%I#185 2022年5月21日14:50:54

%S 1,0,1,1,0,1,0,2,0,1,2,0,3,0,10,5,0,4,0,15,0,19,0,0,14,0,14,0，

%T 6,0,1,14,0,28,0,20,0,0,7,0,1,0,42,0,48,0,27,0,8,0,142,0,90,0,75,0,35，

%U 0,9,0,1,0132,0165,0110,0,44,0,10,0,1132,0297,0275,0154,0,54,0,11,0

%N加泰罗尼亚三角形（0）按行读取。

%C A049310（n，m）的逆下三角矩阵（切比雪夫s多项式的系数）。

%C带墙行走：从（0,0）到（n，m）的n步行走次数的三角形，其中每一步从（a，b）到（a+1，b+1）或（a+1、b-1），并且路径保持在非负象限。

%C T（n，m）是长度n结束于高度m的Dyck路径的左因子数。例如：T（4,2）=3，因为我们有UDUU、UUDU和UUUD，其中U=（1,1）和D=（1，-1）。（这基本上是一种与之前不同的公式，即具有墙属性的行走。）-《德国公报》，2011年6月16日

%C“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡三角形相同，只是垂直条左侧可能没有数字。”[康韦和史密斯]

%C G.f.对于行多项式p（n，x）：=和{m=0..n}（a（n，m）*x^m）：C（z^2）/（1-x*z*C（z*2））。行和（x=1）：A001405（中心二项式）。

%C在Shapiro等人的语言中，这样一个下三角（普通）卷积数组被视为矩阵，属于Riordan群的Bell子群。给定Bell-matrix（此处为A049310）逆矩阵的m=0列的g.f.Ginv（x）是由Gin（x）=（f^{（-1）}（x））/x从m=0（此处为g（x）=1/（1+x^2）的g.f.得到的，其中f（x）：=x*g（x。参见Shapiro等人的参考。

%C{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式132并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有2134、4231和3214。{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式321并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1324和2134。{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式213并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1432和4231_Emeric Deutsch，2006年10月12日

%C该三角形属于定义为：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121；（0,1）->A089942；（0,2）->A126093；（0,3）->A126970；（1,0）->A061554；（1，1）->A064189；（1、2）->A039599；（1,3）->A110877；（1,4）->A124576；（2,0）->A126075；（2,1）->A038622；（2,2）->A039598；（2,3）->A124733；（2,4）->A124575；（3,0）->A126953；（3,1）->A126954；（3,2）->A111418；（3,3）->A091965；（3,4）->A124574；（4,3）->A126791；（4,4）->A052179；（4,5）->A126331；（5,5）->A125906.-_菲利普·德雷厄姆，2007年9月25日

%C Riordan数组（C（x^2），xc（x*2）），其中C（x）是加泰罗尼亚数字A000108的g.f.-_菲利普·德雷厄姆，2007年11月25日

%C A053121^2=三角形A145973。与A001405=三角形A153585.-卷积_Gary W.Adamson_，2008年12月28日

%C按不带零的列，第n行=A000108与自身卷积n次；等价于A=（1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…），则第n行=A^（n+1）的系数_Gary W.Adamson_，2009年5月13日

%C按行读取的三角形，A130595和A064189的乘积被视为无限下三角数组；A053121=A130595*A064189=B^（-1）*A097609*B其中B=A007318.-_Philippe Deléham，2009年12月7日

%C From _Mark Dols_，2010年8月17日：（开始）

%C作为右上角三角形，行表示5平方（24）的幂：

%C 5平方码（24）^1=0.101020514。。。

%C 5-平方（24）^2=0.010205144。。。

%C 5平方码（24）^3=0.001030928。。。

%C（除以sqrt（96），这些幂表示A007318列的十进制表示，1/sqrt为中间列。）（结束）

%C T（n，k）是长度n的离散Dyck路径数（即长度n的Motzkin路径，在正高度没有（1,0）步），具有k（1,0-步）。例如：T（5,3）=4，因为表示U=（1,1），D=（1，-1），H=1,0），我们有HHUD、HHUDH、HUDHH和UDHHH_Emeric Deutsch，2011年6月1日

%C让S（N，x）表示x中的第N个切比雪夫S多项式（参见A049310，参见[W.Lang]）。那么x^n=sum_{k=0..n}T（n，k）*S（k，x）.-_L.Edson Jeffery，2012年9月6日

%C这个三角形a（n，m）也出现在有理数ρ（n）=2*cos（Pi/n）=R（n，2）上代数数的幂ρ

%C rho（N）^N=和（a（N，m）*R（N，m+1），m=0..N），N>=0，在N>=1中相同。R（N，j）=S（j-1，x=rho（N））（切比雪夫S（A049310））。参见A039599（偶数幂）和A039598（奇数幂）项下对此的评论。证明：见L.Edson Jeffery 2012年9月6日的评论，该评论源自T（n，k）（此处称为a（n，k））是Riordan三角形A049310的倒数_Wolfdieter Lang，2013年9月21日

