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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 5043 MoTZKIN和:A(n)=(N-1)*(2×A(n-1)+3×A(n-2))/(n+1)。也称为Riordan数或环数。
(原M2588)
一百二十二
1, 0, 1、1, 3, 6、15, 36, 91、232, 603, 1585、4213, 11298, 30537、83097, 227475, 625992、1730787, 4805595, 13393689、37458330, 105089229, 295673994、834086421, 2358641376, 6684761125、18985057351, 54022715451, 154000562758、439742222071, 1257643249140 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0,5

评论

我不确定“Muthkin和”是这个名字的最佳名称,但它已经被用于出版物,并且提供了一种快速引用序列的方法。序列具有Motzkin(n)=A000 1006(n)=a(n)+a(n+1),例如,A000 1006(4)=9=3+6=A(4)+A(5)。

“CalalAn分区”的数目,即集合1,2,3,…,N的分割成非单体的部分,当点被布置在圆上时,其凸壳不相交(因此,当部分都是对时,我们得到加泰罗尼亚数)。- Aart Blokhuis(AARTB(AT)赢.T.NL),JUL 04 2000

具有n个边且没有顶点1的有序树的数目。对于n>1,由非相交对角线的总数为1 +边的凸多边形的剖分数。-埃米里埃德奇06三月2002

长度为n的莫茨金路径数,在0级没有水平台阶。-埃米里埃德奇09月11日2003

半奇n的Dyk路径数,在奇数级没有峰。例如:A(4)=3,因为我们有UUUDDDDD、UUDUDUD和UUDUDUD,其中U=(1,1),D=(1,-1)。长度不为1的半长度n的Dyk路径的数目(在Dyk路径中的上升是上行的最大串)。例子:A(4)=3,因为我们有UUUDDUD、UUDUDUD和UUUUDDD。-埃米里埃德奇,十二月05日2003

在舒伯特演算中出现如下。设p=维数n+1的复射影空间。在一般位置上取p维中的余维3的N个投射子空间。然后,A(n)是所有这些子空间相交的P的行数。- F. Hirzebruch,2月09日2004

中心三项系数与前人的区别。例子:A(6)=15=141—126和(1 +x+x^ 2)^ 6=…+ 126×x ^ 5+141×x ^ 6+…(加泰罗尼亚数字)A000 0108(n)是中心二项系数与其前身的区别。戴维卡兰,07月2日2004

A(n)=321个避免在[n]上排列的数,其中每个左到右的最大值是下降(即后面是一个较小的数)。例如,A(4)计数4123, 3142, 2143。-戴维卡兰7月20日2005

序列的Hankel变换A000 0 12=(1, 1, 1,1, 1, 1,1,…);例子:DET([1, 0, 1,1;0, 1, 1,3;1, 1, 3,6;1, 3, 6,15)= 1)。-菲利普德勒姆5月28日2005

投射线上n个标记点的2次投影不变量的个数。- Benjamin J. Howard(b霍华德(AT)IMA,Un.EDU),11月24日2006

定义一个随机变量x= Tr^ 2,其中A是一个2×2酉辛矩阵,它是从USP(2)中用Haar测度选择的。X的第n个中心矩是e[(x+1)^ n]=a(n)。-安得烈诉苏瑟兰,十二月02日2007

设V是复李代数SL(2)的伴随表示。V的n次张量幂的不变子空间的维数是A(n)。- Samson Black(SBLUL1(AT)Uualon EDU),8月27日2008

从偏移3开始=M*[1,1,1,…]的迭代,其中m=[01,1,1,1,1……]的三对角矩阵在主对角线和[1,1,1,…]中的超对角线和次对角线中。-加里·W·亚当森,08月1日2009

A(n)具有以下标准Young tableaux(Syt)解释:二项式(n+ 1,k)*二项式(n-1 k-1,k-1)/(n+1)=f^(k,k,1 ^ {n-2k}),其中f^λ等于形状λ的Syt数。- Amitai Regev(AMOTAI,ReVeV(AT)魏茨曼.AC.IL),MAR 02 2010

A(n)也是所有1个<- Amitai Regev(AMOTAI,ReeVeat(AT)魏茨曼.AC.IL),3月10日2010

A(n)是具有亏格0的{1,2,…,n}的错乱数。{1,2,…,n}的置换p的G(p)是由G(p)=(1/2)[n+1-z(p)-z(CP′)]定义的,其中p′是p的逆置换,c=234…n=(1,2,…,n),z(q)是置换q的循环数。例如:A(3)=1,因为p=231=(123)是{ 1,2,3}与属0的唯一错乱。实际上,CP′=231×312=123=(1)(2)(3),因此G(p)=(1/2)(3 +1-1-3)=0。-埃米里埃德奇5月29日2010

