登录
这个网站是通过捐款来支持的。OEIS基金会.

 

标志


提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0203 A(n)=σ(n),n的除数之和也称为sigma 1(n)。
(原M23 29 N0921)
三千四百三十二
1, 3, 4、7, 6, 12、8, 15, 13、18, 12, 28、14, 24, 24、31, 18, 39、20, 42, 32、36, 24, 60、31, 42, 40、56, 30, 72、32, 63, 48、54, 48, 91、54, 48, 91、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

乘法:如果n为素数幂的正则因式分解是P^ E(p)的乘积,则SigaMyk(n)=乘积ρp((p^((e)(p)+1)*k)- 1)/(p^ k-1)。

SuMu{{N} 1 /d^ k等于SigaMyk(n)/n^ k。A017665-A017712还给出了k=1…24的SigaMyk(n)/n ^ k的分子和分母。幂和SigaMyk(n)的序列A000 0203(这个序列)(k=1),A000 1157-A000 1160(k=2,3,4,5)A013954-A013972对于k= 6,7,…,24。- Ahmed Fares(AHMEMEFARES(AT)我的Deja.com),APR 05 2001

如果Sigma(n)>2n(n),则n是丰富的。A000 5101),如果Sigma(n)=2n(CF)则是完美的。A000 039),如果σ(n)<2n则不足。A000 5100

A(n)=一般二维格中指数n的子格数。- Avi Peretz(NJK(AT)NETVISION .NET.IL),1月29日2001

指数n的子格与矩阵[a,b,0 d]一一对应,在[0…d-1,1]中,a>0,ad=n,b。这些数是Suthi{{N} D=Sigma(n),它是A(n)。如果GCD(a,b,d)=1,则一个子格是本原的;这些数是n*乘积{{p n}(1+1/p),这是A000 1615. [ Cf. Grady参考文献]

n和m的公约数之和,其中m从1到n。诺莫诺1月10日2004

A(n)是qnp代数闭包上具有n次qn的所有扩展的基数,其中p>n- V·斯米特(CalsI(at)GMx.net),11月24日2004。囊性纤维变性。A10097A10097A10097(p-向扩张)。

S(n)=S(N-1)+S(N-2)-S(N-5)-S(N-7)+S(N-12)+S(N-15)-S(N-22)-S(N-26)+…如果n不是五边形,即n!=(3 J^ 2 + -J)/ 2,并且如果n是五边形,则求和而不是S(n)+((-1)^ j)*n。-加里·W·亚当森,OCT 05 2008 [修正4月27日2012威廉·J·基思基于尤厄尔

序号为零:(0, 1, 3,4, 7,…)A147843用分区号卷积,A000 000 41. -加里·W·亚当森11月15日2008

写出n为2 ^ k*d,其中d为奇数。然后,A(n)是奇数当且仅当D是正方形时。-乔恩佩里08月11日2012

n中的部分的总数也等于相等的部分。-奥玛尔·E·波尔1月16日2013

请注意,σ(3 ^ 4)=11 ^ 2。另一方面,Kaood(1947)表明方程σ(q^(p-1))=b^ p没有解B>2,q素数,p奇素数。-斯隆,12月21日2013,基于对数字理论邮寄列表的邮寄弗拉迪米尔莱特斯科路易斯·加拉多

Limi{{M->无穷大}(SuMu{{n=1…素数(m)} A(n))/素数(m)^ 2=zeta(2)/2=π^ 2/12(A072691更多见A2445. -李察·R·福尔伯格,04月1日2015

A(n)+A000 00 05(n)是奇数Ifn n=2m ^ 2,m>1。-李察·R·福尔伯格1月15日2015

a(n)=a(n+1),n=14, 206, 957,1334, 1364(A00-扎克谢迪夫03五月2016

此外,在等腰三角形图的每一行的k次Zig-ZAG折叠后,结构出现在不规则阶梯金字塔的第n层梯级(从顶部开始)的总数。A3575其中K是大于零且小于180度的角度。-奥玛尔·E·波尔,朱尔05 2016

