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问候整数序列的在线百科全书!)
A030598 由Chebyshev多项式uxn(x)构成的由X幂展开的三角形的奇数列构成的三角形。有时称为加泰罗尼亚三角形。 六十五
1, 2, 1,5, 4, 1,14, 14, 6,1, 42, 48,27, 8, 1,132, 165, 110,44, 10, 1,429, 572, 429,208, 65, 12,1, 1430, 2002,1638, 910, 350,90, 14, 1,90, 14, 1,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、2

评论

T(n,k)=n=1边的所有有序树中k=1的叶数。-埃米里埃德奇1月15日2005

Riordan阵列((1-2X-SqRT(1-4x))/(2x^ 2),(1-2X-SqRT(1-4x))/(2x)。逆阵是A053122. -保罗·巴里3月17日2005

T(n,k)=n步的行进数,每个方向n、s、w或e,从原点开始,保留在上半平面并结束于高度k(参见小伙子参考文献,第5页)。例子:T(3,2)=6,因为我们有ENN、WNN、NEN、NWN、NNE和NNW。-埃米里埃德奇4月15日2005

三角T(n,k),0<k=n,由t(0,0)=1,t(n,k)=0的行读取,如果k<0或k>n,t(n,0)=2*t(n-1,0)+t(n-1,1),t(n,k)=t(n-1,k-1)+2*t(n-1,k)+t(n-1,k+1),对于k>=1。-菲利普德勒姆3月30日2007

(2n+1)步数从(0,0)到(2n+1,2k+1),由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成,其中路径保持在非负象限中。例子:T(2,0)=5,因为我们有UUUD、UUDU、UUDU、UUUD、UDUU、T(2,1)=4,因为我们有Uuuu、Uuuu、Uuuu、Uuuuu;t(2,2)=1,因为我们有Uuuu。-菲利普德勒姆,4月16日2007,4月18日2007

按行读取的三角形:t(n,k)=(0,0)到(n,k)的不小于行y=0的格路径数,由步骤u=(1,1),d=(1,- 1)和两种类型的步骤h=(1,0)组成;例如:t(3,1)=14,因为我们有UDU、UUD、4 HHU路径、4 HUH路径和4个UHH路径。-菲利普德勒姆9月25日2007

该三角形属于T(0,0)=1,T(n,k)=0的三角形族,如果k<0或k>n,t(n,0)=x*t(n-1,0)+t(n-1,1),t(n,k)=t(n-1,k-1)+y*t(n-1,k)+t(n-1,k+1),对于k>=1。通过选择(x,y):(0,0)->不同的值来出现其它三角形。A053121;(0,1)->A089942(;0,2)->A126096(;0,3)->A126970(1,0)->A061554(1,1)->A064 189(1,2)->A039 599(1,3)->A10897(1,4)->A125676(2,0)->A126075(2,1)->A038 622(2,2)->A030598(2,3)->A127333(2,4)->A1245(3,0)->A126953(3,1)->A126954;(3,2)->A111418;(3,3)->A091965(3,4)->A1245(4,3)->A1267(4,4)->A052179(4,5)->A126331(5,5)->A125906. -菲利普德勒姆9月25日2007

对于偏移[1,1],这是(普通)卷积三角形A(n,m)与(m(x)- 1)^ m给出的列m的O.G.F,其中C(x)是加泰罗尼亚数的O.G.F.A000 0108. 见Riordon评论保罗·巴里.

