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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A053121号 按行读取的加泰罗尼亚三角形(带0)。 104
1、0、1、1、1、1、0、1、0、0、2、0、1、2、0、1、2、0、3、0、0、1、1、1、5、0、5、0、5、4、0、1、5、0、9、0、0、0、0、14、0、14、0、14、6、0、1、1、1、1、14、0、28、28、0、20、0、7、0、1、0、42、0、48、0、27、0、8、0、27、0、8、0、1、8、0、1、75、0、35、0、9、0、1、1、0、132、0、165、165、0、110、110、0、44、44、0、0、44、0、0 10,0,1,132,0,297,0,275,0,154,0,54,0,11,0 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,8个

评论

反下三角矩阵A049310型(n,m)(切比雪夫多项式的系数)。

带墙行走:从(0,0)到(n,m)的n步走数的三角形,其中每个步从(a,b)到(a+1,b+1)或(a+1,b-1),并且路径位于非负象限中。

T(n,m)是长度为n,以高度m结束的Dyck路径的左因子个数。例如:T(4,2)=3,因为我们有UDUU、UUDU和UUUD,其中U=(1,1)和D=(1,-1)。(这基本上是以前的“带墙行走”属性的不同表述。)-德国金刚砂2011年6月16日

“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡三角形相同,只是竖条的左边不能出现数字。”

G、 f.对于行多项式p(n,x):=和{m=0..n}(a(n,m)*x^m):c(z^2)/(1-x*z*c(z^2))。行和(x=1):A001405(中央二项式)。

用夏皮罗等人的语言。参考这样一个下三角(普通)卷积阵列,作为一个矩阵,属于Riordan群的Bell子群。给定Bell矩阵逆的m=0列的g.f.Ginv(x)(这里A049310型)通过Ginv(x)=(f^{(-1)}(x))/x从m=0列(这里g(x)=1/(1+x^2))的g.f.得到,其中f(x):=x*g(x),而f^{(-1)}是f的合成逆函数(这里我们发现,Ginv(0)=1,c(x^2))。见Shapiro等人。参考。

行平方和等于加泰罗尼亚序列(A000108号);对于第6行:A000108号(6) =5^2+0^2+9^2+0^2+5^2+0^2+1^2=132。-保罗·D·汉娜2005年4月23日

{1,2,…,n}对合的个数,它们避开了模式132,并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有2134、4231和3214。{1,2,…,n}的对合数,避免了模式321,并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243,1324和2134。{1,2,…,n}的对合数,它们避开了模式213,并且正好有k个不动点。例如:T(4,2)=3,因为我们有1243,1432和4231。-德国金刚砂2006年10月12日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按下列行读取:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k+1),k>=1。-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

这个三角形属于定义为:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号;(0,1)->A0942年;(0,2)->A126093号;(0,3)->A126970号;(1,0)->A061554号;(1,1)->A064189;(1,2)->A039599号;(1,3)->A110877号;(1,4)->A124576号;(2,0)->A126075号;(2,1)->A038622号2,2)-(2)A039598号;(2,3)->邮编:A124733;(2,4)->A124575号;(3,0)->邮编:A126953;(3,1)->邮编:A126954;(3,2)->A111418号;(3,3)->A091965号;(3,4)->A124574号;(4,3)->A1791号;(4,4)->A052179号;(4,5)->A126331号;(5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

Riordan数组(c(x^2),xc(x^2)),其中c(x)是加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德莱厄姆2007年11月25日

A053121号^2=三角形A145973号. 卷曲A001405=三角形邮编:A153585. -加里·W·亚当森2008年12月28日

按不带零的列,第n行=A000108号与自身卷积n次;相当于A=(1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…),则第n行=A^(n+1)的系数。-加里·W·亚当森2009年5月13日

按行读取的三角形,乘积邮编:A130595A064189视为无限下三角阵;A053121号=邮编:A130595*A064189=B^(-1)*A097609号*B其中B=A007318型. -菲利普·德莱厄姆2009年12月7日

马克·多尔斯2010年8月17日:(开始)

一个24-5次方的直角三角形:

5-平方英尺(24)^1=0.101020514。。。

5-平方英尺(24)^2=0.010205144。。。

5-平方英尺(24)^3=0.001030928。。。

(除以sqrt(96)这些幂表示A007318型,1/sqrt(96)为中间列。)(结束)

T(n,k)是长度为n的离散Dyck路径(即长度为n且在正高度没有(1,0)个台阶的Motzkin路径)具有k(1,0)个台阶的数量。例如:T(5,3)=4,因为表示U=(1,1),D=(1,-1),H=1,0),我们有HHHUD、HHUDH、HUDHH和udhh。-德国金刚砂2011年6月1日

设S(N,x)表示x中的第N个Chebyshev S多项式(参见A049310型,参见[W.Lang])。然后x^n=和{k=0..n}T(n,k)*S(k,x)。-五十、 埃德森·杰弗瑞2012年9月6日

