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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A039598号 用Chebyshev多项式U峎n(x)表示的x的幂展开式的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 66
1、2、1、5、4、1、14、14、6、1、42、48、27、8、1、132、165、110、44、10、1、429、572、429、208、65、12、1、1430、2002、1638、910、350、90、14、1、4862、7072、6188、3808、1700、544、119、16、1、16796、25194、23256、15504、7752、2907、798、152、18、1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

T(n,k)是所有有n+1条边的有序树在k+1水平上的叶数-德国金刚砂2005年1月15日

Riordan阵列((1-2x-sqrt(1-4x))/(2x^2),(1-2x-sqrt(1-4x))/(2x))。逆数组是A053122型. -保罗·巴里2005年3月17日

T(n,k)是n步的行走次数,每个步在n、S、W或E方向上,从原点开始,保持在上半平面上,结束于高度k(参见R、 K.盖伊参考,p。5) 是的。例如:T(3,2)=6,因为我们有ENN、WNN、NEN、NWN、NNE和NNW-德国金刚砂2005年4月15日

三角形T(n,k),0<=k<=n,按T(0,0)=1的行读取,如果k<0或k>n,T(n,0)=2*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)表示k>=1-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

从(0,0)到(2n+1,2k+1)的(2n+1)-步数,由u=(1,1)和d=(1,-1)步组成,其中路径位于非负象限。例如:T(2,0)=5,因为我们有uuudd,uududud,uuddu,ududu,udududu;T(2,1)=4,因为我们有uuud,uuudu,uuduu,uduu;T(2,2)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德莱厄姆,2007年4月16日,2007年4月18日

按行读取的三角形:T(n,k)=从(0,0)到(n,k)的晶格路径数,这些路径不在直线y=0之下,由步骤U=(1,1),D=(1,-1)和两种类型的步骤H=(1,0)组成;例如:T(3,1)=14,因为我们有UDU,UUD,4条HHU路径,4条hu路径和4条UHH路径-菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

这个三角形属于由T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1)定义的三角形族。其他三角形通过为(x,y)选择不同的值来生成:(0,0)->A053121号; (0,1)->A089942号; (0,2)->A126093号; (0,3)->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1)->A064189; (1,2)->A039599号; (1,3)->A110877号; (1,4)->A124576号; (2,0)->A126075号; (2,1)->A038622号; (2,2)->A039598号; (2,3)->邮编:A124733; (2,4)->A124575号; (3,0)->邮编:A126953; (3,1)->邮编:A126954; (3,2)->A111418号; (3,3)->A091965号; (3,4)->A124574号; (4,3)->A126791号; (4,4)->A052179号; (4,5)->A126331号; (5,5)->A125906号. -菲利普·德莱厄姆2007年9月25日

偏移量为[1,1]时,这是(普通)卷积三角形a(n,m),m列的o.g.f.由(c(x)-1)^m给出,其中c(x)是Catalan数的o.g.fA000108号. 查看Riordan评论保罗·巴里.

T(n,k)也是具有k个不动点的保序全变换的个数-阿卜杜拉希·乌马尔2008年10月2日

T(n,k)/2^(2n+1)=阶数n=2n+3的最大平坦低通数字微分器的系数Pavel Holoborodko(Pavel(AT)Holoborodko.com),2008年12月19日

