搜索： 编号：a007814
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A007814号
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| 2除以n的最高幂指数，也称为二进制进位序列、标尺序列或n的2-adic赋值。 |
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+0
854
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0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 6, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,4个
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评论
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这个序列是我通常的规则的一个例外，即当序列中的其他项都为0时，应该忽略这些0。在这种情况下，我们会得到A001511号.-N.J.A.斯隆_
要构造序列：从0,1开始，连接以获得0,1,0,1。将+1加到最后一项上，得到0,1,0,2。将这4个项串联起来，得到0,1,0,2,0,1,2,2。将+1添加到上学期等-贝诺伊特·克洛伊特，2003年3月6日
序列在以下两种变换下是不变的：每个元素增加一个（1、2、1、3、1、2，1、4…），在前面和相邻元素之间放置一个零（0、1、0、2、0、1，0、3、0，1、0，2，0，1，0，4…）。中间结果是A001511号.-Ralf Hinze（Ralf（AT）informatik.uni-bonn.de），2003年8月26日
同构0->01，1->02，2->03，3->04，…，的不动点。。。，n->0（n+1）。。。，从a（1）=0.-开始_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年3月15日
态射的不动点0->010，1->2，2->3。。。，n->（n+1），….-_Joerg Arndt_，2014年4月29日
a（n）也是Collatz猜想中引用的冰雹序列中对偶数重复一步的次数Alex T.Flood（whiteangelsgrace（AT）gmail.com），2006年9月22日
设F（n）为第n个费马数(A000215号). 然后F（a（r-1））将F（n）+2^k除以r=k mod 2^n和r！=1.-T.D.Noe_，2007年7月12日
a（n）是以2为基数写入n时，n末尾的0的数目。
a（n+1）是以2为基数写入n时，n末尾的1的数目_M.F.Hasler，2012年8月25日
序列是无平方的（在不包含任何形式XX的子序列的意义上）[Allouche和Shallit]。当然，它包含单个的平方项（例如4）评论由N.J.A.Sloane扩展，2019年1月28日
a（n）是第n Stern多项式中的零系数数，A125184号.-T.D.Noe_，2011年3月1日
引理：对于n=a（n）=a（m）的n＜m，存在a（k）>r的n＜k＜m。证明：我们有n=b2^r和m=c2^r，其中b<c都是奇数；在他们中间选择一个偶数；现在是a（i2^r）>r和n<i2^r<m.QED。推论：连续整数的每个有限次运行都有一个唯一的最大2-进位值_Jason Kimberly_，2011年9月9日
a（n-2）是的2-adic估值A000166号（n） 对于n>=2.-_Joerg Arndt_，2014年9月6日
a（n）=具有Heinz数n的分区中1的个数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz号定义为Product_{j=1..r}p_j-th素数（a lois p.Heinz in使用的概念A215366型作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（24）=3；实际上，亨氏数为24=2*2*2*3的分区是[1,1,1,2]_Emeric Deutsch，2015年6月4日
a（n+1）是高架桥编号为n的整数分区中两个最大部分之间的差值（假设0是一个部分）。例如：a（20）=2。事实上，我们有19=10011_2，这导致了分区[3,1,1]的费雷尔斯板。有关高架桥编号的定义，请参阅A290253型.-Emeric Deutsch，2017年8月24日
除了如上所述的平方自由外，序列还具有这样的特性，即每个连续的子序列至少包含一个数字和奇数次_乔恩·里奇菲尔德（Jon Richfield），2018年12月20日
a（n+1）是4k+1形式的任意u的和{e=0..n}u^e=（1+u+u^2+…+u^n）的2元估值(A016813号). - _Antti Karttunen，2020年8月15日
{a（n）}代表可数无限多帽子游戏的“第一黑帽子”策略，成功概率为1/3；请参阅下面的数字链接_弗雷德里克·鲁格特，2021年6月14日
a（n）是不存在i+j=n和a（i）=a（j）=k（cf。A322523型). - _雷米·西格里斯特和宋佳宁，2022年8月23日
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第27页。
K.Atanassov，《关于第37和38个Smarandache问题，数论和离散数学笔记》，索菲亚，保加利亚，第5卷（1999年），第2期，第83-85页。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
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链接
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阿兰·康奈斯（Alain Connes）、卡特琳娜·康萨尼（Caterina Consani）和亨利·莫斯科维奇（Henri Moscovici），Zeta零点和长波算子，arXiv:2310.18423[math.NT]，2023。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，（2009）离散数学。，309 (2009), 6245-6254.
