2的乘法子目(mod 2n+1)(或sord(2,2n+1))。
这被称为2模b的准序,b=2*n+1,n>=1,在Hilton/Pederson的参考文献中。
有关计算的复杂性,请参见A002326号.
另外,一副n张牌的所谓“牛奶洗牌”的顺序,它将牌(1,2,…,n)映射到(1,n,2,n-1,3,n-2,…),见Lévy的论文。-杰弗里·沙利特2019年6月9日
在基-n卡普雷卡映射的迭代下,即使n>2(A165012号,A165051号,A165090,A151949号在基4,6,8,10)中,几乎所有的循环的长度都是a(n/2-1);在附加约束下证明了循环至少包含一个满足“位数(n-1)-位数0=o(总位数)”的元素。-约瑟夫·迈尔斯2009年9月5日
从加里·W·亚当森2011年9月20日:(开始)
a(n)可以通过使用x^2-2,种子2*cos(2*Pi/n)的迭代循环长度来确定;如A065941号2011年9月6日评论。logistic方程4x*(1-x)的迭代映射同样是混沌的,具有相同的周期长度,但以sin^2(2*Pi/N),N=2n+1启动轨迹[Kappraff&Adamson,2004]。将牛顿方法应用于i=sqrt(-1)[Strang,also Kappraff and Adamson,2003],可以得到周期长度相同的混沌项,从而得到cot(2*Pi/N)轨迹的态射:(x^2-1)/2x。(完)
从加里·W·亚当森2019年9月11日:(开始)
利用x^2-2和种子2*cos(Pi/7),我们得到了周期三轨道1.8019377…->1.24697…->-.44541。。。对于奇素数N,轨迹项表示规则星2N个边的对角线长度,其中边是最短的值(在本例中为0.445…)(参见“多边形和混沌”,第9页图4)。我们可以用最小值除以这些长度,得到14个边的3条对角线:(1,2.801937…,4.048917…)。用奇数(1,3,5)标记按大小排列的项,我们发现对角线长度与对角线公式(sin(j*Pi)/14)/(sin(Pi/14))一致,j=(1,3,5)。(结束)
有符号第n行的根A054142号多项式对于运算(-2,x^2)是混沌的,周期长度为a(n)。(1)用0+2.6的根(1+2)来获得多项式的根(例如:1+2.6)。-加里·W·亚当森2011年9月21日
还有一个(n-1)=card{cos((2^k)*Pi/(2*n-1)):n}中的k表示n>=1(参见A216066号,一个基本相同的序列,以获取更多信息)。-罗马维图拉2012年9月1日
从朱哈尼·海诺2015年10月26日:(开始)
从数字1和n开始一个序列。对于下一个数字,将之前的数字向后添加,直到总和为偶数。那么新的数字是sum/2。我猜想序列返回到1,n,a(n)是循环长度。
例如:1,7,4,2,1,7,。。。所以a(7)=4。
1,6,3,5,4,2,1,6,。。。所以a(6)=6。(结束)
从朱哈尼·海诺2015年11月6日:(开始)
上述猜想的证明:设n=-1/2;因此2n+1=0,所以操作是mod(2n+1)。当成员是偶数时,它被2除。当它被有效地除以n-2时,它被有效地除以。从新成员m是1<=m<=n的意义上来说,这都是定义良好的。现在看看从一个奇数成员m开始会发生什么。下一个成员是-m/2。只要有偶数个成员,除以2得到奇数-m/(2^k)。现在加上所有以m开头的成员。总和是m/(2^k)。它除以2,所以下一个成员是m/(2^(k+1))。这与定义中的(-m/(2^k))/(-2)相同。
所以实际上从1开始,总是除以2,虽然符号有时会改变。最终再次到达1。链可以向后移动,然后2^(循环长度)==+-1(mod 2n+1)。
最后,我们处理一个(0):序列1,0以0继续,并且从不返回到1。所以让我们声明周期长度0表示不可用。(结束)
从加里·W·亚当森2019年8月20日:(开始)
序列中的项可以通过应用加倍序列mod(2n+1)来获得,然后计算项的个数直到下一个项==+1(mod 2n+1),例如:给定25,轨迹为(1,2,4,8,16,7,14,3,6,12)。
周期结束,因为下一项是24==-1(mod 25),周期为10。(结束)
从加里·W·亚当森2019年9月4日:(开始)
Kappraff和Adamson在“多边形与混沌”第13页第7节“混沌与数字”中的猜想:给定N=2n+1的循环长度,对于1/N的展开,同样的循环长度存在于4,9,16,25,…,m^2。
示例:7的循环长度为3,同样,底座4中的1/7的循环长度为:021021021。。。。在基数9中,1/7的展开是.125125125。。。检查:前几个项是1/9+2/81+5/729=104/279=.1426611。。。(接近1/7=.142857)。(结束)
从加里·W·亚当森2019年9月24日:(开始)
m^2中1/N规则的一个例外:(当N除以m^2,如基数49中的1/7时,=7/49,有理)。当循环中的所有项都相同时,恒等式在(某些基)=.a,a,a。。。。以1/N的“a”最小值为例,在基(N-1)^2=.a,a,a,。。。对于N个奇数:
1/3在基数4=.1,1,1,。。。
1/5在基数16=.3,3,3,。。。
1/7英寸底座36=.5,5,5,。。。
1/9在64进制中=.7,7,7,。。。
1/11英寸底座100=.9,9,9,。。。(检查:前三个学期是9/100+
9/(100^2)+9/(100^3)=.090909其中1/11=.090909。(结束)
对于N=2n+1,相应的条目等于N的多项式次数(Lang,表2,第46页)。如图所示,x^3-3x-1是N=9的最小多项式,根(1.87938…,-1.53208…,0.347296…);使用x^2-2匹配2*cos(Pi/9)轨迹的(abs)值。因此,a(4)=3。如果N是素数,则表2中所示的多项式与中相同N的多项式相同A065941号. 如果不同,表2中所示的最小多项式是A065941号. -加里·W·亚当森2019年10月1日
2*cos(Pi/N)轨迹中的项(根到A187360型和(Lang)),通过使用运算L(m)2*cos(x)-->2*cos(m*x)从倍增轨道(mod N)快速得到,其中L(2),二次Lucas多项式(A034807型)是x^2-2。与七边形有关,使用种子2*cos(Pi/7),我们得到了周期为3的周期为1.8019…,1.24697…,和.445041。所有这些根都可以从统一的第N个根中导出,并且可以映射到泡囊上。给定统一根(极1角(k*2*Pi/N),k=1,2,…(N-1)/2),通过添加1A(0)或(a+b*I)=(1+0i)将左(L)圆上的这些点映射到(R)圆上。但是这个运算和向量加法是一样的,其中合成向量是1+1A(k*(2*Pi/N))。示例:给定左圆上2*Pi/7处的半径,则映射到右圆上的(1+1A(2*Pi/7));或1A(2*Pi/7)-->(1.8019377…A(Pi/7)。类似地,1+1A((2)*2*Pi/7))映射到(1.24697…A(2*Pi/7);而1+1A(3*2*Pi/7)映射到(.445041…A(3*Pi/7)。-加里·W·亚当森2019年10月23日
2^(a(n))==A332433(n) (mod(2*n+1)),和(2^(a(n))-A332433(n) )/(2*n+1)=A329593型(n) ,对于n>=0。-狼牙2020年4月9日
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