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提示 （来自的问候整数序列在线百科全书!) A000005美元 d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。 （原名M0246 N0086） 4766 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式) 偏移 1,2 评论 如果n到素数幂的正则因子分解是乘积p^e（p），则d（n）=乘积（e（p）+1）。更一般地说，对于k>0，sigma_k（n）=Product_p（（p^（（e（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）是n的除数的k次幂之和。 将n写成n=x*y，1<=x<=n，1<=y<=n的方法的数量。有关x*y=n的无序解决方案的数量，请参阅A038548号. 注意，d（n）不是内切圆半径等于n（即A078644号). 有关具有半径n的基本勾股三角形的数量，请参见A068068号（n） ●●●●。 整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日 也等于n的分区数p，这样所有部分都具有相同的基数，即max（p）=min（p）-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日 等于A127093号作为无穷下三角矩阵*调和级数，[1/1，1/2，1/3，…]-加里·亚当森2007年5月10日 对于奇数n，这是将n划分为连续整数的分区数。证明：对于n=1，明显正确。对于n=2k+1，k>=1，将每个（必然是奇数）除数映射到这样的分区，如下所示：对于1和n，分别映射k+（k+1）和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt（n），映射（n/d-（d-1）/2）+…+（n/d-1）+（n/d）+（n/d+1）+…+（n/d+（d-1）/2）{也就是说，n/d加上（d-1）/2对，每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt（n），map（（d-1）/2-（n/d-1））+…+（（d-1）/2-1）+（d-1（（d+1）/2+（n/d-1））{即，n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区必须是上述形式之一，因此1对1的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日 n阶循环群的子群数-贝诺伊特·朱宾2008年4月29日 等于三角形的行和A143319号. -加里·亚当森2008年8月7日 等于三角形的行和A159934号，相当于通过卷积生成a（n）A000005美元以1开头；（1，1，2，2，3，2，…）的INVERTi变换A000005美元, (A159933号)：（1，1，-1，0，-1，2，…）。例如：a（6）=4=（1，1，2，2，3，2）点（2，-1，0，-1，1）=（2，-1,0，-2，3，2中）=4-加里·亚当森2009年4月26日 n在n X n乘法表中出现的次数-多米尼克·坎西拉2010年8月2日 k的数量>=0，使得（k^2+k*n+k）/（k+1）是一个整数-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2015年10月25日 只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau（k）>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日 a（n）也是2*n划分为相等部分的数量，减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日 发件人山田友弘2020年10月27日：（开始） 设k（n）=log d（n）*log logn/（log2*logn），则lim-sup k（n）=1（Hardy和Wright，第18章，定理317），k（n）<=k（6983776800）=1.537939…（常数A280235型)每一个n（尼古拉斯和罗宾，1983年）。 存在无穷多个n，使得d（n）=d（n+1）（Heath-Brown，1984）。此类整数n<=x的数量至少为c*x/（log-log x）^3（Hildebrand，1987），但最多为O（x/sqrt（log-log x））（Erdős，Carl Pomerance和sárközy，1987）。 （结束） 模数旋转的矩形中，具有两个不同边长的n个全等矩形的二维网格数（参见。A038548号用于正方形而不是矩形）。还有在矩形中排列n个相同对象的方法（非模旋转，参见。A038548号模数旋转）；囊性纤维变性。A007425号和A140773号用于3D案例-曼弗雷德·博尔根斯2021年6月8日 参考文献 M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，1964年（以及各种再版），第840页。 T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第38页。 G.Chrystal，《代数：中学高年级和大学的初级教科书》，第6版，切尔西出版社，1959年，纽约，第二部分，第345页，练习二十一（16）。MR0121327（22#12066） G.H.Hardy和E.M.Wright，由D.R.Heath-Brown和J.H.Silverman修订，《数字理论导论》，第6版，牛津大学出版社，2008年。 K.Knopp，《无穷级数的理论与应用》，布莱克，伦敦，1951年，第451页。 D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第二章。（对于不平等等） S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；纽约州切尔西，1962年。有很多关于这个序列的引用-N.J.A.斯隆2014年6月2日 N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。 N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。 B.Spearman和K.S.Williams，《数字理论估计手册》，卡尔顿数学。1975年第14号讲稿系列；见第2.1页。 E.C.Titchmarsh，《函数理论》，牛津，1938年，第160页。 T.Tao，《彭加莱的遗产》，第一部分，Amer。数学。Soc.，2009年，d（n）的上限见第31ff页。 链接 丹尼尔·福格斯，n=1..100000时的n，a（n）表（前10000个术语来自N.J.A.Sloane） M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。1972年第十次印刷55系列[替代扫描副本，需要Flash插件]。 G.E.安德鲁斯，我欠的一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire，论文B42a，第42期，2000年；见（7.1）。 J.Bell，解析数论中的兰伯特级数 R.Bellman和H.N.Shapiro，关于加法数论中的一个问题，《数学年鉴》。，49 (1948), 333-340. 