相当于黎曼假设:a(n)<h(n)+EXP(h(n))*log(h(n)),对于所有n>1,其中H(n)是第n次谐波数(Jeffrey Lagarias)。A057更多细节。-伊利亚古图科夫基,朱尔05 2016

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第840页。

T. M. Apostol,解析数论导论,Springer Verlag,1976,第38页。

A. T. Benjamin和J. J. Quinn,确凿的证据:组合证明的艺术,M.A.A. 2003,P.116FF。

L. Comtet,高级组合数学,ReIDL,1974,第162,第16,(6),第二公式。

G. H. Hardy,拉马努扬:十二篇关于他生活和工作主题的演讲,AMS切尔西出版社,普罗维登斯,罗得岛,2002,第141, 166页。

H. Hardy和E. M. Wright,《数论导论》,第五版,克拉伦登出版社,牛津,2003。

Ross Honsberger,“数学宝石,第一”,DuliChani数学博览会,发表和分发的美国数学协会,第116页。

Kaood,Hans Joachim,KeististunungsPnLyNoMunundValkkMeMe ZHLLEN。(德语),Ber。数学. Tagung . T .宾根1946,(1947)第84-77页。

M. Krasner,Le NoMr.de SurFrand主编Dun'DrGe多恩et NoBre de NealAlsiiS D'DunGe多恩Dun'Primes p Adikes。科学研究院,巴黎254, 255, 1962

A. Lubotzky,计算有限指数的子群,圣安德鲁斯/戈尔韦93群理论会议论文集,TH。2.1。LMS讲义系列丛书第212号剑桥大学出版社1995。

D. S. Mitrinovic等,数论手册,克鲁维,第III.1页,第77页。

G. Polya,数学中的归纳和类比,第1卷数学和似是而非的推理,普林斯顿大学出版社1954,第92页。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

Robert M. Young,Calculus游历,美国数学协会,1992页361页加里·W·亚当森,10月05日2008

链接

斯隆和Daniel Forgues,n,a(n)n=1…100000的表(前20000届美国斯隆)

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

B. Apostol和L. Petrescu与正规整数相关的某些函数的极值阶数(mod n)《整数序列》杂志,2013,第137.5页。

M. Baake和U. Grimm准晶组合论

H. Bottomley初始条款说明

C. K. Caldwell,主要词汇,西格玛函数

Imanuel Chen和Michael Z. Spivey乘法函数的积分广义二项式系数预印本2015;夏季研究论文238,U.P.PuGug Soad。

D. Christopher和T. Nadu大小固定的分区《整数序列》杂志,15(2015),第15页。

J. N. Cooper和亚历山诺夫斯关于除数和的二元生成函数的倒数,2012。——来自斯洛文尼亚州,12月25日2012

杰森伯爵,因子函数复合材料的SM在SmithADHACE观念杂志(2004),第14.1卷,第243页。

L.欧拉求和除数观测

L.欧拉关于除数之和的一个观察,阿西夫:数学/ 0411587 [数学,HO],2004—2009。

J. A. Ewell除数之和的递归,PROC。埃默。数学SOC。64(2)1977。

F. Firoozbakht和M. F. HaslerEuclid完全数公式的变式,JIS 13(2010)×103.1。

Daniele A. Gewurz和Francesca Merola序列实现为帕克矢量…J.整数SEQS,第6, 2003卷。

Johan Gielis和Ilia TavkhelidzeGML表面和体切割的一般情况,阿西夫:1904.01414 [数学,通用],2019。

格莱泽关于函数χ(n)《纯数学与应用数学季刊》,20(1884),97—167页。

格莱泽关于函数χ(n)《纯数学与应用数学季刊》,20(1884),97—167页。[注释扫描的副本]

