A130777-OEIS公司

A130777号

切比雪夫S多项式的一阶差分系数。

1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -2, -1, 1, 1, 2, -3, -1, 1, -1, 3, 3, -4, -1, 1, -1, -3, 6, 4, -5, -1, 1, 1, -4, -6, 10, 5, -6, -1, 1, 1, 4, -10, -10, 15, 6, -7, -1, 1, -1, 5, 10, -20, -15, 21, 7, -8, -1, 1, -1, -5, 15, 20, -35, -21, 28, 8, -9, -1, 1, 1, -6, -15, 35, 35, -56, -28, 36, 9, -10, -1, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,8`
	评论	`三角形的倒数A061554号.` `的签名版本A046854号.` `发件人保罗·巴里，2009年5月21日：（开始）` `Riordan数组（（1-x）/（1+x^2），x/（1+4^2））。` `这个三角形是满足a（n；r）=ra（n-1；r）+和{k=1..n-2，a（k）a（n-1-k；r）}，a（0；r）=a（1；r。a（n；r）的Hankel变换是h（n）=和{k=0..n，T（n，k）r^k}与g.f.（1-x）/（1-rx+x^2）。这些序列包括A086246号,A000108号,A002212号.（结束）` `发件人沃尔夫迪特·朗，2011年6月11日：（开始）` `行多项式Phat（n，x）的Riordan数组（（1+x）/（1+x^2），x/（1+8^2））具有条目Phat（n，k）=（（-1）^（n-k））T（n，k）和o.g.f.Phat（x，z）=（1+z）/（1-xz+z^2）与Chebyshev C和S多项式相关，如下所示。` `相位（n，x）=（R（n+1，x）-R（n，x））/（x+2）=S（2n，sqrt（2+x））` `Abramowitz和Stegun符号中的R（n，x）=C_n（x），第778页，第22.5.11页。请参见A049310型对于S多项式。o.g.f.s.的证明。` `行多项式Phat（n，x）的递归：` `相位（n，x）=x相位（n-1，x）-相位（n-2，x），对于n>=1；相位（-1，x）=-1，相位（0，x）=1。` `此Riordan阵列Phat的A序列（请参阅下面的W.Lang链接A006232号对于Riordan矩阵的A-和Z-序列）由1，0，-1，0，-1，0，-2，0，-5，..给出，。。，从1开始，交错取反A000108号带零（o.g.f.1/c（x^2）=1-c（x2）x^2，o.g.f c（x）为A000108号).` `Z序列具有o.g.f.sqrt（（1-2x）/（1+2x）），它由下式给出A063886号（n）（-1）^n号。` `Riordan阵列T（n，k）的A序列与Riordan数组Phat的A序列相同，Z序列为-A063886号（n） ●●●●。` `（结束）` `行多项式P（n，x）是图的邻接矩阵的特征多项式，它看起来像P_n（n个顶点（节点），n-1条线（边）），但顶点1有一个圈-沃尔夫迪特·朗2011年11月17日` `发件人沃尔夫迪特·朗，2013年12月14日：（开始）` `P（n，x）的零点是x（n，j）=-2cos（2Pij/（2n+1）），j=1..n。从P（n、x）=（-1）^nS（2*n，sqrt（2-x））（例如，请参见W.Lang链接的引理6）。` `P-多项式的判别式如下所示A052750型.（结束）`
	参考文献	`M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，1964年。第十次印刷，威利，2002年（也有电子版）。`
	链接	`n，a（n）的表，n=0..77。` `Hyeong-Kwan Ju，关于一类矩阵生成的序列霍纳姆数学。J.39，No.4，665-675（2017），定理2.16。` `沃尔夫迪特·朗，正则n-gon中的场Q（2cos（pi/n））及其Galois群和长度比，arXiv:12210.1018[math.GR]，2012-2017年；参见定义1、引理6和备注4。` `P.斯坦巴赫，金色田野：七边形的一个例子，数学。Mag.70（1997），第22-31页（公式5）。` `与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。`
	公式	`数字三角形T（n，k）=（-1）^C（n-k+1,2）C（floor（（n+k）/2），k）-保罗·巴里2009年5月21日` `发件人沃尔夫迪特·朗，2011年6月11日：（开始）` `行多项式：P（n，x）=和（k=0..n，T（n，k）x^k）=R（2n+1，sqrt（2+x））/sqrt（2+x），Chebyshev多项式R的系数在A127672号（标度T多项式）。` `R（n，x）在Abramowitz和Stegun的手册中称为C_n（x），第778页，第22.5.11页。` `P（n，x）=S（n，x）-S（n-1，x），n>=0，S（-1，x）=0，使用切比雪夫S多项式（参见系数三角形A049310型).` `行多项式的O.g.f.：P（x，z）：=和（n>=0，P（n，x）z^n）=（1-z）/（1-xz+z^2）。` `（根据R（2n+1，x）的o.g.f.，n>=0，根据R多项式（2-xz）/（1-xz+z^2）的o.f.