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A04310 切比雪夫S(n,x)系数的三角形:=u(n,x/2)多项式(指数递增)。 四百三十七
1, 0, 1,1, 0, 1,0,2, 0, 1,1, 0,-3, 0, 1,0, 3, 0,-4, 0, 1,-1, 0, 6,0,-5, 0, 1,0,--,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,- -,-,,-,- - 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0. 8

评论

G. F.用于行多项式S(n,x)(符号三角形):1 /(1-x*Z+Z^ 2)。无符号三角形A(n,m)具有Fibonacci多项式F(n+1,x),其行多项式为G.F. 1/(1-x*Z-Z^ 2)。a(n,m)三角具有Pascal三角形的行。A000 7318在偶数的对角线中(奇数的对角线只有0)。

行和(无符号三角形)A000 00 45(n+1)(斐波那契)。行和(符号三角形)S(n,1)序列=周期(1,1,0,1,-1,0)=A010892.

交替行和A04407(n)=S(n,1)=周期(1,-1,0)。-狼人郎04月11日2011

S(n,x)是n-路径邻接矩阵的特征多项式。-米迦勒索摩斯6月24日2002

S(n,x)也是n路的匹配多项式。-埃里克·W·韦斯斯坦4月10日2017

t(n,k)=n+1的组成数为k+1奇数部分。例如:t(7,3)=10,因为我们有(1,1,3,3),(1,3,1,3),(1,3,3,1),(3,1,3),(3,1,3,1),(3,3,1,1),(1,1,1,5),(1,1,5,1),(1,5,1,1)和(5,1,1,1)。-埃米里埃德奇,APR 09 2005

S(n,x)=r(n,x)+s(n-2,x),n>=2,s(- 1,x)=0,s(0,x)=1,r(n,x):=2×t(n,x/2)=SuMu{{m=0…n}。A127672(n,m)*x^ m(Munic整数Chebyshev T多项式)。这是改写的所谓的T多项式传递矩阵公式的迹。-狼人郎,十二月02日2010

在单位圆内刻划的正则n- Gon中,边长为D(n,1)=2×Sin(π/n)。(k-1)-对角线的长度比r(n,k)=d(n,k)/d(n,1),k为{2,3,…,地板(n/2)},n>=4,等于s(k-1,x)=Sin(k*PI/n)/SiN(π/n),x=ρ(n)=r(n,2)=2×CoS(π/n)。例:n=7(七边形),ρ=r(7,2),σ=r(n,3)=S(2,ρ)=ρ^ 2~1。由施泰因巴赫引用的论文激发。-狼人郎,十二月02日2010

狼人郎,7月12日2011:(开始)

在q或基本分析中,q数是[n]αq:= s(n-1,q+1/q)=(q^ n-(1/q)^ n})/(q-1/q),行多项式s(n,x),n>=0。

行多项式S(n-1,x)的零点是(来自切比雪夫U多项式的):

x(n-1;k)=+-t(k,ρ(n)),k=1。上限((n-1)/ 2),n>=2,用t(n,x)行多项式A127672ρ(n)=2×CoS(π/N)。偶数N的简单消失零点在这里出现为+0和-0。

行多项式S(n-1,x),x>=1的分解,根据CoS(2π/2)的最小多项式,称为PSI(n,x),其系数由A181875/A181876

S(n-1,x)=(2 ^(n-1))*乘积{{n>=1 }(Psi(d,x/2),2<d2n)。

(根据沃特金斯和ZeITLIN参考文献的改写公式(3)给出的A181872[参见W. Lang ArXiv链接,命题9,等式(62)。-狼人郎4月14日2018

(结束)

S(n,x)多项式的判别式存在于A127670. -狼人郎,八月03日2011

这是Riordan卷积阵列(下三角矩阵)的一个子类的例子,称为贝尔阵列。参见L.W夏皮罗等。参考文献A000 7318. 如果Riordan阵列被命名为(G(z),f(z)),f(z)=z*Fhat(z),行多项式的O.G.F.是G(z)/(1-x*Z*Fhat(z)),并且如果G(z)=fHAT(z),则它成为贝尔阵列。对于当前贝尔型三角形g(z)=1(1±z ^ 2)(参见上面的O.G.F.注释)。这导致O.G.F.对于第k行,k>0,x^ k/(1 +x^ 2)^(k+1)(见公式节),行和和交替行和的一个(见上面的注释)。Riordan(贝尔)A-和Z-序列(在W. Lang链接下定义)A000 623具有参考值的O.G.F.S 1-x*C(x^ 2)和-x*c(x^ 2),与加泰罗尼亚数的O.G.F.A000 0108. 它们一起导致公式公式中的重复。-狼人郎04月11日2011

