A013661-OEIS公司

A013661号

Pi^2/6=zeta（2）=Sum_{m>=1}1/m^2的十进制展开式。

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1, 6, 4, 4, 9, 3, 4, 0, 6, 6, 8, 4, 8, 2, 2, 6, 4, 3, 6, 4, 7, 2, 4, 1, 5, 1, 6, 6, 6, 4, 6, 0, 2, 5, 1, 8, 9, 2, 1, 8, 9, 4, 9, 9, 0, 1, 2, 0, 6, 7, 9, 8, 4, 3, 7, 7, 3, 5, 5, 5, 8, 2, 2, 9, 3, 7, 0, 0, 0, 7, 4, 7, 0, 4, 0, 3, 2, 0, 0, 8, 7, 3, 8, 3, 3, 6, 2, 8, 9, 0, 0, 6, 1, 9, 7, 5, 8, 7, 0 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,2`
	评论	`“1736年，他[Leonard Euler，1707-1783]发现了无穷级数的极限，总和1/n^2。他用三角函数做了一些相当巧妙的数学运算，证明了级数的总和正好是Pi^2/6。怎么会这样。。。这表明了数学最令人震惊的特征之一——看似无关的思想之间的相互联系。“-克劳森[见哈迪和赖特，定理332和333-N.J.A.斯隆2017年1月20日]` `也指双对数（1）-里克·L·谢泼德2004年7月21日` `此外，积分_{x>=0}x/（exp（x）-1）dx。【阿布拉莫维茨·斯特根（Abramowitz-Stegun），23.2.7，s=2，p.807】` `关于部分和，请参见分数序列A007406号/A007407号.` `Pi^2/6也是一个圆的周长，其直径等于椭球体与外切长方体的体积比。Pi^2/6也是一个圆的周长，其直径等于球体的表面积与外切立方体的比值-奥马尔·波尔2011年10月7日` `n>1时，1<n^2/（eulerphi（n）sigma（n））<zeta（2）-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年9月4日` `球体的体积，内接在体积Pi的立方体中。更一般地说，Pi^x/6是一个椭球体的体积，它被刻在体积Pi^（x-1）的长方体中-奥马尔·波尔2016年2月17日` `内接在表面积Pi立方体中的球体的表面积。更一般地说，Pi^x/6是一个球体的表面积，内接在表面积Pi^（x-1）的立方体中-奥马尔·波尔2016年2月19日` `zeta（2）+1是整数的加权平均数，n>2，使用zeta（n）-1作为每个n的权重。我们有：和{n>=2}（zeta（n>-1）=1和和{n>=2}n（zeta-理查德·福伯格2016年7月14日` `zeta（2）是sigma（n）/n的期望值-查理·内德2018年10月22日` `Graham证明了有理数x可以表示为不同平方的有限倒数和，当且仅当x位于[0，Pi^2/6-1）U[1，Pi ^2/6）中。其他结果见第4节，基本原理见定理5-查尔斯·格里特豪斯四世2020年8月4日`
	参考文献	`M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第811页。` `F.Aubonne、D.Guinin和B.Joppin，《数学原理》，分析2，预备课，普里米尔自行车大学，1990年，练习908，第82和91-92页。` `卡尔文·C·克劳森（Calvin C.Clawson），《数学奥秘》，《数字的美丽与魔力》（The Beauty and Magic of Number），珀尔修斯出版社，1996年，第97页。` `W.Dunham，Euler：《我们所有人的主人》，美国数学协会，华盛顿特区，1999年，第22页。` `哈代和赖特，《数字理论导论》。参见定理332和333。` `A.A.Markoff，《梅莫尔-苏拉变换》，梅姆。德拉卡德。Imp.科学。圣佩特斯堡，第三十七届，1890年。` `G.F.Simmons，《微积分宝石》，第B.15、B.24节，第270-271、323-325页，麦格劳·希尔出版社，1992年。` `阿诺德·沃尔菲斯（Arnold Walfisz），《新扎伦托里的韦尔谢指数汇总》（Weylsche Exponential summen in der neueren Zahlenthorie），德国维森沙芬大学出版社，柏林，1963年，第99页，第1期。` `A.Weil，《数论：一种贯穿历史的方法》；《从汉谟拉比到勒让德》（from Hammurapi to Legendre），伯赫用户，波士顿，1984年；见第261页。` `大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》，修订版，企鹅图书，英国伦敦，1997年，第23页。`
