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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A001906号 F(2n)=斐波那契数列的二分:a(n)=3*a(n-1)-a(n-2)。
(原名M2741 N1101)
424
0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, 2178309, 5702887, 14930352, 39088169, 102334155, 267914296, 701408733, 1836311903, 4807526976, 12586269025, 32951280099, 86267571272, 225851433717, 591286729879, 1548008755920 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
除初始期限外,与A088305型.
数组的第二列A102310号和,共A028412号.
数字k使得5*k^2+4是一个正方形-格雷戈里·理查德森2002年10月13日
除了初始项,还有Pisot序列E(3,8)、P(3,8)、T(3,8)。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
的二项式变换A000045号. -保罗·巴里2003年4月11日
路径图P_4中长度为2n+1的从一端到另一端的行走次数。示例:a(2)=3,因为在路径ABABCD、ABCBCD和ABCDCD中-Emeric Deutsch公司2004年4月2日
第六项为平方的二阶递推的最简单示例。
数量(0),s(1)。。。,s(2n)),使得0<s(i)<5和|s(i,i)-s(i-1)|=1,对于i=1,2,。。。,2n,s(0)=1,s(2n)=3-Lekraj Beedassy公司2004年6月11日
a(n)(对于n>0)是不能通过对前面的项中选择的最多n个值求和来创建的最小正整数(允许重复)-安德鲁·魏姆霍特2004年7月20日
Pell方程b(n)^2-5*a(n)*2=+4的所有非负整数解=A005248号(n) ,n>=0-沃尔夫迪特·朗,2004年8月31日
a(n+1)是3^n的切比雪夫变换(A000244号),其中带有g.f.g(x)的序列被发送到带有g.f.(1/(1+x^2))g(x/(1+x2))的序列-保罗·巴里2004年10月25日
a(n)是矩阵a、B、C在(a+B+C)^n中的不同乘积的个数,其中换向器[a,B]=0,但C不与a或B交换-保罗·D·汉纳马克斯·阿列克塞耶夫2006年2月1日
精确到k-1的二进制字数严格递增。例如:a(3)=F(6)=8,因为我们有0|0,1|0,1|1,0|01,01|0,1| 01,01|1和01|01。列总和A119900个. -Emeric Deutsch公司2006年7月23日
见Lukovits和Janezic论文第411页的表1-Parthasarathy楠比,2006年8月22日
反向:φ=(sqrt(5)+1)/2,log_phi((sqert(5)a(n)+sqrt
[1,3,8,21,55144,…]是[1,1,4,17,753391558,…]的Hankel变换(参见A026378号). -菲利普·德尔汉姆2007年4月13日
丢番图方程a(n)=m有解(对于m>=1)当且仅当floor(arcsinh(sqrt(5)*m/2)/log(phi))<>floor(arccosh(squart(5。等效条件是A130259号(米)=A130260型(m) ●●●●-Hieronymus Fischer公司2007年5月25日
a(n+1)=AB^(n)(1),n>=0,含Wythoff互补a(n)的成分:=A000201号(n) 和B(n)=A001950号(n) 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817年用于数字的Wythoff表示(A为1,B为0,参数1省略)。例如,1=`1`,3=`10`,8=`100`,21=`1000`。。。,Wythoff代码。
