0,8个

三角形反A061554号.

的签名版本A046854号.

从保罗·巴里2009年5月21日：（开始）

Riordan数组（（1-x）/（1+x^2），x/（1+x^2））。

这个三角形是满足a（n；r）=r*a（n-1；r）+和{k=1..n-2，a（k）*a（n-1-k；r）}，a（0；r）=a（1；r）=1的广义Catalan数族的Hankel变换的系数三角形。a（n；r）的Hankel变换是h（n）=和{k=0..n，T（n，k）*r^k}，其中g.f.（1-x）/（1-r*x+x^2）。这些序列包括A086246,A000108号,A002212. （结束）

从狼牙2011年6月11日：（开始）

行多项式Phat（n，x）的Riordan数组（（1+x）/（1+x^2），x/（1+x^2）），其条目Phat（n，k）=（（-1）^（n-k））*T（n，k）和o.g.f.Phat（x，z）=（1+z）/（1-x*z+z^2）与切比雪夫C和S多项式相关，如下所示。

（2*n+R）=n+S（2*n+R）=

在Abramowitz和Stegun符号中，R（n，x）=C_n（x），第778页，22.5.11。看到了吗A049310型对于S多项式。o.g.f.s.的证据。

行多项式Phat（n，x）的递推：

Phat（n，x）=x*Phat（n-1，x）-Phat（n-2，x），对于n>=1；Phat（-1，x）=-1，Phat（0，x）=1。

这个Riordan数组Phat的A序列（参见下面的W.Lang链接A006232对于Riordan矩阵的A-和Z-序列），由1，0，-1，0，-1，0，-2，0，-5，…给出，从1开始，并交错求反A000108号带零（o.g.f.1/c（x^2）=1-c（x^2）*x^2，其中o.g.f.c（x）为A000108号).

Z序列有o.g.f.sqrt（（1-2*x）/（1+2*x）），它由A063886（n） *（-1）^n。

Riordan数组T（n，k）的A序列与Riordan数组Phat的A序列相同，Z序列是-A063886（n） 一。

（结束）

行多项式P（n，x）是图的邻接矩阵的特征多项式，它看起来像P_nn（n个顶点（节点），n-1条线（边）），但第1个顶点有一个环。-狼牙2011年11月17日

从狼牙2013年12月14日：（开始）

P（n，x）的零点是x（n，j）=-2*cos（2*Pi*j/（2*n+1）），j=1..n。从P（n，x）=（-1）^n*S（2*n，sqrt（2-x））（参见W.Lang链接的引理6）。

P-多项式的判别式如A052750型. （结束）

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。系列551964年。第十次印刷，威利，2002年（也提供电子版）。

n=n的n..0。

沃尔夫迪特·朗，Q（2cos（pi/n）），它的Galois群和正则n边形上的长度比参见第1218章第10.4节“数学和引理定义”。

P、 斯坦巴赫，金色的田野：一个关于七叶树的案例，数学。Mag.70（1997），第22-31页（公式5）。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

数字三角形T（n，k）=（-1）^C（n-k+1,2）*C（楼层（（n+k）/2），k）。-保罗·巴里2009年5月21日

从狼牙2011年6月11日：（开始）

行多项式：P（n，x）=和（k=0..n，T（n，k）*x^k）=R（2*n+1，sqrt（2+x））/sqrt（2+x），其中系数为A127672号（比例T-多项式）。

R（n，x）在Abramowitz和Stegun的手册中称为C_n（x），第778页，22.5.11。

P（n，x）=S（n，x）-S（n-1，x），n>=0，S（-1，x）=0，使用Chebyshev S多项式（见系数三角形A049310型).

