0,3个

2的乘法子目（mod 2n+1）（或sord（2，2n+1））。

这被称为2模b的准序，b=2*n+1，n>=1，在Hilton/Pederson的参考文献中。

有关计算的复杂性，请参见A002326号.

另外，一副n张牌的所谓“牛奶洗牌”的顺序，它将牌（1，2，…，n）映射到（1，n，2，n-1，3，n-2，…），见Lévy的论文。-杰弗里·沙利特2019年6月9日

在基-n卡普雷卡映射的迭代下，即使n>2(A165012号,A165051号,A165090,A151949号在基4，6，8，10）中，几乎所有的循环的长度都是a（n/2-1）；在附加约束下证明了循环至少包含一个满足“位数（n-1）-位数0=o（总位数）”的元素。-约瑟夫·迈尔斯2009年9月5日

从加里·W·亚当森2011年9月20日：（开始）

a（n）可以通过使用x^2-2，种子2*cos（2*Pi/n）的迭代循环长度来确定；如A065941号2011年9月6日评论。logistic方程4x*（1-x）的迭代映射同样是混沌的，具有相同的周期长度，但以sin^2（2*Pi/N），N=2n+1启动轨迹[Kappraff&Adamson，2004]。将牛顿方法应用于i=sqrt（-1）[Strang，also Kappraff and Adamson，2003]，可以得到周期长度相同的混沌项，从而得到cot（2*Pi/N）轨迹的态射：（x^2-1）/2x。（完）

从加里·W·亚当森2019年9月11日：（开始）

利用x^2-2和种子2*cos（Pi/7），我们得到了周期三轨道1.8019377…->1.24697…->-.44541。。。对于奇素数N，轨迹项表示规则星2N个边的对角线长度，其中边是最短的值（在本例中为0.445…）（参见“多边形和混沌”，第9页图4）。我们可以用最小值除以这些长度，得到14个边的3条对角线：（1，2.801937…，4.048917…）。用奇数（1，3，5）标记按大小排列的项，我们发现对角线长度与对角线公式（sin（j*Pi）/14）/（sin（Pi/14））一致，j=（1,3,5）。（结束）

有符号第n行的根A054142号多项式对于运算（-2，x^2）是混沌的，周期长度为a（n）。（1）用0+2.6的根（1+2）来获得多项式的根（例如：1+2.6）。-加里·W·亚当森2011年9月21日

还有一个（n-1）=card{cos（（2^k）*Pi/（2*n-1））：n}中的k表示n>=1（参见A216066号，一个基本相同的序列，以获取更多信息）。-罗马维图拉2012年9月1日

从朱哈尼·海诺2015年10月26日：（开始）

从数字1和n开始一个序列。对于下一个数字，将之前的数字向后添加，直到总和为偶数。那么新的数字是sum/2。我猜想序列返回到1，n，a（n）是循环长度。

例如：1,7,4,2,1,7，。。。所以a（7）=4。

1,6,3,5,4,2,1,6，。。。所以a（6）=6。（结束）

从朱哈尼·海诺2015年11月6日：（开始）

上述猜想的证明：设n=-1/2；因此2n+1=0，所以操作是mod（2n+1）。当成员是偶数时，它被2除。当它被有效地除以n-2时，它被有效地除以。从新成员m是1<=m<=n的意义上来说，这都是定义良好的。现在看看从一个奇数成员m开始会发生什么。下一个成员是-m/2。只要有偶数个成员，除以2得到奇数-m/（2^k）。现在加上所有以m开头的成员。总和是m/（2^k）。它除以2，所以下一个成员是m/（2^（k+1））。这与定义中的（-m/（2^k））/（-2）相同。

所以实际上从1开始，总是除以2，虽然符号有时会改变。最终再次到达1。链可以向后移动，然后2^（循环长度）==+-1（mod 2n+1）。

最后，我们处理一个（0）：序列1,0以0继续，并且从不返回到1。所以让我们声明周期长度0表示不可用。（结束）

从加里·W·亚当森2019年8月20日：（开始）

序列中的项可以通过应用加倍序列mod（2n+1）来获得，然后计算项的个数直到下一个项==+1（mod 2n+1），例如：给定25，轨迹为（1，2，4，8，16，7，14，3，6，12）。

周期结束，因为下一项是24==-1（mod 25），周期为10。（结束）

从加里·W·亚当森2019年9月4日：（开始）

Kappraff和Adamson在“多边形与混沌”第13页第7节“混沌与数字”中的猜想：给定N=2n+1的循环长度，对于1/N的展开，同样的循环长度存在于4，9，16，25，…，m^2。

示例：7的循环长度为3，同样，底座4中的1/7的循环长度为：021021021。。。。在基数9中，1/7的展开是.125125125。。。检查：前几个项是1/9+2/81+5/729=104/279=.1426611。。。（接近1/7=.142857）。（结束）

从加里·W·亚当森2019年9月24日：（开始）

m^2中1/N规则的一个例外：（当N除以m^2，如基数49中的1/7时，=7/49，有理）。当循环中的所有项都相同时，恒等式在（某些基）=.a，a，a。。。。以1/N的“a”最小值为例，在基（N-1）^2=.a，a，a，。。。对于N个奇数：

