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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001076型 连分母收敛到sqrt(5)。
(原M3538 N1434)
103
0,1,4,17,72,305,1292,5473,23184,98209,416020,1762289,7465176,31622993,133957148,567451585,2403763488,10182505537,431337856336,182717648081,774004377960,3278735159921,1388945017644,58834515230497,249227005939632,1055742538989025 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

a(2*n+1)和b(2*n+1):=A001077型(2*n+1),n>=0,给出Pell方程b^2-5*a^2=-1,a(2*n)与b(2*n)的所有(正整数)解:=A001077型(2*n),n>=1,给出Pell方程b^2-5*a^2=+1的所有(正整数)解(参见艾默生参考文献)。

对分:a(2*n+1)=T(2*n+1,sqrt(5))/sqrt(5)=A007805型(n) ,n>=0和a(2*n)=4*S(n-1,18),n>=0,分别为T(n,x)。S(n,x),第一类切比雪夫多项式。第二种。S(-1,x)=0。看到了吗A053120型,分别为。A049310型. 南(18)=A049660号(n+1)。-狼牙2003年1月10日

除了初始项,这是Pisot序列E(4,17),a(n)=楼层(a(n-1)^2/a(n-2)+1/2)。

这也是Horadam序列(0,1,1,4),具有递推关系a(n)=s*a(n-1)+r*a(n-2);对于n>1,其中a(0)=0,a(1)=1,s=4,r=1。当n接近无穷大时,a(n)/a(n-1)收敛到5^1/2+2。5^(1/2)+2也可以写成(2*Phi)+1和Phi^2+Phi。-罗斯拉海2003年8月18日

连分式[4,4,4,…]的分子,其中收敛到[4,4,4,…]=(4/1,17/4,72/17,…)。设X=2x2矩阵[0,1;1,4];然后X^n=[a(n-1),a(n);a(n),a(n+1)];例如,X^3=[4,17;17,72]。设C=a(n)/a(n-1)=2+sqrt(5)=4.236067977…;则C^n=a(n+1)+(1/C)*a(n),其中(1/C)=0.236067977。例如:C^3=76.0131556…,=72+17*(0.2360679…)。-加里·W·亚当森,2007年12月15日,更正人格雷斯登-德累斯顿2019年9月16日,由Alex Mark修正,2020年7月21日

Sqrt(5)=4/2+4/17+4/(17*305)+4/(305*5473)+4/(5473*98209)+。-加里·W·亚当森2007年12月15日

a(p)==20^((p-1)/2))mod p,对于奇素数p-加里·W·亚当森2009年2月22日

A001076型Fibonacci数的一半。-弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年10月25日

a(n)=A167808号(3*n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月12日

对于n>=2,a(n)等于(n-1)X(n-1)三对角矩阵的永久数,主对角线上有4个,超对角线和次对角线上有1个。-约翰·M·坎贝尔2011年7月8日

此外,a(n)是(0,1,0,5,0,25,…)的第二个二项式变换(另见A033887号). 这个事实可以用类似的方法证明保罗·巴里的评论A033887号通过对delta Fibonacci数使用以下标度恒等式:y^nb(n;x/y)=和{k=0..n}二项式(n,k)(y-1)^(n-k)b(k;x)以及b(n;2)=(1-(-1)^n)5^层(n/2)。-罗马维图拉2012年7月12日

0,1,2,8,24,80,256。。。(A063727型偏移量为1)。-R、 J.马萨2014年2月5日

对于n>=1,a(n)等于字母表{0,1,…,4}上长度为n-1的单词数,避免了奇数长度的零。-米兰-扬吉奇2015年1月28日

偏移量为1是A006190型:(1,3,10,33,109,360…)。-加里·W·亚当森2015年7月24日

a(n)=A000045型(3*n)/2=(A000045型(n)*A047946号(n) )/2,所以a(n)可以被整除A000045型(n) /2或A047946号(n) /2。当n>3时,A000045型(n) >2和A047946号(n) >2。因此a(3)=17是这个序列中唯一的素数。-鲍比·雅各布斯2017年9月17日

罗格·里奥·塞迪奥2018年3月30日:(开始)

这是一个可除性序列(即,如果n | m,则a(n)| a(m))。

所有正整数n和k的gcd(a(n),a(n+k))=a(gcd(n,k))。(结束)

