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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 00 05 D(n)(也称τ(n)或SigaMy0(n)),n的除数的数目。
(原M0246N00)
三千一百三十四
1, 2, 2、3, 2, 4、2, 4, 3、4, 2, 6、2, 4, 4、5, 2, 6、2, 6, 4、4, 2, 8、3, 4, 4、6, 2, 8、2, 6, 4、4, 4, 9、2, 6, 4、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

如果n为素数幂的正则因式分解是乘积p^ e(p),则D(n)=积(E(p)+1)。更一般地,对于K>0,SigMaLyk(n)=乘积p((p^((e)(p)+1)*k)- 1)/(p^ k-1)是n的除数的k次幂之和。

n=x*y,1≤x=n,1<y=n=n×x y=n的无序解的数目,参见A038.

注意d(n)不是内接圆半径等于n的勾股三角形数。A07864对于具有半径为n的原始勾股三角形的数目,参见A068068(n)。

整数xxn-1因子分解的因子数-诺德4月16日2003

也等于n的分区p的数目,使得所有的部分具有相同的基数,即max(p)=min(p)。-乔凡尼瑞斯塔,06月2日2006

等于A127096作为一个无限的下三角矩阵*调和级数,〔1/1,1/2,1/3,…〕。-加里·W·亚当森5月10日2007

SuMu{n>0 } D(n)/(n^ n)=SuMu{n>0,m>0 } 1 /(n*m)。-杰拉尔德麦加维12月15日2007

对于奇数n,这是n个连续整数的分区数。证明:对于n=1,显然是真的。对于n=2k+1,k>=1,将每个(必然奇数)除数映射到这样的分区如下:对于1和n,分别映射k+(k+1)和n。对于任何剩余除数d<=qRT(n),map(n/d(d-1)/ 2)+…+(n/d - 1)+(n/d)+(n/d+ 1)+…+(n/d+(d-1)/ 2){,n/d加(d-1)/ 2对,每个求和为2n/d}。对于任何剩余除数d>SqRT(n),MAP((D-1)/ 2 -(N/D - 1))+…+((D-1)/ 2 - 1)+(D-1)/ 2 +(D+ 1)/2 +((d+1)/2 + 1)+…+((d+ 1)/2 +(n/d - 1)){,n/d对,每个求和d}。由于所有这样的分区必须是上述形式之一,1到1对应和证明是完整的。-里克·谢泼德4月20日2008

n阶循环群的子群数班诺特巨宾4月29日2008

等于三角形的行和A14319. -加里·W·亚当森,八月07日2008

等于三角形的行和A15934相当于通过卷积生成A(n)A000 00 05用1的变换,(1, 1, 2,2, 3, 2,…)用逆变换A000 00 05A15933(1, 1,-1, 0,-1, 2,…)。例:A(6)=4=(1, 1, 2,2, 3, 2)点(2,-1, 0,-1, 1, 1)=(2,-1, 0,-2, 3, 2)=4。-加里·W·亚当森4月26日2009

N倍乘法表中出现N次。-多米尼克癌,八月02日2010

K>0的数目(k^ 2+k*n+k)/(k+ 1)是一个整数。-斯特潘·杰拉西莫夫,10月25日2015。

只有τ(n)>n/2的n个数是1,2,3,4,6,8,12。-米迦勒·德利格勒12月14日2016

A(n)也是2×n的分割成相等部分的数目,减去2×N的分区数到连续部分。-奥玛尔·E·波尔03五月2017

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第840页。

T. M. Apostol,解析数论导论,Springer Verlag,1976,第38页。

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K. Knopp,无穷级数的理论与应用,布莱克,伦敦,1951,第451页。

D. S. Mitrinovic等,数论手册,克鲁沃,Chap. II。(为不平等等)

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S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

B. Spearman和K. S. Williams,《数论概论》,卡尔顿数学。第14, 1975讲讲义系列;参见第2.1页。

E. C. Titchmarsh,函数论,牛津,1938,第160页。

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链接

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J. Bell解析数论中的朗伯级数

R. Bellman和H. N. Shapiro关于加性数理论中的一个问题《数学年鉴》,49(1948),33-340。[来自斯隆3月12日2009

H. Bottomley初始条款说明

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Daniele A. Gewurz和Francesca Merola序列实现为帕克矢量…J.整数SEQS,第6, 2003卷。

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R. G. Martinez,Jr.,因子区,1到600的因素数.

