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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A237593号 按行读取的三角形,其中n行列出第n行的元素A237591号然后是同一行的元素,但顺序相反。 420
1、1、1、1、2、2、2、2、1、1、2、3、1、1、1、1、3、3、2、2、2、3、4、1、1、1、1、4、4、4、2、1、1、5、2、5、5、5、5、2、2、5、2、5、5、2、5、5、5、2、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5、1、1、1、1、1、1、1、1、2、6、6、6、1、1、2、2、7、3、3、1、1、1、1、2、2、2、3、1、1、1、2、2、2、2、2、2、2、2 2,2,1,3,8,8,3,2,1,1,1,1,2,3,8 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,3

评论

n行是2*n的回文组合。

T(n,k)也是方格网第一象限上Dyck路径中第k段的长度,将x轴和y轴连接起来,从(n,0)到(0,n),从垂直方向的线段开始,参见示例。

猜想1:第n条戴克路径下的面积等于A024916型(n) ,所有正整数的所有除数之和<=n。

如果猜想成立,则第n条Dyck路径表示第n行元素交替和后的边界段A236104号.

猜想2:两个相邻的Dyck路径从未交叉(手工检查n=128),因此第n条Dyck路径和(n-1)-st Dyck路径之间的总面积等于sigma(n)=A000203型(n) ,n的除数之和。

两者之间的联系A196020年A237271具体如下:A196020年-->A236104号-->A235791号-->A237591号-->此序列-->A239660-->A237270-->A237271.

编写PARI脚本区域(n)和chkcross(n)来检查这两个属性,并运行到n=10000-米歇尔·马库斯2014年3月27日

评论来自富兰克林·T·亚当斯·沃特斯关于与sigma对称表示有关的序列A235791号相关序列:(2014年3月31日)

开始的地方是A235791号,非常简单。那就去吧A237591号,也很简单,而且A237593号,还是很简单的。

然后需要解释A237593号作为戴克小径。这种解释是根据行程长度来解释的,所以2,1,1,2意味着上升两次,下降一次,上升一次,下降两次。因为A237593号对称且长度相等,此路径将始终是对称的。

现在令人惊讶的事实是,由n的Dyck路径包围的区域(位于其侧面)总是包括n-1的包围区域;加上的平方数是sigma(n)。

最后,看看由n包围而不是由n-1包围的连接区域;这些区域的大小是sigma的对称表示。(结束)

已经编写了Mathematica函数,通过n=30000验证了这两个属性-哈特穆特霍夫特2014年4月7日

对于第n个集合,第一个对角线上的单元数等于A067742号(n) ,n的中间除数-米歇尔·马库斯2014年6月21日

选中的米歇尔·马库斯的两个Mathematica函数的猜想,关于更多信息,请参见A240542号. -哈特穆特霍夫特2014年7月17日

A003056型(n) 也是与第n行三角形相关的Dyck路径的峰值数-奥马尔·E·波尔2015年11月3日

与行关联的Dyck路径的峰值数A000396号(n) 这个三角形的第n个梅森素数A000668号(n) ,因此梅森素数在中描述的金字塔中以两种方式可见A245092型. -奥马尔·E·波尔2016年12月19日

链接

罗伯特·普莱斯,n=1..15008的n,a(n)表(第n行=1..412行,展平)

米歇尔·马库斯,sigma(n)对称表示的彩色版本,多页,n=1..85

奥马尔·E·波尔,无限阶梯金字塔

奥马尔·E·波尔,等腰三角形的初始项说明(行:1..28)

奥马尔·E·波尔,金字塔透视图(前16层)

公式

设j(n)=楼层((sqrt(8n+1)-1)/2),然后T(n,k)=A237591号(n,k),如果k<=j(n);否则T(n,k)=A237591号(n,2*j(n)+1-k)-哈特穆特霍夫特2014年4月7日(更正人奥马尔·E·波尔2015年5月31日)

例子

三角形开始:

n

1 | 1,1;

2 | 2,2;

3 | 2,1,1,2;

4 | 3,1,1,3;

5 | 3,2,2,3;

6 | 4,1,1,1,1,4;

7 | 4,2,1,1,2,4;

1,2,2,5;

9 | 5,2,2,2,2,5;

10 | 6,2,1,1,1,1,2,6;

11 | 6,3,1,1,1,1,3,6;

12 | 7,2,2,1,1,2,2,7;

13 | 7,3,2,1,1,2,3,7;