元素n(m,x[n]),n,m=1, 2,…,n,对于任何x[n]的n×n矩阵S(n,[x(1),…,x[n])的行列式与元素x[n] ^(M-1)的V(n,[x(1),…,x[n] ]的行列式相同(vand),等于乘积{{4}=i<j<n}(x[j] -x[i])。这是一个定理对于任何n>=1和任何单多项式系统p(m,x),m>=0,p(0,x)=1的定理的特例。对于这个定理参见Dale参考文献,第59页。多亏了埃德森杰弗里对于要求求矩阵S(n,[x(1),…,x[n])的非奇异性的一个电子邮件,当且仅当x[j],j=1…n是两两不同的。-狼人郎8月26日2013

这些S多项式也出现在模块形式的上下文中。重模HECKE算子T*n=n^((1-k)/ 2)*Tyn作用于模k的模形式满足T**(p^ n)=S(n,t*p p),对于每个素数p和正整数n参见Koecher Krieg参考文献,第223页。-狼人郎1月22日2016

对于移位的O.G.F.(MOD符号),它的成分逆,以及连接到Motzkin和斐波那契多项式,非交叉分区和其他组合结构,参见A096610. -汤姆·科普兰1月23日2016

西南库尔先生,1月30日2016:(开始)

由S(n,x)^ 2 -(n+1,x)*s(n-1,x)=1之后,利用S-递归,求出由(u(k,n),v(k,n))=(s(n,k),s(n-1,k))给出的整数k的丢番图方程u ^ 2+v*2*k*u*v=1。注意S(-n,x)=-s(-n-2,x),n>=1,以及一些S(n,k)序列的周期性。

因此,获得行多项式的另一种方法是取矩阵的幂[X,- 1;1,0]:S(n,x)=((x,- 1;1, 0))^ n)[1,1],n>=0。

也见FEB 01 2016评论A115139对于一个著名的S(n,x)和公式。

然后我们用现在的T三角形

  A039 834(n)=-i ^(n+1)*t(n-1,k),其中i是虚数单位,n>=0。

  A051286A(n)= SuMix{i=0…n}t(n,i)^ 2(参见

  菲利普德勒姆,11月21日2005公式)

  A181545(n)=SuMi{{i=0…n+1 } ABS(t(n,i)^ 3);

  A181546(n)=SuMi{{i=0…n+1 } t(n,i)^ 4,

  A181547(n)=SuMi{{i=0…n+1 } ABS(t(n,i)^ 5)。

S(n,0)=A056594A(n),对于k=1…10,具有n=0的序列S(n-1,k)是A12834A000 1477A000A131353A000 4254A000 110 9A000 4187A000 1090A018913A000 4189.

(结束)

关于Kul提出的丢番图方程,请参阅伊斯梅尔文件。-汤姆·科普兰1月31日2016

勒让德多项式L(n,x)的O.G.F.为1/平方Rt(1 -2x*Z+Z^ 2),平方,它给出了u(n,x)的O.G.F.A05317所以SuMu{{K=0…n} L(k,x/2)L(nk,x/2)=s(n,x)。这给出S(n,x)=L(n,2,x/2)^=2×2×Suth{{k=0…n/2-1 } L(k,x/2)L(k,x/2)L(nk,x/2),对于n偶数和s(n,x)=2×SuMy{{N=(n-1)/2 } L(k,x/2)L(nk,x/2),对于奇数n。A05317. 对于正规化的勒让德多项式,参见A100258. 对于其他性质和与其他多项式的关系,请参见AououChet等。-汤姆·科普兰,04月2日2016