	链接	`哈里·史密斯，n=1..20000时的n，a（n）表` `M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。` `D.H.Bailey、J.M.Borwein和D.M.Bradley，zeta（4n+2）类Apéry恒等式的实验测定，arXiv:math/0505270[math.NT]，2005-2006年。` `彼得·巴拉，旧功能的新系列` `David Benko和John Molokach，巴塞尔问题是一系列问题的重新安排《大学数学杂志》，第44卷，第3期（2013年5月），第171-176页。` `R.卡钳，伦纳德·尤勒：第一个圣彼得堡时代（1727-1741）《数学史》，第23卷，1996年，第121-166页。` `R.查普曼，评估Zeta（2）：14 Zeta的证据（2）=（pi）^2/6` `R.W.Clickery，两个数互素的概率` `阿莱西奥·德尔维尼亚，基于微积分基本定理的巴塞尔问题求解，arXiv:2104.01710[math.HO]，2021。` `利昂哈德·尤勒，关于倒数级数的和，arXiv:math/0506415[math.HO]，2005-2008。` `利昂哈德·尤勒，倒置丝虫，E41。` `R.L.Graham，关于单位分数的有限和《伦敦数学学会学报》，第3-14页（1964年），第193-207页。doi:10.1112/plms/s3-14.193` `Michael D.Hirschorn，zeta（2）=Pi^2/6的一个简单证明《数学智能》33:3（2011），第81-82页。` `数学。参考项目，Zeta函数，Zeta（2）` `数学。参考项目，Zeta函数，两个数互素的奇数“` `R.Mestrovic，欧几里德素数无穷大定理：对其证明的历史考察（公元前300年-2012年）和另一新证明，arXiv预印本arXiv:1202.3670[math.HO]，2012。` `乔恩·佩里，基本产品悖论` `西蒙·普劳夫（Simon Plouffe），普劳夫逆变器，Zeta（2）或Pi2/6到100000位` `西蒙·普劳夫，Zeta（2）或Pi2/6到10000位` `西蒙·普劳夫，Zeta（2）至Zeta（4096）至2048位（gzipped文件）` `A.L.Robledo，s=2时Riemann zeta函数的值，PlanetMath.org。` `E.Sandifer，Euler是如何做到的，估计巴塞尔问题` `E.Sandifer，Euler是如何做到的，带积分的巴塞尔问题` `C.牙齿，Pi除以6的平方` `埃里克·魏斯坦的数学世界，Dilogarithm公司.` `埃里克·魏斯坦的数学世界，Riemann Zeta函数Zeta（2）.` `维基百科，巴塞尔问题` `赫伯特·S·威尔夫，用WZ方法计算普适常数的加速级数《离散数学与理论计算机科学》，第3卷，第4期（1999年）。` `超越数的索引项` `zeta函数的索引项.`
	配方奶粉	`极限{n->infinity}（1/n）（和{k=1..n}分形（（n/k）^（1/2）-亚尔钦·阿克塔尔2005年7月14日` `等于Integral_{x=0..1}（log（x）/（x-1））dx或Integral_{x>=1}（log（x/（x-l））/x）dx-Jean-François Alcover公司2013年5月30日` `发件人彼得·巴拉2013年12月1日：（开始）` `极限{n->oo}和{k=1..n-1}（log（n）-log（k））/（n-k）。` `也可以积分{x=0..1}z^（z^，z^…））dx，其中z=x^（-x）。（结束）` `发件人彼得·巴拉2013年12月10日：（开始）` `zeta（2）=（16/9）和{n偶数}n^2（n^2+1）/（n^2-1）^3。` `zeta（2）=3Sum_{n>=1}（20n^2-8n+1）/（（2n）（2n-1））^2C（4n，2n。` `zeta（2）=3Sum_{n>=1}（1701n^4-1944n^3+729n^2-96n+4）/（（（3n）（3n-1）（3n-2））^2C（6n，3n））（Bala，第6节）。` `请参见A108625号与A_n晶格的水晶球序列相关的zeta（2）的级数和连续分数展开。另请参见A142995号和A142999号.（结束）` `对于s>=2（包括复数），zeta（s）=Product_{n>=1}素数（n）^s/（素数（n）^s-1）-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年4月10日` `也等于1+Sum_{n>=0}（-1）^nStieltjesGamma（n）/n-Jean-François Alcover公司2014年5月7日` `zeta（2）=总和{n>=1}（（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1））/n）-米凯尔·奥尔顿2015年1月10日` `zeta（2）=和{n>=1}（（（sqrt（5）-1）/2/平方（5））^n/n^2）+和{n>=1}（-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月14日` `上述公式也可以写成zeta（2）=dilog（x）+dilog-彼得·卢什尼2015年10月16日` `zeta（2）=Integral_{x>=0}1/（1+e^x^（1/2））dx，因为（1-1/2^（s-1））Gamma[1+s]zeta[s]=Integral_{x>=0.