搜索： a016825-编号：a016826
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A236106型
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| 按行读取的三角形：T（n，k），n>=1，k>=1。其中k列列出了两个奇数(A016825号)与k-1个零交织，并且列k的第一个元素在行k（k+1）/2中。 |
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+20
20
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2, 6, 10, 2, 14, 0, 18, 6, 22, 0, 2, 26, 10, 0, 30, 0, 0, 34, 14, 6, 38, 0, 0, 2, 42, 18, 0, 0, 46, 0, 10, 0, 50, 22, 0, 0, 54, 0, 0, 6, 58, 26, 14, 0, 2, 62, 0, 0, 0, 0, 66, 30, 0, 0, 0, 70, 0, 18, 10, 0, 74, 34, 0, 0, 0, 78, 0, 0, 0, 6, 82, 38, 22, 0, 0, 2
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：
2;
6;
10, 2;
14, 0;
18, 6;
22, 0, 2;
26, 10, 0;
30, 0, 0;
34、14、6；
38, 0, 0, 2;
42, 18, 0, 0;
46, 0, 10, 0;
50, 22, 0, 0;
54, 0, 0, 6;
58, 26, 14, 0, 2;
62, 0, 0, 0, 0;
66, 30, 0, 0, 0;
70, 0, 18, 10, 0;
74, 34, 0, 0, 0;
78, 0, 0, 0, 6;
82, 38, 22, 0, 0, 2;
86, 0, 0, 14, 0, 0;
90, 42, 0, 0, 0, 0;
94, 0, 26, 0, 0, 0;
...
对于n=9，2*9=18的除数是1，2，3，6，9，18，因此18的偶数除数之和是2+6+18=26。另一方面，三角形的第九行是34、14、6，因此交替行和是34-14+6=26，等于18的偶数除数之和。
如果n是偶数，那么三角形第n行的交替和比2n的偶数除数之和更简单。例如：对于n=12，2*12=24的偶数除数之和为2+4+6+8+12+24=56，第12行三角形的交替和为46-0+10-0=56。
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000203号,A000217号,A001227号,A003056号,A016825号,A074400型,A196020型,A211343型,A228813型,A231345型,2013年2月47日,A235791型,A235794型,A236104型,A236112号.
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关键词
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非n,标签
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作者
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经核准的
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1, 2, 3, 6, 10, 4, 22, 38, 14, 5, 86, 150, 54, 18, 7, 342, 598, 214, 70, 26, 8, 1366, 2390, 854, 278, 102, 30, 9, 5462, 9558, 3414, 1110, 406, 118, 34, 11, 21846, 38230, 13654, 4438, 1622, 470, 134, 42, 12, 87382, 152918, 54614, 17750, 6486, 1878, 534, 166
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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...
序列（4n，n>2）、（4n+1，n>0）、（3n+2，n>=0）中的每一个都会产生色散。每个补码（以第一项>1开始）也会产生一个离散。以下列出了六个序列和分散度：
...
...
除了最多2个初始术语（因此第1列总是以1开头）：
...
如果f（n）=（n mod 3），则（a，b，c，a，b
a*f（n+2）+b*f（n+1）+c*f（n），因此“（a或b或c mod m）”由下式给出
a*f（n+2）+b*f（n+1）+c*f（n）+m*楼层（（n-1）/3）），当n>=1时。
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链接
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配方奶粉
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例子
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西北角：
. 1 2 6 22 86 342 1366 5462 21846 87382
. 3 10 38 150 598 2390 9558 38230 152918 611670
. 4 14 54 214 854 3414 13654 54614 218454 873814
. 5 18 70 278 1110 4438 17750 70998 283990 1135958
. 7 26 102 406 1622 6486 25942 103766 415062 1660246
. 8 30 118 470 1878 7510 30038 120150 480598 1922390
. 9 34 134 534 2134 8534 34134 136534 546134 2184534
. 11 42 166 662 2646 10582 42326 169302 677206 2708822
. 12 46 182 726 2902 11606 46422 185686 742742 2970966
. 13 50 198 790 3158 12630 50518 202070 808278 3233110
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数学
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（*程序生成递增序列f[n]*的色散阵列T）
r=40；r1=12；c=40；c1=12；
f[n]：=4*n-2
mex[list_]：=NestWhile[#1+1&，1，并集[list][#1]]<=#1&，1，长度[并集[list]]]
行={NestList[f，1，c]}；
Do[rows=Append[rows，NestList[f，mex[Flatten[rows]]，r]]，{r}]；
t[i_，j_]：=行[[i，j]]；
表格形式[表格[t[i，j]，{i，1，10}，{j，1，10}]](*A191668号*)
压扁[表[t[k，n-k+1]，{n，1，c1}，{k，1，n}]](*A191668号*)
（*推测：*）网格[表[（8+（3*层[（4*n+1）/3]-2）*4^k）/12，{n，10}，{k，10}]](*L.埃德森·杰弗里2015年2月14日*）
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作者
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经核准的
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1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1
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链接
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数学
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a[1]=0；h=128；
c=（u[#1]&）/@范围[2h]；
表[a[d[[n]]=1-a[n]，{n，1，h-1}]；(*A189126号*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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2, 4, 6, 6, 10, 8, 14, 8, 18, 12, 22, 10, 26, 16, 30, 10, 34, 12, 38, 14, 42, 24, 46, 12, 50, 28, 54, 18, 58, 16, 62, 12, 66, 36, 70, 14, 74, 40, 78, 16, 82, 20, 86, 26, 90, 48, 94, 14, 98, 20, 102, 30, 106, 24, 110, 20, 114, 60, 118, 18, 122, 64, 126, 14, 130
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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建议阅读2013年4月22日加里·安东尼克（Gary Antonick）数字游戏专栏中乔舒亚·祖克（Joshua Zucker）的谜题。顺序A016825号给出了Evenland中的“素数”（不可约元素）。
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链接
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例子
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20=2*10，因此a（10）=2+10=12。
第一次有选择是在n=18:36=2*18=6*6时，后者给出较小的和，因此a（18）=6+6=12。
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黄体脂酮素
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（PARI）f（x，i）=局部（t）；如果（x==1，0，如果（i>#d，2^99，t=f（x，i+1））；如果（x%d[i]，t，min（t，d[i]+f（x/d[i]、i）））
a（n）=d=选择（m->m%4==2，除数（2*n））；f（2*n，1）\\延斯·克鲁斯·安徒生2014年10月1日
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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4, 6, 8, 8, 12, 10, 16, 10, 12, 14, 24, 12, 28, 18, 16, 12, 36, 14, 40, 16, 20, 26, 48, 14, 20, 30, 24, 20, 60, 18, 64, 14, 28, 38, 24, 16, 76, 42, 32, 18, 84, 22, 88, 28, 28, 50, 96, 16, 28, 22, 40, 32, 108, 18, 32, 22, 44, 62, 120, 20, 124, 66, 32, 16, 36
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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建议阅读2013年4月22日加里·安东尼克（Gary Antonick）数字游戏专栏中乔舒亚·祖克（Joshua Zucker）的谜题。
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链接
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例子
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20=2*10，因此a（5）=2+10=12。
第一次有选择是当n=9:36=2*18=6*6时，后者给出较小的和，因此a（9）=6+6=12。
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黄体脂酮素
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（PARI）f（x，i）=局部（t）；如果（x==1，0，如果（i>#d，2^99，t=f（x，i+1））；如果（x%d[i]，t，min（t，d[i]+f（x/d[i]、i）））
a（n）=d=选择（m->m%4==2，除数（4*n））；f（4*n，1）\\延斯·克鲁斯·安徒生2014年10月1日
