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A000005号 |
| d(n)(也称为τ(n)或σ0(n)),n的除数。 (原名M0246 N0086)
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4534
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1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e(p),那么d(n)=乘积(e(p)+1)。更一般地说,对于k>0,sigma_k(n)=Product_p((p^((e(p)+1)*k))-1)/(p^k-1)是n的除数的k次幂之和。
将n写成n=x*y,1<=x<=n,1<=y<=n的方法的数量。关于x*y=n的无序解的数量,请参见A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p,这样所有部分都具有相同的基数,即max(p)=min(p)-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n,这是将n划分为连续整数的次数。证明:对于n=1,明显正确。对于n=2k+1,k>=1,将每个(必然是奇数)除数映射到这样的分区,如下所示:对于1和n,分别映射k+(k+1)和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt(n),映射(n/d-(d-1)/2)+…+(n/d-1)+(n/d)+(n/d+1)+…+(n/d+(d-1)/2){也就是说,n/d加上(d-1)/2对,每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt(n),map((d-1)/2-(n/d-1))+…+((d-1)/2-1)+(d-1((d+1)/2+(n/d-1)){即,n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区必须是上述形式之一,因此1对1的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau(k)>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日
a(n)也是2*n划分为相等部分的数量,减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k(n)=log d(n)*log log n/(log 2*log n),则lim-sup k(nA280235型)每一个n(尼古拉斯和罗宾,1983年)。
存在无穷多个n,使得d(n)=d(n+1)(Heath-Brown,1984)。此类整数n<=x的数量至少为c*x/(log-log x)^3(Hildebrand,1987),但最多为O(x/sqrt(log-log x))(Erdős,Carl Pomerance和sárközy,1987)。
(结束)
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参考文献
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链接
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小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
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配方奶粉
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如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a(n)=(z+1)*(y+1)*。。。
a(n)=2当n是素数时。
通用公式:求和{n>=1}a(n)x^n=求和{k>0}x^k/(1-x^k)。这通常称为兰伯特系列(见克诺普,蒂奇马什)。
a(n)=和{k=1..n}f(k,n)其中f(k、n)=1,如果k除以n,则为0(Mobius变换A000012号). 等价地,f(k,n)=(1/k)*和{l=1..k}z(k,l)^n与z(k、l)是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
通用公式:和{k>0}((-1)^(k+1)*x^(k*(k+1-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a(n)=n-总和{k=1..n}(天花板(n/k)-地板(n/k))-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
通用公式:和{k>0}x^(k^2)*(1+x^k)/(1-x^k)。Dirichlet g.f.:zeta(s)^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a(n)/(n^n)=和{n>0,m>0}1/(n*m)-杰拉尔德·麦卡维2007年12月15日
对数g.f.:求和{n>=1}a(n)/n*x^n=-log(乘积{n>=1}(1-x^n)^(1/n))-乔格·阿恩特2008年5月3日
a(n)=总和{k=1..n}(楼层(n/k)-楼层(n-1)/k))-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日
对于n>1,a(n)=2+和{k=2..n-1}层((cos(Pi*n/k))^2)。和floor((cos(Pi*n/k))^2)=floor(1/4*e^(-(2*i*Pi*n)/k)+1/4*e*((2*i*Pi*n/k)+1/2)-埃里克·德斯比亚,2010年3月9日,2011年4月16日更正
a(n)=1+总和{k=1..n}(楼层(2^n/(2^k-1))mod 2),针对每个n.Fabio Civolani(civox(AT)tiscali.it),2010年3月12日
(Sum_{d|n}a(d))^2=Sum_}d|n{a(d,d)^3(J.Liouville)。
a(n)=σ_0(n)=1+求和{m>=2}求和{r>=1}(1/m^(r+1))*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^(r+1)-1}e^(2*k*Pi*i*(n+(m-j)*m^r)/m^(r+1))-A.内维斯2010年10月4日
求和{n>=1}a(n)*q^n=(log(1-q)+psi_q(1))/log(q),其中psi_q(z)是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/(1-x^k)得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.:求和{n>=1}求和{d|n}(-log(1-x^(n/d))^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a(n)=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/(1-x^k)的残数之和得到的-基里卡米(Seiichi Kirikami)2015年10月22日
一般公式:2*x/(1-x)-和{k>0}x^k*(1-2*x^k)/(1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日
a(n)=和{k=1..n}1/phi(n/gcd(n,k))-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a(k*n)=a(n)*(f(k,n)+2)/(f(k,n)+1),其中f(k、n)是k除以n的最高幂的指数,k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a(n)=(1/n)*求和{k=1..n}σ(gcd(n,k)),其中σ(n)=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}φ(gcd(n,k))*sigma(n/gcd(n,k))/phi(n/gccd(n、k))。(结束)
a(n)=和{j=1..n}和{k=1..j}(1/j)*cos(2*k*n*Pi/j);
a(n)=求和{j=1..n}求和{k=1..j}(1/j)*e^(2*k*n*Pi*i/j),其中i^2=-1。(结束)
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例子
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G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
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MAPLE公司
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带有(数字理论):A000005号:=τ;[seq(τ(n),n=1..100)];
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数学
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系数列表[系列[(Log[1-q]+QPolyGamma[1,q])/(q Log[q]),{q,0,100}],q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*)
a[n_]:=系列系数[(QPolyGamma[1,q]+Log[1-q])/Log[q],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*)
a[n]:=级数系数[q/(1-q)^2 q超几何PFQ[{q,q},{q^2,q^2},q,q^2],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*)
a[n_]:=级数系数[q/(1-q)q超几何PFQ[{q,q},{q^2},q,q],{q,0,绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*)
具有[{M=500},系数列表[Series[(2x)/(1-x)-Sum[x^k(1-2x^k)/(*马穆卡·吉卜拉泽2018年8月31日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n==0,0,numdiv(n))}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
(PARI){a(n)=n=abs(n);如果(n<1,0,方向(p=2,n,1/(1-X)^2)[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=1,n+1,和div(m,d,(-log(1-x^(m/d)+x*O(x^n)))^d/d!),n)}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
(岩浆)[1..100]]中的[NumberOfDivisors(n):n;//谢尔盖·哈勒(Sergei(AT)Sergei-Haller.de),2006年12月21日
(MuPAD)编号::tau(n)$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
(Sage)[范围(1105)内n的σ(n,0)]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
(哈斯克尔)
除数1=[1]
除数n=(1:过滤器((==0))。雷姆)
[2..n`div`2])++[n]
a=长度。约数
(哈斯克尔)
a000005=产品。地图(+1)。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
(Python)
从sympy导入divisor_count
对于范围(1,20)中的n:print(divisor_count(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
(GAP)列表([1..150],n->Tau(n))#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007427号(Dirichlet逆),A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051号,A001826号,A001842号,A049820号,A051731号,A066446号,A106737号,A129510号,A115361号,A129372号,A127093号,A143319号,A061017号,A091202号,A091220型,A156552号,A159933号,A159934号,A027750型,A163280号,A183063号,A263730型,A034296号,A237665型.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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