x ^4+…=（x+x^2）/[1-x-x^2]是移位斐波那契数列的o.g.fA000045号，所以比较。逆为Fib^（-1）（x）=-C[品目（-x）]=-BTC（-x。
o.g.f.s之间的各种关系可以很容易地构造，例如Fib[-Mot（-x）]=-P[P（-x）]=x/（1-2*x）a生成2^n的fct。
推广到P（x，t）=x/（1+t*x）和Pinv（x，t）=x\（1-t*xA091867号，C[P[x，1-t]]，以及A104597号，品脱[Cinv（x），t+1]。（结束）
与David Callan的上述评论一致，A249548号，将Motzkin和细化为他描述的非交叉分区的单个数字-汤姆·科普兰2014年11月9日
从（0,0）到（n，0）的晶格路径数，这些路径不在x轴下方交叉，并使用up-step=（1,1）和down-step=（1，-k），其中k是正整数。例如，a（4）=3:[（1,1）（1,1”（1，-1）（1，-1）]，[（1,1,1）“1，-1”（1,1，-1-尼古拉斯·哈姆2015年8月19日
使用2*（A（n）+A（n+1））+（A（n+1+A（n+2））创建的序列具有F（2n）的Hankel变换，偏移量3，F是斐波那契数，A001906号（实证观察）-托尼·福斯特三世2016年7月30日
系列a（n）+A001006号（n） 具有Hankel变换F（2n+1），偏移量n=1，F为斐波那契等分A001519号（实证观察）-托尼·福斯特三世2016年9月5日
Rubey和Stump参考证明了RenéMarczinzik的一个猜想的改进，他们说：“2-Gorenstein代数的数量是具有n个简单模的Nakayama代数，并且有一条定向线作为相关的箭矢，等于长度n的Motzkin路径的数量。此外，对于最小忠实射影-射影模，这种代数具有双重中心化性质的数量等于长度n的Riordan路的数量，即高度为零且无水平步的Motzkin路。”-埃里克·施密特2017年12月16日
与Thue-Morse序列的连接：（-1）^A（n）=（-1）^A010060型（n） *（-1）^A010060型（n+1）=A106400号（n）*A106400号（n+1）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2019年7月21日
伯恩哈特（1999）以美国数学家约翰·里奥丹（1903-1988）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月15日
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配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*A000108号（k） ●●●●。a（n）=（1/（n+1））*Sum_{k=0..上限（n/2）}二项式（n+1，k）*Binominal（n-k-1，k-1），对于n>1-伦·斯迈利【Amitai Regev（Amitai.Regev（AT）weizmann.ac.il）的评论，2010年3月2日：后者的总和应超过k=1..floor（n/2）的范围。】
总面积：（1+x-sqrt（1-2*x-3*x^2））/（2*x*（1+x））。
总面积：2/（1+x+平方（1-2*x-3*x^2））Paul Peart（ppeart（AT）fac.howard.edu），2000年5月27日
a（n+1）+（-1）^n=a（0）*a（n）+a（1）*aa（n）*a（0）.-伯恩哈特
a（n）=（1/（n+1））*Sum_{i}（-1）^i*二项式（n+1，i）*二项（2*n-2*i，n-i）伯恩哈特
G.f.A（x）满足A=1/（1+x）+x*A^2。
例如：exp（x）*（BesselI（0，2*x）-BesselI（1，2*x））-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月28日
a（n）=A001006号（n-1）-a（n-1。
a（n+1）=和{k=0..n}（-1）^k*A026300型（n，k），其中A026300型是莫茨金三角形。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）*二项法（k，floor（k/2））-保罗·巴里2005年1月27日
a（n）=和{k>=0}A086810型（n-k，k）-菲利普·德尔汉姆2005年5月30日
a（n+2）=和{k>=0}A064189号（n-k，k）-菲利普·德尔汉姆2005年5月31日
力矩表示：a（n）=（1/（2*Pi））*Int（x^n*sqrt（（1+x）（3-x））/（1+x），x，-1,3）-保罗·巴里2006年7月9日
的二项式逆变换A000108号（加泰罗尼亚数字）-菲利普·德尔汉姆2006年10月20日
a（n）=（2/Pi）*积分{t_0..Pi}（4*cos^2（x）-1）^n*sin^2（x）dx-安德鲁·萨瑟兰2007年12月2日
G.f.：1/（1-x^2/（1-x-x^2/（1-x-x2/（1-x-x ^2/）（1-…..（连分数））-保罗·巴里2009年1月22日