T(n,k)也是具有完全k个不动点的保序完全变换(n链)的数目。-阿卜杜拉希奥马尔,10月02日2008

t(n,k)/2 ^(2n+1)=n=2n+1的最大平坦低通数字微分器的系数。- Pavel Holoborodko(帕维尔(AT)HeloBoordok.com),12月19日2008

符号三角形S(n,k)=(- 1)^(n- k)*t(n,k)在f(n,l)=L(2×L)* 5 ^ n*f(2*L)^(2×n+1)(f=斐波那契数)之间提供了变换矩阵。A000 00 45,L=卢卡斯数A000 0 32和F(4×L*(k+ 1)),k=0,…,n,对于每个L>=0:f(n,l)=和(S(n,k)*f(4×L*(k+1)),k=0…n),n>=0,L>=0。证明:L.H.S.G(L;x):=和(F(n,L)*x^ n,n=0…ffTy)=f(4×L)/(1 - 5×f(2×L)^ 2×x)与R.H.S.的O.G.F.匹配:在交换N和K求和之后,S=(C(x)/x,C(x))的Riordan性质(与上面的注释比较)保罗·巴里),C(x)=1 -C(-x),具有O.G.F.C(x)A000 0108(Calalon数),用于在索引移位后获得第一个和(F(4×L*(k))*GS(k;x),k=0。用三角形S的列k的O.G. f,它是GS(k,x)=和(s(n,k)*x^ n,n=k.fftI)=c(x)^ ^ k+1 }/x。结果是GF(L;c(x))/x,与O.G.FGF(L,x):=和(f(4×L*K)*x^ k,k=0…fftY)=x*f(4*L)/(1-L(4*L)*x+x^ 2)(见注释)A049670A024412如果一个使用了身份L(4×N)-5 *F(2×N)^ 2=2(在Koshy的书中)A065663这是第15号,第88页,归因于卢卡斯,1876),证明从上面恢复L.H.S的O.G.F的证明归结为Calalon O.G.F.,即1 /C^ 2(-x)=1+2×x(x*C(-x))^ 2的平凡恒等式。-狼人郎8月27日2012

O.G.F.用于行多项式r(x):=和(a(n,k)*x^ k,k=0…n):

((1 +x)-c(z))/(x-(1+x)^ 2×z)与c的O.G.F.A000 0108(加泰罗尼亚数字)。从Riordan((C(x)- 1)/x,C(x)- 1),与A保罗·巴里以上评论。这与O.G.F.给出的埃米里埃德奇在公式部分。-狼人郎11月13日2012

这个Riordan三角的A序列是[1,2 1],Z序列是[2,1]。参见W. Lang链接A000 623细节和参考文献。-狼人郎11月13日2012

狼人郎,9月20日2013:(开始)

t(n,k)=A053121(2×n+1, 2×k+ 1)。T(n,k)出现在代数数Rho(n)=2*Cs(π/n)=R(n,2)的公式中,在单位圆内刻划的n元Gn(长度单位1)中的偶数索引对角线/边长比R(n,2 *(k+1))=S(2×k+1,ρ(n))。S(n,x)是Chebyshev的S多项式(参见A04310):ρ(n)^(2×n+1)=和(t(n,k)*r(n,2 *(k+1)),k=0…n),n>=0,n=1时相同。一个证据见9月21日2013评论A053121. 注意,这是未缩小的版本,如果r(n,j)具有j>delta(n),代数数ρ(n)的度数(参见A055034)出现。关于ρ(n)的偶次幂A039 599. (结束)

示例部分中的三对角Toeplitz生产矩阵P对应于简单李代数An n的无符号CARTN矩阵,因为n趋于无穷大(cf. Damianou ref.A053122-汤姆·科普兰,12月11日2015(12月28日修订2015)

T(n,k)=n个步长的非相交步长的数目,每个方向n或e,从原点开始,使得两个路径的端点由k的水平距离分开,见夏皮罗1976。-彼得巴拉4月12日2017

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第796页。

B. A. Bondarenko,广义Pascal三角形和金字塔(在俄语),FANE,塔什干,1990,ISBN 5-64—0733-8。

链接

G. C. Greubel表n,a(n)为前50行,扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

约瑟夫阿加皮托,恩格拉·梅斯特,Maria M. Torres和Pasquale Petrullo,关于一个参数的加泰罗尼亚阵列《整数序列》杂志,第18卷(2015),第15条5.1条。

