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A000 1700 A(n)=二项式(2n+1,n+1):将n+1个不可区分的球放入n+1可区分的方块的方法数=(n+1)- n+1变量中的ST级单项式的数目=从1…n+1到1…n+1的单调映射的数目。
(前M28 48 N1144)
三百零四
1, 3, 10、35, 126, 462、1716, 6435, 24310、92378, 352716, 1352078、5200300, 20058300, 77558760、300540195, 1166803110, 4537567650、17672631900, 68923264410, 269128937220、1052049481860, 4116715363800, 16123801841550、63205303218876, 247959266474052 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、2

评论

为了举例说明,C(2n+1,n+1)是从1…n+1到1…n+1的单调映射的数目,注意我们可以用长度为n+1的非递减序列来描述这样的映射,其中从1到n+1的条目。这个序列中的增加数k是从0到n的任何地方。我们可以通过将k个球扔到n+ 1个盒子中来指定这些增加,所以总数是SUMU{{=0…n} C((n+1)+k- 1,k)=c(2n+1,n+1)。

N+ 1的有序分区(或组成)的数目为n+1部分。例如,A(2)=10∶003、030、300、012、021、102、120 210 210 201 111。- Mambetov Bektur(BEKTUR1987(AT)邮件,RU),4月17日2003

方格上的长度n的行进数,从原点开始,停留在第一象限和第二象限中。-戴维·W·威尔逊,五月05日2001。(例如,对于n=2,有10个步法,都从0, 0开始:0, 1~0, 0;0, 1~1, 1;0, 1 ->0, 2;1, 0 ->0, 0;1, 0>1, 0;α->;α->-,-α;-α->;;-α-> -;-->-α。

此外,总的数量在所有有序的树木与N + 1边。

数字平衡数的数目[A031443从2 ^(2n+1)到2 ^(2n+2)。-诺莫诺,APR 07 2001

也有2n+2个边的有序树的数目,其根具有偶数的根和非根节点的0度或2度。-埃米里埃德奇,八月02日2002

长度为2×D(G)的路径数在最佳弦弦图4,G(2×D(G)^ 2 +2×D(G)+1,2D(G)+1)中连接两个相邻的节点,其中D(G)=图G的直径- S. Bujnowski(SRABB(AT)ATR,比得哥什,PL),2月11日2002。

用M(1,j)=1,m(i,1)=i,m(i,j)=m(i,j-1)+m(i-1,j)定义一个数组;然后A(n)=m(n,n)。-班诺特回旋曲07五月2002

此外,当分母为2 ^(2n-1)时,Cs^ 2n(x)或正弦^ 2n(x)展开中的常数项的分子。-Robert G. Wilson五世

考虑Cs^ n(x)作为多角度余弦的线性组合的展开。如果n是奇数,那么扩展是A*COS((2K-1)*x)/2 ^(n-1)的组合,对于所有2k—1=n。如果n是偶数,则扩展是A*CoS(2K*x)/2 ^(n-1)项加常数的组合。常数项[a(n)/2 ^(2n-1)]是由于[COS^ 2n(x)]不是负的,即,电气工程师会说[COS^ 2n(x)]的平均值或“直流值”是[a(n)/ 2 ^(2n-1)]。另一方面,[COS^(2n-1)(x)]的直流值是零,因为它是关于水平轴对称的,即它是负的和正的相等的。“Nahin〔62〕Robert G. Wilson五世,八月01日2002

此外,在长度为2n+2k的所有Dyk字中都出现了长度为2K的固定Dyk字的次数。例如:如果固定Dyk字是XYXY(k=2),则它在长度为6(n=1)的5个Dyk字中出现(1)=3次:(XY[XY)XY]、XYXYY、XYYYXY、X(XYXY)Y、XXYYY(放置在括号之间)。-埃米里埃德奇,02月1日2003