数学论坛除数计数.

数学栈交换机关于函数的离散傅立叶变换的一个问题

K. Matthews分解n和计算φ(n)、ω(n)、d(n)、σ(n)和μ(n).

M. Merca关于除数数生成函数的一个新认识《数字理论杂志》,第149卷,2015年4月,第57页至第69页。

Mircea Merca一个正整数除数的最近卷积的组合解释《数字理论杂志》,第160卷,2016年3月,第60-75页,推论2.1。

Matthew Parker前2500万项(7压缩文件压缩).

Ed Pegg,Jr.,序列图片数学游戏专栏,十二月08日2003。

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Omar E. Pol初值说明:图1图2图3图4图5,(2009)图6(a,b,c),(2013)

S. Ramanujan关于一个数的除数的个数.

H. B. Reiter计数因子.

西尔皮斯基除数的数目及其和.

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Keisuke Uchimura由排序理论产生的除数生成函数的恒等式J. Combin。理论辑A 31(1981),2, 131号- 135。MR069588(82K:05015)

王正冰,Robert Fokkink和Wan Fokkink,分区与除数的关系,嗯。数学月,102(1995,1995),第34号,第34至第34条。

Eric Weisstein的数学世界,二项式数狄利克雷级数生成函数除数函数莫比乌斯变换.

维基百科除数表.

沃尔夫拉姆研究前50个数的除数

“核心”序列的索引条目

N分解中指数序列的索引条目

公式

如果n被写成2 ^ ** 3 ^ y* 5 ^ x×7 ^ w * 11 ^ v*…然后A(n)=(z + 1)*(y+ 1)*(x+1)*(W+1)*(V+1)*…

A(n)=2 IFF n为素数。

A(n)=A0838 88(n)+A0838(n)+A0838 90(n)+A0838 91(n)+A0838 92(n)+A0838(n)+A0838(n)+A0838 95(n)+A0838 96(n)。

A(n)=A0831010(n)+A0839(n)+A08312(n)+A0839(n)+A0839(n)+A0831515(n)+A08316(n)+A08317(n)+A0831818(n)+A08319(n)。

乘以A(p^ e)=E+1。-戴维·W·威尔逊,八月01日2001

G.f.:Suthi{{N>=1 } A(n)x^ n=SuMu{{K} 0 } x^ k/(1-x^ k)。这通常被称为朗伯系列(见Knopp,TITCHMARSH)。

A(n)<=2平方Rn(n)[参见Mitrinovich,P 39,也A04652]

A(n)为奇数,IFF n为正方形。-莱因哈德祖姆勒12月29日2001

A(n)=SUMY{{K=1…n} f(k,n),其中f(k,n)=1,如果k除n,0,否则(莫比乌斯变换)A000 0 12等价地,f(k,n)=(1/k)*SuMu{{L= 1…k}z(k,l)^ n与z(k,l)为k的第一根。-拉尔夫斯蒂芬12月25日2002

G.f.:SuMu{{K> 0 }((1)^(k+ 1)*x^(k*(k+1)/2)/((1×^ ^)*乘积{{i=1…k}(1 -x^ i)))。-米迦勒索摩斯4月27日2003

A(n)=n - SuMu{{K=1…n}(天花板(N/K)-地板(N/K))。-班诺特回旋曲5月11日2003

A(n)=A032641(n)+ 1=A062011(n)/ 2=A0545(n)A0545(n-1)=A000 6218(n)A000 6218(n-1)=1+SuMu{{K=1…n-1 }A051950(k+1)。-拉尔夫斯蒂芬3月26日2004

G.f.:SuMu{{>0 } x^(k^ 2)*(1 +x^ k)/(1-x^ k)。Zeta(S)^ 2。-米迦勒索摩斯,APR 05 2003

序列=m*v,其中m=mA12937作为一个无限的下三角矩阵和V=标尺序列A000 1511作为向量:[ 1, 2, 1,3, 1, 2,1, 4,…]。-加里·W·亚当森4月15日2007

