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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001700型 a(n)=二项式(2*n+1,n+1):将n+1个不可分辨球放入n+1个可分辨盒的方法数=n+1个变量中的(n+1)-一阶单项式数=从1开始的单调映射数。。n+1到1。。n+1。
(原M2848 N1144)
348
第一百六十五百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百五十六百 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

举例说明C(2n+1,n+1)是从1开始单调映射的个数。。n+1到1。。注意,我们可以用一个长度为n+1的非递减序列来描述这样一个映射,其中的条目从1到n+1。在这个序列中,增加的数量k是0到n之间的任何一个。我们可以通过把k个球扔进n+1个盒子来指定这些增加,所以总数是和{k=0..n}C((n+1)+k-1,k)=C(2*n+1,n+1)。

还有n+1到n+1部分的有序划分(或组合)的数目。E、 g.,a(2)=10:003,030,300,012,021,102,120,210,201,111.-Mambetov Bektur(bektur1987(AT)邮件。俄罗斯),2003年4月17日

方格上长度为n的游动数,从原点开始,停留在第一象限和第二象限-大卫·W·威尔逊2001年5月5日。(例如,对于n=2,共有10次行走,都是从0,0:0,1->0,0;0,1->1,1;0,1->0,2;1,0->0,0;1,0->1,1;1,0->2,0;1,0->1,-1;-1,0->0,0;-1,0->-1,1;-1,0->-2,0。)

还有所有有n+1边的有序树的总叶数。

还有数字平衡数[A031443号]从2^(2*n+1)到2^(2*n+2)-野本直弘2001年4月7日

还有具有2*n+2条边且根为偶数次且非根节点为0或2的有序树的数目-德国金刚砂2002年8月2日

也是4次最优弦图中连接两个相邻节点的长度为2*d(G)的路径数,G(2*d(G)^2+2*d(G)+1,2d(G)+1,其中d(G)=图G.-S.Bujnowski(slawb(AT)atr)的直径。戈斯比兹。pl),2002年2月11日

用m(1,j)=1,m(i,1)=i,m(i,j)=m(i,j-1)+m(i-1,j)定义一个数组;则a(n)=m(n,n),对角线A165257型-贝诺伊特·克罗伊特2002年5月7日

当分母为2^(2*n-1)时,也是cos^(2*n)(x)或sin^(2*n)(x)展开中常数项的分子-罗伯特·G·威尔逊五世

把cos^n(x)的展开看作是多个角余弦的线性组合。如果n是奇数,则展开式是a*cos((2*k-1)*x)/2^(n-1)对所有2*k-1<=n的组合。如果n是偶数,则展开式是a*cos(2k*x)/2^(n-1)项加上常数的组合。“常数项[a(n)/2^(2n-1)]是由于[cos^2n(x)]从来都不是负的,即电气工程师会说[cos^(2*n)(x)]的平均值或“直流值”是[a(n)/2^(2*n-1)]。[cos^(2*n-1)(x)的直流值]另一方面,是零,因为它是关于水平轴对称的,也就是说,它是负的和正的相等。“那欣[62]-罗伯特·G·威尔逊五世2002年8月1日

也是长度为2*n+2*k的所有Dyck单词中出现长度为2*k的固定Dyck单词的次数。例如:如果固定Dyck单词为xyz(k=2),则在长度为6(n=1)的5个Dyck单词中出现a(1)=3次:(xy[xy)xy],xyxxyy,xxyyxy,x(xyxy)y,xxxyyy(放在括号之间)-德国金刚砂2003年1月2日

a(n+1)是nxn矩阵m(i,j)=二项式(2*n-i,j)的行列式-贝诺伊特·克罗伊特2003年8月26日

a(n-1)=(2*n)/(2*n!*n!),高斯在[Davenport]中对特殊情况下素数p=4*n+1:x=a(n-1)mod p和y=x*(2n)使用的公式!mod p是p=x^2+y^2的解-弗兰克·埃勒曼。例如:对于prime 29=4*7+1,使用a(7-1)=1716=(2*7)/(2*7!*7!),5=1716 mod 29和2=5*(2*7)!模29,则29=5*5+2*2。

2*n的组成数,比如c_1+c_2+…+满足所有j=1的和{i=1..j}c_i<2*j。。k、 或者等价地说,具有至少n个元素的[2*n-1]={1,2,…,2*n-1}的子集的数目,例如S,使得如果2k在S中,那么S中必须至少有k个元素小于2k。E、 因为我们可以写4=1+1+1+1=1+1+2=1+2+1+1陈立基(陈立基)邮件。南开。埃杜。中国),2006年7月30日