M. J. Grady一个著名的分区公式的群论方法阿梅尔。数学月,112(7, 2005),64~651。

Antti Karttunen计算该序列的方案程序

P. A. MacMahon分拆理论中的数除数及其连续性,PROC。伦敦数学。SOC,19(1921),75-113。

M. Maia和M. Mendez关于组合种的算术乘积,ARXIV:MAT.CO/050336,2005。

K. Matthews分解n和计算φ(n)、ω(n)、d(n)、σ(n)和μ(n)

Walter Nissen丰裕:一些资源

P. Pollack和C. Pomerance关于除数函数和的ErDOS的几个问题为Richard Guy第九十九岁生日:愿他的序幕无限,2015,出现。

Carl Pomerance和Hee Sung Yang厄尔多斯关于有理因子函数和的一个定理的变式数学。COMP83(2014),193-1913。

J. S. Rutherford导数格的计数与对称重要性质行动。Cryst。(1992)A48、500—508。-斯隆3月14日2009

J. S. Rutherford导数格的计数与对称重要性质Acta Cryst。A49(1993),23-300。-斯隆3月14日2009

John S. Rutherford子格枚举。I.平面子格的父帕特森对称和色格群类型的等价类Acta Cryst。(2009)。A65,156—163。见表1。-来自斯隆2月23日2009

Eric Weisstein的数学世界,除数函数

维基百科除数函数

与子晶格相关的序列的索引条目

与Sigma(n)相关的序列的索引条目

“核心”序列的索引条目

公式

乘A(p^ e)=(p^(e+1)- 1)/(p-1)。-戴维·W·威尔逊,八月01日2001

对于以下界限和许多其他,见MITRIOVIC等。-斯隆,10月02日2017

如果n是复合的,则a(n)>n+qrt(n)。

所有n的(n)< n*qRT(n)。

a(n)<(6/π2)*n ^(3/2),n>12。

G.f.:-x*DeReV(η(x))/η(x),其中η(x)=乘积{{n>=1 }(1-x^ n)。-乔尔格阿尔恩特3月14日2010

L.g.f.:-log(乘积{{j>=1 }(1-x^ j))=SuMu{{N>=1 } A(n)/n*x^ n。乔尔格阿尔恩特,04月2日2011

φ(n)和τ(n)的狄利克雷卷积,即a(n)=SuMu{{d}}(n/d)*tau(d),cf。A000 000A000 00 05.

A(n)为奇数,IFF n为正方形或两倍方。-Robert G. Wilson五世,10月03日2001

A(n)=a(n*素数(n))-素数(n)*a(n)。-拉博斯元素8月14日2003(澄清)奥玛尔·E·波尔4月27日2016)

a(n)=n*A000 000 41(n)- SuMu{{i=1…n-1 } A(i)*A000 000 41(N-I)。-乔恩佩里9月11日2003

A(n)=A010815(n)*n - SuMu{{K=1…n-1 }A010815(k)*A(N-K)。-莱因哈德祖姆勒11月30日2003

A(n)=f(n,1, 1, 1),其中f(n,i,x,s)=如果n=1,则s*x否则,如果p(i)n,则f(n/p(i),i,1 +p(i)*x,s)否则f(n,i+1, 1,s*x)与p(i)=i次素数A000 000-莱因哈德祖姆勒11月17日2004

递归:n^ 2*(n-1)*a(n)=12×SuMu{{k=1…n-1 }(5×k*(n- k)-n^ 2)*a(k)*a(n- k),如果n>1。- Dominique Giard(多米尼克·GARARD(AT)Gmail),1月11日2005

G.f.:SuMu{{K} 0×k*x^ k/(1 -x^ k)=SuMu{{K> 0 } x^ k/(1 -x^ k)^ 2。Zeta(S)*ζ(S-1)。-米迦勒索摩斯,APR 05 2003。参见Hardy W赖特参考文献,第312页。第一方程,第250页,定理290。-狼人郎,十二月09日2016

对于奇n,A(n)=A000 0596(n)偶数n,a(n)=n的奇因子的和A000 0596(n)+A07400(n/2)A074002n的偶因子的和。乔纳森沃斯邮报3月26日2006

等于自然数的逆莫比乌斯变换。等于行和A127096. -加里·W·亚当森5月20日2007

A127096*〔1/1,1/2,1/3,…〕= [ 1/1,3/2,4/3,7/4,6/5,12/6,8/7,…]。三角形的行和A1355. -加里·W·亚当森10月31日2007