等于三角形的行和A140069型,A140736号A140737号. -加里·亚当森,2008年5月25日
a(n)也是宽度n(宽度(α)=最大(Im(α)))的幂等序保留部分变换(n元素链的)的数目。等价地,它是(n元素链的)保全变换的幂等序数-阿卜杜拉希·乌马尔2008年9月8日
a(n)是大小为(n-1)的0、1和2的字符串可以在没有12对的情况下排列的方式数-乌迪塔·卡图加姆波拉2008年9月24日
从偏移量1开始=三角形的行和A175011号. -加里·亚当森2010年4月3日
分数:1/71=0.01408450…或1/9701=0.000103021-马克·多尔斯2010年5月18日
n的成分中元素的乘积之和(例如n=3:成分为1+1+1、1+2、2+1和3;a(3)=1*1*1+1+1*2+2*1+3=8)Dylon Hamilton,2010年6月20日,杰弗里·克雷策,乔格·阿恩特2010年12月6日
a(n)涉及边数为偶数的正多边形,使得Product_{k=1..(n-2)/2}(1+4*cos^2k*Pi/n)=偶数诱导斐波那契数,a(n。作为乘积的常数=三角形均匀诱导行的根A152063号例如:a(5)=55满足与10-gon相关的乘积公式-加里·亚当森2010年8月15日
或者,根与x^4-12x^3+51x^2-90x+55的乘积,(三角形的第10行A152063号) = (4.618...)*(3.618...)*(2.381...)*(1.381...) = 55. -加里·亚当森2010年8月15日
a(n)是当存在i个不同类型的i时,n的广义组成数,(i=1,2,…)-米兰Janjic2010年8月26日
以“1”开头=三角形的行和A180339号,和三角形的特征序列A137710号. -加里·亚当森,2010年8月28日
a(2)=3是唯一的素数。
秩为n>0且每个秩级正好有2个元素大于0的非同构分级偏序集和一致哈斯图的个数。(均匀用于Retakh、Serconek和Wilson的意义。分级用于Stanley的意义,即每个最大链都有相同的长度n。)-大卫·纳辛2012年2月13日
皮萨诺周期长度:1、3、4、3、10、12、8、6、12、30、5、12、14、24、20、12、18、12、9、30-R.J.马塔尔2012年8月10日
满足x^2+y^2=3xy+1的解(x,y)=(a(n),a(n+1))-米歇尔·拉格诺2014年2月1日
当n>=1时,a(n)等于字母{0,1,2}中长度为n-1的01-避免单词的数量-米兰Janjic2015年1月25日
当a(0)=0时,对于n>1,a(n)是序列中尚未出现的最小数,因此a(n)^2-a(n-1)^2是斐波那契数-德里克·奥尔2015年6月8日
设T是由这些规则生成的树:0位于T中,如果p位于T中则p+1位于T中且x*p位于T且y*p位于T中。第n代T由A001906号(n) 多项式,对于n>=0-克拉克·金伯利2015年11月24日
对于n>0,a(n)=四边形的最大面积,其边的长度顺序为F(n)、F(n=A000032号(n) ●●●●-J.M.贝戈2016年1月20日
a(n)=顶点位于(L(n+1),L(n+2)),(F(n+1=A000032号(n) ●●●●-J.M.贝戈2016年4月20日
除了初始的0之外,这是p(S)=1-S-S^2的(1,1,1,1,1,…)的p-逆;看见A291000型. -克拉克·金伯利2017年8月24日
a(n+1)是图T_n的生成树数,其中T_n是n个三角形的序列,其中相邻三角形共享一条边-凯文·朗2018年5月7日
a(n)是划分[n]的方法的数目,使得每个块都是一系列连续的数字,并且每个块都有一个固定点,例如,对于n=3,12 |3用1和3作为固定点是有效的,但13 |2是无效的,因为1和3不形成一个序列。因此,a(n)还计算给定图的生成树,方法是选择一条具有n个顶点的路径,并在所有顶点附近添加另一个顶点-凯文·朗2018年5月11日
发件人沃尔夫迪特·朗2018年5月31日:(开始)
上述评论可以解释如下。a(n)是数组的行和A305309对于n>=1。阵列A305309(n,k)给出了[n]:={1,2,…,n}与A048996号(n,k)连续数块,对应于从Abramowitz-Stegun阶n的第k次分区中获得的成分。请参阅上的注释和示例A305309型.
