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| A049310型 |
| 切比雪夫s（n，x）的系数三角形：=U（n，x/2）多项式（指数按递增顺序）。 |
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488
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1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, -2, 0, 1, 1, 0, -3, 0, 1, 0, 3, 0, -4, 0, 1, -1, 0, 6, 0, -5, 0, 1, 0, -4, 0, 10, 0, -6, 0, 1, 1, 0, -10, 0, 15, 0, -7, 0, 1, 0, 5, 0, -20, 0, 21, 0, -8, 0, 1, -1, 0, 15, 0, -35, 0, 28, 0, -9, 0, 1, 0, -6, 0, 35, 0, -56, 0, 36, 0, -10, 0, 1, 1, 0, -21, 0, 70, 0, -84, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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行多项式S（n，x）（有符号三角形）的G.f.：1/（1-x*z+z^2）。无符号三角形|a（n，m）|具有斐波那契多项式F（n+1，x）作为带有g.F.1/（1-x*zz^2）的行多项式|a（n，m）|三角形有一排帕斯卡三角形A007318号在偶数对角线中（奇数对角线上只有0）。
S（n，x）是n路径的邻接矩阵的特征多项式-迈克尔·索莫斯，2002年6月24日
|T（n，k）|=n+1到k+1奇数部分的组成数。例如：|T（7,3）|=10，因为我们有（1,1,3,3）、（1,3,1,3），（1,3,3,1）、（3,1,1,3-Emeric Deutsch公司2005年4月9日
S（n，x）=R（n，x）+S（n-2，x），n>=2，S（-1，x）=0，S（0，x）=1，R（n、x）：=2*T（n，x/2）=和{m=0..n}A127672号（n，m）*x^m（一元整数切比雪夫T多项式）。这是对T多项式的传递矩阵公式进行重写的所谓轨迹-Wolfdieter Lang公司2010年12月2日
在内接于单位圆内的规则N-gon中，边长为d（N，1）=2*sin（Pi/N）。第（k-1）对角线的长度比R（N，k）：=d（N，k）/d（N，1），其中k来自{2,3，…，floor（N/2）}，N>=4，等于S（k-1，x）=sin（k*Pi/N）/sin（Pi/N。例如：N=7（七边形），rho=R（7,2），sigma:=R（N，3）=S（2，rho）=rho^2-1。受P.Steinbach引用论文的启发-Wolfdieter Lang公司2010年12月2日
在q或基本分析中，q数为[n]_q:=S（n-1，q+1/q）=（q^n-（1/q）^n}）/（q-1/q），行多项式为S（n，x），n>=0。
行多项式S（n-1，x）的零点为（来自切比雪夫U多项式的零点）：
x（n-1；k）=+-t（k，rho（n）），k=1..上限（（n-1）/2），n>=2，其中t（n，x）是A127672号和ρ（n）：=2*cos（Pi/n）。偶数n的简单零消失在这里显示为+0和-0。
S（n-1，x）=（2^（n-1））*乘积{n>=1}（Psi（d，x/2），2<d|2n）。
（结束）
这是Riordan卷积阵列（下三角矩阵）的一个子类Bell阵列的示例。参见L.W.Shapiro等人的参考A007318号如果Riordan数组以F（z）=z*Fhat（z）命名（G（z），F（z。对于当前的贝尔型三角形G（z）=1/（1+z^2）（参见上述o.G.f.注释）。这导致第k列的o.g.f.，k>=0，x^k/（1+x^2）^（k+1）（见公式部分），行和和和交替行和的o.g.f.（见上面的注释）。Riordan（Bell）A-和Z-序列（定义于A006232号，带参考文献）具有o.g.f.s 1-x*c（x^2）和-x*c（x^2），带有加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号。它们一起导致公式部分中给出的重复出现-Wolfdieter Lang公司2011年11月4日