1/3在基数4=.1，1，1，。。。

1/5在基数16=.3，3，3，。。。

1/7英寸底座36=.5，5，5，。。。

1/9在64进制中=.7，7，7，。。。

1/11英寸底座100=.9，9，9，。。。（检查：前三个学期是9/100+

9/（100^2）+9/（100^3）=.090909其中1/11=.090909。（结束）

对于N=2n+1，相应的条目等于N的多项式次数（Lang，表2，第46页）。如图所示，x^3-3x-1是N=9的最小多项式，根（1.87938…，-1.53208…，0.347296…）；使用x^2-2匹配2*cos（Pi/9）轨迹的（abs）值。因此，a（4）=3。如果N是素数，则表2中所示的多项式与中相同N的多项式相同A065941号. 如果不同，表2中所示的最小多项式是A065941号. -加里·W·亚当森2019年10月1日

2*cos（Pi/N）轨迹中的项（根到A187360型和（Lang）），通过使用运算L（m）2*cos（x）-->2*cos（m*x）从倍增轨道（mod N）快速得到，其中L（2），二次Lucas多项式(A034807型)是x^2-2。与七边形有关，使用种子2*cos（Pi/7），我们得到了周期为3的周期为1.8019…，1.24697…，和.445041。所有这些根都可以从统一的第N个根中导出，并且可以映射到泡囊上。给定统一根（极1角（k*2*Pi/N），k=1，2，…（N-1）/2），通过添加1A（0）或（a+b*I）=（1+0i）将左（L）圆上的这些点映射到（R）圆上。但是这个运算和向量加法是一样的，其中合成向量是1+1A（k*（2*Pi/N））。示例：给定左圆上2*Pi/7处的半径，则映射到右圆上的（1+1A（2*Pi/7））；或1A（2*Pi/7）-->（1.8019377…A（Pi/7）。类似地，1+1A（（2）*2*Pi/7））映射到（1.24697…A（2*Pi/7）；而1+1A（3*2*Pi/7）映射到（.445041…A（3*Pi/7）。-加里·W·亚当森2019年10月23日

2^（a（n））==A332433（n） （mod（2*n+1）），和（2^（a（n））-A332433（n） ）/（2*n+1）=A329593型（n） ，对于n>=0。-狼牙2020年4月9日

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卡尔·希克，《三角学与Unterhaltsome Zahlentheorie》，博科斯·德鲁克，祖里希出版社，2003年（ISBN 3-9522917-0-6）。

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埃里克·韦斯坦的数学世界，子序函数

a（n）=对数2(A160657号（n） +2）-1。-纳撒尼尔·约翰斯顿2009年5月22日

a（n）<=n-查理四世，2012年9月15日[n>=1]

a（n）=min{k>0 | q_k=q_0}，其中q_0=1且q_k=| 2*n+1-2*q{k-1}|（参见[Schick，第4页]；q_k=1，n=1；q_k=A010684号（k） 对于n=2；q=邮编：A130794（k） 对于n=3；q=|A154870号（k-1）| n=4；q|k=|A135449号（k） | n=5）-乔纳森·斯科韦拉2013年6月29日

a（3）=3，因为f（x）=x^2-2的周期为3，使用种子2*cos（2*Pi/7），其中7=2*3+1。

a（15）=5，因为logistic方程4x*（1-x）的迭代映射有一个周期5，使用种子sin^2（2*Pi）/N；N=31=2*15+1。

A003558号：=过程（n）

局部m，mo；

如果n=0，则

返回0；

结束if；

从1米开始

mo:=modp（2^m，2*n+1）；

如果mo在{1，2*n}中，则

返回m；

结束if；

结束do：

结束过程：

顺序(A003558号（n） ，n=0..20）#R、 J.马萨2014年12月1日

f： =proc（n）局部t；

t:=数值：—mlog（-1，2，n）；

如果t=失败，则数量：顺序（2，n）否则t fi

结束过程：

0，顺序（f（2*k+1），k=1..1000）#罗伯特·以色列2015年10月26日

子序[a，n_u]：=如果[n>1&&GCD[a，n]==1，Min[multiplicationorder[a，n，{-1，1}]]，0]；

联接[{1}，表[子顺序[2，2n+1]，{n，100}]](*T、 D.不，2006年8月2日*）（*修订人文琴佐·利班迪2020年4月11日*）

（PARI）a（n）={m=1；而（m，if（（2^m）%（2*n+1）==1 | |（2^m）%（2*n+1）==2*n，返回（m））；m++）}\\阿尔图阿尔坎2015年11月6日

（PARI）isok（m，n）=我的（md=Mod（2，2*n+1）^m）；（md==1）|（md==-1）；

A003558号（n） 当（1米）；而！isok（m，n），m++）；m\\米歇尔·马库斯2020年5月6日

囊性纤维变性。A054142号,A065941号,A085478号,A160657号,邮编：A179480,A135303号（车厢编号），甲16371（一个教练的奇数素数），A000215型（费马数）。

A216066号是一个基本相同的序列，除了偏移量。

囊性纤维变性。A329593型,A332433（标志）。

上下文顺序：A023160型 A085312 A046530*A216066号 A234094 A301853型

相邻序列：A003555号 A003556号 A003557号*A003559号 A003560 A003561号

不

N、 斯隆

更多条款来自哈里J.史密斯2005年2月11日

条目修订人N、 斯隆，2006年8月2日和2017年12月10日

经核准的