有符号三角形S(n,k):=(-1)^(n-k)*T(n,k)提供了f(n,l):=l(2*l)*5^n*f(2*l)^(2*n+1)(f=斐波纳契数)之间的变换矩阵A000045型,L=卢卡斯数A000032号)F(4*l*(k+1)),k=0,…,n,对于每一个l>=0:F(n,l)=和{k=0..n}S(n,k)*F(4*l*(k+1)),n>=0,l>=0。证明:l.h.s.,g(l;x):=Sum{n>=0}f(n,l)*x^n=f(4*l)/(1-5*f(2*l)^2*x)的o.g.f.与r.h.s.的o.g.f.相匹配:在n-和k-和的交换之后,s=(C(x)/x,C(x))的Riordan属性(与上面的注释比较保罗·巴里),其中C(x):=1-C(-x),o.g.f.C(x)为A000108号(加泰罗尼亚数字),用于在索引移位后获得第一个和{k>=0}F(4*l*(k))*GS(k;x),其中三角形S的k列的o.g.F为GS(k;x):=Sum{n>=k}S(n,k)*x^n=C(x)^(k+1)/x。结果是GF(l;C(x))/x,o.g.f.GF(l,x):=和{k>=0}f(4*l*k)*x^k=x*f(4*l)/(1-l(4*l)*x+x^2)(参见A049670号,和A028412号)。如果使用,则标识L(4*n)-5*F(2*n)^2=2(在Koshy的书[参考A065563号]这是15号,p。88,归因于卢卡斯,1876年),从上面恢复l.h.s.的o.g.f.的证据归结为加泰罗尼亚o.g.f.上的一个微不足道的身份,即1/c^2(-x)=1+2*x-(x*c(-x))^2-狼牙2012年8月27日

O、 对于行多项式R(x):=和{k=0..n}a(n,k)*x^k:

((1+x)-C(z))/(x-(1+x)^2*z),C的o.g.fA000108号(加泰罗尼亚数字)。从Riordan((C(x)-1)/x,C(x)-1)与保罗·巴里以上评论。这与德国金刚砂公式中的-狼牙2012年11月13日

这个Riordan三角形的A序列是[1,2,1],Z序列是[2,1]。参见下面的W.Lang链接A006232有详细资料和参考资料-狼牙2012年11月13日

狼牙2013年9月20日开始

T(n,k)=A053121号(2*n+1,2*k+1)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n+1)次方的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),在单位圆(长度单位1)内接的正则n-边形中偶数索引对角线/边长比R(n,2*(k+1))=S(2*k+1,rho(n))。S(n,x)是切比雪夫多项式(见A049310型):rho(N)^(2*N+1)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*(k+1)),N>=0,在N>=1中相同。有关证明,请参见2013年9月21日的评论A053121号. 注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的阶数(参见A055034号),出现。关于rho(n)的偶数幂,请参见A039599号. (结束)

示例部分中的三对角Toeplitz产生矩阵P对应于简单李代数A_nsignedcartan矩阵,因为n趋于无穷大(参见A053122型). -  汤姆·科普兰,2015年12月11日(2015年12月28日修订)

T(n,k)是从原点开始沿n或E方向各n步的非相交行走对的数目,并且两条路径的端点被水平距离k隔开。见夏皮罗1976-彼得·巴拉2017年4月12日

参考文献

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。系列551964年(和各种重印),p。796

B、 A.Bondarenko,广义帕斯卡三角形和金字塔(俄语),范,塔什干,1990年,ISBN 5-648-00738-8。

链接

G、 C.格雷贝尔,前50行n,a(n)表,展平

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。

何塞·阿加皮托、恩格拉·梅斯特、玛丽亚·M·托雷斯和帕斯奎尔·佩特罗,关于单参数Catalan数组《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.5.1条。

M、 艾格纳,通过选票号码计数《离散数学》,第308页(2008年),2544-2563页。

Quang T.Bach和Jeffrey B.Remmel,避免连续模式集的置换上的下降生成函数,arXiv:1510.04319[math.CO],2015年(见第25页)。

彼得·巴拉,关于对数微分、二项式变换和级数反演的注记

Jean-Luc Baril,JoséL.Ramírez和Lina M.Simbaqueba,倾斜Dyck路径的前缀计数,J.Int.Seq.,第24卷(2021年),第21.8.2条。