A(n+1)是n×n矩阵M(i,j)=二项式(2n-Ⅰ,j)的行列式。-班诺特回旋曲8月26日2003

A(n-1)=(2n)!/(2×N!*n!高斯(Davenport)用于特殊情况素数p=4×n+ 1:x= a(n-1)mod p和y= x*(2n)的公式!模p是p=x ^ 2+y ^ 2的解。-弗兰克埃勒曼. 示例:对于素数29=4×7+1,使用A(7-1)=1716=(2×7)!/(2×7!* 7!,5=1716 mod 29和2=5 *(2×7)!mod 29,然后29=5×5+2×2。

A(n)=SuMu{{K=0…n+1 }二项式(2n+1,2,k)*CoS((n+k+1)*皮)。-保罗·巴里02月11日2004

2n的组成的数目,如Cy1+Cy2+…+ Cyk=2n,满足所有j=1…k的SuMuz(i=1…j)Ci i<2j,或等价地,具有至少n个元素的[2n-1 ]={ 1, 2,…,2n-1 }的子集的数目,例如,s,如果2k在S中,则至少有k个元素在S小于2k。例如,A(2)=3,因为我们可以写4=1+1+1+1=1+1+1+1++ +^。-瑞奇X.F.Chen(Rikyjhen(AT)邮件,南开。爱德华,CN),7月30日2006。

A(n)=A1223 66(n,n)。-莱因哈德祖姆勒8月30日2006

在无限的线性晶格上的长度2n+2的行进数,其起始于节点的起点和终点(1)。此外,方格的路径数从起点到(n+1,n),使用步骤(1,0)和(0,1)。长度为2n+2的二进制数的数目为n+1,n为零。- Stefan Hollos(斯特凡(AT)EXSTROM .com),12月10日2007

如果y是2n集合x的3子集,则对于n>=3,A(n-1)是具有至少两个与Y.共同的元素的x的N子集的数目。米兰扬吉克12月16日2007

此外,当空水平允许时,N个未标记元素的排名(优先安排)到N个级别上。-托马斯维德5月24日2008

加泰罗尼亚变换A000 0225移位的一个索引,即丢弃A000 0225(0)。-马塔尔11月11日2008

带偏移量1。非负整数到X1+X2+的解的个数+xn=n(x1+x2+)的扩展项数n(1 +x+x^ 2+…)的展开中的x^ n系数n取[n]到[n]的所有函数的不同图像集的数目。-杰弗里·克里茨2月22日2009

充气序列的Hankel变换1, 0, 3,0, 10, 0,…是1, 3, 3,5, 5, 7,7,…A109613(n+1)。-保罗·巴里4月21日2009

此外,N个网络的不同网络拓扑的数量与网络中的其他对象具有1到N 1个单向连接。- Anthony Bachler,五月05日2010

等于从偏移1开始的加泰罗尼亚数的逆变换。例如:A(3)=35=(1, 2, 5)点(10, 3, 1)+14=21+14=35。-加里·W·亚当森5月15日2009

A(n)=2A000 0984A(n)A000 0108(n),即A(n)=2*C(2n,n)-n的加泰罗尼亚数。-阿贝特6月11日2010

1 /(1+x ^ 2)^(n+1)的积分由A(n)/2 ^(2n-1)*(x/(1 +x^ 2)^ n*p(x)+ARCTAN(x))给出,其中p(x)是具有有理系数的2n-2阶的一次多项式。-克里斯蒂安范德伍德斯涅1月25日2011

A(n)是半长度n的施罗德路径数,其中0级的(2,0)步有2种颜色,在较高的水平上没有(2,0)步。例如:A(2)=10,因为表示u=(1,1),h=(1,0),D=(1,-1),我们有2个2=4个形状的HH路径,2个形状的HUD路径,2个形状的UDH路径和1个UDUD和UUDD形状的路径。-埃米里埃德奇02五月2011

A(n)是长度为n的MysZKIN路径的数目,其中0级的(1,0)-步长有3种颜色,而在更高的级别上有2种颜色。例如:A(3)=35,因为表示u=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1),我们有3 ^ 3=27形状的HHH路径,3个形状的HUD路径,3个形状的UDH路径,和2个形状的UHD路径。-埃米里埃德奇02五月2011

