搜索： a001834-编号：a001834
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A001353号
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| a（n）=4*a（n-1）-a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
（原名M3499 N1420）
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+10
188
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0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316, 564719, 2107560, 7865521, 29354524, 109552575, 408855776, 1525870529, 5694626340, 21252634831, 79315912984, 296011017105, 1104728155436, 4122901604639, 15386878263120, 57424611447841, 214311567528244
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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3*a（n）^2+1是一个正方形。此外，3*a（n）^2+1=（2*a（n）-a（n-1））^2。
2Xn网格中生成树的数量：通过检查右端发生的情况，我们可以看到a（n）=3*a（n-1）+2*a（n-2）+2*a（n-3）+…+2*a（1）+1，其中最后的1对应于树==…=|！。求解此方程，我们得到a（n）=4*a（n-1）-a（n-2）。
2Xn网格的复杂性。
n使3*n^2=地板（sqrt（3）*n*天花板（sqrt（3）*n））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月10日
对于n>0，比值a（n+1）/a（n）可以作为2+sqrt（3）的连分式展开的收敛：作为[4；-4]的连续收敛或作为[3；1，2]的奇收敛-Lekraj Beedassy公司2003年9月19日
a（n+1）是4^n的切比雪夫变换，其中带有g.f.g（x）的序列被发送到带有g.f.（1/（1+x^2））g（x/（1+x2））的序列-保罗·巴里2004年10月25日
这个序列是无素数的，因为a（2n）=a（n）*（a（n+1）-a（n-1））和a（2n+1）=a-宋嘉宁，2019年7月6日
对于n>1，原始毕达哥拉斯三角形的中间边（或长腿）的角度接近Pi/3，边值较大。[完整三元组（X，Y，Z），X<Y<Z，由X给出=A120892号（n） ，Y=a（n），Z=A120893号（n） ，递归关系X（i+1）=2*{X（i）-（-1）^i}+a（i）；Z（i+1）=2*{Z（i）+a（i）}-（-1）^i]-Lekraj Beedassy公司2006年7月13日
2 X n个简单矩形迷宫的数量。简单矩形mXn迷宫是顶点集{0,1，…，m}X{0,1.，…，n}满足以下两个性质的图G：（i）G由两个正交树组成；（ii）一棵树的路径顺序连接（0,0），（0,1）。。。，（0，n），（1，n）。。。，（m-1，n）和另一棵树有一条路径，该路径依次连接（1,0），（2,0）。。。，（m，0），（m，1）。。。，（m，n）。例如，a（2）=4，因为有四个2X2简单矩形迷宫：
__ __ __ __
| | | |__ | | | | __|
| __| | __| | |__| | __|
（结束）
A001353号和A001835号=连分数[1,2,1,2,1,2，…]的二分，即[1,3,4,11,15,41，…]。
对于n>0，a（n）等于一个（n-1）X（n-1）三对角矩阵的行列式，其中上对角线和次对角线中有一个矩阵，（4，4，4…）是主对角线。[由更正Johannes靴子，2011年9月4日]
a（n）等于沿着主对角线有4个，沿着上对角线和次对角线（i是虚单位）有1个，其他地方都有0个的（n-1）X（n-1”Hessenberg矩阵的永久值-约翰·M·坎贝尔，2011年6月9日
2a（n）是仅由偶数部分组成的2n的n种颜色成分的数量；参见参考文献中的郭-布莱恩·霍普金斯2011年7月19日
皮萨诺周期长度：1，2，6，4，3，6，8，4，18，6，10，12，12，8，8，18，18，5，12-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）也由递归a（1）=1定义；对于n>1，a（n+1）=2*a（n）+sqrt（3*a（n）^2+1），其中a（n。。。其中b（n，m）是每n的整数。
第一个对应的序列是
....................
我们得到了多项式{b（n，x）}={1，2*x，4*x^2-1，8*x^3-4*x，16*x^4-12*x^2+1，32*x^5-32*x^3+6*x，…0）对于切比雪夫多项式，=1和b（x，1）=2*x，而不是b（x、0）=1和b（x、1）=x。（结束）
如果a（n）表示上述序列的第n项，并且我们构造了一个三角形，它的边是a（n。我们的这一结果发表在《数学谱》（2012/2013）第45卷第3期第126-128页-K.S.巴努和M.N.Deshpande博士，印度那格浦尔科学研究所统计系教授（Retd）。
对于n>=1，a（n）等于字母{0，1，2，3}中长度为n-1的01-避免单词的数量-米兰Janjic2015年1月25日
对于n>0，10*a（n）是{4,5}镶嵌图第n层上的顶点和根数（见L.németh表1第6页）-米歇尔·马库斯2015年10月30日
（2+平方米（3））^n=A001075号（n） +a（n）*sqrt（3），n>=0；二次数域Q中的整数（sqrt（3））-沃尔夫迪特·朗2018年2月16日
一个强可除序列，即所有正整数n和m的gcd（A（n），A（m））=A（gcd（n，m））-迈克尔·索莫斯2019年12月12日
对于A[i，i]=4和A[i+1，i]=A[i，i+1]=-1的三对角A的Cholesky分解A=C*，正如它在离散化2D拉普拉斯算子（泊松方程…）中出现的那样，具有非零元素C[i，i]=sqrt（A（i+1）/A（i））=-1/C[i+1，i]，i=1，2，3-M.F.哈斯勒2021年3月12日
三元组（a（n-1），2a（n），a（n+1）），n=2,3，。。。，正是算术级数中正整数a<b<c的三元组（a，b，c），使得a*b+1、b*c+1和c*a+1是完美平方-伯恩德·穆兰斯基2021年7月10日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-4*x+x^2）。
a（n）=（（2+平方码（3））^n-（2-平方码（三））^n）/（2*sqrt（三）。
对于所有整数n，a（n）=-a（-n）-迈克尔·索莫斯2008年9月19日
极限{n->infinity}a（n）/a（n-1）=2+sqrt（3）-格雷戈里·V·理查森2002年10月6日
例如：exp（2*x）*sinh（平方码（3）*x）/sqrt（3）。
a（n）=S（n-1,4）=U（n-1,2）；S（-1，x）：=0，第二类切比雪夫多项式A049310型.
a（n+1）=Sum_{k=0.floor（n/2）}二项式（n-k，k）（-1）^k*4^（n-2*k）-保罗·巴里2004年10月25日
a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n+k，2*k+1）*2^k-保罗·巴里2004年11月30日
序列满足1=f（a（n），a（n+1）），其中f（u，v）=u^2+v^2-4*u*v-迈克尔·索莫斯2008年9月19日
有理递归：对于n>3，a（n）=（17*a（n-1）*a（n-2）-4*（a（n-1）^2+a（n-2）^2）/a（n-3）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年12月5日
如果p[i]=Fibonacci（2i），并且如果A是由A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1）定义的n阶Hessenberg矩阵，并且A[i和j]=0，否则，对于n>=1，A（n）=det A-米兰Janjic2010年5月8日
a（n）=C_{n-1}^{（1）}（2），其中C_n^{-埃里克·韦斯特因2011年7月16日
a（n）=-i*sin（n*arccos（2））/sqrt（3）-埃里克·韦斯特因2011年7月16日
a（n）=sinh（n×arccosh（2））/sqrt（3）-埃里克·韦斯特因2011年7月16日
a（n）=b，这样积分{x=0..Pi/2}（sin（n*x））/（2-cos（x））dx=c+b*log（2）-弗朗西斯科·达迪，2011年8月2日
1, 4, 15, 56, 209, ... = 反转（反转（1、2、3、4、5…））-大卫·卡伦2012年10月13日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=1+sqrt（3）-彼得·巴拉2012年12月23日
产品{n>=2}（1-1/a（n））=1/4*（1+sqrt（3））-彼得·巴拉2012年12月23日
a（n）=-（-i）^（n+1）*Fibonacci（n，4*i），i=sqrt（-1）-G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日
a（n）^2-a（m）^2=a（n+m）*a（n-m），a（n+2）*a-迈克尔·索莫斯2019年12月12日
a（n）=2^n*Sum_{k>=n}二项式（2*k，2*n-1）*（1/3）^（k+1）。囊性纤维变性。A102591号. -彼得·巴拉2021年11月29日
a（n）=和{k>0}（-1）^（（k-1）/2）*二项式（2*n，n+k）*（k|12），其中（k|12）是克罗内克符号-格雷格·德累斯顿2022年10月11日
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例子
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例如，当n=3时：
****
.***
.***
多米诺骨牌可以用4种不同的方式包装：3种方式是顶行平铺两个水平多米诺，1种方式是首行有两个垂直和一个水平的多米诺，如下所示，因此a（2）=4。
---- ---- ---- ||--
.||| .--| .|-- .|||
.||| .--| .|-- .|||
G.f.=x+4*x^2+15*x^3+56*x^4+209*x^5+780*x^6+2911*x^7+10864*x^8+。。。
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MAPLE公司
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seq（简化（切比雪夫U（n-1，2）），n=0..20）#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
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数学
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a[n]：=（矩阵幂[{{1，2}，{1，3}}，n].{{1}，}}）[[2，1]]；表[a[n]，{n，0，30}](*罗伯特·威尔逊v2005年1月13日*）
表[GegenbauerC[n-1，1，2]]，{n，0，30}](*零入侵拉霍斯2009年7月14日*）
表[-（（I Sin[n ArcCos[2]）/Sqrt[3]），{n，0，30}]//函数展开(*埃里克·韦斯特因2011年7月16日*）
表[Sinh[n ArcCosh[2]]/Sqrt[3]，{n，0，30}]//函数展开(*埃里克·韦斯特因2011年7月16日*）
表[ChebyshevU[n-1，2]，{n，0，30}](*埃里克·韦斯特因2011年7月16日*）
a[0]：=0；a[1]：=1；a[n]：=a[n]=4a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，{n，0，30}](*阿隆索·德尔·阿特2011年7月19日*）
线性递归[{4，-1}，{0，1}，30](*斯图尔·舍斯特特2011年12月6日*）
圆形@桌子[Fibonacci[2n，Sqrt[2]]/Sqrt[2]，{n，0，30}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）M=[1,1,0；1,3,1；0,1,1]；对于（i=0,30，print1（（[1,0,0]*M^i）[2]，“，”）\\Lambert Klasen（Lambert.Klasen，AT）gmx.net），2005年1月25日
（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（12））^n/quadgen[12）]}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，2）}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/
（PARI）连接（0，Vec（x/（1-4*x+x^2）+O（x^30））\\阿尔图格·阿尔坎2015年10月30日
（鼠尾草）[lucas_number1（n，4，1）代表范围（30）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（Sage）[chebyshev_U（n-1，2）表示（0..20）中的n#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
