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(问候来自整数序列在线百科全书!)
邮编:A130777 切比雪夫多项式的一阶差分系数。 15
1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、1、1、1、1、1、2、1、1、2、3、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、4、1、1、4、6、10、5、6、1、10、5、6、1、1、1、5、5、5、6、1、1、10、5、5、5、5、20、15、21、7、7、8、8、5、21、1、2、2、2、2、2、2、2、2、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1 10,-1,1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

三角形反A061554号.

的签名版本A046854号.

保罗·巴里2009年5月21日:(开始)

Riordan数组((1-x)/(1+x^2),x/(1+x^2))。

这个三角形是满足a(n;r)=r*a(n-1;r)+和{k=1..n-2,a(k)*a(n-1-k;r)},a(0;r)=a(1;r)=1的广义Catalan数族的Hankel变换的系数三角形。a(n;r)的Hankel变换是h(n)=和{k=0..n,T(n,k)*r^k},其中g.f.(1-x)/(1-r*x+x^2)。这些序列包括A086246,A000108号,A002212. (结束)

狼牙2011年6月11日:(开始)

行多项式Phat(n,x)的Riordan数组((1+x)/(1+x^2),x/(1+x^2)),其条目Phat(n,k)=((-1)^(n-k))*T(n,k)和o.g.f.Phat(x,z)=(1+z)/(1-x*z+z^2)与切比雪夫C和S多项式相关,如下所示。

(2*n+R)=n+S(2*n+R)=

在Abramowitz和Stegun符号中,R(n,x)=C_n(x),第778页,22.5.11。看到了吗A049310型对于S多项式。o.g.f.s.的证据。

行多项式Phat(n,x)的递推:

Phat(n,x)=x*Phat(n-1,x)-Phat(n-2,x),对于n>=1;Phat(-1,x)=-1,Phat(0,x)=1。

这个Riordan数组Phat的A序列(参见下面的W.Lang链接A006232对于Riordan矩阵的A-和Z-序列),由1,0,-1,0,-1,0,-2,0,-5,…给出,从1开始,并交错求反A000108号带零(o.g.f.1/c(x^2)=1-c(x^2)*x^2,其中o.g.f.c(x)为A000108号).

Z序列有o.g.f.sqrt((1-2*x)/(1+2*x)),它由A063886(n) *(-1)^n。

Riordan数组T(n,k)的A序列与Riordan数组Phat的A序列相同,Z序列是-A063886(n) 一。

(结束)

行多项式P(n,x)是图的邻接矩阵的特征多项式,它看起来像P_nn(n个顶点(节点),n-1条线(边)),但第1个顶点有一个环。-狼牙2011年11月17日

狼牙2013年12月14日:(开始)

P(n,x)的零点是x(n,j)=-2*cos(2*Pi*j/(2*n+1)),j=1..n。从P(n,x)=(-1)^n*S(2*n,sqrt(2-x))(参见W.Lang链接的引理6)。

P-多项式的判别式如A052750型. (结束)

参考文献

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。系列551964年。第十次印刷,威利,2002年(也提供电子版)。

链接

n=n的n..0。

沃尔夫迪特·朗,Q(2cos(pi/n)),它的Galois群和正则n边形上的长度比参见第1218章第10.4节“数学和引理定义”。

P、 斯坦巴赫,金色的田野:一个关于七叶树的案例,数学。Mag.70(1997),第22-31页(公式5)。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

公式

数字三角形T(n,k)=(-1)^C(n-k+1,2)*C(楼层((n+k)/2),k)。-保罗·巴里2009年5月21日

狼牙2011年6月11日:(开始)

行多项式:P(n,x)=和(k=0..n,T(n,k)*x^k)=R(2*n+1,sqrt(2+x))/sqrt(2+x),其中系数为A127672号(比例T-多项式)。

R(n,x)在Abramowitz和Stegun的手册中称为C_n(x),第778页,22.5.11。

P(n,x)=S(n,x)-S(n-1,x),n>=0,S(-1,x)=0,使用Chebyshev S多项式(见系数三角形A049310型).