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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0, 2, 0, 6, 0, 10, 2, 0, 0, 14, 0, 0, 0, 18, 6, 0, 0, 22, 0, 2, 0, 0, 0, 26, 10, 0, 0, 0, 0, 30, 0, 0, 0, 0, 0, 34, 14, 6, 0, 0, 0, 38, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 42, 18, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 46, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 50, 22, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 54, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 58, 26, 14, 0, 2
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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如果T（n，k）=6，则T（n+2，k+1）=2，表示列k+1的第一个元素。
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配方奶粉
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如果n是奇数，则T（n，k）=0。
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例子
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三角形开始：
0;
2;
0;
6;
0;
10, 2;
0，0；
14, 0;
0, 0;
18, 6;
0, 0;
22, 0, 2;
0, 0, 0;
26, 10, 0;
0, 0, 0;
30, 0, 0;
0, 0, 0;
34, 14, 6;
0, 0, 0;
38, 0, 0, 2;
0, 0, 0, 0;
42, 18, 0, 0;
0, 0, 0, 0;
46, 0, 10, 0;
0, 0, 0, 0;
50, 22, 0, 0;
0，0，0，0；
54, 0, 0, 6;
0, 0, 0, 0;
58, 26, 14, 0, 2;
...
对于n=12，12的除数是1，2，3，4，6，12，12的偶数除数之和是2+4+6+12=24。另一方面，三角形的第12行是22，0，2，所以交替行和是22-0+2=24，等于12的偶数除数之和。
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A000217号
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| 三角数：a（n）=二项式（n+1,2）=n*（n+1）/2=0+1+2+…+n.（名词）。
（原名M2535 N1002）
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+10
4582
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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也称为T（n）或C（n+1,2）或二项式（n+1，2）（首选）。
广义六角形数：n*（2*n-1），n=0，+-1，+-2，+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错，k>=5。在这种情况下，k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1，K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如，三个字母有六种写法：（a）bc，（ab）c，（abc），a（b）c，a（bc），ab（c）。证明：有C（n+2,2）种方法可以选择括号的位置，但其中n+1种是非法的，因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1，a（n）也是n+2次非奇异曲线的亏格，例如Fermat曲线x^（n+2）+y^（n+2）=1艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my_deja.com），2001年2月21日
根据哈纳克定理（1876），n阶非奇异曲线的分支数有界于a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题：质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说，每个氨基酸的质量不同，所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德，2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数；1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque，2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如，中心五边形数（1,6,16,31，…）=5*（0,1,3,6，…）+1。居中七元数（1,8,22,43，…）=7*（0,1,3,6，…）+1.-Xavier Acloque，2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字（0,1）、（0,2）和（1,2）-奥利维尔·热拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2，…，n}中选择两个不同的数字而不重复，或者，可以在集合{1,2，……，n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测，只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日
每对相邻项加起来就是一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数，即除两个元素外，其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho（n）：=exp（i*2*Pi/n）（1的n次方根），对于n>=1，rho（n）^a（n）=（-1）^（n+1）。只需使用琐碎性a（2*k+1）==0（mod（2*k+1））和a（2*k）==k（mod））。
a（n）是（a_1+a_2+a_3）^（n-1）展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a（n+1）是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
a（n）给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数，其中n=绘制的cevian数+1。例如，绘制1个cevian，n=1+1=2和a（n）=2*（2+1）/2=3，则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians，则n=1+2=3和a（n）=3*（3+1）/2=6，则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年4月30日
对于n>=1，a（n）是当项的顺序不同的表示被认为不同时，n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说，对于n>=1，a（n）是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日（编辑：罗伯特·A·比勒)
a（n）是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数（单位为h*f0，普朗克常数为h，振子频率为f0）。请参阅上文A.Murthy的评论：n=n1+n2+n3，带正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0，使圆（sqrt（2m+1））-圆（squart（2m））=1。
数字m>=0，这样天花板（2*sqrt（2m+1））-1=1+地板（2*m2（2m））。
数字m>=0，使得fract（sqrt（2m+1））>1/2，fract（m2））<1/2，其中fract（x）是x的小数部分（即x-floor（x），x>=0）。（结束）
如果Y和Z是一个n集X的3个块，那么对于n>=6，a（n-1）是与Y和Z相交的X的（n-2）子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量：n*（n-1）/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德（Georg Wrede），2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P（n，x）表示的A153641号2^（-n-1）（P（n，1）-（-1）^k P（n、2k+1））。因此a（k）=|2^（-3）（P（2,1）-（-1）^k P（2,2k+1））|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a（n）是最小的数>a（n-1），使得gcd（n，a（n。如果n是奇数，则gcd是n；如果n是偶数，则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说，a（2k+1）==j*（2j-1）（mod 2k+2j+1）和
a（2k）==[-k+2j*（j-1）]（模2k+2j）。
列总和：
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a（n）^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^（1/3）的球体的体积。
（结束）
（结束）
绘制三个点（0,0）、（a（n）、a（n+1））、（a+1）、a+2）以形成三角形。面积为a（n+1）/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a（n）=n*（n+1）/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*（n+2）^2。a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）-J.M.贝戈2012年5月17日
（a（n）*a（n+3）-a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a（n）*a（n+1）+a（n+2）*a（n+3）+3=a（n^2+4*n+6）-J.M.贝戈2012年5月22日
通常，a（n）*a（n+1）+a（n+k）*a（n+k+1）+a（k-1）*a（k）=a（n^2+（k+2）*n+k*（k+1））-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+3）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+2）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点（a（n）、a（n+1））、（a（n/1）、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a（n）+a（n+k）=（n+k）^2-（k^2+（2n-1）*k-2n）/2。对于k=1，我们得到a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（见下文）-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中，我们可以定义一个（n-1）非平凡的正交投影。例如，在3空间中有一个（2）=3（即点对线、点对平面、线对平面）-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1，a（n）等于半群P_n\S_n的秩（生成集的最小基数）和幂等秩（幂等生成集的极小基数），其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3，a（n-1）等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩，其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
（结束）
