登录
OEIS基金会得到了OEIS用户的捐赠和西蒙斯基金会的资助。

 

标志


提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000005号 d(n)(也称为tau(n)或sigma_0(n)),n的除数。
(原M0246 N0086)
4052
1、2、2、2、2、3、2、4、2、4、4、4、4、3、4、2、6、6、2、4、4、4、4、5、5、2、6、6、4、4、4、2、6、6、6、4、4、4、9、2、4、9、2、4、9、2、8、8、8、2、6、6、6、6、6、3、6、6、6、6、6、6、6、6、6、6、6、4、4、8、4、4、4、12、12、12、12、12、4、6、6、6、4、8、8、2、6、4、8、8、2、6、4、6、4、8、8、2、12、2、2 6、4、8、2、10、5、4、2、12、4、4、4、8、2、12、4、6、4、4、12、2、6、9、2、8、2、8 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

如果n的素幂的正则因式分解是乘积p^e(p),那么d(n)=乘积(e(p)+1)。更一般地说,对于k>0,sigma_k(n)=乘积_p((p^((e(p)+1)*k))-1)/(p^k-1)是n的除数的k次幂之和。

把n写成n=x*y,1<=x<=n,1<=y<=n的方法。关于x*y=n的无序解的数目,请参见A038548号.

注意d(n)不是内接圆半径等于n的毕达哥拉斯三角形的个数(即A078644号)。对于具有inradius n的原始毕达哥拉斯三角形的数量,请参见A068068号(n) 一。

整数上多项式x^n-1因式分解中的因子个数-T、 D.不2003年4月16日

也等于n的分区数p,使得所有部分都具有相同的基数,即max(p)=min(p)-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日

等于A127093号作为无限下三角矩阵*调和级数,[1/1,1/2,1/3,…]-加里·W·亚当森2007年5月10日

和{n>0}d(n)/(n^n)=和{n>0,m>0}1/(n*m)-杰拉尔德·麦加维2007年12月15日

对于奇数n,这是将n划分为连续整数的数目。证明:对于n=1,显然是正确的。对于n=2k+1,k>=1,将每个(必然是奇数)除数映射到这样一个分区:对于1和n,分别映射k+(k+1)和n。对于任何剩余的除数d<=sqrt(n),map(n/d-(d-1)/2)+…+(n/d-1)+(n/d)+(n/d+1)+…+(n/d+(d-1)/2){即,n/d加(d-1)/2对,每对相加为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt(n),映射((d-1)/2-(n/d-1))+…+((d-1)/2-1)+(d-1)/2+(d+1)/2+((d+1)/2+1)+…+((d+1)/2+(n/d-1)){也就是说,n/d对每个求和到d}。由于所有这些分区必须采用上述形式之一,因此1对1的通信和证明是完整的-瑞克·L·谢泼德2008年4月20日

n阶循环群的子群数-贝诺伊特朱宾2008年4月29日

等于三角形的行和A143319号. -加里·W·亚当森2008年8月7日

等于三角形的行和邮编:A159934,相当于通过卷积生成a(n)A000005号以1开头;(1,1,2,2,3,2,…)和A000005号, (邮编:A159933):(1,1,-1,0,-1,2,…)。例如:a(6)=4=(1,1,2,2,3,2)点(2,-1,0,-1,1,1)=(2,-1,0,-2,3,2)=4-加里·W·亚当森2009年4月26日

n出现在nxn乘法表中的次数-多米尼克坎西拉2010年8月2日

(k+0+k)的整数-朱丽·斯特潘·格拉西莫夫2015年10月25日

使tau(n)>=n/2的唯一数n是1,2,3,4,6,8,12-迈克尔·德维列格2016年12月14日

a(n)也是2*n分成相等部分的数目,减去2*n分成连续部分的数目-奥马尔·E·波尔2017年5月3日

山田友弘2020年10月27日:(开始)

设k(n)=logd(n)*loglogn/(log2*logn),则lim sup k(n)=1(Hardy和Wright,第18章,定理317)和k(n)<=k(6983776800)=1.537939。。。(常数A280235)每n次(尼古拉斯和罗宾,1983年)。