{a(n)}还给出了k*|k*phi|<1/sqrt(5)的非负数k的无限序列,其中无理数phi=A001622号(黄金分割),而x是x与最接近整数之差的绝对值。例如,见哈维尔参考文献,第171-172页。(结束)
这个切比雪夫序列a(n)=S(n-1,3)(见下面的公式)与输入F(a,b;0)=a和F(a、b;1)=b的斐波那契序列{F(a;b;n)}_{n>=0}的二分有关,通过F(a),b;2*k)=(a+b)*S(k-1,3,对于k>=0,并且S(-2,3)=-1。通过o.g.f.s GF偶(a,b,t)=(a-t*(2*a-b))/(1-3*t+t^2)和GFodd(a,b,t)=(b+t*(a-b)的)/(1-3*t+t ^2)进行证明。特殊情况a=0,b=1返回F(2*k)=S(k-1,3)=a(k)-沃尔夫迪特·朗2019年6月7日
a(n)是两个n X 1矩形在一个公共端点正方形处正交连接的平铺数(从而使2n-1正方形呈直角V形),只有1 X 1和2 X 1平铺。这是F(2n)=F(n+1)*F(n)+F(n”*F(n-1)的结果-纳撒尼尔·格雷格,2021年10月10日
这些是黄金比率tau的上收敛的分母;它们也是下收敛的分子(即1/1<3/2<8/5<21/13<…<tau<…13/8<5/3<2/1)-克拉克·金伯利2022年1月2日
参考文献
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常系数线性递归的索引项,签名(3,-1)。
配方奶粉
G.f.:x/(1-3*x+x^2)-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=3*a(n-1)-a(n-2)=A000045号(2*n)。
a(n)=-a(-n)。
a(n)=A060921型(n-1,0),n>=1。
a(n)=平方米((A005248号(n) ^2-4)/5)。
a(n)=A007598元(n)-A007598号(n-2),n>1。
a(n)=(ap^n-am^n)/(ap-am),其中ap:=(3+sqrt(5))/2,am:=(3-sqrt))/2。
自然数的逆变换:a(n)=Sum_{k=1..n}k*a(n-k),a(0)=1-弗拉德塔·乔沃维奇2001年4月27日
a(n)=S(n-1,3),S(n,x)=U(n,x/2)第二类切比雪夫多项式,见A049310型.
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*F(k)-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月3日
极限{n->infinity}a(n)/a(n-1)=1+φ=(3+sqrt(5))/2。此序列包括以下所有元素A033888美元A033890美元.
a(0)=0,a(1)=1,a(2)=3,a(n)*a(n-2)+1=a(n-1)^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年12月6日
a(n)=n+Sum_{k=0..n-1}和{i=0..k}a(i)=n+A054452号(n) ●●●●-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月26日
a(n)=和{k=1..n}二项式(n+k-1,n-k)-弗拉德塔·乔沃维奇2003年3月23日
例如:(2/sqrt(5))*exp(3*x/2)*sinh(sqrt-保罗·巴里2003年4月11日
由T(i,1)=T(1,j)=1定义的数组的第二对角线,T(i、j)=Max(T(i-1,j;T(i-1,j-1)+T(i,j-1-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月5日
a(n)=F(n)*L(n)=A000045号(n)*A000032号(n) ●●●●-Lekraj Beedassy公司2003年11月17日
F(2n+2)=1、3、8。。。是F(n+2)的二项式变换-保罗·巴里2004年4月24日
的部分总和2015年5月19日(n) ●●●●-Lekraj Beedassy公司2004年6月11日
a(n)=Sum_{i=0..n-1}二项式(2*n-1-i,i)*5^(n-i-1)*(-1)^i-Mario Catalani(Mario.Catalani(AT)unito.it),2004年7月23日
a(n)=Sum_{k=0..n}二项式(n+k,n-k-1)=Sum _{k=0..n}二项式(n=k,2k+1)。
a(n+1)=和{k=0..floor(n/2)}二项式(n-k,k)*(-1)^k*3^(n-2*k)-保罗·巴里2004年10月25日
a(n)=(n*L(n)-F(n))/5=和{k=0..n-1}(-1)^n*L。
序列的第i项是2X2矩阵M=((1,1),(1,2))的第i次幂中的项(1,2)-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
计算表明,该序列是A005807号{a(n)}的Hankel变换是Det[{a(1),…,a(n-约翰·莱曼2000年7月21日
a(n+1)=(A005248美元(n+1)-2015年5月19日(n) )/2-克里顿·德蒙特,2004年8月15日