对于n>=3，a（n）等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩，其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a（n）*a（n+4k+2）/2+a（k）=a（a（n+2k+1）-（k^2+（k+1）^2））是Bergot 2012年5月17日评论中公式a（n*a（n+2）/2=a（a+1）-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1，我们有递归a（m*n+k）=m^2*a（n）+a（k）。推论：如果数字T在序列中，那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中表明，只要T是三角形，那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形。一般来说，如果T是三角形数，那么（2*k+1）^2*T+k*（k+1）/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/（b+2）将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1，得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a（n），对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a（n）=A028896号（n） /6，其中A028896号（n） =s（n）-s（n-1）是s（n，n）=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s（n）可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X（n-1）X（n-2）矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n，k的第r次连续求和的公式是二项式（n+r，r+1）[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯，2014年1月2日
对于n>=3，a（n-2）是1,2，。。。，n，其中上（1）-下（0）元素的分布为0…011（n-3个零），或者，同样，a（n-2）是上下系数{n，3}（参见中的注释A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月14日
a（n）是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1，…，n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V（x_1，x_2，…，x_n）定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个（n）红色大理石和一个（n+1）蓝色大理石，其中a（n）、a（n+1）是连续的三角形数字。然后，对于n>0，随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说，对于k>2，设b（0）=0，b（1）=1，对于n>1，b（n）=（k-1）*b（n-1）-b（n-2）+1。假设，对于n>0，一个袋子包含b（n）个红色大理石和b（n+1）个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠，得到两个红色或两个蓝色的概率为（k-1）/（k+1）。另请参见A027941美元,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=（1,2,3，…，n）中分割成若干部分。所得序列的签名的长度（阶数）由三角数给出。例如，对于n=10，签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a（n）将（n-1）个未标记对象的分区计算为三（3）个部分（标记为a、b、c），例如，a（5）=15表示（n-1”=4。这些是（aaaa）、（bbbb）、)、（英国广播公司）、（密件抄送）、（英国电视广播公司）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测：序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是（n-1）（n-2）/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想：设m为任意正整数。然后，对于每个n=1,2,3，。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a（n）=n*（n+1）/2；换句话说，所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。（我通过计算机检查了这个猜想，没有发现反例。）-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1，a（n）是n+4到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌（请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书），如果n>0，则从一堆a（n）卡开始。那么，达到固定状态{n，n-1，…，1}所需的操作数是a（n-1）。例如，{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每一个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1，a（n）=tau_n（k*），其中tau_n（k）是k的有序n分解数，k*是素数的平方。例如，tau_3（4）=tau_3（9）=tau_3（25）=tau _3（49）=6（参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6，a（3）=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2（2004年2月19日）和a（n”^2+a（n+1）^2=a（（n+1+6a（k-1））-查理·马里恩2016年11月27日
a（n）也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0，2^5*（二项式（n+1,2））^2表示2*（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组（a，b，c）的数量，使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数，因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a（n）是顶点位于（1,1）、（n+1，n+2）和（n+1）^2，（n+2，^2）的三角形的面积-阿特·贝克，2018年12月6日
对于n>0，a（n）是最小的k>0，因此n除以（1/a（1）+1/a（2）+…+的分子1/a（n-1）+1/k）。应该注意的是，1/1+1/3+1/6+…+2/（n（n+1））＝2n/（n+1）-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界（参见Dimca中的定理1.1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0，a（n+1）是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数，其中A是n个数字的集合。（结束）
a（n）是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行，每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出双射线。对于n>=1，a（n-1）是线之间可能的最大交点数。等价地，[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论（2015年1月5日）中的概括。（2k+1）^2*a（n）+a（k）=a（（2k+1*n+k）-查理·马里恩2023年8月28日
a（n）+a（n+k）+a。对于k=1，我们有a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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配方奶粉
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通用：x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（x）*（x+x^2/2）。
a（n）=a（-1-n）。
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=1..n}（-1）^k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a（n+1）=（n+2）/n）*a（n），和{n>=1}1/a（n=2）-乔恩·佩里2003年7月13日
对于插值零，这是n*（n+2）*（1+（-1）^n）/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n+1）是n X n对称帕斯卡矩阵M_（i，j）=二项式（i+j+1，i）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n）=（（n+1）^3-n^3-1）/6.-Xavier Acloque，2003年10月24日
a（n）=a（n-1）+（1+sqrt（1+8*a（n-1）））/2。当取平方根的负分支时，此递归关系被反转，即a（n）被转换为a（n-1）而不是a（n+1）-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a（n）=a（n-2）+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a（n）=平方（sqrt（和{i=1..n}和{j=1.n}（i*j）^3））=（和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}（i*j））^（1/6）-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数，a（n）==1（mod n+2）；如果n是偶数，a-乔恩·佩里2004年12月16日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）=地板（（2*n+1）^2/8）-保罗·巴里2006年5月29日
a（n）^2+a（n+1）^2=a（（n+1）^2）[R B Nelsen，Math Mag 70（2）（1997），第130页]-R.J.马塔尔，2006年11月22日
a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期：2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
（sqrt（8*a（n）+1）-1）/2=n.大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月26日
多边形数的一般公式是P（k，n）=（k-2）*（n-1）n/2+n=n+（k-2*A000217号（n-1），对于n>=1，k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{j=0..k-1}（二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0.0..k-1}（-a-j）），那么当n>=1时，a（n）=-f（n，n-1,1）-米兰Janjic2008年12月20日
4*a（x）+4*a（y）+1=（x+y+1）^2+（x-y）^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}（（Pochhammer（1，m）*Pochhamder（1，m））*x^m/（Pochharmer（3，m）*阶乘（m））=（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2给出，其n阶导数具有闭合形式，必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号（n+1）=（lim_{x->0}d^n/dx^n（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2）+n*（对数（1-x）+对数（-1/（-1+x）））*（-x+1+n））/x^2））^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时，a（n）=楼层（n^3/（n+1））/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=4*a（楼层（n/2））+（-1）^（n+1）*楼层（n+1，/2）-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）；a（0）=0，a（1）=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a（n）+2*a（n-1）+a（n-2）=n^2+（n-1；和
a（n）+3*a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-3）=n^2+2*（n-1。
一般来说，对于n>=m>2，Sum_{k=0..m}二项式（m，m-k）*a（n-k）=Sum_{k=0..m-1}二项式（m-1，m-1-k）*（n-k）^2。
a（n）-2*a（n-1）+a（n-2）=1，a（n）-3*a（n-1）+3*a（n-2）-a（n-3）=0和a（n）-4*a（n-1）+6*a（n-2）-4*（a-3）+a（n-4）=0。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}（-1）^k*二项式（m，m-k）*a（n-k）=0。
（结束）
