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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A003500型 a(n)=4*a(n-1)-a(n-2),其中a(0)=2,a(1)=4。
(原M1278)
48
2、4、14、52、194、724、2702、10084、37634、140452、524174、1956244、7300802、27246964、101687054、379501252、1416317954、5285770564、19726764302、73621286644、2747583882274、1025412242452、3826890587534、14282150107684、53301709843202、198924689265124 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,1

评论

a(n)给出满足x^2-3*y^2=4的x值;相应的y值由2给出*A001353型(n) 一。

如果M是序列的任何给定项,那么下一项是2*M+sqrt(3*M^2-12)-莱克莱·比达西2002年2月18日

当n>0时,三个数a(n)-1、a(n)和a(n)+1构成一个Fleenor-Heronian三角形,即具有连续边的Heronian三角形,其面积a(n)可由关系式[4*a(n)]^2=3([a(2n)]^2-4求得;或A(n)=3*A001353型(2*n)/2,其半周长为3*a[n]/2。这个序列是关于a[0]对称的,即a[-n]=a[n]。

对于n>0,a(n)+2是一个2*n X 2 Klein瓶的二聚体平铺数(参见。A103999).

Tsumura证明,对于素p,a(p)是复合的(与Juricevic的一个猜想相反)-查尔斯R格雷特豪斯四世2010年4月13日

除第一项外,满足x^2-4*x*y+y^2+12=0的x(或y)正值-科林·巴克2014年2月4日

除第一项外,x(或y)的正值满足x^2-14*x*y+y^2+192=0-科林·巴克2014年2月16日

邮编:A268281(n) -1是这个序列的成员iff邮编:A268281(n) 是质数-弗兰克M杰克逊2016年2月27日

a(n)给出满足3*x^2-4*y^2=12的x值;相应的y值由A005320型. -斯图尔斯约斯特德2017年12月19日

几乎等边Heronian三角形的中间边长-韦斯利·伊万受伤了2020年5月20日

对于序列的所有元素k,3*(k-2)*(k+2)是一个正方形-戴维德·罗通多2020年10月25日

参考文献

B、 C.伯恩特,拉马努扬的笔记本第四部分,斯普林格·韦拉格,见第页。82

J、 韦恩伯,韦恩伯,韦恩伯,1987。

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链接

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西蒙·普劳夫,1031生成函数,论文附录,蒙特利尔,1992年

杰弗里·沙利特,有趣的连分式,数学。Mag.,48(1975),207-211。

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埃里克·韦斯坦的数学世界,希律三角

维基百科,希律三角

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重复出现的索引项a(n)=k*a(n-1)+/-a(n-2)

常系数线性递归的索引项,签名(4,-1)。

公式

a(n)=(2+sqrt(3))^n+(2-sqrt(3))^n。

a(n)=2*A001075型(n) 一。

G、 f.:2*(1-2*x)/(1-4*x+x^2)。西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。

a(n)=A001835型(n)+A001835型(n+1)。

a(n)=2x2矩阵的n次方迹[12/13]-加里·W·亚当森,2003年6月30日[更正人乔尔阿恩特,2020年6月18日]

a(n+m)=a(n+m)=a(n)*a(m m)-a(m-n)的加法式,a(n+m)=(a(n)a(n)*a(m m m)a(n)a(2*n)=(a(n))^2-2,a(3*n)=(a(n))^3-3*(a(n))(a(n)),a(4*n)=(a(n)的(a(n))^4-4*4*(a(n))^2+2,a(5*n)=(a(a(n))^5-5*5(a(n))^3+5*5*5(a(n)),a(6*n)n)=(a(6*n)n)=(a(n))^(a(6-6*(a(n))^4+9*(a(n))^2-2,展开式中系数的绝对值由三角形给出A034807型. -约翰·布莱斯·多布森2007年11月4日

a(n)=2*A001353型(n+1)-4*A001353型(n) 一-R、 J.马萨2007年11月16日

彼得·巴拉2013年1月6日:(开始)

设F(x)=积{n=0..infinity}(1+x^(4*n+1))/(1+x^(4*n+3))。设α=2-sqrt(3)。这个序列给出了1+F(α)=2.24561 99455 06551 88869…=2+1/(4+1/(14+1/(52+…))。囊性纤维变性。A174500型.

