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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000225 a(n)=2^n-1。这个名字有时被称为merne(虽然有时被称为senne)A001348.)
(原M2655 N1059)
1079
0,1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023,2047,4095,8191,16383,32767,65535,131071,262143,524287,1048575,2097151,4194303,8388607,16777215,33554431,67108863,134217727,268435455,536870911,1073741823,2147483647,4294967295 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

这是q=2的高斯二项式系数[n,1]。

u-1上秩的拟阵数。

使中心二项式系数为奇数的数n:A001405(A000225(n) )模式2=1。-拉博斯埃勒默2003年3月12日

这给出了以下卷积序列中奇数项的(从零开始)位置:A000108号,A007460号,A007461号,A007463号,A007464号,A061922号.

还有贝拿勒斯神庙问题的解决方案(移动次数最少),即三个钻石针,n个圆盘,通过减小第一个针上的尺寸,排列在第三个针上,每次不移动多个圆盘,也不将一个圆盘放在较小的圆盘顶部。-Xavier Acloque,2003年10月18日

a(0)=0,a(1)=1;a(n)=最小数,使得a(n)-a(m)==0(mod(n-m+1)),对于所有m-阿玛纳特·穆尔蒂2003年10月23日

[1,1/2,1/3,…]的二项式变换=[1/1,3/2,7/3,…];(2^n-1)/n,n=1,2,3。。。-加里·W·亚当森2005年4月28日

二进制表示为111…1的数。E、 第七项是(2^7)-1=127=1111111(以2为基数)。-亚历山大瓦恩伯格2005年6月8日

a(n)=A099393号(n-1)-A020522号(n-1)对于n>0。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年2月7日

n是n+2的整数。-保罗P.熔岩2006年5月12日

具有n个元素的集合的非空子集的数目。-迈克尔·索莫斯2006年9月3日

对于n>=2,a(n)是不是2的幂的最小fibonaccin步数。-瑞克·L·谢泼德2007年11月19日

设P(A)是n元素集A的幂集,则A(n+1)=P(A)的元素对{x,y}的个数,其中x和y不相交,x是y的子集或y是x的子集-罗斯拉海2008年1月10日

更简单的说法是,它是对数(x,y),其中x和y中至少有一个是空集。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2011年10月28日

2^n-1是深度为n的帕斯卡三角形中元素的总和。—布赖恩·刘易斯(bsl04(AT)uark.edu),2008年2月26日

广义序列:a(n)=(a^n-1)/(a-1),n>=1,整数>=2。这个序列有A=2;A003462号A=3;A002450A=4个;A003463号A=5;A003464号A=6;A023000美元A=7;A023001号A=8;A002452号A=9;A002275号A=10;A016123号A=11;A016125号A=12;A091030型A=13;A135519号A=14有;A135518号A=15个;邮编:A131865A=16;A091045型A=17;A064108型A=20。-博尔齐茨科2008年3月3日

a(n)也是梅森素数A000668号当n是A000043号. -奥马尔·E·波尔2008年8月31日

a(n)也是一个梅森数A001348当n是素数时。-奥马尔·E·波尔2008年9月5日

偏移量为1,=三角形的行和A144081号,并将A009545号从偏移量1开始;其中A009545号=sin(x)的展开*exp(x)。-加里·W·亚当森2008年9月10日

数字n这样A000120型(n)/A070939号(n) =1。-克蒂博尔·齐兹卡2008年10月15日

a(n)=A024036号(n)/A000051号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2009年2月14日