显然:Dykk 2n路径的数量与所有上升长度2和没有下降长度2。-戴维斯坎布勒4月17日2012

这是真的。证明:在每一步(U)之后插入一个峰值(UD)是从所有Dyk n路径到Dyk(2n)-路径的双射,其中每个上升长度为2。它在n路径中发送长度1的下降到在(2n)-路径中的长度2的下降。但是,没有长度1的下降的Dykk n路径与Riordon n路径(Mosikin n路径在地面水平上没有平坦)是等分的,如下所示。给定一个没有长度为1的Dyk n路径,将其分割成连续的步长对,然后用U、D与D、UD用蓝色平移(F)、DU与红色平移来替换UU,并连接新的步骤以获得有色Mort津路径。每个红色F将(立即)在蓝色F或D之前,在后一种情况下,转移红色F,使其在D的匹配U之前,最后擦除颜色以获得所需的Riordan路径。例如,用小写F表示红色平移,U^ 5 d^ 2 u ^ ^ 4 u ^ 4 d^ 3 u d ^ 2 >(u ^ 2,u^ 2,ud,dU,d^ 2,d^ 2,u^ 2,u^ 2 d^ 2,dU,d^)-> uuffdDufd-> uuffddufdUd。-戴维卡兰4月25日2012

诺兰瓦拉赫,8月20日2014:(开始)

让CH [PART1,PART2]是对应于第2部分给出的共轭类的n个与n的分割部分1对应的对称群的字符的值。设a[n]为2n的(n+1)分区,具有1或2部分。然后删除序列的第一项具有(n)=SUMY{{K=1…n+1 }二项式(n,k-1)*CH〔[n,n],a[n[[k] ] ] / 2 ^ n。通过Frobenius字符公式可以解释为张量^ n(楔^ 2 C^ n)中的SL(n,c)不变量的维数。

说明:让pjj表示和(xi i)^ j是k个变量中的和。然后,Frobenius公式表示(p1)^ j1(p2)^ jy2…(pr)^ jyr等于和(λ,CHλ,1 ^ jy12^ jy2…具有Slamlamda的Surλ函数对应于λ的Sur函数。这个公式意味着Sur([n,n])在Sur函数中的((p1)^ 1+p2)/n)n的展开系数是我们公式的右边。如果我们将变量的数目专门化为2,则s[n,n](x,y)=(xy)^ n,当限制为y= x^(- 1)为1时。也就是说,它是SL(1)上的2。

另一方面((p1)^ 2+p2)/ 2是度2的完全齐次对称函数,即Tr(s^ 2(x))。因此,我们的公式A(n)与上面的Samson Black公式相同,因为他的V与S^ 2(C^ 2)相同,作为SL(2)的表示。另一方面,如果我们用SGN乘以CH(λ),则得到CH(转置(lambda))。因此CH([n,n])变成CH((2,…,2))(这里有N 2)。n)现在(1/2 ^ n)*Suth{{j=0…n} CH([ 2,…,2,1 ^(2n 2j)2 ^ j])*(-1)^ j(2,j),它计算了((p1)^ 2-pY2)/2中的s*(2,…,2)系数n,但((p1)^ 2 p2)/2在n个变量中是第二个初等对称函数,其特征是楔^ 2 c^ n和sy(2,…,γ)是在SL(n)上的。公式(a)

(结束)

A(n)=非交叉分区数A000 0108[n]不包含单体,也不包含非嵌套分区的数目A000 0108[n]不包含单体。-戴维卡兰8月27日2014

汤姆·科普兰,11月02日2014:(开始)

设p(x)=x/(1+x)与COMP。逆Pinv(x)=x/(1-x)=-p[-x],和c(x)=[1-SqRT(1-4x)] / 2,移位的加泰罗尼亚数的O.G.F.A000 0108,用逆Cinv(x)=x*(1-x)。

Fin(x)=p[c(x)]=c(x)/[ 1 +c(x)]是精细数的O.G.F.A000 0957具有逆Fin ^(- 1)(x)=CcN[pvIn(x)]=cvi[-p(-x)]。