N x N矩阵S（N，[x[1]，…，x[N]]）与元素S（m-1，x[N]）的行列式，对于N，m=1，2。。。，N、 对于任何x[N]，与V（N，[x[1]，…，x[N]]）的行列式和元素x[N]^（m-1）（Vandermondian，等于Product_{1<=i<j<=N}（x[j]-x[i]））相同。这是一个对任意N>=1和任意一元多项式系统p（m，x），m>=0有效的定理的特殊例子，其中p（0，x）=1。关于这个定理，请参阅Vein-Dale参考，第59页。多亏了L.埃德森·杰弗里对于要求证明矩阵S（N，[x[1]，……，x[N]]）非奇异性的电子邮件，当且仅当x[j]，j=1..N成对区分时-Wolfdieter Lang公司2013年8月26日
这些S多项式也出现在模形式的上下文中。对于每个素数p和正整数n，作用于模形式权重k的重标Hecke算子T*_n=n^（（1-k）/2）*T_n满足T*_（p^n）=S（n，T*_p）。参见Koecher-Krieg参考文献，第223页-Wolfdieter Lang公司2016年1月22日
关于移位的o.g.f.（mod符号）、其组成逆，以及与Motzkin和Fibonacci多项式、非交叉分区和其他组合结构的连接，请参见A097610号. -汤姆·科普兰2016年1月23日
由于Cassini-Simson恒等式：S（n，x）^2-S（n+1，x）*S（n-1，x）=1，使用S-递推后，Diophantine方程u^2+v^2-k*u*v=1对整数k的解由（u（k，n），v（k，n））=（S（n、k），S（n-1，k）给出。注意S（-n，x）=-S（-n-2，x），n>=1，以及一些S（n，k）序列的周期性。
因此，获得行多项式的另一种方法是取矩阵[x，-1；1,0]的幂：S（n，x）=（（[x，-1；1，0]）^n）[1,1]，n>=0。
另请参阅2016年2月1日关于151139英镑对于一个著名的S（n，x）和公式。
那么我们有了现在的T三角形
A039834号（n） =-i^（n+1）*T（n-1，k），其中i是虚单位，n>=0。
（结束）
有关Kul提出的丢番图方程的更多信息，请参阅Ismail论文-汤姆·科普兰2016年1月31日
勒让德多项式L（n，x）的o.g.f.为1/sqrt（1-2x*z+z^2），将其平方得到U（n，x）的o.g.f，A053117号，所以求和{k=0..n}L（k，x/2）L（n-k，x/3）=S（n，x）。对于n个偶数，这给出了S（n，x）=L（n/2，x/2）^2+2*Sum_{k=0..n/2-1}L（k，x/2A053117号有关规范化勒让德多项式，请参见A100258号有关其他特性和与其他多项式的关系，请参见Allouche等人-汤姆·科普兰2016年2月4日
LG（x，h1，h2）=-log（1-h1*x+h2*x^2）=Sum_{n>0}F（n，-h1，h2,0，..，0）x^n/n是A127672号具有A127672号（0,0）=0，其中F（n，b1，b2，..，bn）是A263916型.Exp（LG（x，h1，h2））=1/（1-h1*x+h2*x^2）是该条目的二元行多项式的o.g.f-汤姆·科普兰2016年2月15日（本条目的双变量o.g.f.实例见Sunada第5和18页-汤姆·科普兰2021年1月18日）
对于不同的奇素数p和q，勒让德符号可以写成勒让德（q，p）=Product_{k=1..p}S（q-1，2*cos（2*Pi*k/p）），其中p=（p-1）/2。参见第236页的Lemmermeyer参考文献，等式（8.1）。使用S（q-1，x）的零（见上文），可以得到S（q-1,x）=Product_{l=1..q}（x^2-（2*cos（Pi*l/q））^2），其中q=（q-1）/2。因此S（q-1，2*cos（2*Pi*k/p））=（（-4）^q）*Product_{l=1..q}。关于最后等式的证明，请参阅W.Lang对三角形的评论A057059号对于n=Q和一个明显的函数f，这导致了Eisenstein对二次互易律Legendre（Q，p）=（-1）^（p*Q））*Legendre-（p，Q）的证明，参见Lemmermeyer参考文献，第236-237页-Wolfdieter Lang公司2016年8月28日
对于广义斐波那契多项式的连接，请将Amdeberhan等人链接第5页上的生成函数与本条目的二元行多项式的上述o.g.f.进行比较-汤姆·科普兰，2017年1月8日
一般来说，对于从区间（0,2）（x>=2）开始的a，在开放区间（-a，+a）中，n>=0的S（n，x）的零Z（a；n）的个数Z（a）从没有零，而a=0是微不足道的：Z（0；n）=floor（n//2）-floor（（n+1）*arccos（a/2）/Pi），如上文所述，对于偶数n>=0和奇数n>=1+2*b（a；n）。对于闭合区间[-a，+a]Z（0；n）=1，对于从（0,1）开始的a，使用值b（a；n）=楼层（n/2）-天花板（n+1）*弧坐标（a/2）/Pi）+1。（结束）