对于n>0,序列等于A000079号;a(n)=A000203型(A000079号(n-1))。-莱克莱·比达西2009年5月2日

从偏移量1开始=Jacobsthal序列,A001045型,(1,1,3,5,11,21,…)与(1,2,2,…)卷积。-加里·W·亚当森2009年5月23日

数n,使n=2*phi(n+1)-1。-法里德·菲鲁兹巴赫特2009年7月23日

a(n)=(a(n-1)+1)个奇数=A005408号(a(n-1))表示n>=1。-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月11日

a(n)=前面的项之和+n=(sum{i=0..n-1}a(i))+n表示n>=1。n>=0时a(n)的部分和为A000295型(n+1)。n>=1时a(n)的部分和为A000295型(n+1)和A130103号(n+1)。a(n)=A006127号(n) -(n+1)。-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年10月16日

如果n是偶数(n)mod 3=0。这是从同余2^(2k)-1~2*2*.*2-1~4*4*.*4-1~1*1*.*1-1~0(mod 3)得到的。(注意2*2*…*2有偶数个术语。)-华盛顿博菲姆2009年10月31日

设A为n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[1,j]=1,A[i,i]:=2,(i>1),A[i,i-1]=-1,否则A[i,j]=0。那么,对于n>=1,a(n)=det(a)。-米兰-扬吉奇2010年1月26日

a(2*n)=a(n)*A000051型(n) ;a(n)=邮编:A173787(n,0)。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月28日

n>0时:电话:179857(a(n))=A024036号(n) 以及电话:179857(米)<A024036号(n) 对于m<a(n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年7月31日

这是G.Detlefs认为的序列[A,b:c,d:k]的序列A(0,1;1,2;2)=A(0,1;3,-2;0),在下面给出的W.Lang链接中被视为A(A,b;c,d;k)。-狼牙2010年10月18日

a(n)=S(n+1,2),第二类斯特林数。请参阅下面的示例。-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日

帕斯卡三角形中a(n)行的项目都是奇数,而a(n)-1行的项目具有奇数、偶数、奇数、偶数、…、奇数的交替平价。

将bar操作定义为对有符号排列的操作,该操作将翻转每个条目的符号。那么a(n+1)是长度为2n的有符号置换的数目,它们等于它们的反向补码的条数,并且避免了一组模式{(-2,-1),(-1,+2),(+2,+1)}(见Hardt和Troyka的参考文献)-贾斯汀·M·特罗伊卡2011年8月13日

邮编:A159780(a(n))=n和邮编:A159780(m) <n表示m<a(n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年10月21日

这个序列也是具有n个元素的集合的适当子集的数目。-穆罕默德阿扎里安2011年10月27日

a(n)是k,使得映射k->(3k+1)/2==1(mod 2)直到达到(3k+1)/2==0(mod 2)的迭代次数等于n(参见Collatz问题)。-米歇尔·拉格诺2012年1月18日

对于整数a,b,用a<+>b表示最小c>=a,使得Hd(a,c)=b(注意,一般来说,a<+>b与b<+>a不同)。则a(n+1)=a(n)<+>1。因此,这个非Hamming序列是负整数。-弗拉基米尔·谢韦列夫2012年2月13日

A036987号(a(n))=1。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月6日

a(n+1)=A044432号(牛)+A182028型(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月7日

Pisano周期长度:1,1,2,1,4,2,3,1,6,4,10,2,12,3,4,1,8,6,18,4。。。显然地A007733号. -R、 J.马萨2012年8月10日

从n开始,每个n生成一个子列表{n-1,n-2,…,1}。每个子列表的每个元素也生成一个子列表。取所有的总和。E、 g,3->{2,1}和2->{1},所以a(3)=3+2+1+1=7。-乔恩·佩里2012年9月2日

这是卢卡斯U(P=3,Q=2)序列。-R、 J.马萨2012年10月24日

a(n+1)=A001317型(牛)+A219843年(n) ;A219843年(a(n))=0。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年11月30日

梅森数>=7都是巴西数字,以2为基数。见链接中的提案1和5.2:“Les nombres brésiliens”。-伯纳德·肖特2012年12月26日

H树中n级后的线段数。-奥马尔·E·波尔2013年2月16日

三角形行和邮编:A162741. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月16日

a(n)是2的最高幂,因此2^a(n)除以(2^n)!。-伊万·N·伊纳基耶夫2013年8月17日

在计算机程序设计中,这些是唯一的无符号数,如k&(k+1)=0,其中&是位与运算符,数字用二进制表示。-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日