存在无穷多个n,使得d(n)=d(n+1)(Heath Brown,1984)。这样的整数n<=x的数目至少为cx/(loglogx)^3(Hildebrand,1987),但最多为O(x/sqrt(loglog x))(Erdős,Carl Pomerance and sárközy,1987)。

(结束)

在一个矩形中有两个不同边长的n个全等矩形的二维网格数,模旋转(cf。A038548号用于正方形而不是矩形)。在一个矩形中排列n个相同对象的方法(不是模旋转,cf。A038548号对于模旋转);囊性纤维变性。A007425A140773号对于3D案例-曼弗雷德·博根斯2021年6月8日

参考文献

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。系列551964年(和各种重印),p。840

T、 M.Apostol,《解析数论导论》,斯普林格·韦拉格,1976年,第38页。

G、 克里斯托,《代数:中学高年级和大学的初级教科书》,第6版,切尔西出版公司,纽约,1959年第二部分,p。345,练习二十一(16)。MR0121327(22#12066)

G、 哈代、赖特:《数论导论》,第6版,牛津大学出版社,2008年。

K、 诺普,无穷级数理论与应用,布莱克,伦敦,1951年。451

D、 S.Mitrinovic等人,《数论手册》,Kluwer,第二章。(对于不平等等)

S、 Ramanujan,《论文集》,G.H.Hardy等编,剑桥1927年;切尔西,纽约,1962年。对这个序列有很多参考-N、 斯隆2014年6月2日

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

B、 斯皮尔曼和K.S.威廉姆斯,《数论估计手册》,卡尔顿数学。课堂讲稿系列第14期,1975年;见第页。2.1条。

E、 蒂奇马什,《函数论》,牛津,1938年,p。160

T、 陶,庞加莱的遗产,第一部分,阿默尔。数学。Soc.,2009,关于d(n)的上界,见第31ff页。

链接

丹尼尔放弃了,n=1..100000的n,a(n)表(N.J.A.Sloane的前10000个术语)

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本,需要闪存插件]。

G、 安德鲁斯,我欠了一些债,Séminaire Lotharingien de Combinatoroire,论文B42a,第42期,2000年;见(7.1)。

J、 贝尔,解析数论中的Lambert级数

R、 贝尔曼和夏皮罗,关于可加数论中的一个问题《数学年鉴》,49(1948),333-340。[来自N、 斯隆2009年3月12日]

亨利·巴特利,初始术语说明

D、 M.Bressoud和M.V.Subbarao,关于Uchimura分区与除数的联系,可以。数学。牛。27143-145(1984年)。Zbl 0536.10013。

C、 考德威尔,主要词汇,除数

伊曼纽尔·陈和迈克尔·Z·斯皮维,乘性函数的积分广义二项式系数,预印本2015;夏季研究论文238,普吉特湾大学。

吉米·德维莱特和盖里接吻,双选择运算的特征,arXiv:1806.02073[math.RA],2018年。

P、 埃尔德和米尔斯基,除数函数d(n)的值分布,过程。伦敦数学。Soc。2(1952年),第257-271页。

保罗·埃尔德斯、卡尔·波默兰斯和安德鲁斯·萨尔齐,关于某些算术函数的局部重复值,III,过程。阿默尔。数学。Soc。101(1987年),第1-7页。

C、 R.弗莱彻,小订单戒指,数学。加斯。第64卷,第。1980年10月13日。

Robbert Fokkink和Jan van Neerven,问题人/UWC(荷兰语)

丹妮尔A.盖尔兹和弗朗西丝卡·梅洛拉,作为帕克向量实现的序列。。。《整数序列杂志》,第6卷,2003年。

D、 R.希思·布朗,连续整数的除数函数,Mathematika 31(1984),141-149。

阿道夫·希尔德布兰德,连续整数的除数函数,太平洋J.数学。第129卷(1987年),第307-319页。

J、 霍尔特和琼斯,计数除数,发现数论,第1.4节。

P、 A.麦克马洪,分拆理论中数的除数及其连续性,过程。伦敦数学。第19卷(1919年),第75-113页。

M、 玛雅和门德斯先生,关于组合物种的算术积,arXiv:math/0503436[math.CO],2005年。

R、 G.Martinez,Jr.,因素区,1到600的因子数.