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Wolfram研究，前50个数字的除数 “核心”序列的索引项 根据n的因式分解中的指数计算序列的索引项 配方奶粉 如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a（n）=（z+1）*（y+1）*。。。 a（n）=2当n是素数时。 通用公式：求和{n>=1}a（n）x^n=求和{k>0}x^k/（1-x^k）。这通常称为兰伯特系列（见克诺普，蒂奇马什）。 a（n）=A083888号（n）+A083889号（n）+A083890号（n）+A083891号（n）+A083892美元（n）+A083893号（n）+A083894号（n）+A083895号（n）+A083896号（n） ●●●●。 a（n）=A083910号（n）+A083911号（n）+A083912号（n）+A083913号（n）+A083914号（n）+A083915号（n）+A083916号（n）+A083917号（n）+A083918号（n）+A083919号（n） ●●●●。 与a（p^e）相乘=e+1-大卫·W·威尔逊2001年8月1日 a（n）<=2 sqrt（n）[另见米特里诺维奇，p.39A046522号]. a（n）是奇的，当n是平方时-莱因哈德·祖姆凯勒2001年12月29日 a（n）=和{k=1..n}f（k，n）其中f（k、n）=1，如果k除以n，则为0（Mobius变换A000012号). 等价地，f（k，n）=（1/k）*和{l=1..k}z（k，l）^n与z（k、l）是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日 G.f.：求和{k>0}（（-1）^（k+1）*x^（k*（k+1）/2）/（（1-x^k）*Product_{i=1..k}（1-x ^i））-迈克尔·索莫斯2003年4月27日 a（n）=n-总和{k=1..n}（天花板（n/k）-地板（n/k））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日 a（n）=A032741号（n） +1个=A062011型（n） 第页，共2页=A054519号（n）-A054519号（n-1）=A006218号（n）-A006218号（n-1）=1+和{k=1..n-1}A051950号（k+1）-拉尔夫·斯蒂芬2004年3月26日 通用公式：和{k>0}x^（k^2）*（1+x^k）/（1-x^k）。Dirichlet g.f.：zeta（s）^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日 顺序=M*V，其中M=A129372号作为无限下三角矩阵和V=标尺序列2015年11月作为向量：[1,2,1,3,1,2,4,…]-加里·亚当森2007年4月15日 序列=M*V，其中M=A115361年是一个无限下三角矩阵和V=A001227号n的奇数除数是一个向量：[1,1,2,1,2,2，…]-加里·亚当森2007年4月15日 三角形的行和A051731号. -加里·亚当森2007年11月2日 和{n>0}a（n）/（n^n）=和{n>0，m>0}1/（n*m）-杰拉尔德·麦卡维，2007年12月15日 对数g.f.：求和{n>=1}a（n）/n*x^n=-log（乘积{n>=1}（1-x^n）^（1/n））-乔格·阿恩特2008年5月3日 a（n）=总和{k=1..n}（楼层（n/k）-楼层（n-1）/k））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日 a（s）=2^omega（s），如果s>1是无平方数(A005117号)ω（s）为：A001221号. -恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年9月8日 a（n）=A048691号（n）-A055205号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2009年12月8日 对于n>1，a（n）=2+和{k=2..n-1}层（（cos（Pi*n/k））^2）。和floor（（cos（Pi*n/k））^2）=floor（1/4*e^（-（2*i*Pi*n）/k）+1/4*e*（（2*i*Pi*n/k）+1/2）-埃里克·德斯比亚，2010年3月9日，2011年4月16日更正 a（n）=1+总和{k=1..n}（楼层（2^n/（2^k-1））mod 2），针对每个n.Fabio Civolani（civox（AT）tiscali.it），2010年3月12日 发件人弗拉基米尔·舍维列夫2010年5月22日：（开始） （Sum_{d|n}a（d））^2=Sum_{d|n}a（d）^3（J.Liouville）。 求和{d|n}A008836号（d） *a（d）^2=A008836号（n） *求和{d|n}a（d）。（结束） a（n）=σ_0（n）=1+求和{m>=2}求和{r>=1}（1/m^（r+1））*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^（r+1）-1}e^（2*k*Pi*i*（n+（m-j）*m^r）/m^（r+1））-A.尼维斯2010年10月4日 a（n）=2*A038548美元（n）-A010052号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月8日 求和{n>=1}a（n）*q^n=（log（1-q）+psi_q（1））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日 a（n）=产品{k=1。。A001221号（n） }(A124010型（n，k）+1）-莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日 a（n）=和{k=1..n}A238133型（k）*A000041号（n-k）-米尔恰·梅卡2013年2月18日 G.f.：Sum_｛k>=1｝Sum_｛j>=1｝x^（j*k）-Mats Granvik公司2013年6月15日 上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/（1-x^k）得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日 G.f.：求和{n>=1}求和{d|n}（-log（1-x^（n/d））^d/d-保罗·D·汉娜2014年8月21日 2*Pi*a（n）=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/（1-x^k）的残数之和得到的-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月22日 a（n）=A091220型(A091202号（n） ）=A106737号(A156552号（n） ）-安蒂·卡图恩，大约2004年和2017年3月6日 a（n）=A034296号（n）-A237665型（n+1）[Wang，Fokkink，Fokkink]-乔治·贝克2017年5月6日 一般公式：2*x/（1-x）-和{k>0}x^k*（1-2*x^k）/（1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日 a（n）=和{k=1..n}1/phi（n/gcd（n，k））-丹尼尔·苏图2018年11月5日 a（k*n）=a（n）*（f（k，n）+2）/（f（k，n）+1），其中f（k、n）是k除以n的最高幂的指数，k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日 