%I#252 2023年2月14日08:52:28

%S 1,1,2,3,1,5,9,5,1,14,28,20,7,1,42,90,75,35,9,1132297275154,54，

%电话：11,142910011001637273,77,13,114303432364025481260440104，

%电话：15,148621193413260999655082244663135,17,1

%N根据切比雪夫多项式U_N（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。

%C T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE、EENNEN、EENENN、ENEENN、NEEENN_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2005年5月23日

%这个三角形的矩阵逆矩阵是三角形矩阵T（n，k）=（-1）^（n+k）*A085478（n，k）_菲利普·德莱姆（Philippe Deléham），2005年5月26日

%C基本上与A050155相同，但带有前导对角线A000108（加泰罗尼亚数字）1、1、2、5、14、42、132、429……-_菲利普·德莱姆（Philippe Deléham），2005年5月31日

%C半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。例如：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud_Emeric Deutsch，2006年5月6日

%C Riordan数组（C（x），x*C（x；逆数组是（1/（1+x），x/（1+x）^2）_菲利普·德雷厄姆，2007年2月12日

%C三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线，[1,2,2,2,2,2，2，2…]位于主对角线_菲利普·德雷厄姆，2007年2月26日

%C应用于A124733的二项式逆矩阵。应用于A089942的二项式矩阵_Philippe Deléham_，2007年2月26日

%C形状标准表编号（n+k，n-k）。-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年3月22日

%C来自_Philippe Deléham_，2007年3月30日：（开始）

%C该三角形属于定义为：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：

%C（0,0）->A053121；（0,1）->A089942；（0,2）->A126093；（0,3）->A126970

%C（1,0）->A061554；（1，1）->A064189；（1、2）->A039599；（1,3）->A110877；

%C（1,4）->A124576；（2,0）->A126075；（2,1）->A038622；（2,2）->A039598；

%C（2,3）->A124733；（2，4）->A124575；（3,0）->A126953；（3,1）->A126954；

%C（3,2）->A111418；（3,3）->A091965；（3,4）->A124574；（4,3）->A126791；

%C（4,4）->A052179；（4,5）->A126331；（5、5）->A125906。（结束）

%表U（n，k）=总和{j=0..n}T（n，j）*k^j在A098474中给出_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年3月29日

%C序列读取模块2给出A127872_Philippe Deléham，2007年4月12日

%C从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，并且路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu，uduuuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu_Philippe Deléham，2007年4月16日、17日、18日

%C按行读取的三角形矩阵，等于三角形A129818的矩阵逆_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年6月19日

%C设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。77416、A126866、A028230、A161591，对于m=-3、-2、，-分别为1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15_菲利普·德雷厄姆，2009年11月16日

%C Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角形和的定义，请参见A180662_Johannes W.Meijer，2011年4月20日

%C 4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。示例：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256。-_Gary W.Adamson，2011年6月13日

%C具有由前n行定义的系数的n个方程的线性系统求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边（非边）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边＝1的9边形（非边形）的四个不同对角线长度。（参见A089942中的注释，该注释使用类似操作，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）_Gary W.Adamson，2011年9月21日

%C在Andrew Lobb之后也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚语数。参见新增参考_Jayanta Basu，2013年4月30日

%C From _Wolfdieter Lang，2013年9月20日：（开始）

%C T（n，k）=A053121（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，rho（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310）：

%Cρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅A053121下2013年9月21日的评论。注意，如果R（N，j）的j>delta（N），则这是未简化的版本，代数数rho（N）的次数（参见A055034）出现。

%C关于ρ（n）的奇数幂，请参见A039598。（结束）

%C等式多项式分子的无符号系数。Chakravarty和Kodama论文的2.1，定义了A067311的多项式_汤姆·科普兰，2016年5月26日

%C三角形是加泰罗尼亚数字在A321620意义上的Riordan平方_Peter Luschny_，2023年2月14日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。

%D.T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.