Mot(x)=C[p(x)]=C[- Pinv(-x)]给出了移位的O.G.F.A000 5043MoTZKIN或Riordan数与COMP。逆MOT^(- 1)(x)=pvi[cvn(x)]=(x-x^ 2)/(1 -x+x^ 2)(参见A057078

BTC(x)=C[pIV(x)]给出A000 7317一个二项式变换的加泰罗尼亚数,用BTC^(- 1)(x)=P[CiNv(x)]。

FIB(x)=-Fix[CiV](CvIn(-x))=-p[CvIn(-x)]=x+2 x ^ 2+3×^ 3+5×^ 4+…=(x+x^ 2)/[1-xx^ 2 ]是移位的斐波那契数列的O.G.F.A000 00 45所以,COMP。逆是Fib^(- 1)(x)=-c [ Pinv(-x)]=-BTC(-x)和FIB(x)=-bTc^(- 1)(-x)。

O.G.F.S之间的各种关系可以很容易地构造,例如FiB[[Mot(-x)]=-p [p(-x)]=x/(1-2×x),生成2 ^ n的fCT。

推广到p(x,t)=x/(1+t*x)和Pinv(x,t)=x/(1 -t*x)=-p(-x,t),给出了其它关系到格路径,如O.G.F.A091867,[c[p[x,1-t] ],和A10497PvI[CiNv(x),t+1 ]。(结束)

与David Callan的评论一致,A24954,为他所描述的非交叉分区,将MutsgIn和的细化提供到单个数字中。-汤姆·科普兰09月11日2014

从(0,0)到(n,0)的不低于x轴的网格路径的数目,并且使用步骤=(1,1)和向下步骤=(1,-k),其中k是正整数。例如,A(4)=3:[(1,1)(1,1)(1,-1)(1,-1)],[(1,1)(1,-1)(1,1)(1,-1)]和[(1,1)(1,1)(1,1)(1,-3)]。-尼古拉斯火腿8月19日2015

使用2 *(a(n)+a(n+1))+(a(n+1)+a(n+2))生成的级数具有f(2n)的Hankel变换,偏移3,f是斐波那契数,A000(实证观察)。-托尼福斯特三世7月30日2016

系列A(n)+A000 1006(n)具有Hankel变换F(2n+1),偏移n=1,f是斐波那契二分A151519(实证观察)。-托尼福斯特三世,SEP 05 2016

Rubey和残根参考文献证明了Reun-MaCZZIZK猜想的一个改进,它们的定义是:“2-Grand斯坦代数的数目是Nakayama algebras,具有n个简单模且具有相关联的箭头的定向线等于长度n的MytZKIN路径的数目。此外,具有最小忠实投射内射模的双中心性质的此类代数的数目等于Riordan路径的数目,即,在长度为零的高度零的水平阶上的Motzkin路径。”埃里克·M·施密特12月16日2017

与THUE Morse序列的连接:(- 1)^(n)=(- 1)^A010060(n)*(- 1)^A010060(n+1)=A106400(n)*A106400(n+1)。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫7月21日2019

推荐信

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公式

A(n)=SuMu{{K=0…n}(-1)^(N-K)*二项式(n,k)*A000 0108(k)。a(n)=(1 /(n+1))*SUMY{{K=0…上限(n/2)}二项式(n+1,k)*二项式(n-1 k-1,k-1),n=1。-伦斯迈利. [来自Amitai Regev(Amiai-ReVeV(AT)魏茨曼.AC.IL)的评论,MAR 02 2010:后者的总和应该超过K=1…层(n/2)的范围。