这个序列的初始0与0不是有效分母这一事实相矛盾,根据所有标准参考文献,连分式的第一次收敛是p(0)/q(0)=b(0)/1,其中b(0)是连分式的第一项,由数的整数部分给出。可以人为地定义q(-1)=0,使其具有一个递归关系q(n)=b(n)*q(n-1)+q(n-2),n>=1,但其索引应为-1。-M、 哈斯勒2019年11月1日

限制在奇数部分(和允许的零)的n的4个组成数;参见Hopkins&Ouvry参考文献。-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日

参考文献

A、 T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证明:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,id.23。

S、 科什金,非经典线性可除性序列…,Fib。Q、 ,57(2019年第1期),68-80页。见表1。

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N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

五、 瑟鲍特,数学研究所。高蒂埃·维拉斯,巴黎,1952年,第282页。

链接

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INRIA算法项目,组合结构百科全书398

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西蒙·普劳夫,1031生成函数与猜想,魁北克大学,1992年。

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邵雄(史蒂文)袁绍雄,某些连分式的广义恒等式,arXiv:1907.12459[math.NT],2019年。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

常系数线性递归的索引项,签名(4,1)。

公式

a(n)=4*a(n-1)+a(n-2),n>1。a(0)=0,a(1)=1。

G、 f.:x/(1-4*x-x^2)。

a(n)=((2+sqrt(5))^n-(2-sqrt(5))^n)/(2*sqrt(5))。

a(n)=A014445号(n) /2=F(3n)/2。

a(n)=((-i)^(n-1))*S(n-1,4*i),其中i^2=-1和S(n,x):=U(n,x/2)第二类切比雪夫多项式。看到了吗A049310型. S(-1,x)=0。

a(n)=和{i=0..n}和{j=0..n}斐波纳契(i+j)*n!/(我!j!(n-i-j)!)/2。-保罗·巴里2004年2月6日

E、 g.f.:有效期(2*x)*信度(sqrt(5)*x)/sqrt(5)。-弗拉德塔·乔沃维奇2004年9月1日

a(n)=F(1)+F(4)+F(7)+。。。+F(3n-2),对于n>0。

猜想:2a(n+1)=a(n+2)-A001077型(n+1)。-克雷顿·德门特2004年11月28日

a(n)=和{k=0..n}和{j=0..n}C(n,j)C(j,k)F(j)/2。-保罗·巴里2005年2月14日

a(n)=A048876号(n)-A048875号(n) 一。-克雷顿·德门特2005年3月19日

设M={0,1},{1,4},v[1]={0,1},v[n]=M.v[n-1];然后a(n)=v[n][1]]。-罗杰·L·巴古拉2005年5月29日

a(n)=F(n,4),在x=4时计算的第n个Fibonacci多项式。-T、 D.不2006年1月19日

[A015448号(n) ,a(n)]=[1,4;1,3]^n*[1,0]。-加里·W·亚当森2008年3月21日

a(n)=(和{k=0..n}斐波纳契(3*k-2))+1。-加里·德特勒夫斯2010年12月26日

a(n)=(3*(-1)^n*F(n)+5*F(n)^3)/2,n>=0。参见关于三角形的评论中给出的一般D.Jennings公式A111125号,其中也给出了参考。这里第二行(k=1)适用[3,1]。-狼牙2012年9月1日

和{k>=1}(-1)^(k-1)/(a(k)*a(k+1))=(和{k>=1}(-1)^(k-1)/(F_k*F_u(k+1))^3=phi^(-3),其中F_n是第n个斐波纳契数(A000045型)φ是黄金比例(A001622号). -弗拉基米尔·谢韦列夫2013年2月23日

G、 f.:Q(0)*x/(2-4*x),式中Q(k)=1+1/(1-x*(5*k-4)/(x*(5*k+1)-2/Q(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月11日

a(-n)=-(-1)^n*a(n)。-迈克尔·索莫斯2014年2月23日

o.g.f.A(x)=x/(1-4*x-x^2)满足A(x)+A(-x)+8*A(x)*A(-x)=0或等效(1+8*A(x))*(1+8*A(-x))=1。o.g.f.为A049660号等于-A(sqrt(x))*A(-sqrt(x))。-彼得·巴拉2015年4月2日