O、 对于行多项式:P(x,z):=和(n>=0,P(n,x)*z^n)=(1-z)/(1-x*z+z^2)。

(对于R(2*n+1,x),n>=0,根据R多项式(2-x*z)/(1-x*z+z^2)的o.g.f.计算得出(见A1272号))

从o.g.f.证明了这个三角形的Riordan数组属性的Chebyshev连接(参见上面的P.Barry注释)。

关于这个Riordan数组的A序列和Z序列,请参见上面的注释。(结束)

绝对值(T(n,k))=A046854号(n,k)=绝对值(A066170型(n,k)T(n,n-k)=A108299号(n,k);abs(T(n,n-k))=A065941号(n,k)。-约翰内斯W.梅杰2011年8月8日

狼牙2014年7月31日:(开始)

类似于三角形A157751号,A244419号A180070型除了通常的三项递推外,还可以给出行多项式P(n,x)的另一个只需一个递推步骤的多项式。这也使用了一个负参数,即P(n,x)=(-1)^(n-1)*(-1+x/2)*P(n-1,-x)+(x/2)*P(n-1,x),n>=1,P(0,x)=1。通过计算o.g.f.并与已知值进行比较来证明。如果n<k且T(n,0)=(-1)^(n-k)*T(n-1,k)+(1/2)*(1+(-1)^(n-k))*T(n-1,k-1),n>=m>=1,T(n,k)=0,如果n<k且T(n,0)=(-1)^楼层((n+1)/2)=A057077号(n+1)。【P(n,x)复发校正2014年8月3日】

(结束)

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。

0:1个

1: -11个

2: -1-11

3: 1-2-11

4: 1-1-1号

5: -13 3-4-11

6: -1-3 6 4-5-11

7: 1-4-6 10 5-6-1 1

8: 14-10-10 15 6-7-11

9: -15 10-20-15 21 7-8-11

10: -1-5 15 20-35-21 28 8-9-1 1

11: 1-6-15 35 35-56-28 36 9-10-1 1

12: 16-21-35 70 56-84-36 45 10-11-11 1

13: -17 21-56-70 126 84-120-45 55 11-12-1 1

14: -1-7 28 56-126-126 210 120-165-55 66 12-13-1 1

15: 1-8-28 84 126-252-210 330 165-220-66 78 13-14-1 1

…重新格式化和扩展-狼牙2014年7月31日。

---------------------------------------------------------------------------

保罗·巴里2009年5月21日:(开始)

生产矩阵是

-1,1,

-2,0,1,

-2,-1,0,1,

-4,0,-1,0,1,

-6,-1,0,-1,0,1,

-12,0,-1,0,-1,0,1,

-20,-2,0,-1,0,-1,0,1,

-40,0,-2,0,-1,0,-1,0,1,

-70,-5,0,-2,0,-1,0,-1,0,1(结束)

行多项式作为S多项式的第一个差分:

P(3,x)=S(3,x)-S(2,x)=(x^3-2*x)-(x^2-1)=1-2*x-x ^2+x ^3。

替代三角形递归(见上面的注释):T(6,2)=T(5,2)+T(5,1)=3+3=6。T(6,3)=-T(5,3)+0*T(5,1)=-(-4)=4。-狼牙2014年7月31日

枫木

邮编:A130777:=过程(n,k):(-1)^二项式(n-k+1,2)*二项式(floor((n+k)/2),k)结束:seq(seq)(邮编:A130777(n,k),k=0..n),n=0..11)#约翰内斯W.梅杰2011年8月8日

数学

T[n,k\u]:=(-1)^二项式[n-k+1,2]*二项式[Floor[(n+k)/2],k];

Table[T[n,k],{n,0,11},{k,0,n}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2017年11月14日,来自Maple*)

黄体脂酮素

(圣人)

@缓存函数

定义邮编:A130777(k,n):

如果n<0:返回0

如果n==0:如果k==0,则返回1,否则返回0

h=邮编:A130777(n-1,k)如果n==1,则为0

返回邮编:A130777(n-1,k-1)-邮编:A130777(n-2,k)-h

对于n in(0..9):[邮编:A130777(n,k)代表k in(0..n)]#彼得·卢什尼2012年11月20日

交叉引用

囊性纤维变性。A066170型,A046854号,A057077号(第一列)。

行总和:A010892型(n+1);重复(1,0,-1,-1,0,1)。交替行和:A061347号(n+2);重复(1,-2,1)。

上下文顺序:A225631号 A306209型 A267482号*A187660号 A066170型 A046854号

相邻序列:邮编:A130774 A130775号 A130776号*邮编:A130778 A130779号 A130780号

关键字

签名,,容易的

作者

菲利普·德莱厄姆2007年7月14日

扩展

新名称和切比雪夫评论狼牙2010年6月11日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年10月27日01:02。包含338035个序列。(运行在oeis4上。)