（哈斯克尔）
a001353 n=a001353_列表！！n个
a001353_列表=
0:1:zipWith（-）（map（4*）$tail a001353_list）a001353列表
（间隙）a:=[0,1]；；对于[3..30]中的n，做a[n]：=4*a[n-1]-a[n-2]；od；a#穆尼鲁A阿西鲁2018年2月16日
（岩浆）I:=[0,1]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日
（Python）
a001353=[0，1]
对于范围（30）内的n：a001353.追加（4*a001353[-1]-a001353[2]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001075号,A001542号,A001571号,A001834号,A001835号,A002531号,A003500型,A005246号,A016064美元,A079935号,A082840美元.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A039599美元
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| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
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+10
133
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德尔汉姆，2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。例如：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，[1,2,2,2,2,2，2，2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077美元,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆，2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边（非边）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边=1的9边（非边）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚数。请参阅添加的参考资料-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：＝2*cos（Pi/n）＝R（n，2），根据单位圆（长度单位1）内接的正n边形中的奇数索引对角线/边长比R（n，2*k+1）＝S（2*k，rho（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型)以下为：
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034号)，出现。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
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链接
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Huyile Liang、Jeffrey Remmel和Sainan Zheng，多项式的Stieltjes矩序列，arXiv:1710.05795[math.CO]，2017年，见第11页。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016年（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个输入错误]
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配方奶粉
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T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。求和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108号（n+m））；A000108号：加泰罗尼亚语的数字。
T（n，0）=A000108号（n） ；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=Sum_{j=1.n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） 。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
T（n，k）=总和_｛j=0..n-k｝106566英镑（n+k，2*k+j）。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
如果求和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1），则求和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（结束）
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108号（n+j）-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2: 2 3 1
3: 5 9 5 1
4: 14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
rho（N）=2*cos（Pi/N）功率的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n,3）+1*R（n/5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
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数学
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表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克里策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=非b
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角线（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002315号
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| 新南威尔士州数字：a（n）=6*a（n-1）-a（n-2）；也可以是a（n）^2-2*b（n）=A001653号（n+1）。
（原名M4423 N1869）
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+10
120
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1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, 275807, 1607521, 9369319, 54608393, 318281039, 1855077841, 10812186007, 63018038201, 367296043199, 2140758220993, 12477253282759, 72722761475561, 423859315570607, 2470433131948081, 14398739476117879, 83922003724759193
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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以Newman-Shanks-Williams参考命名。
也对n进行编号，使n^2是一个居中的16角数字；或形式为8k（k+1）+1的数字，其中k=A053141号（n） ={0，2，14，84，492，2870，…}-亚历山大·阿达姆楚克2007年4月21日
值2（a（n）^2+1）都是完美平方，其平方根由下式给出A075870号.-Nelesh Bodas（Neelesh.Bodas（AT）gmail.com），2010年8月13日
a（n）表示所有正整数K，其中2（K^2+1）是一个完美平方Neelesh Bodas（Neelesh.Bodas（AT）gmail.com），2010年8月13日
对于正n，a（n）等于沿主对角线具有sqrt（8）的（2n）X（2n-约翰·M·坎贝尔2011年7月8日
备注：x^2-2*y^2=+2*k^2，带正k，和x^2-2*y^2=+2约化为当前的Pell方程a^2-2*b^2=-1，带x=k*x=2*k*b和y=k*y=k*a亚历山大·萨莫克鲁托夫.) -沃尔夫迪特·朗2015年8月21日
如果p是奇素数，a（（p-1）/2）==1（mod p）-阿尔图格·阿尔坎2016年3月17日
a（n）^2+1=2*b（n）=A001653号（n） ，是a（n）是一个数k的充分必要条件，其中1 X k矩形的对角线是1 X 1正方形对角线的整数倍。如果正方形沿着水平1 X a（n）矩形的一条对角线排列，从左下角到右上角，则正方形的数量为b（n），并且始终存在一个正方形，其上角正好位于矩形的上边缘内。从左到右对正方形1到b（n）进行编号，在矩形顶部边缘有角的一个正方形的编号为c（n）=（2*b（n）-a（n）+1）/2，即A055997号（n） ●●●●。矩形边缘正方形角点的水平分量也是一个整数，即d（n）=a（n）-b（n），即A001542号（n） ●●●●-大卫·帕西诺2016年6月30日
考虑一个圆心（0,0）以正x轴和y轴为界的圆的象限。现在考虑，作为系列的开始，这个象限中包含的圆亲吻轴和外边界圆。进一步考虑一系列圆，每个圆都与x轴、外边界圆和序列中的前一个圆相吻合。请参阅福尔摩斯链接。本系列第n个圆的中心为((A001653号（n） *sqrt（2）-1）/a（n-1）(A001653号（n） *sqrt（2）-1）/a（n-1）^2），y坐标也是其半径。由此可知，a（n-1）是系列中第n个圆的圆心相对于x轴在点（0,0）处所对角度的余切-格雷厄姆·霍姆斯2019年8月31日
分子和分母处的两个序列之间存在联系，这两个序列给出了接吻圆中心的坐标。A001653号是数字k的序列，因此2*k^2-1是一个正方形，在这里，我们有2*A001653号（n） ^2-1=a（n-1）^2-伯纳德·肖特2019年9月2日
设G是任意整数i满足G（i）=2*G（i-1）+G（i-2）且不考虑G的初值的序列，则a（n）=（G（i+4*n+2）-G（i））/（2*G（i+2*n+1））只要G（i+2*n+1）！=0. -克劳斯·普拉斯2021年3月25日
3*a（n-1）是第二类的第n个几乎Lucas-cobalancing数（参见Tekcan和Erdem）-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年11月26日
在第259页的Moret-Blanc（1881）中，列出了m^2-2n^2=-1的一些解。m的值给出这个序列，n的值给出A001653号. -迈克尔·索莫斯2023年10月25日
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参考文献
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Julio R.Bastida，线性递归序列的二次性质。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1979年），第163-166页，国会。数字。，XXIII-XIV，实用数学。，温尼伯，曼彻斯特，1979年。MR0561042（81e:10009）
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P.-F.Teilhet，查询2376，《数学国际》，11（1904），138-139-N.J.A.斯隆2022年3月8日
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链接
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P.Catarino、H.Campos和P.Vasco，关于平衡数和协平衡数的几个恒等式《Annales Mathematicae et Informaticae》，45（2015），第11-24页。
恩里卡·杜奇（Enrica Duchi）、安德烈亚·弗罗西尼（Andrea Frosini）、伦佐·平扎尼（Renzo Pinzani）和西蒙·里纳尔迪（Simone Rinaldi），关于合理继承规则的注记，J.整数序列。，2003年第6卷。
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M.A.Gruber、Artemas Martin、A.H.Bell、J.H.Drummond、A.H Holmes和H.C.Wilkes，问题47阿默尔。数学。月刊，4（1897），25-28。
莫里斯·纽曼（Morris Newman）、丹尼尔·香克斯（Daniel Shanks）和H.C.威廉姆斯（H.C.Williams），简单的平方阶群和有趣的素数序列《阿里斯学报》。，38 (1980/1981) 129-140.