14 | 8,3,1,2,2,1,3,8;

15 | 8,3,2,1,1,1,2,3,8;

16 | 9,3,2,1,1,1,2,3,9;

17 | 9,4,2,1,1,1,2,4,9;

18 | 10,3,2,2,1,1,2,2,3,10;

19 | 10,4,2,2,1,1,2,2,4,10;

20 | 11,4,2,1,2,2,1,2,4,11;

21 | 11,4,3,1,1,1,1,1,1,3,4,11;

22 | 12,4,2,2,1,1,1,1,2,2,4,12;

23 | 12、5、2、2、1、1、1、1、2、2、5、12;

24 | 13,4,3,2,1,1,1,1,2,3,4,13;

...

初始项作为无限Dyck路径的说明(第n行=1..7行):

.

.                                   /\/\/\      /\    /\

.                /\/\    /\  /\    /      \    /  \/\/  \

.     /\  /\/\  /    \  /  \/  \  /        \  /          \

.  /\/  \/    \/      \/        \/          \/            \

.

第8行和第9行解释为第一象限中的Dyck路径,以及sigma(9)=5+3+5=13的对称表示图,见下文:

.

是的,是的

.                       .

.                       ._ _ _ _ _                _ _ _ _ _ 5

._ _ _ _ _              .         |              |_ _ _ _ _|

三、三

.         |_            .             |                    |_  |

.| | | | | | | | | | | | | | | | |

.               |       .                 |                      | |

.面积=56 |面积=69 ||

.               |       .                 |                      | |

.               |       .                 |                      | |

. . . . . . . . | . x………|。十|_|

.

图1图2图3

.

图1。对于n=8,第8行三角形为[5,2,1,1,2,5],对称Dyck路径下的面积等于A024916型(8) =56。

图2。当n=9时,第9行三角形为[5,2,2,2,2,5],对称Dyck路径下的面积等于A024916型(9) =69。

图3。sigma(9)的对称表示:在两个对称的Dyck路径之间,有三个大小为[5,3,5]的区域(或部分)。

9的除数之和是1+3+9=A000203型(9) =13。另一方面,Dyck路径下区域之间的差异等于sigma(9)=69-56=5+3+5=13的对称表示部分的和,等于9的除数之和。

.

在第一象限中,初始项作为Dyck路径的说明:

(n行=1..28)

.  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  |

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  | |

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | |

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  | | |_ _ _

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | |_ _ _  |

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  | | |_ _  | |_

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | |_ _ _| |_  |_

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _  | |       |_ _|   |_

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | |_ _    |_  |_ _  |_ _

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _  | |_ _ _|     |_  | |_ _  |

  |_ _ _ _ _ _ _ _ _| | |_ _  |_      |_|_ _  | |

  |_ _ _ _ _ _ _ _  | |_ _  |_ _|_        | | | |_ _ _ _ _

  |_ _ _ _ _ _ _ _| |     |     | |_ _    | |_|_ _ _ _ _  |

  |_ _ _ _ _ _ _  | |_ _  |_    |_  | |   |_ _ _ _ _  | | |

  |_ _ _ _ _ _ _| |_ _  |_  |_ _  | | |_ _ _ _ _  | | | | |

  |_ _ _ _ _ _  | |_  |_  |_    | |_|_ _ _ _  | | | | | | |

  |_ _ _ _ _ _| |_ _|   |_  |   |_ _ _ _  | | | | | | | | |

  |_ _ _ _ _  |     |_ _  | |_ _ _ _  | | | | | | | | | | |

  |_ _ _ _ _| |_      | |_|_ _ _  | | | | | | | | | | | | |

  |_ _ _ _  |_ _|_    |_ _ _  | | | | | | | | | | | | | | |

  |_ _ _ _| |_  | |_ _ _  | | | | | | | | | | | | | | | | |

  |_ _ _  |_  |_|_ _  | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

  |_ _ _|   |_ _  | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

  |_ _  |_ _  | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

  |_ _|_  | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

  |_  | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

  |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|

.

n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10..12..14..16..18..20..22..24..26..28

.

图的前n组对称区域中的总面积(也是单元总数)等于A024916型(n) ,所有正整数的所有除数之和<=n。

图中第n组对称区域的总面积(也就是单元总数)似乎等于sigma(n)=A000203型(n) (手工检查n=128)。

奥马尔·E·波尔2015年8月18日:(开始)

上图也是中描述的阶梯金字塔的俯视图A245092型这也是中所述楼梯的俯视图A244580型,在这两种情况下,该图表示结构的前28层。请注意,该图包含(并源自)一个隐藏模式,如下所示。

.

