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A000 248 Stern的双原子序列(或Stern Brocot序列):a(0)=0,a(1)=1;对于n>0:a(2×n)=a(n),a(2×n+1)=a(n)+a(n+1)。
(原M0141 N056)
三百零六
0, 1, 1、2, 1, 3、2, 3, 1、4, 3, 5、2, 5, 3、4, 1, 5、4, 7, 3、8, 5, 7、2, 7, 5、8, 3, 7、4, 5, 1、6, 5, 9、6, 5, 9、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

也称为FISC(n)[dijkstra ]。

A(n)/a(n+1)正好贯穿所有的非负有理数[Stern;卡尔金和Wilf ]。

如果这些术语是以数组形式写成的:

第0栏1、2、3、4、5、6、7、8、9…

第0行:0

第1行:1

第2行:1,2

第3行:1,3,2,3

第4行:1,4、3、5、2、5、3、4

第5行:1、5、4、7、3、8、5、7、2、7、5、8、3、7、4、5

第6行:1、6、5、9、4、11、7、10、3、11、8、13、5、12、7、9、2、9、7、12、5、13、8、11、3、10…

然后(忽略行0)第k行的和是3 ^(k-1),每个列是算术级数,这些步骤只不过是原始序列。- Takashi Tokita(BuTANEKO(AT)FA2,S.NET.N.JP),MAR 08 2003

斯隆,10月15日2017:(开始)

以上观察可以更精确。设k(n,k),n>=0, 0<k<=2 ^(n-1)- 1为k>0,表示上述左对齐数组的行n和列k的条目。

柱的方程0,1,2,3,4,…依次(忽略行0):

1(n>=1);

n(n>=2);

n-1(n>=3);

2N-3(n>=3);

n-2(n>=4);

3N-7(n>=4);

一般来说,列k>0是由

a(n,k)=a(k)*n-A156140(k)n==上限(Log2(k+1))+1,否则为0。

(结束)

A(n)=奇数斯特灵数Se2(n+1,2r+1)〔卡利茨〕。

Moshe Newman证明了分数a(n+1)/a(n+1)可以由先前的分数a(n)/a(n+1)=x乘以1 /(2×Lead(x)+1–x)生成。后继函数f(x)=1(/(x)+ 1 -折(x))也可以使用。

A(n+1)=n(Fink)中的交替位集数。

如果f(x)=1(/ 1 +底(x)-Frac(x)),则f(a(n-1)/a(n))=a(n)/a(n+1)为n>=1。如果t(x)=-1/x和f(x)=y,则f(t(y))=t(x)为x>0。-米迦勒索摩斯,SEP 03 2006

A(n+1)=n作为2的幂之和的写入数,每个功率最多使用两次(n的超二进制表示的数目)〔卡利茨;林德〕。

A(n+1)=n个整数的可表示为不同的偶数下标斐波那契数之和的分区(=1)A054 204(n),为不同的斐波那契数数的总和〔Bicknell Johnson〕。

A(n+1)=奇数二项式(nk,k),0 <=2*k=n.[CARLITZ],由卢卡的亚历山德罗6月11日2014

A(2 ^ k)=1。A(3×2 ^ k)=a(2 ^(k+1)+2 ^ k)=2。A(2 ^ k)=1和A(2 ^(k+1))=1之间的序列是长度为2 ^ k-1的回文,中间有(2 ^ k+2 ^(k-1))=2。A(2 ^(k-1)+1)=a(2 ^ k- 1)=k+1,k>1。-亚力山大亚当丘克10月10日2006

序列形式GF的逆系数A07334与二进制分区相关A000 0123. -菲利普弗拉杰莱特,SEP 06 2008

这个序列的术语是Pascal三角形的对角线在45度斜率中的奇数条数。- Javier Torres(AdayCalelDelo(AT)Hotmail .com),八月06日2009

设m为(1, 1, 1,0, 0, 0,…)的无限下三角矩阵,每个列向下移动两次:

1;

1, 0;

1, 1, 0;

0, 1, 0、0;

0, 1, 1、0, 0;

0, 0, 1、0, 0, 0;

0, 0, 1、1, 0, 0、0;