无限线性格上从原点开始到节点(1)结束的长度为2*n+1的行走次数。也是方格上从原点到(n+1,n)使用步数(1,0)和(0,1)的路径数。还有长度为2*n+1的二进制数与n+1个1和n个零斯特凡·霍洛斯(Stefan(AT)exstrom。com),2007年12月10日

如果Y是2*n集X的3个子集,则对于n>=3,a(n-1)是X的n个子集的数目,其中至少有两个元素与Y相同-米兰-扬吉奇2007年12月16日

当允许空级别时,n个未标记元素在n个级别上的排名(优先排列)数-托马斯·威德2008年5月24日

还有加泰罗尼亚的转变A000225移动一个索引,即下降A000225(0)-R、 J.马萨2008年11月11日

偏移量为1。非负整数对X1+X2+…+Xn=n.展开式(X1+X2+…+Xn)^n中的项数(1+x+x^2+…)中x^n的系数^n、 取[n]到[n]的所有函数的不同映象集的数目-杰弗里·克里特2009年2月22日

充气序列1,0,3,0,10,0。。。是1,3,3,5,5,7,7。。。(A109613号(n+1))-保罗·巴里2009年4月21日

还有一个由n个项组成的网络的不同网络拓扑的数目,这些项与网络中其他对象的单向连接为1到n-1Anthony Bachler,2010年5月5日

等于从偏移量1开始的加泰罗尼亚数字的反转变换。E、 例:a(3)=35=(1,2,5)点(10,3,1)+14=21+14=35-加里·W·亚当森2009年5月15日

1/(1+x^2)^(n+1)的积分由a(n)/2^(2*n-1)*(x/(1+x^2)^n*P(x)+arctan(x))给出,其中P(x)是2*n-2次有理系数的一元多项式-克里斯蒂·克里斯蒂安2011年1月25日

a(n)是半长n的Schroder路径数,其中0级的(2,0)-步有2种颜色,而更高级别上没有(2,0)-步。示例:a(2)=10,因为表示U=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1),我们有2^2=4条HH形状的路径,2条HUD形状的路径,2条UDH形状的路径,以及ududd和UUDD中每个形状的1条路径-德国金刚砂2011年5月2日

a(n)是长度为n的Motzkin路径的个数,其中0级的(1,0)-步有3种颜色,较高级别的有2种颜色。示例:a(3)=35,因为表示U=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1),我们有3^3=27条HHH形状的路径,3条HUD形状的路径,3条UDH形状的路径和2条形状UHD的路径-德国金刚砂2011年5月2日

在二进制表示中,长度为2*(n+1)的数字平衡数的数目:a(n)=#{m:A070939号(A031443号(m) )=2*(n+1)}-莱因哈德·祖姆凯勒2011年6月8日

a(n)等于2^(2*n+3)乘以2F1中Pi的系数([1/2,n+2];[3/2];-1)-约翰·M·坎贝尔2011年7月17日

对于正n,a(n)等于4^(n+2)乘以Pi^2的系数,积分为{x=0..Pi/2}xsin^(2*n+2)x-约翰·M·坎贝尔,2011年7月19日[显然,贡献者的意思是积分{x=0..Pi/2}x*(sin(x))^(2*n+2)。]

a(n-1)=C(2*n,n)/2是将2*n人分配到2个(未标记)n个大小的组中的方法数-丹尼斯·P·沃尔什2011年11月9日

等于三角形的行和A205945号. -加里·W·亚当森2012年2月1日

a(n-1)给出了Erdős和Gallai在1960年定义的与简单图的度序列有关的n-正则序列的个数-马图什卡·塔马斯2013年3月6日

a(n)是中注释中的平方下降对角线之和A085812号(相当于2002年8月的Cloitre公式)-约翰·莫洛卡赫2013年9月26日

对于n>0:Z字形矩阵的最大项,如A088961号. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月25日

另外,在一个“2*n+1”两人游戏中不同的可能赢/输回合序列的数量(从最终赢家的角度来看)。例如,a(2)=10表示在“5胜1负”的比赛中有10个不同的输赢顺序(例如网球比赛,在最多5局中,第一个赢了3局的选手获胜);这10个序列是WWW,WWLW,WWLW,WLWW,WLWW,LWWW,LWWW,LWWW,LWWW,LWWW。另请参见A072600型. -菲利普·波多因2014年5月14日;更正人乔恩·肖恩菲尔德2014年11月23日

在序列的开头加1时:用自身等于2^(n+1)卷积a(n)/2^n。例如,当n=4时:将{1,1/1,3/2,10/4,35/8,126/16}与自身卷积为32=2^5-鲍勃塞尔科2014年7月16日