计算（参见A127672号))` `从o.g.f.证明这个三角形的Riordan数组属性的Chebyshev连接（参见上面的P.Barry注释）。` `有关此Riordan阵列的A-和Z序列，请参阅上面的注释。（结束）` `abs（T（n，k））=A046854号（n，k）=绝对值(A066170号（n，k））T（n，n-k）=A108299号（n，k）；abs（T（n，n-k））=A065941号（n，k）-约翰内斯·梅耶尔2011年8月8日` `发件人沃尔夫迪特·朗2014年7月31日：（开始）` 类似于三角形A157751号,444419英镑和A180070型对于行多项式P（n，x），除了通常的三项递推外，还可以给出只需要一个递推步骤的另一项。这也使用了一个负参数，即P（n，x）=（-1）^（n-1）（-1+x/2）P（n-1，-x）+（x/2）P（n-1,x），n>=1，P（0，x）=1。通过计算o.g.f.并与已知值进行比较进行证明。这需要交替三角形递归T（n，k）=（-1）^（n-k）T（n-1，k）+（1/2）*（1+（-1））^=A057077号（n+1）。[P（n，x）复发，2014年8月3日校正] `（结束）`
	例子	`三角形T（n，k）开始于：` `n \k 0 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。` `0: 1` `1: -1 1` `2: -1 -1 1` `3: 1 -2 -1 1` `4: 1 2 -3 -1 1` `5: -1 3 3 -4 -1 1` `6: -1 -3 6 4 -5 -1 1` `7: 1 -4 -6 10 5 -6 -1 1` `8:1 4-10-10 15 6-7-1 1` `9: -1 5 10 -20 -15 21 7 -8 -1 1` `10: -1 -5 15 20 -35 -21 28 8 -9 -1 1` `11: 1 -6 -15 35 35 -56 -28 36 9 -10 -1 1` `12: 1 6 -21 -35 70 56 -84 -36 45 10 -11 -1 1` `13: -1 7 21 -56 -70 126 84 -120 -45 55 11 -12 -1 1` `14: -1 -7 28 56 -126 -126 210 120 -165 -55 66 12 -13 -1 1` `15: 1 -8 -28 84 126 -252 -210 330 165 -220 -66 78 13 -14 -1 1` `…重新格式化并扩展-沃尔夫迪特·朗2014年7月31日。` `---------------------------------------------------------------------------` `发件人保罗·巴里，2009年5月21日：（开始）` `生产矩阵为` `-1, 1,` `-2, 0, 1,` `-2, -1, 0, 1,` `-4, 0, -1, 0, 1,` `-6, -1, 0, -1, 0, 1,` `-12, 0, -1, 0, -1, 0, 1,` `-20, -2, 0, -1, 0, -1, 0, 1,` `-40, 0, -2, 0, -1, 0, -1, 0, 1,` `-70，-5，0，-2，0，-1，0，-1，0，1（结束）` `行多项式作为S多项式的第一差：` `P（3，x）=S（3，x）-S（2，x）=（x^3-2x）-（x^2-1）=1-2x-x^2+x^3。` `替代三角形递归（见上文注释）：T（6,2）=T（5,2）+T（5,1）=3+3=6。T（6.3）=-T（5.3）+0*T（5.1）=-（-4）=4-沃尔夫迪特·朗2014年7月31日`
	MAPLE公司	`A130777号：=过程（n，k）：（-1）^二项式（n-k+1，2）*二项式(A130777号（n，k），k=0..n），n=0..11）#约翰内斯·梅耶尔2011年8月8日`
	数学	`T[n_，k_]：=（-1）^二项式[n-k+1，2]二项式[楼层[（n+k）/2]，k]；` `表[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]//展平(Jean-François Alcover公司2017年11月14日，枫叶出版社*）`
	黄体脂酮素	`（鼠尾草）` `@缓存函数` `定义A130777号（n，k）：` `如果n<0：返回0` `如果n=0：如果k=0则返回1，否则返回0` `小时=A130777号（n-1，k）如果n==1，其他为0` `返回A130777号（n-1，k-1）-A130777号（n-2，k）-h` `对于（0..9）中的n：[A130777号（n，k）对于k in（0..n）]#彼得·卢什尼2012年11月20日`
	交叉参考	`参见。A066170号,A046854号,A057077号（第一列）。` `行和：A010892号（n+1）；重复（1,0，-1，-1,0,1）。交替行和：A061347号（n+2）；重复（1，-2,1）。` `上下文中的序列：A225631型 A306209型 A267482型A187660型 A066170号 A046854号` `相邻序列：A130774号 A130775号 A130776号A130778号 A130779号 A130780号`
	关键字	`签名,表,容易的`
	作者	`菲利普·德尔汉姆2007年7月14日`
	扩展	`新名字和切比雪夫评论沃尔夫迪特·朗2010年6月11日`
	状态	`经核准的`