在二进制表示中长度为2*(n+1)的数字平衡数的数目:a(n)={{m:A070939A031443(m)=2*(n+1)}。-莱因哈德祖姆勒,军08 2011

A(n)等于2^(2n+1)2倍的π系数(2f1(1/2,n+2, 3/2,-1))。-约翰·M·坎贝尔7月17日2011

对于正n,A(n)等于4 ^(n+2)倍积分{{x=0…π/2 } x正弦^(2n+2)x中的π^ 2系数。约翰·M·坎贝尔7月19日2011

A(N-1)=C(2n,n)/ 2是将2n人分配到2个(未标记)的大小n的组的数目。丹尼斯·P·沃尔什09月11日2011

等于三角形的行和A205945. -加里·W·亚当森,01月2日2012

A(n-1)给出了与简单图的度序列有关的由Erd* s和GalaI所定义的n正则序列的数目。-马图斯卡塔姆斯06三月2013

A(n)是注释中方格的下降对角线的和。A085 812(相当于Aug 2002的CulITRE公式)。-约翰莫洛卡赫9月26日2013

n>0:定义的Z字形矩阵的最大项A088961. -莱因哈德祖姆勒10月25日2013

另外,在“最佳2N + 1”双人游戏中,不同的赢球/损失回合序列的数量(从最终赢家的角度来看)。例如,A(2)=10意味着在“最好的5”游戏中有10种不同的赢/失序列(如网球比赛,其中第一个玩家赢得3个集合,最多5个,赢得比赛);10个序列是WWW、WWLW、WWLW、WLWW、WLWLW、WLWW、LWWW、LWWLW、LWLWW、LLWWW。也见A072600. -菲利普贝多因5月14日2014;更正乔恩·E·舍恩菲尔德11月23日2014

当序列开始时加上1时,卷积一个(n)/2 ^ n,其本身等于2 ^(n+1)。例如,当n=4时,卷积{ 1, 1/1, 3/2, 10/4, 35/8, 126/16 }本身为32=2 ^ 5。-鲍勃塞尔科7月16日2014

汤姆·科普兰,11月09日2014:(开始)

移位数组属于与加泰罗尼亚相关联的一系列数组。A000 0108(t=1),Riordan,或Motzkin和A000 5043(t=0),O.G.F.〔1-平方RT(1-4x/(1 +(1-T)x)〕/ 2和逆x(1-x)/[ 1 +(t-1)x(1—x)]。A091867有关这个家庭的更多信息。这里是T=3(结果中的MOD符号)。

设C(x)=〔1 -SqRT(1-4x)〕/ 2,为加泰罗尼亚数的O.G.F.A000 0108与逆Cinv(x)=x*(1-x)和p(x,t)=x/(1+t*x)具有逆p(x,-t)。

O.g.f:G(x)=[-1 +SqRT(1+4×x/(1-4x)] ] /2=-c[p(-x,4)]。

逆O.G.F: Ginv(x)=x*(1 +x)/[ 1 +4x*(1 +x)]=-p(Cinv(-x),-4)(移位符号)A000 1792A08218=1±g(x)。

等于A00 18132省略领先1。(结束)

对于n>1:A(n-1)=A16645(2*n,n)中的中心项A16645. -莱因哈德祖姆勒04三月2015

将N个可区分的球放入N个难以区分的盒子中A000 0110(n)(设置分区的数目)。-斯隆6月19日2015

序列是逆变换。A049027(1, 4, 17,74, 326,…)。-加里·W·亚当森6月23日2015

A(n)是2×n+2的组成的数目,使得奇数位置的元素之和等于偶数位置上的元素之和。A(2)=10,因为有6个这样的组成:(3, 3)、(1, 3, 2)、(2, 3, 1)、(1, 1, 2、2)、(1, 2, 2、1)、(2, 2, 1、2, 2, 1)、((α)、()、、、、、、。-潘然,10月08日2015

