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(问候来自整数序列在线百科全书!)
搜索: a039598-编号:a039598
显示找到的65个结果中的1-10个。 第1页2 4 5 6 7
    排序: 相关性|参考文献||被改进的|创建     格式: 长|短的|数据
A228329号 a(n)=和{k=0..n}(k+1)^2*T(n,k)^2其中T(n,k)是加泰罗尼亚三角形A039598号. +20个
8
1,8,98,1320,18590,268736,3952228,58837680,883941750,133738833600,203487733020,3110407163760,47726453450988,734694122886080,11341161925265480,175489379096245984,272169178975361702,422730901785999728,657788911222324942060,102505640416488681200 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

设h(m)表示第n项为和{k=0..n}(k+1)^m*T(n,k)^2的序列,其中T(n,k)是加泰罗尼亚三角形A039598号. 这是h(2)。

链接

G、 C.格雷贝尔,n=0..825的n,a(n)表

佩德罗·J·米娜,娜塔莉亚·罗梅罗,组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》,第130卷,第8期,2010年8月,第1876-1887页。见第1882页备注3。ω2(n)=a(n-1)。

孙逸东和马飞,加泰罗尼亚三角形上的四个变换,arXiv:1305.2017[math.CO],2013年。

孙逸东和马飞,关于Catalan三角的一些新的二项式和《组合学》杂志,2014年第1期。

公式

猜想:n*(2*n+1)*a(n)+2*(-26*n^2+25*n-11)*a(n-1)+20*(4*n-5)*(4*n-7)*a(n-2)=0。-R、 J.马萨2013年9月8日

a(n)=((4n)!*(3n+1))/((2n)!^2*(2n+1))=二项式(4n,2n)*(3n+1)/(2n+1)。-菲利普·德莱厄姆2013年11月25日

彼得·卢什尼2013年11月26日:(开始)

a(n)=16^n*(3*n+1)*伽马(2*n+1/2)/(sqrt(Pi)*伽马(2*n+2))。

如果n>0,则a(n)=a(n-1)*(6*n+2)*(4*n-3)*(4*n-1)/(n*(2*n+1)*(3*n-2)),否则为1。

a(n)=[x^n]I*HeunG(8/5,0,-1/4,1/4,3/2,1/2,16*x)/sqrt(16*x-1),其中[x^n]f(x)是f(x)中x^n的系数,HeunG是Heun一般函数。(结束)

枫木

B: =(n,k)->二项式(2*n,n-k)-二项式(2*n,n-k-2)#A039598号

^m*m,ω=0(μm,μm)—(μm,μm);

h: =m->[顺序(ω(m,n),n=0..20)];

h(2);

#第二种解决方案:

h:=n->I*HeunG(8/5,0,-1/4,1/4,3/2,1/2,16*x)/sqrt(16*x-1);

seq(系数(系列(h(x),x,n+2),x,n),n=0..19#彼得·卢什尼2013年11月26日

数学

a[n_u]:=二项式[4n,2n](3n+1)/(2n+1);

表[a[n],{n,0,19}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2018年7月30日,之后菲利普·德莱厄姆*)

黄体脂酮素

(圣人)

@缓存函数

定义A228329号(n) 公司名称:

返回A228329号(n-1)*(6*n+2)*(4*n-3)*(4*n-1)/(n*(2*n+1)*(3*n-2))如果n>0,则为1

[A228329号(n) 对于n in(0..19)]#彼得·卢什尼2013年11月26日

交叉引用

囊性纤维变性。A039598号,A000108号,A024492号(h(0)),A000894号(h(1)),A000515型(h(3)),A228330号(h(4)),A228331号(五)-A228333号(h(7))。

囊性纤维变性。A000142号,A007318型.

关键字

作者

N、 斯隆2013年8月26日

状态

经核准的

A228330号 设h(m)表示第n项为和{k=0..n}(k+1)^m*T(n,k)^2的序列,其中T(n,k)是加泰罗尼亚三角形A039598号. 这是h(4)。 +20个
6
1、20、362、6504、114686、1992536、34231540、583027920、9862508790、165918037560、2778642667020、46358257249200、77095108563372、12785838603285104、211540243555702376、34925812271418784、57557091526140668070、946970607665938615032、15557339429900195819164、255246113991506558429936 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

链接

G、 C.格雷贝尔,n=0..825的n,a(n)表

佩德罗·J·米娜,娜塔莉亚·罗梅罗,组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》,第130卷,第8期,2010年8月,第1876-1887页。见第1882页备注3。ω4(n)=a(n-1)。

孙逸东和马飞,加泰罗尼亚三角形上的四个变换,arXiv:1305.2017[math.CO],2013年。

孙逸东和马飞,关于Catalan三角的一些新的二项式和《组合学》杂志,2014年第1期。

公式

猜想:n*(2*n+1)*(3467*n-4029)*a(n)+8*(-36721*n^3+109040*n^2-137926*n+69822)*a(n-1)+4*(4*n-9)*(45706*n-7907)*(4*n-7)*a(n-2)=0。-R、 J.马萨2013年9月8日

循环次数:n*(2*n+1)*(15*n^3-30*n^2+16*n-2)*a(n)=2*(4*n-5)*(4*n-3)*(15*n^3+15*n^2+n-1)*a(n-1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日

瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日:(开始)

a(n)=二项式(4*n,2*n)*(15*n^3+15*n^2+n-1)/((2*n+1)*(4*n-1))。

a(n)=4*和{k=0..n}(k+1)^6*(二项式(2*n+1,n-k)/(n+k+2))^2。(结束)

数学

表[4*总和[(k+1)^6*(二项式[2n+1,n-k]/(n+k+2))^2,{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*)

黄体脂酮素

(PARI)向量(20,n,n--;二项式(4*n,2*n)*(15*n^3+15*n^2+n-1)/((2*n+1)*(4*n-1)))\\G、 C.格雷贝尔2019年3月2日

(岩浆)[二项式(4*n,2*n)*(15*n^3+15*n^2+n-1)/((2*n+1)*(4*n-1)):n in[0..20]]//G、 C.格雷贝尔2019年3月2日

(Sage)[二项式(4*n,2*n)*(15*n^3+15*n^2+n-1)/((2*n+1)*(4*n-1))代表n in(0..20)]#G、 C.格雷贝尔2019年3月2日

(GAP)列表([0..20],n->二项式(4*n,2*n)*(15*n^3+15*n^2+n-1)/((2*n+1)*(4*n-1)))#G、 C.格雷贝尔2019年3月2日

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A039598号,A024492号(h(0)),A000894号(h(1)),A228329号(h(2)),A000515型(h(3)),此序列(h(4)),A228331号(h(5)),A228332号(h(6)),A228333号(h(7))。

关键字

作者

N、 斯隆2013年8月26日

状态

经核准的

A228333号 设h(m)表示第n项为和{k=0..n}(k+1)^m*T(n,k)^2的序列,其中T(n,k)是加泰罗尼亚三角形A039598号. 这是h(7)。 +20个
6
11332426012040030177006977678415246110883195178272086485788810012837530477202489665059641764747739344525632,892646282614800,165834902740701606000,30489930211792680000,555544747397829254400,10042477557290424843300,180267292319119226298000,3215718323211443887530000 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

链接

文琴佐·利班迪,n=0..200时的n,a(n)表

佩德罗·J·米娜,娜塔莉亚·罗梅罗,组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》,第130卷,第8期,2010年8月,第1876-1887页。见欧米茄7。备注3,1882年。

孙逸东和马飞,加泰罗尼亚三角形上的四个变换,arXiv预印本arXiv:1305.2017[math.CO],2013年。

孙逸东和马飞,关于Catalan三角的一些新的二项式和《组合学》杂志,2014年第1期。

公式

猜想:n^2*(304*n-411)*a(n)+4*(-1814*n^3+2554*n^2-4776*n+7567)*a(n-1)+32*(2*n-5)*(2*n-1)*(299*n-176)*a(n-2)=0。-R、 J.马萨2013年12月4日

循环次数:n^2*(6*n^3-12*n^2+6*n-1)*a(n)=4*(2*n-3)*(2*n+1)*(6*n^3+6*n^2-1)*a(n-1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日

a(n)=二项式(2*n,n)^2*(2*n+1)*(6*n^3+6*n^2-1)/(2*n-1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日

G、 f.:((256*x+3)*超几何体([1/2,5/2],[1],16*x)+80*(38*x+1)*x*超几何体([3/2,7/2],[2],16*x))/3-马克·范霍伊2014年4月12日

数学

表[Sum[(k+1)^7*(二项式[2n+1,n-k]*2*(k+1)/(n+k+2))^2,{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A039598号,A024492号,A000894号,A228329号,A000515型,A228330号,A228331号,A228332号.

关键字

作者

N、 斯隆2013年8月26日

状态

经核准的

A228331号 设h(m)表示第n项为和{k=0..n}(k+1)^m*T(n,k)^2的序列,其中T(n,k)是加泰罗尼亚三角形A039598号. 这是h(5)。 +20个
5
1,36,780,16240,321300,6131664,114017904,2079380160,37356642180,663144710800,11657925495216,203295462691776,3521108298744400,60632838691387200,1038859802556120000,1772166910103065158400,3011477406355880764900,509997408534884394000,86106549997771707182000 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

链接

文琴佐·利班迪,n=0..200时的n,a(n)表

佩德罗·J·米娜,娜塔莉亚·罗梅罗,组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》,第130卷,第8期,2010年8月,第1876-1887页。见欧米茄5。备注3,1882年。

孙逸东和马飞,加泰罗尼亚三角形上的四个变换,arXiv预印本arXiv:1305.2017,2013年

孙逸东和马飞,关于Catalan三角的一些新的二项式和《组合学电子杂志》21(1)(2014),#P1.33

公式

猜想:n^2*a(n)+4*(2*n^2-22*n+11)*a(n-1)+16*(-7*n^2-54*n+166)*a(n-2)-1088*(2*n-3)*(2*n-7)*a(n-3)=0。-R、 J.马萨2013年9月8日

循环次数:n^2*(3*n^2-5*n+1)*a(n)=4*(2*n-3)*(2*n+1)*(3*n^2+n-1)*a(n-1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日

a(n)=二项式(2*n,n)^2*(2*n+1)*(3*n^2+n-1)/(2*n-1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日

G、 f.:((28*x+3)*超几何([1/2,5/2],[1],16*x)+20*x*(1-16*x)*超几何([3/2,7/2],[2],16*x))/3。-马克·范霍伊2014年4月12日

数学

表[Sum[(k+1)^5*(二项式[2n+1,n-k]*2*(k+1)/(n+k+2))^2,{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A039598号,A024492号,A000894号,A228329号,A000515型,A228330号,A228332号,A228333号.