汤姆·科普兰2014年11月9日:(开始)

移位数组属于与加泰罗尼亚语相关的数组族A000108号(t=1)和Riordan或Motzkin和A005043号(t=0),o.g.f.[1-sqrt(1-4x/(1+(1-t)x))]/2和逆x*(1-x)/[1+(t-1)*x*(1-x)]。看到了吗A091867型关于这个家庭的更多信息。这里是t=-3(结果中的mod符号)。

设C(x)=[1-sqrt(1-4x)]/2,加泰罗尼亚数的o.g.fA000108号,逆Cinv(x)=x*(1-x),P(x,t)=x/(1+t*x),逆P(x,-t)。

O、 g.f:g(x)=[-1+sqrt(1+4*x/(1-4*x))]/2=-C[P(-x,4)]。

逆o.g.f:Ginv(x)=x*(1+x)/(1+4*x*(1+x))=-P(Cinv(-x),-4)(移位有符号A001792号).A088218(x) =1+G(x)。

等于A001813号/2省略前面的1。(结束)

把n个可分辨的球放进n个不可分辨的盒子里A000110号(n) (集合分区的数目)-N、 斯隆2015年6月19日

序列是A049027型:(1,4,17,74,326,…)-加里·W·亚当森2015年6月23日

a(n)是2*n+2的组成数,使得奇数位置的元素之和等于偶数位置的元素之和。a(2)=10,因为有10个这样的组合:6:(3,3),(1,3,2),(2,3,1),(1,1,2,2,1),(2,2,1,1),(2,1,1,1),(1,1,1,2,1),(1,1,1,1,1,1,1)-冉潘2015年10月8日

a(n-1)也是n的配分(n)在x_1=x_2=…=x_n=1,即形状(n)的半标准年轻表格的数目(n个方框的弱递增行,其数字来自{1,2,…,n})-狼牙2015年10月11日

也就是有n+1条边且没有平凡树的有序(有根平面)森林的数量-德肖维茨2016年3月30日

a(n)是长度为n的集(i1,…in)的数目,因此n>=i1>=i2>=…>=输入>=1。例如,n=3,因为只有10个这样的集合(3,3,3)(3,3,2)(3,3,1)(3,2,2)(3,2,1)(3,1,1)(2,2,2)(2,2,1)(2,1,1)(1,1,1,)3,2,1分别使用10次-安东扎哈罗夫2016年7月4日

帕斯卡三角形奇数行中的重复中间项,或帕斯卡三角形偶数行中中心二项式系数的一半,n>=2-恩里克·纳瓦雷特2018年2月12日

a(n)是从原点开始的长度为2n+1的行走次数,步数(1,1)和(1,-1)保持在x轴上或之上。等价地,a(n)是从原点开始的长度为2n+1的步数,步数(1,0)和(0,1)保持在第一个八分之一-亚历山大·伯斯坦2019年12月24日

在半长n的所有Dyck路径上求和的节点总数-海因茨2020年3月8日

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埃里克·韦斯坦的数学世界,二项式系数.

埃里克·韦斯坦的数学世界,奇数图.

“核心”序列的索引项

公式

a(n-1)=二项式(2*n,n)/2=(2*n)/(2*n!*n!)。

有递推的D-有限:a(0)=1,a(n)=2*(2*n+1)*a(n-1)/(n+1),n>0。

G、 f.:(1/sqrt(1-4*x)-1)/(2*x)。

五十、 g.f.log((1-sqrt(1-4*x))/(2*x))=和{n>0}a(n)/n*x^n-弗拉基米尔·克鲁基宁2010年8月10日

G、 f.:2F1([1,3/2];[2];4*x)-保罗·巴里2009年1月23日

G、 f.:1/(1-2*x-x/(1-x/(1-x/(1-x/(1-…(续分数))-保罗·巴里2009年5月6日

G、 f.:c(x)^2/(1-x*c(x)^2),c(x)的G.fA000108号. -保罗·巴里2009年9月7日

O、 g.f.:c(x)/sqrt(1-4*x)=(2-c(x))/(1-4*x),其中c(x)为A000108号。添加了第二个公式-狼牙2012年9月2日

卷积A000108号(加泰罗尼亚语)和A000984号(中央二项式):和{k=0..n}C(k)*二项式(2*(n-k),n-k),C(k)加泰罗尼亚语-狼牙1999年12月11日