G.f.：1/（1+x-x/（1-x/（1+x-x/（1-）-保罗·巴里2009年5月16日
G.f.：1/（1-x^2/（1-x/（1-x/（1-x ^2/-保罗·巴里2010年3月2日
a（n）=-（-1）^n*超几何（[1/2，n+2]，[2]，4/3）/sqrt（-3）-马克·范·霍伊2010年7月2日
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，1/2，[2]，4）-彼得·卢什尼2012年8月15日
设A（x）是g.f.，则x*A（x）是x/（1+x^2*Sum_{k>=0}x^k）的逆；看见A215340型用于与没有长度-1上升的Dyck路径的对应-乔格·阿恩特2012年8月19日和2013年4月16日
a（n）~3^（n+3/2）/（8*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月2日
G.f.：2/（1+x+1/G（0）），其中G（k）=1+x*（2+3*x）*（4*k+1）/（4*k+2-x*（2+3*x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月5日
D-有限（另一种选择）：（n+1）*a（n）=3*（n-2）*a-林风2014年3月22日
渐近：a（n）=3^（n+2）/sqrt（3*n*Pi）/（8*n）*（1-21/（16*n）+O（1/n^2））（由Vaclav Kotesovec贡献）-林风2014年3月22日
a（n）=T（2*n-1，n）/n，其中T（n，k）=三角形A180177号. -弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月23日
a（n）=（-1）^n*JacobiP（n，1，-n-3/2，-7）/（n+1）-彼得·卢什尼2014年9月23日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*（C（k，n-k）-C（k，n-k-1））-彼得·卢什尼2014年10月1日
a（n）=A002426号（n）-A005717号（n） ，n>0-米哈伊尔·库尔科夫2019年2月24日
a（n）=A309303型（n）+A309303型（n+1）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2019年7月22日
发件人彼得·巴拉2022年2月11日：（开始）
a（n）=A005773号（n+1）-2*A005717号（n） 对于n>=1。
猜想：对于n>=1，n除以a（2*n+1），2*n-1除以a（2*n）。（结束）
例子
a（5）=6，因为一个多边形只有6条边的剖分是：五个五角形，其中一条是对角线，六角形没有对角线。
G.f.=1+x^2+x^3+3*x^4+6*x^5+15*x^6+36*x^7+91*x^8+232*x^9+。。。
发件人古斯·怀斯曼2022年11月15日：（开始）
a（0）=1到a（6）=15个孤立子无效（没有超1级的顶点）的有序根树具有n+1个顶点（按A358376型):
o、。（oo）（ooo）（oooo）
（（oo）o）（（oo）oo）（（o）ooo）
（o（oo））（（ooo）o）（（ooo）oo）
（o（oo）o）（（oooo）o）
（o（ooo））（o（oo）oo）
（oo（oo））（o（ooo）o）
（o（oooo））
（oo（oo）o）
（oo（ooo））
（ooo（oo））
（（（oo）o）o）
（（o（oo））o）
（（oo）（oo））
（o（（oo）o））
（o（o（oo））
（结束）
MAPLE公司
A005043号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则1-n其他（n-1）*（2*A005043号（n-1）+3*A005043号（n-2）/（n+1）；fi；结束；
顺序：=20：求解（级数（（x-x^2）/（1-x+x^2，x）=y，x）；#输出g.f。
数学
a[0]=1；a[1]=0；a[n]：=a[n]=（n-1）*（2*a[n-1]+3*a[n-2]）/（n+1）；表[a[n]，{n，0，30}](*罗伯特·威尔逊v2005年6月14日*）
表[（-3）^（1/2）/6*（-1）^n*（3*Hypergeometric2F1[1/2，n+1，1，4/3]+Hypergeometric2F1[1/2,n+2,1,4/3]），{n，0，32}]（*cf。马克·范·霍伊在里面A001006号*) (*沃特·梅森2010年1月23日*）
递归表[{a[0]==1，a[1]==0，a[n]==（n-1）（2a[n-1]+3a[n-2]）/（n+1）}，a，{n，30}](*哈维·P·戴尔2013年9月27日*）
a[n_]：=级数系数[2/（1+x+Sqrt[1-2x-3x^2]），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月21日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，3^（n+3/2）超几何2F1[3/2，n+2，2，4]/I]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月21日*）