三角形的行和A13838. -加里·W·亚当森11月12日2007

A(n)=A054 785(2×N)A000 0596(2×N)。-莱因哈德祖姆勒4月23日2008

a(n)=n*SuMu{{k=1…n}A06064(n,k)/k*(- 1)^(k+ 1)。-弗拉迪米尔克鲁钦宁8月10日2010

狄利克雷卷积A037 213A034. -马塔尔4月13日2011

G.f.:a(x)=x/(1-x)*(1 - 2×x*(1-x)/(g(0)- 2×x^ 2 +2×x));G(k)=-2×x - 1 -(1 +x)*k+(2*k+3)*(x^(k+2))-x*(k+1)*(k+*)*((-y+(x^(k+x))^))/g(k+y);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,十二月06日2011

A(n)=A000 1065(n)+n马格兰维克5月20日2012

A(n)=A000 6128(n)A22047(n)。-奥玛尔·E·波尔1月17日2013

A(n)=SUMU{{K=1…A000 3056(n)}(- 1)^(k-1)*A196020(n,k)。-猜想奥玛尔·E·波尔,FEB 02 2013,并通过阿列克谢耶夫11月17日2013

A(n)=SUMU{{K=1…A000 3056(n)}(- 1)^(k-1)*A000 0330(k)*A000 0716(n)A000 0217(k))。-米尔卡梅尔卡05三月2014

A(n)=A240698(n)A000 00 05(n)。-莱因哈德祖姆勒4月10日2014

A(n)=SuMu{{D^ 2 } n}A000 1615(n/d^ 2)=SuMu{{D^ 3 } n}A2549(n/d^ 3)。-LVAR iBeas06三月2015

A(3×N)=A144613(n)。A(3×n+1)=A144614(n)。A(3×n+2)=A144615(n)。-米迦勒索摩斯7月19日2015

a(n)=和{i=1…n}和{j=1…i} COS((2×p*n*j)/i)。-米歇尔拉格瑙10月14日2015

A(n)=A000 0596(n)+A146076(n)。-奥玛尔·E·波尔,APR 05 2016

A(n)=A065675(n)+A048050(n)。-奥玛尔·E·波尔11月28日2016

A(n)=(π2×n/6)*SuMu{{Q}=1 } Cyq(n)/q^ 2,其中给出的RAMANUJUN和CYQ(n)A0545 33作为Cyn(k)表。参见Hardy参考文献,第141页,或Hardy W赖特,定理293,第251页。-狼人郎,06月1日2017

G.f.(1 - Ey2(q))/ 24,与G.F. EE2A000 6352. 例如,Hardy,第166页,等式(105.5)。-狼人郎1月31日2017

安蒂卡特宁,11月25日2017:(开始)

A(n)=A08250(n)+A16229(n)。

A(n)=A092261(n)*A29 529(n)。[这可以进一步扩展,请参见A21750(结束)

A(n)=A000 0596(n)*A038 712(n)。-伊凡·尼亚基耶夫奥玛尔·E·波尔11月26日2017

A(n)=SuMu{{q=1…n} Cyq(n)*楼层(n/q),其中Cyq(n)是给出的RAMANUJUN求和函数。A0545 33. -丹尼尔苏特6月14日2018

A(n)=SuMu{{K=1…n} GCD(n,k)/φ(n/gCD(n,k)),其中φ(k)是欧拉函数。-丹尼尔苏特6月21日2018

A(n)=(2 ^(1)+(A000 00 05(n)A000 1227(n))/(A000 00 05(n)A183063(n))- 1)*A000 0596(n)=(2 ^(1)+(A183063(n)/A000 1227(n))- 1)*A000 0596(n)。-奥玛尔·E·波尔03月11日2018

例子

例如,6可被1, 2, 3和6整除,因此σ(6)=1+2+3+6=12。

设L=v,w>2维格。指数4的7个子格是由<4V,W>,V,4W>,<4V,W+-V>,<2V,2W>,<2V+W,2W >,<2V,2W+V>。对比A000 1615.