然后这个序列A000 248(没有初始0)是Limi{{N-> OO}M^ n的第一列。A02671加里·W·亚当森12月11日2009哈斯勒2月12日2017

A(n)=a(2×n)序列的无穷族成员;a(2×n+1)=r*a(n)+a(n+1),r=1A000 248=数组中的行1A17823. -加里·W·亚当森5月23日2010

在无限数组中等于行1A178568形式的序列

a(2×n)=r*a(n),a(2×n+1)=a(n)+a(n+1);r=1。-加里·W·亚当森5月29日2010

行和A125184斯特恩多项式。等价地,B(n,1),n阶尾部多项式在x=1处被评估。-诺德2月28日2011

KN1Y和KN2Y三角形和A180662对于他们的定义,A047 99导致上面给出的序列,例如,KN11(n)=A000 248(n+1)-A000 000 04(n),KN12(n)=A000 248(n+3)-A000 0 12(n),KN13(n)=A000 248(n+5)-A000 00 34(n+1)和KN14(n)=A000 248(n+7)-A157810(n+1)。对于骑士三角形总和的一般情况,参见斯特恩-西尔皮斯-滑雪三角形。A191372. 这个三角形不仅导致Stern的双原子序列,而且还对这一序列的片段,令人惊讶的是,它们的反向。-约翰内斯·梅杰,军05 2011

a(2 ^ k)=1和a(2 ^(k+1))=1之间的最大值是斐波那契数f(k+2)。-列奥尼德贝德拉图克,朱尔04 2012

可能是每个对角线的不同条目的数量。A223. 这意味着有一个(n+1)个数可以表示为nIM乘积2 ^×*^ ^ y,x+y=n=1。蒂尔曼皮耶斯3月27日2013

设f(m,n)是区间[a(2 ^(m-1)),a(2 ^ m-1)]中整数n的频率。设φ(n)为欧拉函数A000 000猜想:对于所有整数m,nn=m f(m,n)=φ(n)。-尤苏尤拉门迪,SEP 08 2014

早在1995年5月,就证明了A000 0360是这个序列的模3映射,(+ 1,- 1,+ 0)/2。A000 248(无初始0)。-M. Jeremie Lafitte(利维塔斯)4月24日2017

在字母表{,+}:CHF(1)='-';CHF(2×n+1)=否定(CHF(n));CHF(2×n+1)=否定(级联(CHF(n),CHF(n+1))”中定义ChistOffelWord的序列CHF(n)。然后CHF(n)字的长度是FISC(n)=a(n);CHF(n)字中的“--”符号的数目是C-FISC(n)=(n)。A28 729(n);CHF(n)字中的“+”-符号的数目是sFISC(n)=A28 730(n)。见下面的例子。-第五节,军01 2017

该序列可以被扩展,使得a(n)=a(-n),a(2×n)=a(n),a(2×n+1)=a(n)+a(n+1),对于Z.中的n都是-n。米迦勒索摩斯6月25日2019

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“核心”序列的索引条目

分数树索引条目

与Stern序列相关的序列索引条目

与树相关的序列的索引条目

公式

a(n+1)=(2×k+ 1)*a(n)-a(n-1),其中k=楼层(a(n-1)/a(n))。-戴维·S·纽曼04三月2001

设e(n)=A000 7814(n)=2次幂n的幂的指数,然后a(n+1)=(2k+1)*a(n)-a(n-1),n>0,其中k=e(n)。此外,地板(a(n-1)/a(n))=e(n),与D. Newman公式一致。- Dragutin Svrtan(DVRTAN(AT)数学HR)和Igor Urbiha(UrBiHA(AT)数学HR),1月10日2002

卡尔金和Wif显示了0.9588<LimSup A(n)/n^(log(φ)/log(2))<1.1709,其中φ是中值。这个上极限是1吗?-班诺特回旋曲1月18日2004

A(n)=SUMY{{K=0…地板((N-1)/ 2)}(二项式(N-K-1,K)MOD 2)。-保罗·巴里9月13日2004

A(n)=SuMu{{K=0…n-1 }(二项式(k,n-1 k-1)mod 2)。-保罗·巴里3月26日2005

G.f. A(x)满足0=f(a(x),a(x^ 2),a(x^ 4)),其中f(u,v,w)=v^ 3+2*u*v*w~u^ 2*w。米迦勒索摩斯02五月2005