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}4*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪，2011年8月2日
（n）+（a（n））+1=a（a（n）+1）-J.M.贝戈2012年4月27日
a（n）*a（n+1）=a（和{m=1..n}A005408号（m） ）/2，对于n>=1。例如，如果n=8，则a（8）*a（9）=a（80）/2=1620-伊凡·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式：x*（1+3x+6x^2+…）=x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^3=x*A（x）*A（x^2）*A。。。，其中A（x）=（1+3x+3x^2+x^3）-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+（2*k+3）*x/（2*k+1-x*（k+2）*（2*k+1）/（x*（k+2）+（k+1）/G（k+1）））；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
通用公式：x+3*x^2/（Q（0）-3*x）其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+8）+6*n=a（3*n+15）-查理·马里恩2013年3月18日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+20）+2*n^2+57*n=a（5*n+55）-查理·马里恩2013年3月18日
3*a（n）+a（n-1）=a（2*n），对于n>0-伊凡·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说，a（k*n）=（2*k-1）*a（n）+a（（k-1）*n-1）-查理·马里恩2015年4月20日
此外，a（k*n）=a（k）*a（n）+a（k-1）*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a（n+1）=det（二项式（i+2，j+1），1<=i，j<=n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=地板（n/2）+天花板（n^2）=n-地板（n/2）+地板（n^2）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a（n）=楼面（（n+1）/（exp（2/（n+1））-1））-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a（n）/n！=3*exp（1）/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/（和{n>=m}1/a（n））=m，对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
下面是2006年11月22日公式A（n）^2+A（n+1）^2=A（n+1^2）的推广。设T（k，n）=a（n）+k。然后对于所有k，T（k、n）^2+T（k和n+1）^2=T（k（n+1））^2+2*k）-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-2）+zeta（s-1））/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a（n）^2-a（n-1）^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a（n）^2+a（n+3）^2+19=a（n^2+4*n+10）-查理·马里恩2016年11月23日
2*a（n）^2+a（n”）=a（n^2+n）-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式：x/（1-x）^3=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^3=（1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6）-加里·亚当森2016年12月3日
a（n）=矩阵Q（n）的逆的元素之和，其中Q（n）有元素Q_i，j=1/（1-4*（i-j）^2）。因此，如果e=由1组成的适当大小的向量，那么a（n）=e’。Q（n）^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a（n）=和{k=1..n}（2*k-1）*（2*n-2*k-1）！！）/（2*k-2）*（2*n-2*k）！！）-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a（n+i）=（3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k）/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时，a（n）==0（mod n）（参见De Koninck参考）-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a（k）*a（n）+（（a（k。当k=1时，这个公式简化为众所周知的公式8*a（n）+1=（2*n+1）^2-查理·马里恩2020年7月23日
a（k）*a（n）=和{i=0..k-1}（-1）^i*a（（k-i）*（n-i））-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）/（2*Pi）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=1/3。（结束）
a（n）=和{k=1..2*n-1}（-1）^（k+1）*a（k）*a。例如，对于n=4，1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a（n）=A000384号（n） 通常，如果P（k，n）=第n个k次方数，则（j+1）*a（n）=P（5+j，n）-n^2+（j+1-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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总尺寸：x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时，a（3）=4*3/2=6。
示例（a（4）=10）：ABCD，其中a、B、C和D是链中的不同链接，或是肽中的不同氨基酸可能片段：a、B，C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a（2）：冬青树叶落在德川幕府，a（4）：毕达哥拉斯四联中的分数，a（5）：八球台球中的物体球-布拉德利·克莱，2015年8月24日
a（1）=1到a（5）=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2（Beeler，McGrath，上文）如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
（231）（223）
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
（结束）
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MAPLE公司
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istriangular:=proc（n）局部t1；t1:=楼层（平方米（2*n））；如果n=t1*（t1+1）/2，则返回true，否则返回false；结束条件：；终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：
seq（combstruct[count]（ZL，size=n），n=2..55）#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程（n）
issqr（1+8*n）；
结束进程：#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
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数学
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数组[#*（#-1）/2&，54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*）
文件夹列表[#1+#2&，0，范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
系数列表[级数[x/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形编号[n]，{n，0，53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{0，1，3}，54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*）
（*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供，用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列，只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford，因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*）
fd[x_]：=楼层[10^Mod[Log[10，x]，1]]
benfordtest[num_]：=模块[{}，
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=0]；
对于[n=1，n<=num，n++，
{
d=fd[n（n+1）/2]；
如果[d！=0，数字[d]=数字[d]+1]；
}];
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=1.0数字[d]/num]；
对于[d=1，d<=9，d++，
打印[d，“”，100.0位[d]，“”、100.0日志[10，（d+1）/d]]]；
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），n，t）；而（（t=n*n++/2）<=lim，listput（v，t））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
（哈斯克尔）
a000217 n=a000217_列表！！n个
a000217_list=扫描1（+）[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+1）/2:n//布鲁诺·贝塞利，2014年7月11日
（SageMath）[n*（n+1）/2表示n in（0..60）]#布鲁诺·贝塞利，2014年7月11日
（Scala）（1至53）.左图（0）（_+_）//霍斯特曼（2012），第171页
（Python）对于范围（0，60）中的n：打印（n*（n+1）/2，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月6日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是
#孤立术语。如果在迭代中，行“x，y=x+y+1，y+1”
#被替换为“x，y=x+y+k，y+k”，然后得到图形数，
#对于k=0（自然A001477号)，k=1（三角形），k=2（正方形），k=3（五边形），k=4（六边形）。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+1，y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024号,A002378号,A002415号,A003056号（反函数），A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号（特征函数），A028347号,A036666号,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119美元,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,A210569型,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005408号
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| 奇数：a（n）=2*n+1。
（原名M2400）
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+10
1181
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1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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莱布尼茨级数：Pi/4=Sum_{n>=0}（-1）^n/（2n+1）（参见。A072172号).