%H T.D.Noe，<a href=“/A0395599/b039599.txt”>三角形的n=0..50行，扁平</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/CovertIt/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年[替代扫描件]。

%H Quang T.Bach和Jeffrey B.Remmel，<a href=“https://arxiv.org/abs/1510.04319“>为避免连续模式集的排列下降生成函数，arXiv:1510.04319[math.CO]，2015（见第25页）。

%H M.Barnabei、F.Bonetti和M.Silinbani，<a href=“https://arxiv.org/abs/1301.1790“>由中心二项式系数枚举的两个置换类，arXiv预印本arXiv:1301.1790[math.CO]，2013和<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Silimbani/silimbani3.html“>J.Int.Seq.16（2013）#13.3.8</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Barry/barry84.html“>整数序列上的加泰罗尼亚变换和相关变换，《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.4.5条。

%H Paul Barry和A.Hennessy，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Barry2/barry94r.html“>Euler-Seidel矩阵，Hankel矩阵和矩序列，J.Int.Seq.13（2010），第10.8.2条，示例15。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry5/barry223.html“>关于序列的Hurwitz变换</a>，《整数序列杂志》，第15卷（2012），#12.8.7。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1311.7161“>比较由连续分式展开定义的两个广义矩矩阵</a>，arXiv-print arXiv:1311.7161[math.CO]，2013和<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Barry3/barry291.html“>《国际期刊》第17期（2014年）第14.5.1号。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2004.04577“>关于整数序列的中心变换</a>，arXiv:2004.04577[math.CO]，2020。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2011.0827“>加泰罗尼亚数连续对线性组合的Hankel变换注释，arXiv:2011.10827[math.CO]，2020。

%乔纳森·比格利和保罗·德鲁贝，<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v22i2p44“>表au反演的组合数学，Electron.J.Combina.，22（2015），#P2.44。

%H S.Chakravarty和Y.Kodama，<a href=“http://arxiv.org/abs/0802.0524v2“>Kadomtsev-Petviashvili II方程N孤子解的生成函数</A>，arXiv预印本arXiv:0802.0524v2[nlin.SI]，2008。

%H Wun-Seng Chou、Tian Xiao He和Peter J.-S.Shiue，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL21/He/he61.html“>关于广义Fuss-Catalan数的素数，J.Int.Seqs.，第21卷（2018年），#18.2.1。

%H Johann Cigler，<a href=“https://arxiv.org/abs/1611.05252“>关于Narayana多项式和相关主题的一些初步观察</a>，arXiv:1611.05252[math.CO]，2016。见第11页。

%H Paul Drube，<a href=“https://arxiv.org/abs/1606.04869“>倒置半标准杨表和广义选票数的生成函数</a>，arXiv:1606.04869[math.CO]，2016。

%H Paul Drube，<a href=“https://arxiv.org/abs/2007.01892“>广义路径对和Fuss-加泰罗尼亚三角</a>，arXiv:2007.01892[math.CO]，2020。参见第8页的图4。

%H T.-X.He和L.W.Shapiro，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.laa.2017.06.025“>Riordan群的Fuss-Catalan矩阵及其加权和和稳定子群，Lin.Alg.Applic.532（2017）25-41，示例p32。

%H Aoife轩尼诗，<a href=“https://repository.wit.ie/1693/1/AoifeThesses.pdf“>《Riordan阵列及其在连分式、正交多项式和格路径中的应用研究》，沃特福德理工学院博士论文，2011年10月。

%H托马斯·科西，<a href=“https://www.jointmathematicsmetings.org//meetings/national/jmm/1046-z1-620.pdf“>Lobb对加泰罗尼亚语括号问题的概括</a>，《大学数学杂志》40（2），2009年3月，99-107，DOI:<a href=”https://doi.org/101080/07468342.2009.11922344“>10.1080/07468342.2009.11922344。

%H Huyile Liang、Jeffrey Remmel和Sainan Zheng，<a href=“https://arxiv.org/abs/1710.05795“>Stieltjes多项式矩序列，arXiv:1710.05795[math.CO]，2017，见第11页。

%H Andrew Lobb，<a href=“https://www.jstor.org/stable/3618696“>推导第n个加泰罗尼亚数字，《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。

%H Donatella Merlini和Renzo Sprugnoli，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.disc.2016.08.017“>通过Riordan数组将算术转化为几何级数</a>，《离散数学》340.2（2017）：160-174。参见第161页。

%H Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，<a href=“https://arxiv.org/abs/1602.04347“>加泰罗尼亚三角形数的幂和</a>，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.8）。

%H A.Papoulis，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸特。申请。数学14（1957），405-414。[选定页面的注释扫描]

%H Athanasios Papoulis，<a href=“https://www.jstor.org/stable/43636019“>拉普拉斯变换反演的一种新方法，《夸特应用数学》，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个输入错误]

%H J.Riordan，<a href=“https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1975-0366686-9“>连接圆上2n个点对的和弦交叉点的分布，《数学比较》29（129）（1975）215-222

%孙一东和马飞，<a href=“https://doi.org/10.37236/3701“>与加泰罗尼亚三角相关的一些新二项式和</a>，《组合数学电子杂志》21（1）（2014），#P1.33