G.f. A(x)满足0=f(a(x),a(x^ 2),a(x^ 3),a(x^ 6)),其中f(u1,u2,u3,u6)=u1^ 3*u6- 3*u1^ 2*u2*u6+3*u2^ 3*u6- u2^ 3*u3。-米迦勒索摩斯02五月2005

G.f.:x*乘积{k>=0 }(1 +x^(2 ^ k)+x^(2 ^(k+1)))〔卡利茨〕。

a(n)=a(n-2)+a(n-1)-2 *(a(n-2)mod a(n-1))。-迈克逗留06月11日2006

A079778(n)=(1 +e^(i *皮*)*A000 248(n))/ 2,i=SqRT(- 1)。-保罗·巴里1月14日2005

A(n)=SuMu{{K=1…n} K(k,n- k)*a(n- k),其中k(n,k)=1,如果0 <k=k,n=k=2,k(n,k)=0。(当使用这样的k系数时,k或几个不同的k的不同的不同参数可能导致相同的整数序列。例如,如果我们在上述定义中放弃条件k<=n,那么我们到达A000 203= Narayana Zidek Capell数)托马斯维德1月13日2008

a(k+ 1)*a(2 ^ n -k)-a(k)*a(2 ^ n-(k+1))=1;a(2 ^ n -k)+a(k)=a(2 ^(n+1)+k)。这两个公式都适用于0<k<=2 ^ n-1。G.f.:G(z)=A(1)+A(2)*Z+A(3)*Z^ 2 +…+a(k+ 1)*Z^ k+…定义f(z)=(1 +Z+Z^ 2),然后G(z)=LIM f(z)*f(z ^ 2)*f(z ^ 4)*…*f(z ^(2 ^ n))*…=(1 +Z+Z^ 2)* G(Z^ 2)。- Arie Werksma(WelksMa(AT)TiSCALI .NL),4月11日2008

a(k+ 1)*a(2 ^ n -k)-a(k)*a(2 ^ n-(k+1))=1(0<k<=2 ^ n- 1)。- Arie Werksma(WelksMa(AT)TiSCALI .NL),4月18日2008

A(2 ^ n+k)=a(2 ^ n~k)+a(k)(0<k<=2 ^ n)。- Arie Werksma(WelksMa(AT)TiSCALI .NL),4月18日2008

设G(z)=A(1)+A(2)*Z+A(3)*Z^ 2 +…+a(k+ 1)*Z^ k+…,f(z)=1+Z+z ^ 2。然后G(z)=Limi{{N-> INF}f(z)*f(z ^ 2)*f(z ^ 4)**f(z ^(2 ^ n)),g(z)=f(z)*g(z ^ 2)。- Arie Werksma(WelksMa(AT)TiSCALI .NL),4月18日2008

对于0 <=k<=2 ^ n- 1,写出k= b(0)+2 *b(1)+4 *b(2)+…+2 ^(n-1)*b(n-1),其中b(0)、b(1)等为0或1。定义一个2×2矩阵x(m),其中条目x(1,1)=x(2,2)=1,x(1,2)=1—B(m),x(2,1)=B(m)。设p(n)=x(0)*x(1)*…*x(n-1)。矩阵P的条目是序列的成员:p(1,1)=a(k+1),p(1,2)=a(2 ^ n-(k+1)),p(2,1)=a(k),p(2,2)=A(2 ^ n-k)。- Arie Werksma(WelksMa(AT)TiSCALI .NL),4月20日2008

设F(x)=A030101(x);如果2 ^ n+1 <=x<2 ^(n+1)和y=2 ^(n+1)-f(x- 1),则a(x)=a(y)。-阿里韦克斯玛(WiksMa(AT)TiCasii .NL),7月11日2008