保罗·巴里,关于序列的Hurwitz变换《整数序列杂志》,第15卷(2012年),#12.8.7。

保罗·巴里,一类Pascal三角形族的广义Catalan数,J.Int.Seq.,第22卷(2019年),第19.5.8条。

保罗·巴里,加泰罗尼亚半群Riordan数组的一个注记,arXiv:1912.01124[math.CO],2019年。

保罗·巴里,切比雪夫矩与Riordan对合,arXiv:1912.11845[math.CO],2019年。

保罗·巴里,关于连续对Catalan数线性组合的Hankel变换的注记,arXiv:2011.10827[math.CO],2020年。

B、 A.邦达伦科,广义Pascal三角形与金字塔,菲波纳契协会出版的英文译本,圣克拉拉大学,加利福尼亚州,1993年;见第页。29

爱德华多·H·M·布里兹克,安德鲁斯恒等式的推广,斐波那契夸脱。44(2006年),第2期,166-171页。

F、 蔡,Q.—侯海华,孙玉英,杨晓波,递归矩阵2x2子矩阵的组合恒等式,arXiv:1808.05736[math.CO],2018年。见表1.1。

Naiomi T.Cameron和Asamoah Nkwanta,关于Riordan群中的某些(伪)对合《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.3.7条。

陈曦,梁和英,王勇,递归矩阵的全正性,arXiv:1601.05645[math.CO],2016年。

陈曦,梁和英,王勇,递归矩阵的全正性《线性代数及其应用》,第471卷,2015年4月15日,第383-393页。

约翰西格勒,关于Narayana多项式及其相关问题的一些初步观察,arXiv:1611.05252[math.CO],2016年。见第页。7

S、 J.Cyvin,J.Brunvoll,E.Brendsdal,B.N.Cyvin和E.K.Lloyd,多烯烃的计数:一个完整的数学解,化学杂志。信息计算机。《科学》,35(1995)743-751。[带注释的扫描副本]

保罗·德鲁比,广义路径对与Fuss-Catalan三角,arXiv:2007.01892[math.CO],2020年。见图4p。8

施叔甫和王亚玲,关于两个Schröder三角形的双目标递归性,arXiv:1908.03912[math.CO],2019年。

R、 K.盖伊,马道、沙阶和帕斯卡金字塔,J.整数序列,第3卷(2000年),第#00.1.6条。

T、 他和夏皮罗,Fuss-Catalan矩阵及其加权和与Riordan群的稳定子群,林。阿尔格。应用程序。532(2017)25-41,示例第32页。

彼得M.希金斯,保序映射半群的组合结果,数学。程序。坎布。菲尔。Soc。113(1993年),第281-296页。

A、 拉拉吉和奥马尔,保序全变换半群的组合结果,Semigroup Forum 72(2006年),第51-62页。

多纳泰拉·梅里尼和伦佐·斯普鲁格诺利,Riordan数组的几何级数算法《离散数学》340.2(2017):160-174。见(1.1)。

Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero,加泰罗尼亚三角形数的幂和,arXiv:1602.04347[math.NT],2016年(见2.4)。

阿萨莫阿·恩克万塔和R·巴恩斯伯爵,两个Catalan型Riordan阵列及其与第一类Chebyshev多项式的联系《整数序列杂志》,第12.3.3条,2012年-N、 斯隆2012年9月16日

A、 恩克万塔和A.特费拉,涉及加泰罗尼亚生成函数和数字的奇怪关系和恒等式《整数序列杂志》,16(2013年),#13.9.5。

五十、 W.Shapiro,W.-J.Woan和S.Getu,跑步、滑梯和瞬间,暹罗·J·阿尔格。离散方法,4(1983),459-466。

五十、 夏皮罗,加泰罗尼亚三角形《离散数学》,1483-901976年。

五十、 夏皮罗,加泰罗尼亚三角形,离散数学。14(1976年),第1期,83-90页。[带注释的扫描副本]

孙逸东和马飞,一类与加权偏Motzkin路径相关的Riordan数组的子类,arXiv预印本arXiv:1305.2015[math.CO],2013年。

孙逸东和马飞,加泰罗尼亚三角形上的四个变换,arXiv预印本arXiv:1305.2017[math.CO],2013年。

孙逸东和马飞,关于Catalan三角的一些新的二项式和《组合学电子杂志》21(1)(2014),#P1.33。

王昭晨和王奕,加泰罗尼亚三角的完全正性,离散数学。338(2015),第4566-568号。MR3300743。

W、 ——J.沃恩、L.夏皮罗和D.G.罗杰斯,加泰罗尼亚数、Lebesgue积分和4^{n-2},艾默尔。数学。1997年第104-936期月刊。

杨盛良、闫倪东、田晓荷,有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式离散数学340.12(2017):3081-3091。