Riordan行多项式S（n，x）（Chebyshev S）属于Boas-Buck类（参见中的注释和参考A046521号)因此它们满足Boas-Buck恒等式：（E_x-n*1）*S（n，x）=（E_x+1）*Sum_{p=0..n-1}。对于三角形T（n，k），这需要对公式部分中给出的列k的序列进行递归-Wolfdieter Lang公司2017年8月11日
行多项式的例f.e（x，t）：=Sum_{n>=0}（t^n/n！）*S（n，x）通过拉普拉斯逆变换从上述给定的o.g.f.得到，为e（x、t）=（（1/xm）*exp（t/xm）-（1/xp）*xp（t/xp））/（xp-xm），xp=（x+sqrt（x^2-4））/2和xm=（x-sqrt（x2-4）））/2-Wolfdieter Lang公司2017年11月8日
行多项式S（n，x）的因式分解，当n≥1时，根据系数为A187360型这是从因数分解到Psi多项式中获得的（见上面2011年7月12日的评论），但用2*cos（2*Pi/n）的最小多项式写成，系数为A232624型以下为：
S（2*k，x）=产品_｛2<=d|（2*k+1）｝C（d，x）*（-1）^度（d）*C（d，-x），带度（d）=A055034号（d） C（d，x）的度。
S（2*k+1，x）=产品{2<=d|2*（k+1）}C（d，x）*产品{3<=2*d+1|（k+1。
注意，（-1）^（deg（2*d+1））*C（2*d+1，-x）*C。
具有一般初始条件S（a，b；n，x）=x*S（a、b；n-1，x）-S（a，b；n-2，x）的S多项式，对于n>=1，S（a；b；-1，x）=a，S（b；0，x）=1，对于n>=-1，是S（a），b；n-，x）＝b*S（n，x）-a*S（n-1，x）。回忆一下S（-2，x）=-1和S（-1，x）=0。o.g.f.是g（a，b；z，x）=（b-a*z）/（1-x*z+z^2）-Wolfdieter Lang公司2019年10月18日
S-多项式的多段：S（m*n+k，x）=S（m+k，x）*S（n-1，R（m，x））-S（k，xA127672号)对于n>=0，m>=1，k=0，1。。。，m-1。
{S（m*n+k，y）}_{n>=0}的O.g.f:g（m，k，y，x）=（S（k，y。
参见方程（40）和（49），其中r=x或y，s=-1，在A034807号.（结束）
复数n和复数x:S（n，x）=（（-i/2）/sqrt（1-（x/2）^2））*（q（x/2）*exp（+n*log（q（x/2））-（1/q（x/2））*exp（-n*log（q（x/2）））），其中q（x）=x+sqrt（1-x^2）*i。这里log（z）=|z|+Arg（z）*i，其中Arg（z）来自[-Pi，+Pi）（主要分支机构）这满足了S的递推关系，因为它是从S的Binet-de Moivre公式导出的。例如：对于n>=0和m>=1，S（n/m，0）=cos（（（n/m）*Pi/4）。S（n*i，0）=（1/2）*（1+exp（n*Pi））*exp（-（n/2）*Pi。S（1+i，2+i）=0.6397424847…+1.0355669490…*i.感谢Roberto Alfano提出了一个导致此公式的问题-Wolfdieter Lang公司，2023年6月5日
Lim_{n->oo}S（n，x）/S（n-1，x）=r（x）=（x-sqrt（x^2-4））/2，对于|x|>=2。对于x=+-2，此极限为+-1-Wolfdieter Lang公司2023年11月15日
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参考文献
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G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二次讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第164页。
Max Koecher和Aloys Krieg，Elliptische Funktitonen und Modulformen，2。Auflage，Springer，2007年，第223页。
Franz Lemmermeyer，互惠法律。《从欧拉到艾森斯坦》，斯普林格出版社，2000年。
D.S.Mitrinovic，分析不等式，Springer-Verlag，1970年；第232页，章节。3.3.38.