青蛙问题中交换n个青蛙所需的最小移动次数(例如,请参阅下面的NRICH 1246链接或Britton链接)。-N、 斯隆2014年1月4日

不!==4(模5);a(n)!==10(模11);a(n)!==2,4,5,6(模式7)。-胭脂红2014年4月6日

0之后,由整数的部分和(1,2,3,4,…)构成的数组的反对角和。-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日

a(n+1)等于长度为n的三元字数,避免01,02。-米兰-扬吉奇2015年12月16日

偏移量为0,另一个初始值为0,0,1,3,7,15。。。是序数n的完全展开的von Neumann定义中所需的逗号数。例如,4:={0,1,2,3}:={{},{},{},{},{}},{},{},{},{},{},{},{}}}}},它使用七个逗号。通常,von-mann(0)的定义是完全展开的,其中一个符号(0)也被完全忽略。E、 g.,a(5)=31,序数4的这些符号的总数。-瑞克·L·谢泼德2016年5月7日

当量子整数由[n+1]_q=(q^(n+1)-q^(-n-1))/(q-q^(-1))定义时,梅森数是a(n+1)=q^n[n+1]_q,q=sqrt(2),而有符号雅可比数A001045型用q=i*sqrt(2)表示i^2=-1。囊性纤维变性。甲239473. -汤姆·科普兰2016年9月5日

对于n>1:数字n,使得n-1除以sigma(n+1)。-朱丽·斯特潘·格拉西莫夫2016年10月8日

这也是斯特林2三角形的第二列A008277号另请参见A048993号). -狼牙2017年2月21日

除了初始项外,由“659规则”、“721规则”和“734规则”定义的二维元胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示,基于用单个on-cell初始化的5单元von Neumann邻域。-罗伯特·普莱斯2017年3月14日

a(n),n>1,是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群数。-詹姆斯米切尔威尔夫A.威尔逊2017年7月21日

同时给出了完全二部图K{n-1,n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数。-埃里克·W·维斯坦2017年9月21日

这是经验矩阵(i+j,i+j)的情形。-托尼·福斯特三世2019年5月11日

有理数r(n)=a(n+1)/2^(n+1)=a(n+1)/A000079号(n+1)也作为第n次迭代f^{[n]}(c;x)=2^(n+1)*x-a(n+1)*c of f(c;c;x)=f(c;x)=f(c;x[0]}(c;x)=2*x-c作为r(n)*c的r(n)*c。此条目的动机是由一个谜谜约翰彼得•彼得Hebel(1760-1826):Erstes Rechnungsexempel(Ein merkwüderdiges Rechnungs Exempel)从1803年开始,与c=24和n=2,导致的根r(2)*24 24 24*24 r(2)*24 24 24*24(2)的根的原因是由约翰(2)*=21作为溶液。请参阅链接和参考。关于第二个问题,也涉及当前序列,请参见中的注释A130330. -狼牙2019年10月28日

{1,3}是{1,3}中最小的一个{1,3}元素的和。-恩里克·纳瓦雷特2020年8月21日

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“核心”序列的索引项

可除序列索引

常系数线性递归的索引项,签名(3,-2)。

公式

G、 f.:x/((1-2*x)*(1-x))。

E、 g.f.:经验(2*x)-经验(x)。

E、 如果偏移量1:((exp(x)-1)^2)/2。

a(n)=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里2003年5月26日

1*2(不适用)=1(不适用)=0(不适用)=0。-保罗·巴里2003年6月6日

设b(n)=(-1)^(n-1)a(n)。那么b(n)=和{i=1..n}i!*i*斯特林2(n,i)*(-1)^(i-1)。E、 b(n)的g.f:(实验(x)-1)/实验(2x)。-马里奥·加泰罗尼亚(Mario.Catalani(AT)unito.it),2003年12月19日