枫树

用(纽曼理论):A000 0203=n->σ(n);A000 0203(n),n=1。100);

Mathematica

表〔除法西格玛〔1,n〕,{n,100 }〕

a [n]:=级数系数[qPuliGAMP[1, 1,q]/log [q] ^ 2,{q,0,n};(*)米迦勒索摩斯4月25日2013*)

黄体脂酮素

(岩浆)[SUFIFNISOR(n):n(1…70)];

(岩浆)[除数SigMA(1,n):n在[1…70 ] ]中;布鲁诺·贝塞利,SEP 09 2015

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,σ(n))};

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,diRuleR(p=2,n,1(/ 1×)/(1 -p*x))[n])};

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,PoCOFEF)(和(k=1,n,x^ k/(1 -x^ k)^ 2,x*o(x^ n)),n)};/*;米迦勒索摩斯1月29日2005*

(PARI)Max n=30;Se==和(k=1,Max n,log(1-x^ k));A(n)=PoCoFEF(SER,n)*N\\哥特弗里德赫尔姆斯8月10日2009

(MUPAD)NUMLB::σ(n)n=1…81 / /零度拉霍斯5月13日2008

(SAGE)[XMaR(1, 71)]中的n的σ(n,1)零度拉霍斯,军04 2009

(极大值)MaKelIST(DeSUM(n),n,1, 1000);伊曼纽勒穆纳里尼3月26日2011

(哈斯克尔)

A000 0203 n=产品$ZIPOP(\pE->(p^(e+1)- 1))div(p-1))(a027 788行n)(a124010x行n)

——莱因哈德祖姆勒07五月2012

(方案)

从02 DEC 2013的旧实现可以在附加的源文件“计算该序列的方案程序”中找到。这种新的实现采用了MaTiO化宏定义,在HTTP//OEIS.org/Wiki/Meimoivie方案中,该实现是可用的。

(定义)A000 0203n)(如果(=1 N)n(LET)(P(P)A020639n)(e)A067029(n))(*(/(-(Ext p(+ 1 e))1)(-p 1))A000 0203A028N-21)

安蒂卡特宁11月25日2017

(GAP)

A000 0203=列表((1…10 ^ 2),n-σ(n));阿尼鲁,10月01日2017

交叉裁判

A03885A000 2096记录。平分给出A000 8438A0627. 所取的值列出在A000 7609.A054 997是一个反函数。

关于部分和参见A024916.

行和A127096.

SigaMiI(I=0…24):A000 00 05A000 0203A000 1157A000 1158A000 1159A000 1160A013954A013955A013956A013957A013958A013959A013960A013961A013962A013963A013964A013965A013966A013967A013968A013959A013970A013997A013972

囊性纤维变性。A14736A158951A158902A17440A147843A000 1158A000 1160A000 1065A000 2192A000 1001A000 1615(原始子晶格),A039 653A088 580A07400A08328A000 6352A000 2659A083268A000 0596A05044A05045A051731A027 788A124010A069192A057.

囊性纤维变性。A000 9194A082062(GCD(a(n),n)及其最大素数因子);A17931A1927 95(GCD(A(n)),A000 1157(n)和最大素数因子。

Cf.也A034(酉因子的和)。

囊性纤维变性。A000 7955(除数的乘积)。

囊性纤维变性。A144613A144614A144615A146076.

A000 1227A000 0596这个序列具有相同的奇偶性:A0538 66. -奥玛尔·E·波尔5月14日2016

囊性纤维变性。A0545 33.

语境中的顺序:A87926 A097012 A14334*A324545 A000 39 79 A084250

相邻序列:A000 0200 A000 0201 A000 0202*A000 0204 A000 0205 A000 0206

关键词

容易核心诺恩穆尔特

作者

斯隆

地位

经核准的

查找γ欢迎γ维基γ注册γ音乐γ情节2γ演示γ指数γ浏览γ更多γ网络摄像机
贡献新的SEQ。或评论γ格式γ样式表γ变换γ超级导引头γ最近
OEIS社区通过保持OEIS基金会

许可协议、使用条款、隐私政策。.

最后修改9月18日13:44 EDT 2019。包含327170个序列。(在OEIS4上运行)