数学论坛,除数计数.

数学堆栈交换,一类函数的离散Fourier变换问题

K、 马修斯,分解n并计算phi(n)、Ω(n)、d(n)、sigma(n)和mu(n).

米尔恰·梅尔卡,除数母函数的一个新认识《数论杂志》,第149卷,2015年4月,第57-69页。

米尔恰·梅尔卡,正整数除数最近卷积的组合解释《数论杂志》,第160卷,2016年3月,第60-75页,推论2.1。

马修·帕克,前2500万术语(7-Zip压缩文件).

埃德·佩格,小。,序列图片,数学游戏专栏,2003年12月8日。

埃德·佩格,小。,序列图片,数学游戏专栏,2003年12月8日。[缓存副本,有权限(仅限pdf)]

奥马尔·E·波尔,初始术语说明:图1,图2,图3,图4,图5,(2009年),图6(a、b、c),(2013年)

S、 拉马努扬,关于一个数的除数.

H、 B.赖特,计数除数.

W、 西尔宾斯基,除数及其和.

E、 C.蒂奇马什,关于一系列Lambert型,J.伦敦数学。第13卷(1938年),第248-253页。

内村庆介,由排序理论导出的除数母函数的一个恒等式,J.科布林。理论服务。A 31(1981),第2号,131--135。MR0629588(82k:05015)

王正兵,罗伯特·福金克,万·福克金,除数与除数的关系,上午。数学。月刊,102(1995年4月),第4期,345-347页。

埃里克·韦斯坦的数学世界,二项式数,Dirichlet级数母函数,除数函数,和莫比乌斯变换.

维基百科,除数表.

Wolfram研究所,前50个数的除数

“核心”序列的索引项

从n的因式分解中的指数计算序列的索引项

公式

如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a(n)=(z+1)*(y+1)*(x+1)*(w+1)*(v+1)*。。。

当n是素数时,a(n)=2。

G、 f.:和{n>=1}a(n)x^n=和{k>0}x^k/(1-x^k)。这通常被称为兰伯特系列(见Knopp,Titchmarsh)。

a(n)=A083888号(n)+A083889号(n)+A083890号(n)+A083891号(n)+A083892号(n)+A083893号(n)+A083894号(n)+A083895号(n)+A083896号(n) 一。

a(n)=A083910号(n)+A083911(n)+A083912号(n)+A083913号(n)+A083914号(n)+A083915型(n)+A083916号(n)+A083917型(n)+A083918号(n)+A083919号(n) 一。

与a(p^e)=e+1相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日

a(n)<=2平方英尺(n)[另见米特里诺维奇,第39页A046522号].

当n是平方时,a(n)是奇数-莱因哈德·祖姆凯勒2001年12月29日

a(n)=和{k=1..n}f(k,n),其中f(k,n)=1,如果k除以n,则为0,否则(Mobius变换A000012号)等价地,f(k,n)=(1/k)*和{l=1..k}z(k,l)^n,z(k,l)是单位的第k根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日

G、 f.:和{k>0}((-1)^(k+1)*x^(k*(k+1)/2)/((1-x^k)*乘积{i=1..k}(1-x^i)))-迈克尔·索莫斯2003年4月27日

a(n)=n-和{k=1..n}(天花板(n/k)-地板(n/k))-贝诺伊特·克罗伊特2003年5月11日

a(n)=A032741号(n) +1个=A062011型(n) /2个=A054519号(n)-A054519号(n-1)=A006218(n)-A006218(n-1)=1+和{k=1..n-1}A051950型(k+1)-拉尔夫·斯蒂芬2004年3月26日

G、 f.:和{k>0}x^(k^2)*(1+x^k)/(1-x^k)。迪里克莱特g.f.:泽塔(s)^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日

序列=M*V,其中M=A129372号作为无限下三角矩阵和V=标尺序列A001511号作为向量:[1,2,1,3,1,2,1,4,…]-加里·W·亚当森2007年4月15日