%C贝尔型Riordan三角形（C（x^2），x*C（x*2））的所谓A序列是A（x）=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分中给出的关于a（n，m）=a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），n>=1和m>=1的输入的递归性。这个Riordan三角形的Z序列是Z（x）=x，它证明了递归a（n，0）=a（n-1,1），n>=1，a（0,0）=1。有关Riordan三角形的A-和Z序列，请参见A006232下的W.Lang链接_Wolfdieter Lang，2013年9月22日

%C行三角形描述了李代数sl（2）的标准（二维）表示的张量幂分解为不可约。因此，a（n，m）是标准表示的第n张量幂的第m（m+1）维）不可约表示的重数_Mamuka Jibladze_，2015年5月26日

%C Riordan行多项式p（n，x）属于Boas-Buck类（参见A046521中的注释和参考文献），因此它们满足Boas-Back恒等式：（E_x-n*1）*p（n、x）=（E_x+1）*Sum_{j=0..n-1}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*p（n-1-j，x），对于n>=0，其中E_x=x*d/dx（Euler算子）。对于三角形a（n，m），这需要对公式部分中给出的列m序列进行递归_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%C From_Roger Ford_，2018年1月22日：（开始）

%C对于第n行，非零值表示由x轴上方和下方n+1个互不相交的拱形成的奇数分量（回路），约束条件如下：顶部有地板（（n+3）/2），起始拱位于位置1和下一个连续奇数位置。所有其他起始顶部拱门位置均匀。底部拱门是一道彩虹拱门。如果分量=1，则拱结构为半弯曲解。

%C示例：对于第3{0，2，0，1}行，有3个拱配置：2个拱配置的组件=1；1有一个组件=3。c=组件，U=顶部拱从奇数位置开始，U=顶部拱在偶数位置开始；d=顶部拱结束：

%C、。

%C顶部UuUdUddd C=3顶部UdUuUddd C=1顶部Ud UdUudd C=1

%C/\（抄送）/\

%C//\\/\

%C///\\//\\/\

%C///\\//\\/\

%C///\/\ \ \/\///\ \//\/\\

%\\\\////\\\\///\\\\///\\\\/////

%\\//\\////\\\\//\\\\///

%C\\\\//\\////\\\\\\//\\\\///

%\\//\\//\\//

%C\/\\//\\//

%抄送\/\/

%抄送/\/

%C对于第4行｛2，0，3，0，1｝，有6种拱形配置：2种具有分量=1；3具有组件=3:1具有组件=1。（结束）

%D J.H.Conway和D.A.Smith，《四元数和八元数》，A K Peters，Ltd.，马萨诸塞州纳提克，2003年。见第60页。MR1957212（2004a:17002）

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%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%F a（n，m）：=0，如果n＜m或n-m奇数，则a（n，m）=（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）；

%F a（n，m）=（4*（n-1）*a（n-2，m）+2*（m+1）*a。

%第m列的F G.F.：c（x^2）*（x*c（x*2））^m，其中c（x）=加泰罗尼亚数字A000108的G.F。

%F G.F.：G（t，z）=c（z^2）/（1-t*z*c（z*2）），其中c（z）=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚数字（A000108）的G.F_Emeric Deutsch，2011年6月16日

%F a（n，m）=a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），如果n>0且m>=0，a（0，0）=1，如果m>0，a_Henry Bottomley，2001年1月25日

%F和{k>=0}T（m，k）^2=A000108（m）_Paul D.Hanna，2005年4月23日

%如果m+n是奇数，F和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=0；如果m+n是偶数，求和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A000108（（m+n）/2）_菲利普·德莱姆（Philippe Deléham），2005年5月26日

%F T（n，k）=和{i=0..n，（-1）^（n-i）*C（n，i）*和{j=0..i，C（i，j）*（C（i-j，j+k）-C（i-j、j+k+2））}}；第k列有例如f.贝塞尔I（k，2x）-贝塞尔I（k+2,2x）。-_保罗·巴里（Paul Barry），2006年2月16日

%F和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）=2^n.-Philippe Deléham，2007年3月22日

%F和{j>=0}T（n，j）*二项式（j，k）=A054336（n，k）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年3月30日

%F T（2*n+1,2*k+1）=A039598（n，k），T（2*n，2*k）=A039 599（n，k）_Philippe Deléham，2007年4月16日

%F和{k=0..n}T（n，k）^x=A000027（n+1），A001405（n），A000108（n）、A003161（n）和A129123（n）分别对应于x=0,1,2,3,4_菲利普·德雷厄姆，2009年11月22日

%F和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A126930（n），A126120_菲利普·德雷厄姆，2009年11月28日

