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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A039599号 由奇比雪夫多项式U峎n(x)的x的幂展开式的偶数列组成的三角形。 133

%我

%第1,1,1,2,3,1,5,9,5,1,14,28,20,7,1,42,90,75,35,9,1132297275154,54,

%电话:11,142910011001637273,77,13,114303432364025481260440104,

%美国15,148621193413260999655082244663135,17,1

%由奇比雪夫多项式U峎N(x)的x的幂展开式的偶数列构成的N个三角形。

%C T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的点阵路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),它们接触但不穿过线x-y=k,并且只位于这条线的上方;例如:T(3,2)=5,因为我们有EENNEN,EENNEN,EENENN,eneen,NEEENN。-菲利普·德莱厄姆,2005年5月23日

%这个三角形的矩阵逆是三角矩阵T(n,k)=(-1)^(n+k)*A085478(n,k)。-菲利普·德莱厄姆,2005年5月26日

%C基本上与A050155相同,但有一个前导对角线A000108(加泰罗尼亚数字)1,1,2,5,14,42,132,429。。。。-菲利普·德莱厄姆,2005年5月31日

%C半长n且向下k的大戴克路径数返回x轴。(半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0的路径,起始于(0,0),结束于(2n,0),由步骤u=(1,1)和d=(1,-1))组成。示例:T(3,2)=5,因为我们有u(d)uud(d)、uud(d)u(d)、u(d)u(d)du、u(d)duu(d)和duu(d)u(d)(圆括号之间显示x轴的向下返回)。-2006年5月6日,德国

%C Riordan数组(C(x),x*C(x)^2),其中C(x)是A000108的g.f.;逆数组是(1/(1+x),x/(1+x)^2)。-Philippe Deléham,2007年2月12日

%C三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,0,0,…]生成,其中M是无限的三对角矩阵,所有1在上、次对角线上,而[1,2,2,2,2,…]在主对角线中。-Philippe Deléham,2007年2月26日

%C逆二项式矩阵应用于a24733。二项式矩阵应用于A089942。-Philippe Deléham,2007年2月26日

%C形状的标准表格编号(n+k,n-k)。-Philippe Deléham,2007年3月22日

%C来自Philippe Deléham_u,2007年3月30日:(开始)

%C该三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值而出现:

%C(0,0)->A053121;(0,1)->A089942;(0,2)->A126093;(0,3)->A126970

%C(1,0)->A061554;(1,1)->A064189;(1,2)->A039599;(1,3)->A110877;

%C(1,4)->A124576;(2,0)->A126075;(2,1)->A038622;(2,2)->A039598;

%C(2,3)->A124733;(2,4)->A124575;(3,0)->A126953;(3,1)->A126954;

%C(3,2)->A111418;(3,3)->A091965;(3,4)->A124574;(4,3)->A126791;

%C(4,4)->A052179;(4,5)->A126331;(5,5)->A125906。(结束)

%表U(n,k)=和{j,0<=j<=n}T(n,j)*k^j在A098474中给出。-Philippe Deléham,2007年3月29日

%C序列读取模块2给出了A127872。-Philippe Deléham,2007年4月12日

%C从(0,0)到(2n,2k)的2n步数,由步数u=(1,1)和d=(1,-1)组成,且路径位于非负象限。示例:T(3,0)=5,因为我们有uuuddd、uududud、uduud、ududd、uuddud;T(3,1)=9,因为我们有uuudd、uududu、uuduu、uduudu、uuduu、uuduu、uuduu、uuduu;T(3,2)=5,因为我们有uuuuuu d、uuuudu、uuduu、uuduu;T(3,3)=1,因为我们有uuuuuuuuuuu。-Philippe Deléham,2007年4月16日,2007年4月17日,2007年4月18日