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H.C.Williams和R.K.Guy，一些四阶线性可分序列，《国际数论》7（5）（2011）1255-1277。
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配方奶粉
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a（n）=（1/2）*。
a（n）=（1+平方（2））/2*（3+平方（8））-拉尔夫·斯蒂芬2003年2月23日
a（n）=平方英尺（2*(A001653号（n+1））^2-1），n>=0。[佩尔方程a（n）^2-2*佩尔（2*n+1）^2=-1-沃尔夫迪特·朗2018年7月11日]
通用名称：（1+x）/（1-6*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）~（1/2）*（平方（2）+1）^（2*n+1）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
极限{n->infinity}a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）-格雷戈里·V·理查森2002年10月6日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则（-1）^n*q（n，-8）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
当a=3+2*sqrt（2），b=3-2*sqert（2）：a（n）=（a^（（2n+1）/2）-b^（2n+1/2））/2。a（n）=A077444号（n） /2.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年3月31日
a（n）=Sum_{k=0..n}2^k*二项式（2*n+1，2*k）。-Zoltan Zachar（Zachar（AT）felner.sulinet.hu），2003年10月8日
与：i相同，即sigma（i^2+1，2）mod 2=1.-Mohammed Bouayoun（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月26日
a（n）=雅可比_P（n，1/2，-1/2.3）/雅可比-P（n、-1/2,1/2.1）-保罗·巴里2006年2月3日
P_{2n}+P_{2 n+1}，其中P_i是Pell数(A000129号). 此外，Pell数部分和的平方根：P_{2n}+P_{1n+1}=sqrt（Sum_{i=0..4n+1}P_i）（Santana和Diaz-Barrero，2006）-大卫·艾普斯坦2007年1月28日
a（n）=平方米(A001108年（2*n+1））Anton Vrba（antonvrba（AT）yahoo.com），2007年2月14日
a（n+1）=3*a（n）+sqrt（8*a（n）^2+8），a（1）=1-理查德·乔利特2007年9月18日
a（n）=1，4，8，32，64，256，512，…的第三二项式变换Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年8月15日
a（n）=（-1）^（n-1）*（1/sqrt（-1））*cos（（2*n-1）*arcsin（sqrt））-阿图尔·贾辛斯基2010年2月17日
a（n）=楼层（（1+平方（2））^（2n+1））/2-托马斯·奥多夫斯基2012年6月12日
（a（2n）+a（2n-1））/a（n）=2*sqrt（2）*（（1+sqrt（2））^（4*n）-（1-sqrt（2））^（4*n））/（（1+sqrt（2））^（2*n+1）+（1-sqrt（2））^（2*n+1））。[这是我对问题5325的解答，《学校科学与数学114》（2014年12月第8期）。]-亨利·里卡多2015年2月5日
充气序列（b（n））n>=1=[1,0,7,0,41,0,239,0，…]是一个四阶线性可除序列；也就是说，如果n｜m，那么b（n）｜b（m）。这是由Williams和Guy发现的可除序列的3参数族的P1=0、P2=-4、Q=-1的情况。请参见A100047号.
b（n）=1/2*（（-1）^n-1）*球（n）+1/2*（1+（-1））^（n+1））*球。o.g.f.是x*（1+x^2）/（1-6*x^2+x^4）。
Exp（和{n>=1}2*b（n）*x^n/n）=1+和{n>=1}2*A026003号（n-1）*x^n。
经验（和{n>=1}（-2）*b（n）*x^n/n）=1+和{n>=1}2*A026003号（n-1）*（-x）^n。
经验（总和{n>=1}4*b（n）*x^n/n）=1+总和{n>=1}4*球（n）*x^n。
经验（总和{n>=1}（-4）*b（n）*x^n/n）=1+总和{n>=1}4*Pell（n）*（-x）^n。
Exp（Sum_{n>=1}8*b（n）*x^n/n）=1+总和{n>=1}8*A119915年（n） *x ^n个。
例如：（平方（2）*sinh（2*sqrt（2）*x）+余弦（2*sqlt（2）**））*exp（3*x）-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月30日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^（n-k）*2^k*2^上限（k/2）-大卫·帕西诺2016年7月9日
a（n）=|Im（T（2n-1，i））|，i=sqrt（-1），T（n，x）是第一类切比雪夫多项式，Im是复数的虚部，||是绝对值-列奥尼德·贝德拉图克，2017年12月17日
a（n）=sinh（（2*n+1）*arcsinh（1））-布鲁诺·贝塞利2018年4月3日
a（n+1）*a（n+2）=a（n）*a。
a（n）^2+a（n+1）^2=6*a（n。
a（n+1）^2=a（n）*a（n+2）+8。
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例子
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G.f.=1+7*x+41*x^2+239*x^3+1393*x^4+8119*x^5+17321*x^6+-迈克尔·索莫斯2022年6月26日
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n=0，则
1 ;
elif n=1，则
7;
其他的
6*进程名（n-1）-进程名（n-2）；
结束条件：；
a： =n->abs（Im（简化（切比雪夫T（2*n+1，I）））：seq（a（n），n=0..20）#列奥尼德·贝德拉图克，2017年12月17日
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数学
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a[0]=1；a[1]=7；a[n]：=a[n]=6a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，｛n，0，20｝](*罗伯特·威尔逊v2004年6月9日*）
转置[NestList[Flatten[{Rest[#]，ListCorrelate[{-1，6}，#]}]&，{1，7}，20]][[1](*哈维·P·戴尔2011年3月23日*）
线性递归[{6，-1}，{1，7}，20](*布鲁诺·贝塞利2018年4月3日*）
a[n_]：=-I*（-1）^n*ChebyshevT[2*n+1，I]；(*迈克尔·索莫斯2022年6月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（abs（n+1））-poltchebi（abs，n）），x，3）/2}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，-a（-1-n），polsym（x^2-2*x-1，2*n+1）[2*n+2]/2）}；
（PARI）{a（n）=my（w=3+四元数（32））；imag（（1+w）*w^n）}；
（PARI）对于（i=1，10000，如果（Mod（sigma（i^2+1，2），2）==1，print1（i，“，”））
（PARI）{a（n）=-I*（-1）^n*polchebyshev（2*n+1，1，I）}/*迈克尔·索莫斯2022年6月26日*/
（哈斯克尔）
a002315 n=a002315_列表！！n个
a002315_list=1:7:zipWith（-）（map（*6）（tail a002315_list））a002315_list
（岩浆）I:=[1,7]；[n le 2选择I[n]else 6*自我（n-1）-自我（n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年3月22日
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交叉参考
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参见中列出的（1/k）*sinh（（2*n+1）*arcsinh（k））类型的相似序列A097775美元.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A002878号
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| Lucas序列的二分：a（n）=L（2*n+1）。
（原名M3420 N1384）
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+10
118
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1, 4, 11, 29, 76, 199, 521, 1364, 3571, 9349, 24476, 64079, 167761, 439204, 1149851, 3010349, 7881196, 20633239, 54018521, 141422324, 370248451, 969323029, 2537720636, 6643838879, 17393796001, 45537549124, 119218851371, 312119004989, 817138163596, 2139295485799
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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F（（2n+1）*（k+1））/F（（2n+1）*k），k>=1的连分式展开式是[a（n），a（n，…，a（n）]，其中正好有k个元素（F（n）表示第n个斐波那契数）。例如，F（12）/F（9）的连分数为[4，4,4]-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月10日
所有正整数k的序列，使得连分数[k，k，k、k、k…]属于Q（sqrt（5））-托马斯·巴鲁切尔2003年9月15日
设r=（2n+1），则a（n），n>0=Product_{k=1..floor（（r-1）/2）}（1+sin^2k*Pi/r）；例如，a（3）=29=（3.4450418679…）*（4.801937735…）*-加里·亚当森2008年11月26日
a（n）等于沿主对角线具有sqrt（5）、沿上对角线和次对角线（i是虚数单位）具有sqr（5）的（2n）X（2n的）三对角线矩阵的永久值，其他地方均为0-约翰·M·坎贝尔，2011年6月9日
猜想：对于n>0，a（n）=sqrt（斐波那契（4*n+3）+Sum_{k=2..2*n}斐波那奇（2*k））-亚历克斯·拉图什尼亚克2012年5月6日
皮萨诺周期长度：1、3、4、3、2、12、8、6、12、6、5、12、14、24、4、12、18、12、9、6-R.J.马塔尔2012年8月10日
满足x^2+y^2=3xy+5的解（x，y）=（a（n），a（n+1））-米歇尔·拉格诺2014年2月1日
猜想：除了数字3之外，a（n）是这样的数字：a（n，^2+2是卢卡斯数-米歇尔·拉格诺2014年7月22日
对上述猜想的评论：很明显，由于瓦伊达的恒等式（17c），所有a（n）满足a（n，^2+2=L（2*（2*n+1）），p.177:L（2*n）+2*（-1）^n=L（n）^2（取n->2*n+1）-沃尔夫迪特·朗2014年10月10日
极限{n->oo}a（n+1）/a（n）=phi^2=phi+1=（3+sqrt（5））/2-德里克·奥尔2015年6月18日
如果d[k]表示该序列的第k个差分序列，则d[0]（0），d[1]（1），d[2]（2），d[3]（3）=A048876号，参见P.Curtz于2016年3月2日向SeqFan列表发送的消息-M.F.哈斯勒2016年3月3日