等腰三角形的初始项说明:

世界其他地区_

1 | 1 | 1|_

2 | 2 | | 2|_

3 | 2 | 1 | 2|_

4 | 3 | 1 | 1 | 3|_

5 | 3 | 2 | 2 | 3|_

6 | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4|_

7 | 4 | 2 | 1 | 2 | 4|_

8 | 5 | 2 | 1 | 1 | 2 | 5|_

9 | 5 | 2 | 2 | 2 | 2 | 5|_

10 | 6 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 6|_

11 | 6 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 6|_

12 | 7 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 7|_

13 | 7 | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 7|_

14 | 8 | 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 3 | 8|_

15 | 8 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 8|_

16 | 9 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3|

...

这个图是序列的简单表示。

图中每边第n层的水平线段数等于A001227号(n) ,n的奇数除数。

图表左侧的水平线段数与右侧水平线段的数目相等A054844号(n) 一。

图的第n层中垂直线段的总数等于A131507号(n) 一。

请注意,此对称图案也出现在中所述的阶梯金字塔的前视图中A245092型,与西格玛有关A000203型,除数函数和其他相关序列。图中的16层代表金字塔的第一层。(结束)

数学

第[n_x]行:=楼层[(Sqrt[8n+1]-1)/2]

s[n_2;,k_u]:=天花板[(n+1)/k-(k+1)/2]-天花板[(n+1)/(k+1)-(k+2)/2]

f[n_2;,k_u]:=如果[k<=行[n],s[n,2行[n]+1-k]]

TableForm[表[f[n,k],{n,1,50},{k,1,2行[n]}]](*哈特穆特霍夫特2014年4月8日*)

黄体脂酮素

(PARI)行(n)={my(orow=row237591(n));向量(2*#orow,i,if(i<=35; orow,orow[i],orow[2*#orow-i+1]);}

area(n)={my(rown=row(n));surf=0;h=n;odd=1;对于(i=1,#row,if(奇数,surf+=h*rown[i],h-=rown[i];);odd=!odd;);surf;}

高度(v,n)={vh=向量(n);ivh=1;h=n;奇=1;对于(i=1,#v,if(奇数,对于(j=1,v[i],vh[ivh]=h;ivh++),h-=v[i];);odd=!odd;);vh;}

{ha(返回值,hb=1,if)

chkcross(nn)={hga=concat(高度(行(1),1),0;对于(n=2,nn,hgb=高度(行(n),n);如果(!isabove(hgb,hga),print(“pb cross at n=”,n));hga=concat(hgb,0););}\\米歇尔·马库斯2014年3月27日

(蟒蛇)

从sympy import sqrt

导入数学

def row(n):返回int(数学楼层((sqrt(8*n+1)-1)/2))

def s(n,k):返回int(math.ceil((n+1)/k-(k+1)/2))-int(math.ceil((n+1)/(k+1)-(k+2)/2))

def T(n,k):如果k<=行(n),则返回s(n,k),否则返回s(n,2*行(n)+1-k)

对于范围内的n(1,11):打印[T(n,k)表示范围内的k(1,2*行(n)+1)]#印度教2017年4月21日

交叉引用

n行的长度为2*A003056型(n) 一。

行总和给出A005843号,n>=1。

第k列从第行开始A008805型(k-1)。

第1列=右边框=A008619号,n>=1。

二等分在A259176号,A259177号.

囊性纤维变性。A000203型,A000217,A001227号,A024916型,A054844号,A067742号,A131507号,A196020年,A221529号,A235791号,A236104号,A237048号,A237270,A237271,A237590号,A237591号,A239660,邮编:A239931-邮编:A239934,A244050型,A244580型,A245092型,A249351号,A261350型,A2619号,A262611号,邮编:A262612,邮编:A262626,A279387,A280850型,A280851号,A286000,A286001号,A296508号,A335616飞机,A340035型.

上下文顺序:A338409型 A238890号 甲266968*A338169 A243847号 甲245421

相邻序列:A237590号 A237591号 甲237592*A237594号 A237595号 A237596号

关键字

,塔夫,

作者

奥马尔·E·波尔2014年2月22日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年12月5日22:34。包含349558个序列。(运行在oeis4上。)