LG(x,H1,H2)=-log(1 -H1*x+H2*x^ 2)=SuMu{{N> 0 } f(n,-H1,H2,0,…,0)x^ n/n是二元行多项式的对数序列发生器。A127672A127672(0,0)=0,其中f(n,b1,b2,…,bN)是Faber-多项式。A2639. EXP(LG(x,H1,H2))=1(/ 1 -H1*x+H2*x^ 2)是该项的二元行多项式的O.G.F.-汤姆·科普兰2月15日2016

对于不同的奇素数p和q,勒让德符号可以写成勒让德(q,p)=乘积{{k=1…p}s(q-1,2 *cs(2×p*k/p)),具有p=(p-1)/2。请参阅第236页的LeMelmiyor参考文献(8.1)。使用S(q-1,x)的零点(见上文),一个具有S(q-1,x)=乘积{{l=1…q}(x^ 2 -(2*COS(πL/q))^ 2),q=(q-1)/2。因此S(q-1,2 *CoS(2×PI*k/p)=((-4)^ q)*乘积{{=1…q}(正弦^ 2(2*πk/p)-正弦^ 2(皮* L/Q))=((-4)^ q)*乘积{{m=1…q}(正弦^ 2(2*PI*k/p)-正弦^ 2(2 *π*m/q))。对于最后一个等式的证明,请参见三角形上的W. Lang注释。A057059对于n=q和一个明显的函数f,这导致了艾森斯坦关于二次互易律勒让德(q,p)=((- 1)^(p*q))*勒让德(p,q)的证明,参见LimelMeYe参考文献,pp.23—367。-狼人郎8月28日2016

对于连接到广义斐波那契多项式,比较他们的生成函数的P 5的AMDEBEHAN等。与上文给出的O.G.F.链接,用于该项的二元行多项式。-汤姆·科普兰,08月1日2017

RAMANUJYAτ函数的公式(见)A000 0595对于k=1,素数幂为τ(p^ k)=p^(11×k/2)*s(k,p^(11/2)*tau(p)),p=1A000 000(n),n>=1。参见Hardy参考文献,第164页,EQS。(103.4)和(103.6)用S.狼人郎1月27日2017

狼人郎,五月08日2017:(开始)

在开区间(1,1)中S(n,x)多项式的零点z(n)的数目是2 n* b(n),对于偶数n=0和1+2*b(n),对于奇n=1,其中B(n)=楼层(n/2)-楼层((n+1)/3)。这个B(n)是区间(n+1)/3<k<=楼层(n/2)中整数k的数目。请参阅上面关于s(n,x)和b(n)=0的注释。A000 8615(n-2),n>=0。数字Z(n)已被提出(与猜想有关)A000 8611通过米歇尔拉格瑙,MAR 2017,作为假想轴(-i,+i)上的斐波那契多项式零点的数目,用i=平方RT(-1)。它们是Z(n)=A000 8611(n-1),n>=0,与A000 8611(- 1)=0。也Z(n)=194960(n-4),n>=0。证明使用A000 8611版本194960由此而来。

一般而言,在区间(0,2)中(A,A)的开区间(n,x)的n(x,n)的个数(a,n)(x>=2)从来没有零点,而a=0是平凡的:z(0;n)=0)与b(a,n)=楼层(n/2)-楼层((n+1)*ARCOCOS(a/2)/pi)一样,对于偶数n>=0和1+2*b(a;n),对于奇数n>=2,上述z(a,n)=2*b(a;n)。对于闭区间[-a,+a] z(0;n)=1,对于a(0,1),使用z(a;n)的值b(a;n)=楼层(n/2)-上限((n+1)*ARCOCOS(a/2)/pi)+1。(结束)

Riordan行多项式S(n,x)(Chebyshev S)属于Boas Buck类(见注释和参考文献)A04621因此,它们满足博斯-巴克恒等式:(EAX-N* 1)*S(n,x)=(Eyx+1)*Suth{{p=0…n-1 }(1 -(-1)^ p)*(-1)^((p+1)/2)*s(n-1 p,x),对于n>=0,其中Eyx= x*d/dx(欧拉算子)。对于三角形T(n,k),这需要公式k中给出的列k序列的递归。-狼人郎8月11日2017