将2个空间三角形化（双曲线），使每个顶点周围正好有7个三角形相接触。将任何具有公共顶点的7个三角形称为第一层，并让（n+1）-st层是所有不出现在前n个层中且与第n层有公共顶点的三角形。那么第n层包含7*a（n-1）个三角形。例如，第一层（根据定义）包含7个三角形，第二层（围绕第一层的三角形的“环”）包含28个三角形，而第三层（下一个“环”由77个三角形组成，依此类推-尼古拉斯·内格尔2022年8月13日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
史蒂文·瓦伊达（Steven Vajda），斐波那契（Fibonacci）和卢卡斯（Lucas）数字和黄金分割，埃利斯·霍伍德（Ellis Horwood）有限公司，奇切斯特（Chichester），1989年。
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链接
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马可·阿布拉特、斯特凡诺·巴贝罗、翁贝托·塞鲁蒂和纳迪尔·穆鲁，二次曲线上的多项式序列《整数》，第15卷，2015年，#A38。
哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图和拉兹洛·内梅特，椭圆链及其相关序列，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.8.5条。
L.Carlitz，问题B-110《基本问题和解决方案》，《斐波纳契季刊》，第5卷，第1期（1967年），第108页；无穷级数等式《提案人对问题B-110的解决方案》，同上，第5卷，第5期（1967年），第469-470页。
Murray Elder和Arkadius Kalka，刚性Garside群的对数空间计算，arXiv预打印arXiv:1310.0933[math.GR]，2013年。
Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。见第13节。
AndréGougenheim，关于整数的线性序列，使得每个项都是前面两个项的和第1部分 第2部分，光纤。夸脱。，第9卷，第3期（1971年），第277-295页，第298页。
Seong Ju Kim、Ryan Stees和Laura Taalman，螺旋结行列式序列《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.1.4条。
D.H.Lehmer，某些除数函数的递推公式，公牛。阿默尔。数学。Soc.，第49卷，第2期（1943年），第150-156页。
瑞恩·斯蒂斯，螺旋结行列式序列《高级荣誉项目》，论文84，詹姆斯·麦迪逊大学，2016年5月。
H.C.Williams和R.K.Guy，一些四阶线性可分序列《国际数论杂志》，第7卷，第5期（2011年），第1255-1277页。
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配方奶粉
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a（n+1）=3*a（n）-a（n-1）。
G.f.：（1+x）/（1-3*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=S（2*n，sqrt（5））=S（n，3）+S（n-1，3）；S（n，x）:=U（n，x/2），第二类切比雪夫多项式，A049310型.S（n，3）=A001906号（n+1）（均匀诱导斐波那契数）。
a（n）~φ^（2*n+1）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则（-1）^n*q（n，-1）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}（-5）^k*二项式（n+k，n-k）-贝诺伊特·克洛伊特2004年5月9日
a（n）=斐波那契（2n）+斐波那奇（2n+2）。（结束）
序列列出了sinh（（2*n-1）*psi）的分子，其中分母为2；psi=对数（（1+sqrt（5））/2）。偏移量1。a（3）=11.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年3月25日
a（n）=lim_{m->无穷大}斐波那契（m）^（4n+1）*斐波那契（m+2*n+1）/Sum_{k=0..m}斐波那契（k）^（4n+2）-亚尔钦·阿克塔尔2014年9月2日
充气序列（b（n））n>=1=[1,0,4,0,11,0,29,0，…]是一个四阶线性可除序列；也就是说，如果n｜m，那么b（n）｜b（m）。这是Williams和Guy发现的可除序列的3参数族的P1=0、P2=-1、Q=-1的情况。
b（n）=（1/2）*（（-1）^n-1）*F（n）+（1+（-1））^（n-1））*F。o.g.f.是x*（1+x^2）/（1-3*x^2+x^4）。
经验（和{n>=1}2*b（n）*x^n/n）=1+和{n>=1}2*F（n）*x^n。
经验（和{n>=1}（-2）*b（n）*x^n/n）=1+和{n>=1}2*F（n）*（-x）^n。
Exp（Sum_{n>=1}4*b（n）*x^n/n）=1+总和{n>=1}4*A029907号（n） *x ^n个。
对于n>1，a（n）=5*F（2*n-1）+L（2*n-3）和F（n）=A000045号（n） ●●●●-J.M.贝戈2015年10月25日
对于n>0，a（n）=L（n-1）*L（n+2）+4*（-1）^n-J.M.贝戈2015年10月25日
对于n>2，a（n）=a（n-2）+F（n+2）^2+F（n-3）^2=L（2*n-3）+F-J.M.贝戈，2016年2月5日和2016年2月7日
例如：（（sqrt（5）-5）*exp（（3平方码（5））*x/2）+（5+平方码（6））*exp（3+平方码-伊利亚·古特科夫斯基2016年4月24日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^楼层（k/2）*二项式（n-楼层（（k+1）/2），楼层（k/3））*3^（n-k）-L.埃德森·杰弗里2018年2月26日
a（n）*F（m+2n-1）=F（m+4n-2）-F（m），斐波那契数F（m）为经验观测值-丹·维兹2018年7月30日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-1-n）-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
a（n）=2*sinh（（2*n+1）*arccsch（2））-彼得·卢什尼2022年5月25日
这给出了前面加了21的序列：b（1）=b（2）=1，对于k>=3，b（k）=Sum_{j=1..k-2}（2^（k-j-1）-1）*b（j）-尼尔·格什·托伦斯基2022年10月28日（公式由Jon E.Schoenfield提供）
对于n>0，a（n）=1+1/（和{k>=1}F（k）/phi^（2*n*k+k））-迭戈·拉塔吉2023年11月8日
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例子
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G.f.=1+4*x+11*x^2+29*x^3+76*x^4+199*x^5+521*x^6+-迈克尔·索莫斯2019年1月13日
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n<=1，则
op（n+1，[1,4]）；
其他的
3*procname（n-1）-procname（n-2）；
结束条件：；
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数学
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a[n_]：=完全简化[GoldenRatio^n-黄金比率^-n]；表[a[n]，{n，1，40，2}]
a[1]=1；a[2]=4；a[n]：=a[n]=3a[n-1]-a[n-2]；数组[a，40]
表[总和[（-1）^楼层[k/2]二项式[n-楼层[（k+1）/2]，楼层[k/2]3^（n-k），{k，0，n}]，{n，0，40}](*L.埃德森·杰弗里2018年2月26日*）
a[n_]：=斐波那契[2n]+斐波那奇[2n+2]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月31日*）
a[n_]：=卢卡斯L[2n+1]；(*迈克尔·索莫斯，2019年1月13日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[卢卡斯（2*n+1）:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年4月16日
（哈斯克尔）
a002878 n=a002878_列表！！n个
a002878_list=zipWith（+）（尾部a001906_list）a001906 _ list
（PARI）a（n）=斐波那契（2*n）+斐波那奇（2*n+2）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月16日
（PARI）对于（n=1,40，q=（（1+sqrt（5））/2）^（2*n-1）；打印1（续（q）[1]，“，”）\\德里克·奥尔2015年6月18日
（PARI）Vec（（1+x）/（1-3*x+x^2）+O（x^40））\\阿尔图格·阿尔坎，2015年10月26日
（鼠尾草）[（0..40）中n的lucas_number2（2*n+1，1，-1）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月15日
（GAP）列表（[0..40]，n->Lucas（1，-1，2*n+1）[2]）#G.C.格鲁贝尔2019年7月15日
（Python）
a002878=[1,4]
对于范围（30）内的n：a002878.append（3*a002878[-1]-a002878[2]）
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交叉参考
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参考中列出的k*F（n）*F（n+1）+（-1）^n类型的类似序列A264080型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001075号
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| a（0）=1，a（1）=2，a（n）=4*a（n-1）-a（n-2）。
（原名M1769 N0700）
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+10
104
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1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, 18817, 70226, 262087, 978122, 3650401, 13623482, 50843527, 189750626, 708158977, 2642885282, 9863382151, 36810643322, 137379191137, 512706121226, 1913445293767, 7141075053842, 26650854921601, 99462344632562, 371198523608647
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Chebyshev的T（n，x）多项式在x=2时求值。
x=2^n-1是素数当且仅当x除以a（2^（n-2））。
对于序列中的所有元素x，12*x^2-12是一个正方形。Lim_｛n->无穷大｝a（n）/a（n-1）=2+sqrt（3）=（4+sqrt（12））/2，它保留了与方程“12*x^2-12是平方”的亲缘关系，其中初始“12”最终显示为平方根-格雷戈里·V·理查森2002年10月10日
a（n）是三个连续整数列表中中心值的一半，即具有整数边和面积的三角形边的长度尤金·麦克唐纳（eemcd（AT）mac.com），2003年10月19日
皮萨诺周期长度：1、2、2、4、3、2、8、4、6、6、10、4、12、8、6、8、18、6、5、12-R.J.马塔尔2012年8月10日
除第一项外，满足x^2-4*x*y+y^2+3=0的x（或y）的正值-科林·巴克2014年2月4日
除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-14*x*y+y^2+48=0-科林·巴克2014年2月10日
通过取生产矩阵M，可以构造一个具有生成序列的行和的三角形。取M的幂，提取顶行。
M（M）=
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 0, 3, 0, 0, 0, ...
2, 0, 0, 3, 0, 0, ...
2, 0, 0, 0, 3, 0, ...
2, 0, 0, 0, 0, 3, ...
...
由M生成的三角形为：
1,
1, 1,
3, 1, 3,
11, 3, 3, 9,
41, 11, 9, 9, 27,
...