Sharkovski定理中使用的自然数排序的开始——参见Cielsielski-Pogoda论文。
Sharkovski排序从奇数>=3开始，然后是这些数字的两倍，然后是它们的4倍，再是它们的8倍，以此类推，最后是2的幂，以降序结束，最后是2^0=1。
除了初始项（s）之外，对于Gamma_0（6），权重为2n的空间的维数形成尖点。
a（1）=1；a（n）是最小的数，使得a（n-阿玛纳斯·穆尔西2003年7月14日
大于n的最小数，不是n的倍数，但包含在二进制表示中-莱因哈德·祖姆凯勒2003年10月6日
Pi*sqrt（2）/4=Sum_{n>=0}（-1）^floor（n/2）/（2n+1）=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11。。。[由于周期f（x）=x over-Pi<x<Pi=2（sin（x）/1-sin（2x）/2+sin（3x）/3-…），使用x=Pi/4（Maor）]-杰拉尔德·麦卡维2005年2月4日
a（n）=所有完整三角形的最短边a，边a<=b<=c，内半径n>=1。
奇数是假设算法“合并排序”可以在恒定单位时间内合并时产生的最简单递归的解，即T（1）：=1，T（n）：=T（地板（n/2））+T（天花板（n/2Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月14日
2n-5统计S_n中模式312零次出现和模式123一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日
对于n>2，a（n-1）是最小整数，而不是<n个n次方数字的和（允许为0）-乔纳森·桑多2007年7月1日
n>0时4^（n-1）的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
奇数（n）=2*n+1=平方金字塔数（3*n+1）/三角数（3xn+1）-皮埃尔·卡米2008年9月27日
a（n）也是同一平面中n+2个点可以确定的三角形的最大数量。3个点确定最大1个三角形；4个点可以得到3个三角形；5分等于5分；6分可以得到7分等等-卡米娜·苏里亚诺，2009年6月8日
给定图G的L（2,1）标号L，设k是由L指定的最大标号。G的所有L（2,L）标号上可能的最小k用λ（G）表示。对于n>0，这个序列给出了lambda（K{n+1}），其中K{n+1}是n+1顶点上的完整图-K.V.Iyer公司2009年12月19日
对于n>0，连分式[1,1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[1,1,7]=8/15-加里·亚当森2010年7月15日
参见描述的属性加里·德特利夫斯在里面A113801号：更一般地，这些数字的形式为（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4（h和n inA000027号)因此（（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4）^2-1==0（mod h）；在这种情况下，a（n）^2-1==0（mod 4）。还有a（n）^2-1==0（mod 8）-布鲁诺·贝塞利2010年11月17日
a（n）是一枚公平硬币所需的最小投掷次数，因此超过n个硬币的概率至少为1/2。事实上，Sum_{k=n+1..2n+1}Pr（k头|2n+1抛掷）=1/2-丹尼斯·沃尔什2012年4月4日
1/N（即，1/1，1/2，1/3，…）=和{j=1,3,5，…，无穷}k^j，其中k是常数1/exp.ArcSinh（N/2）=收敛于barover（N）。收敛到barover（1）或[1,1,1，…]=1/phi=0.6180339…，而cf-barover（2）收敛到0.414213…，依此类推。因此，当k=1/phi时，我们得到1=k^1+k^3+k^5+。。。，通过k=0.414213…=（sqrt（2）-1），我们得到1/2=k^1+k^3+k^5+。。。。同样，当收敛到barover（3）=0.302775…=k时，我们得到1/3=k^1+k^3+k^5+。。。，等-加里·亚当森2012年7月1日
单教练素数猜想(A216371型)关于奇整数：如果整数在A216371型（有一个辅导员的素数形式为4q-1或4q+1，（q>0））；其coach的顶行由前q个奇数整数的置换组成。示例：素数19（q=5），在其coach的每行中有5个项：19:[1，9，5，7，3]。。。[1, 1, 1, 2, 4]. 这可以解释为：（19-1）=（2^1*9），（19-9）=（2%1*5），（19-5）=（2_1-7），（19.7）=（2,2*3），（十九-3）=（2-4*1）-加里·亚当森2012年9月9日
这个序列有唯一的因子分解。基本元素是奇数素数(A065091号). （序列的每个项都可以表示为序列项的乘积。原始元素只有平凡的因式分解。如果序列项的积总是在序列中，并且每个元素都有唯一的因式化为原始元素，我们就说序列有唯一的因子化。因此，例如复合数没有唯一的因子分解，因为例如36=4*9=6*6有两个不同的因子分解。）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2013年9月28日
这些也是数字k，使得（k^k+1）/（k+1）是一个整数-德里克·奥尔2014年5月22日
a（n-1）给出了直接和{1,2,3，…，n}+{1,2,3,..，n}中不同和的数目。例如，{1}+{1}只有一个可能的和，因此a（0）=1。{1,2}+{1,2,}有三个不同的可能和{2,3,4}，因此a（1）=3。{1,2,3}+{1,2,3+有5个不同的可能和{2,3,4,5,6}，因此a（2）=5-德里克·奥尔2014年11月22日
4*n的分区数最多分为2个部分-科林·巴克2015年3月31日
a（n）可表示为两个但不少于两个连续非负整数的和，例如，1=0+1、3=1+2、5=2+3等（参见A138591号). -马丁·瑞诺2016年3月14日
互补方程a（n）=a（n-1）^2-a（n-2）*b（n-1-克拉克·金伯利2017年11月21日
同时给出了n-蜈蚣图中最大团和最大团的个数-埃里克·韦斯特因2017年12月1日
词法上最早的不同正整数序列，因此任何连续项的平均值总是一个整数。（有关相反的属性，请参见A042963号.) -伊凡·内雷廷2017年12月21日
a（n）是大小为n+1的停车功能的数量，避免了模式123、132和231-劳拉·普德威尔2023年4月10日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第2页。
T.Dantzig，《科学语言》，第4版（1954年），第276页。
H.Doerrie，《初等数学的100个大问题》，纽约州多佛市，1965年，第73页。
D.Hök，Parvisa mönster i permutationer[瑞典]，（2007）。
E.Maor，《三角快乐》，普林斯顿大学出版社，新泽西州，1998年，第203-205页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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阿约米昆·阿德尼兰（Ayomikun Adeniran）和劳拉·普德威尔（Lara Pudwell），停车功能中的模式避免，枚举器。梳子。申请。3:3（2023），第S2R17条。
D.Applegate和J.C.Lagarias，3x+1半群《数论杂志》，第177卷，第1期，2006年3月，第146-159页；另请参见arXiv版本，arXiv:math/0411140[math.NT]，2004-2005年。
伊莎贝尔·卡桑、赫尔穆斯·马洛内克、玛丽亚·艾琳·法尔坎奥和格拉萨·托马兹，与多维多项式序列相关的组合恒等式，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.7.4条。
Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