西奥多·里夫林，切比雪夫多项式：从近似理论到代数和数论，2。编辑，威利，纽约，1990年，第60-61页。
R.Vein和P.Dale，《行列式及其在数学物理中的应用》，Springer，1999年。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]，表22.8，第797页。
T.Amdeberhan、X.Chen、V.Moll和B.Sagan广义斐波那契多项式和斐波那奇系数，arXiv预印本arXiv:1306.6511[math.CO]，2013。
Alexander Burstein和Louis W.Shapiro，Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。
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配方奶粉
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T（n，k）：如果n<k或n+k奇数，则=0，否则为（（-1）^（（n+k）/2+k））*二项式（（n+k）/2，k）；T（n，k）=-T（n-2，k）+T（n-1，k-1），T；g.f.第k列：（1/（1+x^2）^（k+1））*x^k-迈克尔·索莫斯2002年6月24日
T（n，k）=二项式（（n+k）/2，（n-k）/2）*cos（Pi*（n-k-保罗·巴里2005年8月28日
（无符号）斐波那契多项式的递归性：F（1）=1，F（2）=x；对于n>2，F（n）=x*F（n-1）+F（n-2）。
上述注释中给出的Riordan A-和Z序列共同导致重复出现：
T（n，k）=0，如果n<k，如果k=0，那么T（0,0）=1，并且
T（n，0）=-Sum_{i=0..floor（（n-1）/2）}C（i）*T（n-1,2*i+1），否则T（n、k）=T（n-1，k-1）-Sum__{i=1.floor=A000108号（n） ●●●●。
（结束）
行多项式也满足S（n，x）=2*（T（n+2，x/2）-T（n，x/2））/（x^2-4）与切比雪夫T多项式。证明：多次使用跟踪公式2*T（n，x/2）=S（n，x）-S（n-2，x）（参见2010年12月2日的注释）和S递归。这是一个用T多项式表示S-的公式-Wolfdieter Lang公司2014年8月7日
非消失的无符号子对角线Diag_（2n）包含元素D（n，k）=Sum_{j=0..k}D（n-1，j）=（k+1）（k+2）。。。（k+n）/n！=二项式（n+k，n），因此次对角线的o.g.f.为（1-x）^（-（n+1））。例如，Diag_4包含D（2,3）=D（1,0）+D（1,1）+D（1,2）+D（1,3）=1+2+3+4=10=二项式（5,2）。Diag_4移位A000217号; Diag_6，移位A000292号：Diag_8，移位A000332号; 和Diag_10，A000389号.