a(n+1)=求和{i=0..n}求和{j=0..n{二项式(n-i,j)*二项式(n-j,i)-N.J.A.斯隆2005年2月20日
a(n)=(2/sqrt(5))*sinh(2*n*psi),其中psi:=log(phi)和phi=(1+sqrt))/2-Hieronymus Fischer公司2007年4月24日
a(n)=((φ+1)^n-2015年5月19日(n) )/φ,其中φ=(1+sqrt(5))/2-莱因哈德·祖姆凯勒2007年11月22日
三角形的行和A135871号. -加里·亚当森2007年12月2日
a(n)^2=和{k=1..n}a(2*k-1)。这是任意序列S(n)的一个性质,使得S(n)=B*S(n-1)-S(n-2),其中S(0)=0,S(1)=1包括{0,1,2,3,…},其中B=2-肯尼思·J·拉姆齐2008年3月23日
a(n)=1/sqrt(5)*(φ^(2*n+2)-phi^(-2*n-2)),其中φ=(1+sqrt(五))/2,黄金比率-乌迪塔·卡图加姆波拉(SIU),2008年9月24日
如果p[i]=i,并且A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。然后,对于n>=1,a(n)=det(a)-米兰Janjic2010年5月2日
如果p[i]=Stirling2(i,2),并且如果A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。然后,对于n>=1,a(n-1)=det(a)-米兰Janjic2010年5月8日
a(n)=F(2*n+10)mod F(2*n+5)。
a(n)=1+a(n-1)+和{i=1..n-1}a(i),a(0)=0-加里·亚当森2011年2月19日
a(n)等于(n-1)X(n-1”Hessenberg矩阵的永久值,3沿着主对角线,i沿着上对角线和次对角线(i是虚单位),0在其他地方-约翰·M·坎贝尔,2011年6月9日
a(n),n>1等于(n-x)x(n-1)三对角矩阵的行列式,主对角线为3,上对角线和次对角线均为1,其余为0-加里·亚当森2011年6月27日
a(n)=b,使得积分{x=0..Pi/2}sin(n*x)/(3/2-cos(x))dx=c+b*log(3)-弗朗切斯科·达迪2011年8月1日
a(n+1)=和{k=0..n}A101950号(n,k)*2^k-菲利普·德尔汉姆2012年2月10日
G.f.:A(x)=x/(1-3*x+x^2)=G(0)/sqrt(5);其中G(k)=1-(a^k)/(1-b*x/(b*x-2*(a^k)/G(k+1)),a=(7-3*sqrt(5))/2,b=3+sqrt。。。;(连分式3种,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月25日
a(n)=2^n*b(n;1/2)=-b(n;-1),其中b(n),n=0,1,。。。,d、 表示注释中定义的delta-Fibonacci数字A000045号(另见Witula等人的论文)-罗曼·维图拉2012年7月12日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=1+sqrt(5)-彼得·巴拉2012年12月23日
产品{n>=2}(1-1/a(n))=(1/6)*(1+sqrt(5))-彼得·巴拉2012年12月23日
G.f.:x/(1-2*x)+x^2/(1-2**)/(Q(0)-x)其中Q(k)=1-x/(x*k+1)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年2月23日
G.f.:G(0)/2-1,其中G(k)=1+1/(1-x/(x+(1-x)^2/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日
G.f.:x*G(0)/(2-3*x),其中G(k)=1+1/(1-x*(5*k-9)/(x*(5*k-4)-6/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月17日
和{n>=1}1/(a(n)+1/a(n))=1。与进行比较2015年5月19日,A049660型A049670号. -彼得·巴拉2013年11月29日
a(n)=U(n-1,3/2),其中U(n-1,x)是第二类切比雪夫多项式-米兰Janjic2015年1月25日
o.g.f.A(x)满足A。的o.g.fA004187号等于-A(sqrt(x))*A(-sqrt(x))-彼得·巴拉2015年4月2日
对于n>1,a(n)=(3*F(n+1)^2+2*F(n-2)*F(n+1)-F(n-2”^2)/4-J.M.贝戈2016年2月16日
对于n>3,a(n)=floor(MA)-4表示n偶数,floor(MA)+5表示n奇数。MA是四边形的最大面积,其边长顺序为L(n)、L(n=A000032号(n) ●●●●。较长对角线与较短对角线的比率接近5/3-J.M.贝戈2016年2月16日
a(n+1)=和{j=0..n}和{k=0..j}二项式(n-j,k)*二项式-托尼·福斯特三世2017年9月18日
a(n)=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C(k+i,k-i)-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a(n)=总和{k=1。。A000041号(n) }A305309型(n,k),n>=1。也可以是三角形的行和A078812号.-沃尔夫迪特·朗2018年5月31日