A000 00 05=m*v,其中m=m=v。A115361是一个无限的下三角矩阵,v=A000 1227n的奇数个数是一个向量:[ 1, 1, 2,1, 2, 2,2,…]。-加里·W·亚当森4月15日2007

三角形的行和A051731. -加里·W·亚当森02月11日2007

对数G.F.:SuMu{{N>=1 } A(n)/n*x^ n=-log(乘积{{n>=1 }(1-x^ n)^ ^(1/n))。-乔尔格阿尔恩特03五月2008

A(n)=SuMu{{K=1…n}(楼层(N/K)-楼层((N-1)/K))。-恩里克·P·雷兹·埃雷罗8月27日2009

A(s)=2 ^Ω(s),如果S>1是无平方数。A000和ω(s)是:A000 1221. -恩里克·P·雷兹·埃雷罗,SEP 08 2009

A(n)=A08691(n)A055 205(n)。-莱因哈德祖姆勒,十二月08日2009

对于n>0,A(n)=1+和(S=2…N,CoS(πN/S)^ 2)。也τ(n)=2+和[整数(〔CoS(π*/k))^ 2〕,{k,2,n-1 }。和[(COS(π*N/K))^ 2 ]=[1/4*e^(-(2×i*PI*n)/k)+1/4×e^((2×i*PI*n)/k)+1/2 ]。-埃里克·德斯鲍克斯,MAR 09 2010,修正了4月16日2011

A(n)=1+SuMy{{K=1…n}(地板(2 ^ n/(2 ^ k-1))mod 2)对于每一个N- Fabio Civolani(CiVox(AT)TiSCALI。IT),3月12日2010。

弗拉迪米尔谢维列夫,5月22日2010:(开始)

(SuMu{{N} A(D))^ 2=SuMu{{N}} A(D)^ 3(J. Liouville)。

SuMu{{D}n}A000 88 36(d)*a(d)^ 2=A000 88 36(n)*SuMu{{N}} A(D)。(结束)

A(n)= SigaMy0(n)=1+SuMy{{M}=2 } SuMu{{R>=1 }(1 /m ^(R+1))*SuMy{{j=1…M-1 } SuMu{{K=0…M^(R+1)-1 }e^(2*k*PI*i*(n+(m j)*m ^ r)/m ^(r+1))。-内维斯,10月04日2010

A(n)=2A038(n)A010052(n)。-莱因哈德祖姆勒08三月2013

SuMi{{N>=1 } A(n)*q^ n=(log(1-q)+psiq q(1))/log(q),其中psiiq(z)是q-DigMaA函数。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫4月23日2013

A(n)=乘积{k=1。A000 1221(n)}A124010(n,k)+ 1)。-莱因哈德祖姆勒7月12日2013

A(n)=SuMu{{K=1…n}A28133(k)*A000 000 41(N-K)。-米尔卡梅尔卡2月18日2013

G.f.:SuMu{{K>=1 } SuMu{{J>=1 } X^(J*K)。-马格兰维克6月15日2013

通过扩展朗伯级数SuMu{{K>=1 } x^ k/(1-x^ k),得到了上述公式。-乔尔格阿尔恩特3月12日2014

G.f.:SUMU{{N>=1 } SuMu{{N} }(-log(1 -x^(n/d))^ d/d!-保罗·D·汉娜8月21日2014

2 *π*a(n)=1,n=1…n}积分{{x=2,2×π} r^(m n)(COS((m n)*x)-r^ m COS(n*x))/(1 +r^(2×m)-2r^ m COS(m*x))dx,0<r<1自由参数。该公式是LAMBER级数SUMU{{K>=1 } X^ k/(1-x^ k)的残差之和。-基里卡米10月22日2015