}1/。之后Jean-François Alcover公司在里面A002162号. -Mats Granvik公司2016年9月12日` `zeta（2）=积分{x=-oo..oo}x^2sech^2（x）dx-彼得·巴拉2016年9月21日` `zeta（2）=产品{n>=1}（144n^4）/（144n ^4-40n ^2+1）-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2016年10月29日` `zeta（2）=lim_{n->无穷}（1/n）Sum_{k=1..n}A017665号（k）/A017666号（k） ●●●●-迪米特里·帕帕佐普洛斯2019年5月10日[参见Walfisz参考，以及A284648型还引用了Sándor等人的手册-沃尔夫迪特·朗，2019年8月22日]` `发件人彼得·巴拉2019年11月5日` `等于和{n>=0}（-1）^n/（2n+1）^2tan（（2n+1）Pi/3）。` `等于Integral_{x=0..oo}x^2/sinh（x）^2dx。（结束）` `等于和{k>=1}H（k）/（k（k+1）），其中H（k=A001008号（k）/A002805号（k）是第k次谐波数-阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月16日` `等于（8/3）（1/2）^4=（8/3）伽马（3/2）^4-加里·亚当森2021年8月17日` `等于（（m+1）/m）*Integral_{x=0..1}log（总和_{k=0..m}x^k）/xdx，m>0（Aubonnet参考）-伯纳德·肖特2022年2月11日`
	例子	`1.6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293700074704032...`
	MAPLE公司	`evalf（Pi^2/6120）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月25日` `#计算精确到n位小数的近似值（小偏差` `#可能是最后一个数字）。回到A.A.Markoff 1890年的观点。` `齐塔2：=proc（n）局部q，s，w，v，k；q:=0；s：=0；w：=1；v：=4；` `对于k从2乘2到7n/2 do` `w：=wv/k；` `q：=q+v；` `v：=v+8；` `s：=s+1/（w*q）；` `od；12秒；evalf[n]（%）结束：` `齐塔人2（1000）#彼得·卢什尼2020年6月10日`
	数学	`真数字[N[Pi^2/6100][[1]` `真数字[Zeta[2]，10，120][[1](哈维·P·戴尔2021年1月8日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）默认值（realprecision，200）；图^2/6` `（PARI）默认值（realprecision，200）；双对数（1）` `（PARI）默认值（realprecision，200）；泽塔（2）` `（PARI）A013661号（n） ={localprec（n+2）；Pi^2/.6\10^n%10}\\由更正和改进M.F.哈斯勒2021年4月20日` `（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi^2/6；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）10；写入（“b013661.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年4月29日` `（PARI）汇总（1/x^2，1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月20日` `（Maxima）fpprec:100$ev（bfloat（zeta（2）））$bbloat（%）/马丁·埃特尔2012年10月21日/` `（岩浆）pi:=pi（RealField（110））；反向（Intseq（底线（10^105pi^2/6））//文森佐·利班迪2015年10月13日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A001008号（H（n）：分子），A002805号（分母），A013679号（连分数），A002117号（zeta（3）），A013631号（继续压裂，用于zeta（3）），A013680型（zeta（4）的续压裂），1/A059956号,A108625号,A142995号,A142999号.` `上下文中的序列：A201587号 A110756号 A200698号A209273号 A330934飞机 A019174号` `相邻序列：A013658号 A013659号 A013660型A013662号 A013663号 A013664号`
	关键词	`欺骗,非n,美好的,改变`
	作者	`N.J.A.斯隆`
	状态	`经核准的`