关键字

作者

N、 斯隆2013年8月26日

状态

经核准的

A125276号 三角形特征序列A039598号:a(n)=和{k=0..n-1}A039598号(n-1,k)*a(k)表示n>0,a(0)=1。 +20个
4
1、1、3、12、58、325、2060、14514、112170、941128、8502393、82160481、844532873、9191329357、105491177081、1272418794619、16080824798705、212370154398094、2923859710010527、4187072963374478、622763691600244335 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0.3万

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瓦茨拉夫·科特索维奇,n=0..500时的n,a(n)表

公式

a(n)=和{k=0..n-1}a(k)*C(2*n,n-k-1)*(k+1)/n表示n>0且a(0)=1。

G、 f.A(x)满足:A(x/(1+x)^2)=1+x*A(x);同时,A(x*(1-x))=1+[x/(1-x)]*A(x/(1-x));同时,A(x)=1+x*C(x)^2*A(x*C(x)^2),其中C(x)=(1-sqrt(1-4x))/(2x)是加泰罗尼亚函数(A000108号). -保罗·D·汉娜2007年8月15日

例子

a(3)=5*(1)+4*(1)+1*(3)=12;

a(4)=14*(1)+14*(1)+6*(3)+1*(12)=58;

a(5)=42*(1)+48*(1)+27*(3)+8*(12)+1*(58)=325。

三角形A039598号(n,k)=C(2*n+2,n-k)*(k+1)/(n+1)开始:

1个;

2,1;

5、4、1;

14,14,6,1;

42、48、27、8、1;

132,165,110,44,10,1。。。

式中k列g.f=G000108(x)^(2*k+2)

而G000108(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2x)是加泰罗尼亚函数。

数学

A125276号=康斯坦塔雷[0,20];A125276号[[1]=1;执行[A125276号[[n]=二项式[2*n,n-1]/n+和[A125276号[[k]*二项式[2*n,n-k-1]*(k+1)/n,{k,1,n-1}];,{n,2,20}];展平[{1,A125276号}] (*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月9日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=如果(n==0,1,和(k=0,n-1,a(k)*二项式(2*n,n-k-1)*(k+1)/n))

交叉引用

囊性纤维变性。A039598号,A000108号;A125275号(变型)。

关键字

作者

保罗·D·汉娜2006年11月26日

状态

经核准的

A228332号 设h(m)表示第n项为和{k=0..n}(k+1)^m*T(n,k)^2的序列,其中T(n,k)是加泰罗尼亚三角形A039598号. 这是h(6)。 +20个
4
1,68,1778,4308,958430,20119736,405350788,79216912801519350,2834134359000,52320693313020,95396035150960,1712782834351468,3078267415680184,5462948893700675720,96303960593503261984,1687752152779483045542,294247121416108296408,5106215414146188646220 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

链接

n=0..18的n,a(n)表。

佩德罗·J·米娜,娜塔莉亚·罗梅罗,组合数和加泰罗尼亚数的矩《数论杂志》,第130卷,第8期,2010年8月,第1876-1887页。见第1882页备注3。ω6(n)=a(n-1)。

孙逸东和马飞,加泰罗尼亚三角形上的四个变换,arXiv预印本arXiv:1305.2017[math.CO],2013年。

孙逸东和马飞,关于Catalan三角的一些新的二项式和《组合学》杂志,2014年第1期。

公式

循环次数:n*(2*n+1)*(105*n^5-420*n^4+588*n^3-356*n^2+96*n-10)*a(n)=2*(4*n-7)*(4*n-5)*(105*n^5+105*n^4-42*n^3-62*n^2-7*n+3)*a(n-1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日

a(n)=二项式(4*n,2*n)*(105*n^5+105*n^4-42*n^3-62*n^2-7*n+3)/((2*n+1)*(4*n-3)*(4*n-1))。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日

数学

表[Sum[(k+1)^6*(二项式[2n+1,n-k]*2*(k+1)/(n+k+2))^2,{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月8日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A039598号,A024492号,A000894号,A228329号,A000515型,A228330号-A228333号.

关键字

作者

N、 斯隆2013年8月26日

状态

经核准的

邮编:A128937 阅读形成的三角形A039598号模式2。 +20个
2
1、0、1、1、1、1、0、1、0、0、0、1、0、1、0、0、1、0、0、1、0、1、1、1、1、1、1、1、1、0、1、1、1、0、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、1、0、0、0、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、1、0、0、1、0、0、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0 0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,1

评论

也是由读三角形形成的三角形179号A052,A053121号,A124575号,A126075号,A126093号.

也是由阅读形成的三角形A065600型模式2。-菲利普·德莱厄姆2007年10月15日

链接

n=0..104的n,a(n)表。

公式

和{k=0..n}T(n,k)=A048896号(n) 一。

和{k=0..n}T(n,k)*2^(n-k)=A101692号(n) 是的。-菲利普·德莱厄姆2007年10月9日

和{k=0..n}T(n,k)*2^k=A062878号(n+1)/3。-菲利普·德莱厄姆2009年8月31日

例子

三角形开始:

1个;

0,1;

1,0,1;

0,0,0,1;

0,0,1,0,1;

0,1,0,0,0,1;

1,0,1,0,1,0,1;

0,0,0,0,0;

0,0,0,0,0,0,1,0,1;

0,0,0,0,0,1,0,0,0,1;

0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1;

0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1;

0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1;

0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1;

1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1;

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1。。。

关键字

,

作者

菲利普·德莱厄姆2007年4月27日,2007年5月2日

状态

经核准的

A138718号 定义在A039599号;T(2,0)=A126075号,T(2,1)=A038622号,T(2,2)=A039598号,T(2,3)=邮编:A124733,T(2,4)=A124575号. +20个
0
1,2,0,5,0,0,12,1,0,30,4,1,0,0,0,74,17,4,1,0,0,185,56,21,4,1,0,460,185,74,26,4,1,0,0 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

链接

n=0..35时的n,a(n)表。

公式

和{k,0<=k<=n}T(n,k)*x^k=A054341号(n) 你说,A005773号(n+1),A000108号(n+1),A007317型(n) 你说,A033543号(n) 分别为x=0、1、2、3、4。

例子

三角形开始:1;2,0;5,0,0;12,1,0,0;30,4,1,0,0;74,17,4,1,0,0。。。

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A171368号,邮编:A171380

关键字

,

作者

菲利普·德莱厄姆2009年12月7日

状态

经核准的

A000108号 加泰罗尼亚数字:C(n)=二项式(2n,n)/(n+1)=(2n)!/(n!(n+1)!)。
(原M1459 N0577)
+10个
3404
1、1、2、5、14、42、132、429、1430、4862、16796、58786、208012、742900、2674440、9694845、35357670、129644790、477638700、1767263190、6564120420、24466267020、91482563640、343059613650、1289904147324、4861946401452、1836735302152、69533550916004、263747951750360、1002242216651368、38149865092304 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0.3万

评论

也叫塞格纳数。

薛定谔第一问题的解。大量的组合解释是已知的-见参考文献,特别是斯坦利,枚举组合学,第二卷。这可能是OEIS中最长的条目,也是正确的。

在n+1个字母的单词中插入n对括号的方法。E、 g.对于n=2,有两种方式:((ab)c)或(a(bc));对于n=3,有5种方式:((ab)(cd)),((ab)c)d),(a(bc)d),(a((bc)d),(a(b(cd)))。

考虑正方形纸上所有的二项式(2n,n)路径,它们(i)从(0,0)开始,(ii)在(2n,0)结束,并且(iii)在每一步中,要么做(+1,+1)步或(+1,-1)步。那么从来没有在x轴以下的路径(Dyck路径)的数量是C(n)。[钟菲勒]

n-集的非交叉分区数。例如,在4-集的15个集合划分中,只有[{13},{24}]是交叉的,所以有一个(4)=14个非交叉的4个元素的分区。-乔尔阿恩特2011年7月11日

a(n-1)是将对称群S_n中的n-环表示为n-1移位(u_1,v_1)*(u_2,v_2)*…*(u{n-1},v{n-1})的方法,其中u_k<=u_j,v_k<=v_j;参见示例。如果条件被放弃,则A000272号. -乔尔阿恩特格雷格·史蒂文森,2011年7月11日

a(n)是具有n个节点(不包括根)的有序根树的数目。看康威的参考资料,这些有根的有序的树被称为平面灌木丛。另见Bergeron等人。参考,例4,第167页。-狼牙2007年8月7日

正如Beineke和Pippert(1971)的论文所示,a(n-2)=D(n)是一个圆盘的标记解剖数,与数字R(n)有关=A001761号(n-2)由公式D(n)=R(n)/(n-2)!。-M、 哈斯勒2012年2月22日

与自身卷积时左移一个位置。

当n>=1时,a(n)也是n边上0属的有根双色单细胞映射数。-艾哈迈德法尔斯(ahmedfares(AT)my deja.com),2001年8月15日

连接圆上2n个点形成n个不相交弦的方法。(如果没有这样的限制,那么n和弦的形成方式由(2n-1)给出!!=(2n)!/n!第二个^=A001147号(n) 。)

产生于舒伯特微积分-见参考文献。

序列的逆欧拉变换是A022553号.

在插值零点的情况下,Motzkin数的逆二项式变换A001006号. -保罗·巴里2003年7月18日

这个序列的Hankel变换或第一项省略的序列给出A000012号=1,1,1,1,1,…;示例:Det([1,1,2,5;1,2,5,14,14;2,5,14,42;5,14,42,132])=1和Det([1,2,5,5,14,42,132;14,42,429])=1。-菲利普·德莱厄姆2004年3月4日

a(n)等于三角形第n行项的平方和A053121号,它是由加泰罗尼亚序列的连续自卷积形成的。-保罗·D·汉娜2005年4月23日

同时,Mandelbrot多项式M的系数迭代了无穷多次。示例:M(0)=0=0*c^0=[0],M(1)=c=c^1+0*c^0=[1 0],M(2)=c^2+c=c^2+c^1+0*c^0=[1 1 1 0],M(3)=(c^2+c)^2+c=[0 1 1 1 2 1]。。。M(5)=[0 1 1 2 5 14 26 44 69 94 114 116 94 60 28 8 1]。。。-唐纳德D.克罗斯(cosinekitty(AT)hotmail.com),2005年2月4日

素数p除以Cˉ的重数可以通过首先在基p中表示n+1来确定。对于p=2,重数是1位数减去1。对于p是奇数素数,计算所有大于(p+1)/2的位数;除final外,还计算等于(p+1)/2的位数;如果不是final,则计算等于(p-1)/2的位数,并计算下一位数。例如,n=62,n+1=223_5,因此C_62不能被5整除。n=63,n+1=224|5,因此5^3 | C|63。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年2月8日

Koshy和Salmassi给出了一个基本的证明,只有质数Catalan数是a(2)=2和a(3)=5。唯一的半素数是加泰罗尼亚数字a(4)=14吗?-乔纳森·沃斯·波斯特2006年3月6日

答案是肯定的。利用公式Cˉn=二项式(2n,n)/(n+1),可以很明显地看出Cˉn不可能有大于2n的素数因子,对于n>=7,Cˉn>(2n)^2,因此它不能是半素数。考虑到加泰罗尼亚数是指数增长的,上述考虑意味着,以重数计算的cun的素数必须无限增长。除此之外,素数没有极限也是很难增长的。在n+1和2n之间的任何素数(不含)都必须除C峈n,这类素数的增长不受限制是由素数定理得出的。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年4月14日