%C三角形矩阵,按行读取,等于三角形A129818的矩阵逆。-2007年6月19日Philippe Deléham

%让C让m之和{n>=0}a(n)*x^n=(1+x)/(1-mx+x^2)=o.g.f.的一个U m的o.g.f.再和{k=0.n}T(n,k)*a(k)=(m+2+2)^n。图m的相关展开式有:A099493、A033999、A0570778、A0570777、A0570777、A0570777、A0570779、A0570779、A057078、A005408、A002878、A00101834、A030221、A002315、A033890、A057085708080、A002878、A001834、A030221、A00221、A057081、A054320、A097783、A077416、A126866、A028230、A161591,适用于m=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,分别是13,14,15。-2009年11月16日Philippe Deléham

%C Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和将上述三角形与三个序列相连;参见交叉引用。有关这些三角形和的定义,请参见A180662。-_Johannes W.Meijer,2011年4月20日

%C 4^n=(第n行项)点(第一个n+1个奇整数项)。例如:4^4=256=(14,28,20,7,1)点(1,3,5,7,9)=(14+84+100+49+9)=256。-_Gary W.Adamson,2011年6月13日

%系数由前n行定义的n组线性方程组求解n=2n+1边的正多边形的对角线长度;常数C^0,C^1,C^2,。。。在右侧,其中c=2+2*cos(2*Pi/N)。示例:取与9-边(nonagon)相关的前4行,N=2*4+1;其中c=2+2*cos(2*Pi/9)=3.5320888。。。。方程为(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=c;(2,3,1,0)=c2;(5,9,5,1)=c3。解为1,2.53208…,2.87938…,和1.87938…;边=1的9-边(非边)的四个不同对角线长度。(参见A089942中的注释,该注释使用类似运算,但c=1+2*cos(2*Pi/9)。——\u Gary W.Adamson,2011年9月21日

%C也叫Lobb数,在Andrew Lobb之后,是Catalan数的自然推广,由L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1),其中n>=m>=0。第0,我们得到一个数字。参见添加的参考。-逯Jayanta Basu逯,2013年4月30日

%C自2013年9月20日Wolfdieter Lang_u提供:(开始)

%C T(n,k)=A053121(2*n,2*k)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n)次方的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),在单位圆(长度单位1)内接的正则n边形中奇指数对角线/边长比R(n,2*k+1)=S(2*k,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫多项式(见A049310):

%C rho(N)^(2*N)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*k+1),N>=0,在N>=1中相同。有关证明,请参见2013年9月21日A053121下的评论。注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)(见A055034)的度数出现,这是未还原的版本。

%关于rho(n)的奇数次幂,见A039598。(结束)

%方程多项式分子的无符号系数。第2.1节,定义了A067311的多项式。-汤姆科普兰,2016年5月26日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。系列551964年(和各种重印),第796页。

%D T.Myers和L.Shapiro,序列1,5,22,93,386的一些应用。。。《戴克路径与有序树》,Congressus Numerant.,204(2010),93-104。

%H T.D.Noe,<a href=“/A039599/b039599.txt”>第n=0..50行三角形,展平</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun,eds.,<A href=“http://www.converdit.com/Go/converdit/Reference/AMS55.ASP”>数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。

%H Quang T.Bach,Jeffrey B.Remmel,<a href=“http://arxiv.org/abs/1510.04319”>为避免连续模式集的置换生成下降函数,arxiv:1510.04319[math.CO],2015年(见第25页)。

%H M.Barnabei,F.Bonetti和M.Silimbani,<a href=“http://arxiv.org/abs/1301.1790”>由中心二项式系数枚举的两个置换类,arxiv预印本arxiv:1301.1790[math.CO],2013年和<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Silimbani/silinbani3.html”>J.Int.Seq。第16期(2013年)#13.3.8</a>

%H Paul Barry,<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Barry/barry84.html”>整数序列上的加泰罗尼亚变换和相关变换</a>,《整数序列杂志》,第8卷(2005),第05.4.5条。

%H P.Barry,A.Hennessy,<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Barry2/barry94r.html”>Euler-Seidel矩阵、Hankel矩阵和力矩序列</A>,J.Int.Seq。13(2010)#10.8.2,例15。