k列序列的Boas-Buck递归（见上文注释）是：S（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{p=0..n-1-k}（1-（-1）^p）*（-1）（（p+1）/2）*S（n-1-p，k），对于n>k>=0且输入S（k，k）=1-Wolfdieter Lang公司2017年8月11日
第m行连续非零项的顺序为（-1）^c*（c+b）/c！b！c=m/2，m/2-1。。。，0和b=m-2c，如果m是偶数且c=（m-1）/2，（m-1，/2-1。。。，如果m是奇数，则b=m-2c为0。对于从a（36）开始的第8行，连续5个非零条目的顺序为1、-10,15、-7,1，由c=4,3,2,1,0和b=0,2,4,6,8给出-理查特克2017年8月20日
O.g.f.：exp（和{n>=0}2*T（n，x/2）*T^n/n）=1+x*T+。。。，其中T（n，x）表示第一类第n个切比雪夫多项式-彼得·巴拉2022年8月15日
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例子
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三角形T（n，k）开始
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0: 1
1: 0 1
2: -1 0 1
3: 0 -2 0 1
4: 1 0 -3 0 1
5: 0 3 0 -4 0 1
6: -1 0 6 0 -5 0 1
7: 0 -4 0 10 0 -6 0 1
8: 1 0 -10 0 15 0 -7 0 1
9: 0 5 0 -20 0 21 0 -8 0 1
10: -1 0 15 0 -35 0 28 0 -9 0 1
11: 0 -6 0 35 0 -56 0 36 0 -10 0 1
有关更多行，请参阅链接。
例如，第四行{0，-2,0,1}对应于多项式S（3，x）=-2*x+x^3。
S（3，x）的零点，ρ（4）=2*cos（Pi/4）=sqrt（2）：
+-t（1，sqrt（2））=+-sqrt（2中）和
+-t（2，sqrt（2））=+-0。
根据Psi多项式的S（3，x）的因子分解：
S（3，x）=（2^3）*Psi（4，x/2）*Psi（8，x/2）=x*（x^2-2）。
（结束）
A序列和Z序列递归：
T（4,0）=-（C（0）*T（3,1）+C（1）*T，
T（5,3）=-3-1*1=-4。
（结束）
列k=2，n=6:S（6，2）=（3/4）*（0-2*S（4，2）+0+2*S（2，2））=（3/4）*（-2*（-3）+2）=6的Boas-Buck递推-Wolfdieter Lang公司2017年8月11日
分解为C多项式（参见2018年4月12日的评论）：
S（4，x）=1-3*x^2+x^4=（-1+x+x^2）*（-1-x+x*2）=（-C（5，-x））*C（5，x）；因子的数量是2=2*A095374号(2).
S（5，x）=3*x-4*x^3+x^5=x*（-1+x）*（1+x）x（-3+x^2）=C（2，x）*C（3，x）*；因子的数量是4=A302707型(2). （结束）
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MAPLE公司
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PMatrix（10，n->ifelse（irem（n，2）=0，0，（-1）^iquo（n-1，2）））#彼得·卢什尼2022年10月6日
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数学
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t[n，k]/；EvenQ[n+k]=（（-1）^（（n+k）/2+k））*二项式[（n+k）/2，k]；t[n，k]/；奇数Q[n+k]=0；扁平[表[t[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}][[；；86]](*Jean-François Alcover公司2011年7月5日*）
表[系数[（-I）^n斐波那契[n+1，-I x]，x，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//平坦(*克拉克·金伯利2011年8月2日；已由更正埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
系数列表[ChebyshevU[Range[0，10]，-x/2]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
系数列表[表[（-I）^n斐波那契[n+1，-I x]，{n，0，10}]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n||（n+k）%2，0，（-1）^（（n+k）/2+k）*二项式（（n+k）/2，k））}/*迈克尔·索莫斯2002年6月24日*/
（SageMath）
@缓存函数
如果n<0：返回0
如果n==0：如果k==0，则返回1，否则为0
（岩浆）
A049310型：=func<n，k|（（n+k）mod 2）eq 0 select（-1）^（Floor（n+k）/2）+k）*二项式（Floor；
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000005号,A000217号,A000292号,A000332号,A000389号,A001227号,A007318号,A008611号,A008615号,2014年1月55日,A010892号,A011973号,A053112号（不带零），A053117号,A053119号（反射），A053121号（倒三角形），A055034号,A097610号,A099774号,A099777号,A100258号,A112552号（第一列被剪裁），A127672号,A168561号（绝对值），A187360型.A194960型,A232624型,A255237号.
k=5，4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4，-5时切比雪夫s（n，x+k）系数的三角形：A207824型,A207823型,125662英镑,A078812号,A101950号,A049310型,A104562号,A053122号,2007年2月15日,A159764号,A123967号.
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作者
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