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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
一些具有（相对）简单普通生成函数的分治序列

一些具有（相对）简单普通生成函数的分治序列

版本2004-01-1
拉尔夫·斯蒂芬（Ralf Stephan）

介绍

在下面，收集了大约100个序列，它们是由普通生成函数生成形式为1/（1-x）^m*sum（k=0，inf，C^k*R（x^2^k）），其中m=0,1,2，C为整数，R为有理函数。给定的复发确实是由上述函数生成（以及大多数序列是分形的）下面的部分.

对于所有复发组织环境信息系统条目，以及在可能的情况下，助记符和“封闭形式”是鉴于。链接周围的括号表示可以从通过移位等基本操作进行的递归。使用的缩写是[日志2（n）]对于A000523号（n） ，v2（n）对于A007814号（n） ，e1（n）对于A000120号（n） ，和e0（n）对于A023416号（n） 。如果省略参数，则为被理解为n。重复开始值a（0）始终为0。

形式a（2n）=C*a（n）+P（n），a（2n+1）=Q（n）（1）

在这里和之后，P和Q是n的函数，可由有理生成函数，C整数。

形式a（2n）=C*a（n）+P（n），a（2n+1）=Q（n）的递归
a（2n）=a（2n+1）=形式记忆的
A007814号 a（n）+10第2版2元估值，2^a（n）除以n
A001511号 a（n）+11v2+1版2^a（n）除以2n
A037227号 a（n）+212v2+1
A088705号 a（n）-111-第2版差异(A000120号)
(A059139号)a（n）+343v2+4个分层序列
(A036987号)a（n）[n==0][n==2^k]n是2的幂
A089263号 a（n）+1-1+[n==0]v2-1+[n==2^k]差异(A023416号)
A006519号 2a（n）12平方英寸2 div.n的最大功率
A038712号 2a（n）+112^（v2+1）-1尼姆-苏姆
A061393号 3a（n）-223^v2+1
A085296号 3a（n）+3三（3^（v2+2）-1）/2-1加泰罗尼亚语mod 3
A065916号 4a（n）+378*4^v2-1sigma表达式的分母。
A035263号 -a（n）+11（1-（-1）^v2）/2v2（2n）模块2
(A003602号)a（n）n个（n/2^v2+1）/2分形序列
A000265号 a（n）2n+1n/2^v2n的最大奇除数
A089265号 a（n）+12个v2+n/2^v2-1差异(A005576号)
A086799号 2a（n）+12n+1n+2^v2-1开关尾随0s
A038189号 a（n）n%2(1-(-1)^A025480号)/2个lsb/折纸序列的左边。
(A082392号)a（n）2^个2^（（n/2^v2-1）/2）2^A025480号
A055975号 2a（n）（-1）^n（参见条目）diff（格雷码）
A002516号 2a（n）f（n）**f（n）=3n+1/2-（n-5/2）（-1）^n
A045674号 a（n）+2^（n-1）2^个 2n-珠平衡箱串
A091512号 2a（n）+2n2n+1n*v2+n2^a（n）除以（n）^（n）
A091519年 2a（n）+（2n）^2（2n+1）^22n^2-n^2/2^v2