M. Aigner通过选票数进行计数,离散数学,308(2008),2544-2563。

Quang T. Bach,Jeffrey B. Remmel,生成避免连续模式集的置换生成函数,ARXIV:1510.04319(数学,Co),2015(见第25页)。

P. Bala关于对数微分、二项式变换和级数回归的注记

Paul Barry关于序列的Hurwitz变换《整数序列》杂志,第15卷(2012),第128页。

B. A. Bondarenko广义Pascal三角形与金字塔英文翻译,由圣克拉拉圣克拉拉斐波那契协会出版,1993,见第29页。

爱德华多·H·布里茨克,安德鲁斯恒等式的推广斐波纳契夸脱。44(2006),2,166—171。

F. Cai,Q - H. Hou,Y. Sun,A.L.B.杨,与递归矩阵2x2子矩阵相关的组合恒等式,阿西夫:1808.05736表1.1。

Naiomi T. Cameron和Asamoah Nkwanta关于Riordon群的一些(伪)对合《整数序列》杂志,第8卷(2005),第05.3.7条。

陈曦,H. Liang,Y. Wang,递归矩阵的总正性,阿西夫:1601.05645(数学,Co),2016。

陈曦,H. Liang,Y. Wang,递归矩阵的总正性线性代数及其应用,第471卷,4月15日2015页,第38~339页。

Johann Cigler关于纳拉亚纳多项式及其相关问题的初步观察,阿西夫:1611.05252(数学,Co),2016。见第7页。

S. J. Cyvin,J. Brunvoll,E. Brendsdal,B. N. Cyvin和E. K. Lloyd,多烯烃类的枚举:一个完整的数学解J.C.计算机。SCI,35(1995)73-751。[注释扫描的副本]

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易东隼和Fei Ma一类与加权偏Motzkin Paths相关的Riordon阵列的未成年人,ARXIV预告ARXIV:1305.2015 [数学,CO],2013。

易东隼和Fei Ma加泰罗尼亚三角上的四次变换,ARXIV预告ARXIV:1305.2017 [数学,CO],2013。

易东隼和Fei Ma与加泰罗尼亚三角形有关的新二项和《组合数学电子杂志》21(1)(2014),(P1.33)

查尔斯赵成旺,王毅,加泰罗尼亚三角形的总正性离散数学。338(2015)、4, 566、568。MR3300

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盛亮洋,闫妮东和田晓赫,着色MoxKin路径上的矩阵恒等式,离散数学340.12(2017):30813091。

公式

行N:C(2N,N-K)-C(2N,N-K-2)。

A(n,k)=C(2n+ 1,n- k)* 2 *(k+ 1)/(n+k+2)=A050166(n,n- k)=a(n-1,k-1)+2*a(n-1,k)+a(n-1,k+ 1)[具有a(0, 0)=1,a(n,k)=0,如果n<0或n-亨利·伯顿利9月24日2001

t(n,0)=A000 0108(n+1),t(n,k)=0,如果n<k;对于k>0,t(n,k)=SuMu{{j=1…n} t(nj,k-1)*A000 0108(J)。G.F.对于列k:SuMu{{N>=0 } t(n,k)*x^ n=x^ k*c(x)^(2×k+ 2),其中c(x)=SuMu{{n>=0 }。A000 0108(n)*x^ n是加泰罗尼亚数的G.F.A000 0108. SuMu{{K>=0 } t(m,k)*t(n,k)=A000 0108(m+n+1)。-菲利普德勒姆2月14日2004

t(n,k)=A000 97 66(n+k+ 1,n- k)=A033 184(n+k+ 2,2k+ 2)。-菲利普德勒姆2月14日2004

SUMU{{J>=0 } T(k,j)*A039 599(N-K,J)=A026364(n,k)。-菲利普德勒姆04三月2004

反对角线SUMU{{K=0…n} t(nk,k)=A000 0957(n+3)。-杰拉尔德麦加维,军05 2005

三角形也可以由M^ n*[1,0,0,0…]生成,其中M=1和3的对角线矩阵,在主对角线中为超级和次对角线,[2,2,2……]。-加里·W·亚当森12月17日2006