%孙一东和马飞，<a href=“https://arxiv.org/abs/1305.2017“>加泰罗尼亚三角的四种变换，arXiv预印arXiv:1305.2017[math.CO]，2013。

%孙毅东；马路平<a href=“https://doi.org/10.1016/j.ejc.2014.01.004“>与加权部分Motzkin路径相关的一类Riordan数组的子数组</a>.Eur.J.Comb.39，157-169（2014），表2.2。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Lobb_number（英文）“>Lobb编号</a>

%H W.-J.Woan、L.Shapiro和D.G.Rogers，<a href=“https://www.jstor.org/stable/2974473“>《加泰罗尼亚数字、勒贝格积分和4^{n-2}》，《美国数学月刊》，104（1997），926-931。

%H Sheng Liang Yang、Yan Ni Dong和Tian Xiao He，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.disc.2017.07.006“>有色Motzkin路径上的一些矩阵恒等式</a>，《离散数学》340.12（2017），3081-3091。

%F T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。

%F From _Emeric Deutsch_，2006年5月6日：（开始）

%F T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。

%F G.F.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）

%F在2003年至2009年期间，菲利普·德雷厄姆（_Philippe Deléham）添加了以下公式：（开始）

%F按行读取的三角形T（n，k）；由A000012 DELTA A000007给出，其中DELTA是A084938中定义的Deléham运算符。

%F T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。求和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A00018（n+m））；A000108：加泰罗尼亚语编号。

%F T（n，0）=A000108（n）；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=Sum_{j=1.n}T（n-j，k-1）*A00018（j）。

%F T（n，k）=A009766（n+k，n-k）=AO33184（n+k+1，2k+1）。

%对于k列，F G.F:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（x。

%如果n＜0或n＜k，则F T（0，0）＝1，T（n，k）＝0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。

%如果n=m*（m+3）/2，F a（n）+a（n+1）=1+A000108（m+1）；a（n）+a（n+1）=A039598（n），否则。

%F T（n，k）=A050165（n，n-k）。

%F和{j>=0}T（n-k，j）*A039598（k，j）=A028364（n，k）。

%F三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=。

%F和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000108（n），A000984（n）、A007854（n。

%F和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。

%F T（n，k）*（-2）^（n-k）=A114193（n，k）。

%F和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*5^k=A127628（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*7^k=A115970（n）。

%F T（n，k）=和{j=0..n-k}A106566（n+k，2*k+j）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*6^k=A126694（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A000108（k）=A007852（n+1）。

%F总和{k=0..楼层（n/2）}T（n-k，k）=A000958（n+1）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310（n）。

%F T（2*n，n）=A126596（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*（-x）^k=A000007（n），A126983（n）、A126984（n）和A126982。

%F和{j>=0}T（n，j）*二项式（j，k）=A116395（n，k）。

%F T（n，k）=和{j>=0}A106566（n，j）*二项式（j，k）。

%F T（n，k）=和{j>=0}A127543（n，j）*A038207（j，k）。

%F总和{k=0..层（n/2）}T（n-k，k）*A000108（k）=A101490（n+1）。

%F T（n，k）=A053121（2*n，2*k）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。

%F T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385（n，j）*二项式（j，k）。

%F求和{j>=0}A110506（n，j）*二项式（j，k）=求和{j>=0{A110510（n，j）*A038207（j，k）=T（n，k）*2^（n-k）。

%F求和{j>=0}A110518（n，j）*A027465（j，k）=求和{j>=0{A110519（n，j）*A038207（j，k）=T（n，k）*3^（n-k）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A001045（k）=A049027（n），对于n>=1。

%F和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n，如果和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A040000（k）=A001700（n）。

%F Sum_{k=0..n}T（n，k）*A122553（k）=A051924（n+1）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A123932（k）=A051944（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531（n），对于n>=1。

%F Sum_{k=0..n}T（n，k）*A000217（k）=A002457（n-1），对于n>=1。

%F和{j>=0}二项式（n，j）*T（j，k）=A124733（n，k）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）=A000012（n），A000984（n）、A089022（n）和A035610（n）。

%F Sum_{k=0..n}T（n，k）*A005043（k）=A127632（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A132262（k）=A089022（n）。

%F T（n，k）+T（n、k+1）=A039598（n、k）。

%F T（n，k）=A128899（n，k）+A128898（n，k+1）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A015518（k）=A076025（n），对于n>=1。对于n>=1，求和{k=0..n}T（n，k）*A015521（k）=A076026（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k*x^（n-k）=A033999（n），A000007（n）、A064062（n）和A110520（n）。A132863（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^（k+1）*A000045（k）=A109262（n），A000045:=斐波那契数。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A000035（k）*AO16116（k）=A143464（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A016116（k）=A101850（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A010684（k）=A100320（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A000034（k）=A029651（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A010686（k）=A144706（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A006130（k-1）=A143646（n），其中A006130。