形式a（2n）=C*a（n）+P（n），a（2n+1）=C*a（n，n）+Q（n）（2）

序列都是前面的形式（1），并以a（0）=0开头。

情况C=1
形式a（2n）=a（n）+P（n），a（2n+1）=a
P（n）Q（n）形式记忆的
A000120号 01e1（n）ones计数函数
A023416号 10e0（n）零点计数功能
A070939号 11[对数2（n）]+1二进制长度
(A061313号)212e0+e1停车问题
A056791号 122e1+e0二进制权重+长度
A037861号 1-1e0-e1
A057427号 0[n==0][n>0]符号（n）
A000523号 11-[n==0][日志2（n）]
(A086694号)[n==1]0 运行2^k个1s和0s
A011371号 n个n个n-e1v2（n！）
A000027号 n个n+1n个
A080804号 n+1n+2-[n==0]n+[对数2（n）]立方体子图
A083058美元 n-1个n个n-1-[对数2（n）]特征值
A005187号 2个2n+12n-e1型v2（（2n）！）
A049039号 2n-1个2n+12n-1-[对数2（n）]康奈尔序列
A071413号 2个-2n-1个
A004134号 3纳米3号机组+2号机组3n-e1型名称。英寸（1-x）^（-1/4）
A050487号 3n-2个3n+13n-2-[对数2（n）]康奈尔序列
A005766号 n ^2个n^2+2n 最小成本附加链
A069010型 0[偶数] 运行个1
A033264号 [奇数]0 计数“10”
A014081号 0[奇数] 计数“11”
A033265号 1[奇数] bin.repr中的增加点。
A056973号 [偶数]0 计数“00”
(A037809号)[偶数]1 bin.repr中的减少点。
A037800型 0[n>0偶数] 计数'01'
A005811号 [奇数][n偶数] e1（n的格雷码）
A014082号 0[n=3模块4] 计数“111”
A014083号 0[n=7 mod 8] 计数“1111”
情况C=2
形式a（2n）=2a（n）+P（n），a（2n+1）=2a-（n）+Q（n）的递归
P（n）Q（n）形式记忆的
A053644美元 0[n==0]2^[对数2（n）]msb公司
A062383号 02[n==0]2*2^[log2（n）]
(A035327号)10-n-1+2*2^[对数2（n）]交换0和1
A054429号 1[n==0]-n-1+3*2^[对数2（n）]N的置换
(A010078号)12[n==0]-n-1+4*2^[对数2（n）]-2的补码中的n
A000027号 01n个
A005843号 022个
A004754号 01+[n==0]n+2^[对数2（n）]开始“10”
A004755号 01+2[n==0]n+2*2^[对数2（n）]启动“11”
A080079号 0-1+2[n==0]-n+2*2^[对数2（n）]最长进位序列
A004756号 01+3[n==0]n+3*2^[对数2（n）]开始“100”
A079946号 02+4[n==0]2n+4*2^[对数2（n）]阿伦森式
A003817号 112*2^[对数2（n）]-1a（n-1）或n
A089262号 [n==1]02^flg（n）-2^flg（2/3n）
(A079251号)4-3[n==1]6-5[n==0]3*2^flg（n*2/3）+2n-2个类Aronson
A062050型 -1[n==0]n+1-2^[log2（n）]运行1…2^k
A006257号 -112n+1-2^[对数2（n）]约瑟夫斯问题
A076877号 -1-1+4[n==0]1+2*2^[对数2（n）]
A003188号 [n奇数][偶数] 格雷码
A038554号 [奇数][n>0偶数] n的“导数”
(A006520号)n个n+1 部分。2^v2之和
A080277号 2个2n+1 部分。2^（v2+1）-1的和
A048724号 02（-1）^n+1 反转箱报告（共份）
其他情况
形式a（2n）=Ca（n）+P（n），a（2n+1）=Ca+Q（n）的递归
C类P（n）Q（n）记忆的
A005836号 三01三元代表不含2
A005824号 三02三元代表不含1
A081601号 三0三3不除以C（2k，k）
(A055246号)三06与Cantor集合相关
A083904型 三10
A000695号 401Moser-de Bruijn序列
A001196号 40三双重苦味
A065359号 -101交替位和
A083905号 -110
A030300型 -111长度2^k
A030301号 -111-[n==0][log2（n）]模块2
A068639号 -1n个n+1部分。（-1）^v2的总和
A076902号 -1n个n+[n==0]
A050292号 -12个2n+1N的双自由子集
(A079420型)-12n+12n+2-[n==0]
(A022441美元)-19个+3个9n+6-[n==0]
A053985号 -201将二进制文件中的2^k替换为（-2）^k
A063695号 -22个2个取下均匀的钻头
A063694号 -22个2n+1每2位删除一次
A057300型 -25个5牛顿+2二进制计数器

形式a（2n）=C*（a（n）+a（n-1））+P（n），a（2n+1）=2C*a（n，n）+Q（n）（3）

P和Q是n的函数，可由有理生成式表示函数，C整数。序列都是前一形式（2），a（0）=0。

形式a（2n）=C（a（n）+a（n-1））+P（n），a（2n+1）=2Ca（n）+Q（n）的递归
C类P（n）Q（n）记忆的
A080776号 1[n==1]0振荡序列
(A060973型)10[n==0]
(A006165号)1[n==1][n==0]约瑟夫斯问题
(A007378号)1[n==1]3[n==0]a（a（n））=2n
A000027号 111n个
(A079945号)13-2【n==1】3-3【n==0】
(A059015型)1n个n个部分。e0的和
A000788号 1n个n+1部分。e1的总和
A078903号 1n-1个n个分形发生器
A076178号 12n-2个2个勒让德波尔。扩张
(A061168号)12n-1个2个部分。[log2（k）]的总和
A001855号 12个2n+1二进制插入排序比较
(A003314号)12n+12n+2二元熵
(A033156号)12n+22n+3
(A067699号)12n+22个+4个快速排序比较
(A077071号)12n^2+n2n^2+3n+1
(A063915号)211
(A073121号)22[n==1]4[n==0]关于正则表达式算法
A006581号 2n个0和（k与n-k）
A006582号 24n-4个6个总和（k XOR n-k）
A006583号 25n-4个6个总和（k或n-k）
A022560型 2n ^2+n（n+1）^2
(A048641号)22*天花板（n/2）n+1部分。格雷码和
A005536号 -1n个n+1科赫曲线
A087733号 -1n ^2+nn^2+2n+1总和（总和（（-1）^v2））

理论

引理。设A（z）是形式有理函数的无穷和A（z）=和（k=0，inf，C^k*B（z^（2^k））），B有理数，C整数。然后A（z）生成一个整数序列满足分治类型a（0）=0，a（2n）=Ca（n）+b（2n，其中b（n）是由b（z）生成的序列。

k=0的求和项填充了a（n）的两个二分之一因为C^k和2^k减少到1。任何其他期限供款只有到a（2n），因为z的所有指数都是偶数。此外单项总和变得越来越稀疏（按系数2展开），并且具有值乘以C，关于彼此之间。这基本上是a（n）分形的原因。

注意，引理的证明很容易，因为在递归的奇二分等于递归的截断，离开计算v2（n）步的偶数对分。可以从中生成函数的集合此Postscript文件（6页）。一个悬而未决的问题是，这里讨论的所有序列是否都是2-正则的。

参考文献：

杜马博士，分而治之.

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