勾股三重

毕达哥拉斯三元组是三倍的属于正整数 ,,和这样直角三角形有腿存在和斜边 .由毕达哥拉斯语定理，这相当于发现积极的整数 ,,和令人满意的

毕达哥拉斯最小、最著名的三元组是. The直角三角形具有这些边长有时称为三，4,5三角形.

中的点绘图-平面，使得上面显示的是毕达哥拉斯三元组对于连续较大的边界。这些曲线图包括以下负值和，因此与x个-和年-轴.

类似地-平面，以便是毕达哥拉斯的三元组吗对于连续较大的边界。

通常只考虑原始勾股三元组（也称为“简化”三元组），其中和是相对质数,因为其他解决方案可以从原始解决方案中微不足道地生成。原语三元组如上图所示，可以立即看到径向线与原图中的非本罪三元组相对应的三元组在本图中不存在。对于基本解或必须是即使和另一个古怪的（Shanks 1993年，第141页）总是古怪的.

此外，每个毕达哥拉斯三元组的一边都可以被3整除，另一边可以被4整除，另外一边可以被5整除。一方可能有两个除数，如（8，15，17），（7，24，25）和（20，21，29），或者甚至三个除数都有，如（11，60，61）。

给定一个原始三元组，从中获得了三个新的本原三元组

哪里

霍尔（1970）和罗伯茨（1977）证明了是原始毕达哥拉斯三元组若（iff）

哪里是一个有限的，有限的 产品的矩阵 ,,因此，每个原始毕达哥拉斯三元组必须是的成员无限的阵列

毕达哥拉斯和巴比伦人给出了生成（不一定是原始的）三元组的公式

对于,它生成一组既不包含all原语也不包含all的不同三元组不纯正三元组（以及在特殊情况下的位置,).

早期的希腊人

哪里和是相对质数和相反的奇偶校验（Shanks 1993，p.141），它生成了一组不同的三元组，包含精确地计算原始三元组（适当排序后和).

让成为斐波那契数.然后

生成了独特的毕达哥拉斯三元组（Dujella 1995），尽管对于原始或非原始三元组并没有穷尽。更普遍地说，从阳性开始整数,,并构造类斐波纳契数列包含条款,,,,, ... 生成不同的毕达哥拉斯三元组

（Horadam 1961），其中

哪里是一个卢卡斯数.

对于任何毕达哥拉斯三元组产品两个非斜边的腿（即两个较小的数字）总是可除尽的到12点产品三个方面中可除尽的60岁之前。不知道是否有两个不同的三元组具有相同的产品.两个这样的三元组的存在对应于一个非零解决方案丢番图方程

（盖伊1994年，第188页）。

对于毕达哥拉斯三元组(,,),

哪里是配分函数P（Honsberger 1985）。每三学期正方形 ,,可以与毕达哥拉斯三元组关联)由

（罗伯逊，1996年）。

这个地区的三角形对应于毕达哥拉斯三元组是

费马特证明了这种形式的数字永远不会是广场数.

查找数字可能的原始的 三角形可能有一腿（除斜边)长度的,因素到表单中

此类的数量三角形就是那个时候

即，0代表单偶 和2的幂比不同的基本因子属于否则（Beiler 1966，第115-116页）。前几个数字对于,2, ..., 是0，0，1，1，0，1,1,1,1,0，1,1，1,2，1,0，2。。。（组织环境信息系统A024361号).找到方法的数量其中一个数字可以是腿（除斜边)的原始或非原始 直角三角形，编写的因子分解作为

然后

（Beiler 1966年，第116页）。请注意 若（iff） 是质数或是质数的两倍。的前几个数字, 2, ... 是0、0、1、1、1,1、1、2、，2, 1, 1, 4, 1, ... （组织环境信息系统A046079号).

找到方法的数量其中一个数字可以是斜边的原始的 直角三角形，编写其因子分解作为

其中秒是表单的 和是表单的 .可能的数量原始的 正确的三角形就是那个时候

例如，自从

的值对于,2, ... 是0，0，0。。。（组织环境信息系统A024362号).最初的几个素数 属于表格 是5、13、17、29、37、41、53、61、73、89、97、101、109、113、137。。。（组织环境信息系统A002144号),所以最小边长是斜边第1、2、4、8、16…页。。。基本直角三角形是5，65，1105，32045，1185665，486612265。。。（组织环境信息系统A006278号).

可能的数量原始或非原始 直角三角形有作为一个斜边是

（更正Beiler 1966年的错误，第117页，该公式仅给出非本原解的数量），其中是平方和功能。例如，有四个不同的整数三角形斜边65岁，自

的前几个数字, 2, ... 是0，0，0，0, 1, 0, 0, ... （组织环境信息系统A046080型). 最小的斜边具有不同的三元组是1、5、25、125、65、3125。。。（组织环境信息系统A006339号).下表给出了存在的斜边确切地 不同的正确的 整数三角形对于, 1, ..., 5

因此可以是腿或斜边的直角三角形由提供

的值,2, ... 是0、0、1、1、2、1、3、。。。（组织环境信息系统A046081号).最小的数字这可能是一般的直角三角形对于,2, ... 是3、5、16、12、15、125、24、40。。。（组织环境信息系统A006593号；Beiler 1966年，第114页）。

有50个毕达哥拉斯三连体斜边少于100个，其中前几个按递增排序，是（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（9，12，15），（8，15，17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24,30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), ... （组织环境信息系统A046083号,A046084号、和A009000型).

其中只有16个是原始三胞胎斜边小于100:（3，4，5），（5，12，13），（8，15，17），（7，24，25），（20，21，29），（12，35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (33, 56, 65), (16, 63, 65), (48,55、73）、（36、77、85）、（13、84、85），（39、80、89）和（65、72、97）（OEISA046086号,A046087号、和A020882号).

让三元组的数量斜边 表示，带有的三元组数斜边 表示，并且基元三元组的数量小于表示。然后下表总结了10的权力。

Lehmer（1900）证明了具有斜边小于满足

（组织环境信息系统A086201号).

这个英拉德按递增顺序排列的最初几个原始毕达哥拉斯三角形由1、2、3、3、6、5、4、10、5。。。（组织环境信息系统A014498号).

有一种获得等边勾股三角形三元组的通用方法地区.将三台发电机作为

然后直角三角形由每个三元组生成()有共同点地区

（Beiler 1966年，第126-127页）。唯一的极值此函数的.自对于，最小的地区三人共享非刑事的直角三角形由提供，面积为840，对应三胞胎（24、70、74）、（40、42、58）和（15、112、113）（Beiler 1966，第126页）。

面积由一个数字组成的直角三角形包括（面积为6）和（面积666666；Wells 1986，第89页）。

1643年，费马向梅森提出挑战，要求他找到一个毕达哥拉斯三胞胎斜边和总和的腿是正方形.费马找到了最小的这样的解决方案：

具有

一个相关的问题是确定整数 可以是地区的直角三角形有理性的一面。1, 2,3和4不是地区任何理性的-侧面的直角三角形，但5是（3/2、20/3、41/6），如为6（3，4，5）。问题的解决方案包括椭圆形曲线

一个解决方案(,,)存在，如果(46)有一个理性的解决方案，在这种情况下

（Koblitz 1993）。没有已知的通用方法来确定是否存在任意,但1983年J.Tunnell发明的一种技术允许确定某些值退出（Cipra 1996）。