罗格·里奥·塞迪奥2018年3月30日:(开始)

一些属性:

(1) a(n)*a(n+1)=4*和{k=1..n}a(k)^2;

(2) a(n)^2+a(n+1)^2=a(2*n+1);

(3) a(n)^2-a(n-2)^2=4*a(n-1)*(a(n)+a(n-2));

(4) a(m*(p+1))=a(m*p)*a(m+1)+a(m*p-1)*a(m);

(5) a(n-k)*a(n+k)=a(n)^2+(-1)^(n+k+1)*a(k)^2;

(6) a(n-1)*a(n+1)=a(n)^2+(-1)^n(特殊情况(5)!);

(7) a(2*n)=2*a(n)*(2*a(n)+a(n-1));

(8) 3*和{k=2..n+1}a(k)*a(k-1)如果n是奇数,等于a(n+1)^2;如果n是偶数,则等于a(n+1)^2-1;

(9) a(n)-a(n-2*k+1)=α(k)*a(n-2*k+1)+a(n-4*k+2),其中α(k)=(2+sqrt(5))^(2*k-1)+(2-sqrt(5))^(2*k-1);

(10) 31 |和{k=n..n+9}a(k),对于所有正n(结束)

O、 g.f.:x*exp(和{n>=1}Lucas(3*n)*x^n/n)=x+4*x^2+17*x^3+。。。。-彼得·巴拉2019年10月11日

例子

1 2 9 38 161(A001077型)

-,-,-,--,---, ...

0 1 4 17 72(A001076型)

G、 ^7*5^7*5+2*5+5^7*5+3*5+2*5+2*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*5+1.5*1。。。

枫木

A001076型:=-1/(-1+4*z+z**2);#由推测西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

K: =z/(1-4*z-z^2):Kser:=系列(K,z=0,30):序列(coeff(Kser,z,n),n=0..21)#泽伦瓦拉乔斯2007年11月8日

有(组合):a:=n->fibonacci(n+2,4)-4*fibonacci(n+1,4):seq(a(n),n=0..25)#泽伦瓦拉乔斯2008年4月4日

数学

系数列表[系列[-z/(z^2+4 z-1),{z,0,200}],z](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年6月23日*)

Join[{0},分母[收敛[Sqrt[5],30]]](*哈维·P·戴尔2011年12月10日*)

a[n_u]:=斐波纳契[3n]/2(*迈克尔·索莫斯2014年2月23日*)

a[n_]:=((2+Sqrt[5])^n-(2-Sqrt[5])^n)/(2 Sqrt[5])//简化(*迈克尔·索莫斯2014年2月23日*)

LinearRecurrence[{4,1},{0,1},26](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2017年9月23日*)

黄体脂酮素

(MuPAD)numlib::fibonacci(3*n)/2$n=0..30//泽伦瓦拉乔斯2008年5月9日

(1,n)范围内的[1,n]#泽伦瓦拉乔斯2009年4月23日

(Sage)[fibonacci(3*n)/2表示范围内的n(23)]#泽伦瓦拉乔斯2009年5月15日

(PARI){a(n)=fibonacci(3*n)/2}/*迈克尔·索莫斯2009年8月11日*/

(PARI){a(n)=imag((2+quadgen(20))^n)}/*迈克尔·索莫斯2014年2月23日*/

(岩浆)I:=[0,1];[n le 2选择I[n]否则4*自身(n-1)+自身(n-2):n in[1..30]]//G、 C.格雷贝尔2018年1月24日

(间隙)a:=[0,1];对于[3..30]中的n,做a[n]:=4*a[n-1]+a[n-2];od;a#阿西鲁2018年3月31日

交叉引用

囊性纤维变性。A000045型,A001077型,A015448号,A175183号(皮萨诺时期)。

囊性纤维变性。A049660号,A007805型.

部分和A033887号. 第一个区别A049652号. 平分A059973号.

数组的第三列A028412号.

上下文顺序:邮编:A297578 A022031号 A255117号*A122451号 甲57388 A113442号

相邻序列:A001073型 A001074型 A001075型*A001077型 A001078型 A001079号

关键字

,容易的,cofr公司,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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