%F T（n，2*k）+T（n、2*k+1）=A118919（n，k）。

%F和{k=0..j}T（n，k）=A050157（n，j）。

%F和{k=0..2}T（n，k）=A026012（n）；和{k=0..3}T（n，k）=A026029（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A000045（k+2）=A026671（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A000045（k+1）=A026726（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A057078（k）=A000012（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A108411（k）=A155084（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A057077（k）=2^n=A000079（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*A057079（k）=3^n=A000244（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k*A011782（k）=A000957（n+1）。

%F（结束）

%F T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108（n+j）.-_保罗·巴里，2011年2月17日

%F和{k=0..n}T（n，k）*A071679（k+1）=A026674（n+1）.-_菲利普·德雷厄姆，2014年2月1日

%F和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）.-_沃纳·舒尔特（Werner Schulte），2015年7月22日

%F Sum_{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n.-_Werner Schulte，2015年7月22日

%F Sum_{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另见A160562）。-_沃纳·舒尔特（Werner Schulte），2015年12月3日

%F T（n，k）=盖根鲍尔C（n-k，-n+1，-1）_Peter Luschny_，2016年5月13日

%F T（n，n-2）=A014107（n）.-_R.J.Mathar，2019年1月30日

%F T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3。-_R.J.Mathar，2019年1月30日

%F T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6.-_R.J.Mathar，2019年1月30日

%F T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30.-_R.J.Mathar，2019年1月30日

%e三角形T（n，k）开始：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

%电子0:1

%e 1：1 1

%电子2：2 3 1

%电子3:5 9 5 1

%电子邮箱4:14 28 20 7 1

%电子邮箱5:42 90 75 35 9 1

%电子邮箱：132 297 275 154 54 11 1

%电子邮箱7:429 1001 1001 637 273 77 13 1

%电子邮箱：1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1

%电子邮箱：4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1

%e。。。由Wolfdieter Lang重新格式化，2015年12月21日

%e来自Paul Barry，2011年2月17日：（开始）

%e生产矩阵开始

%e 1、1、，

%e 1、2、1、，

%e 0、1、2、1、，

%e 0，0，1，2，1，

%e 0、0、0，1、2、1，

%e 0、0、0，0、1、2、1、，

%e 0,0,00,0,1,2,1（结束）

%e摘自Wolfdieter Lang，2013年9月20日：（开始）

%eρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：

%e n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n，3）+1*R（n,5）=

%e 2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho（N）），在N>=1时相同。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）

%p T:=（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#产量序列为三角形#_Emeric Deutsch，2006年5月6日

%p T：=proc（n，k）选项记住；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T（n-1,1），否则T

%p序列（序列（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od；#_彼得·卢施尼，2023年2月14日

%t表[Abs[差异[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0,7}]//Flatten（*_Geoffrey Critzer_，2011年12月18日*）

%t Join[{1}，Flatten[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2n-1，n-k-2]，{n，10}，{k，0，n}]]（*H arvey P.Dale_，2011年12月18日*）

%t压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0,9}，{m，0，n}]]（*_Jayanta Basu_，2013年4月30日*）

%o（Sage）#L.Seidel的算法（1877）

%o#打印三角形的前n行

%o定义A039599_三角形（n）：

%o D=[0]*（n+2）；D[1]=1

%o b=正确；h=1

%对于范围（2*n-1）中的i，为o：

%o如果b：

%o对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]

%o h+=1

%o其他：

%o对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]

%o如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）

%o b=非b

%o A039599_三角形（10）#_Peter Luschny_，2012年5月1日

%o（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年10月16日

%o（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）

%o三角形行（n）=表示（x=0，n-1，表示（y=0，x，打印1（a（y，x），“，”））；打印（“”）

%o trianglerows（10）2016年6月24日

%Y列给出：A000108、A000245、A000344、A000588、A001392、A000589、A000590、A000012、A005408、A014107（n>1）。

%Y行总和：A000984。

%Y三角和（见注释）：A000958（Kn11）、A001558（Kn 12）、A088218（Fi1、Fi2）。

%Y参见A008313、A039598、A084938、A000007、A067311、A321620。

%K nonn，tabl，轻松，好

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_

%E由_Philippe Deléham更正，2009年11月26日，2009年12月14日