A000005号=M*V,其中M=A115361号是无限下三角矩阵和V=A001227号,n的奇数除数是一个向量:[1,1,2,1,2,2,…]-加里·亚当斯2007年4月15日

三角形行和A051731型. -加里·W·亚当森2007年11月2日

对数g.f.:和{n>=1}a(n)/n*x^n=-log(乘积{n>=1}(1-x^n)^(1/n))-乔尔阿恩特2008年5月3日

a(n)=和{k=1..n}(floor(n/k)-floor((n-1)/k))-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2009年8月27日

a(s)=2^omega(s),如果s>1是无平方数(A005117号)ω是:A001221型. -恩里克·佩雷斯·赫雷罗2009年9月8日

a(n)=A048691号(n)-A055205型(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2009年12月8日

对于n>0,a(n)=1+和{s=2..n}cos(Pi*n/s)^2。还有tau(n)=2+和{k=2..n-1}层((cos(Pi*n/k))^2)。和floor((cos(Pi*n/k))^2)=楼层(1/4*e^(-(2*i*Pi*n)/k)+1/4*e^((2*i*Pi*n)/k)+1/2)-埃里克·德斯比厄,2010年3月9日,2011年4月16日更正

a(n)=1+和{k=1..n}(楼层(2^n/(2^k-1))mod 2),每n.-Fabio Civolani(civox(AT)tiscali.it),2010年3月12日

弗拉基米尔·谢韦列夫2010年5月22日:(开始)

(Sum{d | n}a(d))^2=Sum{d | n}a(d)^3(J.Liouville)。

和{d | n}A008836号(d) *a(d)^2=A008836号(n) *和{d | n}a(d)。(结束)

a(n)=σ0(n)=1+和{m>=2}和{r>=1}(1/m^(r+1))*和{j=1..m-1}和{k=0..m^(r+1)-1}e^(2*k*Pi*i*(n+(m-j)*m^r)/m^(r+1))-A、 内维斯2010年10月4日

a(n)=2*A038548号(n)-A010052型(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月8日

和{n>=1}a(n)*q^n=(log(1-q)+psi_q(1))/log(q),其中psi_q(z)是q-digamma函数-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月23日

a(n)=乘积{k=1。。A001221型(n) }(A124010型(n,k)+1)-莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日

a(n)=和{k=1..n}A238133(k)*A000041号(n-k)-米尔恰梅尔卡2013年2月18日

G、 f.:和{k>=1}和{j>=1}x^(j*k)-马茨格兰维克2013年6月15日

上面的公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/(1-x^k)得到的-乔尔阿恩特2014年3月12日

G、 f.:Sum{n>=1}Sum{d|n}(-log(1-x^(n/d))^d/d-保罗·D·汉娜2014年8月21日

2*Pi*a(n)=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^(m-n)(cos((m-n)*x)-r^m cos(n*x))/(1+r^(2*m)-2r^m cos(m*x))dx,0<r<1自由参数。这个公式是由Lambert级数的余数之和sum{k>=1}x^k/(1-x^k)得到的-千里香精一2015年10月22日

a(n)=A091220型(A091202型(n) )=A106737号(邮编:A156552(n) )-安蒂·卡尔图宁,大约2004年和2017年3月6日

a(n)=A034296号(n)-A237665号(n+1)[王,福克,福克]-乔治·贝克2017年5月6日

G、 f.:2*x/(1-x)-和{k>0}x^k*(1-2*x^k)/(1-x^k)-马穆卡·吉布拉泽2018年8月29日

a(n)=和{k=1..n}1/φ(n/gcd(n,k))-丹尼尔·苏托2018年11月5日

a(k*n)=a(n)*(f(k,n)+2)/(f(k,n)+1),其中f(k,n)是k除以n的最高幂的指数,k是素数-加里·德特勒夫斯2019年2月8日

a(n)=2*log(p(n))/log(n),n>1,其中p(n)=n的因子的乘积=A007955号(n) 一-加里·德特勒夫斯2019年2月15日

a(n)=(1/n)*和{k=1..n}西格玛(gcd(n,k)),其中sigma(n)=n的除数和-奥格斯莱卡2019年5月9日

a(n)=A001227号(n)*(A007814号(n) +1)=A001227号(n)*A001511号(n) 一-伊万·N·伊纳基耶夫2019年11月14日