A(N-1)也是在XY1=Xy2=…中计算的N的分区(n)的Schur函数。=xyn=1,即形状(n)的半标准年轻表数(带N个数的弱增长行,从{ 1, 2,…,n})。-狼人郎10月11日2015

同样数量的有序(根平面)森林,总共有N + 1边和没有平凡的树。-纳奇姆德肖斯茨3月30日2016

A(n)是长度n的集合(i1,…in)的数目,使得n>=i1>=i2>=…>=in >=1。例如,n=3,因为只有10个这样的集合(3,3,3)(3,3,2)(3,3,1)(3,2,2)(3,2,1)(3,2,1)(2,2,2)(2,2,1)(2,1,1)(1,1,1,3,2,1)分别使用10次。-安东扎卡洛夫,朱尔04 2016

在Pascal三角形的奇数行中重复中间项,或在Pascal三角形的偶数行中的中心二项式系数的一半,n>=2。-恩里克纳瓦雷特2月12日2018

推荐信

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John Riordan9月26日1980号N.J.A.斯隆的一封信,附有1973个整数序列手册的注释. 注意,序列是用它们的N个数字来识别的,而不是它们的A数。

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路易斯夏皮罗等人,有序树叶:10753阿梅尔。数学月刊,第108卷,第9期(第11期,第2001期),第83-74页

Eric Weisstein的数学世界,二项式系数

Eric Weisstein的数学世界,奇数图

“核心”序列的索引条目

公式

A(n-1)=二项式(2×n,n)/ 2=(2×n)!/(2×N!*n!.

a(0)=1,a(n)=2*(2×n+1)*a(n-1)/(n+1)n> 0。

G.f.:(1/平方RT(1-4*x)- 1)/(2×x)。

L.G.F.log((1-Sqt(1-4*x))/(2×x))= SUMY{{N> 0 } A(n)/n*x^ n。弗拉迪米尔克鲁钦宁8月10日2010

G.f.:2F1(1,3/2;2;4×x)。-保罗·巴里1月23日2009

G.f.:1/(1-2X-x/(1-x/(1-x/)(1-x/)(1)…(连分数)。-保罗·巴里06五月2009

G.f.:C(x)^ 2 /(1-x*C(x)^ 2),C(x)的G.F.A000 0108. -保罗·巴里,SEP 07 2009

O.g.f.:C(x)/SqRT(1-4*x)=(2 -C(x))/(1-4*x),具有C(x)的O.G.F.A000 0108. 增加了第二个公式。-狼人郎,SEP 02 2012

卷积A000 0108(加泰罗尼亚)和A000 0984A(中心二项式):SuMu{{K=0…n} C(k)*二项式(2*(N-K),N-K),C(K)Calala.-狼人郎12月11日1999

A(n)=SuMu{{K=0…n} C(n+k,k)。-班诺特回旋曲8月20日2002

A(n)=SuMu{{K=0…n} C(n,k)*c(n+1,k+1)。-班诺特回旋曲10月19日2002

A(n)=4 ^ n*二项(n+1/2,n)/(n+1)。-保罗·巴里5月10日2005

E.g.f.:SUMU{{N>=0 } A(n)*x^(2×n+1)/(2×n+1)!=贝塞利(1, 2×x)。-米迦勒索摩斯6月22日2005

Maple符号中的E.g.f.:EXP(2×x)*(BeSeli(0, 2×x)+BeSeli(1, 2×x))。积分函数表示为(0, 4):(n)=int(x^ n*((/(4-x))^(1/2)),x=0…4)/(2×pi),n=0,1…这种表示是唯一的。-卡罗尔·彭森10月11日2001

Nalayaa-变换[ 1, 2, 3,…]。设M=纳拉亚纳三角形A000 1263作为一个无限的下三角矩阵,V=向量〔1, 2, 3,…〕。然后A000 1700= M*V.加里·W·亚当森4月25日2006