E.F.E(x,t)=SUMY{{N>=0 }(t^ n/n!)通过以上的给定的O.G.F.作为E(x,t)=((1/xm)*EXP(t/xm)-(1/xP)*EXP(t/xp))/(XP- XM)与XP=(x+SqRT(x^ 2-4))/ 2和xm=(x-qRT(x^ 2-4))/2,通过行拉普拉斯变换得到*-(n,x)**(n,x)。-狼人郎08月11日2017

狼人郎,4月12日2018:(开始)

行多项式S(n,x)的因式分解,n==1,用C多项式(不切比雪夫C)给出系数A187360. 这是从分解成PSI多项式(见7月12日2011评论以上),但写在最小多项式2×COS(2 * PI/N)的系数A22624

S(2×k,x)=乘积{{ 2 <=D(2×k+1)} c(d,x)*(-1)^ DEG(d)*c(d,-x),具有DEG(d)=A055034(d)C(D,X)的程度。

S(2×k+ 1,x)=乘积{{ 2=D×2*(k+1)} c(d,x)*乘积{{4}=2×d+1,(k+1)}(-1)^(DEG(2×d+1))*c(2 *d+x,-x)。

注意(-1)^(DEG(2×D+ 1)*C(2×D+1,-X)*C(2×D+1,X)对总是出现。

S(2×k,x)的C因子数为k>0,为2*(τ(2×k+1)-1)=2*。A09794(k+ 1)-1)=2**A09537(k),对于S(2×k+ 1,x),对于k>=0,它是τ(2*(k+1))+τ{奇数}(k+1)-2=2。A3027(k),τ(2×k+ 1)=A09794(k+1),τ(n)=A000 00 05τ(2×(k+1))=A09777(k+1)。

对于逆问题,将C多项式分解成S多项式,参见A255367. (结束)

推荐信

G. H. Hardy,拉马努扬:十二篇关于他生活和工作主题的演讲,AMS切尔西出版社,普罗维登斯,罗得岛,2002,第164页。

Max Koecher和Aloys Krieg,椭圆函数FunkTunn and MuldFrimeN,2。奥弗莱奇,Springer,2007,第223页。

Franz Lemmermeyer,互惠定律。从欧拉到艾森斯坦,Springer,2000。

D. S. Mitrinovic,解析不等式,Springer Verlag,1970;第232页,SeCT。3.3.38。

Theodore J. Rivlin,切比雪夫多项式:从逼近理论到代数和数论,2。威利,纽约,1990岁。

R. Vein和P. Dale,行列式及其在数学物理中的应用,Springer,1999。

链接

诺伊,三角形的行0至100,扁平化。

Wolfdieter Lang三角形的第一行。

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本],表22.8,P.797。

J. Allouche和G. SkordevSchur同余、多项式的卡利茨序列与自动机,离散数学,第214卷,第1-3期,2000年3月21日,第21-49页。

T. Amdeberhan、X. Chen、V. Moll和B. Sagan,广义Fibonacci多项式与Fibonomial coefficients,ARXIV预告ARXIV:1306.6511 [数学,CO],2013。

P. Barry对称第三阶递归序列、切比雪夫多项式和Riordan Arrays,JIS 12(2009)09.

P. Barry,A. Hennessy,Riordon阵列和相关整数序列的Meixner Type结果J. Int. Seq。13(2010)×10 .9 4,第5节。

T. Copeland椭圆李氏三元组补遗

J. R. Dias共轭特征多烯具有相互特征值光谱-树枝状芳烃和放射性烯烃类的性质和相互关系,克罗地亚化学。Acta,77(2004),325-330。[第328页]。

S. R. Finch,P. Sebah和Z.Q.白,Pascal三项三角的奇项,阿西夫:802.2654(数学,NT),2008。

Aoife HennessyRiordon阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格形路径中的应用Ph. D.论文,沃特福德理工学院,10月2011。