A(n)=A126606(n+1)/ 2。-雷库库隆,10月05日2008

等于[1,1,1,0],0,0,0,0]的无限卷积乘积A000 0 79- 1次,即[1,1,1,0-,0,0,0,0],*[1,0,1,0,1,0,0,0,0] *[1,0,0,0,1,0,0,01]。-马格兰维克加里·W·亚当森,OCT 02 2009;校正马格兰维克10月10日2009

a(2 ^(p+1)*n+2 ^(p+1)-1)-a(2 ^(p+1)*n+2 ^ p-1)=2A000 7306(n+1),p>0,n>=0。-约翰内斯·梅杰,07月2日2013

A(2*n-1)=A000 7306(n),n>0。-尤苏尤拉门迪6月23日2014

A(n×2 ^ m)=a(n),m>0,n>0。-尤苏尤拉门迪,朱尔03 2014

A(K+ 1)*A(2 ^ M+K)-A(K)* A(2 ^ M +(K+1))=1,M>=0, 0 <= K<2 ^ m。尤苏尤拉门迪07月11日2014

a(2 ^(m+1)+(k+1))*a(2 ^ m+k)-a(2 ^(m+1)+k)*a(2 ^ m+(k+1))=1,m>=0, 0=k< 2 ^ m。尤苏尤拉门迪07月11日2014

A(5×2 ^ k)=3。A(7×2 ^ k)=3。A(9×2 ^ k)=4。A(11×2 ^ k)=5。A(13×2 ^ k)=5。A(15×2 ^ k)=4。一般(a(2J-1)* 2 ^ k)=A000 7306(j),j>0,k>=0(参见Adamchuk的评论)。-尤苏尤拉门迪05三月2016

a(2 ^ m+2 ^ m+k′)=a(2 ^ m′+k′)(m m′+1)-a(k′),m>0,m′<=m -1,0 <=k′<2 ^ m′。-尤苏尤拉门迪7月13日2016

尤苏尤拉门迪,7月13日2016:(开始)

设n是一个自然数和[BYM B~(M-1)…BY1 BY0]其B2M=1的二元展开。

设L=SuMi{{i=0…M} Byi是二进制数等于1(L>=1)。

设{Myj:j=1…L}是子索引的集合,使得ByMyj=1,j=1…L,和0 <=My1 <=My2<=…<MyL= m。

如果L=1,则Cy1=1,否则让{Cyj:j=1…(L-1)}是系数的集合,使得C^(j)=Myj(j+1)-Myj+1, 1<j<=L-1。

设F是{ 1…L+1 }上定义的函数,使得f(1)=0,f(2)=1,f(j)=c^(j-2)*f(j-1)-f(j-2),3 <=j <=L+1。

然后A(n)=f(L+1)(见例子)。(结束)

A(n)=A000 1222A26044(n)=A000 0120A77020(n)。也是(n)=A000 0120A101624(n-1)n=1。-安蒂卡特宁05月11日2016

(a(n-1)+a(n+1))/a(n)=A037 227(n)n>=1。-彼得巴拉,07月2日2017

A(0)=0;A(3n)=2**A000 0360(3n-1);a(3n+1)=2A000 0360(3n)- 1;a(3n+2)=2A000 0360(3n+1)+1。-M. Jeremie Lafitte(利维塔斯)4月24日2017

第五节,6月14日2017:(开始)

A(n)=A87896(n-1)- 1**A26800(n-1)n>1;

A(n)=A000 7306(n-1)- 2**A26800(n-1)n>1。(结束)

尤苏尤拉门迪,2月14日2018:(开始)

A(2 ^(m+2)+2 ^(m+1)+k)-a(2 ^(m+1)+2 ^ m+k)=2×a(k),m>=0, 0 <=k< 2 ^ m。

A(2 ^(m+2)+2 ^(m+1)+k)-a(2 ^(m+1)+k)=a(2 ^ m+k),m>=0, 0 <=k< 2 ^ m。

A(2 ^ m+k)=a(k)*(m -层(Log2(k))- 1)+a(2(底(Log2(k))+1)+k),m>=0, 0<k<2 ^ m,a(2 ^ m)=1,A(0)=0。

(结束)

尤苏尤拉门迪,五月08日2018:(开始)

A(2 ^ m)=1,m>0。

A(2 ^*(2×k+ 1))=a(2 ^ r*(2×k))+a(2 ^ r*(2×k+2)),r<m -层(Log2(k))-1,m> 0, 1 <=k< 2 ^ m。