杰伊·卡普拉夫（Jay Kappraff）和加里·亚当森（Gary W.Adamson），多边形和混沌，桥梁。
弗兰克·拉马哈罗，枚举扭曲结的状态，arXiv:1712.06543[math.CO]，2017年。
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配方奶粉
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a（n）=2*n+1。a（-1-n）=-a（n）。a（n+1）=a（n）+2。
通用名称：（1+x）/（1-x）^2。
例如：（1+2*x）*exp（x）。
带插值零点的G.f:（x^3+x）/（（1-x）^2*（1+x）^2）；例如，带插值零的f.：x*（exp（x）+exp（-x））/2-杰弗里·克雷策2012年8月25日
G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^2）），其中f（u，v）=v*（1+2*u）*（1-2*u+16*v）-（u-4*v）^2*（1+2*u+2*u^2）-迈克尔·索莫斯2007年3月30日
a（n）=b（2*n+1），其中b（n）=n，如果n是奇数，则为乘法。[这似乎说明了这一点A000027号是乘法的吗-R.J.马塔尔2011年9月23日]
a（n）=（n+1）^2-n^2。
G.f.G（x）=总和{k>=0}x ^楼层（sqrt（k））=总和_{k>=0.}x^A000196号（k） ●●●●。（结束）
a（0）=1，a（1）=3，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年5月7日
a（n）=（n-1）+n（两个连续整数的和）-多米尼克·坎奇拉2010年8月9日
n*a（2n+1）^2+1=（n+1）*a（2 n）^2；例如，3*15^2+1=4*13^2-查理·马里恩2010年12月31日
arctanh（x）=Sum_{n>=0}x^（2n+1）/a（n）-R.J.马塔尔2011年9月23日
a（n）=det（f（i-j+1））{1<=i，j<=n}，其中f（n）=A113311号（n） ；对于n<0，我们得到f（n）=0-米尔恰·梅卡2012年6月23日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1+2*（k+1）*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日
a（n）=Product_{k=1..2*n}2*sin（Pi*k/（2*n+1））=Product_{k=1。请参阅2013年10月9日的配方奶粉A000027号带有参考-沃尔夫迪特·朗2013年10月10日
注意，作为n->infinity，sqrt（n^2+n）->n+1/2，设f（n）=n+1/2-sqrt（n ^2+n）。然后，对于n>0，a（n）=圆（1/f（n））/4-理查德·福伯格2014年2月16日
a（n）=Sum_{k=0..n+1}二项式（2*n+1,2*k）*4^（k）*bernoulli（2*k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月24日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（6*n+3,6*k）*Bernoulli（6*k）-米歇尔·马库斯2016年1月11日
和{n>=1}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=Pi/4-1/2=1/（3+（1*3）/（4+（3*5）/（4+…+（4*n^2-1）/（4]…））））。囊性纤维变性。A016754号. -彼得·巴拉2024年3月28日
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例子
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G.f.=q+3*q^3+5*q^5+7*q^7+9*q^9+11*q^11+13*q^13+15*qq^15+。。。
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MAPLE公司
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数学
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线性递归〔｛2，-1｝，｛1，3｝，20〕(*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
系数列表[级数[（1+x）/（-1+x）^2，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..100]]中[2*n+1:n；
（PARI）｛a（n）=2*n+1｝
（PARI）第一（n）=Vec（（1+x）/（1-x）^2+O（x^n））\\伊恩·福克斯2017年12月29日
（哈斯克尔）
a005408 n=（+1）。(* 2)
a005408_list=[1，3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月11日，2011年6月28日
（Maxima）标记列表（2*n+1，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年12月11日*/
（Python）a=lambda n:2*n+1#因德拉尼尔·戈什2017年1月4日
（GAP）列表（[0..100]，n->2*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月16日
（弧垂）[2*n+1代表范围（100）内的n]#G.C.格鲁贝尔2018年11月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007814号
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| 2除以n的最高幂指数，也称为二进制进位序列、标尺序列或n的2-adic赋值。 |
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+10
873
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0，1，0，2，0，1，0，3，0，1，0，2，0，1，0，4，0，1，0，2，0，1，0，3，0，1，0，2，0，1，0，5，0，1，0，3，0，1，0，2，0，1，4，0，1，0，2，0，1，0，3，0，1，0，2，0，0，6，0，1，0，2，0，1，0，3，0，1，0，2、0、1、0、4、0、1、0、2、0、1、0、3、0、1、0、2、0、1、0、5、0、1、0、2、0、1、0、3、0、1、0、2、0、1、0
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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要构造序列：从0,1开始，连接以获得0,1,0,1。将+1加到最后一项上，得到0,1,0,2。将这4个项串联起来，得到0,1,0,2,0,1,2,2。将+1加到上学期等-贝诺伊特·克洛伊特2003年3月6日
序列在以下两种变换下是不变的：每个元素增加一个（1、2、1、3、1、2，1、4…），在前面和相邻元素之间放置一个零（0、1、0、2、0、1，0、3、0，1、0，2，0，1，0，4…）。中间结果是A001511号.-Ralf Hinze（Ralf（AT）informatik.uni-bonn.de），2003年8月26日
同构0->01，1->02，2->03，3->04，…，的不动点。。。，n->0（n+1）。。。，从a（1）=0开始-菲利普·德尔汉姆2004年3月15日
同态0->010，1->2，2->3，…，的不动点。。。，n->（n+1）-乔格·阿恩特2014年4月29日