a(n+1)=2*a(n)+1,a(0)=0。

a(n)=和{k=1..n}二项式(n,k)。

a(n)=n+和{i=0..n-1}a(i);a(0)=0。-瑞克·L·谢泼德2004年8月4日

a(n+1)=(n+1)*和{k=0..n}二项式(n,k)/(k+1)。-保罗·巴里2004年8月6日

a(n+1)=和{k=0..n}二项式(n+1,k+1)。-保罗·巴里2004年8月23日

二项式变换的逆A001047型. 也是Lucas序列L(3,2)的U序列。-罗斯拉海2005年2月7日

a(n)=A119258年(n,n-1)对于n>0。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年5月11日

a(n)=3*a(n-1)-2*a(n-2);a(0)=0,a(1)=1。-莱克莱·比达西2006年6月7日

和{n>0}1/a(n)=1.606695152。。。(Erdős-Borwein常数;见A065442号,A038631号). -菲利普·德莱厄姆2006年6月27日

斯特林2(n-k,2)从n=k+1开始。-雅辛斯基2006年11月18日

a(n)=A125118号(n,1)对于n>0。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年11月21日

a(n)=斯特林2(n+1,2)。-罗斯拉海2008年1月10日

a(n)=A024088型(n)/A001576号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2009年2月15日

恩里克·佩雷斯·赫雷罗2010年8月21日:(开始)

其中n-J是函数n(J):(A007434号,是J_2)。

a(n)=和{d | 2}d^n*mu(2/d)(结束)

a(n)=A007283号(n) /3-1。-马丁·埃特尔2012年11月11日

a(n)=det(| s(i+2,j+1)|,1<=i,j<=n-1),其中s(n,k)是第一类斯特林数。-米尔恰梅尔卡2013年4月6日

G、 f.:Q(0),式中Q(k)=1-1/(4^k-2*x*16^k/(2*x*4^k-1/(1-1/(2*4^k-8*x*16^k/(4*x*4^k-1/Q(k+1)));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月22日

E、 g.f.:Q(0),其中Q(k)=1-1/(2^k-2*x*4^k/(2*x*2^k-(k+1)/Q(k+1));(连分式)。

G、 f.:Q(0),式中Q(k)=1-1/(2^k-2*x*4^k/(2*x*2^k-1/Q(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日

a(n)=A000203型(2^(n-1)),n>=1。-伊万·N·伊纳基耶夫2013年8月17日

a(n)=和{t_1+2*t_2+…+n*t_n=n}n*多项式(t_1+t_2+…+t_n,t_1,t_2,…,t廑n)/(tˉ1+t_2+…+t_n)。-米尔恰梅尔卡2013年12月6日

a(0)=0;a(n)=a(n-1)+2^(n-1)表示n>=1。-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年2月9日

a(n)=A125128号(牛)-A000325号(n) +1。-米克尔·塞尔达2016年8月7日

伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日:(开始)

二项式变换A057427号.

和{n>=0}a(n)/n!=A090142型. (结束)

a(n)=A000918号(n) +1。-米克尔·塞尔达2016年8月9日

a(n+1)=(A095151号(n+1)-A125128号(n) )/2。-米克尔·塞尔达2016年8月12日

a(n)=(A079583号(牛)-A000325号(n+1))/2。-米克尔·塞尔达2016年8月15日

所有k>=3的二项式系数C(n,a(k))与其自身的卷积为C(n,a(k+1))。-安东扎哈罗夫2016年9月5日

a(n)=(A083706号(n-1)+A000325号(n) )/2。-米克尔·塞尔达2016年9月30日

a(n)=A005803号(牛)+A005408号(n-1)。-米克尔·塞尔达2016年11月25日

a(n)=A279396号(n+2,2)。-狼牙2017年1月10日

a(n)=n+和{j=1..n-1}(n-j)*2^(j-1)。参见2017年6月14日公式A000918号(n+1)带解释。-狼牙2017年6月14日

a(n)=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C(k,i)。-韦斯利·伊万受伤了2017年9月21日