表[3^（n+3/2）加泰罗尼亚数[n]（4（5+2n）超几何2F1[3/2，3/2，1/2-n，1/4]-9超几何2F1[3/2、5/2，1/2-n，1/4]）/（4^（n+3）（n+1）），{n，0，31}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2019年7月21日*）
表[Sqrt[27]/8（3/4）^n CatalanNumber[n]超几何2F1[1/2，3/2，1/2-n，1/4]，{n，0，31}](*简·曼加尔丹2021年9月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n++；polceoff（serreverse（（x-x^3）/（1+x^3，+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/
（最大值）a[0]：1$
a[1]：0$
a[n]：=（n-1）*（2*a[n-1]+3*a[n-2]）/（n+1）$
makelist（a[n]，n，0，12）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月2日*/
（哈斯克尔）
a005043 n=a005043_列表！！n个
a005043_list=1:0:zip带div
（zipWith（*）[1..]（zipWith（+））
（map（*2）$tail a005043_list）（map
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月31日
（PARI）N=66；Vec（倒序（x/（1+x*和（k=1，N，x^k））+O（x^N））\\乔格·阿恩特2012年8月19日
（鼠尾草）
A005043号=λn：（-1）^n*jacobi_P（n，1，-n-3/2，-7）/（n+1）
[简化(A005043号（n） ）对于n in（0..29）]
#彼得·卢什尼2014年9月23日
（鼠尾草）
定义ms（）：
a、 b，c，d，n=0，1，1，-1，1
产量1
为True时：
产量-b+（-1）^n*d
n+=1
a、 b=b，（3*（n-1）*n*a+（2*n-1）*n*b）/（（n+1）*（n-1））
c、 d=d，（3*（n-1）*c-（2*n-1）*d）/n
A005043号=毫秒（）
打印（[下一页(A005043号)_在范围（32）内]）#彼得·卢什尼2016年5月16日
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义A005043号（n:int）->整数：
如果n<=1：返回1-n
返回（n-1）*（2*A005043号（n-1）+3*A005043号（n-2））//（n+1）
打印([A005043号（n） 对于范围（32）内的n）#彼得·卢什尼2022年11月20日
交叉参考
三角形的行和A020474号，的第一个差异A082395号.
中三角形数组的第一对角线A059346号.
的二项式变换A126930号. -菲利普·德尔汉姆2009年11月26日
（n+1）的Hankel变换是A128834号.（n+2）的Hankel变换是floor（（2*n+4）/3）=A004523号（n+2）-保罗·巴里2011年3月8日
Kn11三角形和A175136号导致A005043号（n+2），而Kn12（n）=A005043号（n+4）-2^（n+1），Kn13（n）=A005043号（n+6）-（n^2+9*n+56）*2^（n-2）和Kn4（n）=A005043号（2*n+2）=A099251号（n+1）三角和与上述序列有关。有关这些三角形和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年5月6日
囊性纤维变性。A187306号（自我进化），A348210型（第1列）。
囊性纤维变性。A000045号,A000108号,A000957号,A001006号,A005717号,A005773号,A007317号,A057078号,A091867号,A104597号,A126120号,A178514号,A249548号,A309303型.
平分法：A099251号,A099252号.
上下文中的序列：A052827号 A033192号 A174297号*A099323号 A342912型 A058534号
相邻序列：A005040号 A005041号 A005042号*A005044号 A005045号 A005046号
关键词
非n,容易的,美好的
作者
N.J.A.斯隆
扩展
感谢Laura L.M.Yang（yanglm（AT）hotmail.com）的更正，2004年8月29日
根据来自的建议，名称更改为Riordan编号伊拉·盖塞尔（Ira M.Gessel）. -N.J.A.斯隆2020年7月24日
状态
经核准的

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上次修改时间：美国东部夏令时2023年5月30日18:34。包含363055个序列。（在oeis4上运行。）