G.f.:(1 +X-SqRT(1-2*X-3*X^ 2))/(2×x*(1 +x))。

G.f.:2/(1 +X+SqRT(1-2*X-3*X^ 2))。- Paul Peart(Pault(AT)FAC,霍华德,EDU),5月27日2000

(n+1)+(- 1)^ n=a(0)*a(n)+a(1)*a(n-1)+…+a(n)*a(0)。-伯恩哈特

a(n)=(1/(n+1))*SuMi{{I}(-1)^ i*二项式(n+1,i)*二项式(2×n-2*i,n-1)。-伯恩哈特

G.f. A(x)满足a=1/(1+x)+x*a^ 2。

E.g.f.:Exp(x)*(贝塞利(0, 2×x)- BesselI(1, 2×x))。-瓦拉德塔约霍维奇4月28日2003

A(n)=A000 1006(n-1)-A(n-1)。

A(n+1)=SuMu{{K=0…n}(- 1)^ k*A026300(n,k),在哪里A026300是莫茨金三角形。

A(n)=SuMu{{K=0…n}(-1)^ k*二项式(n,k)*二项式(k,Lead(k/2))。-保罗·巴里1月27日2005

A(n)=SuMu{{K>=0 }A0868(N-K,K)。-菲利普德勒姆5月30日2005

A(n+1)=SUMY{{K>=0 }A064 189(N-K,K)。-菲利普德勒姆5月31日2005

矩表示:A(n)=(1 /(2×皮))* Int(X^ n*SqRT((1 +x)(3-x))/(1 +x),x,-1,3)。-保罗·巴里,朱尔09 2006

逆二项变换A000 0108(加泰罗尼亚数字)。-菲利普德勒姆10月20日2006

A(n)=(2/π)*积分{{Ty0..π}(4×CoS ^ 2(x)-1)^ n*Sin ^ 2(x)dx。-安得烈诉苏瑟兰,十二月02日2007

G.f.:1/(1-x^ 2/(1-x x^ 2/(1-x x^ 2//(1-x x^ 2//(1 -……(连分数)))。-保罗·巴里1月22日2009

G.f.:1/(1 +X-x/(1-x/)(1±X-x/(1-x/)(1 +X-x/(1)…(连分数)。-保罗·巴里5月16日2009

G.f.:1/(1-x ^ 2 /(1-x/)(1-x/(1-x^ 2 / /(1-x/)(1-x/)(1-x^ 2 / /(1-x/)(1)-…(连分数)。-保罗·巴里02三月2010

a(n)=-(- 1)^ n*超几何([ 1/2,n+2],[2 ],4/3)/qRT(-3)。-马克范霍伊,朱尔02 2010

A(n)=(-1)^ n*超几何([-n,1/2),[2 ],4)。-彼得卢斯尼8月15日2012

设A(x)为G.F.,x*a(x)为x/(1 +x^ 2×SuMu{{k>=0 } x^ k)的反转;A215340对于没有长-1上升的Dyk路径的对应关系。-乔尔格阿尔恩特8月19日2012和4月16日2013

a(n)~3 ^(n+1)/(8×qRT(pi)*n^(3/2))。-瓦茨拉夫科特索维茨,10月02日2012

G.f.:2/(1+x+1/g(0)),其中G(k)=1 +x*(2+3×x)*(4×k+1)/(4*k+ 2×x *(2+* * x)* *(α*k+a)*(α* k+a)/(x*(α+* * x)*(α* k+a)+α*(k+y)/g(k+x)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,朱尔05 2013

递归(另一种选择):(n+1)*a(n)=3*(n-2)*a(n-3)+(5×n-7)* a(n-2)+(n-2)*a(n-1),n>=3。-林风3月22日2014

渐近性:A(n)=3 ^(n+2)/qRT(3×n*pi)/(8×n)*(1-21/(16×n)+O(1/n^ 2))(Vaclav Kotesovec贡献)。-林风3月22日2014

a(n)=t(2×n-1,n)/n,其中t(n,k)=三角形A180177. -弗拉迪米尔克鲁钦宁9月23日2014

A(n)=(-1)^ n*JACOBIP(n,1,-n-3/ 2,-7)/(n+1)。-彼得卢斯尼9月23日2014

A(n)=SuMu{{K=0…n} C(n,k)*(c(k,nk)-c(k,n-1 k-1))。-彼得卢斯尼,10月01日2014

A(n)=A000 2426(n)A000 57 17(n),n>0。-米哈伊尔库尔科夫2月24日2019

A(n)=A309303(n)+A309303(n+1)。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫7月22日2019

例子

A(5)=6,因为只有6个边的多边形的唯一剖分是:五个五边形,其中五个对角线中的一个和没有对角线的六边形。

G.F.=1+x ^ 2+x ^ 3+3×x ^ 4+6×x ^ 5+15×x ^ 6+36×x ^ 7+91×x ^++××^++…

枫树

A000 5043= PROC(n)选项记住;如果n<=1,则1-n(n-1)*(2 *)A000 5043(n-1)+ 3A000 5043(n-2))/(n+1);FI;末端;

级数:=20:解(级数((xx^ 2)/(1-x+x^ 2),x)=y,x);

Mathematica

A〔0〕=1;A〔1〕=0;A [n]:= a[n]=(n- 1)*(2*a[n- 1 ] +3 * a[n- 2 ])/(n+1);表[a[n],{n,0, 30 }](*)Robert G. Wilson五世6月14日2005*)