a(n+m)=a(n)*a(m)+a(n)+a(m)。-纪宇春2018年7月27日

a(n+m)=a(n+1)*a(m)-2*a(n)*a(m-1)。-塔拉斯戈伊2018年12月23日

a(n+1)是nxn矩阵M_(i,j)=二项式(i+j-1,j)*2+二项式(i+j-1,i)的行列式(经验观察)。-托尼·福斯特三世2019年5月11日

例子

对于n=3,a(3)=S(4,2)=7,第二类斯特林数,因为有7种方法将{a,b,c,d}划分为2个非空子集,即,

{a}U{b,c,d},{b}U{a,c,d},{c}U{a,b,d},{d}U{a,b,c},{a,b}U{c,d},{a,c}U{b,d},和{a,d}U{b,c}。-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日

贾斯汀·M·特罗伊卡2011年8月13日:(开始)

因为a(3)=7,所以有7个4的有符号置换等于它们的反补的条,并且避免{(-2,-1),(-1,+2),(+2,+1)}。这些是:

(+1、+2、-3、-4),

(+1、+3、-2、-4),

(+1、-3、+2、-4),

(+2,+4,-1,-3),

(+3,+4,-1,-2),

(-3,+1,-4,+2),

(-3,-4,+1,+2)。(结束)

G、 f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。

枫木

A000225:=n->2^n-1;[顺序(2^n-1,n=0..50)];

A000225:=1/(2*z-1)/(z-1)#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中,顺序从a(1)开始

数学

a[n_]:=2^n-1;表[a[n],{n,0,30}](*斯特凡·斯坦伯格2006年3月30日*)

数组[2^#-1&,50,0](*Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年12月26日*)

嵌套列表[2#+1&,0,32](*罗伯特·G·威尔逊五世2011年2月28日*)

2^范围[0,20]-1(*埃里克·W·维斯坦2017年7月17日*)

线性出现[{3,-2},{1,3},20](*埃里克·W·维斯坦2017年9月21日*)

系数列表[系列[1/(1-3x+2x^2),{x,0,20}],x](*埃里克·W·维斯坦2017年9月21日*)

黄体脂酮素

(平价)A000225(n) =2^n-1\\迈克尔·B·波特2009年10月27日

(哈斯克尔)

减去(A0225)。(2^)

a000225_list=迭代((+1)。(*2))0

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月20日

(平价)concat(0,Vec(x/((1-2*x)*(1-x))+O(x^100)))\\阿尔图阿尔坎2015年10月28日

(萨默思)

返回值(<1)s(<1)enumerate()#彼得·卢什尼2019年9月1日

交叉引用

囊性纤维变性。A000043号,A000079号,A000668号,A001045型,A001348,A009545号,A016189号,A052955号,A083329号,A085104号,A144081号.

比较a(n)=A112492号(n,2)。的最右列A008969号.

a(n)=A118654年(n,1)=A118654年(n-1,3),对于n>0。

子序列邮编:A132781.

基数b位数和为n的最小数:此序列(b=2),A062318型(b=3),邮编:A180516(b=4),邮编:A181287(5磅),邮编:A181288(b=6),A181303号(b=7),邮编:A165804(b=8),A140576号(b=9),A051885型(b=10)。

囊性纤维变性。A000203型,甲239473,A279396号.

囊性纤维变性。A027087年,A048993号(k=2列),A000918号,A130330.

上下文顺序:A097002号 A060152型 A126646号*A225883号 A255047号 邮编:A168604

相邻序列:A000222号 A000223号 A000224号*A000226号 A000227号 A000228号

关键字

,容易的,核心,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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