a(n)=和{k=0..n}C(n+k,k)-贝诺伊特·克罗伊特2002年8月20日

a(n)=和{k=0..n}C(n,k)*C(n+1,k+1)-贝诺伊特·克罗伊特2002年10月19日

a(n)=和{k=0..n+1}二项式(2*n+2,k)*cos((n-k+1)*Pi)-保罗·巴里2004年11月2日

a(n)=4^n*二项式(n+1/2,n)/(n+1)-保罗·巴里2005年5月10日

E、 g.f.:和{n>=0}a(n)*x^(2*n+1)/(2*n+1)!=贝塞利(1,2*x)-迈克尔·索莫斯2005年6月22日

E、 枫木表示法:exp(2*x)*(BesselI(0,2*x)+BesselI(1,2*x))。[0,4]上正函数n阶矩的积分表示:a(n)=int(x^n*((x/(4-x))^(1/2)),x=0。。4) /(2*Pi),n>=0。这种表现是独一无二的-卡罗尔·彭森2001年10月11日

[1,2,3,…]的Narayana变换。设M=Narayana三角形A001263作为一个无限下三角矩阵且V=向量[1,2,3,…]。那么A001700型=M*V-加里·W·亚当森2006年4月25日

a(n)=A122366号(n,n)-莱因哈德·祖姆凯勒2006年8月30日

a(n)=C(2*n,n)+C(2*n,n-1)=A000984号(n)+A001791号(n) 一-泽伦瓦拉乔斯2007年1月23日

a(n-1)=(n+1)*(n+2)**(2*n-1)/(n-1)!(n-1个连续整数的乘积,除以(n-1)!)-乔纳森·沃斯·波斯特2007年4月9日;[更正和缩短乔瓦尼·西里亚尼2019年3月26日]

a(n-1)=(2*n-1)/(n!*(n-1)!)-威廉特德斯基2008年2月27日

a(n)=(2*n+1)*A000108号(n) 一-保罗·巴里2007年8月21日

二项式变换A005773号启动(1,2,5,13,35,96,…)双二项式变换A001405. -加里·W·亚当森2007年9月1日

三角形行和邮编:A132813. -加里·W·亚当森2007年9月1日

三角形行和邮编:A134285. -加里·W·亚当森2007年11月19日

a(n)=2*A000984号(n)-A000108号(n) ,即a(n)=2*C(2*n,n)-n-第n个加泰罗尼亚数-阿贝特2010年6月11日

猜想:4^n高斯超计量(1/2,-n;2;1)--路径在第一象限和第二象限的解-本杰明·菲拉鲍姆2011年2月20日

a(n)=和{k=0..n}A038231(n,k)*(-1)^k*A000108号(k) 一-菲利普·德莱厄姆2009年11月27日

设A为n阶Toeplitz矩阵,定义如下:A[i,i-1]=-1,A[i,j]=加泰罗尼亚语(j-i),(i<=j),A[i,j]=0,否则。那么,对于n>=1,a(n)=(-1)^n*charpoly(a,-2)-米兰-扬吉奇2010年7月8日

a(n)是M^(n+1)的左上项,其中M是无限矩阵,其中列(1,2,3,…)在所有1和其余零的无限下三角矩阵的前面,如下所示:

1,1,0,0,0。。。

2,1,1,0,0。。。

3,1,1,1,0。。。

4,1,1,1,1。。。

   ...

或者,a(n)是M^n的左上项,其中M是无限矩阵:

3,1,0,0,0。。。

1,1,1,0,0。。。

1,1,1,1,0。。。

1,1,1,1,1。。。

   ...

-加里·亚当斯2011年7月14日

a(n)=(n+1)*超几何([-n,-n],[2],1)-彼得·卢什尼2011年10月24日

a(n)=波奇哈默(n+1,n+1)/(n+1)-彼得·卢什尼2011年11月7日

E、 g.f.:1+6*x/(U(0)-6*x);U(k)=k^2+(4*x+3)*k+6*x+2-2*x*(k+1)*(k+2)*(2*k+5)/U(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月18日

a(n)=2*A000984号(n)-A000108号(n) 一。[阿巴特和惠特]

a(n)=2^(2*n+1)*二项式(n+1/2,-1/2)-彼得·卢什尼2014年5月6日

对于n>1:a(n-1)=邮编:A166454(2*n)邮编:A166454. -莱因哈德·祖姆凯勒2015年3月4日

a(n)=2*4^n*伽马(3/2+n)/(sqrt(Pi)*伽马(2+n))-彼得·卢什尼2015年12月14日

a(n)~2*4^n*(1-(5/8)/n+(73/128)/n^2-(575/1024)/n^3+(18459/32768)/n^4)/sqrt(n*Pi)-彼得·卢什尼2015年12月16日

a(n)=(-1)^(n)*B(n,n+1,-n-1)/n!,其中B(n,a,x)是广义伯努利多项式-弗拉基米尔·克鲁基宁2016年4月6日

a(n)=伽马(2+2*n)/(n!*伽马(2+n))。安德烈·西克廷2016年4月6日

a(n)=(n+(n+1))/(伽马(n)*伽马(1+n)*A002378号(n) ),对于n>0。安德烈·西克廷2016年4月7日

伊利亚·古特科夫斯基2016年7月4日:(开始)

和{n>=0}1/a(n)=2*(9+2*sqrt(3)*Pi)/27=A248179号.