理查德L.奥利顿2021年5月11日:(开始)

a(n)=A038040型(n) /n=(1/n)*和{d | n}φ(d)*西格玛(n/d),其中phi=A000010号和西格玛=A0203 00203.

a(n)=(1/n)*和{k=1..n}φ(gcd(n,k))*σ(n/gcd(n,k))/φ(n/gcd(n,k))。(结束)

例子

G、 f.=x+2*x^2+2*x^3+3*x^4+2*x^5+4*x^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。

枫木

带(数字):A000005号:=τ;[顺序(τ(n),n=1..100)];

数学

表[除数sigma[0,n],{n,100}](*恩里克·佩雷斯·赫雷罗2009年8月27日*)

系数列表[Series[(Log[1-q]+QPolyGamma[1,q])/(q Log[q]),{q,0,100}],q](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月23日*)

a[néu]:=系列系数[(QPolyGamma[1,q]+Log[1-q])/Log[q],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*)

a[n}:=SeriesCoefficient[q/(1-q)^2qsupergeometricpfq[{q,q},{q^2,q^2},q,q^2],{q,0,绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*)

a[néu]:=系列系数[q/(1-q)q超几何pfq[{q,q},{q^2},q,q],{q,0,绝对值@n}] (*马茨格兰维克2015年4月15日*)

对于[{M=500},系数列表[系列[(2x)/(1-x)-Sum[x^k(1-2x^k)/(1-x^k),{k,M}],{x,0,M}],x]](*马穆卡·吉布拉泽2018年8月31日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n==0,0,numdiv(n))}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/

(PARI){a(n)=n=abs(n);如果(n<1,0,direuler(p=2,n,1/(1-X)^2)[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/

(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=1,n+1,sumdiv(m,d,(-log(1-x^(m/d)+x*O(x^n))^d/d!),n)}\\保罗·D·汉娜2014年8月21日

(MAGMA)[除数(n):n in[1..100]];//Sergei Haller(Sergei(AT)Sergei Haller.de),2006年12月21日

(MuPAD)numlib::tau(n)$n=1..90//泽伦瓦拉乔斯2008年5月13日

(Sage)[范围(1105)中n的西格玛(n,0)]#泽伦瓦拉乔斯2009年6月4日

(哈斯克尔)

除数1=[1]

除数n=(1:过滤器((==0).rem n)

[2..n`div`2])++[n]

a=长度。约数

--詹姆斯·斯帕林格2012年10月7日

(哈斯克尔)

a000005=产品。地图(+1)。a124010_世界其他地区--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日

(蟒蛇)

从sympy导入除数

对于范围(1,20)中的n:print(除数_count(n),end=',')#斯佩齐亚2018年11月5日

(GAP)列表([1..150],n->Tau(n))#阿西鲁2019年3月5日

交叉引用

看到了吗A002183,A002182号记录在案。看到了吗A0203 00203对于除数之和函数sigma(n)。

部分总和见A006218.

囊性纤维变性。A007427号(Dirichlet逆),A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051号,A001826号,A001842型,A049820型,A051731型,A066446号,A106737号,A129510号,A115361号,A129372号,A127093号,A143319号,A061017型,A091202型,A091220型,邮编:A156552,邮编:A159933,邮编:A159934,A027750型,邮编:A163280,A183063,A263730,A034296号,A237665号.

因子分解为给定数量的因子:写n=x*y(A038548号,无序,A000005号,有序),n=x*y*z(A034836号,无序,A007425,有序),n=w*x*y*z(A007426号,已订购)。

囊性纤维变性。A000010号.

上下文顺序:A329484型 邮编:A179941 邮编:A179942*A122667 A122668 A073668号

相邻序列:A000002号 A000003号 A000004号*A000006号 A000007号 A000008号

关键字

容易的,核心,,美好的,骡子,听到

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

查找|欢迎光临|维基|登记|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索者|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金公司。

许可协议,使用条款,隐私政策。.

上次修改时间:2021年10月19日09:58。包含348074个序列。(运行在oeis4上。)