将n个不可区分的球放入n个编号框B1,…,Bn中的方法数,使得在B1,…,Bk中最多放置k个球,k=1,…,n。例如,a(3)=5,因为有5种方法将3个球分配到3个盒子中,使得(i)盒子1最多得到1个球,(ii)盒子1和盒子2一起最多得到2个球:(O)(O)(O),(O)()(OO),()(OO)(O),()(O)(OO),()(OO)。-丹尼斯·P·沃尔什2006年12月4日

a(n)也是降阶保序全变换(n元链)的半群的阶,现在称为Catalan幺半群。-阿卜杜拉希·乌马尔2008年8月25日

a(n)是群SU(2)(a(1))的2n旋量(最小)表示的直积中的平凡表示数。-Rutger Boels(Boels(AT)nbi.dk),2008年8月26日

当对任何起始序列无限次地应用反向变换时,它似乎收敛于Catalan数。-马茨格兰维克,加里·W·亚当森罗杰·L·巴古拉,2008年9月9日,2008年9月12日

Lim{n->infinity}a(n)/a(n-1)=4。-Francesco Antoni(Francesco_Antoni(AT)yahoo.com),2008年11月24日

从偏移量1开始=三角形的行和A154559号. -加里·W·亚当森2009年1月11日

C(n)是Grassmannian G(1,n+1)的度:在(n+1)维射影空间中的一组直线,或(n+2)维仿射空间中穿过原点的平面集。考虑射影N-N+2-mannive空间。如果我们在射影(n+1)空间中选择2n个一般(n-1)平面,则有C(n)线满足所有这些平面。-本吉·费舍尔(Benji(AT)FisherFam.org),2009年3月5日

从偏移量1开始=A068875号:(1,2,4,10,18,84,…)用精细的数字卷曲,A000957号:(1,0,1,2,6,18,…)。a(6)=132=(1,2,4,10,28,84)点(18,6,2,1,0,1)=(18+12+8+10+0+84)=132。-加里·W·亚当森2009年5月1日

卷曲A032443号:(1,3,11,42,163,…)=4的幂次,A000302号:(1,4,16,…)。-加里·W·亚当森2009年5月15日

和{k>=1}C(k-1)/2^(2k-1)=1。求和中的第k项是整数上的随机游动(从原点开始)将以(2k-1)步到达正的概率(第一次)。-杰弗里·克里特2009年9月12日

C(p+q)-C(p)*C(q)=和{i=0..p-1,j=0..q-1}C(i)*C(p+q-i-j-1)。-罗兰松鸡2009年11月13日

Leonhard Euler在他的“Betrachtungen,auf wie vielerley Arten ein gegegebenes polygonum durch diagonalinen in triangula zerschnitten werden könne”中使用了公式C(n)=积棼{i=3..n}(4*i-10)/(i-1),并通过递归C(n+2)计算n=1..8。(1751年9月4日,柏林,致戈德巴赫的一封信。)-彼得·卢什尼2010年3月13日

邮编:A179277=A(x)。则C(x)由A(x)/A(x^2)满足。-加里·W·亚当森2010年7月7日

a(n)=A000680型(n)/A006472号(n+1)。-马克·多尔斯,2010年7月14日;更正人M、 哈斯勒2015年11月8日

a(n)也是B型或C型突变类中的颤动数-基督教树桩2010年11月2日

考虑一组A000217(n) n种颜色的球,其中,对于k=1到n的每个整数,在集合中只出现一种颜色,总共k次。(每个球只有一种颜色,与其他颜色相同的球无法区分。)a(n+1)等于在满足以下条件的情况下选择0个或更多种颜色的球的方法数:1。没有两种颜色的选择次数相同。2对于至少选择一次的任何两种颜色(c,d),如果颜色c在原始集合中出现的次数多于颜色d,则选择颜色c的次数多于颜色d。

如果第二个要求被取消,可接受的方法数量等于A000110号(n+1)。参见相关评论A016098型,A085082号. -马修·范德马斯特2010年11月22日

Deutsch和Sagan证明了加泰罗尼亚数C\n是奇数当且仅当n=2^a-1对于某个非负整数a。Lin证明了对于每个奇数的Catalan数C_n,我们有C_n==1(mod 4)。-乔纳森·沃斯·波斯特2010年12月9日

a(n)是函数f的个数:{1,2,…,n}->{1,2,…,n}使得f(1)=1,并且对于所有n>=1f(n+1)<=f(n)+1。关于这组函数和长度为2n的Dyck单词之间的双映射,请参阅Fxtbook的333页(见下面的链接)。

补足A092459号;A010058型(a(n))=1。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年3月29日

Postnikov(2005)定义了与建筑物相关的“广义加泰罗尼亚数”(例如,B型加泰罗尼亚数,见A000984号). -N、 斯隆2011年12月10日

A076050型(a(n))=n+1,n>0。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月17日

深度为(n)的置换数。-布丽奇特·坦纳2012年2月22日

a(n)也是形状(n,n)的标准青年画面的个数。-Thotsaporn塔那提帕南达2012年2月25日

a(n)是长度为2n+1的二进制序列的个数,其中1的个数首先超过入口2n+1处的零个数。请参阅下面示例部分中的示例。-丹尼斯·P·沃尔什2012年4月11日

a(n+1)=A214292号(2*n+1,n)=A214292号(2*n+2,n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月12日

长度为2*n+1且包含n1(或对称性为0)的二元项链的数量。所有这些都是Lyndon词,它们的代表(如循环极大值)是二进制Dyck词。-乔尔阿恩特2012年11月12日

由n个“x”字母和n个“y”字母组成的序列数,使得(从左侧开始计数)“x”计数>=“y”计数。例如,对于n=3,我们有xxxyyy、xxyyyy、xxyyxy、xyxxyy和xyxyxy。-乔恩·佩里2012年11月16日

a(n)是长度为n-1的Motzkin路径数,其中(1,0)-步有两种颜色。示例:a(4)=14,因为表示U=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1),我们有8条形状HHH的路径,2条UHD形状的路径,2条形状UDH的路径,和2条形状HUD的路径。-何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯2013年1月16日

如果p是奇素数,则(-1)^((p-1)/2)*a((p-1)/2)mod p=2。-加里·德特勒夫斯2013年2月20日

猜想:对于任何正整数n,多项式和{k=0..n}a(k)*x^k在有理数域上是不可约的。-孙志伟2013年3月23日

a(n)是Jones幺半群在2n点上的大小(cf。A225798号). -詹姆斯米切尔2013年7月28日

给定概率(p):和{n>=0}a(n)*(1-p)^n*p^(n+1)=和{n>=1}p^n=p/(1-p)。E、 在p=0.4:0.4+0.6*0.4^2+2*0.6^2*0.4^3+5*0.6^3*0.4^4+14*0.6^4*0.4^5+。。。=0.4+0.096+0.04608+0.027648+0.018579456。。。=2/3。由于p/(1-p)本身是一个概率,因此当p>=0.5时,它的最大值为1。-鲍勃塞尔科2013年11月16日

没有a(n)的形式是x^m且m>1和x>1。-孙志伟2013年12月2日

亚历山大·麦克阿达克2013年12月27日:(开始)

素数p除以a((p+1)/2)得到p>3。看到了吗邮编:A120303(n) =加泰罗尼亚数的最大素数因子。

加泰罗尼亚倒数常数C=1+4*sqrt(3)*Pi/27=1.80613。。=A121839号.

对数(Phi)=(125*C-55)/(24*sqrt(5)),其中C=和{k>=1}(-1)^(k+1)*1/a(k)。看到了吗A002390号=黄金分割率自然对数的十进制展开。

加泰罗尼亚数字的三维模拟:(3n)!/(n!(n+1)!(n+2)!)=A161581号(n)=A006480号(n) /((n+1)^2*(n+2)),其中A006480号(n) =(3分钟)!/(n!)^3个德布鲁恩氏症(3,n)。(结束)

关于无粘方程,请参见无粘方程A001764号. -汤姆·科普兰2014年2月15日

林风2014年5月1日:(开始)

一类广义加泰罗尼亚数可以由非零参数q.f.A(x)=(1-sqrt(1-q*4*x*(1-(q-1)*x))/(2*q*x)定义。递推:(n+3)*A(n+2)-2*q*(2*n+3)*A(n+1)+4*q*(q-1)*n*A(n)=0,其中A(0)=1,A(1)=1。

q>=1:a(n)~(2*q+2*sqrt(q))^n*sqrt(2*q*(1+sqrt(q)))/sqrt(4*q^2*Pi*n^3)的渐近逼近。

对于q<=-1,g.f.用渐近近似定义有符号序列:a(n)~Re(sqrt(2*q*(1+sqrt(q)))*(2*q+2*sqrt(q))^n)/sqrt(q^2*Pi*n^3),其中Re表示实部。由于Stokes现象,渐近逼近的精度在n的某些值附近会恶化。

特殊情况是A000108号(q=1),A068764号A068772号(q=2至10),A240880(q=-3)。

(结束)

s(n)=0,Sum{j=0..n}s(j)=n,和{j=0..k}s(j)-1>=0的序列数[s(0),s(1),…,s(n)]。-乔尔阿恩特2014年6月30日

[n]的堆栈可排序排列数,这是231个避免排列;请参阅Bousquet-Mélou参考。-乔尔阿恩特2014年7月1日

a(n)是具有2n-1个节点的递增严格二叉树的数目,避免132个。有关使用关联置换增加严格二叉树的更多信息,请参阅A245894号. -曼达·里尔2014年8月7日

在一维弹性散射介质中(zig-zag-walk),2n+1散射事件后的首次重现概率为C(n)/2^(2n+1)。-约阿希姆·伍特克2014年9月11日

对于加泰罗尼亚数字,o.g.f.C(x)=[1-sqrt(1-4x)]/2,包括。逆Cinv(x)=x*(1-x)和函数P(x)=x/(1+t*x)及其逆Pinv(x,t)=-P(-x,t)=x/(1-t*x)构成一个组合下的群,在许多经典数组中生成或插值,例如Motzkin(Riordan,A005043号),斐波那契(A000045型),很好(A000957号)数与多项式(A030528号),以及为Motzkin、Dyck和Łukasiewicz格路径以及不同类型的树和非交叉分区枚举数组(A091867型,与精化Narayana数的和有关A134264). -汤姆·科普兰2014年11月4日

猜想:所有0<min{2,k}<=j<=k的有理数和{i=j..k}1/a(i)都有两对不同的分式部分。-孙志伟2015年9月24日

加泰罗尼亚数列A000108号(n+3),偏移量n=0,给出Hankel变换,显示从5开始的平方金字塔数,A000330型(n+2),偏移量n=0(经验观察)。-托尼·福斯特三世2016年9月5日