A(n)=A091220A09120(n)=A10637A156562(n)。-安蒂卡特宁,大约2004和06,2017

A(n)=A034(n)A367665(n+1)[王,Fokkink,Fokkk]。-乔治贝克06五月2017

G.f.:2×x/(1-x)- SuMu{{K> 0 } x^ k*(1-*x^ k)/(1-x^ k)。-穆穆夸8月29日2018

A(n)=SuMu{{K=1…n} 1/φ(n/gCD(n,k))。-丹尼尔苏特05月11日2018

A(k*n)=a(n)*(f(k,n)+2)/(f(k,n)+1),其中f(k,n)是k的幂的指数除以n和k是素数。-加里德莱夫斯,08月2日2019

A(n)=2×log(p(n))/log(n),n>1,其中p(n)=n=n的乘积A000 7955(n)。-加里德莱夫斯2月15日2019

A(n)=(1/n)* SuMu{{K=1…n}σ(GCD(n,k)),其中σ(n)=n的除数之和。奥尔卡09五月2019

例子

G.F.=x+2×x ^ 2+2×x ^ 3+3×x ^ 4+2×x ^ 5+4×x ^ 6+2*x ^ ^ 7+占卜×x ^+××^ ^+…

枫树

用(纽曼理论):A000 00 05=Tau;[SEQ(τ(n),n=1…100)];

Mathematica

表[除数西格玛〔0,n〕,{n,100 }〕恩里克·P·雷兹·埃雷罗8月27日2009*)

系数列表[(log [1 -q] +q-聚γ[1,q])/(qlog [q]),{q,0, 100 },q](*)弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫4月23日2013*)

a [n]:=级数系数[(qPoopGAM[1,q] + log [1 -q])/log [q],{q,0,abs@ n};(*)米迦勒索摩斯4月25日2013*)

a[n]:=级数系数[q/(1 -q)^ 2 qHyOrthGractupfq[{q,q},{q^ 2,q^ 2 },q,q^ 2 ],{q,0,abs@ n};(*)米迦勒索摩斯,MAR 05 2014*)

a[n]:=级数系数[q/(1 -q)qHyapunov几何PFQ] [{q,q},{q^ 2 },q,q],{q,0,abs@ n}(*)马格兰维克4月15日2015*)

[{M=500 },系数列表[S[(2x)/(1-x)-和] [x^ k(1-2x^ k)/(1-x^ k),{k,m }] ],{x,0,M}],x](*)穆穆夸8月31日2018*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)= IF(n=0, 0,NoNDIV(n))};/*米迦勒索摩斯4月27日2003*

(PARI){A(n)=n=ABS(n);IF(n<1, 0,diRuleR(p=2,n,1(/ 1×)^ 2)[n])};/*;米迦勒索摩斯4月27日2003*

(PARI){A(n)=PoCOFEFF(求和)(M=1,N+ 1,SUMDEVI(M,D,(-log(1-x^(m/d)+x*o(x^ n)))^ d/d!),n)}保罗·D·汉娜8月21日2014

(岩浆)[数除数(n):n(1…100)];// Sergei Haller(谢尔盖(AT)谢尔盖Halel.de),12月21日2006

(MUPAD)NUMLB::τ(n)n=1…90 / /零度拉霍斯5月13日2008

(SAGE)[XMaR(1, 105)]中的n的σ(n,0)零度拉霍斯,军04 2009

(哈斯克尔)

除数1=〔1〕

除数n=(1:滤波器(==0)。REM n)

〔2…n’div’2〕++[n]

A =长度。约数

——杰姆斯斯帕林格,10月07日2012

(哈斯克尔)

A000 00 05=产品。地图(+ 1)。A124010-行莱因哈德祖姆勒7月12日2013

(蟒蛇)

从症状导入计数

对于n的范围(1, 20):打印(除数计数(n),结束=′,′)斯蒂法诺斯皮齐亚05月11日2018

(GAP)列表([1…150),N->τ(n));阿尼鲁05三月2019

交叉裁判

A000 2183A000 2182记录。A000 0203关于除数之和函数σ(n)。

关于部分和参见A000 6218.

囊性纤维变性。A000 727(狄利克雷逆)A000 1227A000 523A000 523A000 6601A000 655A01927A039 665A049051A00 1826A000 1842A049 820A051731A062646A10637A129510A115361A12937A127096A14319A061017A09120A091220A156562A15933A15934A07750A1632 80A183063A26330A034A367665.

给定数目的因子分解:写n=x*yA038无序的A000 00 05,有序),n=x*y*z(A03836无序的A000 725,有序),n=W*x*y*z(A00 726命令。

语境中的顺序:A184395 A17941 A17942*A122667 A122668 A073668

相邻序列:A000 0 0 2 A000 00 03 A000 000 04*A000 00 06 A000 0 07 A000 000 08

关键词

容易核心诺恩穆尔特听到

作者

斯隆

地位

经核准的

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