%F和{k=0..n}T（n，k）*A000045（k+1）=A098615（n）.-_Philippe Deléham，2012年2月3日

%F行多项式C（n，x）的递归性：=和{m=0..n}a（n，m）*x^m=x*Sum_{k=0..n}Chat（k）*C（n-1-k，x），n>=0，C（-1，1/x）=1/x，Chat（k）=A000108（k/2），如果n是偶数，否则为0。从行多项式的o.g.f:g（z；x）：=和{n>=0}C（n，x）*z^n=C（z^2）*（1+x*z*g（z，x）），o.g.f C为A000108_2015年8月23日，艾哈迈特·扎希德·库乔（Ahmet Zahid）和沃尔夫迪特·朗（Wolfdieter Lang）

%F m列序列的Boas-Buck递推（见上文注释）为：a（n，m）=（（m+1）/（n-m））*和{j=0..n-1-m}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*a（n-1-j，k），对于n>m>=0，输入a（m，m）=1_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%F和{m=1..n}a（n，m）=A037952（n）.-_R.J.Mathar，2021年9月23日

%e三角形a（n，m）开始：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

%e 0:1

%e 1:0 1

%电子2：1 0 1

%e 3:0 2 0 1

%电子4:2 0 3 0 1

%电子5:0 5 0 4 0 1

%电子邮箱6:5 0 9 0 5 0 1

%电子邮箱7:0 14 0 14 0 6 0 1

%电子邮箱8:14 0 28 0 20 0 7 0 1

%电子邮箱9:0 42 0 48 0 27 0 8 0 1

%电话10:42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1

%e。。。（2013年9月20日，沃尔夫迪特·朗重新格式化）

%例如，第四行对应于多项式p（3，x）=2*x+x^3。

%e来自Paul Barry，2009年5月29日：（开始）

%e生产矩阵为

%e 0、1，

%e 1、0、1、，

%e 0，1，0，1，

%e 0，0，1，0，

%e 0、0、0，1、0、1，

%e 0、0、0，0、1、0、1，

%e 0，0，0，

%e 0，0，0，

%e 0，0，0

%e列k=2，n=6:a（6，2）=（3/4）*（0+2*a（4，2）+0+6*a（2，2））=（3/4）*（2*3+6）=9_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%p T:=过程（n，k）：如果n+k mod 2=0，则（k+1）*二项式（n+1，（n-k）/2）/（n+1）其他0 fi结束：对于从0到13的n，执行序列（T（n，k），k=0..n）od；#生成三角形序列_Emeric Deutsch，2006年10月12日

%pF:=proc（l，p）如果（（l-p）mod 2）=1，则为0，否则为（p+1）*l/（（（l-p）/2）！*（（l+p）/2+1）！）；fi；结束；

%p r：=n->[序列（F（n，p），p=0..n）]；[序列（r（n），n=0..15）]；#_N.J.A.Sloane，2011年1月29日

%p A053121:=proc（n，k）选项记忆`如果`（k>n或k<0,0，`如果`（n=k，1，

%p进程名称（n-1，k-1）+进程名称（n-1，k+1））结束进程：

%p seq（打印（seq（A053121（n，k），k=0..n）），n=0..12）；#_Peter Luschny_，2011年5月1日

%t a[n_，m_]/；n<m||奇数Q[n-m]=0；a[n_，m_]=（m+1）二项式[n+1，（n-m）/2]/（n+1）；扁平[表[a[n，m]，{n，0，12}，{m，0，n}][[1；；90]]（*_Jean-François Alcover_，2011年5月18日*）

%o（哈斯克尔）

%o a053121 n k=a053121_tab！！不！！k个

%o a053121_row n=a053122_tab！！n个

%o a053121_tabl=迭代

%o（\row->zipWith（+）（[0]++行）（尾行++[0,0]））[1]

%o——Reinhard Zumkeller，2012年2月24日

%o（鼠尾草）

%o定义A053121_三角形（dim）：

%o M=矩阵（ZZ，dim，dim）

%o对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1

%o表示n in（1..dim-1）：

%对于k in（0..n-1）：

%o M（n，k）=M（n-1，k-1）+M（n-1，k+1）

%o返回M

%o A053121_三角形（13）#_Peter Luschny_，2012年9月19日

%o（PARI）T（n，m）=如果（n<m||（n-m）%2，返回（0））；（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）

%o代表（n=0,9，代表（m=0，n，print1（T（n，m）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯IV_，2016年3月9日

%Y参见A008315、A049310、A000108、A001405（行总和）、A145973、A153585、A108786、A037952。另一个版本：A008313。A039598和A039599没有零，以及奇数和偶数行）。

%无零对角的Y变量：A033184，行反转的Y变量为A009766。

%放松，好，小桌，不

%0、8

%A _狼人郎_

%E编辑：N.J.A.Sloane，2011年1月29日