a（n）也是Collatz猜想中引用的冰雹序列中对偶数重复一步的次数Alex T.Flood（whiteangelsgrace（AT）gmail.com），2006年9月22日
设F（n）为第n个费马数(A000215号). 然后F（a（r-1））除以F（n）+2^k，得到r＝k mod 2^n和r！＝1. -T.D.诺伊2007年7月12日
a（n）是以2为基数写入n时，n末尾的0的数目。
a（n+1）是以2为基数写入n时，n末尾的1的数目-M.F.哈斯勒2012年8月25日
序列是无平方的（在不包含任何形式XX的子序列的意义上）[Allouche和Shallit]。当然，它包含单个的平方项（例如4）注释展开者N.J.A.斯隆2019年1月28日
引理：对于具有r=a（n）=a（m）的n<m，存在具有a（k）>r的n<k<m。证明：我们有n=b2^r和m=c2^r，其中b<c都是奇数；在他们中间选择一个偶数；现在是a（i2^r）>r和n<i2^r<m.QED。推论：连续整数的每个有限次运行都有一个唯一的最大2进制值-杰森·金伯利2011年9月9日
a（n）=具有Heinz数n的分区中1的个数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz号定义为Product_{j=1..r}p_j-th素数（阿洛伊斯·海因茨在里面A215366型作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（24）=3；实际上，海因氏数为24=2*2*2*3的分区是[1,1,1,2]-Emeric Deutsch公司2015年6月4日
a（n+1）是高架桥编号为n的整数分区中两个最大部分之间的差值（假设0是一个部分）。例如：a（20）=2。事实上，我们有19=10011_2，这导致了分区[3,1,1]的费雷尔斯板。有关高架桥编号的定义，请参阅A290253型. -Emeric Deutsch公司2017年8月24日
除了如上所述的平方自由外，序列还具有这样的特性，即每个连续的子序列至少包含一个奇数次的数字-乔恩·里奇菲尔德2018年12月20日
a（n+1）是Sum_｛e=0..n｝u^e=（1+u+u^2+…+u^n）的二元估值，对于形式为4k+1的任何u(A016813号). -安蒂·卡图恩2020年8月15日
{a（n）}代表可数无限多帽子游戏的“第一黑帽子”策略，成功概率为1/3；请参阅下面的数字链接-弗雷德里克·鲁格2021年6月14日
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第27页。
K.Atanassov，《关于第37和38个Smarandache问题，数论和离散数学笔记》，索菲亚，保加利亚，第5卷（1999年），第2期，第83-85页。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
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链接
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阿兰·康奈斯（Alain Connes）、卡特琳娜·康萨尼（Caterina Consani）和亨利·莫斯科维奇（Henri Moscovici），Zeta零点和长波算子，arXiv:2311.18423[数学.NT]，2023。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，（2009）离散数学。，309（2009），6245-6254。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，arXiv:0901.1397[math.CO]，2009年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。参见第61页。图书网站
尼古拉斯·马莱特，锡拉丘兹猜想的证明试验，arXiv预印本arXiv:1507.05039[math.GM]，2015。
乔瓦尼·皮奇奇尼，有限自动机：特性、复杂性和变体《形式系统描述复杂性国际会议》（DCFS 2019），《形式系统的描述复杂性》，《计算机科学讲义》（LNCS，第11612卷），查姆斯普林格，57-73。
劳拉·普德威尔和埃里克·罗兰，避免自然数的分数幂，arXiv:1510.02807[math.CO]（2015）。《组合数学电子杂志》，第25卷（2）（2018年），#P2.27。见第2节。
保罗·塔劳，一类同构数据变换《Calculemus 2009》，第八届国际会议，MKM 2009，第170-185页，斯普林格，LNAI 5625。
P.M.B.Vitanyi，计数器的优化仿真《SIAM J.计算》，14:1（1985），1-33。
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配方奶粉
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如果n是奇数，则a（n）=0，否则为1+a（n/2）-莱因哈德·祖姆凯勒2001年8月11日
通用公式：A（x）=和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月10日
如果p=2，则为a（p）=1的全加性，否则为0。
Dirichlet g.f.：zeta（s）/（2^s-1）-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月17日
定义0<=k<=2^n-1；二进制：k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1；其中b（x）为0或1，表示0≤x≤n-1；定义0≤x≤n-1的c（x）=1-b（x）；那么：a（k）=c（0）+c（0c（0）*c（1）。。。c（n-1）；a（k+1）=b（0）+b（0b（0）*b（1）。。。b（n-1）.-Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年5月10日
v{2}（n）=和{r>=1}（r/2^（r+1））和{k=0..2^-A.内维斯，2010年9月28日，2010年10月4日更正
a（（2*n-1）*2^p）=p，p>=0，n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月4日
a（n）=log_2（n-（n和n-1））-加里·德特利夫斯2014年6月13日
对于正n、x和y，a（（2*x-1）*2^n）=a（（（2xy-1）*2 ^n）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫，2016年8月4日
a（n）*（n模块4）=2*楼层（（n+1）模块4）/3）-加里·德特利夫斯2019年2月16日
渐近平均值：lim_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=1-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月11日
a（n）=2*总和{j=1..层（log_2（n））}压裂（二项式（n，2^j）*2^（j-1）/n）-达里奥·德卡斯特罗2022年7月8日
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例子
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2^3除以24，因此a（24）=3。
三角形开始：
0;
1,0;
2,0,1,0;
3,0,1,0,2,0,1,0;
4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
5,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
6,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,5,0,1,0,2,...
