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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000203型 a(n)=西格玛(n),n的除数之和。也称为sigma_1(n)。
(原M2329 N0921)
4732
1、3、4、7、6、12、8、15、13、18、12、28、14、24、24、31、18、39、20、42、32、36、24、60、31、42、40、56、30、72、32、63、48、54、48、91、38、60、56、90、42、96、44、84、78、72、124、57、93、72、98、54、120、72、120、80、90、60、168、62、96、104、127、84、144、68、126、96、144 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

乘法:如果n成素数幂的正则因式分解是p^e(p)的乘积,那么sigma_k(n)=乘积_p((p^((e(p)+1)*k))-1)/(p^k-1)。

和{d | n}1/d^k等于sigma_k(n)/n^k。So序列A017665号-A017712号同时给出k=1..24时sigma_k(n)/n^k的分子和分母。幂和sigma_k(n)是按顺序排列的A000203型(此序列)(k=1),A001157-A001160(k=2,3,4,5),A013954号-A013972号k=6,7,…,24.-艾哈迈德票价(ahmedfares(AT)my deja。com),2001年4月5日

如果sigma(n)>2n(cf。A005101型),如果sigma(n)=2n(cf。A000396号),如果西格玛(n)<2n(cf。A005100型).

a(n)是一般二维格中指数n的子格数Avi Peretz(njk(AT)netvision.net。il),2001年1月29日【在群论语言中,a(n)是Z×Z的指数n子群的数目-宋佳宁2022年11月5日]

索引n的子格与矩阵[ab;0d]一一对应,a>0,ad=n,b in[0..d-1]。它们的数目是和{d | n}d=sigma(n),它是a(n)。如果gcd(A,b,d)=1,则子格是本原的;它们的数量是n*积{p| n}(1+1/p),即A001615型[参考Grady参考。]

n和m的公约数之和,其中m从1到n-野本直弘2004年1月10日

a(n)是Q_p的代数闭包中阶数为n的所有扩张的基数,其中p>nVolker Schmitt(clamsi(AT)gmx公司。net),2004年11月24日。A100976,A100977,A100978(p-adic扩展)。

设s(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-5)-a(n-7)+a(n-12)+a(n-15)-a(n-22)-a(n-26)+如果n不是五角形,则a(n)=s(n)(3 j^2+-j)/2(参见。A001318型),如果n是五边形,则a(n)是s(n)-(-1)^j)*n-加里·W·亚当森,2008年10月5日[由2012年4月27日修正威廉J.基思根据Ewell和安德烈·扎博洛茨基2022年4月8日]

以零开头:(0,1,3,4,7,…)=A147843号用分区数卷积,A000041号. -加里·W·亚当森2008年11月15日

把n写成2^k*d,其中d是奇数。那么a(n)是奇数当且仅当d是平方-乔恩·佩里2012年11月8日

也就是把n划分成相等部分的总数-奥马尔·E·波尔2013年1月16日

注意sigma(3^4)=11^2。另一方面,Kanold(1947)表明方程sigma(q^(p-1))=b^p没有解b>2,q素数,p奇素数-N、 斯隆,2013年12月21日,根据弗拉基米尔·莱茨科路易斯·H·加拉多

极限{m->无穷}(和{n=1..prime(m)}a(n))/素数(m)^2=zeta(2)/2=Pi^2/12(A072691号). 更多信息请访问A244583号. -理查德·R·福伯格2015年1月4日

a(n)+A000005号(n) 是奇数,如果n=2m^2,m>=1-理查德·R·福伯格2015年1月15日

a(n)=a(n+1),对于n=1420695713341364(A002961号). -扎克·塞多夫2016年5月3日

还有不规则阶梯金字塔(从顶部开始)第n层阶地中水平菱形的总数,其结构是在等腰三角形图的每一行k度之字形折叠之后产生的A237593号,其中k是大于0且小于180度的角度-奥马尔·E·波尔2016年7月5日

等同于黎曼假设:a(n)<H(n)+exp(H(n))*log(H(n)),对于所有n>1,其中H(n)是第n次谐波数(Jeffrey Lagarias)。看到了吗A057641号更多细节-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日

a(n)是2*n分成相等部分的偶数部分的总数。更一般地说,a(n)是k*n划分为相等部分时与0 mod k相等的部分的总数(2013年1月16日的评论是k=1的情况)-奥马尔·E·波尔2019年11月18日