公式

n行:C(2n,n-k)-C(2n,n-k-2)。

a(n,k)=C(2n+1,n-k)*2*(k+1)/(n+k+2)=A050166号(n,n-k)=a(n-1,k-1)+2*a(n-1,k)+a(n-1,k+1)[如果n<0或n<k,a(0,0)=1和a(n,k)=0]-亨利·巴特利2001年9月24日

菲利普·德莱厄姆2004年2月14日:(开始)

T(n,0)=A000108号(n+1),如果n<k,T(n,k)=0;当k>0时,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) 一。

G、 f.对于k列:Sum{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+2),其中C(x)=和{n>=0}A000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.

和{k>=0}T(m,k)*T(n,k)=A000108号(m+n+1)。(结束)

T(n,k)=A009766号(n+k+1,n-k)=A033184(n+k+2,2k+2)-菲利普·德莱厄姆2004年2月14日

和{j>=0}T(k,j)*A039599号(n-k,j)=A028364号(n,k)-菲利普·德莱厄姆2004年3月4日

反对角和{k=0..n}T(n-k,k)=A000957号(n+3)-杰拉尔德·麦加维2005年6月5日

三角形也可以由M^n*[1,0,0,0…]生成,其中M=无穷大的三对角矩阵,上、次对角线上有1,主对角线中有[2,2,2…]-加里·W·亚当森2006年12月17日

G、 f.:G(t,x)=C^2/(1-txC^2),其中C=(1-sqrt(1-4x))/(2x)是加泰罗尼亚函数。从这里G(-1,x)=C,即交替行和是加泰罗尼亚数字(A000108号). -德国金刚砂2007年1月20日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000957号(n+1),A000108号(n) 你说,A000108号(n+1),A001700型(n) 你说,A049027型(n+1),A076025型(n+1),A076026型(n+1)分别适用于x=-2、-1、0、1、2、3、4(见A067345号). -菲利普·德莱厄姆2007年3月21日,2011年11月4日

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)=4^n-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A035324号(n,k),A035324号偏移量为0(0<=k<=n)-菲利普·德莱厄姆2007年3月30日

T(n,k)=A053121号(2*n+1,2*k+1)-菲利普·德莱厄姆,2007年4月16日,2007年4月18日

T(n,k)=A039599号(n,k)+A039599号(n,k+1)-菲利普·德莱厄姆2007年9月11日

{1..uk+1}和=A029760号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2007年12月16日

和{k=0..n}T(n,k)*A059841号(k)=A000984号(n) 一-菲利普·德莱厄姆2008年11月12日

G、 f.:1/(1-xy-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-2x-x^2/(1-…(续分数))。

和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) 你说,A001700型(n) 你说,A194723号(n+1),A194724号(n+1),A194725号(n+1),A194726号(n+1),A194727号(n+1),A194728号(n+1),A194729号(n+1),A194730号(n+1)分别为x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9-菲利普·德莱厄姆2011年11月3日

彼得·巴拉2014年12月21日:(开始)

这个三角形将Riordan群分解为(C(x),x*C(x))*(1/(1-x),x/(1-x))=A033184*A007318型,其中C(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号.

让U表示下单位三角形数组,主对角线上或下面有1,其他地方有0。对于k=0,1,2,。。。定义U(k)为下单位三角形块阵列

/我知道0\

\0u/具有k×k单位矩阵I賸k作为左上块;特别是U(0)=U,那么这个数组等于双无穷积(…*U(2)*U(1)*U(0))*(U(0)*U(1)*U(2)*…)。(结束)

彼得·巴拉2015年7月21日:(开始)

O、 g.f.g(x,t)=(1/x)*(x/f(x,t)),其中f(x,t)=(1+(1+t)*x)^2/(1+t*x)。

1+x*d/dx(G(x,t))/G(x,t)=1+(2+t)*x+(6+4*t+t^2)*x^2+。。。o.g.f是为了A094527号. (结束)

