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| A000005号 |
| d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。
（原名M0246 N0086）
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4534
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1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e（p），那么d（n）=乘积（e（p）+1）。更一般地说，对于k>0，sigma_k（n）=Product_p（（p^（（e（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）是n的除数的k次幂之和。
将n写成n=x*y，1<=x<=n，1<=y<=n的方法的数量。关于x*y=n的无序解的数量，请参见A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p，这样所有部分都具有相同的基数，即max（p）=min（p）-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n，这是将n划分为连续整数的次数。证明：对于n=1，明显正确。对于n=2k+1，k>=1，将每个（必然是奇数）除数映射到这样的分区，如下所示：对于1和n，分别映射k+（k+1）和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt（n），映射（n/d-（d-1）/2）+…+（n/d-1）+（n/d）+（n/d+1）+…+（n/d+（d-1）/2）{也就是说，n/d加上（d-1）/2对，每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt（n），map（（d-1）/2-（n/d-1））+…+（（d-1）/2-1）+（d-1（（d+1）/2+（n/d-1））{即，n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区必须是上述形式之一，因此1对1的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau（k）>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日
a（n）也是2*n划分为相等部分的数量，减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k（n）=log d（n）*log log n/（log 2*log n），则lim-sup k（nA280235型)每一个n（尼古拉斯和罗宾，1983年）。
存在无穷多个n，使得d（n）=d（n+1）（Heath-Brown，1984）。此类整数n<=x的数量至少为c*x/（log-log x）^3（Hildebrand，1987），但最多为O（x/sqrt（log-log x））（Erdős，Carl Pomerance和sárközy，1987）。
（结束）
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参考文献
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链接
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小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
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配方奶粉
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如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a（n）=（z+1）*（y+1）*。。。
a（n）=2当n是素数时。
通用公式：求和{n>=1}a（n）x^n=求和{k>0}x^k/（1-x^k）。这通常称为兰伯特系列（见克诺普，蒂奇马什）。
a（n）=和{k=1..n}f（k，n）其中f（k、n）=1，如果k除以n，则为0（Mobius变换A000012号). 等价地，f（k，n）=（1/k）*和{l=1..k}z（k，l）^n与z（k、l）是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
通用公式：和{k>0}（（-1）^（k+1）*x^（k*（k+1-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a（n）=n-总和{k=1..n}（天花板（n/k）-地板（n/k））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
通用公式：和{k>0}x^（k^2）*（1+x^k）/（1-x^k）。Dirichlet g.f.：zeta（s）^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a（n）/（n^n）=和{n>0，m>0}1/（n*m）-杰拉尔德·麦卡维2007年12月15日
对数g.f.：求和{n>=1}a（n）/n*x^n=-log（乘积{n>=1}（1-x^n）^（1/n））-乔格·阿恩特2008年5月3日
a（n）=总和{k=1..n}（楼层（n/k）-楼层（n-1）/k））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日
对于n>1，a（n）=2+和{k=2..n-1}层（（cos（Pi*n/k））^2）。和floor（（cos（Pi*n/k））^2）=floor（1/4*e^（-（2*i*Pi*n）/k）+1/4*e*（（2*i*Pi*n/k）+1/2）-埃里克·德斯比亚，2010年3月9日，2011年4月16日更正
a（n）=1+总和{k=1..n}（楼层（2^n/（2^k-1））mod 2），针对每个n.Fabio Civolani（civox（AT）tiscali.it），2010年3月12日
（Sum_{d|n}a（d））^2=Sum_}d|n{a（d，d）^3（J.Liouville）。
a（n）=σ_0（n）=1+求和{m>=2}求和{r>=1}（1/m^（r+1））*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^（r+1）-1}e^（2*k*Pi*i*（n+（m-j）*m^r）/m^（r+1））-A.内维斯2010年10月4日
求和{n>=1}a（n）*q^n=（log（1-q）+psi_q（1））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/（1-x^k）得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.：求和{n>=1}求和{d|n}（-log（1-x^（n/d））^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a（n）=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/（1-x^k）的残数之和得到的-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月22日
一般公式：2*x/（1-x）-和{k>0}x^k*（1-2*x^k）/（1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日
a（n）=和{k=1..n}1/phi（n/gcd（n，k））-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a（k*n）=a（n）*（f（k，n）+2）/（f（k，n）+1），其中f（k、n）是k除以n的最高幂的指数，k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}σ（gcd（n，k）），其中σ（n）=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}φ（gcd（n，k））*sigma（n/gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=和{j=1..n}和{k=1..j}（1/j）*cos（2*k*n*Pi/j）；
a（n）=求和{j=1..n}求和{k=1..j}（1/j）*e^（2*k*n*Pi*i/j），其中i^2=-1。（结束）
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例子
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G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A000005号：=τ；[seq（τ（n），n=1..100）]；
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数学
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系数列表[系列[（Log[1-q]+QPolyGamma[1，q]）/（q Log[q]），{q，0，100}]，q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*）
a[n_]：=系列系数[（QPolyGamma[1，q]+Log[1-q]）/Log[q]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*）
a[n]：=级数系数[q/（1-q）^2 q超几何PFQ[{q，q}，{q^2，q^2}，q，q^2]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*）
a[n_]：=级数系数[q/（1-q）q超几何PFQ[{q，q}，{q^2}，q，q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*）
具有[{M=500}，系数列表[Series[（2x）/（1-x）-Sum[x^k（1-2x^k）/(*马穆卡·吉卜拉泽2018年8月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，numdiv（n））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<1，0，方向（p=2，n，1/（1-X）^2）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=1，n+1，和div（m，d，（-log（1-x^（m/d）+x*O（x^n）））^d/d！），n）}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
（岩浆）[1..100]]中的[NumberOfDivisors（n）:n；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（MuPAD）编号：：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（Sage）[范围（1105）内n的σ（n，0）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（哈斯克尔）
除数1=[1]
除数n=（1：过滤器（（==0））。雷姆）
[2..n`div`2]）++[n]
a=长度。约数
（哈斯克尔）
a000005=产品。地图（+1）。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
（Python）
从sympy导入divisor_count
对于范围（1，20）中的n：print（divisor_count（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
（GAP）列表（[1..150]，n->Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007427号（Dirichlet逆），A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051号,A001826号,A001842号,A049820号,A051731号,A066446号,A106737号,A129510号,A115361号,A129372号,A127093号,A143319号,A061017号,A091202号,A091220型,A156552号,A159933号,A159934号,A027750型,A163280号,A183063号,A263730型,A034296号,A237665型.
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作者
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