宋佳宁2022年11月5日:(开始)

a(n)也是C_nx C_n的n阶子群的个数,其中C_n是n阶的循环群。证明:根据群论中的对应定理,C_n X C_n=(Z X Z)/(nZ X nZ)的n阶子群与包含nZ X nZ的zx Z的n阶子群之间存在一一对应关系。但是(乘法)群G的一个指数-n正规子群自动地包含{G^n:n in G}。期望的结果来自野本直弘以上。

与C峎n同构的子群数为A001615型(n) 一。(结束)

参考文献

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埃里克·韦斯坦的数学世界,除数函数

维基百科,除数函数

与子格相关的序列的索引项

与sigma(n)相关序列的索引项

“核心”序列的索引项

公式

与a(p^e)=(p^(e+1)-1)/(p-1)相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日

关于以下边界和许多其他边界,见Mitrinovic等人-N、 斯隆2017年10月2日

如果n是复合的,a(n)>n+sqrt(n)。

a(n)<n*sqrt(n)表示所有n。

a(n)<(6/Pi^2)*n^(3/2)n>12。

G、 f.:-x*deriv(eta(x))/eta(x),其中eta(x)=乘积{n>=1}(1-x^n)-乔尔阿恩特2010年3月14日

五十、 g.f.:-log(乘积{j>=1}(1-x^j))=Sum{n>=1}a(n)/n*x^n-乔尔阿恩特2011年2月4日

phi(n)和tau(n)的Dirichlet卷积,即a(n)=和{d | n}phi(n/d)*tau(d),cf。A000010号,A000005号.

a(n)是奇数,如果n是一个平方或两个平方-罗伯特·G·威尔逊五世2001年10月3日

a(n)=a(n*素数(n))—素数(n)*a(n)-拉博斯埃勒默,2003年8月14日(澄清人奥马尔·E·波尔2016年4月27日)

a(n)=n*A000041号(n) -和{i=1..n-1}a(i)*A000041号(n-i)-乔恩·佩里2003年9月11日

a(n)=-A010815型(n) *n-和{k=1..n-1}A010815型(k) *a(n-k)-莱因哈德·祖姆凯勒2003年11月30日

a(n)=f(n,1,1,1),其中f(n,i,x,s)=如果n=1则s*x else如果p(i)| n则f(n/p(i),i,1+p(i)*x,s)否则f(n,i+1,1,s*x),p(i)=第i个素数(A000040号). -莱因哈德·祖姆凯勒2004年11月17日

重复:n^2*(n-1)*a(n)=12*和{k=1..n-1}(5*k*(n-k)-n^2)*a(k)*a(n-k),如果n>1。-多米尼克·贾尔德(Dominique.Giard(AT)gmail。com),2005年1月11日

G、 f.:Sum{k>0}k*x^k/(1-x^k)=和{k>0}x^k/(1-x^k)^2。Dirichlet G.f.:zeta(s)*zeta(s-1)-迈克尔·索莫斯见Hardy-Wright参考文献,第312页,第一方程,第250页定理290-狼牙2016年12月9日

对于奇数n,a(n)=A000593号(n) 一。偶数n,a(n)=A000593号(n)+A074400型(n/2)-乔纳森·沃斯·波斯特2006年3月26日

等于自然数的反Moebius变换。等于行和A127093号. -加里·W·亚当森2007年5月20日

A127093号*[1/1,1/2,1/3,…]=[1/1,3/2,4/3,7/4,6/5,12/6,8/7,…]。三角形行和A135539号. -加里·W·亚当森2007年10月31日

三角形行和邮编:A134838. -加里·W·亚当森2007年11月12日

a(n)=A054785号(2*n)-A000593号(2*n)-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月23日

a(n)=n*和{k=1..n}A060642号(n,k)/k*(-1)^(k+1)-弗拉基米尔·克鲁基宁2010年8月10日

Dirichlet卷积A037213A034448号. -R、 J.马萨2011年4月13日

G、 f.:A(x)=x/(1-x)*(1-2*x*(1-x)/(G(0)-2*x^2+2*x));G(k)=-2*x-1-(1+x)*k+(2*k+3)*(x^(k+2))-x*(k+1)*(k+3)*((-1+(x^(k+2))^2)/G(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月6日