和{n>=0}(-1)^n/a(n)=2*(5+4*sqrt(5)*arcsinh(1/2))/25=2*(5*A145433号-(一)。

和{n>=0}(-1)^n*a(n)/n!=贝塞利(2,2)*经验值(-2)=A229020型*A092553号(结束)

a(n)=和{k=2^n..2^(n+1)-1}邮编:A178244(k) 一-米哈伊尔·库尔科夫2021年2月20日

例子

有一种(2)=10种方法将3个不可分辨的球放入3个可分辨的盒子中,分别是(OOO)(),()(OO)(),()(OO),(OO)(O),(OO)(O),(OO)(O),(OO),(O)(O),(OO),(O)(OO),(O)(OO),和(O)(O)(O)-丹尼斯·P·沃尔什2012年4月11日

a(2)=10:3的分区(3)的半标准Young tableaux(索引x_i,i=1,2,3省略,只给出它们的索引):111,112,113,122,123,133,222,223,233,333-狼牙2015年10月11日

枫木

A001700型:=n->二项式(2*n+1,n+1);序号(A001700型(n) ,n=0。。20) ;

数学

表[二项式[2n+1,n+1],{n,0,23}]

系数列表[系列[2/((Sqrt[1-4x]+1)*Sqrt[1-4x]),{x,0,22}],x](*罗伯特·G·威尔逊五世2011年8月8日*)

黄体脂酮素

(Sage)[n in(0..22)中n的上升阶乘(n+1,n+1)/阶乘(n+1)]#彼得·卢什尼2011年11月7日

(PARI)a(n)=二项式(2*n+1,n+1)

(哈斯克尔)

a001700 n=a007318(2*n+1)(n+1)--莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月25日

(岩浆)[二项式(2*n,n)/2:n in[1..40]]//文琴佐·利班迪2014年11月10日

(PARI)z='z+O('z^50);Vec((1/平方米(1-4*z)-1)/(2*z))\\阿尔图阿尔坎2015年10月11日

(蟒蛇)

来自未来进口部

A001700型_列表,b=[],1

范围为n**10:

    A001700型_列表。追加(b)

b=b*(4*n+6)/(n+2)#柴华武2016年1月26日

(马克西玛)

B(n,a,x):=系数(泰勒(exp(x*t)*(t/(exp(t)-1))^a,t,0,20),t,n)*n!;

名单((-1)^(n)*B(n,n+1,-n-1)/n!,n、 0,10)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2016年4月6日*/

(GAP)列表([0..30],n->二项式(2*n+1,n+1))#阿西鲁2019年2月26日

交叉引用

囊性纤维变性。A000110号,A007318型,A030662号,A046097型,A060897型-A060900型,A049027型,A076025型,A076026型,A060150型,A001263,A005773号,A001405,邮编:A132813,邮编:A134285.

等于A000984号(n+1)/2。

a(n)=(2*n+1)*加泰罗尼亚语(n)[A000108号] =A035324号(n+1,1)(三角形的第一列)。

三角形行和A028364号,A050166号,A039598号.

二等分:a(2*k)=A002458号(k) ,a(2*k+1)=A001448号(1+0,k)。

相同序列的其他版本:A088218,A110556号,A138364号.

三角形的对角线1和2A100257.

数组第二行A102539号.

数组列A073165型.

行和A103371号. -苏珊娜·维南德2011年10月22日

囊性纤维变性。A002054:C(2*n+1,n-1)-布鲁诺·贝尔塞利2014年1月20日

囊性纤维变性。A005043号,A091867型,A001792号,A001813号,邮编:A166454.

上下文顺序:A167403号 A318117飞机 A110556号*A088218 A300975型 A072266号

相邻序列:A001697型 A001698 A001699型*A001701 A001702型 A001703号

关键字

容易的,,美好的,核心

作者

N、 斯隆

扩展

姓名更正人保罗·S·库姆斯2012年1月11日

姓名更正人罗伯特·坦尼鲁2014年2月1日

状态

经核准的

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