O、 对于行多项式：P（x，z）：=和（n>=0，P（n，x）*z^n）=（1-z）/（1-x*z+z^2）。

（对于R（2*n+1，x），n>=0，根据R多项式（2-x*z）/（1-x*z+z^2）的o.g.f.计算得出（见A1272号))

从o.g.f.证明了这个三角形的Riordan数组属性的Chebyshev连接（参见上面的P.Barry注释）。

关于这个Riordan数组的A序列和Z序列，请参见上面的注释。（结束）

绝对值（T（n，k））=A046854号（n，k）=绝对值(A066170型（n，k）T（n，n-k）=A108299号（n，k）；abs（T（n，n-k））=A065941号（n，k）。-约翰内斯W.梅杰2011年8月8日

从狼牙2014年7月31日：（开始）

类似于三角形A157751号,A244419号和A180070型除了通常的三项递推外，还可以给出行多项式P（n，x）的另一个只需一个递推步骤的多项式。这也使用了一个负参数，即P（n，x）=（-1）^（n-1）*（-1+x/2）*P（n-1，-x）+（x/2）*P（n-1，x），n>=1，P（0，x）=1。通过计算o.g.f.并与已知值进行比较来证明。如果n<k且T（n，0）=（-1）^（n-k）*T（n-1，k）+（1/2）*（1+（-1）^（n-k））*T（n-1，k-1），n>=m>=1，T（n，k）=0，如果n<k且T（n，0）=（-1）^楼层（（n+1）/2）=A057077号（n+1）。【P（n，x）复发校正2014年8月3日】

（结束）

三角形T（n，k）开始于：

n\k 0 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。

0:1个

1： -11个

2： -1-11

3： 1-2-11

4： 1-1-1号

5： -13 3-4-11

6： -1-3 6 4-5-11

7： 1-4-6 10 5-6-1 1

8： 14-10-10 15 6-7-11

9： -15 10-20-15 21 7-8-11

10： -1-5 15 20-35-21 28 8-9-1 1

11： 1-6-15 35 35-56-28 36 9-10-1 1

12： 16-21-35 70 56-84-36 45 10-11-11 1

13： -17 21-56-70 126 84-120-45 55 11-12-1 1

14： -1-7 28 56-126-126 210 120-165-55 66 12-13-1 1

15： 1-8-28 84 126-252-210 330 165-220-66 78 13-14-1 1

…重新格式化和扩展-狼牙2014年7月31日。

---------------------------------------------------------------------------

从保罗·巴里2009年5月21日：（开始）

生产矩阵是

-1，1，

-2，0，1，

-2，-1，0，1，

-4，0，-1，0，1，

-6，-1，0，-1，0，1，

-12，0，-1，0，-1，0，1，

-20，-2，0，-1，0，-1，0，1，

-40，0，-2，0，-1，0，-1，0，1，

-70，-5，0，-2，0，-1，0，-1，0，1（结束）

行多项式作为S多项式的第一个差分：

P（3，x）=S（3，x）-S（2，x）=（x^3-2*x）-（x^2-1）=1-2*x-x ^2+x ^3。

替代三角形递归（见上面的注释）：T（6,2）=T（5,2）+T（5,1）=3+3=6。T（6,3）=-T（5,3）+0*T（5,1）=-（-4）=4。-狼牙2014年7月31日

邮编：A130777：=过程（n，k）：（-1）^二项式（n-k+1，2）*二项式（floor（（n+k）/2），k）结束：seq（seq）(邮编：A130777（n，k），k=0..n），n=0..11）#约翰内斯W.梅杰2011年8月8日

T[n，k\u]：=（-1）^二项式[n-k+1，2]*二项式[Floor[（n+k）/2]，k]；

Table[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2017年11月14日，来自Maple*）

（圣人）

@缓存函数

定义邮编：A130777（k，n）：

如果n<0：返回0

如果n==0：如果k==0，则返回1，否则返回0

h=邮编：A130777（n-1，k）如果n==1，则为0

返回邮编：A130777（n-1，k-1）-邮编：A130777（n-2，k）-h

对于n in（0..9）：[邮编：A130777（n，k）代表k in（0..n）]#彼得·卢什尼2012年11月20日

囊性纤维变性。A066170型,A046854号,A057077号（第一列）。

行总和：A010892型（n+1）；重复（1,0，-1，-1,0,1）。交替行和：A061347号（n+2）；重复（1，-2,1）。

上下文顺序：A225631号 A306209型 A267482号*A187660号 A066170型 A046854号

相邻序列：邮编：A130774 A130775号 A130776号*邮编：A130778 A130779号 A130780号

签名,表,容易的

菲利普·德莱厄姆2007年7月14日

新名称和切比雪夫评论狼牙2010年6月11日

经核准的