表〔(3)^(1/2)/6*(- 1)^ n*(3×超几何2F1[ 1/2,n+1, 1, 4/3)+超几何2F1[ 1/2,n+2, 1, 4/3 ]),{n,0, 32 }(*CF)。马克范霍伊进入A000 1006*)沃特梅森1月23日2010*)

递归[ {a]〔0〕=1,A〔1〕=0,a[n]=(n-1)(2a[n-1)+3a[n-2)] /(n+1)},a,{n,30 }](*)哈维·P·戴尔9月27日2013*)

a [n]:=级数系数[2 /(1 +x+qrt [ 1 - 2×-3×^ 2 ]),{x,0,n};米迦勒索摩斯8月21日2014*)

[n]:=如果[n<0, 0, 3 ^(n+1)超几何2f1〔3/2,n+2, 2, 4〕/i〕;(*)米迦勒索摩斯8月21日2014*)

表〔3〕(n+3/2)Calalangt[n](4(5+2 n)超几何2F1〔3/2,3/2,1/2,n,1/4〕-9超几何2F1[ 3/2,5/2,5/2 -n,y])/((^(n+-)(n+-)),{n,y})(*)弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫7月21日2019*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,n++;PoCOFEF)(SerRead((x- x ^ 3)/(1 +x^ 3)+x*o(x^ n)),n)};/*米迦勒索摩斯5月31日2005*

(极大值)A〔0〕:1元

A〔1〕:0元

a [n]=(n-1)*(2×a[n-1)+3*a[n-2 ])/(n+1)$

马克莱斯特(A[n],n,0, 12);/*伊曼纽勒穆纳里尼,02年3月2011日

(哈斯克尔)

A000 5043 n=a00 5043x列表!n!

AA505043LIST=1:0:ZIPOD DIV

(ZIPOP(*)[1…](ZIPOFF(+))

(MAP(* 2)$ AA505043Y列表)(MAP(* 3)A00 5043Y列表))〔3〕

——莱因哈德祖姆勒1月31日2012

(PARI)n=66;Vec(Ser/(x/(1+x*和(k=1,n,x^ k))+O(x^ n)))乔尔格阿尔恩特8月19日2012

(圣人)

A000 5043=λn:(- 1)^ n*JavaBiIp p(n,1,-n-3/2,-7)/(n+1)

[简化]A000 5043(n)n(0…29)中的n

γ彼得卢斯尼9月23日2014

(圣人)

DEF MS-():

a,b,c,d,n=0, 1, 1,- 1, 1

产量1

虽然真实:

产量b+(- 1)^ n*d

n+=1

a,b=b,(3*(n-1)*n*a+(2×n-1)*n*b)/((n+1)*(n-1))

C,D=D,(3×(n-1)*c-(2×n-1)*d)/n

A000 5043=()

打印()A000 5043N.[()](32)]彼得卢斯尼5月16日2016

交叉裁判

三角形的行和A02074第一个差异A0823 95.

三角阵列中的第一对角线A059366.

二项式变换A126930. -菲利普德勒姆11月26日2009

(n+1)的Hankel变换是A12834. A(n+2)的Hankel变换是(2×n+4)/3(=3)。A000 423(n+2)。-保罗·巴里08三月2011

三角形的KN11三角和A175136导致A000 5043(n+1),而KN12(n)=2A000 5043(n+1)-2 ^(n+1),KN13(n)=(n)=4A000 5043(n+ 6)-(n^ 2+9×n+1)*2 ^(n-2)和KN4(n)=(n=56)A000 5043(2×n+1)=2A09251(n+1)三角形和与上面给出的序列相关。对于这些三角形和的定义参见A180662. -约翰内斯·梅杰06五月2011

自卷积A000 5043给予A187306. -菲利普德勒姆1月28日2014

囊性纤维变性。A000 00 45A000 0108A000 0957A000 1006A000 7317A057078A091867A10497A126120A1785A24954A309303.

Bisections:A09251A09252.

语境中的顺序:A05827 A033 192 A17429*A09323 A0585 34 A063678

相邻序列:A000 5040 A000 5041 A000 5042*A000 5044 A000 5045 A000 5046

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

扩展

感谢劳拉L.M.杨(HotLM(AT)Hotmail .com)的修正案,8月29日2004

地位

经核准的

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最后修改8月17日08:04 EDT 2019。包含326057个序列。(在OEIS4上运行)