省略前2、4和5项的加泰罗尼亚数字的Hankel变换给出A0477号,A006858号,和A091962号,在所有情况下,没有前两个术语。更一般地说,省略前k项的加泰罗尼亚数的Hankel变换是H_k(n)=乘积{j=1..k-1}乘积{i=1..j}(2*n+j+i)/(j+i)[见Cigler(2011),公式(1.14)和其中的引用];它们一起构成数组A078920型/邮编:A123352. -安德烈·扎博洛茨基2016年10月13日

据推测,这符合本福德定律,尽管Hürlimann(2009)的结果并没有说明这一点。见S.J.Miller主编,2015年,第5页。-N、 斯隆2017年2月9日

与岩浆代数和树状操作代数有关的生成级数的系数。参见Loday等人第422和435页。纸张。-汤姆·科普兰2018年7月8日

设M峈n为n×n矩阵,其中M峈n(i,j)=二项式(i+j-1,2j-2);则det(M_n)=a(n)。-托尼·福斯特三世2018年8月30日

还有加泰罗尼亚树木的数量,或种植的梧桐树(Bona,2015,第299页,定理4.6.3)。-N、 斯隆2018年12月25日

毛虫物种树和匹配的毛虫基因树(n+1叶)的结合历史数(Rosenberg 2007,推论3.5)。-诺亚A罗森博格2019年1月28日

求eps小的eps*x^2+x-1=0的解,即写x=Sum{n>=0}x{n}*eps^n并展开,得到x=1-eps+2*eps^2-5*eps^3+14*eps^3-42*eps^4+。。。其中x{n}=(-1)^{n}*C(n)。进一步地,让x=1/y并将y展开约0,以找到大的根,即y=Sum{n>=1}y{n}*eps^n,则得到y=0-eps+eps^2-2*eps^3+5*eps^3-。。。其中y{n}=(-1)^n*C(n-1)-德里克·奥尔2019年3月15日

产生n阶二部置换图的长度为n的置换[见Knuth(1973)、Busch(2006)、Golumbic和Trenk(2004)]。-伊莉丝·安德森,R、 阿古斯先生,凯特琳·欧文斯,泰莎·史蒂文斯2019年6月27日

对于n>0,从n对不同的不可分辨对象中随机选择n+1个对象(根据鸽子洞原理确保一对的最小数目)只包含一对,概率为2^(n-1)/a(n)=b(n-1)/A098597号(n) ,其中b是0偏移量序列,其项为邮编:A120777重复(1,1,4,4,8,8,64,64128128,…)。E、 g.从5双袜子中随机选择6双,分别是黑色、蓝色、棕色、绿色和白色,结果只有一双颜色相同,概率为2^(5-1)/a(5)=16/42=8/21=b(4)/A098597号(5) 一。-瑞克·L·谢泼德2019年9月2日

见哈兰和塔巴什尼科夫链接的视频讨论康威科克斯特雕带。n个非平凡行的Conway-Coxeter雕带是由正n边形三角剖分中每个顶点的三角形数生成的,其中有一个(n)。-查尔斯R格雷特豪斯四世2019年9月28日

有关结理论和费曼图散射振幅的联系,请参阅布罗德赫斯特和克莱默,以及托多罗夫。等式。6.12关于Bessis等人的第130页。缩放后变成-12g*r_0(-y/(12g))=(1-sqrt(1-4y))/2,即o.g.f.(在等式中表示为泰勒级数)。7.22 in 12gx)中的加泰罗尼亚数字,见下文Copeland(2011年9月30日)公式。(另见米泽拉第34页,巴尔杜夫第79-80页,凯特尔和巴托什)。-汤姆·科普兰2019年11月17日

弱序主序理想为模格的S峎n置换数。-布丽奇特·坦纳2020年1月16日

主排列格的主排列数在u序上是弱的。-布丽奇特·坦纳2020年1月16日

勒让德给出了计算模2^m平方根的以下公式:

sqrt(1+8*a)mod 2^m=(1+4*a*和{i=0..m-4}C(i)*(-2*a)^i)mod 2^m

正如L.D.Dickson引用的,《数论史》,第一卷,207-208。-彼得·肖恩2020年2月11日

参考文献

大量的参考资料和链接表明加泰罗尼亚数字无处不在。

R、 Alter,关于加泰罗尼亚数的一些评论和结果,第109-132页,路易斯安那组合学、图论和计算机科学会议记录。第2卷,R.C.Mullin等编辑,1971年。

Miklos Bona,编辑,《枚举组合学手册》,CRC出版社,2015年,许多参考文献。

五十、 Comtet,《高级组合学》,Reidel,1974年,第53页。

J、 H.康威和R.K.盖伊,《数字之书》,纽约:斯普林格·韦拉格,1995年,第4章,第96-106页。

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“核心”序列的索引项

项链相关序列的索引条目

与括号相关的序列的索引项

与根树相关的序列的索引项

与Benford定律有关的序列的索引项

公式

a(n)=A000984号(n) /(n+1)=二项式(2*n,n)/(n+1)=(2*n)!/(n!*(n+1)!)。

a(n)=二项式(2*n,n)-二项式(2*n,n-1)。

a(n)=和{k=0..n-1}a(k)a(n-1-k)。

a(n)=乘积{k=2..n}(1+n/k),如果n>1。

G、 f.:A(x)=(1-平方英尺(1-4*x))/(2*x)。G、 f.A(x)满足A=1+x*A^2。

a(n+1)=和{i}二项式(n,2*i)*2^(n-2*i)*a(i)。-触地

D-有限递归:2*(2*n-1)*a(n-1)=(n+1)*a(n)。

已知a(n)是奇的当且仅当n=2^k-1,k=0,1,2,3。。。-德国金刚砂2002年8月4日,更正人M、 哈斯勒2015年11月8日

在中使用斯特林近似A000142号得到了渐近展开式a(n)~4^n/(sqrt(Pi*n)*(n+1))。-Dan Fux(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com),2001年4月13日

积分表示:a(n)=(1/(2*Pi))*积分{x=0..4}x^n*sqrt((4-x)/x)。-卡罗尔·彭森2001年4月12日

E、 其中u*exp_(u*exp_),其中u*exp_。-卡罗尔·彭森2001年10月7日

a(n)=多导(n,6)/多导(n,3)。-Daniel Dockery(pertius(AT)gmail.com),2003年6月24日

G、 f.A(x)满足((A(x)+A(-x))/2)^2=A(4*x^2)。-迈克尔·索莫斯2003年6月27日

G、 f.A(x)满足Sum{k>=1}k(A(x)-1)^k=Sum{n>=1}4^{n-1}*x^n.-Shapiro,Woan,Getu

a(n+m)=和{k}A039599号(n,k)*A039599号(m,k)。-菲利普·德莱厄姆2003年12月22日

a(n+1)=(1/(n+1))*和{k=0..n}a(n-k)*二项式(2k+1,k+1)。-菲利普·德莱厄姆2004年1月24日

a(n)=和{k>=0}A008313号(n,k)^2。-菲利普·德莱厄姆2004年2月14日

{0+0}=0A039598号(m,k)*A039598号(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2004年2月15日

C(n-1)=二项式(2*n-2,n-1)/n=(1/n!)*[n ^(n-1)+(二项式(n-2,1)+二项式(n-2,2,2))*n ^(n-2)+(2*二项式(n-3,1)+7*二项式(n-3,2)+8*二项式(n-3,3,3)+3*二项式(n-3,4,4)的*n ^(n-3.3)的*n ^(n-3)3+(6*二项式(n-4,1)+38*二项式(n-4,2)+93*二项式(n-4,3)+111*二项(n-4,4,4)+65*二项(n-4,5)+65*二项(n-4,5)+15*二项式(n-4,6))*n^(n-4)+。。。]. -安德烈夫·拉博西,2004年11月10日,更正人M、 哈斯勒2015年11月10日

a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*2^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(k,floor(k/2))。-保罗·巴里2005年1月27日

和{n>=0}1/a(n)=2+4*Pi/3^(5/2)=F(1,2;1/2;1/4)=2.806133050770763。。。(见L'Univers de Pi link)。-杰拉尔德·麦加维贝诺伊特·克罗伊特2005年2月13日

a(n)=和{k=0..floor(n/2)}((n-2*k+1)*二项式(n,n-k)/(n-k+1))^2,相当于:a(n)=和{k=0..n}A053121号(n,k)^2,对于n>=0。-保罗·D·汉娜2005年4月23日

a((m+n)/2)=和{k>=0}A053121号(m,k)*A053121号(n,k)如果m+n是偶数。-菲利普·德莱厄姆2005年5月26日

E、 g.f.和{n>=0}a(n)*x^(2*n)/(2*n)!=贝塞利(1,2*x)/x-迈克尔·索莫斯2005年6月22日

给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x^3)满足0=f(x,B(x)),其中f(u,v)=u-v+(u*v)^2或B(x)=x+(x*B(x))^2,这意味着B(-B(x))=-x,同时(1+B^3)/B^2=(1-x^3)/x^2。-迈克尔·索莫斯2005年6月27日

a(n)=a(n-1)*(4-6/(n+1))。a(n)=2a(n-1)*(8a(n-2)+a(n-1))/(10a(n-2)-a(n-1))。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年2月8日

和{k>=1}a(k)/4^k=1。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年6月28日

a(n)=A047996型(2*n+1,n)。-菲利普·德莱厄姆2006年7月25日

二项式变换A005043号. -菲利普·德莱厄姆2006年10月20日

a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*A116395年(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2006年11月7日

a(n)=(1/(s-n))*和{k=0..n}(-1)^k(k+s-n)*二项式(s-n,k)*二项式(s+n-k,s),s是一个非负的自由整数[H.W.Gould]。

a(k)=和{i=1..k}|A008276号(i,k)|*(k-1)^(k-i)/k!。-安德烈夫·拉博西2007年5月29日

a(n)=和{k=0..n}邮编:A129818(n,k)*A007852号(k+1)。-菲利普·德莱厄姆2007年6月20日

a(n)=和{k=0..n}A109466号(n,k)*邮编:A127632(k) 一。-菲利普·德莱厄姆2007年6月20日

三角形行和邮编:A124926. -加里·W·亚当森2007年10月22日

Lim{n->infinity}(1+和{k=0..n}a(k)/公元171年04月(k) )=4/Pi。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年8月26日

a(n)=和{k=0..n}A120730(n,k)^2和a(k+1)=和{n>=k}A120730(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2008年10月18日

给定一个整数t>=1和初始值u=[a_0,a_1,…,a{t-1}],我们可以通过设置a_n=a{n-1}+a_0*a{n-1}+a}1*a{n-2}+。。。+a{n-2}*a_1表示n>=t。例如,当前序列是Phi([1])(也是Phi([1,1])。-加里·W·亚当森2008年10月27日

(n)=Sum(n)=Sum{l U 1=0..n+1}Sum{l〈U 2=0..n}…Sum{l{l i i=0..n-i}…Sum{l UN=0.1}delta(l U1,l U2,…,l UI,…,l UN)其中·(l U1,l U2,…,l i,…,l U i,…,l UN)=0如果任何l UI i<l(i+1)和l(i+1)i+1)的任何l(i+1),l(i+1,…,l<>0表示i=1..n-1和delta(l_1,l_2,…,l_i,…,l\n)=1,否则。-托马斯·威德2009年2月25日