a（n）=2*log（p（n））/log（n），n>1，其中p（n=A007955号（n） ●●●●-加里·德特利夫斯2019年2月15日 a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}西格玛（gcd（n，k）），其中西格玛（n）=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日 a（n）=A001227号（n）*(A007814号（n） +1）=A001227号（n）*2015年11月（n） ●●●●-伊万·伊纳基耶夫2019年11月14日 发件人理查德·奥尔勒顿2021年5月11日：（开始） a（n）=A038040型（n） /n=（1/n）*Sum_{d|n}φ（d）*sigma（n/d），其中φ=A000010号和西格玛=A000203号. a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}φ（gcd（n，k））*sigma（n/gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束） 发件人里杜安·乌德拉（Ridouane Oudra）2021年11月12日：（开始） a（n）=和{j=1..n}和{k=1..j}（1/j）*cos（2*k*n*Pi/j）； a（n）=求和{j=1..n}求和{k=1..j}（1/j）*e^（2*k*n*Pi*i/j），其中i^2=-1。（结束） 例子 G.f.=x+2*x^2+2*x^3+3*x^4+2*x^5+4*x^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。 MAPLE公司 使用（numtheory）：A000005美元：=τ；[seq（τ（n），n=1..100）]； 数学 表[DivisorSigma[0，n]，{n，100}](*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日*） 系数列表[系列[（Log[1-q]+QPolyGamma[1，q]）/（q Log[q]），{q，0，100}]，q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*） a[n_]：=系列系数[（QPolyGamma[1，q]+Log[1-q]）/Log[q]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*） a[n]：=级数系数[q/（1-q）^2 q超几何PFQ[{q，q}，{q^2，q^2}，q，q^2]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*） a[n_]：=级数系数[q/（1-q）q超几何PFQ[{q，q}，{q^2}，q，q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*） 具有[{M=500}，系数列表[Series[（2x）/（1-x）-Sum[x^k（1-2x^k）/(*马穆卡·吉卜拉泽2018年8月31日*） 黄体脂酮素 （PARI）{a（n）=如果（n==0，0，numdiv（n））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/ （PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<1，0，direuler（p=2，n，1/（1-X）^2）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/ （PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=1，n+1，和div（m，d，（-log（1-x^（m/d）+x*O（x^n）））^d/d！），n）}\\保罗·D·汉娜2014年8月21日 （岩浆）[1..100]]中的[NumberOfDivisors（n）:n；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日 （MuPAD）编号：：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日 （Sage）[范围（1105）内n的σ（n，0）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日 （哈斯克尔） 除数1=[1] 除数n=（1：过滤器（（==0））。雷姆） [2..n`div`2]）++[n] a=长度。约数 --詹姆斯·施普林格2012年10月7日 （哈斯克尔） a000005=产品。地图（+1）。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日 （Python） 从sympy导入divisor_count 对于范围（1，20）中的n：print（divisor_count（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日 （GAP）列表（[1..150]，n->Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日 （朱莉娅） 函数tau（n） i=2；num=1 而i*i<=n 如果rem（n，i）==0 e=0 而rem（n，i）==0 e+=1 n=div（n，i） 结束 数字*=e+1 结束 i+=1 结束 返回n>1？num+num:num 结束 println（[τ（n）代表1:104中的n]）#彼得·卢什尼2023年9月3日 交叉参考 请参见A002183号，A002182号用于记录。请参见A000203号对于偏差总和函数sigma（n）。 有关部分总和，请参见A006218号. 囊性纤维变性。A007427号（Dirichlet逆），A001227号，A005237号，A005238号，A006601号，A006558号，A019273号，A039665号，A049051号，A001826号，A001842号，A049820元，A051731号，A066446号，A106737号，A129510号，A115361年，A129372号，A127093号，A143319号，A061017号，A091202号，A091220型，A156552号，A159933号，A159934号，A027750型，A163280号，A183063号，A263730型，A034296号，A237665型. 因子分解为给定数量的因子：写入n=x*y(A038548号，无序，A000005美元，有序），n=x*y*z(A034836号，无序，A007425号，有序），n=w*x*y*z(A007426号，已订购）。 囊性纤维变性。A000010号. 囊性纤维变性。A098198号（s=2时的Dgf），A183030号（s=3时的Dgf），1983年（s=3时的Dgf）。 上下文中的序列：A329484型 A179941号 A179942号*A122667号 A122668号 A073668号 相邻序列：A000002号 A000003号 A000004号*A000006号 A000007号 A000008号 关键词 容易的，核心，非n，美好的，多重，听到 作者 N.J.A.斯隆 扩展 删除了不正确的公式里杜安·乌德拉（Ridouane Oudra）2021年10月28日 状态 经核准的

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