均匀诱导项是奇数，而奇数诱导项是偶数。事实上，a（2*n）=2*（a（n））^2-1和a（2*n+1）=2*a（n）*a（n+1）-2-蒂芬，2016年10月11日
对于每一个n，a（0）除以a（n），a（1）除a（2n+1），a。这一点的证明可以在第76届普特南数学竞赛的第一个问题A2的解答中找到。以下是考试及其解决方案的链接-蒂芬2016年10月12日
如果任何项a（n）是质数，那么它的指数n将是2的幂。这是前两条评论中给出的结果的结果。请参见A277434型对于那些主要条款。
a（2n）==1（6模）和a（2*n+1）==2（6模组）。因此，a（n）的每个奇数素数因子将与1模6同余，因此，在A002476号.
如果n==0（mod 6），a（n）==1（mod 10）；如果n=={1，-1}（mod6），b（n）==2（mod10）。因此，a（n）最右边的数字形成了一个长度为6:1、2、7、6、7、2的重复循环。（结束）
（2+平方（3））^n=a（n）+A001353号（n） *sqrt（3），n>=0；二次数域Q中的整数（sqrt（3））-沃尔夫迪特·朗2018年2月16日
正数k，使得3*（k-1）*（k+1）是一个正方形-大卫·罗通多，2020年10月25日
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参考文献
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谢尔盖·朗（Serge Lang），《丢番图近似介绍》（Introduction to Diophantine Approximations），艾迪森·韦斯利出版社，纽约，1966年。
尤金·麦克唐纳（Eugene McDonnell），“Heron法则和整数面积三角形”，向量12.3（1996年1月），第133-142页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.-F.Teilhet，对问题2094的答复，《数学国际》，10（1903），235-238。
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链接
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G.Dresden和Y.Li，二项式系数的周期加权和，arXiv:2210.04322[math.NT]，2022。
Margherita Maria Ferrari和Norma Zagaglia Salvi，非周期合成与经典整数序列《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.8.8条。
巴勃罗·兰·埃斯特拉达（Pablo Lam Estrada）、米利亚姆·罗萨利亚·马尔多纳多·拉米雷斯（Myriam Rosalía Maldonado-Ramírez）、何塞·路易斯·洛佩斯·博尼拉（JoséLuis López-Bonilla）和福斯托·贾奎恩·萨拉特（Fausto Jarquín-Zárate），每个实二次域Q的Fibonacci和Lucas序列（Sqrt（d）），arXiv:1904.13002[math.NT]，2019年。
瓦尔乔·米尔切夫（Valcho Milchev）和茨维特琳娜·卡拉姆菲洛娃（Tsvetelina Karamfilova），网格中的Domino平铺-新的依赖性，arXiv:1707.09741[math.HO]，2017年。
F.V.Waugh和M.W.Maxfield，侧面和对角线数字，数学。Mag.，40（1967），74-83。
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x）/（1-4*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（2*x）*cosh（sqrt（3）*x）。
a（n）＝4*a（n-1）-a（n-2）＝a（-n）。
a（n）=（S（n，4）-S（n-2，4））/2=T（n，2），其中S（n、x）:=U（n，x/2），S（-1，x）:=0，S（-2，x）：=-1。U、 相应的。T、 分别是切比雪夫第二多项式。首先，善良。S（n-1，4）=A001353号（n） ，n>=0。请参见A049310型和A053120号.
a（n）=平方（1+3*A001353号（n） （参见Richardson评论，2002年10月10日）。
a（n）=（（2+sqrt（3））^n+（2-sqrt）（3）^n）/2；a（n）=天花板（1/2）*（2+平方（3））^（n））。
a（n）=cosh（n*log（2+sqrt（3）））。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k）*2^（n-2*k）*3^k-保罗·巴里2003年5月8日
a（n+2）=2*a（n+1）+3*Sum_{k>=0}a（n-k）*2^k-菲利普·德尔汉姆2004年3月3日
序列满足-3=f（a（n），a（n+1）），其中f（u，v）=u^2+v^2-4*u*v-迈克尔·索莫斯2008年9月19日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（3*k-4）/（x*（3+k-1）-2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年5月28日
a（n）=（tan（Pi/12）^n+tan（5*Pi/12，^n）/2-格雷格·德累斯顿2020年10月1日
a（n）=（1/2）^n*[x^n]（4*x+sqrt（1+12*x^2））^n。
g.f.A（x）满足A（2*x）=1+x*B'（x）/B（x），其中B（x）=1/sqrt（1-8*x+4*x^2）是A069835号.
高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p>=3以及正整数n和k。
和{n>=1}1/（a（n）-（3/2）/a（n））=1。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+（1/2）/a（n））=1/3。
和{n>=1}1/（a（n）^2-3/2）=1-1/sqrt（3）。（结束）
a（n）=二项式（2*n，n）+2*Sum_{k>0}二项式（2*n，n+2*k）*cos（k*Pi/3）-格雷格·德累斯顿2022年10月11日
2*a（n）+2^n=3*Sum_{k=-n.n}（-1）^k*二项式（2*n，n+6*k）-格雷格·德累斯顿2023年2月7日
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例子
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2^6-1=63不除以a（2^4）=708158977，因此63是复合的。2^5-1=31除以a（2^3）=18817，因此31是素数。
G.f.=1+2*x+7*x^2+26*x^3+97*x^4+362*x^5+1351*x^6+5042*x^7+。。。
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MAPLE公司
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矫形[T]（n，2）；
结束进程：
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数学
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表[天花板[（1/2）*（2+平方[3]）^n]，{n，0，24}]
线性递归[{4，-1}，{1，2}，30](*哈维·P·戴尔2015年8月22日*）
圆形@桌子[LucasL[2n，Sqrt[2]]/2，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月15日*）
a[n_]：=卢卡斯L[2*n，x]/2/。x->平方码[2]；(*迈克尔·索莫斯2022年9月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（abs（n）），x，2）}；
（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（12））^abs（n））}；
（PARI）{a（n）=polsym（1-4*x+x^2，abs（n））[1+abs（n）]/2}；
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（（1-2*x）/（1-4*x+x^2））\\G.C.格鲁贝尔，2017年12月19日
（SageMath）[lucas_number2（n，4，1）/2代表范围（0，25）内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月14日
（哈斯克尔）
a001075 n=a001075_列表！！n个
a001075_列表=
1:2:zipWith（-）（map（4*）$tail a001075_list）a001075列表
（SageMath）
定义a（n）：
Q=二次域（3，'t'）
u=Q.单位（）[0]
return（u^n）.lift（）.coeffs（）[0]#拉尔夫·斯蒂芬2014年6月19日
（岩浆）I:=[1,2]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔，2017年12月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001835号
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| a（n）=4*a（n-1）-a（n-2），其中a（0）=1，a（1）=1。
（原名M2894 N1160）
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+10
75
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1, 1, 3, 11, 41, 153, 571, 2131, 7953, 29681, 110771, 413403, 1542841, 5757961, 21489003, 80198051, 299303201, 1117014753, 4168755811, 15558008491, 58063278153, 216695104121, 808717138331, 3018173449203, 11263976658481
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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用多米诺骨牌包装3X2*（n-1）矩形的方法数量大卫·辛马斯特。
这个序列的项是八角数指数的正平方根(A046184号)-Nicholas S.Horne（nairon（AT）loa.com），1999年12月13日
给出了方程楼层（x*r*floor（x/r））==楼层（x/r*flower（x*r））的解x>0，其中r=1+sqrt（3）-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月19日
字母{0,1,2,3}中长度为n且不以0结尾的01-避免单词数。（例如，对于n=2，我们有02、03、11、12、13、21、22、23、31、32、33。）-塔尼亚·霍瓦诺娃2007年1月10日
平方（3）=2/2+2/3+2/（3*11）+2/（11*41）+2/-加里·亚当森2007年12月18日
a（n）=n×n个三对角矩阵的行列式，其中上对角线和次对角线中各有1，主对角线为（3，4，4，…）。
此外，这种矩阵的特征值的乘积：a（n）=product_{k=1..（n-1）/2）}（4+2*cos（2*k*Pi/n）。
（结束）
设M=一个三角形，每列中有均匀诱导的斐波那契数（1，3，8，21，…），最左边的列上移一行。a（n）starting（1，3，11，…）=lim_{n->infinidy}M^n，左移向量被视为序列-加里·亚当森2010年7月27日
a（n+1）是当有3种类型的1和2种其他自然数时n的组成数-米兰Janjic2010年8月13日
对于n>=2，a（n）等于（2*n-2）X（2*n-2）三对角矩阵的永久性，其中sqrt（2）沿着主对角线，1沿着上对角线和次对角线-约翰·M·坎贝尔2011年7月8日
除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-4xy+y^2+2=0-科林·巴克2014年2月4日
除第一项外，满足x^2-14xy+y^2+32=0的x（或y）的正值-科林·巴克2014年2月10日
A^n的（1,1）元素，其中A=（1,1,1；1,2,1；1,1,2）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月23日
a（n+1）是图T_n的生成树数，其中T_n是一个2Xn网格，在（1,1）和（2,1）附近有一个额外的顶点v-凯文·朗2018年5月4日
a（n）是用三种瓷砖平铺1X（n-1）条带的方法数：小等腰直角三角形（边长小1）、沿着斜边连接两个直角三角形形成的1X1正方形和大等腰直角三角（边长大2）由两个直角三角形沿着一条短腿连接而成。例如，这里有一种a（6）=571的方法，用这些类型的瓷砖铺1 X 5条：
______________
| / \ |\ /| |
|/___\|_\_/_|__|. -格雷格·德累斯顿和Arjun Datta，2023年6月30日
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参考文献
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R.C.Alperin，一类非线性递归及其线性解，Fib。问，57:4（2019），318-321。
Julio R.Bastida，线性递归序列的二次性质。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1979年），第163-166页，国会。数字。，XXIII-XIV，实用数学。，温尼伯，曼彻斯特，1979年。MR0561042（81e:10009）
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学I》，第292页。
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链接
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Krassimir T.Atanassov和Anthony G.Shannon，关于插入Fibonacci序列《数论与离散数学注释》（2020）第26卷，第3期，218-223。
史蒂夫·巴特勒、保罗·霍恩和埃里克·特雷斯勒，交叉Domino平铺，斐波纳契夸脱。48（2010），第2期，114-120。
J.B.Cosgrave和K.Dilcher，广义费马数的作用，数学。公司。，2016年上市；（见论文#10）。
J.B.Cosgrave和K.Dilcher，广义费马数的作用，数学。公司。86 (2017), 899-933.
Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。见第13节。
瓦尔乔·米尔切夫（Valcho Milchev）和茨维特琳娜·卡拉姆菲洛娃（Tsvetelina Karamfilova），网格中的Domino平铺-新的依赖性，arXiv:1707.09741[math.HO]，2017年。
詹姆·兰热尔·蒙德拉贡，波利米诺及相关家族《数学杂志》，9:3（2005），609-640。
Thotsaporn“Aek”Thanatipanonda，矩形板上多米诺瓷砖的统计，斐波纳契夸脱。57（2019），第5期，第145-153页。见第151页。
F.V.Waugh和M.W.Maxfield，侧面和对角线数字，数学。Mag.，40（1967），74-83。
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配方奶粉
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通用名称：（1-3*x）/（1-4*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（1-n）=a（n）。
a（n）=（（3+sqrt（3））^（2*n-1）+（3-sqrt-迪安·希克森2002年12月1日
a（n）=（8+a（n-1）*a（n-2））/a（n-3）-迈克尔·索莫斯2001年8月1日
a（n+1）=和{k=0..n}2^k*二项式（n+k，n-k），n>=0-伦·斯迈利2001年12月9日
极限{n->oo}a（n）/a（n-1）=2+sqrt（3）-格雷戈里·V·理查森2002年10月10日
a（n）=2*A061278号（n-1）+1，对于n>0.-布鲁斯·科里根（scentman（AT）myfamily.com），2002年11月4日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则q（n，2）=a（n+1）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
a（n+1）=和{k=0..n}（（-1）^k）*（（2*n+1）/（2*n+1-k））*二项式（2*n-1-k，k）*6^（n-k）（根据标准T（n，x）/x，n>=1，切比雪夫和公式）。Smiley和Cloitre和表示是S（2*n，i*sqrt（2））*（-1）^n Chebyshev多项式的表示-沃尔夫迪特·朗2002年11月29日
a（n）=S（n-1，4）-S（n-2，4）=T（2*n-1，sqrt（3/2））/sqrt（2/2）=S。T（n，x），分别是切比雪夫第二多项式。首先，善良。请参见A049310型和A053120号S（-1，x）=0，S（-2，x）=-1，S（n，4）=A001353号（n+1），T（-1，x）=x。
a（n+1）=平方英尺((A001834号（n） ^2+2）/3），n>=0（见Cloitre注释）。
序列满足-2=f（a（n），a（n+1）），其中f（u，v）=u^2+v^2-4*u*v-迈克尔·索莫斯2008年9月19日
如果p[1]=3，p[i]=2，（i>1），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n+1）=det a-米兰Janjic2010年4月29日
a（n）=（a（n-1）^2+2）/a（n-2）-艾琳布道2013年10月28日
例如：exp^（2*x）*（3*cosh（sqrt（3）*x）-sqrt（三）*sinh（sqrt（三）**）/3。（结束）
对于Z中的n，j，k，a（n）*a（n+j+k）-a（n+j）*a*A001353号（j）*A001353号（k） ●●●●。上面给出了j=1，k=2的情况。（结束）
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MAPLE公司
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f： =n->（（3+sqrt（3））^（2*n-1）+（3-sqrt；[seq（简化（展开（f（n））），n=0..20）]#N.J.A.斯隆2009年11月10日
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数学
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线性递归[{4，-1}，{1，1}，30](*哈维·P·戴尔2013年6月8日*）
表[（3*ChebyshevT[n，2]-ChebyshevU[n，2]）/2，{n，0，20}](*G.C.格鲁贝尔2019年12月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（12））^n*（1-1/quadgen））}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/
（PARI）{a（n）=subst（（polchebyshev（n）+polchebyshev（n-1））/3，x，2）}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/
（Sage）[lucas_number1（n，4，1）-范围（25）中n的lucas_number1（n-1，4，1）]#零入侵拉霍斯2009年4月29日
（Sage）[（3*chebyshev_T（n，2）-chebyshev_U（n，2中））/2代表（0..20）中的n]#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
（哈斯克尔）
a001835 n=a001835_列表！！n个
a001835_列表=
1:1:zipWith（-）（map（4*）$tail a001835_list）a001835列表
（岩浆）[1..25]]中[n le 2选择1其他4*自我（n-1）-自我（n-2）：n//文森佐·利班迪2016年9月16日
（间隙）a:=[1,1]；；对于[3..20]中的n，做a[n]：=4*a[n-1]-a[n-2]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A002530号
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| 当n>1时，a（n）=4*a（n-2）-a（n-4），当n=0，1时，b（n）=n。
（原名M2363 N0934）
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0, 1, 1, 3, 4, 11, 15, 41, 56, 153, 209, 571, 780, 2131, 2911, 7953, 10864, 29681, 40545, 110771, 151316, 413403, 564719, 1542841, 2107560, 5757961, 7865521, 21489003, 29354524, 80198051, 109552575, 299303201, 408855776, 1117014753, 1525870529, 4168755811
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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当n>=1时，连分式的分母收敛到sqrt（3）。
连分式的分母也收敛到sqrt（3）-1。请参见A048788号用于分子-N.J.A.斯隆2007年12月17日。收敛点为1、2/3、3/4、8/11、11/15、30/41、41/56、112/153。。。
考虑映射f（a/b）=（a+3*b）/（a+b）。从a=b=1开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到以下序列1/1、2/1、5/3、7/4、19/11。。。收敛到3^（1/2）。序列包含分母。N的相同映射，即f（a/b）=（a+Nb）/（a+b）给出了收敛到N^（1/2）的分数-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日
平方（3）=2/2+2/3+2/（3*11）+2/（11*41）+2/。。。；该级数前6项之和=1.7320490367…，而sqrt（3）=1.7320508075-加里·亚当森2007年12月15日
相关收敛（分子/分母）：
当n为偶数时，去掉左上角的3X（n-1）矩形的多米诺瓷砖数也为偶数。对于n=4，移除左上角的3 X 3矩形的4个多米诺骨牌是：
. .___. . .___. . .___. . .___.