设A(x)为g.f.,则B(x)=x*A(x)满足微分方程B'(x)-2*B'(x)*B(x)-1=0。-弗拉基米尔·克鲁基宁2011年1月18日

G、 f.:1/(1-x/(1-x/(1-x/(…)))(连分式)。-乔尔阿恩特2011年3月18日

(F=1.x,F=1.x)的平方x(n=2)。-汤姆·科普兰2011年9月4日

当H(x)=1/(dG(x)/dx)=(1+x)^3/(1-x)时,第n个加泰罗尼亚数由(1/n!)*((H(x)*d/dx)^n)x在x=0时求值,即F(x)=exp(x*H(u)*d/du)u,在u=0时求值。另外,dF(x)/dx=H(F(x)),而H(x)是A115291号. -汤姆·科普兰2011年9月4日

当F(x)={1-sqrt[1-4*x]}/2在x中是一个o.g.F.对于Catalan级数,g(x)=x*(1-x)是组成逆,这将Catalan数与A125181. -汤姆·科普兰2011年9月30日

当H(x)=1/(dG(x)/dx)=1/(1-2x)时,第n个加泰罗尼亚数字(偏移量1)由(1/n!)*((H(x)*d/dx)^n)x在x=0时求值,即F(x)=exp(x*H(u)*d/du)u,在u=0时求值。同样,dF(x)/dx=H(F(x))。-汤姆·科普兰2011年9月30日

G、 f.:(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)=G(0),其中G(k)=1+(4*k+1)*x/(k+1-2*x*(k+1)*(4*k+3)/(2*x*(4*k+3)+(2*k+3)/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月30日

E、 g.f.:exp(2*x)*(BesselI(0,2*x)-BesselI(1,2*x))=g(0),其中g(k)=1+(4*k+1)*x/((k+1)*(2*k+1)-x*(k+1)*(2*k+1)*(4*k+3)/(x*(4*k+3)+(k+1)*(2*k+3)/g(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月30日

E、 g.f.:超几何([1/2],[2],4*x),与上面给出的E.g.f.一致,并且卡罗尔·彭森更进一步。-狼牙2012年1月13日

a(n)=A208355型(1-2个)=A208355型(2*n)对于n>0。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月4日

G、 f.:1+2*x/(U(0)-2*x,其中U(k)=k*(4*x+1)+2*x+2-x*(2*k+3)*(2*k+4)/U(k+1);(续分数,欧拉第一类,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月20日

G、 f.:超几何([1/2,1],[2],4*x)。-乔尔阿恩特2013年4月6日

雅可比多项式的特殊值,用Maple表示:a(n)=4^n*JacobiP(n,1,-1/2-n,-1)/(n+1)。-卡罗尔·彭森2013年7月28日

对于n>0:a(n)=三角形中第n行的和A001263. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月10日

a(n)=二项式(2n,n-1)/n和a(n)mod n=二项式(2n,n)mod n=A059288型(n) 是的。-乔纳森·桑多2013年12月14日

a(n-1)=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}(-1)^(1+t1+t2+…+tn)*多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn)*a(1)^t1*a(2)^t2*.*a(n)^tn-米尔恰梅尔卡2014年2月27日

a(n)=和{k=1..n}二项式(n+k-1,n)/n,如果n>0。亚历山大·麦克阿达克2014年3月25日

a(n)=-2^(2*n+1)*二项式(n-1/2,-3/2)。-彼得·卢什尼2014年5月6日

a(n)=(4)*A000984号(n)-A000984号(n+1))/2。-西斯塔尼斯拉夫2014年8月9日

a(n)=A246458号(n)*A246466号(n) 是的。-汤姆·埃德加2014年9月2日

a(n)=(2*n)!*[x^(2*n)]超几何([],[2],x^2)。-彼得·卢什尼2015年1月31日

a(n)=4^(n-1)*超几何([3/2,1-n],[3],1)。-彼得·卢什尼2015年2月3日

a(2n)=2*A000150型(2n);a(2n+1)=2*A000150型(2n+1)+a(n)。-约翰·博丁2015年6月24日

a(n)=和{t=1..n+1}n^(t-1)*abs(Stirling1(n+1,t))/Sum伲{t=1..n+1}abs(Stirling1(n+1,t)),对于n>0,请参见Cereceda link中的(10)。-米歇尔·马库斯2015年10月6日

a(n)~4^(n-2)*(128+160/n^2+84/n^4+715/n^6-10180/n^8)/(n^(3/2)*Pi^(1/2)),其中n=4*n+3。-彼得·卢什尼2015年10月14日

a(n)=和{k=1..floor((n+1)/2)}(-1)^(k-1)*二项式(n+1-k,k)*n>0时的a(n-k);a(0)=1。-大卫·帕西诺2016年6月29日

和{n>=0}(-1)^n/a(n)=14/25-24*arcsch(2)/(25*sqrt(5))=14/25-24*A002390号/(25*sqrt(5))=0.353403708337278061333。。。-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月30日

C(n)=(1/n)*和{i+j+k=n-1}C(i)*C(j)*C(k+1),n>=1。-纪宇春2016年2月21日

C(n)=1+和{i+j+k<n-1}C(i)*C(j)*C(k)。-纪宇春2016年9月1日

a(n)=A001700型(n)-邮编:A162551(n) =二项式(2*n+1,n+1)。-2*二项式(2*n,n-1)。-塔拉斯戈伊2018年8月9日

G、 f.:A(x)=(1-平方英尺(1-4*x))/(2*x)=2F1(1/2,1;2;4*x)。G、 f.A(x)满足A=1+x*A^2。-R、 J.马萨2018年11月17日

C(n)=1+和{i=0..n-1}A000245型(i) 一。-纪宇春2019年1月10日

A、 H.M.斯梅茨2020年4月11日:(开始)

观察到:a(n)~4^n/sqrt(Pi*(n^3+9/4*n^2+3/2*n+1/3),比Dan Fux(2001年4月13日)的公式更精确,但不如Peter Luschny于2015年10月14日提出的更复杂的公式精确。

(1+sqrt(1+4*x))/2=1-Sum{i>=0}a(i)*(-x)^(i+1),对于| x |<0.25的任何复杂x;以及sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+…))=1-和{i>=0}a(i)*(-x)^(i+1),对于任何| x |<0.25和x<>0的任何复杂x。(结束)

例子

G、 f.=1+x+2*x^2+5*x^3+14*x^4+42*x^5+132*x^6+429*x^7+。。。

乔尔阿恩特格雷格·史蒂文森,2011年7月11日:(开始)

以下3次转位的产物导致了SĒ4的4个循环:

(1,4)*(1,4)*(1,4);

(1,2)*(1,4)*(3,4);

(1,3)*(1,4)*(2,3);

(1,4)*(2,3)*(2,4);

(1,4)*(2,4)*(3,4)。(结束)

对于n=3,a(3)=5,因为有5个长度为7的二进制序列,其中1的个数首先超过条目7的零个数,即0001111、0010111、0011011、0100111和0101011。-丹尼斯·P·沃尔什2012年4月11日

乔尔阿恩特2014年6月30日:(开始)

非有序树根(4个点表示0):

01:[11.11。]

02:[1 1 2。]

03:[12。1。]

04:[1 2 1。]

05:[13。]

06:[2。11。]

07:[2。2。]

08:[21。1。]

09:[211。]

10: [2 2。]

11: [3。1。]

12: [3。1。]

13: [31。]

14: [4。]

(结束)

枫木

A000108号:=n->二项式(2*n,n)/(n+1);G000108:=(1-平方根(1-4*x))/(2*x);

{spec..esq=0(规范=1,结构=1])(规范编号=1);

with(combstruct):bin:={B=Union(Z,Prod(B,B))}:seq(count([B,bin,unlabeled],size=n),n=1..25)#泽伦瓦拉乔斯2007年12月5日

Z[0]:=0:对于k到42,Z[k]:=简化(1/(1-Z*Z[k-1]))od:g:=sum((Z[j]-Z[j-1]),j=1..42):gser:=系列(g,Z=0,42):seq(coeff(gser,Z,n),n=0..41)#泽伦瓦拉乔斯2008年5月21日

顺序((2*n)!*coeff(级数(超几何([],[2],x^2),x,2*n+2),x,2*n),n=0..30#彼得·卢什尼2015年1月31日

数学

(*终端功能*)

加泰罗尼亚

(*术语功能定义*)

A000108号【n】:=(2 n)!/n!/(n+1)!

(*术语功能定义*)

A000108号【n】:=超几何2f1[1-n,-n,2,1](*Richard L.Ollerton,2006年9月13日*)

(*术语表*)

表[CatalanNumber@n,{n,0,24}](*罗伯特·G·威尔逊五世2011年2月15日*)

(*术语表*)

系数列表[InverseSeries[Series[x/Sum[x^n,{n,0,31}],{x,0,31}]]/x,x](*马茨格兰维克2013年11月24日*)

(*TermListByIndexFunction*)

函数[n,CatalanNumber/@Range[0,n]]

系数列表[系列[(1-Sqrt[1-4*x])/(2*x),{x,0,50}],x](*斯佩兹法诺2018年8月31日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=二项式(2*n,n)/(n+1)\\M、 哈斯勒2012年8月25日

(平价)a(n)=(2*n)!/n!/(n+1)!

(PARI)a(n)=my(a,m);如果(n<0,0,m=1;a=1+x+O(x^2);而(m<=n,m*=2;a=sqrt(subst(a,x,4*x^2));a+=(a-1)/(2*x*a));波尔科夫(a,n));

(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,polcoeff(serreverse(x/(1+x)^2+x*O(x^n))}/*迈克尔·索莫斯*/

(同等)(重复(a,b)=如果(b<=2,(a==2)+(a==b)+(a!=b)*(1+a/2),(1+a/b)*重复(a,b-1));a(n)=重复(n,n)\\R、 J.卡诺2012年11月22日

(PARI)x='x+O('x^40);Vec((1-sqrt(1-4*x))/(2*x))\\阿尔图阿尔坎2015年10月13日

(38)字数::0//泽伦瓦拉乔斯2007年4月14日

(岩浆)C:=func<n |二项式(2*n,n)/(n+1)>;[C(n):n in[0..60]];

(岩浆)[加泰罗尼亚语(n):n in[0..40]]//文琴佐·利班迪2011年4月2日

(哈斯克尔)

导入(genericIndex.List)

a000108 n=通用索引a000108_列表n

a000108_list=1:加泰罗尼亚语[1]其中

加泰罗尼亚语cs=c:catalan(c:cs)其中

c=sum$zipWith(*)cs$反向cs

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月12日

a000108=映射上一个$iterate(scanl1(+)。(++[0]))[1]

--大卫间谍2015年8月23日

(Sage)[范围(27)中i的加泰罗尼亚语数字(i)]#泽伦瓦拉乔斯2008年6月26日

(Sage)[二项式(2*i,i)-二项式(2*i,i-1)用于范围(25)]#泽伦瓦拉乔斯2009年5月17日

(Sage)#L.Seidel的广义算法

定义A000108号_列表(n):

D=[0]*(n+1);D[1]=1

h=1;R=1

对于范围内的i(2*n-1):

如果b:

对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]

h+=1;R.append(D[1])

其他:

对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]

b=不是b

返回R

A000108号_列表(31)#彼得·卢什尼2012年6月2日

(马克西玛)A000108号(n) :=二项式(2*n,n)/(n+1)$makelist(A000108号(n) ,n,0,30)/*埃特尔·马丁2012年10月24日*/

(蟒蛇)

从gmpy2导入divexact

A000108号=[1,1]

对于范围(1,10**3)中的n:

    A000108号.append(divexact(A000108号[-1]*(4*n+2),(n+2)))#柴华武2014年8月31日

(间隙)A000108号:=列表([0..30],n->二项式(2*n,n)/(n+1))#阿西鲁2018年2月17日

交叉引用

囊性纤维变性。A000142号,A000245型,A000344号,A000588号,A000957号,A000984号,A001392型,A001453号,A001791号,A002057,A002420,A003046型,A003517型,A003518号,A003519号,A006480号,A008276号,A008549号,A014137号,A014138号,A014140型,A022553号,A024492号,A032357号,A032443号,A039599号,A048990号,A059288型,A068875号,A069640号,A086117号,A094216,A094638号,A094639号,A098597号,A099731号,A119822年,邮编:A120304,邮编:A124926,A176293号,邮编:A137697,A154559号,A161581号,邮编:A167892,A167893号,邮编:A179277,A211611号.