(结束)

例子

Stern的双原子阵列开始:

1,1,

1,2,1,

1,3,2,3,1,

1,4,3,5,2,5,3,4,1,

1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1,

1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,…

A(91)=19,因为9110=10111 112;BY6=BY3=BY1= BY2=1;BY5=BY2=0;L=5;My2=1,MY3=3,MY4=4,MY5=6;CY1=2,CY2=3,CY3=3,CY4=Y;F(α)=γ,F(α)=γ,F(α)=γ,F(α)=γ,F(α)=γ。-尤苏尤拉门迪7月13日2016

第五节,军01 2017:(开始)

A(n)是ChistOffelWord CHF(n)的长度:

n CHF(n)A070939(n)a(n)

1’-’1’1

2’+’2 2

3′+-′2 2

4’-’3’1

5’-+' 3 3

6’-+’3 3

(结束)

G.F= x+x^ 2+2×x^ 3 +x^ 4+3×x^ 5+2×x^ 6+3×x^ 7+x^ 8+…-米迦勒索摩斯6月25日2019

枫树

A000 248记住,如果n=1,则n eLIF n mod 2=0,然后序列化(n/2);否则PROCENT((n-1)/2)+ PROCEND((n+1)/2);Fi;结束:SEQ(A000 248(n),n=0。91);

A000 248= PoC(m)局部A,B,N;A:=1;B:=0;n:= m;而n>0如果类型(n,奇),则b:= a+b,否则a:= a+b结尾;如果:n:=楼层(n/2);结束DO;b;结束PROC:SEQ(A000 248(n),n=0…91);E. Dijkstra改编的程序,计算著作选集,Springer,1982,第232页。- Igor Urbiha(UrBiHA(AT)数学HR),10月28日2002。自从A000 7306(n)=a(2×n+1),此程序可适用于A000 7306用B:=1代替B=0。

A000 248= PROC(n:整数)本地k;选项记住;如果n=0,则0 ELIF n=1,然后1个加法(k(k,n1-k)*PROCENT(n-k),k=1…n)结束如果结束进程:

K:= PROC(n::整数,k::整数)本地KC;如果0 <= k和k<=n和N-k<=2,则KC:= 1;否则KC:= 0;结束IF;结束PROC:SEQ(A000 248(n),n=0…91);托马斯维德1月13日2008

Mathematica

A〔0〕=0;A〔1〕=1;A [n]:= I[ Enq[n],a[n/2 ],a[(n-1)/2 ] +a[(n+1)/2 ] ];表[a[n],{n,0, 100 }](*程序结束*)

OnEMRO[LY]:=转置[{L,L+RoATTeleFt[L] }] / /平坦;

NestList[OnEnORE,{ 1 },5〕/ /平坦(*给出[a(1),…] *)(* Takashi Tokita,MAR 09×2003)

ToBi[Li]:=表[2 ^(n - 1),{n,长度[L] }]。

Sp[排序] [ ToBi,表[整数数字](n - 1, 3),{n,500 } SudioEdvultIdOrth](*给出[a(1),…] *)(* Takashi Tokita,3月10日2003*)

A000 248[My]:=模块[{a=1,b=0,n=m },而[nd> 0,如果[Odqq[n],b=a+b,a=a+b];n=楼层[n/2 ];b];表[]A000 248[n],{n,0, 100 }(*)让弗兰,SEP 06 2013,翻译自第二枫叶计划*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=n=ABS(n);如果(n<2,n>0,a(n=2)+IF(n% 2,a(n=2+1))};

(PARI)FISC(n)=局部(A=1,B=0);而(n=0,IF(比特(n,1),b+= a,a+= b);n>>1);b \查尔斯,10月05日2008

(帕里)A000 248(n,a=1,b=0)=(i=0,Login(n,2),If(BITTEST(n,i),b+= a,a+= b));哈斯勒,2月12日2017,2月14日更新2019

(哈斯克尔)

A000 248N=A00 24248名单!n!

