2（mod 2n+1）（或sord（2，2n+1））的乘法亚目。
在Hilton/Pederson参考中，这被称为2 mod b的准阶，其中b=2*n+1，对于n>=1。
此外，一副n张牌的所谓“牛奶洗牌”的顺序，它将牌（1,2，…，n）映射到（1，n，2，n-1,3，n-2，…）。见莱维的论文。 -杰弗里·沙利特2019年6月9日
a（n）可以通过使用x^2-2，种子2*cos（2*Pi/n）的迭代循环长度来确定；如所示A065941号2011年9月6日的评论。logistic方程4x*（1-x）的迭代映射同样是混沌的，具有相同的周期长度，但以sin^2（2*Pi/N），N=2n+1启动轨道[Kappraff&Adamson，2004]。通过将牛顿方法应用于i=sqrt（-1）[Strang，also Kappraff and Adamson，2003]，可以获得具有相同循环长度的混沌项，从而导致cot（2*Pi/N）轨迹的态射：（x^2-1）/2x。（结束）
使用带种子2*cos（Pi/7）的x^2-2，我们得到了周期三轨道1.8019377…->1.24697…->-0.445041…对于奇素数N，轨道项表示正则恒星2N-gons的对角线长度，边是最短值（在本例中为0.445…）（参见“多边形和混沌”，第9页，图4）我们可以通过用最小值进行划分来规范化这些长度，给出14边的3条对角线：（1,2.801937…，4.048917…）。用奇整数（1，3，5）标记按大小排序的项，我们发现对角线长度与对角线公式（sin（j*Pi）/14）/（sin）（Pi/14））一致，其中j=（1,3,5）。（结束）
有符号第n行的根A054142美元多项式相对于运算（-2，x^2）是混沌的，循环长度为a（n）。示例：从根开始到x^3-5x^2+6x-1=0；（2+2*cos（2*Pi/N）=3.24697…）；我们得到了轨道（3.24697…->1.55495…->0.198062…）；循环长度为3的多项式的根与a（3）=3匹配。 -加里·亚当森2011年9月21日
以数字1和n开始一个序列。对于下一个数字，将前面的数字往后加，直到总和为偶数。那么新的数字是sum/2。我猜想序列返回到1，n，a（n）是循环长度。
例如：
1,7,4,2,1,7,.因此a（7）=4。
1,6,3,5,4,2,1,6,.因此a（6）=6。（结束）
上述猜想的证明：设n=-1/2；因此2n+1＝0，因此操作是mod（2n+1）执行的。当构件是偶数时，它被2除尽。当它是奇数时，乘以n，有效地除以-2。这都是在新成员m是1的意义上定义得很好。现在看看从奇数成员m开始会发生什么。下一个成员是-m/2。只要有偶数成员，除以2，最后得到奇数-m/（2^k）。现在添加所有以m开头的成员。总和为m/（2^k）。它被2除，所以下一个成员是m/（2^（k+1））。这与定义中的（-m/（2^k））/（-2）相同。
所以实际上从1开始，总是除以2，尽管符号有时会改变。最终再次达到1。链条可以向后移动，然后2^（循环长度）==+-1（mod 2n+1）。
最后，我们处理一个（0）：序列1，0继续为零，从不返回到1。因此，让我们声明周期长度0表示不可用。（结束）
序列中的项可以通过应用加倍序列mod（2n+1）来获得，然后对这些项进行计数，直到下一项==+1（mod 2n+1）。示例：给定25，轨迹为（1，2，4，8，16，7，14，3，6，12）。
周期结束，因为下一项为24==-1（mod 25），周期为10。（结束）
Kappraff和Adamson在“多边形与混沌”中的猜想，第13页，第7节，“混沌与数”：给定N=2n+1的循环长度，相同的循环长度存在于碱基4、9、16、25、。..，m^2，对于1/N的扩展。
示例：7的循环长度是3，同样，基4中的1/7也是：0.021021021……基9中1/7的展开式是0.125125125……检查：前几个项是1/9+2/81+5/729=104/279=0.1426611……（接近1/7=0.142857……）。（结束）
以m^2为基数的1/N规则的一个例外：（当N除以m^2，如以49为基数的1/17，=7/49，有理数）。当循环中的所有项都相同时，在（一些基数）=.a，a，a，中的恒等式降为1/N。…以1/N的最小值“a”为例，以基（N-1）^2=.a，a，a，为推广1/N。..对于N奇数：
1/3英寸底座4=.1，1，1。..
1/5英寸底座16=.3，3，3。..
1/7英寸底座36=.5，5，5。..
以64为底的1/9=.7、7、7、。..
1/11英寸底座100=.9，9，9。..（检查：前三项为9/100+9/（100^2）+9/。（结束）
对于N=2n+1，相应条目等于N的多项式次数，如（Lang，表2，第46页）所示。如图所示，x^3-3x-1是N=9的最小多项式，具有根（1.87938…，-1.53208…，0.347296…）；使用x^2-2匹配2*cos（Pi/9）轨迹的（abs）值。因此，a（4）=3。如果N是素数，表2中所示的多项式与中相同N的多项式相同A065941号如果不同，表2中所示的最小多项式是A065941号. -加里·亚当森2019年10月1日
2*cos（Pi/N）轨迹中的项（根到最小多项式A187360型和（Lang））），通过使用运算L（m）2*cos（x）-->2*cos（m*x）从加倍轨道（mod N）快速获得，其中L（2）是二次Lucas多项式(A034807号)是x^2-2。关于七角体，使用种子2*cos（Pi/7），我们得到了轨道1.8019…、1.24697…和0.445041。。。。；以周期3循环。所有这些根都可以从Unity的N个根派生出来，并可以映射到Vesica Piscis上。给定单位的根（极1角（k*2*Pi/N），k=1，2。..，（N-1）/2）Vesica-Piscis通过添加1A（0）或（a+b*I）=（1+0i）将左（L）圆上的这些点映射到（R）圆。但此操作与矢量相加相同，其中合成矢量为1+1A（k*（2*Pi/N））。示例：给定左圆上2*Pi/7处的半径，它映射到右圆上的（1+1A（2*Pi%7））；或1A（2*Pi/7）-->（1.8019377…A（Pi/7。类似地，1+1A（（2）*2*Pi/7））映射到（1.24697…A（2*Pi%7）；和1+1A（3*2*Pi/7）映射到（.0445041…A（3*1I/7）。 -加里·亚当森2019年10月23日
如果sin（2^m*Pi/N）有负号，那么N是inA014659号；否则N为inA014657号当N=15时，m是4，sin（16*Pi/15）是-0.2079116……如果N是11，m是5，sin是0.2817325。（结束）
在使用x^2-2的迭代映射上，（Devaney，p.126）指出，我们必须找到取2*cos（Pi）->2*cos（2*Pi）的函数。“然而，我们可以写2*cos（2*Pi）=2*（2*cos^2（Pi）-1）=（2*cos（Pi））^2-2。所以所需的函数是x^2-2。”关于周期3，意味着詹姆斯·约克和T.Y.李的混沌定理，1975年证明了这一点；Devaney（p.133）指出，如果F是连续的，并且我们找到了周期3的一个循环，那么这个映射在每个可能的周期中还有无穷多的其他循环。检查：7的x^2-2轨道有一个周期3，所以这个条目有所有其他周期的周期点。 -加里·亚当森，2023年1月4日