一排A060854号.

看到了吗A001003号,A001190型,A001699型,A000081号其他计算圆括号的方法。

枚举由编码的对象A014486号.

任何本质上等价的数组的对角线A009766号,A030237号,A033184,A059365号,A099039号,A106566,A130020型,A047072型.

囊性纤维变性。A051168号(所述方形阵列的对角线)。

囊性纤维变性。A033552号,邮编:A176137(分成加泰罗尼亚数字)。

囊性纤维变性。A000753号,A000736号(布氏变换)。

囊性纤维变性。邮编:A120303(加泰罗尼亚数的最大素因子)。

囊性纤维变性。A121839号(加泰罗尼亚倒数常数)。

囊性纤维变性。A038003号,A119861年,A119908年,A120274年,A120275年(加泰罗尼亚奇数)。

囊性纤维变性。A002390号(黄金比率自然对数的十进制展开)。

g.f.平方根系数为A001795号/A046161.

对于a(n)mod 6,参见A266597号.

对于基数2中的a(n),请参见A264663号.

囊性纤维变性。A006858号,A091962号,A078920型,邮编:A123352(第一项省略的汉克尔变换)。

关键字

核心,,容易的,本征,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

A000984号 中心二项式系数:二项式(2*n,n)=(2*n)!/(n!)^2。
(原M1645 N0643)
+10个
807
1、2、6、20、70、252、924、3432、12870、48620、184756、705432、2704156、10400600、40116600、155117520、601080390、2333606220、9075135300、35345263800、137846528820、538257874440、2104098963720、8233430727600、32247063683100、126410606437752、495918532948104、1946939425648112 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

Devadoss将这些数字称为B型加泰罗尼亚数字(参见。A000108号).

等于二项式系数和之和{k=0..n}二项式(n,k)^2。

由两个进程执行时,一个程序与n个原子指令可能的交错数。-Manuel Carro(mcarro(AT)fi.upm.es),2001年9月22日

用自身卷积a(n)得到A000302号,4的幂。-T、 D.不2002年6月11日

a(n)=最大值{(i+j)!/(我!j!)|0<=i,j<=n}。-贝诺伊特·克罗伊特2002年5月30日

具有2n+1边的有序树的数目,其根为奇数次,非根节点为0或2。-德国金刚砂2002年8月2日

还有半周长n+2的有向凸多胺数。

半周长为2n+2的对角对称有向凸多胺数。-德国金刚砂2002年8月3日

{0..n+k+0)。-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月28日

这个序列的第二个逆二项式变换就是这个带有插值零点的序列。其g.f.为(1-4*x^2)^(-1/2),第n项为C(n,n/2)(1+(-1)^n)/2。-保罗·巴里2003年7月1日

一个2n位二进制数的可能值,其中一半位是开的,另一半是关的。-加文·斯科特(Gavin(AT)allegro.com),2003年8月9日

对n+1有零的有序分区,例如,对于n=4,我们考虑11110(5)、11200(30)、13000(20)、40000(5)和22000(10)、总计70和a(4)=70的有序分区。看到了吗A001700型(特别是曼贝托夫·贝克图尔的评论)。-乔恩·佩里2003年8月10日

{1{1}与{1}序列之和{1}。-J.N.Bearden(jnb(AT)eller.arizona.edu),2003年9月16日

半长n+1的所有Dyck路径奇数级的峰数。例如:a(2)=6,因为我们有U*DU*DU*D,U*DUUDD,UUDDU*D,uududdd,UUU*DDD,其中U=(1,1),D=(1,-1)和*表示奇数电平的峰值。半长n+1的所有Dyck路径中长度为1的上升次数(Dyck路径中的上升是最大的上行步数)。示例:a(2)=6,因为我们有uDuDuD,ududd,UUDDuD,uuddd,uuddd,其中长度1的上升由小写字母表示。-德国金刚砂2003年12月5日

a(n-1)=每次取n个包含给定元素的2n-1个不同元素的子集数。E、 g.,n=4->a(3)=20,如果我们考虑一次取4的7的子集,我们得到(1234、1235、1236、1237、1245、1246、1247、1256、1257、1267、1345、1346、1347、1356、1357、1367、1456、1457、1467、1567),其中有20个。-乔恩·佩里2004年1月20日

酉双极空间DSU(2n,q^2)的一个特殊(必然存在)绝对泛嵌入的维数,其中q>2。-J.Taylor(jt_cpp(AT)yahoo.com),2004年4月2日。

形状的标准表格数(n+1,1^n)。-德国金刚砂2004年5月13日

Erdős,Graham等人。第二个练习是自由的。Sárközy证明了如果S(n)是a(n)的平方部分,那么S(n)是渐近的(sqrt(2)-2)*(sqrt(n))*(Riemann-Zeta函数(1/2))。Granville和Ramare证明了唯一无平方值是a(1)=2,a(2)=6和a(4)=70。-乔纳森·沃斯·波斯特,2004年12月4日[关于这个猜想的更多信息,请参见A261009号. -N、 斯隆,2015年10月25日]

MathOverflow链接包含以下评论(稍作编辑):1980年sárközy,a(关于二项式系数的除数)证明了Erdős无平方猜想(对于n>4,a(n)永远不是无平方的)。一、 J.数论20(1985),no.1,70-80),他证明了猜想对于所有足够大的n值都成立,并且由A.Granville和O.Ramaré(指数和的显式界和无平方二项系数的稀缺性)成立。Mathematika 43(1996),no.1,73-107),他证明了它适用于所有n>4。-Fedor Petrov,2010年11月13日。[来自N、 斯隆,2015年10月29日]

A000984号(n) /(n+1)=A000108号(n) 加泰罗尼亚数字。

p除以a((p-1)/2)-1=A030662号(n) 对于素数p=5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97。。。=A002144(n) 毕达哥拉斯素数:4n+1形式的素数。-亚历山大·麦克阿达克2006年7月4日

当奶奶住在格力城南n个街区和我家东面n个街区时,从我家到奶奶家的直达路线数。要获得一条直达路线,从2n个街区中,选择n个向南行驶的街区。例如,a(2)=6,因为有6条直接路由:SSEE、SESE、SEES、EESS、ESES和ESSE。-丹尼斯·P·沃尔什2006年10月27日

逆:q=-log(log(16)/(pi a(n)^2)),天花板((q+log(q))/log(16))=n.-David W.Cantrell(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日

具有适合于nxn框的Ferrers图的分区数(包括0的空分区)。示例:a(2)=6,因为我们有:empty,1,2,11,21和22。-德国金刚砂2007年10月2日

这是二维模拟A008793号. -威廉·恩特里肯2013年8月6日

从原点开始和结束的无限线性格上长度为2n的行走次数。-Stefan Hollos(Stefan(AT)exstrom.com),2007年12月10日

使用步骤(1,0)和(0,1)从(0,0)到(n,n)的格路径数。-乔尔阿恩特2011年7月1日

积分表示:C(2n,n)=1/Pi积分[(2x)^(2n)/sqrt(1-x^2),{x,-1,1}],即C(2n,n)/4^n是区间(-1,1)上弧素分布的2n阶矩。-N-E.法西2008年1月2日

还有加泰罗尼亚的转变A000079号. -R、 J.马萨2008年11月6日

斯特劳布,阿姆德伯汉和莫尔:“。。。推测了指数n只有有限多个,使得Cˉn不能被3、5、7和11中的任何一个整除。最后,我们注意到Erdős et al。推测n>4的中心二项式系数Cˉn永远不是平方自由的,这已经被Granville和Ramare证明了-乔纳森·沃斯·波斯特2008年11月14日

等于反转变换A081696号:(1,1,3,9,29,97,333,…)。-加里·W·亚当森2009年5月15日

另外,在体育运动中,“2n-1系列最佳”的有序方式的数量。例如,a(2)=6意味着有六种有序的方式来进行“最佳3”系列。如果我们写A代表“A队”获胜,B代表“B队”获胜,如果我们按时间顺序从左到右列出所玩游戏,则六种方式分别是AA、ABA、BAA、BB、BAB和ABB。(证明:生成a(n)有序方式:记下所有a(n)方式,指定a队赢得的2n场比赛中的n个。去掉每个相同字母的最大后缀。)-李·A·纽伯格2009年6月2日

n X n个二进制数组的个数,其中行按非递减顺序被视为二进制数,列按非递增顺序被视为二进制数。-R、 哈丁2009年6月27日

汉克尔变换是2^n-保罗·巴里2009年8月5日

当n>=2时,a(n)也是扭曲型BC_n突变类中的颤动数。

帕斯卡三角形的中心项:a(n)=A007318型(2*n,n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日

{b的字长不超过这个字数-乔纳森·尼尔森2012年4月18日

从帕斯卡的三角形中,取第(n)行和第(n+1)行(第1行)和第1行(第1行)的第1、第2行、第2行、第2行(第1行、第2行和第2行)。。。+a(n)*b(n))来得到这个序列中的项。-J、 伯格特先生2012年10月7日。例如,使用第4行和第5行:2*(1*(1)+4*(5)+6*(10)+4*(10)+1*(5)=252,此序列中的第六项。