%H Paul Barry,<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry5/barry223.html”>关于序列的Hurwitz变换,整型序列期刊,第15卷(2012),12.8.7。

%http://aryxiv.org.http://aryxiv.org.http://aryxiv.org/continued/arxiv.org/http://aryxiv.org/continued/arxiv.org/continued of two-aryxiv.org。17(2014年)#14.5.1</a>。

%H Jonathan E.Beagley,Paul Drube,<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v22i2p44”>Tableau反转组合学</a>,电子。J、 Combin.,22(2015年),#第2.44页。

%H S.Chakravarty和Y.Kodama,<a href=“http://arxiv.org/abs/0802.0524v2”>Kadomtsev-Petviashvili II方程N-孤子解的生成函数,arxiv预印本arxiv:0802.0524v2[nlin.SI],2008年。

%周文生,何田晓和,陈晓华,<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL21/He/he61.html”>关于广义模糊加泰罗尼亚数的素性</a>,J.Int.Seques,第21卷(2018年),#18.2.1。

%H Johann Cigler,<a href=“https://arxiv.org/abs/1611.05252”>关于Narayana多项式及其相关主题的一些基本观察</a>,arxiv:1611.05252[math.CO],2016。见第11页。

%H Paul Drube,<a href=“http://arxiv.org/abs/1606.04869”>为倒置半标准Young Tableaux和广义选票号码生成函数,arxiv:1606.04869[math.CO],2016年。

%H Paul Drube,<a href=“https://arxiv.org/abs/2007.01892”>广义路径对和模糊加泰罗尼亚三角形</a>,arxiv:2007.01892[math.CO],2020年。见图4第8页。

%H T.-X.He,L.W.Shapiro,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.laa.2017.06.025”>Fuss-Catalan矩阵及其加权和和和Riordan群的稳定子群,Lin.Alg。应用程序。532(2017)25-41,示例第32页。

%H Aoife Hennessy,<a href=“http://repository.wit.ie/1693/1/AoifeThesis.pdf”>Riordan数组及其在连分式、正交多项式和格路径中的应用研究</a>,沃特福德理工学院博士论文,2011年10月。

%H Thomas Koshy,<a href=“http://jointmathematicsmeetings.org/meetings/national/jmm/1046-z1-620.pdf”>Lobb对加泰罗尼亚括号问题的概括,大学数学期刊40(2),2009年3月,99-107。

%H Huyile Liang,Jeffrey Remmel,Sainan Zheng,<a href=“https://arxiv.org/abs/1710.05795”>Stieltjes多项式矩序列</a>,arxiv:1710.05795[math.CO],2017,见第11页。

%H Andrew Lobb,<a href=“http://www.jstor.org/stable/3618696”>推导第n个加泰罗尼亚数字,</a>,数学公报83(8),1999年3月,109-110。

%H Donatella Merlini和Renzo Sprugnoli,<a href=“https://doi.org/10.1016/j.disc.2016.08.017”>通过Riordan数组进行几何级数运算</a>,离散数学340.2(2017):160-174。见第161页。

%H Pedro J.Miana,Hideyuki Ohtsuka,Natalia Romero,<a href=“http://arxiv.org/abs/1602.04347”>加泰罗尼亚三角形数的幂和</a>,arxiv:1602.04347[math.NT],2016(见2.8)。

%H A.Papoulis,<A href=“/A000108/a00108_8.pdf”>拉普拉斯变换反演的一种新方法,夸脱。申请。数学14(1957),405-414。[选定页面的带注释扫描]

%H Athanasios Papoulis,<a href=“http://www.jstor.org/stable/43636019”>拉普拉斯变换反演的一种新方法,夸脱。申请。数学14.405-414(1957):124。[注意:有一个打字错误]

%H J.Riordan,<a href=“https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1975-0366686-9”>连接圆上2n个点对的弦交叉点的分布</a>,数学。比较。第29卷第129卷(1975)215-222页