a(n)=A001065型(n) +n-马茨格兰维克2012年5月20日

a(n)=A006128号(n)-A220477号(n) 一-奥马尔·E·波尔2013年1月17日

a(n)=和{k=1。。A003056型(n) }(-1)^(k-1)*A196020年(n,k)。-推测奥马尔·E·波尔2013年2月2日,由马克斯·阿列克谢耶夫2013年11月17日

a(n)=和{k=1。。A003056型(n) }(-1)^(k-1)*A000330型(k)*A000716号(n)-A000217(k) )-米尔恰梅尔卡2014年3月5日

a(n)=A240698号(n,A000005号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月10日

a(n)=和{d^2 | n}A001615型(n/d^2)=和{d^3 | n}A254981号(n/d^3)-阿尔瓦尔·伊比亚斯2015年3月6日

a(3*n)=A144613号(n) 一。a(3*n+1)=邮编:A144614(n) 一。a(3*n+2)=邮编:A144615(n) 一-迈克尔·索莫斯2015年7月19日

a(n)=和{i=1..n}和{j=1..i}cos((2*Pi*n*j)/i)-米歇尔·拉格诺2015年10月14日

a(n)=A000593号(n)+A146076号(n) 一-奥马尔·E·波尔2016年4月5日

a(n)=A065475号(n)+A048050型(n) 一-奥马尔·E·波尔2016年11月28日

a(n)=(Pi^2*n/6)*和{q>=1}c_q(n)/q^2,其中Ramanujan和c_q(n)如下所示:A054533号作为一个c_n(k)表。参见哈代参考文献,第141页,或哈代·赖特,定理293,第251页-狼牙2017年1月6日

G、 f.还有(1-E_2(q))/24,其中G.f.E_2为A006352型参见例如,Hardy,第166页,公式(10.5.5)-狼牙2017年1月31日

安蒂·卡尔图宁2017年11月25日:(开始)

a(n)=A048250型(n)+邮编:A162296(n) 一。

a(n)=A092261(n)*A295294号(n) 一。[这可以进一步扩展,请参阅中的评论A291750型.](结束)

a(n)=A000593号(n)*A038712号(n) 一-伊万·N·伊纳基耶夫奥马尔·E·波尔2017年11月26日

a(n)=Sum{q=1..n}c_q(n)*楼层(n/q),其中c_q(n)是Ramanujan在A054533号. -丹尼尔·苏托2018年6月14日

a(n)=和{k=1..n}gcd(n,k)/phi(n/gcd(n,k)),其中phi(k)是欧拉函数-丹尼尔·苏托2018年6月21日

a(n)=(2^(1+(A000005号(n)-A001227号(n) )/(A000005号(n)-A183063(n) ))-1)*A000593号(n) =(2^(1+(A183063(n)/A001227号(n) ))-1)*A000593号(n) 一-奥马尔·E·波尔2018年11月3日

a(n)=和{i=1..n}τ(gcd(n,i))-里杜瓦内·乌德拉2019年10月15日

彼得·巴拉2021年1月19日:(开始)

G、 f.:A(x)=和{n>=1}x^(n^2)*(x^n+n*(1-x^(2*n)))/(1-x^n)^2-在Arndt w.r.t.x中微分方程5,并设x=1。

A(x)=F(x)+G(x),其中F(x)是A079667号G(x)是A117004年(结束)

a(n)=和{k=1..n}tau(n/gcd(n,k))*φ(gcd(n,k))/φ(n/gcd(n,k))-理查德L.奥利顿2021年5月7日

根据a(n)=0 for n<=0的约定,我们有一个递归a(n)=t(n)+和{k>=1}(-1)^(k+1)*(2*k+1)*a(n-k*(k+1)/2),其中t(n)=(-1)^(m+1)*(2*m+1)*n/3,如果n=m*(m+1)/2,且m为正,则为三角形数,否则t(n)=0。例如,n=10=(4*5)/2是一个三角形数,t(10)=-30,所以a(10)=-30+3*a(9)-5*a(7)+7*a(4)=-30+39-40+49=18-彼得·巴拉2022年4月6日

递推:a(p^x)=p*a(p^(x-1))+1,如果p是素数并且对于任何整数x。例如,a(5^3)=5*a(5^2)+1=5*31+1=156-朱尔斯·波尚2022年11月11日

例子

例如,6可以被1、2、3和6整除,所以sigma(6)=1+2+3+6=12。

设L=<V,W>为二维晶格。索引4的7个子格由<4V,W>,<V,4W>,<4V,W+-V>,<2V,2W>,<2V+W,2W>,<2V,2W+V>生成。比较A001615型.