从帕斯卡的三角形行(n)中取b1,b2,…,b(n+1)和行(n+2)中的项c1,c2,…,c(n+3),求和b1*c2+b2*c3+。。。+b(n+1)*c(n+2)得到A000984号(n+1)。使用第(3)行和第(5)行的示例给出总和1*(5)+3*(10)+3*(10)+1*(5)=70=A000984号(4) 是的。-J、 伯格特先生2012年10月31日

a(n)==2模n^3如果n是素数>3。(见Mestrovic link,第4页。)-加里·德特勒夫斯2013年2月16日

猜想:对于任何正整数n,多项式和{k=0}^na(k)x^k在有理数域上是不可约的。一般来说,对于任何整数m>1和n>0,多项式f{m,n}(x)=和{k=0..n}(m*k)!/(k!)^m*x^k在有理数域上是不可约的。-孙志伟2013年3月23日

此注释概括了2012年10月31日的注释和序列的第二条原始注释。对于j=1到n,a(n)=Sum{k=0..j}C(j,k)*C(2n-j,n-k)=2*Sum{k=0..j-1}C(j-1,k)*C(2n-j,n-k)。-查理·马里恩2013年6月7日

商数列的连续项之间的差异构成一个包含三角形数倒数的序列。换句话说,a(n+1)/a(n)-a(n)/a(n-1)=2/(n*(n+1))。-克里斯蒂安·舒尔茨2013年6月8日

使用n个字母A和n个字母B的长度为2n的不同字符串的数目-汉斯·哈弗曼2014年5月7日

林风2014年5月19日:(开始)

G.f.A(x)=1/(1+q*x*c(x)),其中参数q为正或负(q=-1除外),c(x)为A000108号加泰罗尼亚数字。S.1的情况下的恢复A000108号作为xA^2-A+1=0。当前序列A000984号指q=-2。(1+q)*(n+2)*a(n+2)*(n+2)*a(n+2)+(q(q*q-4*q-4*q-4)*n+2*q*q*q*(2*n+1)*a(n)=0,a(0)=1,a(1)=q。渐近性:a(n)~((q+2)/(q+1)*(q^2/(-q-1)))^n,q<=-3,a(n)的一个(1)的1)^ n*((q+2)/(q+1))(q(q+2)/(q+1))(q(q+2)/(q+1)))q(q(q(q(q(q(q(q(q*(q^2/(q+1))^n,q>=5和a(n)~-Kq*2^(2*n)/sqrt(Pi*n^3),其中乘法常数Kq由K1=1/9(q=1),K2=1/8(q=2),K3=3/25(q=3)给出,K4=1/9(q=4)。这些公式适用于现有序列邮编:A126983(q=1),邮编:A126984(q=2),邮编:A126982(q=3),邮编:A126986(q=4),邮编:A126987(q=5),A127017号(q=6),A127016号(q=7),邮编:A126985(q=8),A127053号(q=9),以及A007854号(q=-3),A076035型(q=-4),A076036号(q=-5),邮编:A127628(q=-6),A126694号(q=-7),A115970号(q=-8)。(结束)

a(n)*(2^n)^(j-2)等于S(n),其中S(n)是自卷积序列中的第n个数,它得出所有整数j的2^j次幂,n>=0。例如,当n=5且j=4时,a(5)=252;252*(2^5)^(4-2)=252*1024=258048。产生16次幂的自卷积序列是{1,8,96,1280,17920,258048,…};即S(5)=258048。注意,当j<2时,卷积序列将由从1到0的数字组成(例外情况是j=1,其中序列中的前两个数字是1,而所有其他的数字都是减少的)。-鲍勃塞尔科2014年7月16日

每一个不相关变量的方差序列的一对方差。-利亚姆·帕特里克·罗什2015年6月4日

树的顶点数可以按2个顶点的数目排序。实际上,有序树的标准分解导致方程C=1+zC^2(C是Catalan函数),这次得到G=1+2zCG,其中G=1/sqrt(1-4z)。-德国金刚砂2015年6月17日

n个变量中最多n次的单项式个数。-冉潘2015年9月26日

设V(n,r)表示半径为r的n维球体的体积,则V(n,2^n)/Pi=V(n-1,2^n)*a(n/2)表示所有偶数n-彼得·卢什尼2015年10月12日

a(n)是长度为n的集{i1,…,以}为单位,使得n>=i1>=i2>=。。。>=输入>=0。例如,a(2)=6,因为只有6个这样的集合:(2,2)(2,1)(2,0)(1,1)(1,0)(0,0)。-安东扎哈罗夫2016年7月4日

拉尔夫·施泰纳2017年4月7日:(开始)

通过对整个复平面的解析延拓,存在发散和的正则化值,例如:

和{k>=0}a(k)/(-2)^k=1/sqrt(3)。

和{k>=0}a(k)/(-1)^k=1/sqrt(5)。

和{k>=0}a(k)/(-1/2)^k=1/3。

和{k>=0}a(k)/(1/2)^k=-1/sqrt(7)i。

{1}平方根=0。

和{k>=0}a(k)/2^k=-i.(结束)

序列数(e(1),…,e(n+1)),0<=e(i)<i,使得e(i)>e(j)不存在三重i<j<k。[马丁内斯和萨维奇,2.18]-埃里克施密特2017年7月17日

序列的o.g.f.等于下列有理函数的对角线:1/(1-(x+y))、1/(1-(x+y*z))、1/(1-(x+x*y+y*z))或1/(1-(x+y+y*z))。-彼得·巴拉2018年1月30日

科林·德凡特2018年9月16日:(开始)

让我们表示韦斯特的堆栈排序图。a(n)是[n+1]的置换数pi,使得s(pi)避免模式132、231和321。a(n)也是[n+1]的置换数pi,使得s(pi)避免模式132、312和321。

a(n)是[n+1]中避免1342、3142、3412和3421的排列数。(结束)

对于n>0,所有长度为4n的二进制自对偶码必须至少包含一个(n)个权值为2n的码字。更确切地说,总会有至少一个(也许是唯一的)长度为4n的二进制自对偶码正好包含一个(n)码,其汉明权重等于码长(2n)的一半。该码可以通过将长度为2的唯一二进制自对偶码(直到置换等价)直接求和成偶数次来构造。一个置换等价码可以由两个长度为2n的单位矩阵加在一起来构造。-内森·J·罗素2018年11月25日

艾萨克藏红开始时间:2018年12月28日

设[b/p]表示勒让德符号,1/b表示b mod p的逆。那么,对于m和n,其中n不能被p整除,

[(m+n)/p]==[n/p]*和{k=0..(p-1)/2}(-m/(4*n))^k*a(k)(mod p)。

对m=-1和n=1的这个恒等式求值表明,对于所有奇数素数p,和{k=0..(p-1)/2}(1/4)^k*a(k)可被p整除。(结束)

(2n-1)维超立方体子图的顶点个数由n-1或n个多个1位串构成。中层猜想断言该图有一个Hamilton圈。-托尔斯滕·穆茨2019年2月11日

a(n)是距离原点2n长度的行走次数,步数(1,1)和(1,-1)停留在x轴上或之上。等价地,a(n)是距离原点2n长度的行走次数,步数(1,0)和(0,1)保持在第一个八分位数。-亚历山大·伯斯坦2019年12月24日

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埃里克·韦斯坦的数学世界,中心二项式系数

埃里克·韦斯坦的数学世界,楼梯走道

埃里克·韦斯坦的数学世界,圆线拾取

“核心”序列的索引项

公式

G、 f.:A(x)=(1-4*x)^(-1/2)=1F0(1/2;4x)。

a(n+1)=2*A001700型(n)=A030662号(n) +1。a(2*n)=A001448号(n) 1*2(不适用)=*A002458号(n) 一。

D-有限递归:n*a(n)+2*(1-2*n)*a(n-1)=0。

a(n)=2^n/n!*乘积{k=0..n-1}(2*k+1)。

a(n)=a(n-1)*(4-2/n)=乘积{k=1..n}(4-2/k)=4*a(n-1)+A002420(n)=A000142号(2*n)/(A000142号(n) ^2)=A001813号(n)/A000142号(n) =平方英尺(A002894号(n) )=A010050型(n)/A001044型(n) =(n+1)*A000108号(n) =-A005408号(n-1)*A002420(n) 是的。-亨利·巴特利2000年11月10日

用斯特林公式A000142号很容易得到渐近表达式a(n)~4^n/sqrt(Pi*n)。-Dan Fux(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com),2001年4月7日

区间[0,4]上正函数n阶矩的积分表示:a(n)=积分{x=0..4}(x^n*((x*(4-x))^(-1/2))/Pi),n=0,1。。。这种表现是独一无二的。-卡罗尔·彭森2001年9月17日

和{n>=1}1/a(n)=(2*Pi*sqrt(3)+9)/27。[Lehmer 1985,公式(15)]-贝诺伊特·克罗伊特2002年5月1日

E、 g.f.:exp(2*x)*I_0(2x),其中I_0是贝塞尔函数。-迈克尔·索莫斯2002年9月8日

E、 g.f.:I_0(2*x)=和a(n)*x^(2*n)/(2*n)!,其中I_0是贝塞尔函数。-迈克尔·索莫斯2002年9月9日

a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2。-贝诺伊特·克罗伊特2003年1月31日

n×n矩阵M(i,j)=二项式(n+i,j)的行列式。-贝诺伊特·克罗伊特2003年8月28日

设m=C(2*n,n),设f为反函数,使f(m)=n。设q表示-log(log(16)/(m^2*Pi)),则f(m)=上限((q+log(q))/log(16))。-David W.Cantrell(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2003年10月30日

a(n)=2*和{k=0..(n-1)}a(k)*a(n-k+1)/(k+1)。-菲利普·德莱厄姆2004年1月1日

a(n+1)=和{j=n..n*2+1}二项式(j,n)。E、 例如,a(4)=C(7,3)+C(6,3)+C(5,3)+C(4,3)+C(3,3)=35+20+10+4+1=70。-乔恩·佩里2004年1月20日

a(n)=(-1)^(n)*和{j=0..(2*n)}(-1)^j*二项式(2*n,j)^2。-Helena Verrill(Verrill(AT)math.lsu.edu),2004年7月12日

a(n)=和{k=0..n}二项式(2n+1,k)*sin((2n-2k+1)*Pi/2)。-保罗·巴里2004年11月2日

a(n-1)=(1/2)*(-1)^n*和{0<=i,j<=n}(-1)^(i+j)*二项式(2n,i+j)。-贝诺伊特·克罗伊特2005年6月18日

a(n)=C(2n,n-1)+C(n)=A001791号(n)+A000108号(n) 是的。-莱克莱·比达西2005年8月2日

G、 f.:c(x)^2/(2*c(x)-c(x)^2),其中c(x)是A000108号. -保罗·巴里2006年2月3日

a(n)=A006480号(n)/A005809号(n) 是的。-泽伦瓦拉乔斯2007年6月28日

a(n)=和{k=0..n}A106566(n,k)*2^k-菲利普·德莱厄姆2007年8月25日

a(n)=和{k>=0}A039599号(n,k)。a(n)=和{k>=0}A050165型(n,k)。a(n)=和{k>=0}A059365号(n,k)*2^k,n>0。a(n+1)=和{k>=0}A009766号(n,k)*2^(n-k+1)。-菲利普·德莱厄姆2004年1月1日

a(n)=4^n*和{k=0..n}C(n,k)(-4)^(-k)*A000108号(n+k)。-保罗·巴里2007年10月18日

三角形行和A135091号. -加里·W·亚当森2007年11月18日

a(n)=和{k=0..n}A039598号(n,k)*A059841号(k) 一。-菲利普·德莱厄姆2008年11月12日

A007814号(不适用)=A000120型(n) 是的。-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年7月20日