A(n)=C(2×n,n)+c(2×n,n-1)=A000 0984A(n)+A000 1791(n)。-零度拉霍斯1月23日2007

a(n-1)=(n+1)*(n+1)**(2×n-1)/(n-1)!(n-1个连续整数的乘积,除以(n-1)!)-乔纳森沃斯邮报,APR 09 2007;乔凡尼奇里亚尼3月26日2019

A(n-1)=(2×n-1)!(n)!*(N-1)!-威廉·A·特德斯奇2月27日2008

a(n)=(2×n+1)*A000 0108(n)。-保罗·巴里8月21日2007

二项式变换A000 593起始(1, 2, 5,13, 35, 96,…)和双二项变换A000 1405. -加里·W·亚当森,SEP 01 2007

三角形的行和A13813. -加里·W·亚当森,SEP 01 2007

三角形的行和A134255. -加里·W·亚当森11月19日2007

Conjectured:4 ^ n GaussHypergeometric(1/2,-n;2;1)-在第一和第二象限中的路径的解。-本杰明·菲拉巴姆2月20日2011

A(n)=和(0 <=k<=n);A038(n,k)*(- 1)^ k*A000 0108(k))。-菲利普德勒姆11月27日2009

设A为Toeplitz定义的n阶矩阵:A[I,I-1 ]=1,A〔I,J〕=Calaln(J-I),(i<J),A〔I,J〕=0,否则。然后,对于n>=1,A(n)=(- 1)^ n*ChanPy(a,- 2)。-米兰扬吉克,朱尔08 2010

A(n)是M^(n+1)的左上项,其中m是无限矩阵,其中(1,2,3,…)的列被加到所有1个和其余零点的无限下三角矩阵中,如下:

1, 1, 0,0, 0,…

2, 1, 1,0, 0,…

3, 1, 1,1, 0,…

4, 1, 1,1, 1,…

或者,A(n)是m ^ n的左上项,其中m是无限矩阵:

3, 1, 0,0, 0,…

1, 1, 1,0, 0,…

1, 1, 1,1, 0,…

1, 1, 1,1, 1,…

-加里·W·亚当森7月14日2011

A(n)=(n+1)*超几何([-n,-n],[2),1)。-彼得卢斯尼10月24日2011

A(n)= PoCH锤(n+1,n+1)/(n+1)!-彼得卢斯尼07月11日2011

E.g.f.:1+6×x/(u(0)- 6×x);u(k)=k^ 2+(4×x+3)*k+6×x+2-2*x*(k+1)*(k+2)*(2*k+5)/u(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克11月18日2011

A(n)=2A000 0984A(n)A000 0108(n)。[阿巴特和Whitt ]

A(n)=2 ^(2×n+1)*二项式(n+1/2,-1/2)。-彼得卢斯尼06五月2014

a(n)=2×4 ^ n*伽玛(3/2+n)/(qRT(pi)*Gamma(2+n))。-彼得卢斯尼12月14日2015

a(n)~2×4 ^ n*(1 -(5/8)/n+(73/128)/n^ 2 -(575/1024)/n^ 3+(18459/32768)/n^ 4)/qRT(n*pi)。-彼得卢斯尼12月16日2015

a(n)=(-1)^(n)*b(n,n+1,-n-1)/n!其中B(n,a,x)是广义伯努利多项式。-弗拉迪米尔克鲁钦宁,APR 06 2016

A(n)=伽玛(2+2×n)/(n)!*伽玛(2 +N)。安德烈斯西丁,APR 06 2016

A(n)=(n+(n+1))!/(γ(n)*γ(1+n)*A000(n),n>0。安德烈斯西丁,APR 07 2016

伊利亚古图科夫基,JUL 04 2016:(开始)

SUMU{{N>=0 } 1 /A(n)=2*(9+2×平方Rt(3)*皮)/27=27A248179.