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W. Lang切比雪夫S多项式:十个应用。

Wolfdieter Lang正规n元中的q(2COS(π/n))、GalIS群和长度比,ARXIV:1210.1018 [数学,GR],2012-2017。

R. Sazdanovic多项式环的一个分类幻灯片放映,2011(来自Tom Copeland,12月27日2015)

P. Steinbach金色田野:七边形的一个例子数学。MAG 70(1997),第1号,22-31。

Eric Weisstein的数学世界,邻接矩阵特征多项式第二类切比雪夫多项式斐波那契多项式匹配多项式路径图

与切比雪夫多项式相关的序列的索引条目。

“核心”序列的索引条目

公式

(n,k):如果n<k或n+k奇,则(0(-1)^((n+k)/ 2 +k))*二项式((n+k)/2,k);t(n,k)=-t(n-2,k)+t(n-1,k-1),t(n,-1):=0=:t(-1,k),t(0, 0)=1,t(n,k)=0,如果n<k或n+k奇数;G.F.K第四列:(1 /(1 +x^ 2)^(k+x))*x^ k。T米迦勒索摩斯6月24日2002

T(n,k)=二项式((n+k)/ 2,(N-k)/ 2)*CoS(π*(N-K)/ 2)*(1 +(-1)^(N-K))/2。-保罗·巴里8月28日2005

SuMu{{=0…n} t(n,k)^=2=A051286A(n)。-菲利普德勒姆11月21日2005

(无符号)斐波那契多项式的递推:F(1)=1,f(2)=x;对于n>2,f(n)=x*f(n-1)+f(n-2)。

狼人郎,11月04日2011:(开始)

在上面的注释中给出的Riordan A和Z序列一起导致递归:

如果n=k,则t(n,k)=0,如果k=0,则t(0,0)=1;

T(n,0)=SUMY{{i=0…层((n-1)/2)} c(i)*t(n-1,2*i+1),否则t(n,k)=t(n-1,k-1)-SuMu{{i(1)/(2)} C(i)*t(n-1,k-1+2 *i),加泰罗尼亚数c(n)=A000 0108(n)。

(结束)

行多项式满足S(n,x)=2*(t(n+x,x/2)-t(n,x/2))/(x^ 2-4)的切比雪夫多项式。证明:使用跟踪公式2 *t(n,x/2)=s(n,x)-s(n-2,x)(参见上面的DEC 02 2010评论)和s递归数次。这是一个表达式,它表达了T多项式的s个数。-狼人郎,八月07日2014

汤姆·科普兰,十二月06日2015:(开始)

非消失的、无符号的次对角线对角线(2n)包含元素d(n,k)=SuMu{{j=0…k} D(n-1,j)=(k+1)(k+1)(k+1)…(k+n)/n!=二项式(n+k,n),因此次对角线的O.G.F是(1-x)^(-(n+1))。例如,DigiT4包含D(2,3)=D(1,0)+D(1,1)+D(1,2)+D(1,3)=1+2+3+4=10=二项式(5,2)。图4偏移A000 0217对角线6A000 029:Digi8,移位A000 0332和DigiL10,A000 038.

非消失反对角线是Pascal triangle的符号行。A000 7318.

对于已移除零的反向、无符号版本,请参阅A011973. (结束)

列k序列的Boas Buck递归(见上文)是:S(n,k)=((k+ 1)/(n- k))*Suth{{p=0…n-1 k}(1 -(-1)^ p)*(-1)^((p+1)/2)*s(n-1 p,k),对于n> k>=0,输入s(k,k)=1。-狼人郎8月11日2017

顺序的第1行连续非零条目是(-~)^ ^ c*(c+b)!C!B!C=M/2,M/2-1,…,0,B=M 2C,如果M是偶数的,C=(m-1)/2,(m-1)/2-1,…,0,如果m为奇数,则B=M 2C。对于从A(36)开始的第八行,顺序的5个连续非零项是由C=4、3、2、1 0和B=0、2、4、6、8给出的1、-10、15、-7、1。-理查特克8月20日2017

例子

三角形T(n,k)开始

NK 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 10 11

0:1

1:0、1

2∶1、0、1

3:0—2、0、1

4:1、0、3、0、1

5:0、3、0、4、0、1

6∶1、0、6、0、5 0 0 1

7:0 - 4 4 0 10 0 6 6 0 1

8:1、0、10、0、15、0、7 0 1

9:0、5、0、20、0、21、0、8 0 1

10∶1 0 0 15 0 0 35 0 28 0 9 0 0

11:0 - 6 6 0 35 0 56 56 0 36 0 10 10 0

通过重新格式化和扩展狼人郎10月24日2012

有关更多行,请参见链接。

例如,第四行{ 0,-2,0,1}对应于多项式S(3,x)=-2×x+x^ 3。

狼人郎,7月12日2011:(开始)