G.f.:G(t,x)=c^ 2/(1-txc^ 2),其中c=[1SqRT(1-4x)] /(2x)是Calalon函数。从这里G(- 1,x)=C,即交替行和是加泰罗尼亚数。A000 0108-埃米里埃德奇1月20日2007

SuMu{{,0 <=k<=n}t(n,k)*x^ k=A000 0957(n+1),A000 0108(n)A000 0108(n+1),A000 1700(n)A049027(n+1),A076025(n+1),A076026(n+1)分别为x=2,-1,0,1,2,3,4(参见A06345-菲利普德勒姆,3月21日2007,11月04日2011

SuMu{{,0 <=k<=n} t(n,k)*(k+ 1)=4 ^ n-菲利普德勒姆3月30日2007

SUMU{{j,j>=0 } t(n,j)*二项式(j,k)=A035324(n,k),A035324偏移0(0<k<=n)。-菲利普德勒姆3月30日2007

t(n,k)=A053121(2×n+1,2*k+ 1)。-菲利普德勒姆,4月16日2007,4月18日2007

t(n,k)=A039 599(n,k)+A039 599(n,k+ 1)。-菲利普德勒姆9月11日2007

SUMU{{K,0 <=k<=n+ 1 } t(n+1,k)*k^ 2=1A029 760(n)。-菲利普德勒姆12月16日2007

SuMu{{,0 <=k<=n} t(n,k)*A059841(k)=A000 0984A(n)。-菲利普德勒姆11月12日2008

G.f.:1/(1-XY-2X-X^ 2 /(1-2X-X^ 2//(1-2X-X^ 2//(1-2X-X^ 2//(1-2X-X^ 2//(1)-…(连分数)。

SuMu{{,0 <=k<=n}t(n,k)*x^(n- k)=A000 0 12(n)A000 1700(n)A194723(n+1),A194724(n+1),A194725(n+1),A194726(n+1),A194727(n+1),A194728(n+1),A194729(n+1),194730(n+1)分别为x= 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。-菲利普德勒姆03月11日2011

彼得巴拉,12月21日2014:(开始)

这个三角形在Riordan群中分解为(C(x),x*c(x))*(1 /(1 -x),x/(1 -x))=A033 184*A000 7318其中,C(x)=(1 -qRT(1 - 4×x))/(2×x)是加泰罗尼亚数的O.G.F.A000 0108.

让U表示较低的单位三角形阵列,在主对角线上或在其他对角线的1以下。对于k= 0,1,2,…定义U(k)为下单元三角形块阵列

/IIK 0

\ 0 U /具有k×k恒等式IIK作为左上块;特别是U(0)=U,则该数组等于双无穷乘积(…*u(2)*u(1)*u(0))*(u(0)*u(1)*u(2)*…)。(结束)

彼得巴拉,7月21日2015:(开始)

O.g.f. G(x,t)=1(x/f)(x,t),其中f(x,t)=(1+(1+t)*x)^ 2 /(1+t*x)。

1 +x*d/dx(g(x,t))/g(x,t)=1+(2+t)*x+(6+4×t+t^ 2)*x^ 2+…是O.G.F吗?A0942527. (结束)

猜想:SUMU{{K=0…n} t(n,k)/(k+ 1)^ 2=h(n+1)*A000 0108(n)*(2×n+ 1)/(n+1),其中H(n+1)=SUMU{{K=0…n} 1 /(k+1)。-沃纳舒尔特7月23日2015

沃纳舒尔特,7月25日2015:(开始)

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*(k+ 1)^ 2=(2×n+1)*二项式(2*n,n)。A000 2457

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*(k+ 1)^ 3=4 ^ n*(3×n+2)/2。

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*(k+ 1)^ 4=(2×n+1)^ 2*二项式(2×n,n)。