（结束）
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MAPLE公司
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ord:=进程（n）局部i，j；如果n=0，则返回0；fi；i： =0；j： =n；而j mod 2<>1做i:=i+1；j： =j/2；od：i；结束进程：seq（ord（n），n=1..111）；
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数学
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p=2；数组[If[Mod[#，p]==0，Select[FactorInteger[#]，Function[q，q[[1]]==p]，1][1，2]，0]&，96]
数字计数[BitX或[x，x-1]，2，1]-1；基于相同概念的不同版本：Floor[Log[2，BitXor[x，x-1]]]（*Jaume Simon Gispert（Jaume（AT）nuem.com），2004年8月29日*）
嵌套[Join[#，ReplacePart[#，Length[#]->Last[#]+1]]&，{0，1}，5]（*N.J.Gunther，2009年5月23日*）
嵌套[Flatten[#/.a_Integer->{0，a+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2011年1月17日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a007814 n=如果m==0，则1+a007814n'否则为0
其中（n'，m）=divMod n 2
（哈斯克尔）
a007814 n |奇数n=0 |否则=1+a007819（n `div`2）
（R） sapply（1:100，函数（x）和（gmp:：因式分解（x）==2））#克里斯蒂安·安德森2013年6月20日
（岩浆）[估值（n，2）:n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
（Python）
导入数学
定义a（n）：返回int（math.log（n-（n&n-1），2））#因德拉尼尔·戈什2017年4月18日
（Python）
定义A007814号（n） ：return（~n&n-1）.bit_length（）#_柴华武2022年7月1日
（方案）（定义(A007814号n） （让回路（（n n）（e 0））（如果（奇数？n）e（回路（/n 2）（+1 e）））；；安蒂·卡图恩2017年10月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, 162, 200, 242, 288, 338, 392, 450, 512, 578, 648, 722, 800, 882, 968, 1058, 1152, 1250, 1352, 1458, 1568, 1682, 1800, 1922, 2048, 2178, 2312, 2450, 2592, 2738, 2888, 3042, 3200, 3362, 3528, 3698, 3872, 4050, 4232, 4418
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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“如果周期系统中的每个周期都以稀有气体结束……，则一个周期中元素的数量可以通过以下公式从该周期的序数n中求得：L=（（2n+3+（-1）^n）^2）/8……”——《自然》，1951年6月9日；《自然》411（2001年6月7日），第648页。这使当前序列加倍。
设z（1）=i=sqrt（-1），z（k+1）=1/（z（k）+2i）；则a（n）=（-1）*图像（z（n+1））/实数（z（n+1））-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月6日
成对三角形数的算术平均数：（1+3）/2，（6+10）/2，（15+21）/2-阿玛纳斯·穆尔西2005年8月5日
这些数字在乌拉姆螺旋上形成了类似于三角形数字的图案G.Roda，2010年10月20日
具有有理支的等腰直角三角形的积分面积（支为2n，且当n>0时三角形是非退化的）-里克·L·谢泼德2009年9月29日
按美国国旗分布时的恒星数量：n行n+1颗恒星，每对恒星之间有一行n颗恒星（即n-1颗），即n*（n+1）+（n-1）*n=2*n^2=A001105号（n） ●●●●-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2012年9月17日
显然，具有半长度n+3和奇数个峰值的Dyck路径的数量以及具有高度n-3的中心峰值-大卫·斯卡布勒2013年4月29日
考虑带斜边c的本原毕达哥拉斯三角形（a^2+b^2=c^2，gcd（a，b）=1）(A020882号)和各自的奇数段a(1980年)；序列给出值c-a，按删除重复项进行排序-K.G.斯蒂尔2013年11月4日
B_n和C_n型根系中的根数（当n>1时）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于n>=0的Clifford代数Cl_2，这个序列也作为[n，n，n+1，n+1]的平方的四重奏[a（n），a（n。p（n）=A046092号（n） ●●●●。请参阅2014年10月15日的评论A147973号其中还提供了参考-沃尔夫迪特·朗2014年10月16日
a（n）表示连续整数之和中的第一项，该整数等于（2n+1）^3-帕特里克·麦克纳布2016年12月24日
同时给出了（n+4）三角形蜂窝钝骑士图中3个圈的个数-埃里克·韦斯特因2017年7月29日
以数字B为基数的回文242表示的数字，包括B=2（二进制）、3（三元）和4:242（2）=18、242（3）=32、242。。。242(9)=200, 242(10)=242, ... -罗恩·诺特2017年11月14日
a（n）是等腰直角三角形斜边的平方，其边等于n-托马斯·M·格林2019年8月20日
发件人伯纳德·肖特，2021年8月31日和2021年9月16日：（开始）
证明：每n=2^q*（2k+1），q，k>=0，则2*n^2=2^（2q+1）*（2k+1）^2；现在，gcd（2，2k+1）=1，tau（2^（2q+1））=2q+2和tau（（2k+1。
2^（2q+1）的2q+2除数是{1，2，2^2，2|3，…，2^，（2q*1）}，所以2^。
结论：这2q+1个偶因子与（2k+1）^2的2u+1个奇因子恰好（2q+1）*（2u+1）个2*n^2的偶因子产生，并且（2q+1）*（2u+1）是奇数。（结束）
n>0的a（n）是保加利亚和曼卡拉纸牌游戏中周期长度为2的数字-保罗·魏森霍恩2022年1月29日
L1距离处的点数=2，距离Z^n中的任何给定点-谢尔·卡潘2023年2月25日
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参考文献
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Arthur Beiser，《现代物理概念》，第二版，McGraw-Hill，1973年。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《数学巨著，经典难题，悖论和问题》，第2章，题为“有限差分的微积分”，W.W.Norton and Company，纽约，2001年，第12-13页。
L.B.W.Jolley，“系列总结”，多佛出版社，1961年，第44页。
阿兰·罗伯特（Alain M.Robert），《p-adic分析课程》，斯普林格·弗拉格出版社，2000年，第213页。
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链接
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Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv:1301.4550[math.CO]，2013年-N.J.A.斯隆，2013年2月13日
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年。
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配方奶粉
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G.f.：2*x*（1+x）/（1-x）^3。
对于n>0，在1/（cos（x）+n-1）的Maclaurin展开式中，a（n）=1/x^2的系数-弗朗西斯科·达迪2011年8月4日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-阿图尔·贾辛斯基2011年11月24日
a（n）=楼层（1/（1-cos（1/n））），n>0-克拉克·金伯利2014年10月8日
a（n）=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限（（i+j-n+4）/3）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（2）*sinh（Pi/sqrt（3））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（2）*sin（Pi/sqrt（1））/Pi。（结束）
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例子
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a（3）=18；因为2（3）=6有3个分区，正好有两部分：（5,1），（4,2），（3,3）。将所有部分相加，我们得到：1+2+3+3+4+5=18-韦斯利·伊万·赫特2013年6月1日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{2，8，18}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
2多边形编号[4，范围[0，20]](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..50]]中的[2*n^2:n//文森佐·利班迪2011年4月30日
（哈斯克尔）
a001105=a005843。a000290号--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月12日
（鼠尾草）[2*n^2代表n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年2月22日
（GAP）列表（[0..50]，n->2*n^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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伯恩德。沃尔特（AT）法兰克福.netsurf.de
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状态
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经核准的
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