S(3,x)的零点与Rho(4)=2×CoS(π/4)=SqRT(2):

+-t(1,Sqt(2))=+-SqRT(2);

+-T(2,Sqt(2))=+- 0。

基于PSI多项式的S(3,x)分解

S(3,x)=(2 ^ 3)* Psi(4,x/2)* Psi(8,x/2)=x*(x^ 2-2)。

(结束)

狼人郎,11月04日2011:(开始)

A和Z序列递归:

T(4,0)=-(C(0)*T(3,1)+C(1)*T(3,3))=-(- 2+1)=+1,

T(5,3)=- 3 - 1×1=-4。

(结束)

Boas Buck递归列k=2,n=6:S(6, 2)=(3/4)*(0 -2*s(4, 2)+0 + 2*s(2, 2))=(3/4)*(-2*(-2)+*)=α。-狼人郎8月11日2017

狼人郎,4月12日2018:(开始)

分解成C多项式(见4月12日2018评论):

S(4,x)=1—3×x^ 2 +x^ 4=(-1 +x+x^ 2)*(-1×x+x^ 2)=(-c(5,-x))*c(5,x);因子数是2=2 * *A09537(2)。

S(5,x)=3×x*4×x ^ 3 +x^ 5=x*(-1 +x)*(1 +x)*(-3 +x^ 2)=c(2,x)*c(3,x)*(-c(3,-x))*c(6,x);A3027(2)。(结束)

枫树

A04310= PROC(n,k):二项式((n+k)/ 2,(nk)/ 2)*CoS(π*(N-K)/ 2)*(1 +(-1)^(N-K))/ 2端:SEQ(SEQ)A04310(n,k),k=0…n,n=0…11);约翰内斯·梅杰,八月08日2011

Mathematica

t[n],ky] /;Enq[n+k]=((1)^((n+k)/2 +k))*二项式[(n+k)/2,k];t[n],ky] /;Oddq[n+k]=0;平坦[表[t[n,k],{n,0, 12 },{k,0,n}] ] [[;;86 ] ](*)让弗兰,JUL 05 2011*)

表[系数[(-i)^ n斐波那契[ n+1,-i x],x,k],{n,0, 10 },{k,0,n}//平坦(*)克拉克·金伯利,八月02日2011;更正埃里克·W·韦斯斯坦,APR 06 2017*)

系数列表[CeBeSevu [范围[0, 10 ],-X/2 ],X] / /平坦(*)埃里克·W·韦斯斯坦,APR 06 2017*)

系数列表[TAB[(-I)^ n Fibonacci [ n+1,-i x],{n,0, 10 } ],x] / /平坦(*)埃里克·W·韦斯斯坦,APR 06 2017*)

黄体脂酮素

(t){t(n,k)=If(k<0)k>n*(n+k)% 2, 0,(- 1)^((n+k)/2 +k)*二项式((n+k)/2,k)}/*米迦勒索摩斯6月24日2002*

(圣人)

@ CaseDead函数

DEFA04310(n,k):

如果n<0:返回0

如果n=0:如果k=0,否则返回1,否则为0

退货A04310(N-1,K-1)A04310(N-2,K)

n为(0…9):A04310(k,n(k))(0…n)彼得卢斯尼11月20日2012

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 00 05A000 0217A000 029A000 0332A000 038A000 1227A000 7318A000 8611A000 8615A010892A011973A0531(无零点)A05317A0531(反射)A053121(反三角形),A055034A096610A09794A09777A100258A11255(第一列剪辑),A1685(绝对值)A187360.194960A22624A255367.

Chebyshev S(n,x+k)系数的三角形,用于k=5, 4, 3,2, 1, 0,1,-2,-3,-4,-5:A207824A207823A125662A07812A101950A04310A1045A053122A207815A1597A1239 67.

语境中的顺序:A321201 A18064 A191238*A1685 A253190 A29 3307

相邻序列:A04307 A04308 A04309*A04311 A04312 A04313

关键词

容易标志塔布核心

作者

狼人郎

扩展

西南库尔先生1月30日的2016评论狼人郎1月31日2016和2月01日2016

地位

经核准的

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