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*(k+ 1)^ 5=4 ^ n*(15×n ^ 2+15×n+4)/4。(结束)

o.g.f. G(x,t)是G(x,t+1)是O.G.F.A035324,但偏移量为0,G(x,t-1)为O.G.F.A033 184,再次偏移0。-彼得巴拉9月20日2015

例子

三角形T(n,k)开始:

NK 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 10

0:1

1:2、1

2:5、4、1

3:14 14 6 6

4:42 48、27、1、1

5:132、165、110、44、10、1

6:429、572、429、208、65、12、1

7:1430、2002、1638、910、350、90、14 1

8:4862、7072、6188、3808、1700、544、119 16 1

9:16796、25194、23256、15504、7752、2907、798、152 18 1

10:58786、90440、87210、62016、33915、14364、4655、1120 189 20 20

通过重新格式化和扩展狼人郎,11月13日2012。

生产矩阵开始:

2, 1

1, 2, 1

0, 1, 2,1

0, 0, 1,2, 1

0, 0, 0,1, 2, 1

0, 0, 0、0, 1, 2、1

0, 0, 0、0, 0, 1、2, 1

0, 0, 0、0, 0, 0、1, 2, 1

-菲利普德勒姆07月11日2011

狼人郎,11月13日2012:(开始)

复发:T(5,1)=165=1×42+2*48+1*27。Riorda- A序列是[1,2 1]。

Riordang-Z-序列[2,1]:T(5,0)=132=2×42+1×48。(结束)

狼人郎,9月20日2013:(开始)

Rho(n)=2×CoS(π/N)功率的例子:

n=2:ρ(n)^ 5=5*r(n,2)+4 *r(n,4)+1 *r(n,6)=5 *s(1,ρ(n))+ 4 * s(3,ρ(n))+ρs(α,ρ(n)),在n>=γ中是相同的。对于n=5(仅具有一个不同对角线的五角大楼),δ(5)=2,因此R(5, 4)和R(5, 6)可以减小,即R(5, 1)=1和R(5, 6)=-R(5,1)=-1。因此Rho(5)^ 5=5 *R(n,2)+4×1+1 *(-1)=3+5*r(n,2)=3+ρ*ρ(ρ),具有黄金分割ρ(ρ)。(结束)

枫树

t=:(n,k)->二项式(2×n,nk)-二项式(2×n,n-k-2);斯隆8月26日2013

Mathematica

平坦[表[2Tn[2n,nk] -二项式[2n,nk2],{n,0, 9 },{k,0,n}] ]让弗兰,五月03日2011 *)

黄体脂酮素

L.SEIDEL(SAGE)算法(1877)

打印出三角形的第一行。

DEFA030598三角(n):

D=〔0〕*(n+2);d〔1〕=1

B=真;H=1

对于i在范围(2 *N):

如果B:

对于k的值域(h,0,-1):d[k]+=d[k-1 ]

H+=1

其他:

对于k的范围(1,h,1):d[k]+=d[k+2]

B=非B

如果B:打印[D[Z]为Z(1…H-1)]

A030598三角(10)α彼得卢斯尼01五月2012

(岩浆)/*为三角形:*/[[二项式(2×N,N-K)-二项式(2×N,n- k-2):k在[0…n] ]:n在[0…15)];文森佐·利布兰迪7月22日2015

(PARI)t(n,k)=二项式(2×n,nk)-二项式(2×n,n-k-2)查尔斯07月11日2016

交叉裁判

镜像A050166. 行和是A000 1700.

囊性纤维变性。A000 8313A039 599A183134A0942527A033 184A035324A053122.

语境中的顺序:A171488 A171651 A1047*A12838 A3636 A126181

相邻序列:A039 595 A039 596 A039 597*A039 599 A09600 A030601

关键词

诺恩塔布容易

作者

斯隆

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在一个条目中键入菲利普德勒姆12月16日2007

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