枫木

带(数字):A000203型:=n->西格玛(n);顺序(A000203型(n) ,n=1..100);

数学

表[除数sigma[1,n],{n,100}]

a[n_u]:=系列系数[QPolyGamma[1,1,q]/Log[q]^2,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*)

黄体脂酮素

(岩浆)[SumOfDivisors(n):n in[1..70]];

(岩浆)[除数sigma(1,n):n in[1..70]]//布鲁诺·贝尔塞利2015年9月9日

(PARI){a(n)=如果(n<1,0,sigma(n))};

(PARI){a(n)=如果(n<1,0,direuler(p=2,n,1/(1-X)/(1-p*X))[n])};

(PARI){a(n)=如果(n<1,0,polcoeff(和(k=1,n,x^k/(1-x^k)^2,x*O(x^n))}/*迈克尔·索莫斯2005年1月29日*/

(同等)最大值=30;ser=—和(k=1,最大值,log(1-x^k));a(n)=波尔科夫(ser,n)*n\\戈特弗里德头盔2009年8月10日

(MuPAD)numlib::西格玛(n)$n=1..81//泽伦瓦拉乔斯2008年5月13日

(Sage)[范围(1,71)中n的西格玛(n,1)]#泽伦瓦拉乔斯2009年6月4日

(Maxima)makelist(divsum(n),n,1,1000)\\伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月26日

(哈斯克尔)

a000203 n=产品$zipWith(\p e->(p^(e+1)-1)`div`(p-1))(a027748_行n)(a124010_行n)

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年5月7日

(方案)

;; 从2013年12月2日开始的旧实现可以在所附的源文件“计算该序列的方案程序”中找到。这个新的实现利用了memoization宏definec,实现可以在http://oeis.org/wiki/Memoization#方案

(定义(A000203型n) (如果(=1 n)n(让((p(A020639号n) )(e)(A067029号n) )(*(/(-(出口p(+1 e))1)(-p 1))(A000203型(A028234号n) )))))

;;安蒂·卡尔图宁2017年11月25日

(间隙)

A000203型:=列表([1..10^2],n->西格玛(n))#阿西鲁2017年10月1日

(蟒蛇)

从sympy导入除数_sigma

def a(n):返回除数_sigma(n,1)

打印([a(n)表示范围(1,71)]中的n)#迈克尔·S·布兰尼基2021年1月3日

交叉引用

看到了吗A034885号,A002093号记录在案。二等分给出A008438号,A062731号。获取的值列在A007609号.A054973号是一个反函数。

部分总和见A024916型.

行和A127093号.

sigma_i(i=0..24):A000005号,A000203型,A001157,A001158,A001159,A001160,A013954号,A013955型,A013956号,A013957号,A013958号,A013959号,A013960型,A013961号,A013962号,A013963号,A013964号,A013965号,A013966号,A013967号,A013968号,A013969号,A013970型,A013971型,A013972号

囊性纤维变性。邮编:A144736,邮编:A158951,邮编:A158902,A174740号,A147843号,A001158,A001160,A001065型,A002192号,A001001号,A001615型(原始子晶格),A039653号,A088580,A074400型,A083728号,A006352型,A002659号,A083238号,A000593号,A050449号,A050452型,A051731型,A027748号,A124010型,A069192号,A057641号,A001318型.

囊性纤维变性。A009194号,A082062型(gcd(a(n),n)及其最大素因子,邮编:A179931,邮编:A192795(gcd(a(n),A001157(n) )和最大素数因子)。

请参阅A034448号(酉除数之和)。

囊性纤维变性。A007955号(除数的乘积)。

囊性纤维变性。A144613号,邮编:A144614,邮编:A144615,A146076号.

A001227号,A000593号这个序列有相同的奇偶校验:A053866号. -奥马尔·E·波尔2016年5月14日

囊性纤维变性。A054533号.

上下文顺序:A287926号 A097012号 邮编:A143348*A324545型 A003979号 A084250型

相邻序列:A000200台 A000201 A000202型*A000204型 A000205型 A000206

关键字

容易的,核心,,美好的,骡子

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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