猜想:和{k=0..n}T(n,k)/(k+1)^2=H(n+1)*A000108号(n) *(2*n+1)/(n+1),其中H(n+1)=和{k=0..n}1/(k+1)-沃纳·舒尔特2015年7月23日

沃纳·舒尔特2015年7月25日:(开始)

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^2=(2*n+1)*二项式(2*n,n)。(A002457号)

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^3=4^n*(3*n+2)/2。

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^4=(2*n+1)^2*二项式(2*n,n)。

和{k=0..n}T(n,k)*(k+1)^5=4^n*(15*n^2+15*n+4)/4。(结束)

o.g.f.g(x,t)是g(x,t+1)是A035324号,但偏移量为0,G(x,t-1)是A033184,同样偏移为0-彼得·巴拉2015年9月20日

例子

三角形T(n,k)开始:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0:1个

1: 2 1个

2: 5 4 1

3: 14 14 6 1

4: 42 48 27 8 1

5: 132 165 110 44 10 1

6: 429 572 429 208 65 12 1

7: 1430 2002 1638 910 350 90 14 1

8: 4862 7072 6188 3808 1700 544 119 16 1

9: 16796 25194 23256 15504 7752 2907 798 152 18 1

10: 58786 90440 87210 62016 33915 14364 4655 1120 189 20 1

... 重新格式化并由扩展狼牙2012年11月13日。

生产矩阵开始:

2,1

1,2,1

0,1,2,1

0,0,1,2,1

0,0,0,1,2,1

0,0,0,0,1,2,1

0,0,0,0,0,1,2,1

0,0,0,0,0,0,1,2,1

-菲利普·德莱厄姆2011年11月7日

狼牙2012年11月13日:(开始)

循环次数:T(5,1)=165=1*42+2*48+1*27。Riordan A序列是[1,2,1]。

Riordan Z序列的递归[2,1]:T(5,0)=132=2*42+1*48。(结束)

狼牙2013年9月20日开始

rho(N)=2*cos(Pi/N)幂的例子:

n=2:rho(n)^5=5*R(n,2)+4*R(n,4)+1*R(n,6)=5*S(1,rho(n))+4*S(3,rho(n))+1*S(5,rho(n)),在n>=1中相同。对于N=5(只有一条明显对角线的五边形),度δ(5)=2,因此R(5,4)和R(5,6)可以分别减少为R(5,1)=1和R(5,6)=-R(5,1)=-1。因此,rho(5)^5=5*R(N,2)+4*1+1*(-1)=3+5*R(N,2)=3+5*rho(5),黄金分割rho(5)。(结束)

枫木

T: =(n,k)->二项式(2*n,n-k)-二项式(2*n,n-k-2)#N、 斯隆2013年8月26日

数学

展平[表[二项式[2n,n-k]-二项式[2n,n-k-2],{n,0,9},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年5月3日*)

黄体脂酮素

塞德尔算法(1877)

#打印三角形的前n行。

定义A039598号_三角形(n):

D=[0]*(n+2);D[1]=1

b=正确;h=1

对于范围内的i(2*n):

如果b:

对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]

h+=1

其他:

对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]

b=不是b

如果b:打印([D[z]代表z in(1..h-1)])

A039598号_三角形(10)#彼得·卢什尼2012年5月1日

(岩浆)/*三角形:*/[[二项式(2*n,n-k)-二项式(2*n,n-k-2):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文琴佐·利班迪2015年7月22日

(PARI)T(n,k)=二项式(2*n,n-k)-二项式(2*n,n-k-2)\\查尔斯R格雷特豪斯四世2016年11月7日

交叉引用

镜像A050166号. 行和为A001700型.

囊性纤维变性。A008313号,A039599号,邮编:A183134,A094527号,A033184,A035324号,A053122型.

上下文顺序:邮编:A171488 邮编:A171651 A104710*邮编:A128738 A193673号 A126181号

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关键字

,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

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