%H Yidong Sun and Fei Ma,<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p33”>一些与加泰罗尼亚三角形相关的二项式和,电子组合学杂志21(1)(2014),P1.33

%孙益东,马飞,<a href=“http://arxiv.org/abs/1305.2017”>加泰罗尼亚三角洲的四个转变,arxiv预印本arxiv:1305.2017[math.CO],2013。

%H Sun,Yidong;Ma,Luping<a href=“https://doi.org/10.1016/j.ejc.2014.01.004”>与加权偏Motzkin路径相关的一类Riordan数组的子类</a>。欧元。J、 梳子。39,157-169(2014),表2.2。

%H维基百科,<a href=“http://en.Wikipedia.org/wiki/Lobb_number”>Lobb编号</a>。

%H W.-J.Woan,L.Shapiro和D.G.Rogers,<a href=“http://www.jstor.org/stable/2974473”>加泰罗尼亚数、Lebesgue积分和4^{n-2}</a>,艾默尔。数学。月刊,104(1997),926-931。

%杨盛亮,董彦妮,何天晓,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2017.07.006”>有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式</a>,离散数学340.12(2017):3081-3091。

%F T(n,k)=C(2*n-1,n-k)-C(2*n-1,n-k-2),n>=1,T(0,0)=1。

%F来自2006年5月6日的《德国紧急情况》(Start)

%F T(n,k)=(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1)。

%F G.F.:G(t,z)=1/(1-(1+t)*z*C),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。(结束)

%F 2003年至2009年期间,Philippe Deléham_u添加了以下公式:

%F三角形T(n,k)按行读取;由a00012 DELTA a00007给出,其中DELTA是A084938中定义的Deléham运算符。

%F T(n,k)=C(2*n,n-k)*(2*k+1)/(n+k+1)。和(k>=0;T(n,k)*T(m,k)=A000108(n+m));a00108:加泰罗尼亚语的数量。

%F T(n,0)=A000108(n);如果k>n,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n)T(n-j,k-1)*A000108(j)。

%n+0.9K(牛顿+牛顿,0.06K)=牛顿+牛顿。

%F G.F.对于k列:Sum{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+1),其中C(x)=Sum{n>=0}A000108(n)*x^n是加泰罗尼亚数字的G.F。

%如果n<0或n<k,F T(0,0)=1,T(n,k)=0;T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1);对于k>=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)。

%如果n=m*(m+3)/2,则F a(n)+a(n+1)=1+A000108(m+1);否则为a(n)+a(n+1)=A039598(n)。

%F T(n,k)=A050165(n,n-k)。

%F和{j>=0}T(n-k,j)*A039598(k,j)=A028364(n,k)。

%三角形T(n,k)=(-1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=(-1)^(n+k)*A085478(n,k)。

%对于x=0,1,2,3,4,F和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000108(n),A000984(n),A007854(n),A076035(n),A076036(n)。

%F和{k=0..n}(2*k+1)*T(n,k)=4^n。

%F T(n,k)*(-2)^(n-k)=A114193(n,k)。

%F和{k>=h}T(n,k)=二项式(2n,n-h)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*5^k=A127628(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*7^k=A115970(n)。

%F T(n,k)=和{j=0..n-k}A106566(n+k,2*k+j)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*6^k=A126694(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A000108(k)=A007852(n+1)。

%{0..n/k=0(n/k)=0。

%F和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k=A000007(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=(-1)^n*A064310(n)。

%F T(2*n,n)=A126596(n)。

%对于x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,F和{k=0..n}T(n,k)*(-x)^k=A000007(n),A126983(n),A126984(n),A126982(n),A126986(n),A127017(n),A127016(n),A126985(n),A127053(n)。

%F和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A116395(n,k)。

%{a0,k>=0(k,F)。

%F T(n,k)=和{j>=0}A127543(n,j)*A038207(j,k}。

%F Sum{k=0..楼层(n/2)}T(n-k,k)*A000108(k)=A10140(n+1)。

%F T(n,k)=A053121(2*n,2*k)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*sin((2*k+1)*x)=sin(x)*(2*cos(x))^(2*n)。