对于有理数rho(n)=2*cos(Pi/n)=R(n,2)上的代数数,这个三角形a(n,m)也出现在幂次rho(n)的(未约化)公式中,正则n边形中最小的对角线/边比R:

rho(N)^N=和(a(N,m+1),m=0..N),N>=0,N>=1中相同。R(N,j)=S(j-1,x=rho(N))(切比雪夫S(A049310型)). 请参见下面的评论A039599号(偶数权力)和A039598号(奇数幂)。证据:参见2012年9月6日L.Edson Jeffery的评论,该评论源于T(n,k)(这里称为a(n,k))是Riordan三角形的逆A049310型. -狼牙2013年9月21日

这个钟形Riordan三角形(c(x^2),x*c(x^2))(见上面的注释)的所谓A序列是A(x)=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分给出的对于n>=1和m>=1的a(n,m)=a(n-1,m-1)+a(n-1,m+1)的递推公式。这个Riordan三角形的Z序列是Z(x)=x,这证明了递归a(n,0)=a(n-1,1),n>=1,a(0,0)=1。有关Riordan三角形的A序列和Z序列,请参见下面的W.Lang链接A006232. -狼牙2013年9月22日

三角形的行描述了李代数sl(2)的标准(二维)表示的张量幂分解为不可约。因此,a(n,m)是第m个((m+1)维不可约表示在标准表示的n次张量幂中的重数。-马穆卡·吉布拉泽2015年5月26日

Riordan行多项式p(n,x)属于Boas-Buck类(参见A046521号)因此,它们满足Boas-Buck恒等式:(E_x-n*1)*p(n,x)=(E_x+1)*Sum{j=0..n-1}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*p(n-1-j,x),对于n>=0,其中E_x=x*d/dx(欧拉算子)。对于三角形a(n,m),这就需要对公式部分中给出的m列序列进行递推。-狼牙2017年8月11日

罗杰·福特2018年1月22日:(开始)

在第1+n个连续的拱(1+2个)位置开始的非剖切拱(1)和n个连续的拱(1+2个)位置上的连续约束(1+n)表示连续的拱(1+n)位置。所有其他起始顶拱的位置都是均匀的。底拱是一道彩虹形的拱门,如果分量=1,则拱结构是一个半曲流解。

示例:对于第3行{0,2,0,1}有3个拱门配置:2个拱门配置有一个component=1;1个有一个component=3。c=组件,U=从奇数位置开始的顶拱,U=从偶数位置开始的顶拱,d=结束的顶拱:

.

顶部Uududdd c=3顶部Uududdd c=1 top Uuddd c=1

       /\                    /\

      //\\                  /  \

     //  \\                / /\ \                    /\

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   ///\  /\\\        /\  / / /\ \ \        /\  /\  / /\ \

   \\\ \/ ///        \ \ \ \/ / / /        \ \ \ \/ / / /

    \\\  ///          \ \ \  / / /          \ \ \  / / /

     \\\///            \ \ \/ / /            \ \ \/ / /

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                           \/                    \/

对于第4行{2,0,3,0,1}有6个架构配置:2个有组件=1;3个有组件=3:1有组件=1。(结束)

参考文献

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链接

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与chenomis多项式相关的项的byshev。

公式

a(n,m):=0,如果n<m或n-m奇数,则a(n,m)=(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1);

a(n,m)=(4*(n-1)*a(n-2,m)+2*(m+1)*a(n-1,m-1))/(n+m+2),a(n,m)=0,如果n<m,a(n,-1):=0,a(0,0)=1=a(1,1),a(1,0)=0。

G、 f.对于第m列:c(x^2)*(x*c(x^2))^m,其中c(x)=加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.

G、 f.:G(t,z)=c(z^2)/(1-t*z*c(z^2)),其中c(z)=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚数字的G.f(A000108号). -德国金刚砂2011年6月16日

如果m>0,则m=0(a>0,则m-0)=0。-亨利·巴特利2001年1月25日

如果m+n是奇数,Sum{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=0;和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号((m+n)/2)如果m+n是偶数。-菲利普·德莱厄姆2005年5月26日

T(n,k)=和{i=0..n,(-1)^(n-i)*C(n,i)*sum{j=0..i,C(i,j,j)*(C(i-j,j+k)-C(i-j,j+k+2))}};k列有如f.贝塞利(k,2x)-BesselI(k+2,2x)。-保罗·巴里2006年2月16日

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=2^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月22日

和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A054336号(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

T(2*n+1,2*k+1)=A039598号(n,k),T(2*n,2*k)=A039599号(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2007年4月16日