SUMU{{N>=0 }(-1)^ n/a(n)=2*(5+4×qRT(5)*ARCHINH(1/2))/25=2 *(5 *)A1454- 1)。

SUMU{{N>=0 }(-1)^ n*A(n)/n!= BesselI(2,2)*EXP(- 2)=A229020*A092553. (结束)

例子

有(2)=10种方法将3个不可区分的球放入3个可区分的框中,即,(OOO)()()、()(OOO)()、()(OO)、(OO)(o)()(OO)(o)、(o)(OO)()、((o))(o)、(o)((o))、()(o)(o)、和(o)(o)(o)。-丹尼斯·P·沃尔什4月11日2012

A(2)=10:3(不确定的Xi i,i=1, 2, 3)的分区(3)的半istound年表被省略,仅给出它们的索引:111, 112, 113,122, 123, 133,222, 223, 233,333。-狼人郎10月11日2015

枫树

A000 1700= n->二项式(2×n+1,n+1);A000 1700(n),n=0。20);

Mathematica

表[二项式[2n+1,n+1 ],{n,0, 23 }]

系数列表[S](2(/(Sqt〔1 - 4×1+1〕*SqRT〔1-4×〕),{x,0, 22 },x](*)Robert G. Wilson五世,八月08日2011日)

黄体脂酮素

(SAGE)〔n=1,n+1〕/阶乘(n+1)n(0,22)〕彼得卢斯尼07月11日2011

(PARI)A(n)=二项式(2×n+1,n+1)

(哈斯克尔)

A000 1700 n=A00 7318(2×N+1)(n+1)莱因哈德祖姆勒10月25日2013

(岩浆)[二项(2×N,N)/ 2:n〔1〕40〕;文森佐·利布兰迪11月10日2014

(PARI)z=Z+O(‘Z^ 50);Vec((1/平方RT(1-4*Z)- 1)/(2×Z))阿图格-阿兰10月11日2015

(蟒蛇)

从日本期货交易所进口部

A000 1700列表,B=[],1

对于n的范围(10 ** 3):

    A000 1700追加(b)

B= B*(4×N+ 6)//(n+1)2吴才华1月26日2016

(极大值)

B(n,a,x):=COEFF(泰勒(Exp(x*t)*(t/(Exp(t)- 1))^,t,0, 20),t,n)*n!

MaKelIST((1)^(n)*b(n,n+1,-n-1)/n!,n,0, 10);弗拉迪米尔克鲁钦宁,APR 06 2016*

(GAP)列表([0…30),n->二项式(2×n+1,n+1));阿尼鲁2月26日2019

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0110A000 7318A030662A046097A060897-A060900A049027A076025A076026A060150A026364A050166A030598A000 1263A000 593A000 1405A13813A134255.

等于A000 0984A(n+1)/ 2。囊性纤维变性。A030662A046097. A(n)=(2n+1)*Calaln(n)A000 0108=A035324(n+1)(三角形的第一列)。

三角形的行和A026364A050166A030598.

二分之一:(2×k)=A000 2458(k),a(2×k+ 1)=A00 1448(K+1)/2,K>0。

同一序列的其他版本:A08218A10566A138364.

三角形的对角线1和2A100257.

第二行数组A102539.

数组列A073165.

行和A1033. -苏珊维恩10月22日2011

囊性纤维变性。A000 2054C(2n+ 1,n-1)。-布鲁诺·贝塞利1月20日2014

囊性纤维变性。A000 5043A091867A000 1792A00 1813.

囊性纤维变性。A16645.

语境中的顺序:A167403 A318117 A10566*A08218 A300 975 A072266

相邻序列:A000 1697 A000 1698 A000 1699*A000 1701 A000 1702 A000 1703

关键词

容易诺恩核心

作者

斯隆

扩展

更名保罗·S·库姆斯1月11日2012

更名罗伯特坦尼鲁,01月2日2014

地位

经核准的

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最后修改9月23日13:28 EDT 2019。包含327354个序列。(在OEIS4上运行)