._|___| ._|___| ._| | | ._|___|
| |___| | | | | | |_|_| |___| |
|_|___||_|_|_ ||_|___||___|_|（结束）
这是参数R=2和Q=-1的Lehmer数u_n（sqrt（R），Q）的序列。它是一个强可除序列，即所有自然数n和m的gcd（a（n），a（m））=a（gcd（n，m））-彼得·巴拉2014年4月18日
2^（-楼层（n/2））*（1+平方米（3））^n=A002531号（n） +a（n）*sqrt（3）；实二次数字段Q中的整数（sqrt（3））-沃尔夫迪特·朗2018年2月11日
设T（n）=2^（n模2），U（n）=a（n），V（n）=A002531号（n） ，x（n）=V（n）/U（n）。则T（n*m）*U（n+m）=U（n）*V（m）+U（m）*V-迈克尔·索莫斯2022年11月29日
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参考文献
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谢尔盖·朗（Serge Lang），《丢番图近似介绍》（Introduction to Diophantine Approximations），艾迪森·韦斯利出版社，纽约，1966年。
Russell Lyons，《均匀跨越树木和森林的鸟瞰图》，收录于《离散概率微观调查》，AMS，1998年。
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A.Tarn，《某些平方根的近似及其相关数字系列》，《教育时报的数学问题和解决方案》，第1期（1916年），第8-12页。
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链接
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达西·汤普森，过剩与缺陷：或多或少《心灵，新系列》，第38卷，第149号（1929年1月），第43-55页（13页）。见第48页。
海因·范·温克尔，内接于圆上的Q四边形, 2014. 见表1。【参考Antreas Hatzipolakis，2014年7月14日】
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配方奶粉
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G.f.：x*（1+x-x^2）/（1-4*x^2+x^4）。
a（n）=4*a（n-2）-a（n-4）。【LászlóSzalay于2014年2月21日更正】
对于Z中的所有n，a（n）=-（-1）^n*a（-n）将满足相同的递归关系-迈克尔·索莫斯2003年6月5日
a（2*n）=a（2xn-1）+a。
a（2*n）=（（2+sqrt（3））^n-（2-sqrt。
a（2*n-1）=天花板（（1+1/sqrt（3））/2*（2+sqrt（三））^n）=。
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）*2^floor（（n-2*k）/2）-保罗·巴里2004年7月13日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（floor（n/2）+k，floor（n-1）/2-k））*2^k-保罗·巴里2005年6月22日
G.f.：（sqrt（6）+sqert（3））/12*Q（0），其中Q（k）=1-a/（1+1/（b^（2*k）-1-b^））-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月21日
a（n）=（alpha^n-beta^n）/（alpha-beta）表示n奇数，a（n）=（alpha^n-beta^n）/（alpha ^2-beta^2）表示n偶数，其中alpha=1/2*（sqrt（2）+sqrt。囊性纤维变性。A108412号. -彼得·巴拉2014年4月18日
a（n）=（-sqrt（2）*i）^n*S（n，sqrt（2*i）*2^（-楼层（n/2））=A002605号（n） *2^（-楼层（n/2）），n>=0，i=sqrt（-1），S为切比雪夫多项式(A049310型). -沃尔夫迪特·朗2018年2月10日
例如：sinh（平方（3/2）*x）*（sinh（x/sqrt（2））+平方（2）*cosh（x/squart（2-斯特凡诺·斯佩齐亚2020年2月7日
a（n）=（（1+平方英尺（3））^n-（1-平方英尺（3））^n）/（2*2^楼层（n/2））/sqrt（3）=A002605号（n） /2^楼层（n/2）-罗伯特·费雷奥2023年4月13日
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例子
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sqrt（3）的收敛点为：1，2，5/3，7/4，19/11，26/15，71/41，97/56，265/153，362/209，989/571，1351/780，3691/2131=A002531号/A002530号对于n>=1。
1+1/（1+1/（2+1/（1+1/2）））=19/11，因此a（5）=11。
G.f.=x+x ^2+3*x ^3+4*x ^4+11*x ^5+15*x ^6+41*x ^7+-迈克尔·索莫斯2022年3月18日
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MAPLE公司
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a:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则0 elif n=1，然后1 elif n=2，然后1elif n=3，然后3，否则4*a（n-2）-a（n-4）fi结束；[序列（a（i），i=0..50）]；
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数学
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连接[{0}，表[Denominator[FromContinuedFraction[Continued Fraction[Sqrt[3]，n]]，{n，1，50}]](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月1日*）
联接[{0}，分母[Convergents[Sqrt[3]，50]]（*或*）LinearRecurrence[{0，4，0，-1}，{0，1，3}，50](*哈维·P·戴尔，2013年1月29日*）
a[n_]：=如果[n<0，-（-1）^n，1]级数系数[x*（1+x-x^2）/（1-4*x^2+x^4），{x，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2019年4月18日*）
a[n_]：=ChebyshevU[n-1，Sqrt[-1/2]]*Sqrt[2]^（Mod[n，2]-1）/I^（n-1）//简化；(*迈克尔·索莫斯2022年11月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，-（-1）^n*a（-n），contfracpnqn（向量（n，i，1+（i>1）*（i%2）））[2，1]）}/*迈克尔·索莫斯2003年6月5日*/
（PARI）{默认（realprecision，2000）；对于（n=0，50，a=contfracpnqn（向量（n，i，1+（i>1）*（i%2）））[2，1]；写入（“b002530.txt”，n，“”，a）；）；}\\哈里·史密斯2009年6月1日
（PARI）适用（{A002530号（n，w=四元数（12））=实（（2+w）^（n\/2）*if（比特数（n，0），1-w/3，w/3））}，[0..30]）\\M.F.哈斯勒2019年11月4日
（岩浆）I:=[0,1,1,3]；[n le 4选择I[n]else 4*Self（n-2）-Self（n-4）:n in[1..50]]//G.C.格鲁贝尔2019年2月25日
（鼠尾草）（x*（1+x-x^2）/（1-4*x^2+x^4））系列（x，50）系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年2月25日
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义a（n）：如果n<4，则返回[0，1，3][n]，否则返回4*a（n-2）-a（n-4）
打印（[a（n）代表范围（36）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年11月13日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,压裂,核心,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A126473号
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| 5个符号字母表上相邻符号相差三个或更少的字符串数。 |
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+10
58
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1, 5, 23, 107, 497, 2309, 10727, 49835, 231521, 1075589, 4996919, 23214443, 107848529, 501037445, 2327695367, 10813893803, 50238661313, 233396326661, 1084301290583, 5037394142315, 23402480441009, 108722104190981, 505095858086951, 2346549744920747
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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[经验]a（基数，n）=a（基数-1，n）+7^（n-1），对于基数>=3n-2；当基数=3n-3时，a（基数，n）=a（基数-1，n）+7^（n-1）-2。
a（n）表示在3X3棋盘上从给定边线（m=2、4、6或8）开始的仙女棋子的n步路线数。这个仙女棋子在八边和四角方格上表现得像一个国王，但在中央方格上，国王发疯了，变成了一个红色的国王，看A179596号.
对于边线方块，512个红国王导致47个不同的红国王序列，请参阅交叉参考以获取一些示例。
上述序列对应于四个A[5]矢量，其十进制[二进制]值为367[1,0,1,0,1,1,1,1]、463[1,1,1,0,0,11,1]、487[1,1,1,1,0-0,1,1]和493[1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1]。这些向量引导角方格A179596号中心广场A179597号.
（结束）
从{E，W，n，NE，NW}开始单边n步行走的次数-山珍高2011年5月10日
对于n>=1，a（n）等于字母{0,1,2,3,4}中长度为n-1的单词的数量，其中不包含子单词00和11-米兰Janjic2015年1月31日
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链接
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配方奶粉
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通用名称：（1+x）/（1-4*x-3*x^2）。
a（n）=4*a（n-1）+3*a（n-2），a（0）=1，a（1）=5。
a（n）=（（1+3/sqrt（7））/2）*（a）^。
（结束）
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MAPLE公司
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带（线性代数）：nmax:=19；m： =2；A[5]：=[1，0，1，1，0，1,1，1，0，1，0]，[0，0，0，1,1，1，0，1]，[0,0，0，k=1..9）：od：序列（a（n），n=0..nmax）#约翰内斯·梅耶尔，2010年8月1日
#第二个Maple项目：
a： =n->（M->M[1,2]+M[2,2]）（<<0|1>，<3|4>>^n）：
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黄体脂酮素
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（S/R）stvar$[N]：（0..M-1）init$[]：=0 asgn$[]->{*}kill+[i in 0..N-2]（（$[i]`-$[i+1]`>3）+（$[i+1]`-$[i]`>3）
（PARI）a（n）=（[0，1；3，4]^n*[1；5]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年5月10日
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交叉参考
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参考红色国王序列边线[数值A[5]]：A086347美元[495],179598英镑[239],A126473号[367],A123347号[335],A179602型[95],154964英镑[31],A015448号[327],A152187号[27],A003947号[325],A108981号[11],A007483号[2]. -约翰内斯·梅耶尔，2010年8月1日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1999年10月19日
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| 按行读取的三角形，0<=k<=n:T（n，k）=二项式（n-[（k+1）/2]，[k/2]）*（-1）^[（k+1）/2]。 |
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+10
57
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1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -2, 1, 1, -1, -3, 2, 1, 1, -1, -4, 3, 3, -1, 1, -1, -5, 4, 6, -3, -1, 1, -1, -6, 5, 10, -6, -4, 1, 1, -1, -7, 6, 15, -10, -10, 4, 1, 1, -1, -8, 7, 21, -15, -20, 10, 5, -1, 1, -1, -9, 8, 28, -21, -35, 20, 15, -5, -1, 1, -1, -10, 9, 36, -28, -56, 35, 35, -15, -6, 1, 1, -1, -11, 10, 45, -36, -84, 56, 70
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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设L（n，x）=和{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）和Pi=3.14…：
L（n，x）=产品{k=1..n}（x-2*cos（（2*k-1）*Pi/（2*n+1）））；
T（2*n，k）+T（2*n+1，k+1）=0，对于0<=k<=2*n；
当n>1时，T（n，2）=-（n-1）；T（n，3）=A000027号（n） =n，对于n>2；
T（n，n-3）=A058187号n>2时，（n-3）*（-1）^楼层（n/2）；
T（n，n-2）=A008805号对于n>1，（n-2）*（-1）^楼层（（n+1）/2）；
T（n，n-1）=A008619号n>0时，（n-1）*（-1）^楼层（n/2）；
T（n，n）=L（n，0）=（-1）^楼层（（n+1）/2）；
猜想：设N=2*N+1，其中N>2。然后T（n，k）（0<=k<=n
G_N=A_｛N，1｝=
(0 1 0 ... 0)
(1 0 1 0 ... 0)
(0 1 0 1 0 ... 0)
...
(0 ... 0 1 0 1)
(0 ... 0 1 1),
溶液phi_j=2*cos（（2*j-1）*Pi/N），j=1,2，。。。，例如对于n＝3，
G_7=A_{7,1}=
(0 1 0)
(1 0 1)
(0 1 1).