和{k=0..n}T(n,k)^x=A000027号(n+1),A001405(n) 你说,A000108号(n) 你说,A003161(n) 你说,A129123号(n) 分别为x=0,1,2,3,4。-菲利普·德莱厄姆2009年11月22日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=邮编:A126930(n) 你说,A126120型(n) 你说,A001405(n) 你说,A0341号(n) 你说,邮编:A126931(n) 对于x=-1,0,1,2,3。-菲利普·德莱厄姆2009年11月28日

和{k=0..n}T(n,k)*A000045型(k+1)=A098615型(n) 一。-菲利普·德莱厄姆2012年2月3日

行多项式C(n,x)的递推:=Sum{m=0..n}a(n,m)*x^m=x*Sum{k=0..n}Chat(k)*C(n-1-k,x),n>=0,其中C(-1,1/x)=1/x和Chat(k)=A000108号(k/2)如果n是偶数,否则为0。从行多项式的o.g.f.:g(z;x):=和{n>=0}C(n,x)*z^n=C(z^2)*(1+x*z*g(z,x)),其o.g.f.C为A000108号. -艾哈迈特扎希德狼牙2015年8月23日

m列序列的Boas-Buck递推(见上面的注释)是:a(n,m)=((m+1)/(n-m))*和{j=0..n-1-m}(1/2)*(1-(-1)^j)*二项式(j+1,(j+1)/2)*a(n-1-j,k),对于n>m>=0,输入a(m,m)=1。-狼牙2017年8月11日

例子

三角形a(n,m)开始于:

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0:1个

1: 0 1

2: 1 0 1

3: 0 2 0 1

4: 2 0 3 0 1

5: 0 5 0 4 0 1

6: 5 0 9 0 5 0 1

7: 0 14 0 14 0 6 0 1

8: 14 0 28 0 20 0 7 0 1

9: 0 42 0 48 0 27 0 8 0 1

10: 42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1

... (重新格式化狼牙2013年9月20日)

E、 第四行对应于多项式p(3,x)=2*x+x^3。

保罗·巴里2009年5月29日:(开始)

生产矩阵是

0,1,

0,1,1,

0,1,0,1,

0,0,1,0,1,

0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,0,1,0,1,

0,0,0,0,0,0,0,1,0,1(结束)

k=2,n=6列的Boas-Buck递归:a(6,2)=(3/4)*(0+2*a(4,2)+0+6*a(2,2))=(3/4)*(2*3+6)=9。-狼牙2017年8月11日

枫木

T: =proc(n,k):如果n+k mod 2=0,则(k+1)*二项式(n+1,(n-k)/2)/(n+1)否则0 fi结束:对于n从0到13,do seq(T(n,k),k=0..n)od;#生成三角形序列;德国金刚砂2006年10月12日

F: =proc(l,p)if((l-p)mod 2)=1则0其他(p+1)*l!/((l-p)/2)!*((l+p)/2+1)!);fi;结束;

r: =n->[顺序(F(n,p),p=0..n)];[顺序(r(n),n=0..15)]#N、 斯隆2011年1月29日

A053121号:=proc(n,k)选项记住;`if`(k>n或k<0,0,`if`(n=k,1,

procname(n-1,k-1)+procname(n-1,k+1)))结束:seq(打印(seq(A053121号(n,k),k=0..n),n=0..12)#彼得·卢什尼2011年5月1日

数学

a[n,m_u]/;n<m | | OddQ[n-m]=0;a[n_u,m|]=(m+1)二项式[n+1,(n-m)/2]/(n+1);展平[表[a[n,m],{n,0,12},{m,0,n}]][[1;;90]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年5月18日*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

a053121 n k=a053121表!!n!!k

a053121行n=a053121表!!n

a053121_tabl=迭代

(\row->zipWith(+)([0]++行)(尾行++[0,0]))[1]

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月24日

(圣人)

定义A053121号_三角形(尺寸):

M=矩阵(ZZ,dim,dim)

对于n in(0..dim-1):M[n,n]=1

对于n in(1..dim-1):

对于k in(0..n-1):

M[n,k]=M[n-1,k-1]+M[n-1,k+1]

返回M

A053121号_三角形(13)#彼得·卢什尼2012年9月19日

(PARI)T(n,m)=如果(n<m |(n-m)%2,返回(0));(m+1)*二项式(n+1,(n-m)/2)/(n+1)

对于(n=0,9,对于(m=0,n,print1(T(n,m)”,“))\\查尔斯R格雷特豪斯四世2016年3月9日

交叉引用

囊性纤维变性。A008315,A049310型,A000108号,A001405,A145973号,邮编:A153585,A108786号. 另一个版本:A031083年.A039598号A039599号没有零,奇数和偶数行)。

无零对角线的变量:A033184行颠倒:A009766号.

上下文顺序:A331843飞机 A330635型 A322378型*A113408号 A242653号 A191530

相邻序列:A053118型 A053119号 A053120型*A053122型 A053123号 A053124号

关键字

容易的,美好的,,

作者

狼牙

扩展

编辑N、 斯隆2011年1月29日

状态

经核准的

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