保罗·巴里2009年8月5日:(开始)

G、 f.:1/(1-2x-2x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-。。。(连分式);

G、 f.:1/(1-2x/(1-x/(1-x/(1-x/(1-)。。。(续分数)。(结束)

如果n>=3是素数,则a(n)==2(mod 2*n)。-弗拉基米尔·谢韦列夫2010年9月5日

设A(x)为g.f.,B(x)=A(-x),然后B(x)=sqrt(1-4*x*B(x)^2)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2011年1月16日

a(n)=(-4)^n*sqrt(Pi)/(伽马((1/2-n))*伽马(1+n))。-格里·马滕斯2011年5月3日

a(n)=M^n中的左上项,M=无穷平方乘积矩阵:

2,2,0,0,0,0。。。

1,1,1,0,0,0。。。

1,1,1,1,0,0。。。

1,1,1,1,1,0。。。

1,1,1,1,1,1。。。。

-加里·W·亚当森2011年7月14日

a(n)=超几何([-n,-n],[1],1)。-彼得·卢什尼2011年11月1日

E、 g.f.:超几何([1/2],[1],4*x)。-狼牙2012年1月13日

a(n)=2*和{k=0..n-1}a(k)*A000108号(n-k-1)。-Alzhekeyev Ascar M公司2012年3月9日

G、 f.:1+2*x/(U(0)-2*x,其中U(k)=2*(2*k+1)*x+(k+1)-2*(k+1)*(2*k+3)*x/U(k+1);(连分式,欧拉第一类,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月28日

a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*H(k)/(2*H(n)-H(2*n)),n>0,其中H(n)是第n次谐波数。-加里·德特勒夫斯2013年3月19日

G、 f.:Q(0)*(1-4*x),其中Q(k)=1+4*(2*k+1)*x/(1-1/(1+2*(k+1)/Q(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日

G、 f.:G(0)/2,式中G(k)=1+1/(1-2*x*(2*k+1)/(2*x*(2*k+1)+(k+1)/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日

E、 例:E(0)/2,其中E(k)=1+1/(1-2*x/(2*x+(k+1)^2/(2*k+1)/E(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日

雅可比多项式的特殊值,用Maple表示法:a(n)=4^n*JacobiP(n,0,-1/2-n,-1)。-卡罗尔·彭森2013年7月27日

a(n)=2^(4*n)/((2*n+1)*和{k=0..n}(-1)^k*C(2*n+1,n-k)/(2*k+1))。-米尔恰梅尔卡2013年11月12日

a(n)=C(2*n-1,n-1)*C(4*n^2,2)/(3*n*C(2*n+1,3)),n>0。-加里·德特勒夫斯2014年1月2日

和{n>=0}a(n)/n!=A234846号. -理查德·R·福伯格2014年2月10日

0=a(n)*(16*a(n+1)-6*a(n+2))+a(n+1)*(-2*a(n+1)+a(n+2)),适用于Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2014年9月17日

a(n+1)=4*a(n)-2*A000108号(n) 是的。同样a(n)=4^n*乘积{k=1..n}(1-1/(2*k))。-西斯塔尼斯拉夫2014年8月9日

G、 {n*0}和{n*0}-保罗·D·汉娜2014年11月8日

a(n)=(-4)^n*二项式(-1/2,n)。-让·弗朗索瓦·阿尔科弗2015年2月10日

a(n)=4^n*超几何([-n,1/2],[1],1)。-彼得·卢什尼2015年5月19日

a(n)=和{k=0..floor(n/2)}C(n,k)*C(n-k,k)*2^(n-2*k)。-罗伯特·费雷奥2015年8月29日

a(n)~4^n*(2-2/(8*n+2)^2+21/(8*n+2)^4-671/(8*n+2)^6+45081/(8*n+2)^8)/sqrt((4*n+1)*Pi)。-彼得·卢什尼2015年10月14日

A(-x)=1/x*系列反转(x*(2*x+sqrt(1+4*x^2)))。A098616号,满足B(-x)=1/x*级数回复(x*(2*x+sqrt(1-4*x^2))。另请参见甲14377. -彼得·巴拉2015年10月19日

a(n)=GegenbauerC(n,-n,-1)。-彼得·卢什尼2016年5月7日

^1*2伽马(1+2)/n伽马。-安德烈·西克廷2016年5月30日

和{n>=0}(-1)^n/a(n)=4*(5-sqrt(5)*log(phi))/25=0.627836423614398384442267…,其中phi是黄金比率。-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月4日

彼得·巴拉2016年7月22日:(开始)

此序列作为几个二项式和的闭式表达式出现:

a(n)=和{k=0..2*n}(-1)^(n+k)*二项式(2*n,k)*二项式(2*n+1,k)。

a(n)=2*和{k=0..2*n-1}(-1)^(n+k)*二项式(2*n-1,k)*二项式(2*n,k),n>=1。

a(n)=2*和{k=0..n-1}二项式(n-1,k)*二项式(n,k),n>=1。

a(n)=和{k=0..2*n}(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(x+k,n)*二项式(y+k,n)=和{k=0..2*n}(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(x-k,n)*二项式(y-k,n)。

5,4米,。。。和{k=0..m*n}(-1)^k*二项式(m*n,k)*二项式(x+k,n)*二项式(y+k,n)和和和{k=0..m*n}(-1)^k*二项式(m*n,k)*二项式(x-k,n)*二项式(y-k,n)似乎都等于Kronecker的增量(n,0)。

a(n)=(-1)^n*和{k=0..2*n}(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(x+k,n)*二项式(y-k,n),用于任意x和y。

5,4米,。。。和{k=0..m*n}(-1)^k*二项式(m*n,k)*二项式(x+k,n)*二项式(y-k,n)似乎等于Kronecker的增量(n,0)。

a(n)=和{k=0..2n}(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(3*n-k,n)^2=Sum{k=0..2*n}(-1)^k*二项式(2*n,k)*二项式(n+k,n)^2。(古尔德,第7卷,5.23)。

a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n+k)*二项式(2*n,n+k)*二项式(n+k,n)^2。(结束)

拉尔夫·施泰纳2017年4月7日:(开始)

和{k>=0}a(k)/(p/q)^k=sqrt(p/(p-4q)),对于N中的q,Z中的p/{-4q<(某些p)<-2}。

...

和{k>=0}a(k)/(-4)^k=1/sqrt(2)。

和{k>=0}a(k)/(17/4)^k=sqrt(17)。

和{k>=0}a(k)/(18/4)^k=3。

{u5>=0平方公里。

和{k>=0}a(k)/6^k=sqrt(3)。

和{k>=0}a(k)/8^k=sqrt(2)。

...

和{k>=0}a(k)/(p/q)^k=sqrt(p/(p-4q)),p>4q。(结束)

Boas-Buck递归:a(n)=(2/n)*和{k=0..n-1}4^(n-k-1)*a(k),n>=1,a(0)=1。a(n)证明=A046521号(n,0)。在那里看到评论。-狼牙2017年8月10日

a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*二项式(2*n+1,k)-雷内·阿达德2017年9月30日

a(n)=A034870号(n,n)。-弗朗克·马米尼丽娜·拉马哈罗2018年11月26日

例子

G、 f.:1+2*x+6*x^2+20*x^3+70*x^4+252*x^5+924*x^6+。。。

对于n=2,a(2)=4!/(2!)^2=24/4=6,这是二项式展开的中间系数(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4。-迈克尔·波特2016年7月6日

枫木

A000984号:=n->二项式(2*n,n);顺序(A000984号(n) ,n=0..30);

带(combstruct);[seq(count([S,{S=Prod(Set(Z,card=i),Set(Z,card=i))},带标签],size=(2*i)),i=0..20];

使用(combstruct);[seq(count([S,{S=Sequence(Union(Arch,Arch)),Arch=Prod(Epsilon,Sequence(Arch),Z)},未标记],size=i),i=0..25];

Z: =(1-sqrt(1-Z))*4^n/sqrt(1-Z):Zser:=系列(Z,Z=0,32):seq(coeff(Zser,Z,n),n=0..24)#泽伦瓦拉乔斯2007年1月1日

with(combstruct):bin:={B=Union(Z,Prod(B,B))}:seq(count([B,bin,unlabeled],size=n)*n,n=1..25)#泽伦瓦拉乔斯2007年12月5日

数学

表[二项式[2n,n],{n,0,24}](*阿尔特阿隆索,2005年11月10日*)

系数列表[系列[1/Sqrt[1-4x],{x,0,25}],x](*哈维·P·戴尔2011年3月14日*)

黄体脂酮素

(岩浆)a:=func<n |二项式(2*n,n)>;[a(n):n in[0..10]];

(平价)A000984号(n) =二项式(2*n,n)\\比(2n)有效得多!/n!^2。\\M、 哈斯勒2014年2月26日

(PARI)fv(n,p)=my(s);而(n\=p,s+=n);s

a(n)=普罗德勒(p=2,2*n,p^(fv(2*n,p)-2*fv(n,p)))\\查尔斯R格雷特豪斯四世2013年8月21日

(PARI)fv(n,p)=my(s);而(n\=p,s+=n);s

a(n)=my(s=1);对于素数(p=2,2*n,s*=p^(fv(2*n,p)-2*fv(n,p));s\\查尔斯R格雷特豪斯四世2013年8月21日

(哈斯克尔)

a000984 n=a007318世界其他地区(2*n)!!n--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日

(马克西玛)A000984号(n) :=(2*n)!/(n!)^2美元名单(A000984号(n) ,n,0,30)/*埃特尔·马丁2012年10月22日*/

(蟒蛇)

来自未来进口部

A000984号_列表,b=[1],1

对于范围内的n(10**3):

*牛顿+牛顿

    A000984号_列表.附加(b)#柴华武2016年3月4日

(GAP)列表([1..1000],n->二项式(2*n,n))#阿西鲁2018年1月30日

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A002420,A002457号,A030662号,A002144,A135091号,邮编:A152229,A158815号,A081696号,邮编:A205946,A182400号. 不同于A071976年在第十学期。

平分A001405A226302号. 另请参见A025565号,相同的有序分区,但没有全部,它们是两个连续的零:11110(5)、11200(18)、13000(2)、40000(0)和22000(1),总计26和A025565号(4) =26。

囊性纤维变性。A226078号,A051924号(第一个区别)。

行和A059481号,A008459号,邮编:A152229,A158815号,邮编:A205946.

囊性纤维变性。A258A2290型(算术导数)。囊性纤维变性。A098616号,甲14377.

看到了吗A261009号关于这个序列的猜想。

囊性纤维变性。A046521号(第一列)。

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,142A262年,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576. (“仿人”一词的定义并不明确。)

关键字

,容易的,核心,美好的,步行

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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