我们有{T（3，k）}=（1，-1，-2,1），而G_7的特征函数是p（x）=x^3-x^2-2*x+1=0，解phi_j=2*cos（（2*j-1）*Pi/7），j=1,2,3。（结束）
多项式的根是混沌的，使用迭代运算（x^2-2），循环长度L和初始种子返回到相同的项或（-1）*种子。周期周期长度L如所示A003558元这样，对于由第r行表示的多项式，循环长度L为A003558元（r-1）。与作为特征多项式的行对应的矩阵同样是混沌的[cf.Kappraff et al.，2005]，具有相同的周期长度，但用2*I替换（x^2-2）中的“2”，其中I=恒等矩阵。例如，x^3-x^2-2x+1=0的根是1.801937…，-1.246979。。。，和0.445041…以1.801937…为初始种子，利用（x^2-2），我们得到了8.801937..->1.246979…->-0.445041…的三周期轨道（返回到-1.801937¡）。我们注意到A003558元(2) = 3. 相应的矩阵M为：[0,1,0；1,0,1；0,1,1，]。使用种子M和（x^2-2*I），我们得到了循环在（-1）*M完成的3周期-加里·亚当森2012年2月7日
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参考文献
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弗里德里希·鲍尔（Friedrich L.Bauer），《拉格朗日与莫伊夫尔：理性的Cosinus eines》（De Moivre und Lagrange:Cosinus eines rationalen Vielfachen von Pi），《信息演讲》28（Springer，2005）。
Jay Kappraff、S.Jablan、G.Adamson和R.Sazdonovich：“金域、广义Fibonacci序列和混沌矩阵”；FORMA，第19卷，第4期，（2005年）。
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链接
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亨利·古尔德，帕斯卡三角形的变体,更正《斐波纳契季刊》，第3卷，第4期，1965年12月，第257-271页。
Frank Ruskey和Carla Savage，集合分区和限制增长尾部的格雷码《澳大利亚组合数学杂志》，第10卷（1994年），第85-96页。见第95页的表1。
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（n-floor（（k+1）/2），floor（k/2））*（-1）^ floor（（k+1）/2）。
T（n+1，k）=如果符号（T（n，k-1））=符号（T，k）），则T（n、k-1）+T（n和k）其他-T（n，k-1）表示0<k<n，T（n）=1，T（n，n）=（-1）^楼层（（n+1）/2）。
通用公式：A（x，y）=（1-x*y）/（1-x+x^2*y^2）-保罗·D·汉纳2005年6月12日
第n>=0行的生成多项式（z）为（u^（2*n+1）+v^（2*n+1））/（u+v），其中u和v由u^2+v^2=1和u*v=z定义-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
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例子
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三角形开始：
1;
1, -1;
1, -1, -1;
1, -1, -2, 1;
1, -1, -3, 2, 1;
1, -1, -4, 3, 3, -1;
1, -1, -5, 4, 6, -3, -1;
1, -1, -6, 5, 10, -6, -4, 1;
1, -1, -7, 6, 15, -10, -10, 4, 1;
1, -1, -8, 7, 21, -15, -20, 10, 5, -1;
1, -1, -9, 8, 28, -21, -35, 20, 15, -5, -1;
1, -1, -10, 9, 36, -28, -56, 35, 35, -15, -6, 1;
...
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MAPLE公司
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数学
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t[n_，k_？EvenQ]：=I^k*二项式[n-k/2，k/2]；t[n_，k_？奇数Q]：=-I^（k-1）*二项式[n+（1-k）/2-1，（k-1）/2]；表[t[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年5月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（polceof（（1-x*y）/（1-x+x^2*y^2+x^2*O（x^n）），n，x）+y*O（y^k），k，y）}（汉纳）
（哈斯克尔）
a108299 n k=a108299_tabl！！n！！k个
a108299_row n=a108299-tabl！！n个
a108299_tabl=[1]：迭代（\row->
zipWith（+）（zipWise（*）（[0]++行）a033999_list）
（zipWith（*）（行++[0]）a059841_list））[1，-1]
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A026150型
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| a（0）=a（1）=1；a（n+2）=2*a（n+1）+2*a（n）。 |
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+10
54
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1, 1, 4, 10, 28, 76, 208, 568, 1552, 4240, 11584, 31648, 86464, 236224, 645376, 1763200, 4817152, 13160704, 35955712, 98232832, 268377088, 733219840, 2003193856, 5472827392, 14952042496, 40849739776
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n+1）/A002605号（n） 收敛到sqrt（3）马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年4月22日
a（n+1）/a（n）收敛到1+sqrt（3）=2.732050807568877293-菲利普·德尔汉姆2005年7月3日
可以通过以下过程获得相同的序列。从分数1/1开始，根据规则构建分数的分子：将顶部和底部相加得到新的底部，将顶部和3倍底部相加获得新的顶部。分数序列的极限是sqrt（3）-西诺·希利亚德2005年9月25日
从（1，4，10，28，76，…）开始，序列是[1，3，3，9，9，27，27，81，81，…]的二项式变换和A001834号: (1, 5, 19, 71, 265, ...). -加里·亚当森2007年11月30日
a（n）是当有1类1和3类其他自然数时n的组成数-米兰Janjic2010年8月13日
大象序列，参见175655英镑。对于中心方形，四个A[5]矢量，十进制值为85、277、337和340，导致此序列（没有第一个前导1）。对于角正方形，这些向量将导致相应的序列A002605号（不带前导0）-约翰内斯·梅耶尔2010年8月15日
皮萨诺周期长度：1,1,1,24,1,48,1,3,24,10,12,12,48,24,11443180,24-R.J.马塔尔2012年8月10日
（1+平方（3））^n=a（n）+A002605号（n） *sqrt（3），对于n>=0；实二次数字段Q中的整数（sqrt（3））-沃尔夫迪特·朗2018年2月10日
a（n）也是具有大小为n的主偏好列表的循环三维稳定匹配实例的解决方案数（Escamocher和O'Sullivan 2018）-纪尧姆·埃斯卡莫彻，2018年6月15日
避免模式的n个元素的3次重叠数231312。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月19日
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参考文献
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约翰·德比希尔（John Derbyshire），《Prime Obsession》，约瑟夫·亨利出版社，2004年4月，见第16页。
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链接
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Martin Burtscher、Igor Szczyrba、RafałSzczerba、，n-anacci常数的解析表示及其推广《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.4.5条。
尼古拉斯·博尼肯（Nicolas Bonichon）和皮埃尔·让·莫雷尔（Pierre-Jean Morel），Baxter d-置换和其他模式避免类，arXiv:22022.12677[math.CO]，2022。
A.Burstein、S.Kitaev和T.Mansour，某些（几乎）正则图类中的独立集，arXiv:math/0310379[math.CO]，2003年。
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配方奶粉
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a（n）=（1/2）*（（1+sqrt（3））^n+（1-sqrt）（3）^n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月28日
通用名称：（1-x）/（1-2*x-2*x^2）。
a（n）=a（n-1）+A083337号（n-1）。A083337号（n） /a（n）收敛到sqrt（3）马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年4月29日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，2k）*3^k；
例如：exp（x）*cosh（sqrt（3）x）。（结束）
如果p[1]=1，p[i]=3，（i>1），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），以及A[i和j]=0，否则。然后，对于n>=1，a（n）=det a-米兰Janjic2010年4月29日
a（n）=圆形（（1+sqrt（3））^n/2），对于n>0-布鲁诺·贝塞利，2013年2月4日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（3*k-1）/（x*（3+k+2）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月25日
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+10*x^3+28*x^4+76*x^5+208*x^6+568*x^7+。。。
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MAPLE公司
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使用（combstruct）：ZL0:=S=Prod（序列（Prod（a，序列（b））），a）：ZL1:=Prod 2，ZL2），b=ZL1]，ZL0），begin_blockP=Epsilon，end_blockP=Epsilon，begin_blockLR=Epsilion，end_block LR=Epseilon，begin_block RL=Epsillon，end_ blockRL=Epselon，mu_length=Epsylon:temp15:=绘制（[S，{Q}，未标记]，大小=15）：序列（计数（[S、{Q}，未标记），大小=n）/3，n=2.27）#零入侵拉霍斯2008年3月8日
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数学
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展开[表[（（1+Sqrt[3]）^n+（1-Sqrt[3]）^n）/（2），{n，0，30}]](*阿图尔·贾辛斯基2006年12月10日*）
线性递归[{2，2}，{1，1}，30](*T.D.诺伊2011年3月25日*）
圆形@桌子[LucasL[n，Sqrt[2]]2^（n/2-1），{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，real（（1+quadgen（12））^n））}；
（Sage）来自Sage.combinat.sloane_functions import recur_gen2；它=复发基因2（1，1，2，2）；[接下来（it）表示范围（30）内的i]#零入侵拉霍斯，2008年6月25日
（鼠尾草）[lucas_number2（n，2，-2）/2代表范围（0，26）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月30日
（哈斯克尔）
a026150 n=a026150_列表！！n个
a026150_list=1:1:map（*2）（zipWith（+）a026150列表（tail
a026150_list））
（极大值）a（n）：=如果n<=1，则1其他2*a（n-1）+2*a（n-2）；
（Magma）[n le 2 select 1 else 2*Self（n-1）+2*Self（n-2）:n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2018年1月7日
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交叉参考
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以下序列（和其他序列）属于同一家族：A001333号,A000129号,A026150型,A002605号,A046717号,A015518号,A084057号,A063727号,A002533号,A002532号,A083098号,A083099号,A083100型,A015519号.
囊性纤维变性。A001075号,A001834号,A083337号,A002605号,A143908号,A028859号,A030195号,A106435号,A108898号,A125145号,A053120号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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