%F T(n,n-k)=和{j>=0}(-1)^(n-j)*A094385(n,j)*二项式(j,k)。

%F Sum{j>=0}A110506(n,j)*二项式(j,k)=和{j>=0}A110510(n,j)*A038207(j,k)=T(n,k)*2^(n-k)。

%F Sum{j>=0}A110518(n,j)*A027465(j,k)=和{j>=0}A110519(n,j)*A038207(j,k)=T(n,k)*3^(n-k)。

%F Sum{k=0..n}T(n,k)*A001045(k)=A049027(n),对于n>=1。

%F Sum{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n如果Sum{k>=0}a(k)*x^k=(1+x)/(x^2-m*x+1)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*a04000(k)=A001700(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A122553(k)=A051924(n+1)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A123932(k)=A051944(n)。

%F Sum{k=0..n}T(n,k)*k^2=A000531(n),对于n>=1。

%F Sum{k=0..n}T(n,k)*A000217(k)=A002457(n-1),对于n>=1。

%F和{j>=0}二项式(n,j)*T(j,k)=A124733(n,k)。

%F Sum{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012(n),a00984(n),A089022(n),A035610(n),A130976(n),A130977(n),A130978(n),A130979(n),A130980(n),a31521(n),分别表示x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A005043(k)=A127632(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A132262(k)=A089022(n)。

%F T(n,k)+T(n,k+1)=A039598(n,k)。

%F T(n,k)=A128899(n,k)+A128899(n,k+1)。

%F Sum{k=0..n}T(n,k)*A015518(k)=A076025(n),对于n>=1。当n>=1时,也求和{k=0..n}T(n,k)*A015521(k)=A076026(n)。

%对于x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,F和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*x^(n)=a03999(n),a00007(n),A064062(n),A110520(n),A132863(n),A132864(n),A132865(n),A132866(n),A132867(n),A132897(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^(k+1)*a00045(k)=a09262(n),a00045:=斐波纳契数。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A000035(k)*a01616(k)=A143464(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*a01616(k)=A101850(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A010684(k)=a00320(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A000034(k)=A029651(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A010686(k)=A144706(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A006130(k-1)=A143646(n),其中A006130(-1)=0。

%F T(n,2*k)+T(n,2*k+1)=A118919(n,k)。

%F和{k=0..j}T(n,k)=A050157(n,j)。

%F Sum{k=0..2}T(n,k)=A026012(n);和{k=0..3}T(n,k)=A026029(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A000045(k+2)=A026671(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A000045(k+1)=A026726(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*a05078(k)=a00012(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A108411(k)=A155084(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*a0557077(k)=2^n=a00079(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*A057079(k)=3^n=A000244(n)。

%F和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*A011782(k)=A000957(n+1)。

%F(结束)

%F T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k+j,2j)*(-1)^(k-j)*A000108(n+j)。-保罗·巴里,2011年2月17日

%F和{k=0..n}T(n,k)*A071679(k+1)=A026674(n+1)。-2014年2月1日,Philippe Deléham

%F和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^2=(4*n+1)*二项式(2*n,n)。-_Werner Schulte,2015年7月22日

%F Sum{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^3=(6*n+1)*4^n.-\u Werner Schulte,2015年7月22日

%F和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(2*k+1)^(2*m)=0表示0<=m<n(另见A160562)。-_Werner Schulte,2015年12月3日

%F T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1)-GegenbauerC(n-k-1,-n+1,-1)。-_Peter Luschny,2016年5月13日

%F T(n,n-2)=A014107(n)。-马萨,2019年1月30日

%F T(n,n-3)=n*(2*n-1)*(2*n-5)/3。-马萨,2019年1月30日

%F T(n,n-4)=n*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-7)/6。-马萨,2019年1月30日

%F T(n,n-5)=n*(n-1)*(2*n-1)*(2*n-3)*(2*n-9)/30。-马萨,2019年1月30日

%e三角形T(n,k)开始于:

%电子邮件0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9

%e 0:1

%e 1:11

%e 2:2 3 1

%e 3:5 9 5 1

%电话:14 28 20 7 1

%电话:42 90 75 35 9 1

%电话:132 297 275 154 54 11 1

%电话:429 1001 1001 637 273 77 13 1

%电话:1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1

%电话:4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1

%e。。。由Wolfdieter Lang_u重新格式化,2015年12月21日

%2011年2月17日,保罗•巴里发回:(开始)

%e生产矩阵开始

%e 1,1,

%e 1,2,1,

%e 0,1,2,1,

%e 0,0,1,2,1,

%e 0,0,0,1,2,1,

%e 0,0,0,0,1,2,1,

%e 0,0,0,0,0,1,2,1(结束)

%2013年9月20日,Wolfdieter Lang_u发来电子邮件:(开始)

%e rho(N)=2*cos(Pi/N)幂的例子:

%e n=2:rho(n)^4=2*R(n,1)+3*R(n,3)+1*R(n,5)=

%e2+3*S(2,rho(N))+1*S(4,rho(N)),在N>=1中相同。对于N=4(只有一条明显对角线的正方形),度δ(4)=2,因此R(4,3)和R(4,5)可以分别减少为R(4,1)=1和R(4,5)=-R(4,1)=-1。因此,rho(4)^4=(2*cos(Pi/4))^4=2+3-1=4。(结束)

%p T:=(n,k)->(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1):对于n从0到12的do-seq(T(n,k),k=0..n)od;#产生三角形形式的序列##Emeric Deutsch,2006年5月6日

%t Table[Abs[Differences[Table[二项式[2n,n+i],{i,0,n+1}]]],{n,0,7}]//展平(*u Geoffrey Critzer_2011年12月18日*)

%t Join[{1},Flatten[Table[binoryment[2n-1,n-k]-二项式[2n-1,n-k-2],{n,10},{k,0,n}]]]](哈维P.戴尔,2011年12月18日*)

%t展平[表[二项式[2*n,m+n]*(2*m+1)/(m+n+1),{n,0,9},{m,0,n}]](*_jayantabasu_年4月30日*)

%塞德尔(1877)的o(Sage)算法

%o#打印三角形的前n行

%o def A039599_三角形(n):

%o D=[0]*(n+2);D[1]=1

%o b=真;h=1

%对于范围内的i(2*n-1):

%o如果b:

%o表示范围(h,0,-1):D[k]+=D[k-1]

%o h+=1

%o其他:

%o表示范围(1,h,1)内的k:D[k]+=D[k+1]

%o如果b:打印([D[z]代表z in(1..h-1)])

%o b=不是b

%o A039599_三角形(10)#u Peter Luschny,2012年5月1日

%o(岩浆)/*为三角形*/[[二项式(2*n,k+n)*(2*k+1)/(k+n+1):k in[0..n]]:n in[0..0。。15] ];//2015年10月16日,Vincenzo Librandi

%o(PARI)a(n,k)=(2*n+1)/(n+k+1)*二项式(2*k,n+k)

%o三角线(n)=for(x=0,n-1,for(y=0,x,print1(a(y,x),“,”);print(“”)

%o trianglerows(10)\\\\\\ u Felix Fröhlich,2016年6月24日

%Y列给出:A000108 A000245 A000344 A000588 A001392 A000589 A000590、A000012 A005408 A014107(n>1)

%Y行总和:A000984

%Y比照A008313 A039598 A084938 A000007

%Y三角形和(见注释):A000958(Kn11)、A001558(Kn12)、A088218(图1、图2)。

%Y比照A067311。

%不,表,简单,不错,换了

%0.4度

%A·N·J·A·斯隆_

%E经Philippe Deléham修正,2009年11月26日,2009年12月14日

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修改日期:美国东部时间2020年7月21日04:。包含335579个序列。(运行在oeis4上。)