a(n)=H(2*n,1,1/2),对于n>0,其中H(n,a,b)->超深层([a-n/2,b-n/2],[1-n],-4)-彼得·卢什尼2019年9月3日
和{n>=1}1/a(n)=A153386号. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月4日
a(n)=A249450型(n) +2-利奥·塔瓦雷斯2021年10月10日
a(n)=-2/(sqrt(5)*tan(2*arctan(φ^(2*n))),其中φ=A001622号是黄金比例-迭戈·拉塔吉,2021年11月21日
a(n)=sinh(2*n*arcsinh(1/2))/sqrt(5/4)-彼得·卢什尼2022年5月21日
例子
G.f.=x+3*x^2+8*x^3+21*x^4+55*x^5+144*x^6+377*x^7+987*x^8+。。。
a(3)=8,因为在一个三元链上正好有8个幂等序表示全变换,即:(1,2,3)->(1,1,1),(1,2,3,3)->(2,2,2),(1,2,3)->(1,1,3),(2,2,3)->(2,2-3),(1.2,3)->-阿卜杜拉希·奥马尔2008年9月8日
MAPLE公司
with(combstruct):SeqSeqSeqL:=[T,{T=序列(S,卡>0),S=序列(U,卡>1),U=序列(Z,卡>0},未标记]:seq(计数(SeqSeq SeqL,大小=n+1),n=0..28)#零入侵拉霍斯2009年4月4日
H:=(n,a,b)->超深层([a-n/2,b-n/2],[1-n],-4):
a:=n->`如果`(n=0,0,H(2*n,1,1/2)):
seq(简化(a(n)),n=0..30)#彼得·卢什尼2019年9月3日
A001906号:=进程(n)
组合[fibonacci](2*n);
结束进程:
序列(A001906号(n) ,n=0..20)#R.J.马塔尔2024年1月11日
数学
f[n_]:=斐波那契[2n];数组[f,28,0](*或*)
线性递归[{3,-1},{0,1},28](*罗伯特·威尔逊v2011年7月13日*)
取[Fibonacci[Range[0,60]],{1,-1,2}](*哈维·P·戴尔2012年5月23日*)
表[ChebyshevU[n-1,3/2],{n,0,30}](*Jean-François Alcover公司2013年1月25日之后迈克尔·索莫斯*)
系数列表[级数[(x)/(1-3x+x^2),{x,0,30}],x](*文森佐·利班迪2014年9月10日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=fibonacci(2*n)}/*迈克尔·索莫斯2002年12月6日*/
(PARI){a(n)=subst(poltchebi(n+1)*4-poltcheby(n)*6,x,3/2)/5}/*迈克尔·索莫斯2002年12月6日*/
(PARI){a(n)=polchebyshev(n-1,2,3/2)}/*迈克尔·索莫斯2011年6月18日*/
(PARI)Vec(x/(1-3*x+x^2)+O(x^99))\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月24日
(鼠尾草)[范围(27)内n的lucas_number1(n,3,1)]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
(鼠尾草)[fibonacci(2*n)代表范围(0,28)内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月15日
(MuPAD)numlib::fibonacci(2*n)$n=0..35//零入侵拉霍斯2008年5月9日
(哈斯克尔)
a001906 n=a001906_列表!!n个
a001906_列表=
0:1:zipWith(-)(map(*3)$tail a001906_list)a001906列表
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年10月3日
(Python)
定义a(n,adict={0:0,1:1}):
如果根中有n:
返回根[n]
根[n]=3*a(n-1)-a(n-2)
返回根[n]#大卫·纳辛2012年3月4日
(Maxima)标记列表(fib(2*n),n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年10月21日*/
(岩浆)[斐波那契(2*n):n in[0..30]]//文森佐·利班迪,2014年9月10日
交叉参考
斐波那契A000045号=此序列的并集2015年5月19日.
反转序列A130259号A130260型.
囊性纤维变性。A249450型.
囊性纤维变性。A033888号,A033890型.
关键词
非n,容易的,美好的,核心
作者
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年7月14日19:09。包含374323个序列。(在oeis4上运行。)