同时F(-alpha)=0.74544 81786 39692 68884。。。连分式表示为1-1/(4-1/(14-1/(52-…)),简单连分式展开式为1/(1+1/((4-2)+1/(1+1/(14-2))(1/(1+1/((52-2)+1/(1+…))))。

F(alpha)*F(-alpha)具有简单的连分式展开式1/(1+1/((4^2-4)+1/(1+1/((14^2-4)+1/(1+1/((52^2-4)+1/(1+…)))))。

(结束)

a(2^n)=A003010型(n) 一-约翰·布莱斯·多布森2014年3月10日

a(n)=[x^n]((1+4*x+sqrt(1+8*x+12*x^2))/2)^n表示n>=1-彼得·巴拉2015年6月23日

E、 g.f.:2*exp(2*x)*cosh(平方英尺(3)*x)-伊利亚·古特科夫斯基2016年4月27日

a(n)=和{k=0..floor(n/2)}(-1)^k*n*(n-k-1)/(k!*(n-2*k)!)*4^(n-2*k),n>=1-彼得·卢什尼2016年5月10日

彼得·巴拉2019年10月15日:(开始)

a(n)=迹(M^n),其中M是2x2矩阵[0,1;-1,4]。

因此,高斯同余成立:a(n*p^k)=a(n*p^(k-1))(mod p^k)对于所有素数p和正整数n和k。见Zarelua和Stanley(第5章,Ex.5.2(a)及其解决方案)。

2*和{n>=1}1/(a(n)-6/a(n))=1。

6*和{n>=1}(-1)^(n+1)/(a(n)+2/a(n))=1。

8*和{n>=1}1/(a(n)+24/(a(n)-12/(a(n)))=1。

8*和{n>=1}(-1)^(n+1)/(a(n)+8/(a(n)+4/(a(n)))=1。

倒数和的级数加速度公式:

和{n>=1}1/a(n)=1/2-6*和{n>=1}1/(a(n)*(a(n)^2-6)),

和{n>=1}1/a(n)=1/8+24*和{n>=1}1/(a(n)*(a(n)^2+12)),

和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=1/6+2*和{n>=1}(-1)^(n+1)/(a(n)*(a(n)^2+2)),以及

和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=1/8+8*和{n>=1}(-1)^(n+1)/(a(n)*(a(n)^2+12))。

和{n>=1}1/a(n)=(θu3(2-sqrt(3))^2-1)/4=0.34770 07561 66992 06261。。。。见Borwein和Borwein,提案3.5(i),第91页。

和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=(1-θu3(sqrt(3)-2)^2)/4。囊性纤维变性。A003499号邮编:A153415. (结束)

a(n)=tan(π/12)^n+tan(5*Pi/12)^n-格雷格·德累斯顿2020年10月1日

狼牙2021年9月6日:(开始)

a(n)=S(n,4)-S(n-2,4)=2*T(n,2),对于n>=0,具有S和T Chebyshev多项式,S(-1,x)=0和S(-2,x)=-1。S(n,4)=A001353型对于T(1>n),和n=A001075型(n) 一。

a(2*k)=A067902号(k) ,a(2*k+1)=4*A001570型(k+1),对于k>=0。(结束)

a(n)=平方根(2+2*A011943号(n+1))=sqrt(2+2)*A102344号(n+1)),n>0-拉尔夫·斯坦纳2021年9月23日

枫木

A003500型:=proc(n)选项记住;如果n<=1,则2*n+2,否则4*procname(n-1)-procname(n-2);金融机构;

结束程序;

数学

a[0]=2;a[1]=4;a[n_x]:=a[n]=4a[n-1]-a[n-2];表[a[n],{n,0,23}]

线性出现[{4,-1},{2,4},30](*哈维·P·戴尔2011年8月20日*)

表[鲁卡斯尔圆形[2n,Sqrt[2]],{n,0,20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年9月15日*)

黄体脂酮素

(Sage)[范围(0,24)中n的lucas_数字2(n,4,1)]#泽伦瓦拉乔斯2009年5月14日

(哈斯克尔)

a003500 n=a003500 U列表!!n

a003500 U列表=2:4:zipWith(-)

(map(*4)$tail a003500 U列表)a003500 U列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月17日

(PARI)x='x+O('x^99);向量(-2*(-1+2*x)/(1-4*x+x^2))\\阿尔图阿尔坎2016年4月4日

(岩浆)I:=[2,4];[n le 2在[1..30]中选择I[n]else 4*Self(n-1)-Self(n-2):n//文琴佐·利班迪2018年11月14日

交叉引用

囊性纤维变性。A001075型,A001353型,A001835型.

囊性纤维变性。A011945型(区域),A334277飞机(周长)。

参考此顺序(中间边长),A016064号(最小边长),A335025型(最大边长)。

囊性纤维变性。A001570型,A00530号,A005320型,A006051号,A048788号,A174500型,邮编:A268281.

囊性纤维变性。A011943号,A102344号.

上下文顺序:A046650型 A327235 A055727号*A316363型 A295760 邮编:A129876

相邻序列:A003497号 A003498号 A003499号*A003501号 A003502号 A003503

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

更多条款来自詹姆斯A.塞勒斯2000年5月3日

其他评论来自莱克莱·比达西2002年2月14日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年10月19日22:05。包含348095个序列。(运行在oeis4上。)