Mathieu Guay Paquet和Jeffrey Shallit，避免自然数的平方和重叠，arXiv:0901.1397[math.CO]，2009年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。参见第61页。图书网站
尼古拉斯·马莱特，锡拉丘兹猜想的证明试验，arXiv预印本arXiv:1507.05039[math.GM]，2015。
乔瓦尼·皮奇奇尼，有限自动机：特性、复杂性和变体《形式系统描述复杂性国际会议》（DCFS 2019），《形式系统的描述复杂性》，《计算机科学讲义》（LNCS，第11612卷），查姆斯普林格，57-73。
劳拉·普德威尔和埃里克·罗兰，避免自然数的分数幂，arXiv:1510.02807[math.CO]（2015）。《组合数学电子杂志》，第25卷（2）（2018年），#P2.27。见第2节。
保罗·塔劳，一类同构数据变换《Calculemus 2009》，第八届国际会议，MKM 2009，第170-185页，斯普林格，LNAI 5625。
P.M.B.Vitanyi，计数器的优化仿真《SIAM J.计算》，14:1（1985），1-33。
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配方奶粉
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如果n是奇数，则a（n）=0，否则为1+a（n/2）_Reinhard Zumkeller_，2001年8月11日
和{k=1..n}a（k）=n-A000120号（n） .-_Benoit Cloitre_，2002年10月19日
G.f.：A（x）=Sum_{k>=1}x^（2^k）/（1-x^（2^k））。-_Ralf Stephan，2002年4月10日
G.f.A（x）满足A（x。A（x）=B（x^2）=BA001151号.-Franklin T.Adams-Waters，2006年2月9日
如果p=2，则为a（p）=1的全加性，否则为0。
Dirichlet g.f.：zeta（s）/（2^s-1）.-_拉尔夫·斯蒂芬（Ralf Stephan），2007年6月17日
定义0<=k<=2^n-1；二进制：k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1；其中b（x）为0或1，表示0≤x≤n-1；定义0≤x≤n-1的c（x）=1-b（x）；那么：a（k）=c（0）+c（0c（0）*c（1）。。。c（n-1）；a（k+1）=b（0）+b（0b（0）*b（1）。。。b（n-1）.-Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年5月10日
对于n>=1，a(A004760型（n+1））=a（n）.-_Vladimir Shevelev，2009年4月15日
2^（a（n））=A006519号（n） .-_Philippe Deléham，2009年4月22日
a（n！）=n-A000120号（n） .-_Vladimir Shevelev，2009年7月20日
v{2}（n）=和{r>=1}（r/2^（r+1））和{k=0..2^（r+1）-1}e^（2（k*Pi*i（n+2^r））/（2^_A.Neves_，2010年9月28日，2010年10月4日更正
a（n）模块2=A096268号（n-1）.-_Robert G.Wilson v_，2012年1月18日
a（（2*n-1）*2^p）=p，p>=0，n>=1_Johannes W.Meijer，2013年2月4日
a（n）=A067255号（n，1）.-_Reinhard Zumkeller，2013年6月11日
a（n）=log_2（n-（n和n-1））_Gary Detlefs，2014年6月13日
对于正n、x和y，a（（2*x-1）*2^n）=a（（2%y-1）*2 ^n）-朱里·斯蒂潘·杰拉西莫夫，2016年8月4日
相当于上述公式a（n）=A183063号（n）/A001227号（n） ，即，a（n）是n的偶数除数除以n的奇数除数。-Franklin T.Adams-Watters_，2018年10月31日
a（n）*（n mod 4）=2*层（（n+1）mod 4/3）。-_Gary Detlefs，2019年2月16日
渐近平均值：lim_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=1.-_Amiram Eldar，2020年7月11日
a（n）=2*总和{j=1..层（log_2（n））}压裂（二项式（n，2^j）*2^（j-1）/n）_Dario T.de Castro，2022年7月8日
a（n）=地板（（gcd（n，2^n）^_洛伦佐·索拉斯（Lorenzo Sauras Altuzarra），2024年3月10日
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例子
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2^3除以24，所以a（24）=3。
自_Omar E.Pol_，2009年6月12日起：（开始）
三角形开始：
0;
1,0;
2,0,1,0；
3,0,1,0,2,0,1,0;
4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
5,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
6,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,5,0,1,0,2,...
（结束）
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枫木
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ord:=进程（n）局部i，j；如果n=0，则返回0；fi；i： =0；j： =n；而jmod2<>1做i:=i+1；j： =j/2；od：i；结束进程：seq（ord（n），n=1..111）；
A007814号：=n->padic[ordp]（n，2）：序列(A007814号（n） ，n=1..111）；#_Peter Luschny_，2010年11月26日
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数学
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表[整数指数[n，2]，{n，64}]（*_Eric W.Weisstein_*）
整数指数[范围[64]，2]（*_Eric W.Weisstein_，2024年2月1日*）
p=2；数组[If[Mod[#，p]==0，Select[FactorInteger[#]，Function[q，q[[1]]==p]，1][1，2]，0]&，96]
数字计数[BitX或[x，x-1]，2，1]-1；基于相同概念的不同版本：Floor[Log[2，BitXor[x，x-1]]]（*Jaume Simon Gispert（Jaume（AT）nuem.com），2004年8月29日*）
嵌套[Join[#，ReplacePart[#，Length[#]->Last[#]+1]]&，{0，1}，5]（*N.J.Gunther，2009年5月23日*）
嵌套[Flatten[#/.a_Integer->{0，a+1}]&，{0}，7]（*_Robert G.Wilson v_，2011年1月17日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a007814 n=如果m==0，则1+a007814n'否则为0
其中（n'，m）=divMod n 2
--_Reinhard Zumkeller_，2013年7月5日，2011年5月14日，2010年4月8日
（哈斯克尔）
a007814 n |奇数n=0 |否则=1+a007819（n `div`2）
--_Walt Rorie-Baety_，2013年3月22日
（R） sapply（1:100，函数（x）和（gmp:：factorize（x）==2））#_Christian N.K.Anderson_，2013年6月20日
（岩浆）[估值（n，2）:n in[1..120]]；//_Bruno Berselli，2013年8月5日
（Python）
导入数学
定义a（n）：返回int（math.log（n-（n&n-1），2））#_Indranil Ghosh，2017年4月18日
（Python）
定义A007814号（n） ：return（~n&n-1）.bit_length（）#__Chai Wah Wu_，2022年7月1日
（方案）（定义(A007814号n） （让回路（（n n）（e 0））（如果（奇数？n）e（回路（/n 2）（+1 e）））_Antti Karttunen，2017年10月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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_John Tromp，1996年12月11日
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扩展
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适用于偏移量的公式索引A025480号作者：R.J.Mathar，2010年7月20日
编辑：_Ralf Stephan，2014年2月8日
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状态
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经核准的
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