AA24248Syb=0:1:Stern(1)

Stern FiCS=FoCS+ + Stern FiCS

FISCS’=交织FISCS $ ZIPFIX(+)FUCSCS $(尾部FUCS)+ +〔1〕

交错[] ys= yS

交织(x:xs)ys= x:交织YS XS

——莱因哈德祖姆勒8月23日2011

(r)

n<50

A<1

(n在1:n)

{

a[**n]=a[n]

a〔2×n+1〕=a[n]+a[n+1 ]

}

γ尤苏尤拉门迪,10月04日2014

(方案)

MaMeMeCudio的实现可以在例如:HTTP:/OEIS.Org/Wik/M忆化中找到。

(定义)A000 248n()((<=n 1)n)(偶数)?n)A000 248(/n 2))(除(+)(+)A000 248(/(-N 1)2)A000 248(/(+N 1)2×α)

安蒂卡特宁05月11日2016

(Python)DEF A(n):如果n<2否则A(n/2)返回n,如果n%=2=0否则A((n- 1)/2)+a((n+1)/2)英德拉尼尔-豪什,军08 2017

(圣人)

DEFA000 248(n):

M=〔1, 0〕

对于B的N比特():

M[B]=m〔0〕+m〔1〕

返回M [ 1 ]

打印()A000 248(n)n(0…91)中的n)

一个双视图A17480.彼得卢斯尼11月28日2017

(朱丽亚)

使用NEMO

函数A00 2408LIST(LEN)

A,A=QQ(0),〔0, 1〕

N在1:LeN

A= NeX-Kalkimi-WiRF(a)

推!(a,分母(a))

结束

结束

AA24248LIST(91)> >彼得卢斯尼3月13日2018

(r)给定n,通过考虑n的二进制表示来计算a(n)

一个<函数(n){

B<-as.Digic(ItToBIT(n))

L<和(B)

m<(b=1)- 1

D<1

如果(L>1)(j(1)(L-1))d[j]<m [j+1 ] -m [j]+1

F<C(0, 1)

如果(L>1)为(j在3:(L+1))f[j] <-d[j-2] *f[j-1 ] -f[j-2]

返回(F[L+1)]

}尤苏尤拉门迪12月13日2016

(r)α计算序列作为向量A,而不是函数A()。

A—C(1, 1)

选择的最大值<5

对于(m在1:Max Lead){

A〔2 ^(m+1)〕<1

对于(k在1:(2 ^ M-1)){

r<m -楼层(Log2(k))- 1

a〔2 ^ r*(2*k+ 1)〕< a[2 ^ r*(2*k)] +a[2 ^ r*(2*k+2)]

}

一个尤苏尤拉门迪08五月2018

(岩浆)[++[(二项式(k,n-1 k-1)mod 2):k在[0…n] ]:n在[ 0…100 ] ]中;文森佐·利布兰迪6月18日2019

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0123A000 0360A000 1045A000 203A011655A020950A02671A037 227A0461515A04405A07081A070872A071883AA07345A084091A101624A126606A17480A17491A17823A178568A21288A213369A26044A77020A77325A28 729A28 730A23160.

记录值在A21289.

如果1对被1对替换A04406.

逆:A020946.

CFA(A)A000 1045(n)=A000 00 45(n)。A(A062092(n)=A000 0 32(n+1)。

囊性纤维变性。A06881A-A0648(Stern Brocot子树)。

一列A072170.

囊性纤维变性。A04405对于Stern的双原子阵列的0,1版本。

囊性纤维变性。A000 0119A262097对于其他碱基中的类似序列A77189A77315A77328对于具有相似图的相关序列。

囊性纤维变性。A08692并将其引用到与开普勒分数树相关的其他序列。

语境中的顺序:A2444 A21392 AA707051*A318509 A263017 A245328

相邻序列:A000 248 A000 2485 A000 248*A000 2488 A000 2488 A000 2490

关键词

诺恩容易核心

作者

斯隆

扩展

附加引用和评论伦斯迈利约书亚祖克里克·谢泼德Herbert S. Wilf

定义中的类型错误莱因哈德祖姆勒8月23日2011

不正确的公式删除和文本编辑约翰内斯·梅杰,07月2日2013

地位

经核准的

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最后修改9月18日22:03 EDT 2019。包含327183个序列。(在OEIS4上运行)